GeoGebra en la enseñanza del Cálculo Diferencial.

GeoGebra en la enseñanza del Cálculo Diferencial.

GeoGebra en la enseñanza del Cálculo Diferencial.
Villalón Guzmán María Teresa 1, Calderón Ramírez Mario 2, Gasca Figueroa David 3, Ramos Beltrán José Alfredo 4
Resumen—La influencia de la introducción de software libre ha ocasionado que el GeoGebra cada vez sea más utilizado en la
enseñanza de las matemáticas a todos los niveles educativos, debido a que permite el uso simultáneo de los sistemas de
representación simbólico y gráfico a través de una interface amigable que facilita su uso. El GeoGebra facilita la relación entre las
Matemáticas y las TIC´s con la finalidad de propiciar un cambio en la metodología de trabajo con los estudiantes y por ende, en
los procesos de enseñanza y aprendizaje. A través de los applets elaborados con GeoGebra, se pone de manifiesto su potencial
para abordar las dimensiones semántica y sintáctica de manera conjunta en los conceptos matemáticos, propiciando en los
estudiantes la inquietud por explorar e indagar sobre aspectos teóricos de las matemáticas.
Los estudiantes mejoraron su actitud hacia el aprendizaje del cálculo diferencial al ser motivados a incorporar el uso del
GeoGebra a sus procesos de enseñanza y aprendizaje, propiciando una mejor comprensión de los conceptos teóricos relacionados
con esta asignatura, repercutiendo favorablemente en los índices de aprobación en los grupos en donde se hizo uso del manual de
prácticas y de los applets desarrollados hasta este momento.
Palabras claves— software educativo, cálculo diferencial, aprendizaje significativo, GeoGebra
Introducción
La introducción de las Tecnologías de información y comunicación (TIC´s) en la educación superior es una necesidad,
lo cual supone un cambio y un reto para el docente. En el área de las ciencias básicas se ha encontrado que es conveniente el
uso de las TIC´s como una herramienta de apoyo en los procesos de enseñanza y aprendizaje, pues permite nuevas formas
de representación de los conceptos, lo cual contribuye a generar aprendizajes significativos entre los estudiantes.
De acuerdo con Gutiérrez (2005) el uso de las TIC´s en la enseñanza de las matemáticas sugiere el uso de software de
geometría dinámica, pues permite a los estudiantes la exploración y verificación de propiedades geométricas, así como la
automatización del cálculo geométrico. La naturaleza constructivista del procesador geométrico desarrolla en los estudiantes
aptitudes para realizar en poco tiempo la tarea encomendada y proceder a explorar otras posibilidades.
Recientemente debido a la influencia de la introducción de software libre, ha surgido con gran fuerza el software
GeoGebra debido al carácter abierto de su código, lo cual permite que esté disponible de manera libre y gratuita para todas
las plataformas. GeoGebra no es solamente geometría (Geo), también es álgebra (Gebra), cálculo, análisis y estadística. La
gran variedad de opciones que ofrece hacen que sea utilizado para proponer a los estudiantes sencillas tareas de
investigación y experimentación, las cuales en su mayoría, no requerirán demasiados conocimientos técnicos, solamente
algunas herramientas básicas y comandos.
A continuación describiremos algunas de las características del GeoGebra señaladas por Gavilán y Barroso (2009, 2011):
GeoGebra es un software libre diseñado para ser utilizado en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en
todos los niveles educativos. Tiene la característica de integrar las capacidades de los programas de geometría dinámica con
las capacidades de los programas de cálculo simbólico y de las hojas de cálculo. Además, permite el uso simultáneo de los
sistemas de representación simbólico (algebraico/numérico) y gráfico en tres ventanas simultáneas (algebraica, gráfica y
hoja de cálculo). Las manipulaciones o modificaciones de objetos geométricos o matemáticos en una de las ventanas, tiene
de forma inmediata repercusión en las ventanas restantes. Además, cuenta con una interface “amigable” que facilita su uso,
lo cual lo convierte en un instrumento útil para la enseñanza de las matemáticas.
1 La MC. María Teresa Villalón Guzmán es jefa del departamento de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Celaya, Celaya,
Guanajuato. [email protected] (autor corresponsal)
2 El MC. Mario Calderón Ramírez es profesor del departamento de Ciencias básicas del Instituto Tecnológico de Celaya, Celaya,
Guanajuato. [email protected]
3 El MC. David Gasca Figueroa es profesor del departamento de Ciencias Básicas Instituto Tecnológico de Celaya, Celaya, Guanajuato.
[email protected]
4 El MC. José Alfredo Ramos Beltrán es profesor del departamento de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Celaya, Celaya,
Guanajuato. [email protected]
Otra característica del GeoGebra es la diferenciación entre dibujo y figura, la cual es útil para describir la forma en la
cual los estudiantes interpretan las representaciones realizadas en la pantalla del ordenador. En seguida se presenta la
diferencia entre ambos conceptos.
Construcción dibujo: realizada de la misma forma que los dibujos hechos con lápiz y papel, es decir, dibujo a mano alzada.
Por ejemplo, si un estudiante construye un rectángulo basándose únicamente en elementos de medida, las propiedades del
objeto construido no se mantienen al desplazar uno de los vértices de la figura. Este objeto se considera como un dibujo y
no mantiene las propiedades geométricas de la figura.
Construcción figura: realizada utilizando las propiedades euclídeas que el programa ofrece a través de las herramientas
propias o bien creadas por el usuario (herramientas personales). Por ejemplo, para trazar una recta perpendicular a un
segmento debemos utilizar la herramienta Recta Perpendicular. En este caso, el estudiante debe conocer las herramientas
necesarias de construcción pero también las propiedades geométricas del objeto, lo cual requiere conocimiento del software
y de las matemáticas (Hollebrands, 2007).
Una característica más del software, es la necesidad de definir explícitamente los objetos geométricos, es decir, los
objetos que se construyen con GeoGebra tienen que ser definidos explícitamente para que sean reconocidos como tales y
por tanto manejables por el programa. Por ejemplo: cuatro segmentos consecutivos y cerrados no definen un cuadrado para
el programa, y por tanto, no es posible calcular su área, salvo que sea definido o construido con la herramienta
correspondiente.
Finalmente, el Principio de Geometría Dinámica significa que las construcciones realizadas con GeoGebra pueden ser
modificadas dinámicamente a través del arrastre de objetos básicos o bien introduciendo deslizadores. Las propiedades o
relaciones geométricas establecidas explícitamente al construir la figura a través de las herramientas disponibles,
permanecen al arrastrarse los objetos. Este principio hace posible la devolución que hace el arrastre en las figuras del
programa: se conservan las propiedades explícitas usadas por el usuario al realizar la figura y además se hacen visibles al
usuario todas aquellas propiedades o relaciones de la figura que se deducen de las anteriormente explicitadas por el usuario.
GeoGebra no requiere inversión para su uso y su continua evolución hace que surjan nuevas versiones o se incorporen
nuevas herramientas, con las cuales se incrementa su potencia y sus posibilidades didácticas. Por las razones anteriormente
expuestas, el GeoGebra se está convirtiendo en un recurso imprescindible para los docentes interesados en incorporar las
TIC´s a su práctica docente.
En el departamento de ciencias básicas del Instituto Tecnológico de Celaya (ITC) a través de la implementación del
GeoGebra en la asignatura de Cálculo Diferencial, se pretende que los estudiantes aborden procesos matemáticos
relacionados con la identificación y definición de conceptos, propiciar el razonamiento inductivo y deductivo así como la
realización de pruebas o demostraciones. La implementación del GeoGebra a la práctica docente se realiza a través de
applets, pues ofrecen al estudiante la posibilidad de manipular objetos geométricos e indagar sus propiedades, además de
permitir conocer todas las relaciones entre objetos geométricos de la figura, pues el programa las hace explicitas a los
estudiantes.
De esta forma, los estudiantes no necesitan conocer el uso de las herramientas y menús del GeoGebra, solamente
requieren conocer el arrastre o tironeo así como el uso de deslizadores para resolver las actividades propuestas por el
docente a través de applets. El uso adecuado de programas educativos como GeoGebra, permite modelar o visualizar
problemas o situaciones matemáticas que propician la comprensión de conceptos teóricos y superar obstáculos en el proceso
de enseñanza y aprendizaje del Cálculo Diferencial.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
En la actualidad, las competencias matemáticas han adquirido relevancia debido al acelerado proceso de cambio de la
ciencia y la tecnología, motivo por el cual, se requiere que los futuros egresados sean capaces de utilizar herramientas
tecnológicas en el aprendizaje de las matemáticas.
Tal como afirman Arias, Guillén y Ortiz (2011) “el simple hecho de introducir una herramienta computacional en un
entorno escolar motiva al estudiante a buscar y construir su conocimiento, y este aprendizaje es mayor y más significativo”.
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Integración de las TIC´s en el aula
La integración de la tecnología a los procesos de enseñanza y aprendizaje no es un proceso sencillo para el docente, pues
requiere el uso eficaz de la tecnología. De acuerdo con Pelgrum (2002) el docente requiere de más tiempo y energía para
incorporar las TIC´s a su práctica docente, pues carece del material necesario para apoyar y facilitar el proceso de
aprendizaje de los estudiantes.
El rol del docente es de suma importancia en la integración de la tecnología a los procesos de enseñanza y aprendizaje,
pues la elección de una situación problemática así como la valoración de la utilidad del uso de software, definirán la forma
en la cual el estudiante se enfrente a la solución de un problema. Es decir, el estudiante utiliza la herramienta como una
mera comprobación de resultados, o como ayuda gráfica para plantear la situación y proponer posibles estrategias de
solución al problema planteado.
Uso de GeoGebra
A través del GeoGebra es posible realizar construcciones de muy diversa variedad y complejidad. Su continua evolución
incorpora nuevas opciones y comandos. Es necesario considerar que la elección de una situación problemática es
fundamental para ser abordada con GeoGebra. La situación debe representar un verdadero trabajo matemático para
aprovechar al máximo las bondades del programa. Sin embargo, si un problema no reúne las condiciones para ser resuelto
utilizando al máximo la potencialidad del GeoGebra, el docente puede modificarlo considerando las variables didácticas
susceptibles de modificarse para lograr el objetivo deseado.
Ruiz, Seoane y Di Blasi (2008) consideran que las actividades construidas con GeoGebra bajo una concepción
constructivista y cooperativa del aprendizaje, son útiles para promover entornos educativos que favorezcan en los
estudiantes la adquisición de competencias para realizar conjeturas, validar resultados y elaborar conclusiones así como ser
capaces de explicar los pasos a seguir para resolver las situaciones planteadas. Asimismo, Villarreal (1999) sugiere que el
uso de herramientas informáticas en las clases de cálculo, promueve el desarrollo de capacidades para conjeturar y
argumentar.
Para Zimmermann (1990, 136) “Conceptualmente, el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el
aprendizaje que es difícil imaginar un curso exitoso de cálculo que no enfatice los elementos visuales del tema. Esto es
especialmente verdad si el curso tiene la intención de promover un entendimiento conceptual, el cual es ampliamente
reconocido como carente en la mayoría de los cursos de cálculo como es actualmente enseñando. La manipulación
algebraica ha sido enfatizada en demasía y …. en el proceso el espíritu del cálculo se ha perdido”.
Implementación y uso de GeoGebra en la asignatura de Cálculo Diferencial
Gavilán y Barroso (s.f.) establecen que es posible distinguir tres dimensiones en los conceptos matemáticos como objetos
de enseñanza y aprendizaje:
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Dimensión semántica (significativa): hace referencia a los significados que se vinculan al concepto, para lo cual es
pertinente considerar situaciones no matemáticas en las que aparece el concepto.
Dimensión sintáctica (representativa): hace referencia a las distintas formas de representar el concepto y las
posibles traducciones entre ellas (traslaciones).
Dimensión procedimental (algorítmica): se incluyen en esta dimensión los algoritmos que se vinculan al concepto.
Ambos autores consideran que las tres dimensiones están interrelacionadas entre sí y a partir de esta forma de visualizar los
conceptos matemáticos como objetos de enseñanza y aprendizaje, es posible dar sentido al uso de instrumentos como
GeoGebra para fines educativos.
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En este contexto, los docentes del departamento de ciencias básicas del ITC se han dado a la tarea de incorporar el
GeoGebra a su práctica docente, especialmente en la asignatura de Cálculo Diferencial, con la finalidad de mejorar el
proceso de enseñanza y aprendizaje de los estudiantes en esta asignatura. La incorporación del uso del GeoGebra a la
enseñanza del cálculo diferencial se ha realizado de manera gradual. Durante el semestre Enero – Junio 2012, los docentes
que imparten esta asignatura elaboraron un manual de prácticas en donde se hace uso del GeoGebra, con la finalidad de
incorporar las TIC´s al proceso de enseñanza y aprendizaje. Con el uso de este manual de prácticas se busca la integración
de las dimensiones semántica y procedimental.
En este semestre (Agosto – Diciembre 2012) además del manual de prácticas, un grupo de docentes está trabajando en la
generación de applets, con la finalidad de esquematizar conceptos teóricos de la asignatura que no son comprendidos
fácilmente por los estudiantes a través de una explicación en el pizarrón. Los applets permiten crear interfaces gráficas
sofisticadas para crear actividades dinámicas en las cuales el estudiante interactúa. Es como pasar del pizarrón estático al
pizarrón dinámico para acceder a una imagen virtual en la cual se permite la exploración, la construcción y recreación del
conocimiento. Por tal motivo, se ha promovido entre los docentes su uso a fin de apoyar los procesos de enseñanza y
aprendizaje haciendo referencia a la dimensión sintáctica de los conceptos matemáticos.
Entre los applets desarrollados se encuentra el que ilustra como una recta secante a una curva se transforma en recta
tangente a una curva en un punto, para favorecer la comprensión de la interpretación geométrica de la derivada, un concepto
que generalmente presenta dificultad para entendido y recordado entre los estudiantes. Haciendo uso del GeoGebra, el
profesor proporciona a los estudiantes un applet a través del cual, el estudiante visualiza como se generan las rectas secantes
a una curva hasta transformarse en una recta tangente en un punto. El propósito del diseño de esta actividad es propiciar el
en el estudiante la construcción de un significado geométrico de la derivada: la recta tangente como límite de las rectas
secantes y la pendiente de la recta tangente, como el límite de las pendientes de las rectas secantes. La forma de
representación que aparece en la actividad es únicamente a través de la forma gráfica, tal como se presenta en la Figura 1.
Figura 1. Representación de la recta secante a una curva.
En la Figura 1 aparece la ventana gráfica de GeoGebra, donde se visualiza como va desplazándose la recta secante a lo largo
de la curva hasta llegar al punto en donde la recta secante se transforma en recta tangente a la curva dada en un punto. De
esta forma, la interpretación geométrica de la derivada, es clara y fácil de recordar para los estudiantes, al poder visualizarla
a través de un applet.
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Posteriormente se aplicó una encuesta sencilla encuesta entre los estudiantes de cálculo diferencial de los grupos en donde
además del trabajo con el manual de prácticas, se utilizan applets desarrollados con GeoGebra, para conocer su opinión
acerca de la implementación de su uso dentro y fuera del aula. Se encontró entre los estudiantes un incremento en la
motivación hacia el estudio y una actitud positiva hacia la asignatura, lo cual incrementó su iniciativa, trabajo personal y
protagonismo de su propio aprendizaje, favoreciendo el desarrollo de la competencia en el uso de las tecnologías de
información y comunicación así como en el las competencias específicas de la asignatura.
Considerando que durante su formación académica y su práctica profesional el ingeniero requiere modelar, describir y
analizar situaciones cambiantes y resolver problemas para optimizar costos, tiempo y materiales resulta imprescindible
promover entre los estudiantes de ingeniería la construcción de significados para los conceptos matemáticos del cálculo
diferencial, a través de un ambiente cercano a las prácticas de un ingeniero.
COMENTARIOS FINALES
Resumen de resultados
La integración de las TIC´s a la práctica docente permite disponer de recursos que utilizados de forma adecuada, se
convierten en una potente herramienta y con funcionalidades interesantes para la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. Su carácter motivador y su eficacia para favorecer metodologías activas y participativas permiten a los
estudiantes que se sientan partícipes de su propio aprendizaje. En particular, el cálculo diferencial se puede trabajar de
forma experimental a través del software GeoGebra, al interactuar con objetos matemáticos, construirlos, analizar
comportamientos, comprobar propiedades, hacer conjeturas, realizar simulaciones…
A través del GeoGebra, el profesor dispone de un medio para presentar de forma atractiva y dinámica conceptos y
procedimientos relacionados con el cálculo diferencial, a fin de propiciar el desarrollo de las capacidades de análisis y
síntesis de los estudiantes. La implementación del uso del GeoGebra en el aula permite reducir tiempo y esfuerzo dedicados
a tareas que pudieran resultar tediosas para los estudiantes, propiciando la motivación y el interés en el aprendizaje del
cálculo diferencial incidiendo de manera favorable en los índices de aprobación de los grupos en donde los docentes
promueven su uso.
Se encontró que los estudiantes se sienten motivados hacia el estudio del cálculo diferencial desarrollando una actitud
positiva hacia la asignatura, incrementado su iniciativa, trabajo personal y protagonismo de su propio aprendizaje así como
el desarrollo de la competencia en el uso de las tecnología de información y comunicación.
Conclusiones
Las TIC´s constituyen elementos mediadores del conocimiento que propician una mayor fluidez en el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
El GeoGebra facilita la relación entre las Matemáticas y las TIC´s con la finalidad de propiciar un cambio en la
metodología de trabajo con los estudiantes y por ende, en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
A través de los applets elaborados con GeoGebra se pone de manifiesto su potencial para abordar las dimensiones
semántica y sintáctica de manera conjunta en los conceptos matemáticos, propiciando en los estudiantes la inquietud por
explorar e indagar sobre aspectos teóricos de las matemáticas evitando dedicar tiempo al aprendizaje del programa.
Los estudiantes mejoraron su actitud hacia el aprendizaje del cálculo diferencial al ser motivados a incorporar el uso de
la tecnología a sus procesos de enseñanza y aprendizaje, propiciando una mejor comprensión de los conceptos teóricos
relacionados con esta asignatura repercutiendo favorablemente en los índices de aprobación de la asignatura en los grupos
en donde se hizo uso de los applets desarrollados hasta este momento.
La tecnología juega un papel importante en la práctica docente y en los procesos de aprendizaje, logrando despertar el
interés y motivación de los estudiantes por las matemáticas.
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Recomendaciones
Proponer a un programa de formación docente en el uso del GeoGebra a corto plazo incluyendo aspectos teóricos de cálculo
diferencial que permitan a los docentes de esta asignatura y de otras del área de ciencias básicas, implementar su uso en los
procesos de enseñanza y aprendizaje. Asimismo, propiciar la formación de un banco de applets y prácticas de cálculo
diferencial a través del trabajo colaborativo de los docentes que imparten la asignatura.
REFERENCIAS
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matemática. 26 – 30 Junio, 2011. Recife Brasil. Consultado por Internet el 06 de Agosto del 2012. Dirección de internet:
http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/2661/806
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Gavilán J. M. & Barroso, R. (2011). “GeoGebra como instrumento de la práctica del profesor”. Comunicación presentada en las II Jornadas de Geogebra
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Gavilán J. M. & Barroso, R. (s.f.). “GeoGebra como instrumento de la práctica del profesor”. Didáctica de las matemáticas. Universidad de Sevilla.
Consultado por Internet el 06 de Agosto del 2012. Dirección de internet:
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Hollebrands, K. (2007). “The Role of a Dynamic Software Program for Geometry in the Strategies High School Mathematics Students Employ”. Journal
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Ruiz, G., Seoane, A., Di Blasi, M. (2008). “Uso de recursos informáticos para potenciar las diferentes representaciones del concepto teorema fundamental
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