Notas de Aulas

Álgebra Moderna - notas de aulas
Profª Ana Paula
CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS
DATA ___/___/___
O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática.
Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetods bem definidos. Os
objetos em um conjunto, como veremos nos exemplos, podem ser qualquer coisa: números,
pessoas, letras, rios, etc.... Esses objetos são chamados os elementos de um conjuntos.
Representação:
letras maiúsculas para conjuntos: A, B, C, D, …
letras minúsculas para elementos de um conjunto: a, b, c, d, …
Formas de representação:
Forma de listagem: A = a, e, i, o, u = e, o, a, u, i, onde os elementos do conjunto são
apresentados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista linear não
necessariamente ordenada.
Pela propriedade:
A = x/x é um vogal do alfabeto da língua portuguesa = x/Px =
x/x goza da propriedade P , o conjunto passa a ser referido pela propriedade de seus
elementos, e a leitura é a seguinte: “A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal da
Língua Portuguesa”. O x é uma variável que representa cada um dos elementos cuja
propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Língua Portuguesa, o que não permitirá
incluir, no conjunto A, o b como vogal.
Pelo Diagrama de Venn-Euler:
Exemplos:
A: os números 1,3,7 e 10.
B: As soluções da equação x 2 − 3x − 2 = 0
C: As pessoas que habitam a Terra.
D: Os estudantes Carlos, José e Roberto.
E: Os alunos que faltaram à aula.
F: Os países: Inglaterra, França e Espanha.
G: Os números 2,4,6,8,...
H: Os rios do Brasil
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OBS: A repetição não cria novos elementos no conjunto.
Exemplo: A = a, e, i, o, u = a, a, a, e, o, u, e, i, o, u.
O símbolo ∈ é usado para especificar se um elemento pertence a um conjunto e ∉
quando não pertence a este conjunto.
Exemplos: Seja A = a, e, i, o, u. Então a ∈ A (o elemento a pertence ao conjunto A) e
b ∉ A. b não é elemento do conjunto A).
Definição 1: Um conjunto é vazio quando não contém elementos.
Notação:  =   = x/Px ∧ ~Px = x/x ≠ x
OBS:
1) O conjunto vazio é único.
2)  ≠ 
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Definição 2: Um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos
diferentes, isto é, se, ao contarmos os diferentes elementos de um conjunto, o processo de
contagem chega a um final. De outro modo, o conjunto é infinito.
SUBCONJUNTOS
Definição 3: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que A está contido em B (A
é um subconjunto de B) se, somente se, todo elemento de A pertence a B, isto é,
A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A / x ∈ B.
Exemplos:
Teorema 1: Seja A um conjunto qualquer. O conjunto vazio é um subconjunto do conjunto
A.
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Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que dois conjuntos são
iguais quando um está contido no outro e vice-versa, isto é, A = B ⇔ ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B ou
A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A.
OBS:
1) A ⊈ B significa A não está contido em (não é subconjunto) B e A não é igual a B.
2) B ⊃ A significa B contém A.
3) B  A significa B não contém A e B não é igual a A.
4) A  B significa que A está contido propriamente em B A ⊂ B e A ≠ B.
5) B  A significa que B contém propriamente em A A ⊂ B e A ≠ B.
Propriedades:
1) Reflexiva: A ⊂ A. (Demonstração Imediata)
2) Transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
3) Antissimétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B. (Demonstração decorrente da definição).
São equivalentes as três afirmações:
1) A ⊂ B.
2) Se x ∈ A, então x ∈ B.
3) Se x ∉ B, então x ∉ A.
Definição 5: Chamamos de conjunto universo U o conjunto em que todos conjuntos são
subconjuntos deste conjunto U.
Definição 6: Se os conjuntos A e B não possuem elementos em comum, isto é, se não há
nenhum elemento A em B e se não há nenhum elemento de B em A, dizemos que A e B são
disjuntos.
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COMPLEMENTAR
Definição 7: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se B ⊂ A, dizemos que o
complementar de B em relação a A é todo elemento de A que não pertence a B, isto é,
B C  A = x ∈ A/x ∉ B.
Definição 8: Considerando U, o conjunto universo e A ⊂ U, chama-se complementar de
A em relação a U a parte de U formada pelos elementos de U que não pertencem a A.
A c  U = x ∈ U/x ∉ A
Outras notações: A c , A, A ′ , ∁ U A = ∁A.
OBS:
1) U c = 
2)  c = U
3) A c  c = A
CONJUNTO DAS PARTES
Definição 9: O conjunto das partes de A, PA, é o conjunto de todos os subconjuntos
de A.
Exemplo:
A = 1, 2
PA = , 1, 2, 1, 2.
Teorema 1: Se um conjunto A tem n elementos, então PA tem 2 n elementos.
Definição 10: A cardinalidade de A é quantidade de elementos distintos deste conjunto.
Notação: nA ou #A.
OBS:
1) n = 0 ou # = 0.
2) nA = 1 ou #A = 1 se A é um conjunto unitário,
3) Se A é um conjunto com n elementos escreveremos #A = n ou nA = n.
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OPERAÇÕES
Definição 11: A interseção de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são
comuns a A e B, isto é, os elementos que pertencem a A e também pertencem a B.
A ∩ B = x/x ∈ A e x ∈ B
OBS: Se A ∩ B =   =  , então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Definição 12: A união de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são comuns
a A ou B, isto é, os elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos.
A ∪ B = x/x ∈ A ou x ∈ B
Propriedades da interseção:
1) Associativa: A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C.
2) Comutatividade: A ∩ B = B ∩ A.
3) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.
4) A ∩  = .
Propriedades da união:
1) Associativa: A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C.
2) Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A.
3) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.
4) A ∪  = A.
5) A ∪ B =   A =  e B = .
Propriedades:
1) A ∩ A c =  e A ∪ A c = U. ———————————–Lei de De Morgan.
2) A ∩ B C = A c ∪ B c e A ∪ B c = A c ∩ B c ——————Lei de De Morgan.
3)A ⊂ B  B C ⊂ A C
Definição 13: A diferença entre dois conjuntos, A e B, é o conjunto de elementos que
pertencem a A mas que não pertencem a B.
A − B = x ∈ A/x ∈ A e x ∉ B .
OBS:
1) A − B ⊂ A
2) Os conjuntos A − B, A ∩ B e B − A são mutuamente disjuntos.
3) A − B = A ∩ B c
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos números naturais:
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, . . . 
ℕ ∗ = 1, 2, 3, 4, . . . .= ℕ − 0
Conjunto dos números inteiros:
ℤ = 0, ±1, ±2, ±3, …  = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … 
ℤ ∗ = ±1, ±2, ±3, …  = … , −3, −2, −1, 1, 2, 3, …  = ℤ − 0
ℤ + = 0, 1, 2, 3, …  = conjunto dos números inteiros não-negativos.
ℤ − = … , −3, −2, −1, 0 = conjunto dos números inteiros não-positivos.
ℤ ∗+ = 1, 2, 3, …  = conjunto dos números inteiros positivos ou estritamente positivos.
ℤ ∗− = … , −3, −2, −1 = conjunto dos números inteiros negativos ou estritamente negativos.
ℤ 2n = k ∈ ℤ/k = 2n, n ∈ ℤ =conjunto dos inteiros pares.
ℤ 2n+1 = k ∈ ℤ/k = 2n + 1 ou k = 2n − 1, n ∈ ℤ =conjunto dos inteiros ímpares.
Conjuntos dos números racionais:
ℚ = ab /a ∈ ℤ e b ∈ ℤ ∗
Conjuntos dos números irracionais: ℚ C  ℝ = ℚ ′
Conjunto dos números reais:
ℝ = x/x = a 0 , a 1 a 2 a 3 … a n … ; a 0 ∈ ℤ e a i = 0, 1, 2, … 9, com i ≠ 0
Conjunto dos números complexos:
ℂ = z/z = a + bi, a, b ∈ ℝ e i = −1
De forma geral:
A ∗ = A − 0
A + = x ∈ A/x ≥ 0
A − = x ∈ A/x ≤ 0
A ∗+ = x ∈ A/x > 0
A ∗− = x ∈ A/x < 0
OBS: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
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Exemplos:
1.) ℝ − ℚ = ℚ
2) ℚ − ℝ = 
3) ℂ − ℝ = ℝ
4) ℚ − ℚ = ℚ
5) ℝ − ℕ = ℕ
Resumo
Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos:
(a) Os elementos neutros:
A∪ = A
A∩X = A
(b) As leis de idempotência:
A∪A = A
A∩A = A
(c) As leis comutativas:
A∪B = B∪A
A∩B = B∩A
(d) As leis associativas:
A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C.
A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C.
(e) As leis distributivas:
A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C
A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C
(f) As leis de identidade
A∪ = A
A∪U = U
A∩ = 
A∩U = A
(g) Leis de Complementariedade
A ∪ Ac = U
A c  c = A
A ∩ Ac = 
Uc = 
c = U
(h) Leis de De Morgan
A ∩ A c =  e A ∪ A c = U.
A ∩ B C = A c ∪ B c e A ∪ B c = A c ∩ B c
Exercícios do Livro: Páginas 13 a 16 : 1 a 6, 7a, 8,9, 11 a 16.
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CAPÍTULO 2 - RELAÇÕES
DATA ___/___/___
Definição 1: Dados dois conjuntos, E e F, não vazios. O produto cartesiano de E por F é
o conjunto formado por todos os pares ordenados x, y, com x ∈ X e y ∈ F.
E × F = x, y/x ∈ E e y ∈ F
Exemplo: E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6.
E×F =
A idéia informal de "relação" é um sistema R constituído de:
1) um conjunto E (conjunto de partida);
2) um conjunto F (conjunto de chegada);
3) uma sentença px, y/∀a, b ∈ E × F, pa, b é verdadeira ou falsa.
Se pa, b é verdadeira, então dizemos que "a está relacionado com b mediante a R", aRb.
Se pa, b é falsa, então dizemos que "a não está relacionado com b mediante a R", aŔb.
Exemplos:
1) E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6. São exemplos de relações:
R 1 = x, y ∈ E × F/x + y = 6
R2 = 
R 3 = 0, 4, 0, 5, 0, 6
R 4 = 2, 5, 3, 6
2) Se E = F = ℤ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de
números inteiros.
É um relação
R = x, y ∈ ℤ × ℤ/x = −y = … , −n, n, … , −2, 2, −1, 1, 0, 0, 1, −1, 2, −2, … n, −n, … .
3) Se E = F = ℝ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de
números reais.
É um relação R = x, y ∈ ℝ × ℝ/x  0 e y  0 .
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Definição 2: Chama-se relação binária de E em F todo subconjunto R de E × F, isto é, R
é relação de E em F se e somente se R ⊂ E × F. Ou seja R é um conjunto de pares
ordenados a, b ∈ E × F.
Seja R uma relação de E em F.
Definição 3: Chama-se domínio de R o subconjunto de E constituído pelos elementos x
para cada um dos quais existe algum y em F tal que xRy.
DR = x ∈ E/∃y ∈ F : xRy
Definição 4: Chama-se imagem de R o subconjunto de F constituído pelos elementos y
para cada um dos quais existe algum x em E tal que xRy.
ImR = y ∈ F/∃x ∈ E : xRy
Exemplos: Indique o domínio e a imagem de cada relação:
1) E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6. São exemplos de relações:
R 1 = x, y ∈ E × F/x + y = 6
DR 1  =
ImR 1  =
R2 = 
DR 2  =
ImR 2  =
DR 3  =
ImR 3  =
R 3 = 0, 4, 0, 5, 0, 6
R 4 = 2, 5, 3, 6
DR 4  =
ImR 4  =
2) Se E = F = ℤ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de
números inteiros.
É um relação
R = x, y ∈ ℤ × ℤ/x = −y = … , −n, n, … , −2, 2, −1, 1, 0, 0, 1, −1, 2, −2, … n, −n, … .
DR =
ImR =
3) Se E = F = ℝ, então E × F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de
números reais.
É um relação R = x, y ∈ ℝ × ℝ/x  0 e y  0 .
DR =
ImR =
Representações:
a) Gráfico Cartesiano.
b) Esquema de flechas.
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Definição 5: Seja R uma relação de E em F. Chama-se relação inversa de R, e, indica-se
por R −1 , a seguinte relação de F em E:
R −1 = y, x ∈ F × E/x, y ∈ R
Exemplos:
1) Sejam E = 0, 1, 2, 3 e F = 4, 5, 6, onde
R = 0, 4, 0, 5, 0, 6 = x, y ∈ E × F/x = 0.
Então R −1 = 4, 0, 5, 0, 6, 0 = y, x ∈ F × E/x = 0.
DR =
ImR =
−1
DR  =
ImR −1  =
2) E = ℝ e F = ℝ. R = x, y ∈ ℝ 2 /y = 2x. Então
R −1 = y, x ∈ ℝ 2 /y = 2x = x, y ∈ ℝ 2 /x = 2y.
DR =
ImR =
−1
DR  =
ImR −1  =
3) E = ℝ e F = ℝ. R = x, y ∈ ℝ 2 /y = x 2 . Então
R −1 = y, x ∈ ℝ 2 /y = x 2  = x, y ∈ ℝ 2 /x = y 2 .
DR =
ImR =
−1
DR  =
ImR −1  =
Propriedades:
1) DR −1  = ImR
2) ImR −1  = DR
3) R −1  −1 = R
Representação
1) Se a relação R admite um gráfico cartesiano, então o mesmo ocorre com
−1
R . Notando-se que x, y ∈ R se, e somente se, y, x ∈ R −1 , então o gráfico de R −1 é simétrico
do gráfico de R relativamente à reta de equação y = x.
2) Dado o diagrama de Euler-Venn de uma relação R, obtém-se o diagrama de R −1
simplesmente invertendo o sentido das flechas.
Exercícios do livro: Página 70: todos, exceto 5.
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RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO
Definição 6: Quando E = F e R é uma relação de E em F, diz que R é uma relação sobre
E, ou ainda, R é uma relação em E.
Propriedades:
1) Reflexiva
Dizemos que R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo, isto
é,
∀x ∈ E, vale xRx
Negação: ∃x ∈ E, vale xŔx
Flechas: Em cada ponto do diagrama deve haver um laço.
Exemplos:
1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.
a) R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, c é reflexiva.
b) R = a, a, a, b, b, a, b, b, b, c não é reflexiva.
2) Simétrica
Dizemos que R é simétrica se vale yRx sempre que vale xRy, isto é,
∀x, y ∈ E, se xRy, então yRx.
Contrapositiva:∀x, y ∈ E, se yŔx, então xŔy.
Negação:∃x, y ∈ E, xRy e yŔx.
Flechas: Todas as flechas têm duas pontas.
Exemplos:
1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.
a) R = a, a, a, b, b, a, c, c é simétrica.
b) R = a, a, a, b, b, b, b, c não é simétrica.
2) Considerando E = ℚ e R = x, y ∈ ℚ 2 /x 2 = y 2  é simétrica.
3) Considerando E = conjunto das retas do espaço euclidiano e R = x, y ∈ ℝ 2 /x ⊥ y é
simétrica.
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3) Transitiva.
Dizemos que R é transitiva se vale xRz sempre que vale xRy e yRz, isto é,
∀x, y, z ∈ E, se xRy e yRz, então xRz.
Contrapositiva: ∀x, y, z ∈ E, se xŔz, então xŔy ou yŔz
Negação:∃x, y, z ∈ E, xRy e yRz e xŔz
Flechas: Para todo par de flechas consecutivas, existe uma terceira flecha cuja origem é a
origem da 1ª e a extremidade da 2ª.
Exemplos:
1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.
a) R = a, b, b, b, b, c, a, c, c, c é transitiva.
b) R = a, b, a, a, b, c, c, c não é transitiva.
2) Considerando E = ℕ e R = x, y ∈ ℕ 2 /x ≤ y é transitiva.
3) Considerando E = conjunto dos triângulos do espaço euclidiano e R = relação de
semelhança de triângulos é simétrica.
4) Antissimétrica.
Dizemos que R é antissimétrica se vale x = y sempre que vale xRy e yRx, isto é,
∀x, y ∈ E, se xRy e yRx, então x = y.
Contrapositiva:∀x, y ∈ E, se x ≠ y, então xŔy ou yŔx.
Negação: ∃x, y ∈ E, xRy e yRx e x ≠ y.
Flechas: Não há flechas de duas pontas.
Exemplos:
1) Considerando E = a, b, c e R uma relação sobre E.
a) R = a, a, a, b, b, c, c, a é antissimétrica.
b) R = a, a, b, b, c, c, b, c, c, b não é antissimétrica.
2) Considerando E = ℕ e R = x, y ∈ ℕ 2 /x ∣ y é antissimétrica. (transitiva, não simétrica
e reflexiva).
3) Considerando E = ℤ e R = x, y ∈ ℤ 2 /x ∣ y é não antissimétrica. (transitiva, não
simétrica e reflexiva).
4) Considerando E = ℝ e R = x, y ∈ ℝ 2 /x ≤ y é antissimétrica. (transitiva, não simétrica
e reflexiva).
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Gráfico cartesiano e propriedades
Sejam E = ℝ, R é uma relação em ℝ e G R o seu gráfico cartesiano.
1) Reflexiva: ∀x ∈ ℝ, x, x ∈ R. Ou seja, as retas bissetrizes dos 1º e 3º quadrantes
pertencem ao G R .
Exemplo: R = x, y ∈ ℝ 2 /y ≥ x − 1 é reflexiva.
2) Simétrica: Se x, y ∈ R, então y, x ∈ R. G R é simétrico relativamente à bissetriz dos 1º
e 3º quadrantes.
Exemplo: R = x, y ∈ ℝ 2 /x 2 + y 2 ≤ 9 é simétrica.
Exercícios do livro: Páginas 75 e 76: todos.
Página 77: 17 a 20.
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RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Definição 7: Uma relação R sobre um conjunto E ≠  é chamada de relação de
equivalência sobre R se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, R deve
cumprir, respectivamente, as seguintes propriedades:
1) ∀ x ∈ E, xRx
2) Se x, y ∈ R e xRy, então yRx.
3) Se x, y, z ∈ R e xRy e yRz, então xRz.
Exemplos:
São relações de equivalência:
1) E = a, b, c com R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, a.
2) E = ℝ com R = x, y ∈ ℝ 2 /x = y.
3) E = conjunto das retas do espaço euclidiano com R = x, y ∈ ℝ 2 /x//y.
4) E = ℤ com R =
x, y ∈ ℤ 2 /x ≡ ymod m, m ∈ ℤ ∗+ e m > 1 .
Não é relação de equivalência:
5) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ 2 /x ∣ y.
6) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ 2 /mdcx, y = 1.
Exercícios do livro: Página 79: todos.
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Revisão:
1) Divisibilidade: Diz-se que o número inteiro a é divisor do número inteiro b ou que o
número b é divisível por a se é possível encontrar q ∈ ℤ tal que b = aq.
Pode-se dizer também que b é múltiplo de a.
Notação: a ∣ b (a divide b) ou a ∤ b (a não divide b).
2) MDC: Sejam a e b ∈ ℤ. Um elemento d ∈ ℤ se diz máximo divisor comum de a e b se
cumpre as seguintes condições:
i) d ≥ 0
ii) d ∣ a e d ∣ b.
iii) Se d ′ é um inteiro tal que d ′ ∣ a e d ′ ∣ b, então d′ ∣ d (ou seja, todo divisor comum de a
e b também é divisor de d ou se d′ é um divisor de a e b, então d′ ≤ d.
Para quaisquer inteiros a e b, existem inteiros x 0 e y 0 , tais que d = ax 0 + by 0 é o máximo
divisor comum de a e b.
3) Congruência: Sejam a, b números inteiros quaisquer e m um inteiro estritamente
positivo. Diz-se que a é côngruo a b módulo m se m ∣ a − b, isto é, a − b = mq para um
conveniente inteiro q. Para indicar que a é côngruo a b, módulo m , usa-se a notação
a ≡ bmod m
A relação assim definida sobre o conjunto ℤ chama-se congruência módulo m.
4) Números primos:Um número inteiro p é chamado número primo se as seguintes
condições se verificam:
i) p ≠ 0.
ii) p ≠ ±1.
iii) Os únicos divisores de p são ±1, ±p.
Um número inteiro a ≠ 0,±1 é chamado número composto se tem outros divisores, além
dos triviais.
Dois inteiros a e b dizem-se primos entre si se mdca, b = 1.
Para que os inteiros a e b sejam primos entre si, é necessário e suficiente que se possam
encontrar x 0 , y 0 ∈ ℤ tais que ax 0 + by 0 = 1.
5) MMC: O Mínimo Múltiplo Comum de dois inteiros positivos a e b é o menor inteiro
positivo que é divísel por a e b, isto é, a ∣ m e b ∣ m.
Notação: mmca, b = m
Sejam a e b inteiros. Então, o mmca, b divide todo outro múltiplo comum de a e b.
Sejam a, b ∈ ℤ e m um inteiro positivo. Então, m = mmca, b se e somente sem m verifica:
i) a ∣ m e b ∣ m.
ii) Se a ∣ m ′ e b ∣ m ′ , então m ∣ m ′ .
15
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA
Definição 8: Seja R um relação de equivalência sobre E. Dado a ∈ E. Chama-se classe
de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto a ⊂ E constituído pelos
elementos x tais que xRa.
a = x ∈ E/xRa
Exemplos:
1) R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, a de E = a, b, c. R é uma relação de equivalência de
E.
São classes de equivalência: a = a, b, b = a, b, c = c.
2) E = ℤ com R =
x, y ∈ ℤ 2 /x ≡ ymod m, m ∈ ℤ ∗+ e m > 1
3) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ 2 /x ≡ ymod 6
16
CONJUNTO-QUOCIENTE
Definição 9: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E|R e
chamado conjunto-quociente de E por R.
Exemplos
1) R = a, a, b, b, c, c, a, b, b, a de E = a, b, c. R é uma relação de equivalência de
E.
E|R = a, b, c
2) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ 2 /x ≡ ymod m, m ∈ ℤ ∗+ e m > 1
ℤ|R = ℤ m =  0 , 1 , 2 , … , m − 1
3) E = ℤ com R = x, y ∈ ℤ 2 /x ≡ ymod 6
ℤ6 =  0 , 1 , 2 , … , 5 
Proposição 1: Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam a ∈ E e b ∈ E. As
seguintes proposições são equivalentes:
1) aRb
2) a ∈ b
3) b ∈ a
4) a = b
Dem:
Exercícios do livro: Página 81: todos.
17
CAPÍTULO 3 - APLICAÇÃO
DATA ___/___/___
Definição 1: Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em F
se, e somente se,
1) Df = E;
2) ∀a ∈ Df, existe um único b ∈ F/a, b ∈ f.
Notação: f : E → F
x  fx
b = fa
Exemplos:
1) Sejam E = a, b, c, d e F = m, n, p, q, r.
As relações de R : E → F dadas por:
R 1 = a, n, b, p, c, q
R 2 = a, m, b, n, c, q, d, r
R 3 = a, n, b, n, c, q, d, r
R 4 = a, m, b, n, b, p, c, r, d, q
Então somente R 2 e R 3 são aplicações.
2) E = F = ℝ
As relações de R : E → F dadas por:
R 1 = x, y ∈ ℝ 2 /x 2 = y 2 .
R 2 = x, y ∈ ℝ 2 /x 2 + y 2 = 1.
R 3 = x, y ∈ ℝ 2 /y = x 2 .
Então somente R 3 é uma aplicação.
Definição 2: Se f : E → F e g : E → F, então f = g se fx = gx, ∀x ∈ E.
Exercícios do livro: Página 95: todos.
18
IMAGEM DIRETA
Seja uma aplicação f : E → F.
Definição 3: Dado A ⊂ E. fA = fx/x ∈ A ⊂ F é a imagem direta de A, segundo f.
Dado B ⊂ F. f −1 B = x ∈ E/fx ∈ B ⊂ E é a imagem inversa de B, segundo f.
Exemplos:
1) Se E = 1, 3, 5, 7, 9, F = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 e f : E → F dada por fx = x + 1.
f1, 5, 7 =
fE =
f =
f −1 2, 4, 10 =
f −1 0, 12 =
2) Se E = F = ℝ e f : E → F dada por fx = x 2 .
f1, 2, 3 =
f0, 2 =
f−1, 3 =
f −1 0, 4, 16 =
f −1 1, 9 =
f −1 ℝ ∗−  =
3) Se E = F = ℝ e f : E → F dada por fx =
fℚ =
fℝ − ℚ =
f2, 3 =
f −1 0 =
f −1 4, 5 =
Exercícios do livro: Página 97: todos.
19
0 se x ∈ ℚ
1 se x ∈ ℝ − ℚ
APLICAÇÕES INJETORES E SOBREJETORAS
Seja uma aplicação f : E → F.
Definição 4: f é uma aplicação injetora se para ∀x 1 , x 2 ∈ E/x 1 ≠ x 2 ⇒ fx 1  ≠ fx 2  ou
∀x 1 , x 2 ∈ E/fx 1  = fx 2  ⇒ x 1 = x 2 .
OBS: f não é injetora se ∃x 1 , x 2 ∈ E/x 1 ≠ x 2 e fx 1  = fx 2 .
Definição 5: f é uma aplicação sobrejetora se Imf = F.
OBS:
1) Para provar que Imf = F é necessário provar que
Imf ⊂ F
F ⊂ Imf
. Imf ⊂ F já é válida
pela definição. Então, basta provar F ⊂ Imf, isto é, que ∀y ∈ F, ∃x ∈ E/fx = y.
2) f não é sobrejetora se ∃y ∈ F/∀x ∈ E, fx ≠ y.
Definição 6: f é uma aplicação bijetora ou bijeção quando f é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2, 3, 4 e f : E → F uma aplicação tal que
f = a, 1, b, 2, c, 3, d, 4 é injetora e não é sobrejetora.
2) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2 e f : E → F uma aplicação tal que
f = a, 0, b, 1, c, 2, d, 2 não é injetora e é sobrejetora.
3) Dada f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = 3x − 1 é bijetora.
4) Dada f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = x 2 não é injetora e não é sobrejetora.
Exercícios do livro: Página 100: Todos exceto 78.
20
APLICAÇÃO INVERSA
Proposição 1: Sejam f : E → F uma aplicação e f −1 a relação inversa de f. Uma condição
necessária e suficiente para que f −1 seja uma aplicação de F em E é que f seja bijetora. Isto é,
f é bijetora ⇔ f −1 é uma aplicação de F em E.
Dem:
21
OBS: f −1 
−1
=f
Exemplos:
1) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2, 3, 4 e f : E → F
f = a, 1, b, 2, c, 3, d, 4 é uma relação de E em F e f −1 = 1, a, 2, b, 3, c, 4, d é
uma relação inversa de F em E. Existe a relação inversa, mas f −1 não é uma aplicação
inversa, pois Df −1  = 1, 2, 3, 4 ≠ F.
2) Dados os conjuntos E = a, b, c, d e F = 0, 1, 2 e f : E → F .
f = a, 0, b, 1, c, 2, d, 2 é uma relação de E em F e f −1 = 0, a, 1, b, 2, c, 2, d é
uma relação inversa de F em E. Existe a relação inversa, mas f −1 não é uma aplicação
inversa, pois não é injetora.
3) Dada f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = 3x − 1 é bijetora, portanto f −1 =
aplicação inversa.
Exercícios do livro: Página 103: todos.
22
x+1
3
é
COMPOSIÇÕES DE APLICAÇÕES
Sejam f : E → F e g : F → G duas aplicações.
Definição 7: Chama-se composta de f e g a aplicação de E em G definida da seguinte
maneira:
gofx = gfx ∀x ∈ E
OBS:
1) A composta de f e g só está definida quando o contradomínio de f coincide com o
domínio de g.
2) A composta de f e g tem o mesmo domínio de f e o mesmo contradomínio de g.
3) Quando E = G, ou seja, f : E → F e g : F → E, então é possível definir, além de gof, a
composta de g e f, que é a aplicação de F em F que obedece à lei:
fogx = fgx ∀x ∈ F
4) gof ≠ fog, em geral.
Exemplos:
1) Sejam E = a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , F = b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5  e G = c 1 , c 2 , c 3 . Consideremos as
aplicações:
f = a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , a 3 , b 4 , a 4 , b 5  de E em F e
g = b 1 , c 1 , b 2 , c 1 , b 3 , c 2 , b 4 , c 2 , b 5 , c 3  de F em G. A aplicação composta gof : E → G é
dada por:
gof = a 1 , c 1 , a 2 , c 1 , a 3 , c 2 , a 4 , c 3 
Imgof =
Dgof =
f é injetora e não sobrejetora e g é sobrejetora e não injetora.
gof é não injetora e sobrejetora.
2) Sejam f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx = 3x e g : ℝ → ℝ uma aplicação tal que
gx = x 2 . A aplicação composta gof : ℝ → ℝ é dada por gofx = 9x 2 . E a aplicação composta
fog : ℝ → ℝ é dada por fogx = 3x 2 . Portanto gof ≠ fog.
3) Sejam f : ℝ → ℝ + uma aplicação tal que fx = 2 x e g : ℝ + → ℝ uma aplicação tal que
gx = x . A aplicação composta gof : ℝ → ℝ é dada por gofx = 2 x . E a aplicação
composta fog : ℝ + → ℝ + é dada por fogx = 2 x . Portanto gof ≠ fog.
4) Sejam f : ℝ → ℝ uma aplicação tal que fx =
x + 1 se x ≥ 0
−x + 1 se x < 0
aplicação tal que gx = 3x − 2.
A aplicação composta fog : ℝ → ℝ é dada por fogx =
23
e g : ℝ → ℝ uma
Proposição 2: Se f : E → F e g : F → G são aplicações injetoras, então gof é injetora
também.
Dem:
Proposição 3: Se f : E → F e g : F → G são aplicações sobrejetoras, então gof é
sobrejetora também.
Dem:
OBS: fog é injetora também, se estiver definida. fog é sobrejetora também, se estiver
definida.
24
OBS: Se uma aplicação é injetora e a outra é sobrejetora, nada podemos afirmar da
composta.
Exemplo: Sejam E = a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , F = b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5  e C = c 1 , c 2 , c 3 . Consideremos
as aplicações:
f = a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , a 3 , b 4 , a 4 , b 5  de E em F e
g = b 1 , c 1 , b 2 , c 1 , b 3 , c 2 , b 4 , c 2 , b 5 , c 3  de F em G.
A aplicação composta gof : E → G é dada por:
gof = a 1 , c 1 , a 2 , c 1 , a 3 , c 2 , a 4 , c 2 
Imgof =
Dgof =
f é injetora e não sobrejetora e g é sobrejetora e não injetora.
gof é não injetora e não sobrejetora.
Exercícios: Página 105: todos
APLICAÇÃO IDÊNTICA
Definição 8: Dado E ≠ . Chama-se aplicação idêntica de E a aplicação i E : E → E dada
pela lei i E x = x, ∀x ∈ E.
Proposição 4: Se f : E → F é bijetora, então fof −1 = i F e f −1 of = i E .
Dem:
25
Proposição 5: Se f : E → F e g : F → E, então
a) foi E = f
i F of = f
goi F = g
i E og = g
b) Se gof = i E e fog = i F , então f e g são bijetoras e g = f −1 .
Dem:
Exercícios do livro: Página 107: 94,95,98,99,100
26
OPERAÇÕES
Definição 9: Sendo E ≠ . Toda aplicação f : E × E → E recebe o nome de operação
sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E).
Notação: f : E × E → E
fx, y = x ∗ y
OBS: E é um conjunto munido da operação ∗.
Símbolos para operações:
+: adição
⋅: multiplicação
Δ, , , ×, ⊕, ⊗, ⊙, … : genéricos
Exemplos:
1) f : ℕ × ℕ → ℕ onde fx, y = x + y, operação de adição sobre ℕ.
2) f : ℕ ∗ × ℕ ∗ → ℕ ∗ onde fx, y = x y , operação de potenciação sobre ℕ ∗ .
3) f : ℚ ∗ × ℚ ∗ → ℚ ∗ onde fx, y = xy , operação de divisão sobre ℚ ∗ .
4) h : PE × PE → PE onde hX, Y = X ∩ Y, operação de interseção sobre PE,
conjunto das partes de E.
5) f : E × E → E, E = M mxn ℝ, onde fx, y = x + y, operação de adição sobre M mxn ℝ.
6) ϕ : E × E → E, E = ℝ ℝ conjunto das funções de ℝ em ℝ, f : ℝ × ℝ → ℝ e g : ℝ × ℝ → ℝ
onde ϕf, g = fog, operação de composição sobre ℝ ℝ .
Tábua de operação
Seja E = a 1 , a 2 , a 3 , … a n  finito com n > 1 e f : E × E → E onde a i ∗ a j = a ij .
∗
aj
ai
a ij
→ linha fundamental
↪ coluna fundamental
Exemplos: Faça a tábua para as seguintes operações definidas no conjunto E dado.
1) E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y
2) E = , a, b, a, b com x ∗ y = X ∪ Y.
3) E = 0, 1, 2, 3 com x ∗ y = resto da divisão em ℤ de x + y por 4.
Exercícios do Livro: Página 126: 132, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 142, 143.
27
Propriedades:
Seja E é um conjunto munido da operação ∗.
1) Associativa: x ∗ y ∗ z = x ∗ y ∗ z, para ∀x, y, z ∈ E.
Exemplos:
1) Adição em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.
2) Multiplicação em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.
3) Adição em M mxn K, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.
4) Multiplicação em M n K, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.
5) Composição de funções de ℝ em ℝ.
Contra-exemplos:
1) f : ℕ ∗ × ℕ ∗ → ℕ ∗ onde fx, y = x y , operação de potenciação sobre ℕ ∗ .
2) f : ℝ ∗ × ℝ ∗ → ℝ ∗ onde fx, y =
x
y
, operação de divisão sobre ℝ ∗ .
OBS: Quando a operação for associativa não precisa de parêntesis. Quando não for, é
obrigatório.
Exercícios do livro:
105c) E = ℝ + e x ∗ y = x 2 + y 2 é associativa.
x+y
105a) E = ℝ e x ∗ y = 2 não é associativa.
28
2) Comutativa:x ∗ y = y ∗ x, para ∀x, y ∈ E.
Exemplos:
1) Adição em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.
2) Multiplicação em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.
3) Adição em M mxn K, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.
Contra-exemplos:
1) Multiplicação em M n K, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ.
2) Composição de funções de ℝ em ℝ.
3) f : ℕ ∗ × ℕ ∗ → ℕ ∗ onde fx, y = x y , operação de potenciação sobre ℕ ∗ .
4) f : ℝ ∗ × ℝ ∗ → ℝ ∗ onde fx, y = xy , operação de divisão sobre ℝ ∗ .
5) f : ℤ × ℤ → ℤ onde fx, y = x − y, operação de subtração sobre ℤ.
Exercícios do livro:
108c) E = ℝ + e x ∗ y = x 2 + y 2 é comutativa.
x+y
108a) E = ℝ e x ∗ y = 2 é comutativa.
Tábua de operações
Uma operação ∗ é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal
principal.
Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y é comutativa
∗
1
2
3
6
1
2
3
6
Exercícios do Livro: Página 114: Todos exceto 107.
29
3) Elemento Neutro
Elemento neutro à esquerda para ∗: ∃e ∈ E/e ∗ x = x, ∀x ∈ E.
Elemento neutro à direita para ∗: ∃e ∈ E/x ∗ e = x, ∀x ∈ E.
Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para a operação ∗, dizemos que e é o
elemento neutro para essa operação.
Proposição 6: Se a operação ∗ sobre E tem um elemento neutro e, então ele é único.
Dem:
Exemplos:
1) Elemento neutro das adições em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ é o número 0.
2) Elemento neutro das multiplicações em ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ é o número 1.
3) Elemento neutro da adição em M mxn K, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ é a matriz
0 mxn (matriz nula).
4) Elemento neutro da multiplicação em M n K, onde K = ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ é a matriz I n
(matriz identidade).
5) Elemento neutro da composição de funções de ℝ em ℝ é a função idêntica I ℝ .
Contra-exemplos: Não tem elemento neutro
1) f : ℤ × ℤ → ℤ onde fx, y = x − y, operação de subtração sobre ℤ.
2) f : ℝ ∗ × ℝ ∗ → ℝ ∗ onde fx, y =
x
y
, operação de divisão sobre ℝ ∗ .
Exercícios do livro:
111c) E = ℝ + e x ∗ y = x 2 + y 2 . O elemento neutro é 0.
x+y
111a) E = ℝ e x ∗ y = 2 . Não tem elemento neutro.
30
Tábua de operações
Uma operação ∗ tem elemento neutro desde que exista um único elemento cujas linha e
coluna são, respectivamente, iguais à linha e coluna fundamentais.
Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y. O elemento neutro é o 6.
∗
1
2
3
6
1
2
3
6
Exercícios do livro: Página 116: Todos exceto 115.
4) Elementos simetrizáveis
Seja ∗ uma operação sobre E que tem elemento neutro e.
Dizemos que x ∈ E é um elemento simetrizável para essa operação se
∃x ′ ∈ E/x ′ ∗ x = e = x ∗ x ′ . O elemento x′ é chamado simétrico de x para a operação ∗.
Exemplos:
1) Elementos simetrizáveis de x ∈ ℤ da adição em ℤ é −x.
2) Elementos simetrizáveis de x ∈ ℤ da multiplicação em ℤ são 1 e −1 são simetrizáveis.
3) Elementos simetrizáveis de x ∈ ℚ da multiplicação em ℚ são 1x , x ≠ 0.
4) Elementos simetrizáveis de A ∈ M mxn K da adição em M mxn K, onde K = ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ
é −A.
5) Elementos simetrizáveis de A ∈ M n K da multiplicação em M n K, onde K = ℚ, ℝ ou ℂ,
somente se detA ≠ 0, é A −1 (matriz inversa).
6) Elementos simetrizáveis de f ∈ ℝ ℝ da função composta de ℝ ℝ , se somente se f é
bijetora, é f −1 (função inversa).
31
Tábua de operações
Um elemento a i é simetrizável quando o elemento neutro figura ao menos uma vez na
linha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal.
Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y. Somente 6 é simetrizável..
∗
1
2
3
6
1
2
3
6
Proposição 7: Seja ∗ uma operação sobre E que é associativa e tem elemento neutro e.
a) Se um elemento x ∈ E é simetrizável, então o simétrico de x é unico.
b) Se x ∈ E é simetrizável, então o seu simétrico x′ também é e x′′ = x.
c) Se x, y ∈ E são simetrizáveis, então x ∗ y é simetrizável e x ∗ y′ = y′ ∗ x′.
Dem:
OBS: Generalizando, por indução, Se a 1 , a 2 , a 3 , … a n são elementos de E simetrizáveis,
então a 1 ∗ a 2 ∗ a 3 ∗… ∗a n  ′ = a ′n ∗ a ′n−1 ∗… ∗a ′2 ∗ a ′1 .
32
Conjunto dos simetrizáveis
Definição 10: Se ∗ é uma operação sobre E com elemento neutro e, indica U ∗ E o
conjunto dos simetrizáveis de E para operação ∗.
U ∗ E = x ∈ E/∃x ′ ∈ E, x ′ ∗ x = e = x ∗ x ′  ≠ 
OBS: e ∈ U ∗ E, sempre.
Exemplos:
U + ℕ =
U + ℤ =
U + M n ℝ =
U ⋅ ℤ =
U ⋅ ℝ =
U ⋅ M n ℝ =
U o ℝ ℝ  =
Exercícios do livro:
116c) E = ℝ + e x ∗ y = x 2 + y 2 .
U ∗ ℝ +  =
x+y
U ∗ ℝ =
116a) E = ℝ e x ∗ y = 2 .
Exercícios do livro: Página 119: 116 e 117
5) Elementos regulares
Seja ∗ uma operação sobre E.
Dizemos que a ∈ E é um elemento regular (ou simplificável ou cumpre a lei do
cancelamento) à esquerda em relação à operação ∗ se para ∀x, y ∈ E/a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y, e
à direita em relação à operação ∗ se para ∀x, y ∈ E/x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y. Se a é elemento
regular à direita e à esquerda para a operação ∗, dizemos que a é regular para essa
operação.
Exemplos:
1) 3 é regular para adição em ℕ.
2) 3 é regular para multiplicação em ℤ.
3) 0 não é regular para multiplicação em ℤ.
4)
1 2
5)
0 0
33
3 4
1 1
é regular para adição em M 2 ℝ.
não é regular para multiplicação em M 2 ℝ.
Proposição 8: Se a operação ∗ sobre E é associativa, tem elemento neutro e e um
elemento a ∈ E é simetrizável, então a é regular.
Dem:
Conjunto dos regulares
Definição 11: Se ∗ é uma operação sobre E, indica R ∗ E o conjunto dos regulares de E
para operação ∗.
OBS:
1) Se a operação ∗ tem elemento neutro e, então e ∈ R ∗ E. Portanto, R ∗ E ≠ .
2) Se a operação ∗ é associativa e tem elemento neutro, então U ∗ E ⊂ R ∗ E.
Exemplos:
R + ℕ =
R + ℤ =
R + M n ℝ =
R ⋅ ℤ =
R ⋅ ℝ =
R ⋅ M n ℝ =
R o ℝ ℝ  =
Exercícios do livro:
R ∗ ℝ +  =
120c) E = ℝ + e x ∗ y = x 2 + y 2 .
x+y
120a) E = ℝ e x ∗ y = 2 .
R ∗ ℝ =
34
Tábua de operações
a é regular quando na linha e na coluna de a não há elementos iguais.
Exemplo: E = 1, 2, 3, 6 com x ∗ y = mdcx, y.
∗
1
2
3
6
1
2
3
6
Exercícios do livro: Página 120 : 120, 121,122,123.
6) Distributiva
Sejam ∗ e Δ duas operações sobre E.
Dizemos que Δ é distributiva à esquerda em relação à operação ∗ se para
xΔy ∗ z = xΔy ∗ xΔz ∀x, y, z ∈ E, e à direita em relação à operação ∗ se para
y ∗ zΔx = yΔx ∗ zΔx. Quando Δ é distributiva à direita e à esquerda para a operação ∗,
dizemos que Δ é distributiva em relação à operação ∗.
Exemplos:
1) Multiplicação em ℤ (ou ℝ) é distributiva em relação à adição em ℤ (ou ℝ).
2) Multiplicação em M n ℝ é distributiva em relação à adição em M n ℝ.
Contra-exemplos:
1) A potenciação em ℕ ∗ não é distributiva em relação à multiplicação em ℕ ∗ .
2) ℤ munido da operação de adição e da operação Δ onde aΔb = a 2 b. Δ não é distributiva
à direita em relação à adição.
35
3) Com a tábua E = 1, 2, 3, 4 com aΔb = a e ⊥ definida pela tábua
⊥ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
4 4 3 2 1
Δ é distributiva à direita em relação à operação ⊥.
Mas Δ não é distributiva à esquerda em relação a operação ⊥.
OBS:
1) Se a operação Δ é distributiva à esquerda em relação à operação ∗ e se Δ é
comutativa, então Δ também é distributiva à direita em relação à operação ∗.
2) Se a operação Δ é distributiva à direita em relação à operação ∗ e se Δ é comutativa,
então Δ também é distributiva à esquerda em relação à operação ∗.
3) Portanto, quando a operação Δ é comutativa, a distributiva unilateral de Δ em relação à
operação ∗ implica a distributiva de Δ em relação à operação ∗.
Exemplos:
A interseção de conjuntos é distributiva em relação à união e vice-versa.
Exercícios do livro:
Página 123: 125 e 126
Página 132: 144, 145, 147, 148, 149, 150, 151
36
PARTE FECHADA PARA UMA OPERAÇÃO
Definição 12: Sejam ∗ uma operação sobre E e A ≠ , A ⊂ E. Dizemos que A é uma
parte fechada de E para operação ∗ se, somente se, ∀x, y ∈ A verifica-se x ∗ y ∈ A.
Exemplos:
1) ℕ ≠ , ℕ ⊂ ℤ. ℕ é parte fechada para as operações + e ⋅ em ℤ.
2) ℚ ≠ , ℚ ⊂ ℝ. ℚ é parte fechada para as operações + e ⋅ em ℝ.
3) ℝ + ≠ , ℝ + ⊂ ℝ. ℝ + é parte fechada para a operação ⋅ em ℝ.
4) D 2 ℝ ≠ , D 2 ℝ ⊂ M 2 ℝ, onde D 2 ℝ é conjunto das matrizes diagonais 2 × 2.
D 2 ℝ é parte fechada para as operações + e ⋅ em M 2 ℝ.
Contra-exemplos:
1) ℤ − não é parte fechada para a operação ⋅ em ℝ, mas é para a operação + em ℝ.
2) ℝ − ℚ não é parte fechada para as operações + e ⋅ em ℝ.
Exercícios do livro: Página 123: 127, 128, 129 e 130.
37
CAPÍTULO 4 - GRUPO
DATA ___/___/___
Definição 1: Seja G ≠  munido de uma operação:
x, y  x ∗ y sobre G
A operação ∗ sobre G é chamada de grupo se essa operação se sujeita aos seguintes
axiomas:
1) Associatidade: x ∗ y ∗ z = x ∗ y ∗ z, para ∀x, y, z ∈ G.
2) Existência de Elemento neutro: ∃e ∈ G/e ∗ x = x ∗ e = x, ∀x ∈ G.
3) Existência de simétricos: ∀x ∈ G, ∃x ′ ∈ G/x ′ ∗ x = e = x ∗ x ′ .
Se a comutativa for válida, além dos axiomas anteriores, o grupo é chamado de grupo
abeliano (Em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829)). Se não for
válida a comutativa, o grupo é chamado de grupo não-abeliano.
Notação: G, ∗ G tem uma estrutura de grupo em relação à operação ∗.
G, + grupo aditivo (simétrico é chamado de oposto −x).
G, ⋅ grupo multiplicativo (simétrico é chamado de inverso x −1 ).
Exemplos:
1) ℤ, + grupo aditivo dos números inteiros.
2) ℚ, + grupo aditivo dos números racionais.
3) ℝ,+ grupo aditivo dos números reais.
4) ℂ, + grupo aditivo dos números complexos.
5) M n K, + grupo aditivo de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K =
ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ, ou qualquer outro conjunto K.
6) ℚ ∗ , ⋅ grupo multiplicativitivo dos números racionais.
7) ℝ ∗ ,⋅ grupo multiplicativo dos números reais.
8) ℂ ∗ , ⋅ grupo multiplicativo dos números complexos.
9) ℚ ∗+ , Δ onde aΔb = ab2 é um grupo abeliano.
10) ℝ, ⊥ onde a ⊥ b = a + b − 5 é um grupo abeliano.
38
Contra-exemplos:
1) ℤ, ⋅ não é grupo multiplicativo dos números inteiros.
2) ℝ ∗ × ℝ, ∗ onde a, b ∗ c, d = ac, bc + d é um grupo não-abeliano.
Propriedades
Seja (G,*) um grupo.
1) O elemento neutro do G, ∗ é único.
2) O elemento simétrico de cada elemento de G é único.
3) Se e é o elemento neutro, então o e′ = e.
4) a ′  ′ = a, ∀a ∈ G.
5) a ∗ b ′ = b ′ ∗ a ′ .
6) a 1 ∗ a 2 ∗ a 3 ∗… ∗a n  ′ = a ′n ∗ a ′n−1 ∗… ∗a ′2 ∗ a ′1
7) Todo elemento de G é regular para a operação ∗, ou seja,
∀x, y ∈ G/a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y e x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y.
8) No grupo G, a equação a ∗ x = b (ou x ∗ a = b) tem conjunto solução unitário,
constituído do elemento a′ ∗ b.
GRUPOS FINITOS
Definição 2: Um grupo G, ∗ em que G é finito, chama-se de grupo finito.
Definição 3: oG é o número de elementos de G, chamado de ordem do grupo.
Exemplo: G = −1, 1, G, ⋅ um grupo multiplicativo é grupo finito e oG = 2.
OBS:
Se o grupo finito G, ∗ é abeliano, então a sua tábua é simétrica em relação à diagonal
principal.
Exemplo: Tábua de um grupo finito G, ∗
G = a, b, c, e
∗ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
A operação ∗ é comutativa, associativa, tem elemento neutro, todo elemento é
simetrizável e regular.
39
GRUPOS IMPORTANTES
1) Grupos lineares de grau n (multiplicativo, não comutativo se n > 1)
M n k, ⋅ onde K = ℚ, ℝ ou ℂ não é grupo porque nem toda matriz tem um simétrico (é
inversível).
Seja GL n k = A ∈ M n k/ det A ≠ 0.
I n ∈ GL n k
GL n k é um grupo não-abeliano, chamado de grupo linear racional, real ou complexo, de
grau n conforme K = ℚ, ℝ ou ℂ
2) Grupos aditivos de classes de restos (comutativo)
ℤ m , + é um grupo abeliano, chamado de grupo aditivo das classes de restos módulo m.
Lembrando que ℤ m =  0 , 1 , … , m − 1 onde ∀ a , b ∈ ℤ m , chama-se soma a + b a classe
a + b.
0 é o elemento neutro de ℤ m .
O simétrico de a ∈ ℤ m é m − a.
Exemplo: ℤ 3 , +
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
3) Grupos multiplicativos de classes de resto.
ℤ m , ⋅ não é um grupo, apesar de 1 ser o elemento neutro, valer a associativa e
comutatica, nem todo elemento é simetrizável.
Exemplo: ℤ 4 , ⋅
⋅
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3 somente 1 e 3 são simétrizáveis.
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
OBS: ∀a, b ∈ ℤ m , chama-se produto a ⋅ b a classe a ⋅ b.
40
Exemplo: ℤ ∗4 , ⋅
⋅
1
2
3
1
1
2
2
2
0
3 não é grupo porque não é uma operação binária.
2
3
3
2
1
OBS: ℤ ∗m = ℤ m −  0  com operação ⋅ nem sempre é grupo multiplicativo abeliano.
Proposição 1: ℤ ∗m , ⋅ é um grupo multiplicativo abeliano se e somente se m é primo.
Dem:
41
4) Grupos das permutações
Permutação é o termo específico usado na teoria dos grupos para designar um bijeção
de um conjunto nele mesmo.
Definição 4: Seja E ≠ . Chama-se permutação de E toda função bijetora f de E em E
f : E → E.
OBS: Se E é finito, toda função injetora ou sobrejetora f : E → E é bijetora e, portanto, f é
uma permutação em E.
Exemplo: A função idêntica de E. I E : E → E. I E x = x, ∀x ∈ E é bijetora. Portanto, I E é
uma permutação de E.
f −1
Definição 5: O conjunto de todas as permutações de um conjunto E indica-se por SE.
SE = f : E → E/f é bijetora onde E = 1, 2, … , n.
Exemplo: SE, o é um grupo.
1) Associativa: fogoh = fogoh, ∀f, g, h ∈ SE.
2) Elemento neutro: foI E = I E of = f, ∀f ∈ SE.
3) Todo elemento f ∈ SE é simetrizável e seu simétrico é a permutação inversa
∈ SE.
fof −1 = f −1 of = I E
Portanto, SE, o é chamado o grupo das permutações sobre E.
42
OBS: SE, o onde E = 1, 2, … , n é de ordem n!, isto é, oSE = n!.
Definição 6: Chama-se S n para SE, o o grupo das permutações de ordem n ou grupo
simétrico de grau n.
OBS: SE, o é um grupo não-abeliano para n > 2.
Exemplos:
1) n = 1
oSE = 1 e E = a.
fa = a, ∀a ∈ E.
Então SE = I E  é um grupo abeliano.
2) n = 2
oSE = 2! = 2 e E = a, b.
a b
SE = f 1 , f 2  onde f 1 =
b a
e f2 =
a b
a b
.
A tábua fica:
o f1 f2
f1 f2 f1
f2 f1 f2
Portanto, SE, o é um grupo abeliano.
3) n = 3
oSE = 3! = 6 e E = 1, 2, 3.
SE = f 0 , f 1 , f 2 , g 1 , g 2 , g 3  onde f 0 =
1 2 3
g1 =
1 3 2
1 2 3
, g2 =
3 2 1
1 2 3
1 2 3
e g3 =
, f1 =
1 2 3
2 3 1
, f2 =
1 2 3
2 1 3
A tábua fica:
o
f0
f1
f2
g1 g2 g3
f0
f0
f1
f2
g1 g2 g3
f1
f1
f2
f0
g3 g1 g2
f2
f2
f0
f1
g 2 g 3 g 1 Tábua não é simétrica.
g1 g1 g2 g3
f0
f1
f2
g2 g2 g3 g1
f2
f0
f1
g3 g3 g1 g2
f1
f2
f0
Portanto, SE, o é um grupo. Mas C 3 = f 0 , f 1 , f 2  é um grupo abeliano.
43
1 2 3
3 1 2
,
GRUPOS DA SIMETRIA
1) Simetria do triângulo equilátero
Definição 7: Denomina-se simetria de um triângulo equilátero T qualquer aplicação
bijetora f : T → T que preserva distâncias.
Preservar distâncias significa que, se a e b são pontos arbitrários do triângulo, então a
distância de fa e fb é igual a distância de a e b.
FIGURA 1 - Simetria do triângulo equilátero (Rotação no sentido anti-horário)
Define-se T = 1, 2, 3 o conjunto dos vértices do triângulo, D 3 = R 0 , R 1 , R 2 , X, Y, Z o
conjunto das simétrias do triângulo:
R 0 , R 1 , R 2 as rotações de 0 ∘ , 120 ∘ e 240 ∘ em torno do seu centro O, no sentido anti-horário;
X, Y, Z as reflexões de π radianos em torno das retas x, y e z.
dadas por:
1 2 3
R0 =
1 2 3
1 2 3
X=
, R1 =
2 3 1
1 2 3
,Y =
1 3 2
1 2 3
3 2 1
, R2 =
eZ =
1 2 3
3 1 2
,
1 2 3
2 1 3
D 3 , o é um grupo não-abeliano, pois R 0 é o elemento neutro, todos os elementos são
simétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não é
válida a comutativa.
A tábua fica:
R0 R1 R2
X
Y
Z
R0 R0 R1 R2
X
Y
Z
R1 R1 R2 R0
Z
X
Y
R2 R2 R0 R1
Y
Z
X . A composta de duas rotações é uma rotação. A composta
X
X
Y
Z
R0 R2 R1
Y
Y
Z
X
R1 R0 R2
Z
Z
X
Y
R2 R1 R0
o
de duas reflexões é uma rotação.A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa
é uma reflexão.
44
2) Simetria do quadrado
Definição 8: Denomina-se simetria de um quadrado Q qualquer aplicação bijetora
f : Q → Q que preserva distâncias.
FIGURA 3 - Simetria do quadrado (Rotação no sentido anti-horário)
Define-se Q = 1, 2, 3, 4 o conjunto dos vértices do quadrado,
D 4 = R 0 , R 1 , R 2 , R 3 , X, Y, Z, W o conjunto das simétrias do quadrado:
R 0 , R 1 , R 2 ,R 3 as rotações de 0º, 90º, 180º e 270º em torno do seu centro O, no sentido
anti-horário;
X, Y, Z, W as reflexões de π radianos em torno das retas x e y, e z e w.
dadas por:
R0 =
X=
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 4 3 2
, R1 =
,Y =
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
3 2 1 4
, R2 =
,Z =
1 2 3 4
3 4 1 2
1 2 3 4
2 1 4 3
, R3 =
,W =
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
4 3 2 1
D 4 , o é um grupo não-abeliano, pois R 0 é o elemento neutro, todos os elementos são
simétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não é
válida a comutativa.
45
A tábua fica:
o
R0 R1 R2 R3
X
Y
Z
W
R0 R0 R1 R2 R3
X
Y
Z
W
R1 R1 R2 R3 R0
Z
W
Y
X
R2 R2 R3 R0 R1
Y
X
W
Z
R3 R3 R0 R1 R2
W
Z
X
Y .
X
X
Z
Y
W R0 R2 R1 R3
Y
Y
W
X
Z
R2 R0 R3 R1
Z
Z
Y
W
X
R3 R1 R0 R2
W
W
X
Z
Y
R1 R3 R2 R0
A composta de duas rotações é uma rotação.
A composta de duas reflexões é uma rotação.
A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão.
PRODUTO DIRETO
Sejam G e L grupos multiplicativos (ou aditivos).
G × L, ⋅ é um grupo. Se G e L forem abelianos, então G × L, ⋅ também será.
G × L, ⋅ onde a, b ⋅ c, d = ac, bd, ∀a, b, c, d ∈ G × L.
Provando que é um grupo.
1) Associativa: a. b ⋅ c, d ⋅ e, f = ac, bd ⋅ e, f = ace, bdf = ace, bdf =
a, b ⋅ ce, df = a, b ⋅ c, d ⋅ e, f
2) Elemento neutro: se e G e e L são elementos neutros de G e L, respectivamente, então
e G , e L  é o elemento neutro de G × L.
3) Elemento oposto: Se a, b ∈ G × L e a′ e b′ os inversos de a e b em G e L. Então
a, b ⋅ a ′ , b ′  = aa ′ , bb ′  = e G , e L 
Exercícios do livro: Página 155: 1 a 6, 8,11,14 a 20.
46
SUBGRUPOS
Definição 8: Seja G, ∗ um grupo. Diz-se que um subconjunto não-vazio H ⊂ G é
subgrupo de G se:
a) H é fechado para operação ∗, isto é, ∀a, b ∈ H, a ∗ b ∈ H.
b) H, ∗ também é um grupo.
Exemplos:
1) ℤ ⊂ ℝ é fechado para a operação + em ℝ.
ℤ, + é um grupo.
Portanto, ℤ, + é um subgrupo de ℝ.
2) P, + dos números inteiros pares é um subgrupo de ℤ, +.
3) I, + dos números inteiros ímpares não é um subgrupo de ℤ, +.
4) ℤ, + é um subgrupo de ℚ, +, que é de ℝ, +.
5) ℚ ∗ , + é um subgrupo de ℝ ∗ , +.
6) Sejam S 3 = f 0 , f 1 , f 2 , g 1 , g 2 , g 3 , conjunto das permutações, e C 3 = f 0 , f 1 , f 2  ⊂ S 3 . C 3 é
fechado para a composição de funções. C 3 é subgrupo de S 3.
OBS:
1) A associatividade da operação ∗ em G garante a associatividade desta operação em H,
porque H ⊂ G.
2) O elemento neutro e de um grupo G, ∗ também é o elemento neutro de todos os seus
subgrupos.
3) O simétrico de ∀a ∈ H no subgrupo H, ∗ coincide com o simétrico de a ∈ G no grupo
G, ∗.
47
OBS: Todo grupo G, ∗ em que o conjunto G tem mais de um elemento admite pelo
menos dois subgrupos:
G, ∗
e, ∗
chamados de subgrupos triviais ou impróprios de G.
Exemplos:
ℤ 4 , +
1) Todos subgrupos de ℤ 4 , + :
 0 , +
. Mas  0 , 3 , + não é subgrupo de
 0 , 2 , +
ℤ 4 , +.
ℤ 6 , +
2) Todos subgrupos de ℤ 6 , + :
 0 , +
 0 , 3 , +
.
 0 , 2 , 4 , +
∗ e a b c
e, a, b, c, ∗
e e a b c
e, ∗
3) Todos os subgrupo de e, a, b, c, ∗ onde a a e c b são
e, a, ∗
b b c e a
e, b, ∗
c c b a e
e, c, ∗
.
O par e, a, b, ∗ não é subgrupo pois a ∗ b = c ∉ e, a, b, c.
4) Todos os subgrupos do grupo D 3 , o das simetrias do triângulo equilátero, onde
D 3 , o
R 0 , o
D 3 = R 0 , R 1 , R 2 , X, Y, Z são:
R 0 , X, o
R 0 , Y, o
.
R 0 , Z, o
R 0 , R 1 , R 2 , o
Teorema 1: Sejam G, ∗ um grupo e H uma parte não vazia de G. O par H, ∗ é um
subgrupo de G, ∗ se, e somente se, são válidas as duas seguintes condições:
1) ∀a, b ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H.
2) ∀a ∈ H ⇒ a ′ ∈ H.
Dem:
48
Teorema 2: Sejam G, ∗ um grupo e H uma parte não vazia de G. O par H, ∗ é um
subgrupo de G, ∗ se, e somente se, é válida aseguinte condição: ∀a, b ∈ H ⇒ a ∗ b ′ ∈ H.
Dem:
Exemplo: Consideremos ℝ 2 , + onde a, b + c, d = a + c, b + d e o conjunto
H = x, y ∈ ℝ 2 /y = 2x.
Mostrar que H, + é um subgrupo do ℝ 2 , +.
Exercícios do livro: Página 158: 28,29,31 a 34, 36 a 39, 41,42,44.
49
HOMOMORFISMO E ISOMORFISMOS DE GRUPOS
Definição 9: Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo G, ∗ num grupo J, Δ a
toda aplicação f : G → J tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ G tem-se fx ∗ y = fxΔfy.
OBS: Se J = G e a operação é a mesma, chama-se homomorfismo de G.
Definição 10: Seja f : G → J um homomorfismo de grupos. Se f for também uma bijeção,
então será chamada de isomorfismo do grupo G, ∗ no grupo J, Δ. Neste caso, diz-se que f
é um isomorfismo de grupos.
OBS: Se J = G e a operação é a mesma, f é um isomorfismo de G.
Notação: G, ∗ ≅ J, Δ.
Exemplos:
1) Sejam ℝ, + um grupo aditivo e ℝ ∗+ , ⋅ grupo multiplicativo. A função f : ℝ → ℝ ∗+ dada
por fx = 2 x é um homomorfismo de ℝ, + em ℝ ∗+ , ⋅.
É um homomorfismo injetor? sim
É um homomorfismo sobrejetor? sim
É um isomorfismo de grupos? sim
2) Sejam ℂ ∗ , ⋅ um grupo multiplicativo e ℝ ∗+ , ⋅ grupo multiplicativo. A função f : ℂ ∗ → ℝ ∗+
dada por fz = |z| é um homomorfismo de ℂ ∗ , ⋅ em ℝ ∗+ , ⋅.
É um homomorfismo injetor? não
É um homomorfismo sobrejetor? sim
É um isomorfismo de grupos? não
3) Sejam ℤ, + um grupo aditivo e ℤ m , + grupo aditivo com m > 1. A função f : ℤ → ℤ m
dada por fx = x é um homomorfismo de ℤ, + em ℤ m , +.
É um homomorfismo injetor? não
É um homomorfismo sobrejetor? sim
É um isomorfismo de grupos? não
4) Sejam M 2 ℝ, + um grupo aditivo e ℝ, + grupo aditivo. A função f : M 2 ℝ → ℝ dada
por f
a b
c d
= a + d é um homomorfismo de M 2 ℝ, + em ℝ, +.
É um homomorfismo injetor? não
É um homomorfismo sobrejetor? sim
É um isomorfismo de grupos? não
5) Sejam ℝ ∗+ , ⋅ grupo multiplicativo e ℝ, + um grupo aditivo. A função f : ℝ ∗+ → ℝ dada
por fx = log x é um isomorfismo de ℝ ∗+ , ⋅ em ℝ, +.
50
6) Sejam ℤ 4 , + um grupo aditivo e G, ⋅ grupo multiplicativo onde G = ±i, ±1 cuja a
tábua é dada por:
⋅
1
−1
i
−i
1
1
−1
i
−i
−1 −1
1
−i
i . A função f : ℤ 4 → G dada por f 0  = 1, f 1  = i, f 2  = −1 e
i
i
−i −1
1
−i
−i
i
1
−1
f 3  = −i é um isomorfismo de ℤ 4 , + em G, ⋅. Mas não é única: g : ℤ 4 → G dada por
g 0  = 1, g 1  = −i, g 2  = −1 e g 3  = i é um isomorfismo de ℤ 4 , + em G, ⋅ também.
Propriedades
Sejam G, ∗ e J, Δ dois grupos cujos elementos neutros respectivos são e 1 e e 2 e
f : G → J um homomorfismo de G, ∗ em J, Δ.
1) fe 1  = e 2
2) Se ∀a ∈ G, então fa −1  = fa −1 .
3) fa ∗ b −1  = faΔfb −1
4) Se H é um subgrupo de G, então fH é um subgrupo de J.
Dem:
51
Proposição 1: Sejam G, J, e L grupos. Se f : G → J e g : J → L são homomorfismos de
grupos, então o mesmo se pode dizer de gof: G → L.
Dem:
Corolário 1: Se f e g são homomorfismo injetores (sobrejetores) então gof também é
homomorfismo injetor (sobrejetor).
Proposição 2: Se f : G → J é um isomorfismos de grupos, então f −1 : J → G também é
um isomorfismo de grupos.
Dem:
Exercícios do livro: Páginas 171: 48,49,52,54, 55, 56, 58 (sem fazer o núcleo quando é
pedido), 59, 60,62,63,64,66,67 e 68,
52
GRUPOS CÍCLICOS
Definição 11: Seja G, ⋅ grupo multiplicativo. Se a ∈ G e m ∈ ℤ, então a m ∈ G definido da
seguinte maneira:
Se m ≥ 0, então a 0 = e elemento neutro de G e a m = a m−1 ⋅ a se m ≥ 1.
Se m < 0, então a m = a −m  −1
OBS: e m = e.
Exemplo: ℤ ∗5 , ⋅.
Proposição 3: Seja G, ⋅ grupo multiplicativo. Se m e n são números inteiros e a ∈ G,
então:
1) a m ⋅ a n = a m+n
2) a −m = a m  −1
3) a m  n = a mn
Definição 12: Seja G, + grupo aditivo. Se a ∈ G e e m ∈ ℤ, a ⋅ m ∈ G definido da seguinte
maneira:
Se m ≥ 0, então 0 ⋅ a = e elemento neutro de G e m ⋅ a = m − 1 ⋅ a + a se m ≥ 1.
Se m < 0, então m ⋅ a = −−m ⋅ a
Proposição 4: Seja G, + grupo aditivo. Se m, n ∈ ℤ e a ∈ G, então:
1) ma + na = m + na
2) −ma = −ma
3) nma = nma
Definição 13: Se a ∈ G onde G, ⋅ é um grupo multiplicativo. Define-se
a = a m /m ∈ ℤ = a 0 , a 1 , a 2 , … , a m , … 
onde a ⊂ G e a ≠ 
Proposição 5:
1) O subconjunto a é um subgrupo abeliano de G.
2) Se H é um subgrupo de G ao qual a pertence, então a ⊂ H.
OBS: De 2), tem-se que a é o menor subgrupo de G que inclui o elemento a.
Dem:
53
Definição 14: Um grupo multiplicativo G será chamado de grupo cíclico se, para algum
elemento a ∈ G, se verificar a igualdade a = G.
Nessas condições, o elemento a é chamado gerador do grupo G.
G = a m /m ∈ ℤ para algum a ∈ G.
OBS:
1) No caso do grupo aditivo
G = ma/m ∈ ℤ = … , −2a, −a, e = 0. a, a, 2a, … 
2) a não é necessariamente infinito.
3) Um grupo cíclico pode ter mais do que um gerador.
Teorema 3: Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.
Dem:
Exemplos:
1) ℝ ∗ , ⋅ grupo multiplicativo
−1 ∈ ℝ ∗ e temos −1 = −1 m /m ∈ ℤ = −1, +1.
Portanto, −1, +1, ⋅ é um grupo cíclico de ℝ ∗ , ⋅ gerado pelo elemento −1.
2) ℤ, + é um grupo cíclico pois 1 ∈ ℤ é um elemento gerdor, assim com −1 ∈ ℤ também
é.
ℤ = 1k/k ∈ ℤ = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … 
3) ℤ, + grupo aditivo.
3ℤ = 3k/k ∈ ℤ = … , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, … 
3ℤ, + é um subgrupo cíclico de ℤ, + gerado pelo elemento 3 ou −3.
4) 1, −1, i, −i, ⋅ é um grupo cíclico pois i é um elemento gerador, assim com −i também
é.
54
∗ 3 5 7 9
3 3 5 7 9
5) 3, 5, 7, 9, ∗ definido pela tábua é um grupo cíclico, 5 5 7 9 3 . 5 é o elemento
7 7 9 3 5
9 9 3 5 7
gerador. 9 também é.
6)ℤ 5 , + é um grupo cíclico. 3 é o elemento gerador. Mas 1 , 2 e 4 também são.
7) Devido à teorema anterior, são subgrupo cíclicos de ℤ
0 = 0
1 = −1 = ℤ
2 = −2 = … , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, … 
3 = −3 = … , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, … 
55
Teorema: Em grupo cíclico finito de ordem n, para o qual a é o elemento gerador, n é o
menor número natural tal que a n = e
Definição 15: A ordem, de um subgrupo cíclico finito é igual ao menor número natural n
para qual a n = e n. a = e para n ≥ 1.
Exemplos:
1) ℝ ∗ , ⋅ grupo multiplicativo. Subgrupo cíclico gerado por -1 é −1, ⋅ = −1, 1, ⋅.
o−1 = o−1 = 2.
Portanto, −1, ⋅ tem ordem finita.
2) ℤ 6 , + grupo aditivo.
2, + =  0 , 2 , 4 , +
o 2  = 3 tem ordem finita.
o 0  = 1, o 3  = 2, o 1  = o 5  = 6, o4 = 3
3) No grupo das permutações S 3 , o, a ordem do elemento g 2 ∈ S 3 é 3, onde
S 3 = f 0 , f 1 , f 2 , g 1 , g 2 , g 3 
g 2 , o = f 0 , g 2 , g 3 , o
= 1, o f 1
= o f2
= og 3  = 2, og 1  = 3.
o f0
Exercícios do livro: Página 183: 74, 75,76, 78 a 82, 84 a 87, 94 a 98.
56
Capítulo IV:
Página 155; 1,4,7,14 a 20.
Página 158: 28,29,31,32,36,38
Página 160: 39,41,44
Página 171: 48,49
Página 172: 54,59,60,62,63,64,66,67
Página 183: 74,82,85,86
57
CAPÍTULO 5 - ANEL
DATA ___/___/___
Definição 1: Seja A ≠  munido de duas operações:
x, y  x + y adição
x, y  x. y multiplicação
O conjunto A com as duas operações é chamado anel se:
1) A, + é um grupo abeliano
2) Se x, y, z ∈ A, então xyz = xyz
3) Se x, y, z ∈ A, então xy + z = xy + xz e x + yz = xz + yz
Isto é, os itens 2 e 3 dizem que a multiplicação é associativa e distributiva em relação à
adição.
Obs: Adição e multiplicação podem ser outras operações, como ∗ e Δ.
Notação: A, +, ⋅ ou A, ∗, Δ
Exemplos:
1) (ℤ,+,⋅) anel dos números inteiros.
2) (ℚ,+,⋅) anel dos números racionais.
3) (ℝ,+,⋅) anel dos números reais.
4) (ℂ,+,⋅) anel dos números complexos.
5) (M n K, +,⋅ anel de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K = ℤ, ℚ, ℝ ou
ℂ, ou qualquer outro anel K.
6) (ℤ m ,+,⋅) anel das classes de resto módulo m, m > 1.
7) A, +, ⋅ é um anel das funções de ℤ em ℤ onde A = ℤ ℤ = f/f : ℤ → ℤ.
Se f, g ∈ A, define-se soma f + g e produto f ⋅ g como sendo:
f + g : ℤ → ℤ e f + gx = fx + gx, ∀x ∈ ℤ
f ⋅ g : ℤ → ℤ e fgx = fx ⋅ gx, ∀x ∈ ℤ
58
Obs: Sejam A um anel e X ≠  um conjunto. A X , +, ⋅ é um anel onde f : X → A, com as
operações análogas ao que foi feito em ℤ ℤ .
8) Sejam X = a, b, A = ℤ 2 = 0, 1. e f uma função f : X → ℤ 2 onde:
f=
9) A =
a b
0 0
,g =
a b
1 1
,h =
a b
0 1
eu =
a b
1 0
. A X , +, ⋅ é um anel.
a + b 3 /a, b ∈ ℤ . A, +, ⋅ é um anel.
10) 0 A , +, ⋅ é um anel.
Propriedades:Seja A, +,⋅ um anel.
Como (A,+) é um grupo abeliano, tem-se:
1) O elemento neutro O A é único (é o elemento neutro do A, +).
2) O oposto −a de um elemento de A do anel é único.
3) Se a 1 , a 2, … , a n ∈ A, então −a 1 + a 2 +… +a n  = −a 1  + −a 2  +… +−a n .
4) Se a ∈ A, então −−a = a.
5) Se a + x = a + y, então x = y (Todo elemento de A é regular). Vale a lei do cancelamento
para adição.
6) A equação a + x = b tem uma e única solucão (x = b + −a).
7) Se a ∈ A, então a. 0 A = 0 A . a = 0 A .
59
8) Se a, b ∈ A, então a−b = −ab = −ab.
9) Se a, b ∈ A, então −a. −b = a. b.
Definição 2: Sejam a, b ∈ A. Chama-se diferença entre a e b e indica-se por a − b o
elemento a + −b ∈ A.
Portanto, a − b = a + −b.
10) Se a, b, c ∈ A, então ab − c = ab − ac e a − bc = ac − bc.
Exercícios do livro: Página 226: 1,2,4,5,12,16,17 e 18.
TIPOS DE ANÉIS
1. Anel comutativo
Definição 3: Seja A um anel. Se a multiplicação de A goza da propriedade comutativa,
isto é, ab = ba para quaisquer a, b ∈ A, então se diz que A é um anel comutativo.
Exemplos:São anéis comutativos:
1) ℤ, +, ⋅ anel dos números inteiros.
2) ℚ, +, ⋅ anel dos números racionais.
3) ℝ, +, ⋅ anel dos números reais.
4) ℂ, +, ⋅ anel dos números complexos.
5) ℤ m , +, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.
6) A X , +, ⋅
60
Contra-exemplo: M n K, +, ⋅.
2. Anel com unidade
Definição 4: Seja A um anel. Se A conta com elemento neutro para a multiplicação, isto é,
se existe um elemento 1 A ∈ A, 1 A ≠ 0 A tal que:
a ⋅ 1 A = 1 A ⋅ a = a, ∀a ∈ A
então se diz que 1 A é a unidade de A e que A é um anel com unidade.
Exemplos:
1) ℤ, +, ⋅ anel dos números inteiros.
2) ℚ, +, ⋅ anel dos números racionais.
3) ℝ, +, ⋅ anel dos números reais.
4) ℂ, +, ⋅ anel dos números complexos.
5) ℤ m , +, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.
6) M n K, +, ⋅ anel de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K = ℤ, ℚ, ℝ ou
ℂ.
7) A X , +, ⋅ um anel com unidade.
u : X → A onde ux = 1 A é a unidade do anel A X .
∀f ∈ A X e ∀x ∈ X / f ⋅ ux = fx ⋅ ux = fx ⋅ 1 A = fx.
Contra-exemplo: nℤ, +, ⋅ não possuem unidade quando n ≠ ±1.
Exemplo: ℤ 4 , +, ⋅
+ 0 1 2 3
⋅ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 1 2 3 0
1 0 1 2 3
2 2 3 0 1
2 0 2 0 2
3 3 0 1 2
3 0 3 2 1
61
Potências em um anel
Definição 4:. Seja A um anel com unidade. Se a ∈ A e n é um número natural, define-se
n
a por recorrência:
a0 = 1A
a n+1 = a n ⋅ a n ≥ 0
Propriedades:Seja A um anel com unidade. Se a ∈ A e n, m são um números naturais,
então:
1) a m ⋅ a n = a m+n
2) a m  n = a mn
3. Anéis comutativos com unidade
Definição 5: Um anel cuja multiplicação é comutativa e que possui unidade chama-se
anel comutativo com unidade.
Exemplos:
1) ℤ, +, ⋅ anel dos números inteiros.
2) ℚ, +, ⋅ anel dos números racionais.
3) ℝ, +, ⋅ anel dos números reais.
4) ℂ, +, ⋅ anel dos números complexos.
5) ℤ m , +, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.
6) A X , +, ⋅ um anel com unidade.
62
4. Anéis Finitos
Definição 6: Seja A, +, ⋅ um anel. Se A é um conjunto finito então A, +, ⋅ é um anel
finito.
Exemplos:
1) ℤ m , +, ⋅ anel das classes de resto módulo m, m > 1.
2) A M , +, ⋅ onde M é um conjunto finito de m elementos e A um conjunto finito de a
elementos. Então A M tem a m elementos.
SUBANÉIS
Definição 7: Sejam A, +, ⋅ um anel e L um subconjunto não vazio de A. Diz-se que L é
um subanel de A se:
1) L é fechado para as operações que dotam o conjunto A da estrutura de
anel:
∀a, b ∈ L ⇒ a + b ∈ L
∀a, b ∈ L ⇒ a ⋅ b ∈ L
.
2) L, +, ⋅ também é um anel.
Exemplos:
1) ℤ é um subanel de ℚ, ℝ e ℂ.
2) ℚ é um subanel de ℝ e ℂ.
3) ℝ é um subanel de ℂ
4) M n ℤ é um subanel de M n ℚ, M n ℝ e M n ℂ.
5) M n ℚ é um subanel de M n ℝ e M n ℂ.
5) M n ℝ é um subanel de M n ℂ.
6) Seja B = a + b 3 /a, b ∈ ℤ . B, +, ⋅ é um subanel de ℝ, +, ⋅.
Obs: Todo anel não-nulo A, +, ⋅ admite pelo menos dois subáneis: A, +, ⋅ e 0, +, ⋅.
63
Proposição 1: Sejam A um anel e L ⊂ A, L ≠ . Então L é um subanel de A, se e somente
se, se a − b ∈ L e a. b ∈ L, sempre que a, b ∈ L.
Dem:
Obs: A proposição acima pode ser enunciada como: Sejam A um anel e L
⊂ A, L ≠ . Então L é um subanel de A se e somente se, L é um subgrupo do grupo aditivo
A, + e a. b ∈ L, sempre que a, b ∈ L.
Exemplos:
1) B é um subanel de ℝ, onde B =
a + b 2 /a, b ∈ ℤ
=ℤ
2 .
2) A, +, ⋅ é um anel das funções de ℝ em ℝ onde A = ℝ ℝ = f/f : ℝ → ℝ.
L = f ∈ A/f1 = 0 é um subanel de A.
64
Sejam A um anel com unidade e L um subanel de A. As seguintes possibilidades podem
ocorrer:
1) L possui unidade e essa unidade é a mesma de A.
Ex: ℤ subanel de ℚ.
2) L não possui unidade, mesmo A sendo um anel com unidade.
Ex: 2ℤ subanel de ℤ.
3) L e A são anéis com unidade, mas as unidades são diferentes.
Ex: L =
1 0
0 0
a 0
0 0
/a ∈ ℝ
é subanel de M 2 ℝ.
1 0
0 1
é unidade de M 2 ℝ e
é unidade de L.
Sejam A um anel e L um subanel de A. As seguintes possibilidades podem ocorrer:
4) Nem L nem A possuem unidades.
Ex: 4ℤ subanel de 2ℤ.
5) A não é um anel com unidade, mas L possui unidade.
Ex: A = 2ℤ × ℤ não possui unidade.
L = 0 × ℤ é subanel de A cuja unidade é o par 0, 1.
Exercícios do livro: Página 226: 3,6,9,10,12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29.
65
HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO DE ANÉIS
Definição 8: Dá-se o nome de homomorfismo de um anel A, +, ⋅ num anel B, +, ⋅ a toda
aplicação:
f : A → B/∀x, y ∈ A : fx + y = fx + fy e fxy = fxfy.
Obs:
1) Se A = B com as mesmas operações, então f será chamada de homomorfismo de A.
2) Se f é injetor, então f é um homomorfismo injetor.
3) Se f é sobrejetor, então f é um homomorfismo sobrejetor.
Definição 9: Sejam A, +, ⋅ e B, ∗, T dois anéis e f : A → B um homomorfismo de A, +, ⋅
e B, ∗, T. Diz-se que o homomorfismo f é um isomorfismo de A, +, ⋅ em B, ∗, T, se e
somente se, a função é bijetora.
Exemplos:
1) f : A → B com A, +, ⋅ e B, ∗, T
fx = 0 B x ∈ A é um homomorfismo de anéis.
2) f : ℤ → ℤ 2 com ℤ, +, ⋅ e ℤ 2 , ∗, T com a, b ∗ c, d = a + c, b + d e
a, bTc, d = ac, bd.
fx = x, 0 é um homomorfismo de ℤ, +, ⋅ em ℤ 2 , ∗, T.
3) ℤ
f:ℤ
66
2
2
= a + b 2 /a, b ∈ ℤ
→ ℤ 2 onde f(a + b 2  = a − b 2 . f é um homomorfismo em ℤ
2 .
4) Sejam ℝ, +, ⋅ e ℝ, ∗, T onde a ∗ b = a + b + 1 e aTb = a + b + ab.
f : ℝ → ℝ definida como fx = x − 1 é um isomorfismo de ℝ, +, ⋅ em ℝ, ∗, T.
5) Sejam ℝ, +, ⋅ e A, +, ⋅ onde A = a, a/a ∈ ℝ.
f : ℝ → A definida como fx = x, x é um isomorfismo de ℝ, +, ⋅ em A, +, ⋅.
6) f : ℤ
2
→ℤ
2
onde fa + b 2  = a − b 2 . f é um isomorfismo em ℤ
2 .
7) Sejam ℤ 6 , +, ⋅ e ℤ 2 × ℤ 3 , +, ⋅
f : ℤ 6 → ℤ 2 × ℤ 3 definida como f a  =  a , a  é um isomorfismo de ℤ 6 , +, ⋅ e ℤ 2 × ℤ 3 , +, ⋅.
Se substituirmos as entradas das tábuas +, ⋅ de ℤ 6 pelos correspondes elementos
correspondentes de ℤ 2 × ℤ 3 , obtém-se como resultado exatamente as tábuas de ℤ 2 × ℤ 3
ℤ6 ℤ2 × ℤ3
0
0, 0
1
1, 1
2
0, 2
3
1, 0
4
0, 1
5
1, 2
67
Contra-exemplo:
1) f : ℤ → 2ℤ com ℤ, +, ⋅ e 2ℤ, +, ⋅. fx = 2x não é um homomorfismo de ℤ, +, ⋅ em
2ℤ, +, ⋅.
2) Sejam ℤ 4 , +, ⋅ e ℤ 2 × ℤ 2 , +, ⋅. ℤ 4 e ℤ 2 × ℤ 2 não são isomorfos.
ℤ4 ℤ2 × ℤ2
0
0, 0 
1
1, 1 
2
0, 0 
3
1, 1 
Proposição 2: Se f : A → B é um homomorfismo de anéis, então:
1) f0 A  = 0 B
2) f−a = −fa
3) fa − b = fa − fb
Teorema 1: Se f : A → B um homomorfismo sobrejetor de anéis e suponhamos que A
possua unidade. Então
1) f1 A  é a unidade de B e, portanto, B também é um anel com unidade.
2) Se a ∈ A é inversível, então fa também é e fa −1 = fa −1 .
Dem:
68
Contra-exemplo: f : ℤ → ℤ 2 com fx = x, 0 é homomorfismo, mas não é sobrejetor, pois
Imf = n, 0/n ∈ ℤ ≠ ℤ 2 . Neste caso, f1 = 1, 0 ≠ 1, 1.
Proposição 3: Se f : A → B um homomorfismo de anéis e L é um subanel de A, então fL
é um subanel de B.
Dem:
Exemplo: f : ℤ → ℤ 2 com fx = x, 0 é homomorfismo, então Imf = n, 0/n ∈ ℤ é um
subanel de ℤ 2 .
Proposição 4: Sejam f : A → B e f : B → C homomorfismos de anéis. Então, gof : A → C
também é um homomorfismo de anéis.
Dem:
69
Definição 10: Sejam A um anel e L um subanel de A, ambos com unidade. Se 1 A = 1 L ,
diz-se que L é um subanel unitário de A.
Exemplo: L é um subanel do anel ℝ, +, ⋅. L possui unidade, então essa unidade é a
mesma de ℝ, ou seja, é o número real 1.
Proposição: Se f : A → B um isomorfismo de anéis. Então f −1 : B → A também é um
isomorfismo de anéis.
Dem:
70
ANEL DE INTEGRIDADE
Definição 11: Seja A um anel comutativo com unidade. Se para esse anel vale a lei do
anulamento do produto, ou seja, se um igualdade do tipo
ab = 0 A
em que a, b ∈ A, só for possível para a = 0 A ou b = 0 A . Então se diz que A é um anel de
integridade ou domínio.
Isto é, se a ≠ 0 A e b ≠ 0 A , então ab ≠ 0 A para ∀a, b ∈ A.
Se ab = 0 A , então a = 0 A ou b = 0 A .
Exemplos: São anéis de integridade:
1) ℤ, +, ⋅ anel dos números inteiros.
2) ℚ, +, ⋅ anel dos números racionais.
3) ℝ, +, ⋅ anel dos números reais.
4) ℂ, +, ⋅ anel dos números complexos.
Contra-exemplos:
1) 6ℤ, +, ⋅ não é um anel de integridade, onde 6ℤ = 0, ±6, ±12, … , porque é um anel
comutativo sem unidade.
2) A, +, ⋅ não é um anel integridade, onde A = ℤ ℤ = f/f : ℤ → ℤ.
Se f, g ∈ A, define-se soma f + g e produto f ⋅ g como sendo:
f + g : ℤ → ℤ e f + gx = fx + gx, ∀x ∈ ℤ
f ⋅ g : ℤ → ℤ e fgx = fx ⋅ gx, ∀x ∈ ℤ.
Considere f, g: ℤ → ℤ da seguinte maneira:
fx =
1 se x = 0
0 se x ≠ 0
e
gx =
0 se x = 0
1 se x ≠ 0
3) (M n K, +,⋅ é um anel com unidade I, mas não é anel de integridade.
Obs: Se não vale a lei do anulamento do produto, então no anel há pelo menos um par de
elementos a, b ≠ 0 A tais que ab = 0 A . Quando isso se verificar, diz-se que a e b são divisores
próprios do zero do anel.
71
Conclusão: Um anel de integridade pode ser definido com um anel comutativo com
unidade que não possui divisores próprios do zero.
Exemplo: ℤ m , +, ⋅ é um anel comutativo com unidade 1 , mas não é anel de integridade.
Exemplo: ℤ, +, ⋅ não possui divisores de zero.
Exercício: Encontrar os divisores próprios de zero do ℤ 6 , +, ⋅.
Proposição 4: Um anel de classes de restos ℤ m é um anel de integridade se, e somente
se, m é um número primo.
Dem:
Proposição 5: Seja A um anel comutativo com unidade. Então A é um anel de integridade
se, e somente se, todo elemento não nulo de A é regular para a multiplicação.
Dem:
72
CORPO
Definição 12: Seja A um anel comutativo com unidade. UA é o conjunto de todos os
elementos de um anel que têm simétrico multiplicativo (elementos inversíveis).
Obs: UA ≠  e 0 A ∉ UA.
Exemplos:
1) ℤ, +, ⋅ ⇒ Uℤ = −1, +1
2) ℚ, +, ⋅ ⇒ Uℚ = ℚ ∗
3) ℝ, +, ⋅ ⇒ Uℝ = ℝ ∗
4) ℂ, +, ⋅ ⇒ Uℂ = ℂ ∗
Definição 13: Seja K um anel comutativo com unidade. Se UK = K ∗ = K − 0, então K
recebe o nome de corpo.
Exemplos: São corpos: ℚ, ℝ e ℂ. Mas ℤ não é corpo.
Outra forma de definir: Corpo é todo K,+, ⋅ tal que são válidas:
1) K, + é um grupo abeliano.
2) K ∗ , ⋅ é um grupo abeliano.
3) A multiplicação é distributiva em relação a adição.
Exemplos: São corpos:
1) ℤ m , +, ⋅ com m primo.
2) ℚ
3 , +, ⋅ sendo ℚ
3
=
Contra-exemplo: Não é corpo: ℤ
73
a + b 3 /a, b ∈ ℚ .
3 , +, ⋅
Propriedades: Seja K,+, ⋅ um corpo. Sejam a, b, c ∈ K
1) −−a = a
2) x + a = b ⇒ x = b − a.
3) a + b = a + c ⇒ b = c
4) a. 0 = 0. a = 0
5) a−b = −ab = −ab
6) −a−b = ab
7) ab − c = ab − ac
74
Teorema 2: Todo corpo K, +, ⋅ não possui divisores de zero.
Dem:
Proposição 6: Todo corpo é um anel de integridade.
Dem:
Proposição 7: Todo anel de integridade finito é corpo.
Dem:
75
APÊNDICE A
DEFINIÇÕES
Hipótese = Na lógica tradicional, a proposição particular compreendida como implícita à
tese, ou inclusa nela; na lógica moderna, fórmula que figura como pressuposto de uma
dedução e que, distintamente de um axioma, tem apenas um caráter transitório. Em
matemática, conjunto de dados de que se parte para procurar demonstrar por via lógica uma
proposição nova.
Tese = Proposição que se enuncia, que se expõe, que se sustenta.
Axioma ou Postulado = Na lógica aristotélica, ponto de partida de um raciocínio
considerado como indemonstrável, evidente.
Proposição = palavra utilizada para designar os teoremas de uma certa teoria. É uma
sentença declarativa à qual se pode atribuir um valor lógico.
Teorema = Proposição científica que pode ser demonstrada. Formulação fechada de uma
teoria, que pode ser obtida a partir dos axiomas desta teoria através de uma seqüência finita
de aplicações das regras de dedução.
Corolário = Consequência imediata de um teorema.
Lema = É um teorema cuja utilidade está na prova do próximo teorema.
CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE
Caso: P ⇒ Q (vale Q se valer P ou vale P somente se valer Q)
A hipótese P é a condição suficiente de Q (suficiente para a validade de Q);
A tese Q é a condição necessária de P.
Caso: P ⇔ Q (P se e somente se Q)
Qualquer uma das proposições P e Q é ao mesmo tempo necessária e suficiente para a
validade da outra.
P e Q são proposições equivalentes.
TIPOS DE DEMONSTRAÇÃO
1. Principio da indução.
Muito útil para demonstrar proposições que se referem a números inteiros. Ele está
implícito em todos os argumentos onde se diz “e assim por diante”, “ e assim
sucessivamente” ou “etc...”
a) Verificar a proposição para o 1º valor de n;
b) Suponha verdadeira a proposição para n qualquer dado.
c) Mostre que a proposição é verdadeira para n + 1 usando b) como hipótese.
2. Demonstração Direta
Hipótese ⇒ Tese
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3. Demonstração indireta
~Tese ⇒ ~Hipótese
(Prova-se a contrapositiva da condicional)
4. Demonstração por absurdo
Hipótese verdadeira e a tese é falsa ⇒ Negação da Hipótese
5. Demonstração de existência
A demonstração muitas vezes é feita simplesmente exibindo-se um objeto que cumpre
a(s) condição(ões) desejada(s).
6.
Demonstração por contra-exemplo
Para demonstrar que uma proposição ou propriedade é falsa, basta dar um
contra-exemplo.
OBS:
O principio da não contradição afirma que uma proposição não pode ser verdadeira
juntamente com sua negação. Em outras palavras, se uma proposição P for verdadeira, sua
negação ~P não pode ser verdadeira.
O principio do terceiro excluído afirma que qualquer proposição P é verdadeira ou falsa.
Em outras palavras, ou P é verdadeira, ou ~P é verdadeira, não sendo possível uma terceira
alternativa.
P ⇒ Q é equivalente a ~Q ⇒ ~P
77