ejercicios resueltos de cálculo - Universidad Bernardo O`Higgins

Transcripción

APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO
CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II
PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA
APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO
CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II
2014
PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA
Licenciado en Matemáticas, Magíster en Matemáticas,
Postítulo en
Didáctica de
la
Matemática. Pontificia
Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Actualmente atiende las cátedras de "Cálculo", "Cálculo I",
"Cálculo II", "Cálculo III", "Matemáticas II", "Matemáticas III"
de
la
Universidad
Bernardo
O´Higgins.
Además,
se
desempeña como Coordinador de Cálculo dentro del
Departamento de Matemáticas y Física.
ÍNDICE
PRESENTACIÓN ................................................................................................................................................... 5
I.
ECUACIONES ............................................................................................................................................. 6
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................................................. 11
II.
FUNCIONES ............................................................................................................................................. 12
A.
EVALUAR FUNCIONES ............................................................................................................................. 12
B.
MODELAR FUNCIONES ............................................................................................................................ 16
C.
DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES ................................................................................................ 18
D.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ............................................................................................................... 21
III.
FUNCIÓN LINEAL ................................................................................................................................ 24
A.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE ............................................................................................................... 24
B.
FÓRMULA DE PENDIENTE ....................................................................................................................... 24
C.
FUNCIÓN CUADRÁTICA ........................................................................................................................... 33
IV.
LOGARITMOS ..................................................................................................................................... 43
A.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ...................................................................................................... 43
V.
LÍMITES ................................................................................................................................................... 53
VI.
3
CONTINUIDAD .................................................................................................................................... 60
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO
VII.
DERIVADAS ......................................................................................................................................... 66
A.
RAZÓN DE CAMBIO ................................................................................................................................. 70
B.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ............................................................................................................................ 71
C.
OPTIMIZACIÓN ........................................................................................................................................ 73
4
VIII.
CONCLUSIONES .................................................................................................................................. 84
IX.
BIBLIOGRAFÍA DE APOYO ................................................................................................................... 85
PRESENTACIÓN
En mi experiencia docente, he escuchado decir muchísimas veces a diferentes estudiantes que "son malos
para Matemáticas". Si usted se siente identificado con eso, yo le comento que no existe la persona que sea
mala para las matemáticas, y que sólo hay una manera de aprender en este terreno: practicando
permanentemente y a diario. Alguna vez leí por ahí, una entrevista a Ricardo Baeza, Premio Nacional de
Ciencias Exactas 2009, quien mencionó que hay que ver a las Matemáticas (¿o la Matemática?) como un
desafío y que esta disciplina es útil para cualquier ámbito de la vida. Por lo mismo, para él la clave está en
“hacer ejercicios, más ejercicios y más ejercicios”.
Este material es inédito, ya que recopila diversos problemas de Matemáticas que han surgido dentro de mi
labor docente. Dentro de estos problemas, algunos aparecen como propuestos (pero no resueltos), en
diferentes libros de Matemáticas que usted podrá encontrar dentro de la Bibliografía ubicada al final de
estos apuntes.
El propósito de este apunte es reforzar las diferentes temáticas que se estudian en los cursos de Cálculo,
Cálculo I y Matemáticas II, dentro de la Facultad de Ingeniería y Administración de la Universidad Bernardo
O´Higgins (UBO), presentando no sólo ejercicios resueltos, sino también propuestos. Cabe señalar que estos
apuntes tiene un carácter de apoyo al estudiante y que por sí solo podría resultar insuficiente si no es
complementado con otros textos de estudio y/o con lo enseñado en clases.
Estos apuntes constan de siete capítulos. El capítulo I, cuya temática es Ecuaciones, es un capítulo que si
bien no forma parte de los programas antes mencionados, es un tema que resulta fundamental para el
desarrollo de estos. Desde el capítulo II hasta el capítulo VII, los contenidos son presentados en el orden en
los que aparecen en los programas de estudio de las diferentes carreras de Ingeniería de la UBO.
Claudio Gaete Peralta
5
I.
ECUACIONES
1.
Resuelva la ecuación
1 es negativo y el coeficiente que acompaña a
Solución: Como el discriminante de
tenemos que
1
es positivo,
0 para todo número real. De esta forma, no hay restricciones previas para
resolver la ecuación. Resolviendo, tenemos
5
5
6
1
5
4
6
1/∙
6
5
2
2
1
5
4
Lo que resuelve el ejercicio
1
1
1
1
3
2
1
2
Solución: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones
2
1
0→
2
0→
2
ni
Con esto, tenemos que de existir una solución, ésta no puede ser
ecuación. Multiplicando cruzado, tenemos que:
2
6
1
2
2
1
. Procedamos a resolver la
3
2
4
5
2
2
1
12
2
6
7
3
3
∎
4
Solución
Tenemos que
. .
4,6,9
3
5
6
36. Por lo tanto,
9
3
4
9
3
6
27
30
27
6
6
3
3
10
7
2
9
5
5
4
30
10
9
2
4
6
4
/∙ 36
2
9
8
∎
#
#
#
Solución:
$ , donde #, $ son números reales y #
#
2#
#
#
2#
#
2#
2#
4#
2
3
#
#
5
#
#
$
#
$
#
#
0
$
$
$
4#
7
10
∎
3
2
Solución: En primer lugar, como restricción, tenemos que
0. La idea principal es poder quitar los
denominadores de esta ecuación. Fijándonos en los coeficientes de cada denominador, tenemos que
. .
3,2,10
30
De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30 , seremos capaces de eliminar los denominadores y
trabajar con una ecuación que será más sencilla
2
3
20
5
7
10
150
130
85
3
/∙ 30
2
21
85
21
8
21
21
45
45
Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuación.
#
6
7#
12
#
2
4#
3
#
3
5#
4
#
6
7#
12
#
2
4#
3
#
3
5#
4
∎
0
Solución: Tenemos que
#
6
3 #
4
#
2
1 #
6 #
6#
1
3
6
#
1 #
2 #
4
5#
5
2#
3
3 #
8
5#
#
4
3#
5
0
9
3
0/∙ #
0
0
0
3 #
4 #
1
1
Con lo que habremos resuelto la ecuación. Sin embargo, esta no puede ser solución, pues, tenemos que
#
1anula la expresión %&
'%
(,que forma parte de un denominador en la ecuación que acabamos
de resolver. De esta forma, la ecuación no tiene solución
9
La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres años Fernando tenía un tercio de la edad que
tendrá Pedro en nueve años más. ¿Cuánto será la suma de las edades en dos años más?
Solución: Denotemos por ), * las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente. Tenemos que
)
)
+
1
*
3
3
9
Reemplazando la primera ecuación en la segunda, tenemos que
*
2
*
2
*
2
1
*
3
3
3*
3
*
3
*
3
*
9
2*
3
6/∙ 6
36
36
Reemplazando este valor en la primera ecuación, tenemos que )
18. De esta forma, las edades actuales
de Fernando y Pedro son 18 y 36 años respectivamente. Por lo tanto, en dos años más, sus edades serán de
20 y 38 años y así, sumarán 58 años.
2
1
1
2
1
4
Solución: En primer lugar, como restricciones, tenemos que
10
1
1,
3
3.
La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuación más sencilla. Si
1
multiplicamos a ambos lados por
3
habremos quedado libres de incógnitas en los
denominadores y de esta forma podríamos empezar a resolver la ecuación. Si el lector(a) no queda
conforme y desea además sacar los coeficientes de los denominadores, será necesario multiplicar a ambos
lados por el mínimo común múltiplo entre 2 y 4
. .
2,4
4
De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por 4
1
solamente con numeradores y no con denominadores:
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
4
, - √
Las raíces de esta ecuación son
3
3
6
/
4
8
8
14
y
1
8
3
24
/∙ 4
1
3
24
17
, -,√
2
2
0
/
1
3 podremos trabajar
3 1
1
, lo que resuelve el problema
∎
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelva las siguientes ecuaciones
1.
2.
3.
4.
11
1
7 18
3
1 2
23
0
1
1
0
0
6 3
7
2 3
6
5
44
3
7 4
5
21 3 2 5
3
5.
6.
En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos alumnos leen?
7.
El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. ¿Qué edad
tendré en dos años más?
8.
La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55 años. La edad de la madre es el
doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. Calcular las
edades.
II.
FUNCIONES
A.
EVALUAR FUNCIONES
Trazar la gráfica de una función 5 definida para
•
•
•
•
5 0
2
5 es creciente para
∈ 20,12
5 es decreciente para 1 8
5 es creciente para
6 0, con todas las siguientes propiedades
93
3 (Existen muchas respuestas)
Solución: Los siguientes gráficos cumplen las condiciones del ejercicio:
12
Considere la función :
0
;
,0
. Determine <= :, : 1 , : 0 , : > ? , : >
Solución:
: 0
1
:@ A
2
:@
3∙1
2∙1
: 1
1
A
2
1
3∙2
1
2∙
2
3∙
2∙
3∙0
2∙0
7
1
2
1
2
3
7
3
7
3
10
1
7
3
3
2
1
7
1. Determine : 1
2
10
7
3
17
2
2
3
3
2
1
?
∎
7
3
7
11
2
4
17
4
11
4
∎
,: 1
: 1
13
2 1
1
1
2 1
2
Mientras que
: 1
Considere las funciones 5
3
2 1
2
2
4
2
2 1
2
4
2
1 y :
2
2
2
2
8
1
1
2
2
2
1
1
3
2
2
: 1
1
35
2∙1
3 3∙1
3∙2
6
1
1
1
1
1
. Encuentre el valor de : 1
∎
35 1
1
∎
(Función de costo) Una compañía ha determinado que el costo (en miles de dólares) de producir
unidades
de su producto por semana está dado por:
Evalúe el costo de producir:
a.
1000 unidades por semana.
b.
2500 unidades por semana.
c.
Ninguna unidad.
B
5000
6 0.002
Solución:
a.
b.
14
B 2500
B 1000
5000
5000
6 ∙ 2500
6 ∙ 1000
0.002 2500
0.002 1000
32500 (32 millones 500 mil dólares)
13000 (13 millones de dólares)
c.
B 0
5000
Si 5
:
Solución:
Por lo tanto,
C
6∙0
, :
0.002 0
C
5000 (5 millones de dólares)
3 y 5
5
0
:
, calcule C 2
0
C 2
8
4
3
3
3
0
1
∎
Un estudio de productividad en el turno matinal de cierta fábrica indica que si un obrero llega al trabajo a las
8:00 a.m. habrá ensamblado
Radio transistores
horas después.
5
0
6
15
a.
¿Cuántos radios habrá ensamblado el trabajador a las 10 a.m.?
b.
¿Cuántos radios ensamblará tal trabajador entre las 9 a.m. y las 10 a.m.?
Solución:
a.
2, habrá ensamblado
A las 10 a.m., o sea
5 2
20
6 2
15 ∙ 2
8
24
30
46
Radio transistores.
b.
15
Realizar la resta 5
2
5 1
46
20
26 Radio transistores.
∎
B.
MODELAR FUNCIONES
Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos situados en orillas opuestas de un río en puntos A y B.
El ancho del río es de 1 kilómetro y B está situado 2 kilómetros río abajo de A. Tiene un costo de 5 dólares
por kilómetro tender la línea por tierra y 10 dólares por kilómetro bajo el agua. La línea telefónica deberá
seguir la orilla del río empezando en A una distancia
(en kilómetros), y luego cruzar el río diagonalmente
en línea recta hacia B. Determine el costo total de la línea como función de .
de la orilla y luego diagonalmente de C a B. El costo del segmento AC es c mientras que el costo de EEEE
BD es
Solución: La figura ilustra este problema. La línea telefónica se extiende de A a C, una distancia
EEEE ). El costo total (llamémosleF) está dado por
10(BD
F
5
Por medio del teorema de Pitágoras, llegamos a que EEEE
BD
a lo largo
EEEE
10BD
4
√
5
Por lo que el costo será de
F
5
10G
4
5
Pregunta: ¿Cuál es el dominio de esta función en el contexto del problema?
16
∎
Un rectángulo tiene un lado de
pulgadas. El perímetro del rectángulo es de 20 pulgadas. Exprese el área A
como una función de y establezca el dominio de esta función.
Solución: Sean , F los lados del rectángulo. Como el perímetro del rectángulo es de 20 pulgadas, tenemos
que
2
2
F
2F
F
20
20
10 (*)
Ahora bien, el área de un rectángulo, corresponde a
H
Pero de (*), tenemos que
H
F
F
10
10
Esto expresa el área H como una función de . El lector(a) se dará cuenta que “matemáticamente”, el
dominio de esta función es
que si, por ejemplo,
, pero para el contexto del problema, este no puede ser el dominio, debido a
11, entonces H
11, lo cual no puede ser, ya que el área no es negativa. Para
determinar el dominio de esta función (en el contexto del problema), necesitamos que H
10
∞
0
10
Por lo que <= H
17
0
30,102
0, es decir,
10
+
+
+
+
-
-
+
∎
De un cuadrado de cartón de 18 pulgadas por lado se recortan cuadrados de lado
en cada esquina y luego
se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. Exprese el volumen V de la caja como función de
y
determine el dominio de esta función.
Solución: La altura de esta caja medirá J, mientras que el largo y ancho medirán 18
esta caja será
Si observa bien, notará que
C.
∈ 30,182.
K
18
2 . El volumen de
2
∎
DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES
Determine el dominio de las siguientes funciones
a.
b.
c.
5
:
C
√
√
0
0
,;
0
Solución:
18
a.
3
0, por lo que <= 5
b.
2
4
0, por lo que <= :
c.
Notemos que
3 3, ∞2
32, ∞2
7
Por lo que
3 y
Considere la función 5
Recorrido de esta función.
12
3
4. De esta forma, <= C
M
O
N
P
L
4
0
0
1 3, 44
, donde #, $, y Q son números reales y
∎
0. Determine el Dominio y
Solución: En primer lugar, debemos notar que 5 es una función racional, luego su denominador debe ser
distinto de cero. Así, tenemos que
Q
Con esto, tenemos que <= 5
en función de F
L
R
P
O
S. Para determinar el recorrido, hagamos F
#
F
F
F
19
Q
0
Q
$
/
Q
FQ
#
#
5
y despejemos
Q
$
$
F
F
#
#
Donde la división puede ser realizada siempre que F
Así, TU 5
L
$
F
R S
M
O
Dada la función 5
#
recorrido de dicha función.
$
, con #, $ y
$
FQ
$
FQ
#
#
FQ
0, es decir F
M
O
,
números reales, con #
0
∎
0. Determine dominio y
Solución: En primer lugar, debemos notar que el dominio de esta función es siempre
. Para determinar el
dominio de esta función, debemos analizar dos casos:
Caso 1: #
0. En este caso, el recorrido de la función será
TU 5
V5 @
$
A,∞ V
2#
Caso 2: # 8 0. En este caso, el recorrido de la función será
TU 5
1
20
X ∞, 5
$
X
2#
1
W
Y ∞,
$
,∞ W
4#
$
Y
4#
∎
Realice la gráfica de la función para entender geométricamente lo que se está haciendo.
D.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
(Física) La velocidad de un cuerpo que cae varía con la distancia recorrida de acuerdo con la fórmula
Z
8GF (Z
velocidad en metros por segundo, F
tiempo [ (en segundos) de acuerdo con la fórmula F
Solución:
Si 5
Z
#
4 y :
$ distancia en metros). La distancia que cae varía con el
16[ . Exprese Z como una función de [.
8G16[
8 GF
8 ∙ 4[
32[
3, determine la condición sobre # y $ tal que 5=:
para toda . (La respuesta no es única)
Solución:
Por otro lado,
5=:
5\:
]
5 $ 3
# $ 3
4
:=5
:\5
]
: #
4
$ #
4
3
Como necesitamos que 5=:
:=5
#$
#$
3#
#$
4
4$
3
:=5
∎
,
, para toda , entonces
3#
3#
4
4
3#
#$
4$
4$
7
4$
3
3
Por lo tanto, cualquier par de número #, $ que cumplan esta condición, resuelve el problema Por ejemplo,
#
21
$
1 (Hay más posibilidades)
∎
En un lago, un pez grande se alimenta de un pez mediano y la población del pez grande es una función 5 de
, el número de peces de tamaño mediano en el lago. A su vez, el pez mediano se alimenta de un pez
pequeño, y la población de peces medianos es una función : de ^, el número de peces pequeños en el lago.
Si
5
a.
150 y : ^
√20
√^
5.000
Encuentre un modelo matemático que exprese la población de peces grandes como una función del
número de peces pequeños en el lago.
b.
Determine el número de peces grandes cuando el lago contiene 9 millones de peces pequeños.
Solución:
a.
Para expresar la población de peces grandes como una función del número de peces pequeños en
el lago, realizamos la composición
5∘: ^
b.
Reemplazar ^
5\: ^ ]
`20\√^
5\√^
5.000]
5.000]
150
9.000.000 en la función anterior, y tenemos
`20\√9.000.000
5.000]
G20 8.000
150
150
G20 3.000
400
150
5.000
550
150
Por lo tanto, el número de peces grandes cuando el lago contiene 9 millones de peces pequeños es de 550.
∎
El área de la superficie de una esfera es función de su radio. Si el radio mide a centímetros y H a
centímetros cuadrados es el área de la superficie, entonces H a
4ba . Suponga que un globo mantiene
la forma de una esfera conforme se infla de modo que el radio cambia a una tasa constante de 3 cdcU: .
Si 5 [ centímetros es el radio del globo después de[ segundos, haga lo siguiente
22
a.
Calcule H ∘ 5 [ e interprete su resultado.
b.
Determine el área de la superficie del globo después de 4 segundos.
a.
Tenemos que a
5 [ , por lo que
H∘5 [
H\5 [ ]
4b\5 [ ]
Lo cual expresa el área de la superficie de la esfera, en función del tiempo [ (en segundos)
cd
cU: , tenemos, para [ ∈ e, que
b.
Como el radio cambia a una tasa constante de 3
c.
Por lo tanto, para determinar el área de la superficie del globo después de 4 segundos, haciendo
[
5 1
3, 5 2
4 en la fórmula anterior, tenemos
H
4b\5 4 ]
√3
encuentre la función inversa : .
,
6, 5 3
4b 12
9, … , 5 [
3[.
576b centímetros cuadrados.
∎
5. Determine si esta función es biyectiva o no. En caso afirmativo,
Solución: En primer lugar, debemos tener en cuenta que <= 5
g
0
, ∞ g.
Recordemos que una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. Veamos primero la inyectividad.
Sean h, Z ∈ <= 5 tales que : h
: Z . Es decir,
√3h
3h
23
5
5
3h
√3Z
3Z
5/ 5/ 5
3Z /: 3
h
Z
Por lo que la función es inyectiva. La sobreyectividad es clara, en vista de que no hay un codominio
2
especificado .
Para determinar la función inversa, hagamos F
F
:
F
√3
F
F
Por lo que
. Con esto, tenemos que
3
3
5
5
:,
5/ 3
5
3
5
∎
III. FUNCIÓN LINEAL
A.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
Ecuación de la recta que tiene pendiente
B.
FÓRMULA DE PENDIENTE
Si conocemos 2 puntos cualesquiera
determina mediante la fórmula
Siempre y cuando
2
24
0
y pasa por el punto
F
,F ,
F
,F
, F , que pertenecen a una recta, entonces la pendiente se
F
F
Queda como ejercicio para el lector, determinar el recorrido de la función.
Figura 1:: Diferentes gráficas de una función lineal F
j
Figura 2
25
Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente
y pasa por el punto 1,0 .
Solución: Primero, debemos recordar que la ecuación de la recta que pasa por el punto #, $
pendiente
y tiene
viene dada por la fórmula
F
$
#
Haciendo los reemplazos respectivos, tenemos que la ecuación buscada es
Es decir, F
F
3
0
3
3 (Ecuación principal de la recta) o bien 3
1
F
3
0 (Ecuación general de la recta)
∎
Dé un ejemplo de una recta que sea perpendicular a la recta del ejercicio anterior.
Solución: Dos rectas con pendientes
y
, respectivamente, son perpendiculares, si el producto de sus
pendientes es 1. De esta forma, la pendiente
es decir,
0
.
de la recta buscada debe cumplir con
3
1
Con esto, tenemos que una recta perpendicular a la recta del ejercicio anterior sería de la forma
F
Encuentre el punto de intersección de las rectas F
j, j ∈ L
0
2
3eF
∎
-
.
Solución: En vista de que estas rectas no son paralelas (pues sus pendientes son distintas), ambas rectas se
intersectan (en un único punto).
Resolvamos la ecuación
26
2
1
4
3
1
4
2
7
4
1
2
1
2
3
7
2
7 4
∙
2 7
2
Reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, tenemos que y
punto de intersección es 2,1
Determine el valor de l para que la recta l 3 – 2F– 11
0
Solución: Sean n , n
l
n :l rectas dadas por
1 F
l
Para determinar la pendiente de la recta n , despejamos F:
l Siempre que l
F
l
l
1. Así, la pendiente de n es
1 F
1 F
l
l
o
o
1
l
1 F
3
l
3
3
3
0 sea perpendicular a la recta
3
0 y n : 3 – 2F– 11
0
0
1
. Análogamente, la pendiente de n es .
Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser
27
1. Así, el
0
1, es decir,
l
l
l
3
∙
1 2
l
3l
3l
Con esto, tenemos que si l
2
3
1
2 l
l
2l
2
1
1
2
2, las rectas serán perpendiculares
∎
Figura 3
La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35
nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que
p denota la natalidad por cada 1.000 personas y q representa el tiempo medido en años desde 1995.
Determine la función lineal de natalidad .
b.
Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad esperada para el año 2015?
3
28
3
a.
Note que como la natalidad disminuye linealmente en función del tiempo, la pendiente debe ser negativa.
Solución:
Como p depende linealmente de q, tenemos que
p
Para determinar los valores de
p q
q
j
y j, debemos tener en cuenta que si en 1995 (es decir, q
nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces reemplazando en la ecuación, tenemos que
35
Además, en el año 2000 (es decir, q
∙0
35
j
j
0) hubo 35
5) hubo 33 nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces
reemplazando en la ecuación, tenemos que
33
2
2
5
∙5
35
∙5
Con esto, tenemos que
p
Dado que p
p q
q
2
q
5
p q
35 reemplazando q
p
2
∙ 20
5
35
20, tenemos que
35
8
35
27
Así, la natalidad para el año 2015 será de 27 personas por cada 1.000 habitantes
29
Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia
cardíaca en adultos y se obtuvo los siguientes resultados
Dosis
administrada en
mg
Frecuencia
cardíaca (latidos
por minuto)
0,5
0,75
1
1,25
9,05
10,075
11,1
12,125
Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine
a.
La función que representa el problema
b.
Interprete la pendiente de la recta en términos de la tasa de cambio
c.
Si se administran 2 mg, ¿Cuál es la disminución en la frecuencia cardíaca?
d.
¿Para qué dosis la frecuencia cardíaca disminuye en 10 latidos por minuto?
Solución:
Denotemos por ) a la frecuencia cardíaca, la cual depende linealmente de la cantidad de medicamento en
milígramos, que denotaremos por B. De este modo, tenemos la siguiente relación
Además la pendiente de esta recta será )
) B
r,r; ,s,r
,r
r,; ,r,
tabla vemos que, por ejemplo
9,05
De este modo,
B
) B
r,
4,1 ∙ 0,5
7
j
j
4,1B
4,1. Para calcular el valor de j, usando la
j
7
El valor de la pendiente se interpreta del siguiente modo: por 1 mg de medicamento, hay un aumento en la
frecuencia cardíaca de 4,1 latidos por minuto.
30
10
) 2
4,1 ∗ 2
4,1 ∙ B
Un contenedor contiene inicialmente 100
7
0, EEEEEEEEE
73170
7. Luego, B
c 0 de un cierto líquido y se empieza a vaciar más líquido dentro
c 0 de este líquido. Si B representa la cantidad
de este contenedor. Cinco segundos después, contiene 300
de líquido en el contenedor, en
15,2
c 0 y [ representa el tiempo, en segundos, y además se sabe que la
cantidad de líquido varía linealmente con respecto al tiempo.
a.
Escriba la ecuación que relaciona B y [.
b.
Suponga que el contenedor tiene una capacidad de 10 litros. ¿En cuánto tiempo se llenará?
c.
¿Qué representan la pendiente y el coeficiente de posición en el contexto del problema?
Solución:
a.
Como la cantidad de líquido varía linealmente con respecto al tiempo, tenemos que
B [
Como el contenedor contiene inicialmente 100
100
Por lo que
Para determinar el valor de
decir
Por lo que
a.
[
j
c 0 de un cierto líquido, tenemos que
∙0
B [
j → 100
[
100
, notemos que cinco segundos después, contiene 300
300
B [
∙5
100 → 40
40[
100
Teniendo en cuanta que 10 litros corresponden a 10.000
10.000
40[
247,5
31
j
[
c 0 de este líquido, es
c 0 , debemos resolver la ecuación
100
Por lo tanto, en 247,5 segundos el contenedor se llenará, a saber, con 10 litros.
b.
La pendiente nos dice que el contenedor se llena a razón de 40 g vxy z.Mientras que el coeficiente
de posición, a saber, j
Ouv w
100, nos dice que inicialmente, el contenedor tiene 100
c 0 de este líquido.
(Ecuación de la oferta) A un precio de US$2,5 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a
US$4 cada unidad, la misma empresa producirá 14.000 camisetas al mes. Determine la ecuación de la oferta,
suponiendo que es lineal.
Solución: Como la ecuación de oferta es lineal, debe ser de la forma
{
Donde
j
representa el precio por unidad, en dólares. Ahora bien, a un precio de US$2.5 por unidad, una
empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes. Luego,
8.000
∙ 2,5
j
Y a US$4 cada unidad, la misma empresa producirá 14.000 camisetas al mes. Por lo tanto
14.000
∙4
j
De esta forma, tenemos el siguiente sistema
2,5
4
j
j
8.000
14.000
Restando ambas ecuaciones, tenemos
1,5
6.000
4.000
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos que j
oferta es
32
2.000. Por lo que la ecuación de
{
4.000
2.000
∎
Un médico posee libros de medicina que valen US$1500. Para efectos tributarios, se supone que se
deprecian de modo lineal hasta llegar a cero en un período de 10 años. Es decir, el valor de los libros
disminuye a una tasa constante, de manera que es igual a cero al cabo de 10 años. Expresar el valor de los
libros como una función del tiempo y elaborar la gráfica.
Solución: Denotemos por K [ , el valor de los libros, donde [ es el tiempo en años. Sabemos que
Inicialmente, es decir [
K [
[
j
1500
∙0
0, los libros cuestan US$1500. Reemplazando en la ecuación anterior, tenemos
Ahora bien, al cabo de 10 años, es decir [
obtiene
1500
j
j
10, el valor de los libros es cero. Nuevamente reemplazando, se
0
10
150
1500
De esta forma, la función lineal que expresar el valor de los libros como una función del tiempo, es
K [
150[
1500
La gráfica queda como ejercicio.
C.
∎
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Sean#, $, ∈ L, #
0. Se define la función cuadrática como sigue:
F
#
$
La gráfica de esta función, recibe el nombre de parábola.
El valor
33
∆
$
4#
recibe el nombre de discriminante. Tenemos los siguientes casos:
34
i.
Si ∆
0,, la parábola corta en dos puntos al eje }.. Estos puntos se determinan por la fórmula
ii.
Si ∆
0,, la parábola corta en un solo punto al eje }.. Este puntos se determina por la fórmula
iii.
Si ∆
0, laa parábola no corta al eje }.
$ ~ √$
2#
4#
$
2#
$ ~ √∆
2#
35
36
37
Vértice: Si #
0, corresponde al punto más bajo de la parábola y si# 8 0, corresponde al punto más alto
de la parábola. La fórmula para determinar el vértice, es:
K
•
$
,
2#
$
€
4#
La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo
según
B [
[
6[
donde B es la concentración del calmante en el suero medida en milígramos por litro
para que haga efecto durante
horas. ¿En qué instante la concentración es de 8
milígramos por litro? Grafique la función e interprete resultados en el contexto del
problema.
Solución: Notemos que la gráfica de la función es una parábola con #
1 8 0, por lo que esta parábola
va hacia abajo. Además, tenemos que el vértice es
K
•
$
,
2#
$
€
4#
3, B 3 3,9
Con esto, tenemos que la porción de gráfica de la función es
38
Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de 9 milígramos por litro y se da al
cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la concentración del
medicamente es 0 9 [ 9 6.
Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos resolver
r
la
ecuación
es decir,
[
8
6[
[
8
6[
0
Debemos tener en cuenta que las raíces de una ecuación cuadrática se determinan por la fórmula
En este caso, #
B [ son [
1, $
4 y [
2
6y
Un fabricante puede vender
3•
0.1
dado por ‚
[
$ ~ √$
2#
4#
8, por lo que, reemplazando dichos valores,
lores, tenemos que las raíces de
∎
unidades de su producto a un precio de • dólares por unidad, en donde
10.. Como una función de la cantidad, , demanda en el mercado, el ingreso
ing
‚ (en dólares) está
3
0.02
. Determine la forma funcional de la dependencia de ‚ con respecto del precio •.
Grafique la situación e indique que representa el vértice de esta función.
39
Solución: De la relación
3•
Tenemos
Ahora bien, como ‚
3
0.02
0.1
10
100
30•
, reemplazando lo anterior, nos queda
‚
300
3 100
90•
300
30•
0.02 100
0.02 10000
90•
18•
200
30•
6000•
120•
100
30•
900•
18•
La gráfica (por el contexto del problema) representa una parte de una parábola
40
El vértice de esta función es
K
El vértice nos dice que cuando •
41
•
$
,
2#
5
@ , 100
6
$
€
4#
•
900
A
72
30
, 100
36
0,83E; 112,5
30
€
72
0,83E dólares, se obtiene el máximo ingreso, el cual es de 112,5 dólares.
∎
El ingreso ‚ obtenido por vender
unidades de un cierto artículo tecnológico, está dado por
‚
0,01
60
Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es
este ingreso máximo? Realice la gráfica de esta función, según el contexto del problema.
Solución: Para determinar el ingreso máximo, es necesario encontrar el vértice de esta función cuadrática.
Tenemos que
K
•
60
,0
0,02
60
€
0,04
3000,90000
Esto nos dice que el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso es
3000 y que el ingreso máximo es de 90000.
Los cortes con el eje X vienen dados al resolver la ecuación
Es decir,
0y
6000.
0
0,01
60
La gráfica, en el contexto del problema es
∎
42
IV.
LOGARITMOS
Sean # ∈ L
A.
114,
∈ L . Se define el logaritmo en base # de , como sigue
log M
F ⇔ #ˆ
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Sean # ∈ L
•
•
•
log M
114; , F ∈ L , j ∈ L . Tenemos que
F
log M >ˆ?
log M
‰
log M
log M
j log M
log M F
log M F
Fórmula de cambio de base
Sean #, $ ∈ L
114; ∈ L . Tenemos que
logN
logN #
logM
Resuelva la siguiente ecuación
2
∙3
,
log 2
∙3
,
6
Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que
log 2
43
log 3
,
log 6
log 6
1 log 2
log 2
log 2
log 2
5 log 3
log 2
log 3
5 log 3
log 3
log 6
5 log 3
log 3
log 6
log 6
5 log 3
log 2 log 3
log 6 5 log 3 log 2
log 6
1458
log 2
Lo que resuelve el ejercicio.
Resuelva la siguiente ecuación
log 6
log 2
log 2
log 6
log 729
∎
log -
1
1
2
log-
Solución: En primer lugar debemos notar que tenemos dos restricciones, debido al dominio de la función
logaritmo:
1
0
0. De encontrar una solución, debe entonces, ser
Intersectando ambas condiciones, llegamos a que
positiva.
log log - 2
44
1
0
log1
3
1
2
1
2
1
4
2
2
√4
0
1 y
Lo que nos da una ecuación cuadrática, cuyas raíces son
que la solución a nuestra ecuación es
Resuelva la siguiente ecuación:
1.
log √
2. En vista de que
0, tenemos
∎
1
log
1
log √
4
Solución: Antes de resolver el problema, tenemos las siguientes restricciones:
1
0,
1
0,
4
0
1
log √
De donde obtenemos, que de haber una solución, esta debe cumplir con
log √
1
log
log √
1
√
Elevando al cuadrado a ambos lados, tenemos que
1
3
45
log @
1
1
4
√
1
√
1
5
A
4
1
4
4
4
4
1. Resolviendo, tenemos
2
1
1
Resuelva la siguiente ecuación logarítmica
log
11
1
2 log
log
11
1
2 log
∎
Solución:
log
log
11
11
De donde obtenemos dos soluciones, a saber,
0. Si
11
11
0
Sean A , a
log
log @
Por lo tanto, tenemos que
En vista de que
2 log
11
10
1y
A
1
1
10
10
1
11
r
0, tenemos que la solución a esta ecuación solamente es
H 1
a ‰ , demuestre que j
Š‹Œ •,Š‹Œ Ž
Š‹Œ
•
log A 1
a
.
r
∎
Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que
log
log
46
log
log H
log H
log 1
j log 1
log c log A
log 1 a
‰
a
‰
a /:log 1
j
a
Con lo que se tiene la igualdad.
Una Isapre calcula que el número de sus afiliados H [ , después de taños, está dada por:
H [
100.000 0,04
∎
r, “
¿Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre?
¿Cuántos afiliados tendrá después de 3 años?
¿Al cabo de cuántos años habrán 30.000 afiliados?
Solución: Inicialmente, la isapre tendrá H 0
Después de 3 años, tendrá
afiliados
H 3
100.000 afiliados
100.000 0,04
r, ∙0
=100.000 0,04
,
” 25.298
Para determinar al cabo de cuántos años habrán 30.000 afiliados, resolvemos la ecuación
30.000
Aplicando logaritmo, tenemos
100.000 0,04
0,3
log 0,3
0,04
r, “
r, “
/: 100.000
0,5[ log 0,04
log 0,3
log 0,04
0,5[/:0,5
0,324 ” [
47
Una población de bacterias duplica su tamaño cada 19 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en incrementarse
el número de organismos, de 10 a 10; ?
Solución: Sea Br la cantidad inicial de organismos. El lector(a) debe notar que transcurridos 19j minutos
(j ∈ e) hay un total de 2‰ Br organismos.
Ahora bien, para determinar la cantidad de minutos que tardarán en haber 10 organismos, resolvemos la
ecuación
j
Por lo que al cabo de 19j
19 ∙ >
,Š‹Œ •–
Š‹Œ
2‰ Br
5
10
log Br
log 2
? minutos habrá 10 organismos.
Análogamente, la cantidad de minutos que tardarán en haber
>
;,Š‹Œ •–
Š‹Œ
?.
10; organismos, será de 19j
De esta forma, el tiempo que tardará en incrementarse el número de organismos, de 10 a 10; , será de
19 ∙ >
;,Š‹Œ •–
Š‹Œ
?
19 ∙ >
,Š‹Œ •–
Š‹Œ
?
0/
Š‹Œ
minutos
19 ∙
∎
1.
48
Establezca si las gráficas siguientes representan o no funciones.
2.
Dada las siguientes funciones, calcule los valores indicados
a.
5 2 , 5 1 , 5 0 , si 5
b.
c.
3.
C> ?, C
1 , C
:> ?, : 7 ,:
-
0
0
, si C
5
š̃
7 , si :
™
˜
—
√
0
;
5, c› 9 0
-
, c›0 8
r
,c›
8 7œ
7
(Contaminación atmosférica) El índice de contaminación atmosférica (en una cierta unidad de
medida) en cierta ciudad, varía durante el día, de la siguiente manera
‚ [
Aquí,[ es el tiempo en horas, con [
š̃
2
˜ 6
™
˜
˜
—50
4[, c›0 9 [ 8 2
2[, c›2 9 [ 8 4
14, c›4 9 [ 8 12
œ
3[, c›12 9 [ 8 16
0, correspondiente a 6 a.m. y[
16 a 10 p.m. Haga la gráfica de esta
función ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 a.m, 12 del día, 6 p.m. y 8 p.m.?
49
4.
Para enviar un paquete desde Vancouver a París, Francia, un servicio de correo cobra $50 por
paquetes que pesen hasta 2 kilogramos y $10 por cada kilogramo o fracción adicional. Grafique la función
que expresa el costo de enviar un paquete de peso
5.
kilogramos para
98
(Función de costo de la electricidad) La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $10
por unidad para las primeras 50 unidades y a $3 por unidad para cantidades que excedan las 50 unidades.
Determine la función
6.
que da el costo de usar
unidades de electricidad.
La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de
acuerdo a
q
2
1
donde , representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica.
a.
Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva.
b.
¿Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima?
c.
Realice la gráfica de la función e interprete en el contexto del problema.
7.
Graficar la función
5
5
6
decrecimiento, cortes con el eje X e Y, si es posible.
50
3, indicando su vértice, zona de crecimiento y
8.
Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 3
1, . Grafique esta recta.
0
pasa por el punto
9.
2F
1
0y
Desde 1980 ha habido un incremento, aparentemente lineal, en el porcentaje de la población de
alcohólicos en una ciudad de Chile. En 1980 el porcentaje fue de 9,5%. En 1990 el porcentaje se elevó a
14,5%. Si * denota el porcentaje de alcohólicos en la población y q denota el tiempo, en años, desde 1980.
a.
b.
Determine la función lineal * q .
Si el modelo de crecimiento sigue mostrando la misma tendencia, pronostique el porcentaje de
alcohólicos que se espera tener para el año 2013.
10.
Determine cuál de las siguientes parábolas corta al eje X. Fundamente su respuesta
a.
F
b.
c.
d.
F
F
F
9
2
8
15
8
18
20
54
7
e.
Todas cortan al eje }
12.
El costo promedio por unidad (en dólares) al producir
0.06
0.0002
unidades de cierto artículo es B
20
. ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el
correspondiente costo mínimo por unidad? Realice la gráfica de esta función, según el contexto del
problema.
13.
‚
El ingreso I obtenido por vender
60
0.01
unidades de un cierto artículo tecnológico, está dado por
. Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que
maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? Realice la gráfica de esta función, según el contexto del
problema.
14.
Demuestre que el vértice de la parábola cuya ecuación es F
15.
Los costos totales y los ingresos totales de una compañía están dados por las siguientes funciones:
C, l
B
51
3000
#
C
l está en el punto
50
‚
190
a.
¿Cuál es el costo de producir 10 unidades?
b.
Encuentre la función de utilidad.
c.
¿En qué nivel de producción y venta se maximiza la utilidad? ¿Cuál es la máxima utilidad?
16.
Determine 5=:
a.
b.
c.
d.
e.
16.
5
5
5
5
5
2
3
,:
3, :
√ ,:
1, :
,:
1
4
y :=5
√
0
en los siguientes casos
2
1
Resuelva la ecuación log 7
1
log 3
5
1.
17.
El valor de reventa V de un equipo radiográfico se comporta de acuerdo a la ecuación V
a.
¿Cuál es el valor original del equipo radiográfico?
b.
¿Cuál es el valor esperado de reventa, después de 5 años?
c.
¿Después de cuántos años el valor de reventa será de $250.000?
18.
Encuentre el valor numérico de
750.000U ,r,r ž , en que son los transcurridos desde el momento de la compra.
U ŠŸ
19.
log 0
1
27
log √125
log ;
w
1
343
Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000
estudiantes, el número de estudiantes infectados después de días, se pronostica por
52
p [
3000
2999U ,r,/s
1
“
¿En qué período de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?
20.
Escriba cada una de las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola expresión.
a.
log
b.
2 log
ln 2
c.
V.
1.
1
log
3 log F
5 ln
1
4log [
2 ln
3
LÍMITES
Determine el valor de los siguientes límites:
lim
→
Solución:
lim
→
√
1
1
lim
→
1 √
∙
1 √
√
1
1
→/
lim
→/
53
2
8
√
w
8 √
w
8
lim •
→/
2√
w
√
w
w
4
→
√
1
2
8
2 √
∙
8 w√
√
w
lim
1]
1 \√
→
→/
lim
1
lim
lim
Solución:
1
1
√
lim w
→/ √
2√
4
w
2√
4
w
1
2√
w
€
4
1
1
2
∎
1
12
lim
Solución:
lim
4
→,0
12
3
→,0
→,
Solución:
lim
→,
√
5
1
lim
→,
lim
1
→,
4
1
lim
lim
2
lim •
→,
1 \√
5
3
3
5
√
5
5
1 \√
4
→,0
2 √
∙
1
√
5
lim
2]
lim
4
1
1
2
∎
2
1
√
1
1
12
3
4
→,0
∎
2]
5
5
1
1 \√
→,
2
2
€
5
2]
1 √2
∙
1 √2
7
1
8
∎
Ejercicio con doble racionalización.
lim
4
√
→,0 √2
Solución:
lim
√
→,0 √2
54
4
7
1
1
lim
√
→,0 √2
7
4
1
1
1 √
∙
7 1 √
4
4
7
1
1
lim
4
2
→,0
7
1 \√2
1 \√
3 \√2
lim
→,0 2
3 \√
7
4
7
4
2
→0 4
lim
1]
1]
lim
1]
→,0
lim
1]
\√2
→,0 2\√
5
13
0
0
2
3 \√2
2
4
6 \√
7
4
caso, utilizamos división sintética. Tenemos así,
2
→0 4
lim
0
0
5
13
2
4
lim
2
3
3
lim
→0
→0 4
0
lim
-
→,
1]
1]
1
1
3 2
3 4
1
1
11
17
∎
8
16
— 2
2. Para saber cómo es la
factorización en cada caso, utilizamos división sintética. Tenemos así,
55
∎
3
3
por lo tanto, ambas expresiones se pueden factorizar por
→,
1
2
1]
2 tanto en el numerador como en el denominador, los polinomios se anulan,
Solución: Al reemplazar
-
2
4
4
3. Para saber cómo es la factorización en cada
por lo tanto, ambas expresiones se pueden factorizar por
0
1]
3 tanto en el numerador como en el denominador, los polinomios se anulan,
Solución: Al reemplazar
lim
7
8
16
lim
→,
2
2
2
2
4
4
lim
→,
2
2
4
4
3
8
∎
Note que el denominador se puede factorizar usando suma por diferencia.
Suponga que el tamaño de una población en el instante [ es
p [
l
#[
[
,[ 6 0
Siendo # y l constantes positivas. Suponga que el tamaño límite de la población es
y que en el instante [
lim p [
1,24 ¦ 10
“→¥
5, el tamaño de la población es la mitad del tamaño límite.
Utilice la información anterior para determinar el valor de las constantes # y l.
Solución:
Por lo que 1,24 ¦ 10
1,24 ¦ 10
lim p [
“→¥
lim
“→¥ l
#. Además, sabemos que p 5
l
25
5
#[
, -¦ r§
l
5
4,032258065 ¦ 10,
→
5
l
5 ” l
, donde
5
G|
“→¥ l
[
0,62 ¦ 10
25
0,62 ¦ 10
Determine la existencia de lim
lim
1|
4
1
[
#
1
#
0,62 ¦ 10 . Es decir,
5
2
∎
56
1
š̃√
˜
5
™
˜
˜√
—
4
1
1
2
4
1
2
, c› 8 1
œ
, c›
1
Analizando los límites laterales, tenemos
lim© 5
lim©
→
→
√1
lim©
4
1
1
→
lim©
→
1
1
2
1 √1
4
lim©
1
lim© •
→
4
4
1 √1
2
1 √1
→
√1
1
lim©
4
1
2 √1
∙
√1
4
2
1
→
4
2
4
4
1
1 √1
1
8
2
€
2
2
4
Mientras que
limª 5
limª
→
→
1
√
lim©
4
1
→
1
1
1 √
lim •
→
1
→
limª
2
1
4
1
4
1 √
2
En vista de que los límites laterales son distintos, lim
57
√
→
limª
5
→
1
4
1
4
1
2 √
∙
√
4
2
1 √
1
1
1
1
4
4
2
2
1
8
4
2
€
no existe
∎
1.
Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten
a)
Lim
x3 − 1
x2 −1
b)
Lim
3m 2 − 3
m −1
c)
Lim
d)
Lim
x 4 − 16
x3 − 8
e)
Lim
t2 −9
t 2 − 5t + 6
f)
Lim
g)
Lim
5u 3 + 8u 2
3u 4 − 16u 2
h) Lim
x −1
x −1
i)
Lim
j)
Lim
v +1 − 2
v−3
Lim
5+n − 5
2n
x →1
x→2
u →0
v →3
3
Lim
r →8
x →1
k)
3. Dada f ( x ) =
n →0
( x − 2) 2
n) Lim 2
x→2 x − 4
r −2
r −8
2. Dada la función
t →3
3
2h + 3 − h
m) Lim
h →3
h−3
p)
m→1
q)
( x + 1)3
x → −1 x 3 + 1
Lim
f ( x) = x 2 − 3 x , hallar Lim
h →0
5 x + 1 hallar Lim
h →0
t 3 + 64
t →−4 t + 4
x → 64
x − 64
x −8
x2 + 2x + 1
x → −1
x +1
l) Lim
x−2
x + x−6
o) Lim
−x+2
4 − x2
x→2
x →2
2
x −3
x − 27
3
r)
Lim
x → 27
f ( x + h) − f ( x )
h
f ( x + h) − f ( x )
h
4. Resuelve los siguientes límites:
58
a.
Lim
(3x − 1) 2
( x + 1) 3
b.
Lim
v−2
v2 − 4
c.
Lim
x →1
v→2
x →1
1− x
1− x
d.
Lim
(2 x + 3)( x − 1)
2x 2 + x − 3
e.
Lim
( x + h) 3 − x 3
h
f.
Lim
g.
Lim
5.
Resuelve los siguientes límites:
a.
Si
f ( x) = bx 2 + cx + d , demuestre que Lim
b.
Si
f ( x) = x 2 , demuestre que Lim
c.
Si f ( x ) =
x →1
h →0
( x 2 + 3 x + 2)
x → −1 x 2 + 4 x + 3
h →0
(2 + h) −2 − 2 −2
h
h→0
h→0
f ( x + h) − f ( x )
= 2bx + c
h
f ( x + h) − f ( x )
= 2x
h
f ( x + h) − f ( x )
1
1
, demuestre que Lim
=− 2
h→0
h
x
x
LA DIVISIÓN SINTÉTICA EN EL CÁLCULO DE LÍMITES
Utilice la división sintética para factorizar, y así poder eliminar las indeterminaciones en los siguientes
límites:
a. Lim
6 x 5 − 4 x 4 + 3x 2 − 9 x + 4
x 4 − 8x3 + 9 x − 2
b.
c. Lim
x2 − x − 6
x −3
d. Lim
x →1
x→3
e. Lim
x →1 / 2
g. Lim
a → −1
59
4 x 3 − 8 x 2 + 11x − 4
2x − 1
a 4 − a 2 + 2a + 2
a +1
Lim
x → −2
x → −2
f. Lim
a → −2
5 x 4 + x 3 − 2 x − 76
x 3 − 2 x 2 + x + 18
x 3 + 4 x 2 − x − 10
x+2
2a 3 − 2a 2 − 4a + 16
a+2
h. Lim
x →1
x4 + 5x − 6
x −1
6.
Calcule el valor de los siguientes límites (si es que existen)
a.
lim
lim
b.
lim
c.
d.
lim
e.
lim
f.
lim
VI.
→r
| |
→ ;
w
√ ,0
→¥ √
→¥
→
, ;
«
¬
5
1
√
0 -
, donde 5
→r ,√ ,
®
,
,
√
w
, c› 8 1
2, c›
1
œ
CONTINUIDAD
Considere la función
5
Estudie la continuidad en
®
3 de 5.
Solución: Para que la función 5 sea continua en
lim 5
→0
2
1
2
,
1,
3
93
œ
3, debe ocurrir que
5 3
7
Como la función se define de diferente manera a la derecha y a la izquierda de
laterales
60
3, debemos usa límites
Límite por la derecha:
Por lo tanto, lim
5
→0
lim
5
→0ª
lim
7.
3.
no existe, y de esta forma, no hay continuidad en
Considere la función
š̃
˜√
5
™
˜
˜
—
1
1,
√9
5
11
,
18
9
95
58
,
∎
9 9œ
9
de 5.
Estudie la continuidad en
Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos
puntos, la función es continua.
Continuidad en J
1
→0ª ,
5y
9, en vista de que en el resto de los
¯: Haciendo uso de límites laterales, tenemos que
lim© 5
lim©
→
1
→
25
5
1
21
Mientras que
limª 5
→
61
limª
→
√
1
√9
5
√
limª •
→
1
√9
5
∙
√
√
1
1
√9
√9
€
limª
→
1
5 \√
1
9
√9
limª
limª
→
]
2
\√
1
2
En vista que los límites laterales son distintos, lim
5.
Continuidad en J
→
5 \√
→
2
limª
5
1
√9
→
5
]
10
5 \√
√9
2
2
]
1
√9
]
1
2
2
no existe y por lo tanto, 5 no es continua en
°: Nuevamente, haciendo uso de los límites laterales, tenemos que
lim© 5
lim©
→s
→s
1
√
√9
5
√8
4
√2
2
Por otro lado,
limª 5
→s
11
limª
→s
9
18
→s
En vista que los límites laterales son distintos, lim
9
Dada la siguiente función
š̃
:
Defina : de modo que sea continua en 62
1.
™ w√
˜
—
9
limª
0
→s
5
2
9
limª
→s
2
7
no existe y por lo tanto, 5 no es continua en
#0
, c›
#
1
œ
√#
, c› 8 1
#
w
Solución: Debemos definir el valor de : 1 para que la función sea continua en x
1. Para esto, se debe
cumplir que
: 1
lim© :
limª :
→
→
Ahora bien,
lim© :
lim©
→
→
√
w
√#
#
w
lim©
lim© •
→
# \√
lim© w
→
√
1
√ √#
w
limª :
→
#0
#
0
limª
→
1
√#
w
√ √#
w
w
√#
w
√#
w
€
w
w
w
w
w
√# ]
√ √#
w
√ √#
w
w
#
w
→
√# √
∙w
#
√
√
w
1
√#
w
1
#
√#
w
#
4
Luego, necesitamos que
1
√#
w
G#
w
G#
w
#
1
1
#
#
# √#
w
El lector observador se dará cuenta que #
de hacer mayores cálculos.
4
63
1
w
#
>1
√#
w
1
√#
# √#
w
# G#
w
√#
w
# G#
w
#
#
#
G# ?
1
w
#
# √#
# √#
w
# G#
w
w
# G#
w
0
1
0 es una solución inmediata de la ecuación, sin la necesidad
G#
√# > √#
w
#
w
w
G# -
# √#
w
w
#
# √# ?
0
w
Entonces, uno puede ver que una solución a esta ecuación debe cumplir que √#
w
esto, la función
š̃
˜
:
Es continua en
0
1,
™
˜w
˜√
—
1
1
, si
1
c›
0, es decir, #
0. Con
1
1œ
1
, si 8 1
1
∎
Calcule el valor de
lim
→¥
#
#
Solución: Por continuidad de la función raíz, tenemos que
lim
³→¥
64
#
#
lim
→¥
#
#
´ lim
#
→¥ 1
1
#
1
→¥ 1
lim
1
∎
Dada la función
C
®
es continua en Determine si la función
4
5,
3.
Solución: Para que la función sea continua en
lim C
3
3
,
c›
c›
3
3
œ
3, debe de ocurrir que
C 3
→0
5
Ahora bien, tenemos que
lim
→0
C
=lim
Por lo tanto, Cno es continua en
→0
,-
5
,0
lim
0
→0
,
lim
,0
,0
→0
1
2
5
∎
1.
˜
1
,c›0 8
1
81
#,c›
1
Determine el valor de # para que la función sea continua en
1
2.
65
š̃ √
™
˜1
˜
—2
0
1,c›
œ
1
Dada la función
š
:
Determine si : es o no continua en
, c›
| |
™
— 0,
0.
0
œ
c›
0
VII. DERIVADAS
Dada la función 5
√ , encuentre el valor de 5 ´ 2 mediante su definición.
5 2
2
5´ 2
lim
→
5
lim
→
√4
√ √2
2
lim
→
lim
2 \√
→
2
√2]
5 . Hallar 5 ´ 0 , por medio de límite
Solución:
5´ 0
lim
→r
lim
→r
√4
lim
→r
5
→
√
1
√2
1
2√2
∎
5 0
0
5
√4
lim
√4
5
2
Usando racionalización, tenemos que
lim
→r
66
√4
5
2
lim
→r
√4
5
2 √4
∙
√4
5
5
2
2
lim
→r
De esta forma, 5 ´ 0
-
\√4
5
4
lim
\√4
→r
5
2]
5
4
5
lim
2]
→r \√4
5
5
2]
5
4
.
Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la función 5
√ , en el punto 2,1
Solución: Recordemos lo siguiente
Ecuación de la recta tangente a una función 5
Tq:F
Ecuación de la recta normal a una función 5
Tp:F
en el punto
5
1
5´
en el punto
5
Con esto, por el ejercicio anterior, tenemos que 5 ´ 2
67
5
´
√
,5
,5
. Luego,
Tq:F
F
5 2
√2
1
2
2√2
1
1
F
5´ 2
2√2
2
√2
√2
Mientras que
Tp:F
F
Encuentre la derivada de la función C
5 2
√2
F
U
5´
2√2
2√2
∙ ln 3
1
2
2
2
5√2
∎
2
6
Solución: Haciendo uso de la fórmula del producto y de la regla de la cadena, tenemos que
C´
Derive la función
e
5
∙ ln 3
4
2
7
V
0
ln 7
7
∙8
3
5
2
XU
/
Solución:
Usando la regla de la cadena, tenemos que
4
68
7
0 ´
3 4
24 4
7
\ln 7
5
/
]
´
1
5
7
/
∙ 5
8
;
Ahora, usando la fórmula del producto, tenemos que
5´
24 4
7
ln 7
5
Encuentre un polinomio de segundo grado •
•
1
6, •´ 1
8, •´´ 0
7
#
$
, que cumpla con
4.
0
∙
1
5
4
/
7
/
∙ 5
8
;
∎
•´
•´´
6
2#
2# → 4
Con toda esta información, tenemos que $
buscado es •
2
4
$
•
1
8
•´´ 0
#
•´ 1
2#
2# → 2
$
. (*)
#.
4 y así, en (*) tenemos que
8
$
8. De esta forma, el polinomio
Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un
medio nutritivo y obtuvo el modelo
: [
ln [
2[
5
donde [ se mide en días y : [ es el número de individuos en el cultivo. Hallar la derivada de la función :.
2[
2
Solución: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que
:´ [
69
t
2[
5
∎
A.
RAZÓN DE CAMBIO
Un equipo de investigación médica determina que [ días después del inicio
de una epidemia
p [
10[ 0
5[
√[
personas estarán infectadas. ¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día?
En [
9 se tiene que
P·
P“
Qp
Q[
p´ [
30[
5
1
2√[
” 2435, 16. Esto significa que pasados 9 días la población de
bacterias está aumentando a una razón aproximada de 2435, 16 por día.
Si un asteroide se desplaza en línea recta de acuerdo a la ecuación
c
5[ 0
15[
45[
31990
Dondec es la posición en kilómetros y [ es el tiempo en hora. Hallar la velocidad instantánea y los intervalos
de tiempo donde se mueve a la derecha, a la izquierda, los instantes en los que el asteroide está en reposo,
los instantes en que acelera y desacelera.
SOLUCIÓN:
Derivando, tenemos
c´
70
15[
30[
45
15 [
15 [
2[
3 [
3 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
1
∞
[ 3 [
1 -
1
3∞
+
+
-
-
Por lo que el asteroide avanza si [
+
+
3 está en reposo en [
tiempo es positivo)
Ahora bien,
c ´´
30[
30
3 y retrocede si 0 8 [ 8 3 (recuerde que el
30 [
Por lo que el asteroide acelera si 1 8 [ y desacelera si 0 8 [ 8 1.
Sea 5
#
1
$. Hallar los valores de # y $ tales que la recta F
5 en el punto de coordenadas 2, 4 .
Solución: Como la recta F
2
sea tangente a la gráfica de
2 tiene pendiente igual a , entonces necesitamos que 5 ´ 2
4
#
2→#
2
Además, como el punto 2,4 pertenece a la gráfica de la función, tenemos que
4
B.
5 2
4
4
$→$
2, es decir
4
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
2
-
16
0
32
5 . Hallar los extremos relativos.
Solución: Derivando, tenemos
8
71
5´
6
8
0
8
48
8
64
4
2
Por lo que sus puntos críticos son
0,2,4
Derivando nuevamente, tenemos que
5 ´´
24
96
64
Reemplazando cada punto crítico, tenemos
5 ´´ 0
64
0
5 ´´ 4
64
0
5 ´´ 2
De este modo,
0,4 son máximos y
32 8 0
2 es mínimo.
∎
Hallar los extremos relativos, zonas de crecimiento, decrecimiento, convexidad y concavidad de la función
5
ln
Solución: En primer lugar, <= 5
L puesto que
críticos:
2
1)
1
discriminante es negativo y el coeficiente que acompaña a
Además, tenemos que 5 ´
z
5´
1
1
0 si y solamente si
0⟺2
1
0 para todo número real, ya que su
es positivo. Ahora, buscamos los puntos
1
2
0⟺
por lo que la función es creciente en el intervalo
, ∞g. Análogamente, la función es decreciente en el intervalo z ∞,
g. Derivando nuevamente,
tenemos que
5 ´´
72
2
1
2
1
1
2
2
2
4
1
4
1
2
Luego,
5 ´´
2
0
⇔ 2•
⇔•
1
2
√3
2
2
4
1
€•
1
√12
2
Por lo que la función es convexa en el intervalo z
1
1
0⟺2
2
€•
√3
€80⇔
,
, ,√0 ,
, ,√0
Notemos que los puntos de inflexión son
C.
2
y
√0
4
2
√12
∈Y
180
€80
1
2
√3
,
1
g y así, cóncava en L
,
√0
2
√3
z
W
,
, ,√0 ,
, pues en estos puntos, 5 ´´
√0
g
0
∎
OPTIMIZACIÓN
Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200
helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por
unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero?
¿Cuál será ese beneficio?
Solución:
Llamamos
al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50
céntimos; y venderá 200
2
helados diarios.
Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:
Pero tiene unos gastos de: ¹
73
200
‚
2
50
º 40
200
2
Luego, el beneficio será de:
D
‚
¹
50
200
200
200
2 50
2 10 2
200
40 2 2
2
180 º 40
2000
Hallamos x para que el beneficio sea máximo:
D´
D´
0 ⇔ 4 D′′
4 180
180
0 ⇔ 4; D′′ 45 8 0.
45
Por lo tanto, en x = 45 hay un máximo
De esta manera, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50
caso, el beneficio sería de D 45 6050 céntimos.
45céntimos de euro. En este
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución:
El área de un cilindro de altura
74
y radioa es
H
2baC
2ba
Mientras que su volumen, viene dado por
K
ba C
1
ba
1→C
Reemplazando esto último en la fórmula del área, tenemos
H
Derivando, tenemos
2ba
1
ba
2
a
H´
4ba
a0
75
2
a
2ba
2
4b
4ba
2
a
2ba
0
1
2b
`
a
w
¼
(Punto crítico)
Derivando nuevamente, tenemos
4
a0
H´´
4b
`
Reemplazando el punto crítico, da positivo, por lo que a
w
que minimiza la cantidad de metal.
¼
es el radio del cilindro
Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación C
donde
es la altura en metros y
-
[
∎
60[,
el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima
y el valor de esta altura.
SOLUCIÓN:
Derivando, tenemos que
C´
[
1
[
2
60
120
0
Derivando nuevamente, tenemos que
C´´
1
2
Por lo que al reemplazar nuestro punto crítico, nos da negativo. De esta forma, [
instante el que alcanza su mayor altura.
76
120 segundos es el
Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener
para que su fabricación sea lo más económica posible?
Solución:
Llamamos
al lado de la base e F a la altura del depósito. Así, el volumen es:
K
F
4000 → F
4000
La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:
H
Buscamos
Luego, H´
4 F
4 ∙
4000
para que H sea mínima. Derivando, tenemos
0⟺2
0
16000 ⟺
H´
16000
√8000
w
20
2
16000
16000
2
0
Veamos que es un mínimo:
77
32000
H´´
0
2
Reemplazando el punto crítico, da positivo. Por tanto, el lado de la base debe medir
F
10
20 y la altura,
∎
De entre todos los rectángulos de perímetro 24, encuentre el de mayor área.
Solución: Sean , F el largo y ancho de un rectángulo cualquiera, con perímetro 24. Luego,
F
2
2F
12 → F
24
12
La función a maximizar es el área del rectángulo, a saber,
H
Buscamos los puntos críticos
Como H´´
F
12
H´
0⟺
⟺
12
2
6
12
0
2, al reemplazar nuestro punto crítico, siempre dará negativo. De esta forma,
lo que el rectángulo (de perímetro 24) de mayor área es el cuadrado de lado 6.
78
F
6, por
∎
(DESAFÍO) Uno de los ángulos agudos de un triángulo mide 30 grados y el lado opuesto a este ángulo tiene
una longitud de 10 pulgadas. Demuestre que todos los triángulos que satisfacen estas condiciones, aquel
que tiene el área máxima es isósceles.
Solución:
1
F sin ½
2
El área de un triángulo puede obtenerse mediante la fórmula
H
Donde ½ es el ángulo que forman los lados que miden
e F unidades.
1
F sin 30
2
F
4
De esta forma, el área del triángulo que cumple con las condiciones del problema, es
H
EEEE mide 10 pulgadas. Por el teorema del coseno, tenemos que
Además, HB
F
F
√3 F
2 F cos 30
100 → F
10
F
√3
100
Por lo tanto, reemplazando en el área del triángulo, tenemos que
79
F
H
4√3
100
Por el teorema del seno, tenemos que
sin 30
Análogamente,
20 sin 150
¾
sin ¾
→F
F
20 sin ¾
Por lo tanto, el área del triángulo queda
H
20 sin 150
¾
400 sin 150
¾
100 sin 150
¾
4√3
√3
20 sin ¾
100
400 sin ¾
100
4√3
4√3
4√3
√3
4√3
100 sin ¾
25
Derivando, con respecto a ¾y usando propiedades de trigonometría, tenemos
H´
100
√3
sin 300
100
2¾
√3
sin 2¾
Ahora, buscamos los puntos críticos
H´
0⟺
100
√3
sin 2¾
⟺ sin 2¾
⟺ 2¾
80
100
√3
sin 300
sin 300
300
2¾
2¾
2¾
⟺¾
75
el cual es nuestro punto crítico. Derivando nuevamente, tenemos que
H´
H´´
Reemplazando ¾
75, tenemos que
100
√3
200
H´´ 75
√3
200 √3
∙
√3 2
Por lo tanto, ¾
sin 300
cos 300
200
√3
√3
200
2¾
cos 150
200 √3
∙
√3 2
100
2¾
√3
200
100
√3
sin 2¾
cos 2¾
cos 150
100
200 8 0
75 es máximo. De esta forma, los ángulos de este triángulo de área máxima, son
75, 75,30, es decir, es isósceles.
∎
1.
Encuentre la derivada de las siguientes funciones
a.
5
√
5
>
b.
c.
81
5
w
,;
,0
? >5
?
6 . Hallar 5 ´ 1 usando límites.
2.
3.
Utilizando la regla de la cadena, encuentre la derivada de las siguientes funciones:
a.
5
3
5
G
b.
c.
d.
4.
5
5
G
2
0
0
/
w
5
√3
/
5
,-
Derive la función 5
4 7
12
4
4
-
3
0
+√U
(Ayuda: Use la fórmula de la suma de funciones, junto con la regla de la cadena)
5.
Derive la función 5
4
7
ln 7
/
.
(Ayuda: Use la fórmula del producto de funciones, junto con la regla de la cadena)
6.
Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función :
7.
Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función
punto 0,1 .
5
8.
función
0
ln en el punto 1,
√U
en el
0
/
Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la
* [
500 @1
50
4[
[
A
donde [ se mide en horas. Hallar a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos.
82
OPTIMIZACIÓN
9.
Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo, en una pancarta rectangular que tenga 180 cm2
de material impreso, dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho.
Determine las dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la menor cantidad de papel posible.
10.
Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe
quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área
cercada sea máxima.
11.
Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2 de lámina. ¿Qué
dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen contenido en el sea máximo?
12.
Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalos en donde es creciente y
decreciente, los intervalos en donde es cóncava y convexa, los puntos en donde alcanza sus máximos y
mínimos locales y un bosquejo de la gráfica.
a.
b.
c.
d.
83
5
5
5
5
0
w
3
32
3
48
VIII. CONCLUSIONES
El objetivo de este apunte es ayudar a los estudiantes de la UBO a complementar su estudio. Se recomienda,
que además de este trabajo, utilice otros textos de Matemática para su estudio.
La proyección de estos apuntes está dirigida a extender la cantidad de ejercicios que posee, tanto resueltos
como propuestos. Todo esto, a medida que siga trabajando como profesor universitario (que espero sean
muchísimos años más), con el fin de otorgar al estudiante un material que le sea cada vez más completo.
84
IX.
BIBLIOGRAFÍA DE APOYO
Hoffmann, L. (1998). Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Bogotá: McGraw-Hill.
Jagdish, A., & Lardner, R. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México:
Pearson.
Leithold, L. (1998). El Cálculo. México: Oxford University Press.
85

ejercicios resueltos de cálculo - Universidad Bernardo O`Higgins

Transcripción

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