microeconomia ii - David Henriques

David Henriques
F.E.U.N.L.
MICROECONOMIA II
1) Equilíbrio Geral e Bem-Estar
1.1) Economia de troca pura; equilíbrio Walrasiano.
Equilíbrio Geral: analisa-se como as condições de procura e oferta interagem em
diversos mercados para determinar os preços de diversos bens.
 A Caixa de Edgeworth
- A caixa de Edgeworth pode ser utilizada para análise de troca de 2 bens entre 2
agentes.
Exemplos:
 2 bens: bananas e cocos.
 2 consumidores: Robinson e Friday.
Com preferências  R ;  F e dotações: WR = (WbR ;WcR ) ; WF = (WbF ;WcF )
- Cabazes de consumo: XR = ( X Rb ; X Rc )
XF = ( X Fb ; X Fc )
X Rb  X Fb  WRb  WFb
X Rc  X Fc  WRc  WFc
W Rb
W Fb
F
WFc
Montante total de cocos
na economia
w
W Rc
R
Montante total de bananas na economia
dotação inicial
Região de vantagens mútuas, é a região onde ambos os agentes
ficam melhor se fizerem trocas entre si (atingem níveis de utilidade
superiores).
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 Região de vantagens mútuas
1.ª Propriedade: os agentes só deixam de efectuar trocas quando as curvas de
indiferença forem tangentes.
Razão de troca =
Pb
Pc
Curvas de indiferença
x
R.O. (restrição orçamental)
w
(dotação inicial)
Equilíbrio
R.O. de um agente:
Pb xbR  Pc x cR  Pb wbR  Pc wcR <=>
Pb R
P
x b  x cR  b wbR  wcR
Pc
Pc
2.ª Propriedade: x e w estão sobre a restrição orçamental.
É equilíbrio
x
dotação
W
R.O.
 Caso em que não há equilíbrio (diferentes pontos de
intersecção entre as C.I. e a R.O.)
dotação
W
R.O.
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x
 Não há equilíbrio em x, pois apesar das curvas de
indiferença serem tangentes entre si, estas não são
tangentes com a R.O. nesse ponto.
(as curvas de indiferença são cortadas nesse ponto).
W
R.O.
dotação
 Alocações Pareto Eficientes
X é eficiente no sentido forte se não existir outra afectação admissível y tal que:
Yi ≥ Xi,  i e i Yi >i Xi
X é eficiente no sentido fraco se não existir outra afectação admissível y tal que:
Yi >i Xi,  i
Logo, conclui-se desde já que um x que é fortemente eficiente é também de certeza
fracamente eficiente.
Teorema: Se as preferências forem monotónicas e contínuas então x fortemente
eficiente <=> x fracamente eficiente.
Prova (do outro sentido da equivalência)
Seja x fracamente eficiente, mostremos que é também fortemente eficiente.
Suponhamos que não é, ou seja,  y admissível, tal que:
Yi ≥ Xi,  i e i Yi >i Xi
Para chegar a uma contradição basta mostrar que  afectação admissível Zi, tal que:
Zi >i Xi,  i
Robinson
Friday
zR
yR
yF
Adiciona-se o vector
retirado ao Friday
tira-se este vector
zF
xR
xF
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ZR = YR + (YF-ZF), sendo (YF-ZF) o vector que se retirou ao Friday e atribuiu ao
Robinson; provando-se assim que se as preferências forem monotónicas e contínuas
então x fortemente eficiente <=> x fracamente eficiente.
- Descrição (características) de uma alocação Pareto eficiente:
1) não há forma de todos os agentes ficarem melhor;
2) não há forma de tornar um agente melhor sem deixar alguém pior;
3) todos os ganhos com trocas foram já esgotados;
4) não há vantagens mútuas.
- Movimento de Pareto: X -> Y, quando temos pelo menos um agente estritamente
melhor, sem que nenhum esteja pior.
- Eficiência à Pareto, condições geométricas para um ponto ser eficiente à Pareto:
1) Curvas de nível serem tangentes; 2) ser ponto interior da Caixa de Edgeworth.


Se as curvas não forem tangentes num ponto interior é porque se cruzam, logo, ao
cruzarem-se, geram uma região de vantagens mútuas, logo o ponto onde se cruzam
não é eficiente à Pareto.
NOTA: é possível ter equilíbrio de Pareto em pontos de fronteira da caixa de
Edgeworth, quando um consumidor consome zero de um bem, onde as curvas de
indiferença não são tangentes.
- o conjunto de todos os pontos eficientes à Pareto na caixa de Edgeworth é conhecido
como – a CURVA DO CONTRACTO.
B
Curvas de indiferença do
agente A
Curvas de indiferença do
agente B
A
Curva do contracto
Os pontos de eficiência à Pareto não dependem do ponto de dotação, excepto na
dimensão da caixa de Edgeworth (a dimensão é determinada pela dotação total dos
agentes participantes na economia).
 Trocas no mercado



Assume-se um mercado competitivo;
2 tipos de consumidores: A e B
2 bens: bem 1 e bem 2
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Afectação admissível: X 1A  X 1B  W A1  WB1
X A2  X B2  W A2  WB2
 O leiloeiro define os preços, se: XD => P sobe (caso de excesso de procura)
XS => P desce (caso de excesso de oferta)
Exemplo:
B

P1
P2
Neste caso, temos:
XS bem 1 -> P1 diminui
XD bem 2 -> P2 aumenta
A*
B*
W
A
Em equilíbrio:
TMS1A, 2  TMS1B, 2 
P1
P2
Destas condições é de onde se retira o preço de
equilíbrio (P*)
Excesso de Procura = 0
 Procura Bruta dos agentes A e B, respectivamente: ( X 1A ; X A2 ) ; ( X 1B ; X B2 ) .
 Procura líquida ou excesso de procura (caso do agente A): e1A  X 1A  W A1
Se e1A  0 , está a comprar.
Se e1A  0 , está a vender.
(o caso para o agente B é similar)

Para preços arbitrários (P1;P2) não há a garantia que a oferta seja igual à procura,
ou seja, o montante que o agente A quer comprar / vender não é necessariamente
igual ao montante que o B quer vender / comprar. Isto implica que a procura
total de um bem, seja diferente ao montante total desse bem na economia –
MERCADO EM DESEQUILÍBRIO.
É necessário um reajuste de preços até que a procura iguale a oferta.
Caso de Equilíbrio de mercado ou
Equilíbrio Walrasiano ou
Equilíbrio num mercado competitivo.
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Equilíbrio Walrasiano: o valor de excesso da procura agregada é zero (procura iguala
a oferta em todos os mercados). É um par (X, P) onde X é uma afectação de cabazes,
P
X  ( X bR , X cR ; X bF , X cF ) e P  b
Pc
tal que: X R  X F  W R  W F
Pb R
P
x b  x cR  b wbR  wcR
Pc
Pc
P
P
XF maximiza UF s.a. b xbF  x cF  b wbF  wcF
Pc
Pc
XR maximiza UR s.a.
- Podem existir diversos equilíbrios Walrasianos, esses equilíbrios são dados pela
intersecção das curvas de oferta-preço ou curva de consumo-preço).
Exemplo de um contínuo de equilíbrios Walrasianos:
CCPB
CCPA
 Curva de consumo-preço, diz-nos para cada preço, quanto é que o consumidor
quer consumir.
B
CCP
B
CCPA
O ponto de equilíbrio é dado
também pela intersecção das curvas
de consumo-preço.
O ponto onde se dá a intersecção das
curvas de consumo-preço é também
onde as curvas de indiferença de
ambos os consumidores são
tangentes.
R.O.’s, em que cada recta
representa um rácio de preços
diferente.
A
 Lei de Walras
e1  e1A  e1B
e
e 2  e A2  e B2
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Em equilíbrio:
e1A  e1B  0
e A2  e B2  0
A lei de Walras diz que: P1.e1 + P2.e2  0 -> o valor do excesso da procura agregada é
igual a zero.
Prove-se essa equação (a lei de Walras)
R.O. do agente A é:
P1 x1A  P2 x A2  P1 w1A  P2 w 2A  P1 [ x 1A  w1A ]  P2 [ x A2  w 2A ]  0  P1[e1A ]  P2 [e 2A ]  0
R.O. do agente B é:
P1 x1B  P2 x B2  P1 w1B  P2 wB2  P1 [ x 1B  w1B ]  P2 [ x B2  wB2 ]  0  P1[e1B ]  P2 [e B2 ]  0
Então, somando ambas as R.O. dos agentes, ficamos com a seguinte expressão:
P1[e1A  e1B ]  P2 [e A2  e B2 ]  0  P1e1  P2 e 2  0
c.q.d.
Pela lei de Walras sabemos que desde que o valor do excesso de procura de cada
agente seja igual a zero, então o valor da soma dos excessos de procura dos agentes é
também igual a zero.
Lei de Walras é válida para todos os preços desde que seja respeitada a R.O.
Se o excesso de procura de um mercado é igual a zero – significa que esse
mercado está em equilíbrio - algebricamente fica:
e1 = 0, de acordo com a Lei de Walras, sabemos que P1.e1 + P2.e2 = 0 
 P1.(0) + P2.e2 = 0  P2.e2 = 0  se P2 > 0, logo e2 = 0
Com este resultado, sabemos que se num grupo de 2 mercados, se um dos mercados
está em equilíbrio (ou seja, a soma dos excessos de procura nesse mercado é zero),
então de certeza que o 2º mercado também está.
Em geral,  K mercados, se (K-1) estão em equilíbrio  Késimo também em
equilíbrio.

Existem (K-1) preços com K bens, pois o que interessa são os preços relativos
que se podem definir todos em relação a apenas um bem.
NOTA:
Fórmula que se verifica sempre quer para preços de equilíbrio ou não:
P1 (e1A  e1B )  P2 (e A2  e B2 )  P3 (e 3A  e B3 )  0, P (para todo o preço)
 Equilíbrio e Eficiência
Uma vez atingido o equilíbrio competitivo, os agentes não vão querer mais trocas,
isto pode ser explicado porque os cabazes que o agente A prefere não intersectam os
cabazes que o B prefere, isto significa que não há alocações que ambos os agentes
prefiram ao equilíbrio de mercado competitivo  logo o equilíbrio de mercado
competitivo é Pareto eficiente.
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Vejamos a demonstração algébrica (pelo método da contradição):
Suponha-se um equilíbrio de mercado que não é Pareto eficiente; então existirá uma
alocação que será melhor para os agentes do que o ponto onde estão agora, ou seja:
y 1A  y 1B  w1A  w1B
y A2  y B2  w 2A  wB2
( y 1A , y 2A )  ( x1A , x A2 )
( y 1B , y B2 )  ( x 1B , x B2 )
Mas por hipótese, assume-se que cada agente no equilíbrio de mercado tem o
melhor cabaz inicial possível. Então se ( y 1A , y 2A ) é melhor que ( x 1A , x 2A ) é porque terá que
custar mais do que este último.
P1 y 1A  P2 y A2  P1 w1A  P2 w A2
P1 y 1B  P2 y B2  P1 w1B  P2 w B2
Juntando as 2 equações, fica:
P1 ( y 1A  y 1B )  P2 ( y A2  y B2 )  P1 ( w1A  w1B )  P2 ( w 2A  wB2 ) 
 P1 ( w1A  w1B )  P2 ( w 2A  wB2 )  P1 ( w1A  w1B )  P2 (w A2  wB2 )
O que é uma contradição! Logo, o equilíbrio x é eficiente à Pareto. Ou seja, todos os
equilíbrios concorrenciais são Pareto eficientes.
 Teoremas de Bem-Estar
 1º Teorema do Bem-Estar
(x,p) equilíbrio Walrasiano  x eficiente (no sentido fraco).
Todos os equilíbrios concorrenciais são Pareto eficientes, pois todos os ganhos
com as trocas são esgotados.
Prova simples, supondo: preferências convexas e que as superfícies de indiferença
não intersectam os eixos e utilidade diferenciável.
X2
Umg1R P1 Umg1F


 Eficiência
Umg 2R P1 Umg 2F
X1
F
Qualquer dotação inicial W, desde que
sobre a R.O. vai ter como equilíbrio o ponto x –
isto acontece porque se um dos agentes possuir
mais de um bem, respeitando a R.O. vai
necessariamente possuir menos do outro bem,
sendo o equilíbrio sempre o mesmo.
x
R
R.O
.
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O 1º Teorema do Bem-Estar garante apenas que equilíbrios de concorrência
perfeita são eficientes, podendo ser ou não socialmente justos.
Equilíbrio concorrencial  Eficiência Pareto
Assume-se que:
1) Os agentes tendem sempre a maximizar o seu bem-estar (a “mão-invisível” de
Adam Smith), caso contrário estamos perante uma externalidade, podendo não se atingir
um equilíbrio eficiente à Pareto. (Exemplo: quando um agente A, se preocupa com o
consumo do agente B);
2) Agentes comportam-se competitivamente;
3) 1º Teorema do Bem-Estar só é relevante em equilíbrio competitivo, ou seja,
quando os agentes são muito pequenos em relação ao mercado.
- Sendo um problema que envolve muitas pessoas, é importante para os agentes (que
actuam num mercado competitivo) saberem os preços para tomarem as suas decisões de
consumo. Para a tomada de decisão de “o que consumir”, a única informação que o
agente necessita, são os preços.
- Geometricamente, as afectações eficientes são pontos de tangencia das curvas de
indiferença dos agentes – porque nesses pontos é impossível criar uma região de
vantagens mútuas.
- Para o caso genérico, n consumidores e l bens (NOTA: na página 8, está a
demonstração para o caso de 2 bens e 2 consumidores, vamos agora generalizar)
Seja (x,p) equilíbrio walrasiano, suponhamos que x não é eficiente no sentido
fraco, ou seja, existe uma afectação admissível que:
Y i  i X i , i  Y i não pode satisfazer a R.O. a preços P, ou seja,
P1 y1i  ....  Pl 1 y li1  y li  P1 w1i  ....  Pl 1 wli1  wli ,  i -> para o consumidor i
Então, para a economia (com todos os consumidores), a inequação fica:
n
n
n
n
n
n
P1  y1i  ....  Pl 1  y li1   y li  P1  w1i  ....  Pl 1  wli1   wli , i
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i 1
i 1
n
Mas se Y admissível   y Ki   wKi , qualquer que seja o bem K, o que contradiz a
i 1
i 1
inequação de cima! (basta fazer a substituição na inequação e facilmente se atinge uma
contradição).
Sendo as utilidades diferenciáveis a prova seria mais simples (2 bens), eficiência
TMS i  TMS j , i , j ,em equilíbrio TMS i  P , em que P é a razão de trocas.
A TMS terá de ser igual para todos os agentes, pois TMS = razão de troca.
 Caso com mais de 2 bens
Equilíbrio
i
k
i
l
Umg
 Pk ,  consumidor i, bem k
Umg
Eficiência
Umg
Umg kj

,  par de consumidores i,j,
Umg
Umg lj
bem K.
i
k
i
l
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 2º Teorema do Bem-Estar
Nem todas as soluções eficientes à Pareto podem ser equilíbrio de mercado.
B
R.O.
Exemplo:
X é eficiente à Pareto, mas não é
equilíbrio.
 As procuras óptimas dos agentes A
e B não coincidem.
- agente A, quer o cabaz Y.
- agente B, quer o cabaz X.

Curva de
indiferença B
x
Curva de
indiferença A
y
A
2º Teorema do Bem-Estar: se todos os agentes tiverem preferências convexas,
contínuas e monotónicas então haverá sempre um preço relativo para o qual uma
alocação Pareto eficiente é equilíbrio de mercado.
x >> o eficiente   w, p : ( x, p) é equilíbrio para w.
O 2º Teorema de Bem-Estar diz que sob determinadas condições, qualquer ponto
eficiente à Pareto pode ser um equilíbrio competitivo. Os problemas de distribuição
(equidade) e eficiência podem ser separados.
Podemos redistribuir as dotações de bens para determinar quanta riqueza os
agentes têm e então usar os preços para indicar a escassez relativa. O Estado pode
redistribuir as dotações através de impostos.
NOTA: Se o Estado taxar consoante as escolhas do consumidor, então poderão obter-se
resultados ineficientes, uma vez que o imposto vai afectar as escolhas marginais dos
consumidores.
Para não afectar as escolhas do consumidor, o Estado deve cobrar um imposto
lump-sum. Não interessa como são redistribuídas as dotações, o ponto de equilíbrio será
determinado pelas forças de mercado, sendo Pareto eficiente.
Se a redistribuição for feita com base na transferência de apenas um bem de um
agente para outro, isto vai levar a ineficiência, pois estão a alterar-se as escolhas
marginais dos agentes, a forma eficiente é simplesmente o imposto lump-sum.
O 2º Teorema dá a ideia que sem mexer nos preços (ou seja, mantendo o declive
da R.O.) podemos redistribuir as dotações que vamos obter sempre o mesmo equilíbrio.
Enquanto as preferências forem convexas, então qualquer ponto eficiente à
Pareto pode ser suportado como um equilíbrio competitivo. Primeiramente faz-se a
redistribuição, depois é deixar o mercado funcionar. O preço relativo antes e depois da
redistribuição de dotações pode ser diferente.
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 3º Teorema do Bem-Estar
Dada uma função bem-estar social W(uR,uF) que seja monotónica, um
maximizante x do bem-estar social é eficiente.
Seja x, solução de Max W(uR(xR);uF(xF))
s.a. xR+xF = r , em que r são os recursos totais da economia,
então x é eficiente.
Prova do 3º teorema por contradição: suponhamos que x não é eficiente no
sentido fraco então  y admissível: y i  x i ,  i e para algum i, i , y i  x i (pelo menos
um indivíduo), logo, W(uR(yR);uF(yF)) > W(uR(xR);uF(xF)) -> o que constitui uma
contradição!
Resumindo: Se x maximiza W(u1,…..,un) s.a
x
 r , então x é eficiente.
i
 4º Teorema do Bem-Estar
Supondo utilidades côncavas, crescentes, contínuas, com superfície de
indiferença que não toque nos eixos.
x eficiente  a : x maximiza w  i a i u i s.a  x i  r
i
F
uR
aF
declive R
a
x
uF
R
Dado x >> o eficiente, existe um vector a de pesos, tal que x maximiza a função
bem estar social.
-> Se as utilidades individuais forem estritamente côncavas, então a Fronteira de
Possibilidades de Utilidade é também estritamente côncava.
 A F.P.U. dá-nos os pares (uF, uR) tais que uR = Max U R ( x bR , x cR )
s.a
F
F
b
F
c
F
F
R
b
R
c
F
U ( x , x )  u  U (rb  x , rc  x )  u
xR + xF = r
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Demonstrações
 Se as utilidades forem côncavas, qualquer afectação eficiente maximiza
uma soma ponderada (com o vector a de preços) das utilidades individuais.
Utilidades côncavas => Curvas de indiferença convexas e FPU côncavas.
Pelas condições descritas acima podemos utilizar o 2º Teorema.
Pelo 2º Teorema  w, p : ( x, p ) é equilíbrio para w então u i ( xi )  i . p
Verificando:
i
Max U ( xi )
n
s.a
n
 pxi   pwi
i 1
i 1
n
n

L  U i ( xi )    pwi   pxi 
 i 1
i 1

i
i
Obtendo-se como C.P.O. u ( x i )   p
n
Max  a i .u i ( xi )
i 1
A nível de bem-estar social, temos agora o seguinte problema
.
n
s.a
x
i
r
i 1
A soma das procuras deve ser igual ao total de recursos existentes na economia.
n
 n

L   ai u i ( x i )     xi  r  , em que µ é o vector de multiplicadores de Lagrange do
i 1
 i 1

problema.
Analisando as C.P.O. do problema, encontramos:
a i u i ( x i )  
1
Sabemos que as C.P.O. têm que coincidir, logo: µ = P e ai  i .

No caso da história do Robinson e do Friday, a função de bem-estar social ficaria com a
1
1
seguinte expressão: W  a R .U R  a F .U F  W  R .U R  F .U F


_
R
W  a RU  a F U
F
U
F
w aR R


.U   Re cta de iso  bem estar.
aF aF
1
R
a
F
declive = R    R , considerando o espaço (UF,UR).
1
aF

F

Concluindo: Se as utilidades forem côncavas,
sendo as CI convexas e contínuas, então existirá
a
UR
declive  R
sempre um preço relativo P, para o qual uma
aF
alocação Pareto eficiente é equilíbrio de mercado
(2º T. Bem-Estar). Assim, dado um x eficiente, a
R F
sua imagem em utilidade vai ser um ponto da FPU,
(U ,U )
onde se atinja a iso-bem-estar mais alta, que
corresponde ao ponto da FPU cuja derivada é igual
a
a  R (o declive da F.Bem-Estar Social).
F
U
aF
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 Provar que a FPU tem de ser côncava se as utilidades forem côncavas. Se a
FPU não for côncava não podemos afirmar o 4º Teorema.
_
R
u  Max U R ( xbR , xcR )
d2 uR
Queremos provar que
 0 , ou seja, que a
_
_
F
R
R
F
2
s.a u (rb  xb ; rc  x c )  u
d uR
FPU é côncava.
_ F 
 F
R
R
R
R
R
L  u ( x b , x c )    u ( rb  x b ; rc  x c )  u 


_ R
du
_ F

du
C .P .O .
 L

u bR '
u cR '
 x R  0
 R'
F'
   F '   F '
 b
ub
uc
u b   u b  0

 L
 R'

F'
 
 R  0  u c   u c  0
 x c


F
_
 L
u F ( r  x R ; r  x R )  u

b
b
c
c

0


 
Pelo
2º
Teorema,
x
n
n
é
eficiente
sendo
as
CPO
do
problema
Max U i ( xi ) s.a  p.xi   p.wi
i 1
i 1
C.P.O.
 L
 u bR '  R .Pb
 x  0
 
 F'  F
 b
u bR '   R .Pb , u bF '   F .Pb
u

.
P
b
b

 L



0





 x c
u R '   R .P , u F '   F .P
 u R '  R .P
c
c
c
c
 c
 L
 c 
 
0

 u cF '  F .Pc
 
R
Das C.P.O. tiramos que    F é o declive da FPU, considerando o espaço (UR, UF).

R
µ é o multiplicador de Lagrange do problema do Robinson;
µF é o multiplicador de Lagrange do problema do Friday;
λ é o multiplicador de Lagrange do problema de maximização das utilidades (FPU)
verificado atrás.
O declive da FPU é λ, então para se demonstrar a concavidade da FPU, basta
d
agora mostrar que
 0 . Como λ depende positivamente de µF e negativamente de
F
_
du
µR, é o mesmo que mostrar
d F
_F
du
 0,
d R
_F
 0 , significa que a utilidade marginal do
du
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rendimento do Friday é decrescente com o seu rendimento, ou seja, algebricamente
d F
equivale a escrever
 0.
dm F
Vejamos o porquê de tal suceder:
A função inversa (do problema de maximização de
utilidade) será a minimização da despesa
_F
_F
u  Max u
m F (u )  min P.x F
F
_F
p xF  m F
u F (x F )  u
_F
F 
du
dm F
F 
dm F
_F
du
É o multiplicador de Lagrange do
problema de minimização de despesa.
1
; logo, mostrar que µF decresce com uF é o mesmo que
F
1
 0, porque  F  F .

Daqui tiramos que  F 
mostrar que
F
d F
du F
F
_F
L  P.x   (u  u F ( x F ))   Lagrangeana do problema de min de despesa.
C.P.O.
 L
F F'
 x b  0 pb   u b  0

 L
F F'
 c  0 Pc   u c  0
 x
_F
 L
 0uF  u  0

 
Ficamos com um sistema de 3 equações e 3
F
F
variáveis: xb , x c , 
F
Para determinarmos as 2ªs derivadas destas variáveis que estão definidas
implicitamente na 1ª derivada da função utilidade, utilizemos o teorema da função
implícita. (rever Teorema da Função Implícita)
   F u bbF ''
 F F ''
   u cb
  u bF '

  F u bcF ''
  F u ccF ''
 u cF '
x F

 b _F
u   0 
 u bF '  
F


 x
 u cF '   c _ F    0 
0   F  u   1



_F

 u 
Para determinar a variável que nos interessa
Teorema da Função Implícita
J xf  ( J yF ) 1 . J xF  J yF . J xf  .J xF
 F
_F
, utilizemos a regra de Cramer (rever
u
método de resolução de sistemas pela regra de Cramer e propriedades de determinantes).
Microeconomia II
14
David Henriques
F.E.U.N.L.
U bbF '' U bcF ''
F
2
 ( ) U

U
F
_F
U
U
0
F ''
cc
F'
c
0
1 F


U
u
F ''
cb
F'
b
F ''
bb
U
F ''
bc
 ( F ) 2 U cbF '' U ccF ''
U
Para se mostrar que
F'
b
U
 F
_F
U
F'
b
U
F'
c
F'
c
1

F


F
U
F ''
bb
.U ccF ''  (U bcF '' ) 2

U bbF '' U bcF '' U bF '
1

F
U cbF '' U ccF '' U cF '
U bF '
F
U cF '
0
NOTA:
U bcF '' .U cbF ''  U bcF '' .U bcF '' 
 U cbF '' .U cbF ''  (U cbF '' ) 2  (U cbF '' ) 2
derivadas cruzadas são iguais
0
 0 , basta verificar se numerador e denominador têm o mesmo sinal.
u
o Numerador é positivo
Sabendo que a utilidade do Friday é estritamente côncava, logo a hessiana terá de
ser definida negativa. Isto implica que |H1| < 0 e |H2| > 0, ou seja, =>
U bbF ''  0, U bbF '' .U ccF ''  (U bcF '' ) 2  0 . A concavidade estrita da função utilidade garante
que o numerador é positivo.
o Denominador é positivo
U
U bcF '' U bF '
U
U ccF '' U cF '  U bbF '' .(U cF ' ) 2  U bcF '' .U bF ' .U cF '  U bF ' (U bcF '' .U cF '  U ccF '' .U bF ' ) 
U
U cF '
0
F ''
bb
F ''
cb
F'
b


  U bbF '' (U cF ' ) 2  2U bcF '' .U bF ' .U cF '  U ccF '' .U bF '  0
A garantia de que este determinante é positivo vem do facto de assumirmos que
d 2c
c
as CI são convexas e logo
 0 . Graficamente observamos:
db 2
U'
dc
O Teorema da F. Implícita diz-nos que
  b' , logo
CI
db
Uc
b
F'
b
F'
b




F'
U cF ' (U bbF ''  U bcF '' .U
U cbF ''  U ccF '' .U
F'   Ub 
F' 

Uc 
U c  
d c




, então
db 2
(U cF ' ) 2
2
(U cF ' ) 2 .U bbF ''  U bcF '' .U bF ' .U cF '  U bF ' .U cbF '' .U cF '  U ccF '' .U bF '
d 2c



db 2
(U cF ' ) 3

NOTA:
dU bF '
dc
 U bbF ''  U bcF '' .
db
db
(U cF ' ) 2 .U bbF ''  2U bcF '' .U bF ' .U cF '  U ccF '' .U bF '
0
(U cF ' ) 3
Comprovando-se assim que

_F
 0, por tan to
u
d F
_F
du
que λ representa o declive da FPU,    
R
 0 e log o
d
_F
 0 c.q.d . , em
du
F
 .
Microeconomia II
15
David Henriques
F.E.U.N.L.
1.2) Eficiência de Pareto; monopólio e o core.
 Monopólio
 Agente A vai determinar o preço, enquanto o agente B, vai decidir qual a






quantidade a comprar (para o preço estabelecido);
Supõe-se que A conhece a curva de procura de B e vai escolher os preços de
modo a ficar o melhor possível;
Curva de oferta-preço: representa todas as escolhas óptimas do consumidor para
cada preço – descreve o comportamento da procura de B.
Agente A quer maximizar a sua utilidade, então este ponto é dado pela tangencia
entre a curva de indiferença de A (monopolista) e a curva de oferta-preço de B
(comportamento concorrencial).
Se a curva de oferta-preço de B cortar a C.I. de A, então vai existir um equilíbrio
preferível para A.
Uma vez determinado o ponto de equilíbrio monopolístico (X), determinam-se
os preços (declive da recta que une X a W).
Em geral, o equilíbrio monopolístico não é eficiente, isto porque a C.I. de A (do
monopolista) não é tangente à C.I. de B, criando uma região de vantagens
mútuas.
R.O. com declive 
C. Ofertapreço de B
B - Comport.
concorrencial
P1
P2
X
Curva
indiferença A
-> região de vantagens
mútuas (logo, não é eficiente à
Pareto).
O monopolista venderia mais se
baixasse o preço, mas teria uma
grande perda em termos de vendas
inframarginais, daí que opte por
vender menos unidades, mas a um
preço mais elevado cada uma.
W
Curva
indiferença B
A
Monopolista
 Monopólio de discriminação perfeita (1º grau)
 Cada unidade é vendida ao agente que mais a valorizar;
 Só o agente A é que ganha com as trocas em monopólio com discriminação
 O equilíbrio do monopólio com discriminação perfeita é eficiente à Pareto.
B - Comport.
concorrencial
X
X -> é o equilíbrio do monopólio com
discriminação perfeita
Curva
indiferença A
Curva
indiferença B
W
A
Monopolista (perfeito)
R.O. com declive 
P1
P2
Microeconomia II
16
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F.E.U.N.L.
Vejamos a resolução analítica de equilíbrios eficientes à Pareto (caso de
monopólio com discriminação perfeita, em que o agente B tem utilidade inicial como
um dado fixo).

Max
{ x1A , x 2A , x1B , x B2 }
u B ( x 1B , x B2 )  u
U A ( x 1A , x A2 )
x 1A  x1B  w1
s.a
x A2  x B2  w 2

L  u A ( x 1A , x A2 )  λ (u B ( x 1B , x B2 )  u )  1 ( x 1A  x 1B  w1 )   2 ( x 2A  x B2  w 2 )
 -> é o multiplicar de Lagrange da restrição da utilidade;
1 -> é o multiplicar de Lagrange da restrição do recurso 1 (de W1);
 2 -> é o multiplicar de Lagrange da restrição do recurso 2 (de W2);
C.P.O.
L U A

 1  0
x 1A
x 1A
U A
TMS XA1 , X 2 
A
L U A

 2  0
x 2A
x 2A
A

U
L
  1B  1  0
1
x B
x B
U A
U B
TMS
U B
L
 
 2  0
2
x B
x B2
B
X 1B , X B2

U B
x 1A

1
2

1
2
x A2
x 1B
x B2
No caso, em que ambos os agentes estão a maximizar as suas funções de
utilidade, temos que:
U A
x
1
A
U A
U B
P
 1
P2
x 1B

P1

P
, então é como se 1  1 . Os multiplicadores de
P2
 2 P2
U B
x A2
x B2
Lagrange 1 e  2 são também conhecidos por preço sombra ou preços de eficiência.
 Estabilidade Social de Equilíbrio. O core.
Seja S uma coligação, ou seja, um subconjunto de consumidores S bloqueia uma
afectação x via uma afectação y se:
1º) Y i  i x i , i  S
2º)
i
 y  w
iS
i
iS
Core: da economia é o conjunto das afectações não bloqueáveis. São os pontos,
socialmente estáveis, considera as 3 restrições das 3 coligações (no caso de 2 agentes).
Microeconomia II
17
David Henriques
F.E.U.N.L.
1) apenas pelo F.
3 tipos de coligações possíveis: 2) apenas pelo R.
3) pelos 2 agentes.
1) Apenas pelo F
2) Apenas pelo R
F
F
w
w
R
R
Friday é capaz de bloquear todo os
pontos acima da sua curva de indiferença inicial (que passa em w).
R é capaz de bloquear todos os
pontos abaixo da sua curva de indiferença inicial (que passa em w).
3) Pelos 2 agentes
F
Curva do contrato: é o conjunto de
pontos não bloqueáveis pela coligação.
R
Pontos de CORE
F
Pontos de core (consideram todas as restrições)
R
 Debreu-Scarf (1963), provaram a conjectura de
Edgeworth.
Quando aumenta o nº de agentes, o core tende a
diminuir. No limite, quando há infinitos agentes
(um grande número de agentes), o CORE da
economia é o ponto de equilíbrio.
Microeconomia II
18
David Henriques
F.E.U.N.L.
1.3) Economias com produção

1 consumidor, 1 empresa, 2 bens (cocos ( c ) e horas de trabalho, que é
considerado um bem mal).
C
Curva de indiferença
Função de produção
C*
T
T*
Max U
s.a função de produção
{C ,T }


Assume-se uma função de produção com rendimentos decrescentes à escala, ou
seja, o produto marginal do trabalho diminui;
O ponto óptimo é dado pela tangencia entre curvas de indiferença do Robinson e
a função de produção; é o ponto onde o produto marginal de uma hora extra de
trabalho igual a TMS entre lazer e cocos.
Separando o problema em duas partes, temos:
-> Problema da empresa (o produtor)
Max  = Pc.C-w.T
s.a função de produção
NOTA:
Pc = 1 (por hipótese); w = salário nominal horário
C
Curvas de iso-lucro
Função de produção
CP
TP(w) -> procura de trabalho
TP
T
Resolvendo a equação em ordem a C, fica:
Microeconomia II
19
David Henriques
F.E.U.N.L.
C =  + wL -> curvas de iso-lucro
-> Problema do consumidor
Max U
s.a R.O. (restrição orçamental)
R.O.: Pc.C = w.T + 
Em que Pc = 1 (por hipótese) e o lado direito da equação corresponde ao rendimento
total do consumidor.
C.I
.
C
R.O.
W
CC
Lucro =  *
TC
T
NOTA: C.I. são positivamente inclinadas, pois o trabalho é visto como um bem “mal” e
cocos são um bem.
Em equilíbrio:
TC (w) = TP (w), resultando num w* (salário de equilíbrio)

Isolucro e R.O. têm exactamente o mesmo declive.
C.I.
C
R.O.
x
CC = CP
Lucro =  *
W
Função de
produção
TC = TP
X é simultaneamente óptimo de consumo e de produção.
T
Desde que:
TMS L,C = w e Pmg L = w, logo os declives das C.I. e da função de produção serão os
mesmos.
 Numa economia de mercado, as empresas olham simplesmente para os preços
dos bens para tomar as suas decisões (produzindo mais ou menos output);
Microeconomia II
20
David Henriques


F.E.U.N.L.
No caso anterior, em que havia 1 só input e a Pmg L = w que é decrescente à
escala então estamos numa situação de rendimentos decrescentes à escala.
Quando a tecnologia é de rendimentos constantes à escala, isto implica que
numa empresa competitiva o lucro seja zero, isto porque se o  >0 então a
empresa quereria expandir o output indefinitivamente; se  <0, a empresa
preferia produzir zero.
R.O. = função de produção
com rend. constantes à
escala.
C
C.I.
C*
T
T*
Com uma tecnologia de rendimentos crescentes à escala, a empresa quererá
produzir mais (procurando maximizar o lucro), mas isto será incompatível com a
procura pelo output e pela oferta de input dos consumidores. Não há preço para o qual a
maximização das utilidades do consumidor iguale a maximização do lucro da empresa.
função de produção com
rend. crescentes à escala.
C
C.I.
C*
T
T*
Com rendimentos crescentes à escala (da f. de produção) a alocação eficiente à
Pareto não pode ser obtida num mercado competitivo (em mercados competitivos a
longo prazo, as empresas trabalham com rendimentos constantes à escala) –
rendimentos crescentes à escala são um exemplo de não convexidade – rever noções
de espaço convexo e conexo.

Para preferências e tecnologias convexas, as únicas coisas que os agentes
necessitam de saber para tomar decisões eficientes são: 1) os preços; 2) TMS.
Microeconomia II
21
David Henriques

F.E.U.N.L.
No caso de preferências não-convexas, para a decisão do equilíbrio são
necessários:1) os preços, 2) o declive da f. produção e das curvas de indiferença.
 Produção e o 1º Teorema do Bem-Estar
Se todas as empresas tiverem um comportamento competitivo, então o equilíbrio
competitivo é Pareto eficiente. Este resultado, tem no entanto alguns impedimentos:
a)
Não tem nada a ver com distribuição; a maximização do lucro relaciona-se
apenas com eficiência e não justiça!
b)
Este resultado só é válido para mercados competitivos, ou seja, ficam de fora
empresas em função de produção de rendimentos crescentes à escala;
c)
O resultado assume que a produção de uma empresa não tem impacto noutras
empresas, ou seja, que não há externalidades de produção; por outro lado,
assume-se também que não afecta directamente as possibilidades de consumo
dos consumidores, logo, não há externalidades no consumo.
 Produção e o 2º Teorema do Bem-Estar
Sob determinadas condições (preferências convexas, contínuas e monotónicas),
qualquer ponto eficiente à Pareto pode ser um equilíbrio competitivo, sendo este
resultado válido também para economia com produção, desde que a função de
produção seja côncava  isoquantas convexas, logo, as funções de produção de
rendimentos crescentes à escala não são abrangidas por este teorema.
O 2º Teorema do Bem-Estar funciona bem para rendimentos constantes e
decrescentes à escala. Em geral só é necessário fazer uma redistribuição das dotações
entre os consumidores para suportar diferentes alocações Pareto eficientes.
 Fronteira de Possibilidades de Produção (F.P.P.)
 2 consumidores, 2 empresas e 2 bens.
Y
_
B
y
declive = TMT = 
x
w
A
Px
Py
F.P.P.
X
_
x
NOTA: TMT = Taxa Marginal de Transformação
TMT tem o mesmo declive que a Restrição Orçamental.
Microeconomia II
22
David Henriques
F.E.U.N.L.
Pontos sobre a F.P.P. são pontos eficientes, pois não é possível aumentar a
produção de um bem sem diminuir a quantidade produzida do outro bem. A F.P.P.
analisa o tradeoff entre 2 outputs possíveis de produzir numa economia. A forma da
FPP vai depender das tecnologias utilizadas.
Exemplo: se a tecnologia for de rendimentos constantes à escala, então a F.P.P.
vai ser uma função linear.
Suponhamos que Robinson consegue produzir:
-> 10 Peixes em 1hora ou -> 20 cocos em 1hora
LC – designa o nº de horas a apanhar cocos;
LP – designa o nº de horas a apanhar peixes.

R vai produzir 20 LC + 10 LP
C P

 10
20 10
L C  L P  10
P
 Se LTotal = 10, então P  10L P
é a F.P.P. do Robinson
 LP 
10
C  20L C
C
LC 
20
 A F.P.P. dá-nos todas as combinações de output possíveis entre os 2 bens. O
declive da F.P.P. é a Taxa Marginal de Transformação (TMT), isto é, diz-nos o
quanto o agente tem de abdicar de um bem se decidir consumir mais do outro.
Neste caso,
C  P  10  C  (10  P )20  C  200  2 P
20
10
10
C
 2
P
Ou seja, para aumentar o consumo em 1unidade de peixe, terá de abdicar de 2
unidades de cocos.
 Vantagem comparativa
Suponhamos que surge outro trabalhador (Friday) que tem a seguinte tecnologia:
20P em 1hora ou 10C em 1hora
P
LP 
20
L C  L P  10
C
P  20L P
 LP 
10
C  10L C
C P

 10
10 20
F.P.P. do Friday
C  (10  P
)10  C  100  P
20
2
C
 0,5
P
Microeconomia II
23
David Henriques
F.E.U.N.L.
Isto significa, que para aumentar o consumo em 1unidade de peixe, terá de dispensar
0,5 unidade de coco.
Resumindo:
 Robinson se despender 1 unidade de peixe, ganha 2 de coco;
 Friday se despender 1 unidade de peixe, ganha 0,5 de coco.
Conclui-se que o Robinson tem vantagem comparativa em coco e o Friday tem
vantagem comparativa em peixe.
C
C
C
200
300
-0,5
-2
100
200
-0,5
100
-2
P
200 P
200
P
300
Até às 200 unid. de peixe será sempre o Friday a produzir, pois possui vantagem
comparativa em peixe, só se a procura for superior a 200 é que o Robinson produz peixe
também. O simétrico se passa para os cocos: até aos 200 de cocos, será sempre o
Robinson a produzir, só a partir dessa quantidade é que o Friday produz cocos também,
isto porque o Robinson tem vantagem comparativa em cocos.
Se o Robinson quisesse comprar peixe ao Friday, estaria disposto a pagar no
máximo (limite) 2 unid. de coco, porque é esse o custo de oportunidade que ele próprio
tem em produzir peixe. Por outro lado, o Friday está disposto a aceitar no mínimo 0,5
unid. de coco por 1 peixe, visto ser este o seu custo de oportunidade.
O preço relativo vai estar sempre entre os 2 custos de oportunidade dos agentes:
0,5  P  2 .
NOTA: David Ricardo, defendia que os países deveriam importar consoante as
vantagens comparativas de cada nação -> especialização de cada país num dado
produto.
 Eficiência à Pareto
- 2 bens: b, c
- 2 consumidores: R, F
- 2 inputs: L, K
Tecnologia
_
b  b( Lb , K b )
c  c ( Lc , K c )
_
Recursos da economia: L, K (são dados)
Uma afectação (bR,cR,bF,cF,LB,KB,LC,KC) é eficiente se resolver um problema do tipo:
Microeconomia II
24
David Henriques
F.E.U.N.L.
Max UR(bR,cR)
_
UF(bF,cF) = U F
bR + bF = b(Lb, Kb)
cR + cF = c (Lc, Kc)
s.a
T (bR + bF; cR + cF) = 0
_
X1 ; X2
Lb + Lc = L
_
Kb + Kc = K
Pontos de eficiência na produção são aqueles em que há tangencia entre as isoquantas.
L
C
K
x
_
K
Curva do contracto
w
K
Isoquantas
B
L
_
L
Resolvendo o problema analiticamente:
R
R
F
F
F
_
F
L  U (b , c )  [U (b , c )  u ]  [T (b R  b F , c R  c F )  0]
C.P.O.
L
b R
L
c R
L
b F
L
c F
R
U R
T
 R 0
R
b
b
R
U
T
0
 R 0
R
c
c
F
U
T
 0  
 F 0
F
b
b
F
U
T
 0  
 F 0
F
c
c
U R
0
U
b R 
R
c R
T
b  dc
T
db
c

U F
U
b F 
F
c F
T
b  dc
T
db
c
Em equilíbrio TMSR = TMSF = TMT, isto significa que a taxa pela qual um
agente esteja disposto a substituir um bem por outro deve ser igual à taxa a que se
transforma um bem noutro.
 Eficiência no consumo: TMSR = TMTF
 Eficiência na produção: TMSTb=TMSTc
 Output mix eficiente: TMSi = TMT
-> Empresa que produz b e c usando K e L
 Consumidores compram bens e vendem inputs
Microeconomia II
25
David Henriques
F.E.U.N.L.
Problema da empresa
Max
  Pb .b( Lb , K b )  Pc .c( Lc , K c )  w( Lb  Lc )  r ( K b  K c )
{ Lb , K b , Lc , K c }
Problema do consumidor
R
R
R
MaxU (b , c )
{b R ,c R }
_
s.a
_
Pb .b R  Pc .c R  w L  r K
Equilíbrio é um par (afectação, preço) tal que a empresa maximiza o lucro, os
consumidores maximizam a utilidade e os mercados esvaziam-se.
Ou seja,
b R  b F  b( Lb , K b )
c R  c F  c( Lc , K c )
C.P.O para problema da empresa

 0  Pb Pmg Lb  w
b
L

 0  Pb Pmg Kb  r
b
K

 0  Pc Pmg Lc  w
c
L

 0  Pc Pmg Kc  r
c
K
w
b
TMST 
r
Então,
w
c
TMST 
r
Pb
Pb
Pc
Pc
Pmg Lb

Pmg Kb

Pmg Lc
Pmg Kc
C.P.O. para problema do Robinson
TMSR =
Pb
Pc
c
TMT = ?
~
~
c ( b ) = Max c(Lc,Kc)
_
~
s.a
c
_
~
b( L  Lc , K  Lc ) = b
_
_
~
L(Lc,Kc,λ) = c(Lc,Kc) – λ[b( L  Lc , K  Lc ) - b ]
~
b
b
C.P.O.
L
 0  Pmg Lc   Pmg Lb (1)  0
c
L
L
 0  Pmg Kc  Pmg Kb (1)  0
c
K
_
_
~
L
 0  b( L  Lc , K  Lc )  b


Pmg Lc
Pmg Kc


Pmg Lb
Pmg Kb
TMT  
Microeconomia II
26
David Henriques




F.E.U.N.L.
w
Pmg Lc
Pc Pb



-> o declive da RO = TMT = TMS (em equilíbrio)
b
Pc
Pmg L w
Pb
Cada consumidor valoriza bananas em termos de cocos = custo de oportunidade de
produzir coco.
Se |TMT| > |TMS|, haveria uma ineficiência, passando a solução por reduzir o nº de
bananas produzidas e aumentar cocos.
Se uma economia estiver a operar numa posição onde TMSi  TMT, então esse
ponto não é Pareto eficiente! Pois nesse ponto a taxa pela qual o agente está
disposto a fazer trocas entre os bens 1 e 2 é diferente da taxa a que o bem 1 é
transformado no bem 2.
Exemplo:
TMS1,2 = 1, significa que o agente está disposto a substituir o bem 1 pelo bem 2 numa
base de 1 para 1.
TMT1,2 = 2, significa que ceder 1 unidade do bem 1, permite à sociedade produzir 2
unidades do bem 2.
Então o agente vai querer reduzir a quantidade do bem 1 e receber 2 unidades do
bem 2 por cada uma que desistir do bem 1; pois o agente valoriza de igual modo o bem
1 e o bem 2, preferindo então ter 2 unidades do bem 2 a 1 unidade do bem 1.
Deste modo, sempre que TMS  TMT haverá hipótese de o agente ficar melhor
através de trocas que faça, logo só haverá eficiência à Pareto quando TMS = TMT.
Em equilíbrio os preços dos 2 bens dão a TMT e o custo de oportunidade.
- A única informação que necessita de ser comunicada entre empresas e consumidores,
são os preços dos bens (forma de medir a escassez).
- se as empresas adoptarem um comportamento concorrencial e os consumidores
escolherem um cabaz de consumo que maximize a sua utilidade então estamos perante
uma alocação eficiente à Pareto.
 Monopsónio
Monopsónio: é um mercado com um único comprador.
 A análise de um monopsonista é similar à de um monopolista;
 No estudo de um monopsónio vamos assumir que o comprador (monopsonista)
produz output que será vendido num mercado competitivo – é price maker no
input e price taker no output.
 Função de produção: f(x) = y
 Como o monopsonista afecta os preços do input, então ao contratar x unidades,
pagará w(x); em que w(x) é uma função oferta (que é crescente por definição),
desta forma, quantas mais unidades de x contratar, mais pagará por cada uma
delas.
w(x)
w(x) -> oferta do input x
(trabalho)
x
Microeconomia II
27
David Henriques
F.E.U.N.L.
Problema de maximização do lucro do monopsonista
Max p. f ( x)  w( x).x
x
p – o preço do output é dado exogenamente (price taker do output)
p.f(x) é a receita
w(x).x são os os custos
Condição de maximização: Prod. Receita Mgx = Cmgx
- Como o mercado de output é perfeitamente concorrencial em que o preço de venda é
P, então o Produto de Receita Marginal pode ser definido como P.
MRPx = Rmgx * Produto marginal de x = P.Prod.Mgx (é a variação na receita,
proveniente de uma variação unitária no input).
(NOTA: neste caso, Rmgx é P, pois estamos numa situação de concorrência perfeita.)
- Qual o Cmgx?
Custos = w(x).x
C
w
C  wx  xw 
 MC x  w 
x
x
x
derivação.)
(NOTA: rever conceitos básicos de
Interpretação da expressão do custo marginal: quando a empresa aumenta o
emprego do factor x terá de pagar w  x a mais pelo factor, mas por outro lado há o
factor de aumento do preço do input (devido ao aumento da procura visto que o
monopsonista fez variar o preço) em x  w.
Podemos também escrever o Cmgx a depender da elasticidade de oferta do
factor, ficando:
x w
1
Cmg x  w[1 
]  w[1  ] , em que  designa a elasticidade da oferta,
w x

sendo sempre maior que zero, visto a oferta ser uma função positivamente inclinada.
[NOTA:    , quando a curva da oferta é perfeitamente elástica, é o caso de um
mercado de concorrência perfeita.]
-> Vejamos agora o caso, em que o monopsonista enfrenta uma curva de oferta do tipo:
W(x) = a + bx
Então o custo total será dado pela expressão:
C(x) = w(x).x = ax + bx2
Sendo Cmgx = C  a  2bx
x
A solução do problema do monopsonista é dada pela intersecção do Cmgx e o
valor do produto marginal. Graficamente verifica-se:
Cmgx = a + 2b.x
w(x)
W(x) = a + b.x
(oferta invertida)
W*
Procura = P. Prd Mgx
x
X*
Microeconomia II
28
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F.E.U.N.L.
A intersecção do Cmgx com a procura define a quantidade de x* contratada.
Uma vez definida x*, o preço é dado na curva de oferta. Será empregado um menor
número de x* do que no mercado competitivo. O monopsonista opera a um nível que é
ineficiente à Pareto!
Exemplo: impacto do salário mínimo num mercado monopsonista vs num mercado
competitivo.
Mercado
Mercado
competitivo
Monopsonista
w(x)
w(x)
Cmg L
oferta
oferta
_
w
_
wc
wm
wc
Procura
Procura = P.Pmg L
L
Lm w
L
Lm Lc
Lc
emprego diminui => aumenta desemprego.
emprego aumentou com a entrada de um
salário mínimo.
_
w -> designa o salário mínimo
Impondo um salário mínimo num monopsónio é possível que este aumente o
emprego (ver no gráfico do mercado monopsonista quando o governo define w como
_
sendo w c ). Quando o governo define o salário mínimo, o monopsonista percebe que
_
poderá contratar trabalhadores a um salário constante w c (visto que o número de
trabalhadores contratados já não influencia o salário, ou seja, o Cmg L), graficamente o
novo custo marginal da empresa monopsonista será (supondo um w abaixo do

equilíbrio).
Cmg L0
w
oferta
CmgL0 antes da implementação do
salário mínimo
Cmg L1
CmgL1, depois da implementação
do salário mínimo
Procura = P.Pmg L
^
L* L
L
^
A implementação do salário mínimo torna o CmgL constante até L .
- Caso em que a empresa é competitiva no output e monopsonista no mercado de input.
Microeconomia II
29
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F.E.U.N.L.
Problema de maximização do lucro desta empresa:
Max   p. f ( x)  w( x).x
x

x dw
 0  p. f ' ( x)  w ' ( x).x  w( x )  0  p. f ' ( x)  w( x)  w ' ( x) x  w( x)[1 
]
x
w dx
1
 w( x )[1  ]

No caso de monopsónio, a elasticidade oferta não é infinita (só em concorrência
1
1
perfeita é que    ), logo p. f ' ( x )  w( x)[1  ] em que w(x) < w(x) [1  ] .


1.4) Funções de bem-estar social
 Axiomas sobre a relação de preferências
1) completa: assume-se que quaisquer 2 cabazes podem ser comparados, isto é,
entre qualquer cabaz X e qualquer cabaz Y podem-se estabelecer relações
(x1,x2)  (y1,y2) ou (y1,y2)  (x1,x2) ou (x1,x2) ~ (y1,y2).
2) reflexiva: assume-se que qualquer cabaz é pelo menos tão bom como ele
próprio: (x1,x2)  (x1,x2), como consequência (x1,x2) ~ (x1,x2).
3) transitividade: se (x1,x2)  (y1,y2) e (y1,y2)  (z1,z2) então assume-se que (x1,x2)
 (z1,z2).
- Como se pretende fazer uma escolha do melhor cabaz entre X, Y ou Z o axioma da
transitividade é necessário que se verifique, caso contrário poderá ser impossível
encontrar o melhor cabaz para as preferências de um consumidor.
 Função de bem-estar social
W
 0 , ou seja, se a utilidade de um agente aumentar, temos a
u i
certeza que a função de bem-estar social não vai diminuir (mantendo todas as outras
utilidade constantes).
W(ui(x), … ,un(x)),
Exemplos de funções de utilidade:
n
W(u1, …,un) =  u i
i 1
n
W(u1, …,un) =  a i u i , ai  0 , utilidades ponderadas, sendo ai os ponderadores
i 1
W(u1, …,un) = min{u1 ,..., u n } , quando o bem-estar social é avaliado pelo individuo que
tem a menor das utilidades.
 Funções de bem-estar social (características)
- Preferências não são bem-comportadas, pois não respeitam a transitividade.
- Não existindo transitividade, não haverá uma “melhor” resposta (escolha) entre as
alternativas X, Y e Z – a escolha da sociedade vai depender de qual o critério de
decisão, desta forma consoante o critério de decisão utilizado poderão obter-se
diferentes alternativas e a ordem de preferência ser manipulada;
Microeconomia II
30
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F.E.U.N.L.
Exemplo: Se X  Y para 75 pessoas e Y  X para 25 pessoas
Preferências sociais não completas se o critério de decisão for X  Y se Xi  i Yi,  i
 Maximização do Bem-Estar
 n consumidores;
 k bens;
 x = (x1,x2,x3,…,xn)
X1 = montante total de x1 na economia.
…
Xk = montante total de xk na economia.
O problema de maximização do bem-estar social, fica:
Max W (u1 ( x ),..., u n ( x))
s.a
x1  X 1

i
...
x
k
i
 Xk
Propriedades do máximo do bem-estar social

Alocação do máximo do bem-estar, deve ser Pareto eficiente. Se não for então é
possível encontrar um outro ponto em que pelo menos um agente fique
estritamente melhor e os restantes agentes pelo menos tão bem quanto antes.
Exemplo do caso de 2 agentes:
u2
Curvas de isobem-estar 2
Curvas de isobem-estar 1
u*
2
Qualquer ponto sobre a FPU, é
eficiente à Pareto. Qualquer ponto da FPU
pode ser máximo dependendo da Função de
utilidade social.
FPU -> Fronteira de Possibilidades de
Utilidade
u1
u*
1
Asssim qualquer ponto que maximize uma função bem-estar social é eficiente à
Pareto. E qualquer alocação eficiente à Pareto, é um máximo para alguma função de
bem-estar social.


Qualquer máximo de bem-estar é eficiente à Pareto e qualquer alocação eficiente
à Pareto é um máximo de bem-estar (assumindo sempre que não há
externalidades no consumo).
Todos os equilíbrios competitivos são eficientes à Pareto e sob determinadas
condições de convexidade, todos os pontos Pareto eficientes são equilíbrios
competitivos (ver 2º Teorema do Bem-Estar, pg. 10). Logo, todos os máximos de bemestar são equilíbrios competitivos e todos os equilíbrios competitivos são
máximos para alguma função de bem-estar.
Microeconomia II
31
David Henriques
F.E.U.N.L.
- No entanto, nem todos os pontos eficientes à Pareto são justos (distribuição não é
justa). Mesmo com alocações iniciais simétricas, métodos de troca arbitrários podem
não levar a uma alocação justa; só o mercado garante uma alocação justa!
Um equilíbrio competitivo com uma divisão igualitária das dotações (entre
2 agentes) garante uma alocação justa.
Suponhamos que A prefere o cabaz B, então:
( x 1A , x 2A )  A ( x1B , x B2 ) , mas se A prefere o cabaz B e o seu cabaz é já melhor que
podia adquirir aos preços (p1,p2), significa que B custa mais que o cabaz A, ou seja,
P1 .W A1  P2 .W A2  P1 . X 1B  P2 . X B2 , o que é uma contradição, pois A e B
começaram com iguais dotações!
1) Externalidades e Bens públicos
fumo
2.1) Externalidades no consumo e na produção
 Externalidade no consumo: acontece quando um consumidor se preocupa com
o consumo de outro agente.
a) Externalidades negativas no consumo: poluição dos automóveis junto do
local onde se reside; estar junto a um fumador no restaurante.
b) Externalidades positivas no consumo: quando por exemplo o meu vizinho
faz um jardim que fica ao lado da minha casa (melhoramento paisagístico e
ambiental).
 Externalidade na produção: surge quando as possibilidades de produção de
uma empresa são influenciadas pela escolha da outra empresa / consumidor.
a) Externalidade positiva na produção: quando a produção de uma empresa
afecta positivamente a produção de outra empresa.
b) Externalidade negativa na produção: quando a produção de uma empresa,
afecta negativamente a produção de outra empresa (caso da poluição).
- Até aqui tínhamos sempre assumido que os mercados em concorrência perfeita seriam
capazes de atingir eficiência à Pareto quando não estavam presentes externalidades;
dado que na presença destas, nada nos garante que o equilíbrio de mercado seja Pareto
eficiente.
 Fumadores e não fumadores (um exemplo)
 Indivíduos A e B partilham o mesmo espaço;
 2 bens: dinheiro (que é um bem para ambos os agentes) e fumo (que é
bem apenas para o agente A, sendo um “mal” para o agente B).
 O agente B quer dinheiro e ar limpo. Dado que o fumo é um bem que é
consumido pelos 2 agentes simultaneamente, o agente B pode consumir
mais “ar puro” e ficar melhor quando A reduz o consumo de bem
“fumo”.
w’
B
Assume-se que ambos têm a mesma
quantia de dinheiro.

x’

x
C.I. B
Na dotação w, o agente B
tem direito a ar limpo.
Na dotação w’ , o agente A
pode fumar o que quiser.
C.I. A
A
dinheiro
w
Microeconomia II
32
David Henriques




F.E.U.N.L.
A dotação de partida influencia o equilíbrio a que se vai chegar, por outro lado a
dotação inicial vai depender de como o direito está definido.
o O direito pode ser o de A fumar o que quiser ou o B ter o direito a todo o
ar limpo ou então haver o direito de fumar até um determinado montante.
Se um agente tem o direito a ar limpo, significa que pode consumir todo o ar
limpo ou pode vender esse direito (total ou parcialmente).
Caso em que B tem direito a ar limpo: dotação inicial é o ponto w, e A não tem
o direito a fumar. Mas se B assim o entender poderá trocar uma parte do seu
direito por outro bem (neste caso, por dinheiro). Uma alocação eficiente à Pareto
é aquela em que nenhum consumidor poderá ficar melhor, sem piorar o estado
de outro agente sendo um ponto caracterizado pelas condições de tangencia
entre C.I. dos 2 agentes.
Caso em que A tem direito a fumar, dotação w’, não é um ponto eficiente à
Pareto, logo os agentes irão efectuar trocas entre si até atingir a condição de
tangencia entre C.I. (corresponde ao ponto x’).
- Tanto x como x’ são pontos de eficiência à Pareto, apenas diferem porque há dotações
iniciais diferentes. Apesar de x e x’ serem ambos eficientes e igualmente satisfatórios: o
agente A está melhor em x’ e B está melhor em x.
- Deixando o mercado funcionar, os agentes acabam por atingir um equilíbrio eficiente à
Pareto – um ponto na curva do contrato, a posição exacta na curva dependerá da dotação
inicial que é definida pelos direitos de propriedade. O preço relativo de um bem em
termos de outro é o de equilíbrio quando a oferta iguala a procura. Assim, tal como nos
casos standard, os preços competitivos medem a TMS1,2.
- Desde que os direitos estejam bem definidos, o mercado pode resolver o problema da
externalidade. O único problema surge quando os direitos de propriedade não estão
bem definidos.
o Exemplo: o agente A pensa que tem o direito a fumar e o B pensa que tem o
direito a ar limpo – surgem dificuldades de negociar no mercado. Nos casos em
que os direitos de propriedade não estão bem definidos os equilíbrios são
ineficientes, havendo forma de ambas as partes ficarem melhor.
 Preferências quasi-lineares e o Teorema de Coase
Enquanto os direitos de propriedade estiverem bem definidos, as trocas entre os
agentes resultam numa alocação eficiente da externalidade. Em geral, o montante de
externalidade que é gerado na solução eficiente vai depender da definição dos direitos
de propriedade.
Mas há casos especiais em que o equilíbrio é independente da definição dos direitos
de propriedade, é o caso em que os agentes têm preferências quasi-lineares. Para estas
preferências qualquer solução eficiente gerará um mesmo montante de externalidade
(entenda-se como externalidade o bem que prejudica o consumo de outro agente).
Microeconomia II
33
David Henriques
F.E.U.N.L.
Exemplo do fumo:
fumo
B
C.I. A
Curva do
contracto
C.I. B
A
dinheiro
As C.I. são deslocações na horizontal de ambos os agentes, neste caso, o
equilíbrio eficiente à Pareto gerará sempre o mesmo montante de fumo,
independentemente da dotação inicial; apesar disso vai ser diferente o montante de
dinheiro possuído por cada agente.
- Teorema de Coase: diz que sob determinadas condições (preferências serem quasilineares) o montante de bem / externalidade é independente da distribuição dos direitos
de propriedade. Desta forma, uma realocação da dotação inicial não afecta a quantidade
de externalidade gerada. Teorema de Coase é válido se não existir “efeito rendimento”,
isto porque a procura do bem que gera externalidade não depende do rendimento, daí
que a realocação das dotações não altere a quantidade óptima do bem causador da
externalidade, apenas afecta a distribuição da riqueza. O Teorema de Coase é aplicável
tanto em externalidades na produção como no consumo.
w
_
Não
fumador
f
x’
x
Fumador
dinheiro
w’
F. utilidade do fumador
UF = v(f) + d  TMS F 
~
1
v'
_
U NF  v ( f  f )  d  TMS NF 
1
~
v'
Curva do contracto
TMSF = TMSNF 
1

v' ( f )
1
~
~
_
 v'( f  f )  v ' ( f )  (...) f = a (constante)
_
v' ( f  f )
Microeconomia II
34
David Henriques
F.E.U.N.L.
 Externalidade na produção
2 empresas: S - produtora de aço, na quantidade s, mas também produz uma
quantidade de poluição x;
F – empresa do pescador que produz a quantidade de peixe de f e é
afectada pela produção de x.
C S ( s , x) 

Cf (

f , x) 

Função de custo da empresa metalúrgica (S)
Função de custo da empresa F

Neste caso, o aumento da quantidade de poluição aumenta os custos da empresa
F, mas diminui os custos da metalúrgica.
C f
C S
0
0
x
x
Problema de maximização do lucro da metalúrgica
Max  s  ps .s  C s ( s, x) , em que escolhe s e x.
{ s , x}
Problema de maximização do lucro do pescador
Max  f  p f . f  C f ( f , x) , em que escolhe f.
{f}
- Vamos considerar que a metalúrgica pode produzir a poluição que quiser (escolhendo
esta, o nível de x), enquanto o pescador toma o (x) nível de poluição como algo dado
(que está fora do controlo).
C.P.O. para a metalúrgica (assumindo-se um mercado concorrencial no output)
Rmg = Cmg, num mercado perfeitamente competitivo P = Cmg
(em geral)
 s
C s
 0  Ps 
s
s
 s
C
C s
00 s 0
x
x
x
É o BMx (benefício marginal de a metalúrgica produzir mais poluição), ou seja, por
cada unidade de x produzida, a metalúrgica reduz os custos, logo o Cmgx metalúrgica é
cada vez menor.
C.P.O. para o pescador
 f
 0  Pf 
C f
O pescador preocupa-se com a emissão de poluição
mas não tem controlo sobre esta, enquanto a metalúrgica apenas
se preocupa com o seu lucro não tem em conta o custo que está a causar ao pescador.
- O aumento do custo de pescar associado ao aumento de poluição é parte do custo
social de produzir aço, sendo este ignorado pela metalúrgica. Em geral, espera-se que a
metalúrgica produza uma poluição acima do que é socialmente desejável, visto que ela
ignora os custos que causa a outros agentes.
f
f
Microeconomia II
35
David Henriques
F.E.U.N.L.
Representação gráfica:
Preço
Cmgx 
C f
x
-Cmgs = Cmgf
Bmgx = -Cmgx = 
^
x
x*
Montante
socialmente
optimo
Óptimo
privado
C s
x
Poluição
emitida
-> Uma das formas de atingir o socialmente óptimo é fundindo as 2 empresas. Se passa
a haver apenas 1 empresa, deixa de haver necessidade, visto que a externalidade só
existe quando uma empresa afecta a produção de outra. Diz-se que a externalidade foi
internalizada.
Depois da fusão, o problema da coligação é:
Max   ps .s  p f . f  cs ( s, x)  c f ( f , x)
{ s , f , x}
C.P.O.
c

 0  ps  s
s
s
C f

 0  pf 
f
f
C s C f

-> significa que a empresa conjunta tem em conta o efeito
00

x
x
x da poluição no custo marginal de produzir peixe e produzir
aço. Neste caso é tido em conta o custo social de produzir
mais poluição.
-> Quando a metalúrgica actuava sozinha, o montante de x produzido, era determinado
por:
C s
 0  Cmg s ( s * , x * )  0
x
-> Quando há coligação, a condição de óptimo (da quantidade de externalidade) é:
C f
C
 s 
 0  Cmg s  Cmg f  0
x
x
Para se atingir um nível de eficiência à Pareto é necessário minimizar o custo
social de poluir, deste modo, a soma dos Cmg das 2 empresas deve ser igual a zero. No
Microeconomia II
36
David Henriques
F.E.U.N.L.
nível de poluição eficiente, o montante que a empresa de aço esta disposta a pagar por
uma unidade adicional deve ser igual ao custo social gerado por essa poluição extra.
Problema de maximização do lucro conjunto:
Max 
m
{ m , f , x}
_
s.a
f f
C f
C m
 [
]0
x
x
C f
Bmgx = - 
, no caso em que ambas as empresas têm o mesmo peso no  , o   1
x
C m
C
pm 
 Pm  m  0
m
m
C f
 [ p f 
]0
f

Max    m   f
{ m , f , x}

C m C f

0
x
x
ou seja, BMx = CMx, neste caso   1
Max   a m  m  a f  f
{ m , f , x}
C f
ou seja, BMx = Cmg x
C m
)  a f (
)0
x
x
af
onde  
, é o rácio dos pesos dos 2 agentes.
am
a m (
 Interpretação das condições – IMPOSTO DE PIGOU
Uma das interpretações que sugere a correcção da perda de eficiência gerada pela
externalidade é a de que a empresa metalúrgica enfrenta o preço errado para a poluição,
visto que não tem em conta o impacto sobre o pescador. A situação pode ser corrigida
fazendo com que o poluidor “sinta” o verdadeiro custo de poluir, por exemplo através
de um imposto t – Imposto de Pigou.
Implementando um imposto o problema da metalúrgica fica:
Max p .s  c ( s, x)  tx (como se houvesse um acréscimo nos custos)
s
s
{ s , x}
C.P.O
C

 0  ps  s  0
s
s
C
C

 0   s  t  0  t   s = BMx
x
x
x
Microeconomia II
37
David Henriques
Então, t =
F.E.U.N.L.
C f
= imposto de Pigou
x
No entanto, há um problema em obter a informação verídica para avaliar os
custos privados do pescador. O pescador poderá dizer que tem mais custos do que na
realidade, a fim de a outra empresa diminuir o x produzido (quanto menor for x, melhor
será para o pescador). O pescador individualmente fica melhor quando x está abaixo do
óptimo social e a metalúrgica fica melhor individualmente quando x está acima do
óptimo social.
- Outra interpretação é que para resolver o problema da obtenção da informação
verídica se vai criar um mercado para a poluição (a externalidade). O problema da
externalidade é que o poluidor enfrenta um preço zero para a poluição que produz, do
ponto de vista social a poluição te um preço negativo.
- Para a criação de um mercado para a externalidade é necessário saber qual a dotação
inicial, ou seja, quem tem o direito legal (a ter água limpa ou poder-se poluir).
-> Caso em que o pescador tem direito a água limpa
O pescador pode então desfrutar do seu direito ou vende-lo (parcial ou totalmente).
 Problema de maximização do lucro da metalúrgica
Max m  p m .m  c m (m, x )  rx
C.P.O.
 m
C
 0  pm  m  0
m
m
 m
C
 0  m r  0
x
x
Em que r é o preço a pagar por cada unidade de poluição desejada pela metalúrgica.
 Problema de maximização do lucro do pescador
Max f  p f . f  c f ( f , x)  rx
C.P.O.
 f
C f
 0  pf 
0
f
f
 f
x
0
C f
x
(é como se o pescador estivesse a vender o direito que tem a água limpa)
r 0
Ou seja, BMx = r = Cmgx =
C f
, esta condição diz-nos que o custo marginal da
x
metalúrgica reduzir a poluição deve ser igual ao benefício marginal para o pescador da
redução da poluição.
_
-> Caso em que a metalúrgica tem direito a poluir até x .

Problema de maximização do lucro da metalúrgica
Microeconomia II
38
David Henriques
F.E.U.N.L.
_
Max m  p m .m  c m (m, x)  q ( x  x )
C.P.O.
 m
C
 0  pm  m  0
m
m
 m
C
C
 0  m q  0  q   m
x
x
x
A metalúrgica vai ter de ser compensada por poluir menos, enquanto o pescador
terá de pagar para ter água limpa; a água limpa pode ser vista como um input para o
pescador.

Problema de maximização do lucro do pescador
_
Max f  p f . f  c f ( f , x)  q ( x  x )
C.P.O.
 f
C f
 0  pf 
0
f
f
 f
C f
C f
0
q 0 q 
x
x
x

C f
C m
q
x
x
-> Condição de optimalidade
- No caso de externalidades na produção, o óptimo é independente de quem possui os
direitos de propriedade à partida, só é afectada a distribuição dos lucros. Isto acontece
porque as condições de optimalidade são as mesmas, independentemente de quem
possui os direitos – Teorema de Coase. Funções lucro são quasi-lineares.
Pescador:  f  p f . f  c f ( f , x)


Metalúrgica:  m  p m .m  c m (m , x)


Preço
MCx 
Cf
x
Enquanto existir diferença entre MBx e MCx é
possível efectuar uma melhoria de Kaldor!
MB x  
C m
x
x
x
*
x
x
0
x* é melhor que outro nível de x, se estivermos em x0 podemos ter um movimento no
sentido de Kaldor. Só no ponto x* é que é impossível alguém ganhar depois de ter
compensado os outros dos prejuízos.
Microeconomia II
39
David Henriques
F.E.U.N.L.
Max m
s.a
Max a m  m  a f  f
_
f f
C.P.O.
MBx  MC x
MBx 
af
am
MC x
- Reafectação de eficiência é uma melhoria no sentido Kaldor, se os que ganham
conseguem compensar os que perdem e ainda ficam melhor. Parte-se sempre do
princípio que estas reafectações são feitas sem custos de negociação.
 Sinais de mercado
- Se as acções de uma empresa afectam a outra e estas ficam melhor se fizerem uma
coligação, atingem lucros conjuntos mais elevados do que a soma individual, porque a
externalidade é tida em conta pela empresa.
- Quando o lucro conjunto das empresas é superior à soma dos lucros individuais, isso é
um sinal de mercado para as empresas se fundirem.
 Tragédia dos comuns
- Se os direitos de propriedade não estiverem bem definidos, o equilíbrio das
interacções económicas será ineficiente.
- Vamos considerar o caso em que existe 1 terreno que pode ser explorado de 2
mecanismos diferentes: 1) solução de propriedade privada; 2) solução de livre acesso
aos aldeãos.


Custo de 1 vaca -> a
A quantidade de leite produzido por cada vaca, depende do nº de vacas a pastar
no campo -> f(c) [função produção de leite em função do nº de vacas c]
F(c)

/c = é o nº de litros de leite que cada vaca produz em média.
Problema: qual o nº de vacas no campo que maximiza o total de riqueza.
Max   f (c)  a.c
c

 0  f ' (c)  a  0  Pmg c  a
c
NOTA: asumiu-se que o preço do output é 1.
Enquanto a produtividade marginal de mais 1 vaca for superior ao seu preço de
aquisição (a) então vale a pena comprar mais 1 vaca. Quando a Produtividade marginal
for igual ao custo de aquisição de mais 1 vaca, então o proprietário deixa de adquirir
mais vacas -> solução para 1 só proprietário, que decide o nº de vacas que quer.
Mas no caso de exploração comum de um terreno, existem c vacas a pastar no
terreno, quando se adiciona mais 1 vaca o output total fica f(c+1) e o nº total de vacas é
(c+1), então a receita gerada por cada vaca em média é F(c+1)/c+1 .
Enquanto (F(c+1)/c+1) > a é rentável adquirir mais vacas, visto que o valor do
output excede o seu custo. Os aldeãos vão comprar vacas até que
^
f (c )
^
^
^
 a  f (c)  a c  0 . A regra de decisão de um indivíduo para adquirir uma vaca
c
(para pastar em terras comuns) é a de ver se o valor
Microeconomia II
f (c )
 a , no entanto, a entrada de
c
40
David Henriques
F.E.U.N.L.
mais uma vaca para pasto leva à diminuição de média de output por vaca, ou seja, reduz
o output de todas as outras vacas. Visto que cada um dos agentes não terá o impacto do
custo social numa terra comum, a tendência será esta ser sobre-explorada (o equilíbrio
ser superior ao socialmente óptimo).
AP
MP
a = custo de 1 vaca
MP ->
Prod. mg
Output
eficiente
AP -> Produção
média
Dado que o produto médio por vaca está
a diminuir, isso significa que o produto marginal
está sempre abaixo do Produto médio => o n.º de
vacas ( c ) em que o Pmg iguala a é inferior ao nº
de vacas quando AP = a.
O campo está a ser sobre-utilizado se não
se implantarem restrições ao seu uso.
Output de
equilíbrio
- Na propriedade privada não há externalidade, porque é só um indivíduo que controla o
nº de vacas a pastar no campo. Ineficiências resultam apenas de situações em que não há
forma de excluir os outros de usarem algo.
- Outra solução é a implementação de um sistema de regras que poderia levar a um
equilíbrio mais eficiente (neste caso a imposição de um limite ao nº de vacas a
frequentar o campo). Em situações em que a lei não está bem definida ou é ambígua, a
tragédia dos comuns pode surgir facilmente, sendo a tendência geral de uma
propriedade comum ser sobre-utilizada.
2.3) Provisão de bens públicos
Bens Públicos: são bens que podem ser consumidos por diversos agentes
simultaneamente: 1) não existe rivalidade no consumo; 2) impossibilidade de exclusão.
- Muitos dos bens públicos são fornecidos pelo Estado, alguns exemplos:
 Ruas e passeios a que todos os agentes têm acesso;
 Defesa nacional em que todo o país é protegido.
- Bens públicos são um exemplo de uma externalidade particular de consumo, em que
todos consomem o mesmo montante de bem.
 Quando fornecer um bem público?
Na abordagem desta questão, vamos analisar um caso em que 2 agentes (que
habitam o mesmo apartamento) estão a decidir comprar ou não uma TV. A TV pode ser
vista como um bem público para os 2 agentes. Valerá a pena ou não adquirir uma TV?



w1 e w2 são as dotações iniciais dos agentes (a sua riqueza);
g1 e g2 são as contribuições de cada agente para a compra da TV;
x1 e x2 é o quanto sobra a cada agente depois de adquirir a TV.
Microeconomia II
41
David Henriques
As R.O. ficam:
R.O.1: x1 + g1 = w1
R.O.2: x2 + g2 = w2
F.E.U.N.L.
custo da TV = c, logo g1 + g2  c -> representa a tecnologia, pela qual pode ser adquirida a TV.
A utilidade dos agentes vai depender do bem público (G) e quanto sobra de
riqueza (x) para consumo privado.
u1(x1,G), em que G = 0, caso em que não adquire a TV.
Ou
G = 1, caso em que se adquire a TV
u2 (x2, G) em que G = 0 ou G = 1
O G (montante de bem público) será sempre igual para ambos, visto que é impossível
discriminar o consumo. A valorização da TV poderá ser muito diferente para cada um,
dependendo da sua função utilidade. É necessário saber qual o preço de reserva (o
preço r tal que, o agente fica indiferente entre pagar r e ter a TV ou ter o dinheiro r e não
ter TV) que cada pessoa está disposta a dar.

Sejam r1 e r2 os preços de reserva dos agentes 1 e 2.
Então u1(w1-r1, 1) = u1(w1, 0), a equação descreve o montante máximo que a pessoa
1 está disposta a pagar para ter a TV.
u2(w2-r2, 1) = u2(w2, 0), para o agente 2.
Em geral, o r (preço de reserva) vai depender da riqueza possuída pelo agente. No
problema da aquisição da TV só há 2 soluções possíveis:
1) A TV não é adquirida, em que a alocação é (w1, w2, 0), ou seja, a riqueza de
cada um é gasta apenas em consumo privado;
2) A TV é comprada, e a situação é (x1, x2, 1) em que x1 = w1 – g1 e x2 = w2 – g2.
A TV só será adquirida quando o esquema de pagamento (g1, g2) for melhor para as
2 pessoas do que se não tivessem TV, ou seja, é necessário que haja um movimento de
Pareto. Será um movimento de Pareto, a aquisição da TV, se:
u1(w1,0) < u1(x1, 1)
u2(w2,0) < u2(x2, 1)
Então, u1(w1 - r1,1) = u1(w1, 0) < u1(x1,1) = u1(w1 – g1, 1).
Sabendo que mais consumo privado aumenta a utilidade, podemos concluir que:
w1 – r1 < w1 – g1 e w2 – r2 < w2 – g2  r1 > g1 e r2 > g2 (são condições necessárias para
adquirir um bem). São condições que se têm de verificar para uma alocação (w1, w2, 0)
seja ineficiente à Pareto, ou seja, o quanto cada pessoa irá contribuir para a compra da
TV terá de ser menor que o seu preço de reserva, caso contrário não se garante a compra
da TV.
- Se o consumidor adquire o bem por menos que a sua valorização máxima para pagar,
então a aquisição traz benefícios para o consumidor. Verificando r1 > g1 e r2 > g2,
então r1 + r2 > g1 + g2 = c -> é condição suficiente para adquirir o bem, para ser um
movimento de Pareto. A soma das vontades de pagar (preços de reserva) devem exceder
o custo do bem a adquirir. r1 + r2  c
Conclui-se que a o pagamento do bem público tem de obedecer às seguintes
condições:
(r1  g1 e r2  g2) e g1 + g2 = c
Microeconomia II
42
David Henriques
F.E.U.N.L.
NOTAS:
1)
2)
se a soma dos preços de reserva exceder o custo da TV então existirá sempre um esquema de
pagamento tal que, ambas as pessoas ficarão melhor se possuírem o bem público.
Em geral, a provisão do bem público vai depender da distribuição da riqueza, visto que o preço de
reserva de cada agente é condicionado pela sua riqueza. É possível que para algumas distribuições
de riqueza r1 + r2 > c e para outras r1 + r2 < c.
 Caso especial de preferência quasi-linear
Em geral a provisão do bem público depende da distribuição da riqueza (da dotação
inicial). Mas há casos em que a provisão do bem público é independente da distribuição
da riqueza – caso quando os agentes têm preferências quasi-lineares.
Significa que as funções terão o seguinte aspecto:
u1(x1, G) = x1 + v1(G)
u2(x2, G) = x2 + v2(G)
0 -> não se adquire o bem público
Em que G =
1 -> adquire-se o bem público
u1(w1-r1,1) = w1 – r1 + v1(1) = u1(w1,0) = w1 + 0
u2(w2-r2,1) = w2 – r2 + v2(1) = u2(w1,0) = w2 + 0
Assumindo que v1(0) = v2(0) = 0
w1 – r1 + v1(1) = w1
r1 = v1(1)
=>
w2 – r2 + v2(1) = w2
r2 = v2(1)
Nestas expressões, verificamos que os preços de reserva não dependem do
rendimento inicial, a provisão óptima do bem público é independente da riqueza – na
realidade existem 2 restrições: r1  w1 e r2  w2, ou seja, o agente tem que ter a
riqueza suficiente para pagar o bem, daí que o seu preço de reserva, no máximo só pode
ser igual à sua riqueza.
 Provisão privada e bem público
Como já visto, a aquisição do bem público será eficiente à Pareto se a soma das
vontades de pagar dos agentes exceder o custo do bem púlico – isto resolve o problema
de eficiência; no entanto a forma como o bem público vai ser pago depende do método
adoptado de tomar decisões conjuntas.
Se ambos os agentes revelarem a sua verdadeira vontade de pagar, facilmente se
chegará a um acordo. Mas sob determinadas circunstâncias, os agentes podem não ter
incentivos a revelarem o quando estão dispostos a pagar na realidade.
Exemplo:
2 agentes que valorizam um bem público num valor superior ao seu custo, que
algebricamente corresponde a escrever: r1 > c e r2 > c
Microeconomia II
43
David Henriques
F.E.U.N.L.
No entanto o agente 1 pode dizer que valoriza 0 o bem público para que seja o
agente 2 a pagar a totalidade do bem público. Mas o agente 2 pode pensar da mesma
forma!
Este é o problema vulgarmente conhecido de Free Riding: em que cada pessoa
espera que seja o outro a pagar o bem público unilateralmente. Como depois todos terão
acesso ao bem público (não é possível efectuar discriminação, cada pessoa terá
incentivo a pagar o menos possível).
Os agentes vão tender a subavaliar o bem público pois não querem pagar (ou
querem pagar pouco) por um bem público. Assim, a provisão do bem público é inferior
à socialmente óptima, dado que os agentes escondem a verdadeira valorização.
Exemplo:
Cada um valoriza a TV em 300€ e tem riqueza 500€.
o 1 apartamento;
O custo da TV é de 400€.
o 2 pessoas;
o 2 bens: TV e dinheiro
2
\
1
Compra
Não compra
Compra
600; 600
400; 800
Não compra
800; 400
500; 500
É o equilíbrio eficiente à Pareto, mas
não é o equilibrio deste jogo.
Vai ser o equilíbrio -> (não compra, não compra)
É a estratégia dominante!
Assume-se que não há possibilidade de exclusão do acesso à TV e que cada agente tem uma
decisão independente do outro.
 Diferentes níveis de Bens públicos
- Depois de se resolver o problema de se comprar o bem público ou não, é necessário
resolver o problema de qual a quantidade óptima a adquirir de bem público.
Exemplo:
 2 bens: um privado x e um público G;
 2 consumidores;
 x1 e x2 modem os consumos privados dos agentes 1 e 2 respectivamente;
 G mede a quantidade / qualidade de bem público adquirido;
 c(G) é a função custo do bem público.
O problema a resolver é:
Max u1 ( x1 , G)
{ x1 , x 2 ,G }
_
s.a u 2 ( x 2 , G )  u 2
x1  x 2  c (G )  w1  w2
_
L  u1 ( x1 , G )  [u 2 (x 2 , G) - u 2 ] -  [x 1  x 2  c(G) - w 1 - w 2 ]
C.P.O.
L
u ( x , G )
0 1 1
 0
x1
x1


L
u ( x , G )
 0   2 2
 0
 x2
 x2
L
u ( x , G )
u ( x , G )
c ( G )
0 1 1
 2 1

0
G
G
G
G
Microeconomia II
u1
x1

u
 2

x2
u1 1  u2 c
. 

G   G G
44
David Henriques
u1
u1
G 
x1
u 2
u 2
F.E.U.N.L.
G  c  TMS 1  TMS 2  Cmg (G ) -> condição de optimalidade
x1
G , x2
G
x 2
!TMS1| + |TMS2| = Cmg(G) -> Pode ser interpretado como a medida de vontade
de pagar (marginal) por mais 1 unidade de bem público. Enquanto a vontade de pagar
marginal for superior ao seu custo marginal, então, adquire-se mais bem público.


Para o bem público: a soma das TMS deve igualar o custo marginal.
Para o bem privado: a TMS de cada pessoa deve igualar o custo marginal. Isto
porque no bem privado cada pessoa consome diferentes montantes do bem
privado, mas todas as pessoas fazem a mesma valorização na margem!
No caso do bem público, cada pessoa consome um montante fixo de G, mas na margem
cada agente tem uma valorização diferente.
Análise gráfica para cada um dos bens:
1) Bem público
P
TMS
Cmg
TMS1 + TMS2
A procura por bens
públicos é a soma vertical das
TMS dos consumidores.
TMS2
TMS1
G
G*
2) Bem privado
P
TMS
A procura agregada é a
soma horizontal das TMS dos
consumidores.
Cmg
TMS1
Procura agregada
TMS2
 Preferências quasi-lineares e Bens públicos
x
x*
- Em geral, o montante de bem público será diferente para diferentes alocações do bem
privado. Mas se os consumidores tiverem preferências quasi-lineares, há apenas um
montante de bem público que satisfaz os consumidores, independentemente da riqueza
inicial.
Funções quasi-lineares => ui(xi,G) = xi + vi(G)
u1 ( x1 , G )
Se Pmgxi = 1, logo a
TMS1 
G  v1 (G )
u1 ( x1 , G )
G
x1
u2 ( x2 , G )
TMS 2 
G  v2 (G )
u2 ( x2 , G )
G
x2
Microeconomia II
45
David Henriques
F.E.U.N.L.
v1 (G ) v 2 (G )

 Cmg (G )
G
G
Em que G se define sem depender de x1 e x2, logo se retirarmos um montante
arbitrário de um bem privado de um dos agentes e darmos ao outro, as TMS não se
alteram e logo pela equação de optimalidade para o bem público, verificamos que o
montante de G vai ser o mesmo.
No caso das preferências quasi-lineares, todas as alocações Pareto eficientes são
encontradas reajustando / redistribuindo o bem privado. O montante de bem público fica
fixo para um dado nível de eficiência.
Então, TMS1  TMS 2  Cmg (G ) 
Exemplo de um mal público
 1 metalúrgica e 2 pescadores;
 a poluição é vista como um mal público;
 x é o montante de poluição;
 f1 e f2 é o montante de peixe pescado pelo pescador 1 e 2 respectivamente;
 m é o montante de ferro produzido.
O problema a resolver é o de maximização do lucro das 3 empresas (a fim de se
determinar qual o montante de poluição socialmente óptimo).
Max   p
m
.m  c m (m, x)  p f . f 1  c1 ( f1 , x )  p f . f 2  c 2 ( f 2 , x)

{ m , f1 , f 2 , x}





C.P.O.
C
C C
C
C C

0   m  1 2 0   m  1  2
x
x
x
x
x
x
x



Bmg
Cmg
(analisámos apenas a condição mais relevante).
Verificamos que Bmgx = Cmg1x + Cmg2 x
 Problema do free-rider (análise gráfica e analítica)
_
Max U  u1 ( x1 , g1  g 2 )
{ x1 , g1 }
s.a x1  g 1  w1
L  u1  [w 1 - x 1 - g 1 ]
u
L
 0  1 1
x1
x1
u
L
 0  1 1
g 1
g 1
L
 0  restrição

u 1
u1
x1
 TMS x1 , x2  1
g 1


|TMS1| = 1
|TMS2| = 1
Microeconomia II
46
David Henriques
G
F.E.U.N.L.
Contribuinte unilateral
para a aquisição do
bem público
G
Free-Rider
C.I.2
G = g1
G
C.I.1
x1
x
x1
x
Visto um bem público ser aquele que todas as pessoas consomem o mesmo
montante, então a sua provisão quando é aumentada por um dos agentes os restantes
tendem logo a diminuir. Em geral, há uma quantidade abaixo do óptimo de bem público
num equilíbrio voluntário em relação à provisão eficiente do bem público.
2.4) Equilíbrio de Lindahl; a revelação de preferências
Equilíbrio de Lindahl: há uma quantidade de bem público, mas preços diferentes a
pagar por cada indivíduo.
Equilíbrio (x1,x2,G,p1,p2), em que cada consumidor paga um preço pi pelo bem público
de acordo com a sua TMSi.
p1 + p2 = c’
Se todos os custos de fornecimento do bem público forem variáveis (não há
custos fixos) e cobrarmos um preço a cada indivíduo de acordo com a sua TMSi a
receita obtida será igual aos custos variáveis.
Há uma forma de garantir que as pessoas estão a revelar a sua verdadeira
valorização do bem público, no entanto para que este processo funcione as preferências
têm que ser quasi-lineares, o que implica que há apenas um único montante óptimo de
bem público, a questão é encontrá-lo.
3)
Escolha intertemporal e sob incerteza
3.1) Escolha intertemporal
 2 períodos: 1 e 2
 1 bem
 dotações de cada período: m1 e m2
 consumos de cada período: c1 e c2; taxa de juro r
Se poupar, c2 = m2 + (m1 – c1)(1 + r), a inclinação da R.O. é –(1 + r), mas supõe-se que
o agente só pode emprestar, não pode pedir emprestado. Graficamente fica:
Microeconomia II
47
David Henriques
F.E.U.N.L.
C2
c2 = m2 + (m1 – c1)(1 + r)
Ponto de
dotação
m2
C1
m1
Supondo que o agente já pode pedir emprestado, o novo gráfico é:
C2
Credor (poupa)
m2
c2 = m2 - (c1 – m1)(1 + r)
ou seja,
c2 = m2 + (m1 – c1)(1 + r)
W
(dotação)
Devedor (pede emprestado)
c1>m1 -> pede
emprestado e no 2º período
m1
C1
terá de pagar o que pediu
emprestado + o juro;
analiticamente paga (c1m1)(1+r).
Se m1 > c1 -> empresta e ganha juro com o que empresta, ou seja, no 2º período
tem mais rendimento (m1-c1)(1+r)
Se c1 = m1 => c2 = m2, logo o consumidor está a consumir a própria dotação.
A escolha do ponto óptimo na restrição intertemporal depende da função utilidade do
agente – preferências intertemporais U(c1,c2).
A restrição orçamental / intertemporal, fica:
(1 + r)c1 + c2 = (1 + r)m1 + m2  c1 + c2/1+r = m1 + m2/1+r
Expressa a restrição intertemporal
em termos de valor futuro:
p1 = 1 + r
p2 = 1
Expressa a restrição intertemporal em
termos de valor presente:
p1 = 1
p2 = 1/1+r
Graficamente obtemos:
C2
(1 + r)m1 + m2
m2
W
(dotação)
A restrição intertemporal
passa sempre pelo ponto de dotação
e tem declive –(r + 1).
-(1+r)
C1
m1
m1 +
m2
/1+r
Microeconomia II
48
David Henriques
F.E.U.N.L.
 Estática comparada
Dada a restrição intertemporal e as preferências do consumidor por c1 e c2, podemos
então determinar a escolha óptima de consumo (c1, c2).
Se na escolha óptima: c1 < m1 => empresta na 1º período
c1 > m1 => pede emprestado no 1º período
Para um devedor:
Para um credor:
C2
C2
W (dotação)
m2
c2
c2
w
m2
m1
c1
c1 > m1
C1
c1
c1 < m1
m1
C1
 Reacções a variações na taxa de juro r
Se consumidor for credor e r aumentar => continua credor de certeza (é como se
o preço do consumo presente aumentasse)
C2
Se é credor e r aumenta, então o novo ponto
óptimo nunca poderá estar à direita da dotação –
pelo princípio da preferência revelada.
1
0
m2
w
Pontos à direita da dotação estavam
disponíveis para ser óptimo e no entanto foi
C1
escolhido um ponto à esquerda, se com a nova
m1
restrição intertemporal os pontos à direita da
dotação estão a um nível mais baixo ainda de c2 ,
então por certo que também não serão escolhidos.
O novo ponto óptimo terá de ficar necessariamente fora da velha região de restrição
intertemporal (fica de certeza à esquerda da dotação).
Se consumidor for devedor e r diminuir => continua devedor de certeza, pelos
princípios da preferência revelada.
Se consumidor for credor e r diminui => tanto poderá ficar credor como poderá
passar a devedor (efeito incerto).
Se consumidor for devedor e r aumentar => tanto poderá passar a credor, como
ficar devedor (efeito incerto).
- As preferências reveladas podem também ser vitais para fazer julgamentos sobre a
variação do bem-estar do consumidor quando as taxas de juro variam.
a) Se consumidor é devedor e r aumentar, então se este permanecer devedor de
certeza que irá ficar pior em termos de bem-estar (utilidade mais baixa).
b) Se consumidor é credor e r diminuir, mantendo-se credor ficará por certo
pior.
Microeconomia II
49
David Henriques
F.E.U.N.L.
 Equação de Slutsky e Escolha Intertemporal
- A equação de Slutsky pode ser utilizada para decompor a variação na procura devida a
uma variação da taxa de juro, em efeito rendimento e efeito substituição (e efeito
dotação).
Se r aumentar, vejamos o que acontece ao consumo em cada período.
Em termos e valor futuro, a nossa restrição intertemporal é:
(1 + r)c1 + c2 = (1 + r)m1 + m2, ou seja, o preço de c1 aumenta quando r aumenta.
Equação de Slutsky:
C1t C1S
C m

 (m1  c1 ) 1
p1
p1
m
(?) (ef. Subst.) (?)
(+ se bem normal)
(-)
(- se bem inferior)
[rever equação de Slutsky da Microeconomia I, para melhor
compreensão de como surge a equação.]
NOTAS:
O sinal de (m1-c1) vai depender se o
consumidor é credor ou devedor no
1º período.
Bem normal significa que se o
rendimento aumenta, a procura pelo
bem também vai aumentar.
Ef. Substituição é sempre negativo.
 Para um devedor:
c1 > m1  m1 – c1 < 0, então a equação de Slutsky fica:
C1t C1S
C m

 (m1  c1 ) 1
O efeito total vai ser negativo.
p1
p1
m
()
()
()
( )
()
()
Interpretação económica para o resultado ser negativo: se r aumenta, para um
devedor isso significa que terá de pagar mais juro no futuro por mais consumo actual,
isso leva o consumidor a consumir menos hoje.
 Para um credor:
m1-c1 > 0, então o efeito é ambíguo na equação de Slutsky, não se sabe qual dos efeitos
vai dominar, c1 poderá aumentar ou diminuir.
Interpretação económica do resultado: o credor ao verificar um aumento de r,
este aumento pode dar-lhe tanto rendimento que ele acaba por consumir mais do
período presente (se dominar o efeito rendimento). Mas se for o efeito substituição a
dominar então ele diminuirá o consumo, visto que pagam mais por cada unidade de c1
que ele vender.
 Inflação
Assumindo que preço de hoje é 1, p1 = 1 e preço de amanha é p2.
p1(1 + r)c1 + p2c2 = p1(1 + r)m1 + p2 m2  p2c2 = p2m2 + (1 + r)(m1 – c1) 
1 r
 c 2  m2 
(m1  c1 ) -> na forma de valor futuro.
p2
Microeconomia II
50
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F.E.U.N.L.
1 r
, sendo p2 = 1 + Π, em que Π é a taxa de
p2
1 r
1 r
1  r 1 
r 
inflação, então 1   

1   

1 
1 
1 
1 
r 
Para taxas de inflação baixas e válidas a seguinte expressão:  
.
1 
 Para taxas de inflação baixas e válidas a seguinte expressão   r  
Taxa de juro real  é tal que 1   
r é a taxa de juro nominal e Π é a taxa de inflação.
 Analisando o valor presente para diversos períodos
Assumindo r constante, uma restrição intertemporal a 3 períodos tem a seguinte
forma (visto como valor presente):
c3
m3
c
m
c1  2 
 m1  2 
, é como se o preço do consumo no
2
1  r (1  r )
1  r (1  r ) 2
1
período t em termos do consumo actual fosse dado pela expressão pt 
.
(1  r ) t 1
Se a taxa de juro variar de período para período então a restrição intertemporal fica:
c3
m3
c
m
c1  2 
 m1  2 
1  r1 (1  r1 )(1  r2 )
1  r1 (1  r1 )(1  r2 )
 Critério do Valor Presente
Valor actualizado é a única maneira correcta de converter pagamentos em moeda
actual.
- Independentemente das preferências dos consumidores por diferentes períodos do
consumo, o consumidor preferirá sempre ter um valor presente mais alto do que um
valor presente mais baixo pois permitirá atingir níveis de utilidade mais altos, além de
todos os pontos disponíveis anteriormente (a nova restrição sendo maior) traz novas
opções de escolha para o consumidor.
C2
Valores presentes mais altos alargam o
espaço de oportunidades de escolha levando a
níveis de utilidade mais elevados.
c
m2
m’2
w0
m1
w’1
m’1
C1
- Uma das aplicações do V.A. é fazer a valorização do rendimento oferecido por
diferentes investimentos – comparar investimentos. Para decidir qual o melhor, basta
calcular qual dos investimentos tem maior valor presente, visto que quanto maior for o
valor presente maior será o espaço de possibilidades de oportunidade.
Critério maior valor presente: uma dotação com maior valor presente dá ao
consumidor mais possibilidades de consumo em cada período desde que possa
emprestar ou endividar-se às taxas de juro de mercado.
Microeconomia II
51
David Henriques
F.E.U.N.L.
Projectos com custos (p1,p2) e receitas (r1,r2).
Temos que verificar se o valor presente do rendimento excede o valor presente
dos custos.
r
p
r1  2  p1  2 , se a desigualdade não se verificar então não vale a pena investir.
1 r
1 r
De outra forma (através do valor presente líquido):
r  p2
r1  p1  2
0
1 r
 Taxa interna de rentabilidade i: V.P.(i) = 0
r > i => VP(r) < 0
r < i => VP(r) > 0
Quando r > i não vale a pena investir
Teoria de Keynes: quando a taxa de juro aumenta,
há projectos que deixam de se realizar, isto porque:
a) quem tem dinheiro vai preferir receber r
(taxa de juro) em vez de i (taxa de
rentabilidade);
b) quem vai pedir emprestado vai ver
encarecido o seu crédito, se r > i, então não
vale a pena investir.
r
Legenda: procura de fundos para investimento
K
 Obrigações
Obrigações são uma forma de as empresas e o governo pedirem dinheiro emprestado
em troca de um dado montante de dinheiro x até uma certa data T (data de maturidade),
em que nessa altura o devedor paga ao detentor das obrigações o valor facial das
obrigações.
x
x
F
Valor presente =

 ... 
2
1  r (1  r )
(1  r ) T
O valor presente do empréstimo obrigacionista diminui se a taxa de juro subir. Isto
acontece porque quando r aumenta, o preço de €1 futuro diminui (com menos moeda no
presente obtenho €1 no futuro, visto que r aumentou) -> o mercado obrigacionista flutua
à medida que r se altera.
 Perpetuidades
Quando as obrigações dão origem a pagamentos permanentes, em que o valor facial
nunca é devolvido.
Valor Presente de uma perpetuidade:
Microeconomia II
52
David Henriques
VP 
F.E.U.N.L.
x
x

 ...
1  r (1  r ) 2

1 
x
x
1
x  VP   VP 1  1   x 


...
x 
  VP 
2
1 r 
1  r (1  r)
1 r
 1 r  1 r

x
x
1  r  1
VP 

 VP 

r
 1 r  1 r
VP 
NOTA: Fórmula da soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica
1 rn
,r  1
1 r
S n  n.u1 , r  1
S n  u1 .
- Se o preço de um instrumento é menor que o seu VAL, então o instrumento deve ser
comprado.
Exemplos:
o Se tenho no banco 5; o preço do activo financeiro é 5, mas gera 10 amanha,
vendo amanha ao preço de 10 e reconstituo o depósito bancário e ganho 5.
o Se tenho 10 no banco; o preço do activo é 10, mas o activo vale 5 amanha, então
não devo comprar o activo.
NOTA
Venda a descoberto ou “short sale”: situação em que recebo hoje o preço do activo 10 e pago amanha 5
(prometo a venda de um activo, mas que ainda não possuo).
Em equilíbrio não há vendas a descoberto, pois caso isso acontecesse o indivíduo vendedor quereria
vender infinitos activos.
 Impostos

Impostos aplicam-se sobre os rendimentos, logo se m aumenta em m , também
o imposto aumentará em t m.
 Se fizer um investimento (ou empréstimo) x e tiver uma rendibilidade r.x, terei
de pagar t.r.x ao Estado; logo a minha taxa de juro líquida é (1-t).r.x.
 Do lado de quem pede emprestado, se tiver uma dedução de t no valor do juro
que terá de pagar, então o custo total de pedir emprestado x será:
r.x – t.r.x = (1-t).r.x
- Um imposto sobre a poupança irá fazer diminuir a poupança, mas ao subsidiar os
empréstimos o montante de capital a ser pedido emprestado vai aumentar.
- A taxa de juro mede o custo de oportunidade dos fundos – o valor da 2ª melhor
alternativa para dar uso ao dinheiro.
 Mercado de activos
 Taxas de retorno
- Parte-se do seguinte princípio: se não há incerteza sobre o cash flow dado por cada
activo, então todos os activos têm de ter a mesma taxa de retorno. Caso contrário (se as
taxas) em que um activo tem uma taxa de retorno maior, leva a que ninguém compre o
Microeconomia II
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F.E.U.N.L.
activo com uma taxa de retorno menor. Em equilíbrio as taxas de retorno têm de ser
iguais entre activos, assumindo que não existe incerteza.
- 2 activos: A e B
o A, tem preço corrente p0, dentro de um ano tem preço p1 (em que os agentes têm
certeza dos 2 preços e durante o ano não haverão dividendos).
o B, investimento que paga taxa de juro r.
Questão: Investir €1 em A ou B?
a) Se €1 em A: p0.K = 1 => compra K = 1/p0 unidades de A, logo dentro de 1 ano,
p
recebe: p1 .k  1 .
p0
p
b) Se 1€ em B, receberia (1 + r) passado 1 ano. Em equilíbrio: 1  r  1 , ou seja,
p0
p
p 0  1 , verifica-se então que o valor corrente do activo tem de ser igual ao
1 r
retorno actualizado ao valor presente. Caso a igualdade não seja respeitada,
então haverá uma forma de fazer dinheiro.
p
-> Se 1 + r > 1 , as pessoas que possuem o activo A vão vende-lo por p0 no 1º período
p0
e investir no activo B que tem maior rendibilidade. No período seguinte o investimento
em B valerá p0(1 + r) que é maior que p1. Esta desigualdade garante que os agentes no
2º período terão dinheiro suficiente para adquirir de volta, ao preço de p1 sobrando-lhes
ainda dinheiro extra (lucro).
 : p 0 (1  r )  p1  0
Nesta situação o agente realiza uma arbitragem – vendeu um activo, comprou
outro, restituiu o que tinha do activo A e a ainda conseguiu ter lucro.
Arbitragem: os preços e retorno dos activos são tais que se pode encontrar uma carteira
que realize ganhos certos no futuro. Em equilíbrio não há oportunidades de arbitragem.
Se o agente não fosse dotado de A, venderia a descoberto A, receberia hoje p0,
investiria esse montante em B e recebia dentro de 1 ano p0(1 + r) ao banco, mas pode
vender o activo A ao preço p1.
 : p1  p0 (1  r )  0
Sempre que existirem oportunidades de arbitragem, o próprio mercado
encarrega-se de eliminá-lo, visto que o activo que todos procurarão adquirir vai
aumentar o preço (devido ao excesso de procura), por outro lado o activo que ninguém
quer, vai diminuir o preço, aumentando a rendibilidade, havendo convergência na
rendibilidade dos 2 activos até que se verifique a igualdade, desaparecendo a
possibilidade de arbitragem.
 Activos com retorno no consumo
Há activos cujo payoff além de monetário é também em termos de consumo.
Exemplo: habitação
 Além de ser um investimento que gera retorno (através da apreciação) dá
também um retorno em termos de consumo – a renda implícita que o agente
Microeconomia II
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recebe por possuir a casa; é como se o agente recebesse uma renda anual
pela casa (visto que o agente podia estar a arrendar a casa);
 A casa custou P (custo inicial);
 Apreciação anual da casa = A
 Renda anual = T
TA
Taxa de retorno =
, a taxa de retorno total tem em consideração a taxa de retorno
P
T
A
do consumo ( ) e a taxa de retorno do investimento ( ).
P
P
Se r for a taxa de retorno de outro activo financeiro, em equilíbrio:
TA
 r  T  A  r.P
P
-> Se T  A  r.P , então o retorno total da casa é menor que o retorno do investimento
financeiro. Não compraria a casa, seria preferível colocar o dinheiro no banco.
-> Se T  A  r .P , então o retorno total da casa é superior ao do investimento
financeiro. Preferível comprar a casa, pois sabe que o retorno obtido é superior ao que
teve se pusesse o dinheiro no Banco.
A
Em geral o retorno financeiro da casa, , é menor que r. Os activos com uma parte
P
de retorno em consumo, em equilíbrio terão uma taxa de retorno financeiro menor que
os activos puramente financeiros, isto porque parte do preço do activo de consumo
reflecte o retorno do consumo que a pessoa tem, só pelo facto de possuir esse bem.
 Impostos e retornos de activos
- Os impostos são também uma forma de ajustar as diferenças de retorno entre activos,
eliminando a arbitragem.
Exemplo: activo A paga imposto t sobre o retorno gerado (r b); o activo B está ausente
de imposto e gera retorno re.
Em equilíbrio, terá de suceder que (1 – t)r b = re.
- O retorno depois do pagamento de impostos de cada activo deve ser igual, caso
contrário haveria espaço para arbitragem.
- Se os activos são taxados de forma diferente, ou têm características de risco diferentes,
então devemos comparar as suas taxas de retorno depois de aplicado o imposto ou as
suas taxas de retorno ajustadas ao risco.
 Aplicações
 Exemplo: Quando cortar as árvores?
- Supondo que o tamanho da floresta (é medido em termos de quantidade de madeira
extraída) expresso numa função tempo, F(t). O preço da madeira é constante. A taxa de
crescimento do retorno das árvores (que são o activo) começa alta e vai gradualmente
Tx. de
diminuindo.
crescimento
- Se o mercado da madeira for
da riqueza
perfeitamente concorrencial quanto deve
a floresta ser cortada?
r*
r
R.: Quando a tx de crescimento do retorno
da floresta (o activo) for igual à tx de juro!
Tx. de crescimento de
retorno do activo
Antes de t* a floresta está a ganhar uma taxa
de retorno mais alta que a do banco, depois
t*
Microeconomia II
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F.E.U.N.L.
de t* a taxa de retorno da floresta é menor
que a taxa de retorno do banco (que é a taxa
de juro). O ponto óptimo para cortar a
floresta é quando a sua taxa de crescimento
iguala r.
Investimento 1º na
floresta; 2º no banco.
Retorno
total
Investimento apenas
no banco
O tempo óptimo para cortar a
floresta é quando esta iguala a taxa
de juro no banco.
Investimento apenas
na floresta
Tempo
T
Algebricamente:
F (T )
, queremos encontrar T que maximiza o V.A.L.
(1  r ) T
Problema de Max V.A.
F (T )
F (T )
V (T ) 
 V (T )  r .T  e  r .T .F (T ) , assume-se que a floresta cresce a uma
r
e
(1  )T .n
n
taxa constante.
F ' (T )
V ' (T )  0  e  r .T F ' (T )  r.e r .T .F (T )  0  F ' (T )  r.F (T )  0  r 
, ou seja,
F (T )
no óptimo de T, a taxa de juro r tem de igualar a taxa de crescimento da floresta.
Valor actualizado =
3.3) Incerteza
Exemplo (caso concreto)
Dotação inicial de 35000 mas pode perder 10000 se houver um incentivo com
probabilidade de 1%.
1%
25000 (estado mau)
99%
É a distribuição de probabilidade
35000 (estado bom)
- Comprar um seguro é uma forma de alterar a distribuição de probabilidade.


1 unidade de seguro: prémio de seguro a pagar = 1 (quer se dê ou não o
sinistro)
a seguradora paga 100 em caso de sinistro.
Microeconomia II
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Então se a pessoa decidir assegurar 10000, pagará 100 unidades de seguro. A nova
distribuição de probabilidade fica:
(*) 35000 – 10000 + 10000 - 100 = 34900
1%
34900 (*)
(perda)
34900 (<>)
99%
(seguro) (prémio)
(<>) 35000 – 100 = 34900
(prémio)
Em geral, se comprar K unidades de seguro e pagar γ como prémio unitário, a função
distribuição fica:
1%
35000 – γK + 100K – 10000 = 25000 + 100K - γK
99%
35000 – γK
_
Normalizando cada unidade paga 1 em caso de sinistro, o prémio seria agora  

.
100
_
Compraria K  100k
Consumo no
bom estado
Inclinação: 
_ _
_
k

_
_

(1   ) k
35000
_
(1   )
w
_ _
35000 -  k
_
25000
_
25000 – (1-  ) k
Consumo no
mau estado
Para atingir pontos à esquerda da dotação w (com mais consumo em bom estado
e menos em mau estado), em vez de comprar, teria de vender seguro contra a perda.
- O seguro permite alterar a função distribuição probabilidade.
- O mapa de indiferença é que vai determinar quanto de seguro é que o agente vai
comprar; podendo existir agentes muito conservadores que escolhem ter muito seguro
ou agentes que gostam de risco e não gastam dinheiro em seguro.
 Funções utilidade e probabilidade
- Em geral, a forma como uma pessoa valoriza o consumo nos vários estados vai
depender da probabilidade que cada estado tem de se verificar. Então a função utilidade
vai depender das probabilidades e dos níveis de consumo, assume-se que as
probabilidades são P(c1) = π1; P(c2) = π2
em que π1 + π2 = 1 -> são acontecimentos mutuamente exclusivos
São probabilidades
subjectivas dadas a
cada
estado
de
natureza
Microeconomia II
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Exemplos de preferências:
U(cm, cb) = πm.v(cm) + π b.v(cb)
ou
 1 
U(c1, c2) = c1 .c 2  ln u (c1 , c 2 )   ln c1  (1   ) ln c 2
 Utilidade esperada
Se um dos estados de consumo é certo, por exemplo se π = 1 => Função de
utilidade é apenas v(c1).
π1.(v(c1)) + π2.(v(c2)) -> representa a utilidade média ou a utilidade esperada ou função
Von Neumann-Morgenstern.
A propriedade da utilidade esperada só existe para funções do tipo π1.(v(c1)) +
π2.(v(c2)); esta propriedade só se mantém em transformações monotónicas do tipo
v(u) = au + b, para qualquer outro tipo de transformações monotónicas essa propriedade
é destruída.
 Porquê a utilidade esperada é razoável?
- Em escolha sob incerteza há um género de independência natural entre diferentes
resultados pois eles são consumidos separadamente (em diferentes estados de natureza);
- As escolhas que as pessoas pensam fazer num estado de natureza devem ser
independentes das escolhas que eles pensam fazer no outro estado de natureza –
Hipótese da Independência.
Verificando a independência, a função utilidade tem de ter a seguinte forma:
U(c1, c2, c3) = π1.u(c1) + π2.u(c2) + π3.u(c3) -> é a função de utilidade esperada.
- A função de utilidade esperada satisfaz a propriedade que a TMS entre 2 bens é
independente da quantidade que há do 3º bem.
U
 1 (u (c1 ) )
c1
c1
TMS1, 2  

U
 2 (u (c 21 )
)
c 2
c 2
 Aversão ao risco
Utilidade
u(15)
v
Para um consumidor adverso ao
risco a utilidade do valor esperado
do consumo / riqueza é maior que a
utilidade esperada do consumo /
riqueza.
u(10)
0,5.u(5) + 0,5.u(15)
u(5)
5
10
15
Consumo
 m .v (c m )   b .v (cb )  v ( m .c m   b .cb )
utilidade esperada
utilidade do consumo
do consumo
esperado
Para agentes avessos ao risco, a sua função utilidade é estritamente côncava. Se
a função fosse estritamente convexa então o agente era amante do risco, preferindo
arriscar a lotaria.
Microeconomia II
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F.E.U.N.L.
Utilidade
NOTA:
A curvatura da função utilidade quanto mais
acentuada for, maior será o risco.
 Quanto mais côncava a função utilidade,
maior a aversão ao risco;
 Quanto mais convexa a função utilidade,
maior a paixão ao risco.
No caso intermédio, a função utilidade é linear,
logo o agente é neutro do risco (indiferente ao
risco).
v
v(cb)
πmv(cm) + πb.v(cb)
v(πm(cm) + πb.(cb))
v(cm)
Cm
πm(cm) + πb.(cb)
Consumo
cb
Voltando ao problema da seguradora.
- consumidor tinha riqueza = 35000;
- possibilidade de perda de 10000;
_
_
Custo do seguro:  .K , em que  é o custo unitário e K é o nº de unidades asseguradas.
Πm = 0,01
Πb = 0,99
_
No óptimo: TMS  

_
1 
Do ponto de vista do consumidor, a escolha óptima é
_
.u (c 2 ) / c 2

TMS  

_
(1   ).u (c1 ) / c1
1
Do ponto de vista da seguradora
_
- Com probabilidade π terá que pagar k e com probabilidade (1 - π) não paga nada.
_ _
- Independentemente do que aconteça ganha sempre um prémio de  k , então o lucro
_ _
_
_ _
_
esperado será: Lucro =  k   k  (1   ).0   k   k
No mercado concorrencial o lucro das seguradoras será nulo, ou seja
_ _
_
_
_
_
_
_
Lucro   k   k  0  L  k (   )  0  k  0      0    
 m v ' (c m )
m
TMS  

 v ' (c m )  v ' (c b )  c b  c m
(1   m ).v' (cb )
1 m
esta última equação diz-me que a utilidade marginal de 1 unidade monetária de
rendimento se a perda ocorrer deve ser igual à utilidade marginal de 1 u.m. extra de
rendimento se a perda não ocorrer.
Para um agente que procura uma seguradora com lucro zero, então irá consumir
onda as utilidades garantidas pelo consumo com lucro zero, logo irá consumir onde as
utilidades garantidas pelo consumo em estado mau e estado bom são iguais, ou seja, os
consumos têm de ser também iguais.
_ _
_
_
_
No caso do seguro: 35000   k  25000  (1   ) k  10000  k  Seguro total
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Assumem-se 3 hipóteses: a) seguradora utiliza a mesma probabilidade que o
consumidor; b) seguradoras fazem lucro zero; c) utilidades estritamente côncavas
(consumidor avesso ao risco).
Supondo tudo isto, o consumidor vai escolher comprar seguro total.
 Diversificação
Preço
Retornos
(actual) com Sol
10
5
Acções de uma empresa
de gabardinas
10
20
Acções de uma empresa
de óculos de Sol
Retornos
sem Sol
20
5
- Agente pretende investir 100
- P(Sol) = 0,5 P(Chuva) = 0,5
Agente tem 3 opções de investimento do seu dinheiro
1) Só em acções da empresa de óculos de Sol (10 acções), sendo o retorno de
0,5(200) + 0,5(50) = 125;
2) Só em acções da empresa de gabardinas (10 acções) o retorno será 0,5(50) +
0,5(200) = 125.
3) Investir 50 numa e 50 na outra empresa (5 acções em cada empresa), sendo o
retorno: 0,5(100+25) + 0,5(25 + 100) = 125, mas com certeza!
- A conclusão a que chegamos é que a diversificação do investimento em 2 empresas
permitiu uma redução do risco, mantendo o valor esperado! Neste caso, os 2 activos
estavam perfeitamente negativamente correlacionados o que permitiu reduzir
drasticamente o risco. No entanto, na realidade a maioria dos activos estão
positivamente correlacionados, quando um aumenta os restantes também aumentam.
Enquanto os preços dos activos não forem perfeitamente positivamente correlacionados,
haverão ganhos em se fazer diversificação.
 Risk spreading
- O risco pode ser mitigado através de instituições financeiras tais como: 1) seguradoras;
2) mercado de acções e obrigações.
1) Seguradoras
No exemplo do Seguro, a dotação inicial é de 35000 mas com probabilidade de
1% podia haver uma perda igual a 10000. Há 1000 indivíduos nesta situação. Em média
haverão 10 perdas de 10000 por ano, ou seja, um prejuízo agregado de 100000 por ano;
vamos supor que a probabilidade de algum incorrer numa perda não afecta a
probabilidade que qualquer outro seja afectado (supõe-se independência dos riscos –
havendo dependência entre os agentes de incorrerem em perda, é mais difícil de se
constituir um fundo comum).
- Cada individuo tem uma perda anual esperada de 1%(10000) = 100 , logo cada
individuo estará disposto a pagar até 100 por ano, para se livrar do risco.
- Os consumidores podem constituir um fundo comum, em que cada agente contribui
anualmente com 100 (o correspondente à perda individual anual esperada), então gerase uma receita anual social de 1000 * 100 = 100000.
100 * 1000 = 10 * 10000
contr.ind.*nºagentes = nº médio sinistros*perda por sinistro
Microeconomia II
60
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- Em média dão-se 10 sinistros por ano, mas há anos que se dão mais e noutros menos;
- Os agentes pagam 100 anualmente quer sejam sinistrados ou não e em média o fundo
comum será suficiente para compensar perdas; este é um exemplo de risk spreading,
em que cada consumidor dissemina o seu risco por todos os outros, reduzindo assim o
seu risco.
2) Mercado de capitais e activos
- Donos/fundadores das empresas querem disseminar o seu risco, constituindo
sociedades por acções. Uma vez a empresa “partida” em acções, estas podem ser
vendidas/compradas no mercado. Se a política da empresa não agradar ou for demasiada
arriscada para o dono das acções então este pode vende-las no mercado a quem esteja
disposto a aceitar esse risco por uma determinada contrapartida.
- No entanto, ao contrário da constituição de fundos comuns/seguros, em que a perda
era suportada por todos (quase não há risco no agregado) e não apenas pelo que sofria
efectivamente a perda (visto não se saber quem era o próximo a acarretar com a perda),
no mercado de acções há risco no agregado, pois num ano a empresa pode ir bem e
noutro ir mal e os custos vão ser suportados por quem adquiriu as acções e não por todo
o mercado.
O mercado de acções é uma forma de transportar risco das pessoas que não o
desejam para aqueles que estão dispostos a suportá-lo, desde que suficientemente
compensados. Apesar do risco ser alto, pode ser proveitoso comprar essas acções desde
que a rentabilidade das acções seja suficientemente alta que compense o risco para o
indivíduo que as adquirir.
- Suponhamos que o consumidor tem riqueza w e quer investir x num activo com risco.
Este activo pode gerar um retorno de rg (no bom estado – activo valoriza) ou de r b (no
mau estado).
A riqueza do agente fica:
- no bom estado: wg = (w-x) + x(1+rg) = w + x.rg
- no mau estado: wb = (w-x) + x(1+r b) = w + x.r b
Probabilidade do bom estado = π
Probabilidade no mau estado = 1 – π
Utilidade esperada do agente será:
E[U(x)] = π.U(w + x.rg) + (1 – π).U(w + x.r b)
O problema do consumidor é maximizar o seu valor esperado, determinando qual o
valor óptimo de investimento.
assume-se que o consumidor é avesso ao risco, logo u’’(w) < 0
Max EU ( x)
{ x}
(função é estritamente côncava).
E’[U(x)] = π.U’(w + x.rg).rg + (1- π).U’(w + x.r b).r b
E’’[U(x)] = π.U’’(w + x.rg).(rg)2 + (1- π).U’’(w + x.r b).r b2 < 0
A utilidade esperada será uma finção côncava de x, visto que E’’[U(x)] < 0, porque
U’’(w) < 0.
Microeconomia II
61
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Será que x deve ser positivo?
E[U(x)]
Caso em que
x* = 0
E[U(x)]
*
x
x
Investimento
*
x
x
Investimento
Vamos verificar em 1º lugar se investir o 1º € traz benefício ou não para a
utilidade esperada do indivíduo. Confirma-se pela 1º derivada no ponto x = 0.
E[U’(0)] = π.U’(w).rg + (1 – π).U’(w).r b = U’(w).[ π.rg + (1 – π)r b]
É o retorno esperado do activo
Então podemos dizer que se o retorno esperado for  0, não vale a pena investir,
ou seja, π.rg + (1 – π).r b  0 => não se investe. Se for positiva, significa que vale a pena
investir pelo menos o 1º dólar. Para determinar qual o montante de investimento que
maximiza a função utilidade fazemos:
C.P.O.
E[U’(x)] = 0  π.U’(w + x.rg).rg + (1 – π).U’(w + x.r b).r b = 0, sabemos que o x
encontrado será um máximo global, visto a função ser estritamente côncava.
NOTA: Resultado interessante verificado em que há um efeito positivo do imposto no
investimento em activos de risco – investimento aumenta com imposto sobre
activos de risco!
3.4) Activos de risco
 Mean Variance analysis (Tobin)
Vamos descrever as preferências dos indivíduos em termos de 2 indicadores
estáticos: a média do activo (µw) e o desvio-padrão desse mesmo activo (σw).
S
 w    s Ws
s 1
S
 W2    s ( ws   w ) 2
s 1
-> é uma medida do risco em que quanto maior
for a variância, maior será o risco do activo.
As escolhas são feitas apenas com base no valor esperado e variância / risco de
cada activo, em que o valor esperado pode ser visto como um bem e a variância
como um mal, partindo do principio que o agente é avesso ao risco.
-> Suponha-se que o agente consumidor vai formar um portfolio constituído por um
activo sem risco rf e outro com risco ms, em que πs é a probabilidade de ocorrência do
estado s.
rm -> o valor esperado do activo com risco.
σm -> desvio-padrão do retorno.
Microeconomia II
62
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Em geral, o consumidor vai gastar uma fracção x da sua riqueza no activo com
risco e a fracção (1 – x) no activo livre de risco.
O valor esperado da carteira de portfolio será:
S
S
rx   ( x.m s  (1  x ).r f ) s x  ms . s  (1  x )r f  rx  x.rm  (1  x ).r f
s 1
s 1
A variância do portfolio será:
S
S
 x2   ( x.ms  (1  x).r f  rx ) 2 . s   x2   ( x.ms  (1  x).r f  x.rm  (1  x).r f ) 2 . s 
s 1
s 1
S
S
  x2   ( x.m s  x.rm ) 2 . s   x 2 (ms  rm ) 2 . s  x 2 m2
s 1
s 1
x
m
- Em geral, vamos assumir que rm > rf, visto que um investidor avesso ao risco nunca
escolherá um activo com menor rentabilidade esperada e um risco maior.
 x2  x 2 . m2   x  x 2 m2  x 
Rendimento
médio
rm
rm  r f
m
rx
rf
σ.rf = 0
σx
σm
Desvio-padrão
A R.O. é como se representasse
todas as combinações lineares possíveis
entre o activo sem risco e o activo ms.
rm  r f
rm  r f

. [rf não tem risco,
 m   rf
m
daí a sua variância ser igual a zero.]
Recta de mercado de capitais:

rx  r f  x (rm  r f )
m
Tínhamos visto atrás que:

rx = x.rm + (1 - x)rf e x  x
m
 x (rm  r f )   m .r f
x


  x
.rm  (1  x ).r f  rx  x .rm  m
.r f  rx 

m
m
m
m
m
rm  r f
 rx  r f 
. x
m
rx 
declive da recta de capitais
Desta forma o portfolio óptimo é dado pela tangencia entre a função utilidade e a
U /  rm  r f
restrição, ou seja, TMS  

U / 
m
Em equilíbrio, todos os agentes terão TMS iguais entre eles e com o declive da
recta de capitais. O tradeoff entre risco e valor esperado terá de ser igual para todos os
agentes.
Microeconomia II
63
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 Sharpe-Lintman-Black
C.A.P.M. – Capital Asset Pricing Model
Recomposição da carteira com (a)% investido no activo i, e (1 – a)% investido
na carteira de mercado.
E(rp) = a.ri + (1 – a).rm
σ2(rp) = a2.σ2i + (1 – a)2.σ2m + 2a(1-a) σi, m
NOTA:
Var (1 x   2 y )  12 .Var ( x)   22 .Var ( y )  21 . 2 .Cov ( x, y )
E (rp )
a
 (r p )
a
 ri  rm

1
2a i2  2 m2  2a m2  2 i ,m  4a i , m
2 (rp )

em equilíbrio a = 0,
E (rp )
a
 ri  rm ,
 ( r p )

a
a 0
a 0

 i ,m   m2
m
O problema de maximizar o a, de forma a aumentar o rendimento da carteira,
sem aumentar o risco.
_
Formalizando, Max E (rp )
L
(
a
,

)

E
(
r
)


(

  ( rp ))
p
{a }
s.a
_
 ( rp )  
Rendimento
médio
Curva
de
oportunidades
na
recomposição da carteira (é uma
função que não é bem-comportada).
rf
Desvio-padrão
Em geral a inclinação da fronteira é
E (rp )
_


C.P.O.
E(rp )
a
 .
 (r p )
a
0 
E(rp ) / a
 (rp ) / a

É
o
multiplicador
de
Lagrange do problema de
maximização
ri  rm
 i , m   m2
m
Em equilíbrio a = 0, porque num mercado com apenas alguns retornos, já vimos
atrás que todos os activos têm de ganhar o mesmo retorno, caso contrário haveria
espaço para arbitragem, mas essa situação acaba por desaparecer com o ajustamento dos
preços no mercado, até que todos os activos depois de ajustados no risco atinjam a
mesma taxa de retorno. Daí que a = 0, em equilíbrio.
Microeconomia II
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Tangencia
ri  rm
 i , m   m2

rm  r f
m
  m2 ( ri  rm )  (rm  r f )( i , m   m2 )  ri  rm  ( rm  r f )
 i ,m
 rm  r f 
 m2
m
 ri  r f  ( rm  r f ).
 i ,m
 m2
Modelo C.A.P.M.
ri = rf + βi (preço do risco)
Em que o prémio de risco é (rm - rf), ficando ri = rf + βi.(rm - rf) e βi = risco activo i/risco mercado

Em geral, o valor de um activo tende a depender muito mais da correlação do
seu retorno com outros activos do que a sua própria variação;
Um activo que tenha um σi,m mais alto, significa que os activos são mais
correlacionados e logo menos interessantes do ponto de vista da diversificação
do risco, como tal tem de ser acompanhado de ri mais altos; σi,m↑ => ri↑
Se a covariância for negativa podemos admitir que o rendimento médio do
activo i com risco seja inferior ao do rendimento médio sem risco.


4) Dualidade
4.1) Dualidade na teoria do consumidor
L bens, U estritamente quase côncava, duas vezes diferenciável, superfícies de
indiferença não tocam os eixos.
x2
1) v(p,y) = Max(x)
s.a P.x = y
Curvas de nível
v é a função utilidade indirecta
x1
Solução do problema x(p,y) é dada pela função procura ordinária ou Marshalliana.
v(p,y) = U(x(p,y)) -> Utilidade máxima no ponto de soluções.
Problema: maximizar a utilidade dada a despesa fixa.
2) e(p,u) = min P.x
e -> é a função despesa
_
U(x) ≥ u
Solução: h(p,u) é dada pela procura
Marshalliana.
e(p,u) = p.h(p,u) => despesa
mínima no ponto de solução.
x2
declive = -(p1/p2)
_
u Curva de nível
Problema: minimizar a despesa sujeita a uma
utilidade fixa.
Linhas de iso-custo
x1
Microeconomia II
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e(p,v(p,y)) = y -> função despesa;
v(p,e(p,u)) = u -> função utilidade indirecta;
h(p,v(p,y)) = x.(p,y) -> procura hicksiana;
x(p,e(p,u)) = h(p,u) -> procura marshalliana.
Propriedades da função despesa:
 e(tp,u) = t.e(p,u)
 função despesa é côncava em p, ou seja,
e(tp + (1 – t)p’, u) ≥ t.e(p,u) + (1 – t).e(p’,u)
Demonstração:
~
~ ~
x  h(tp  (1  t ). p' , u ) , ou seja, e(tp + (1 – t)p’, u) = p x
~
onde p  t. p  (1  t ). p '
~
t. p x
 e(t. p, u )
 (1  t ). p' x  e((1  t ). p ' , u )
~
~
t. p. x  (1  t ). p ' x  t.e( p, u )  (1  t ).e( p' , u )
e(t. p  (1  t ) p ' , u )  t.e( p, u )  (1  t ).e( p ' , u )
Logo, a função despesa é côncava.
e
P
Se aumento o preço, a despesa cresce mas a uma taxa decrescente – à medida
que o preço do bem 1 sobe, o consumidor irá trocá-lo por outros bens, assim a despesa
não cresce de uma forma linear.
e( p, u )
 hi ( p, u )
p i
Prova pelo Teorema do Envelope:
Max f(x,a)
g(x,a) = 0
L = f(x,a) – λ[g(x,a)]
M(a)
M L

a a
x*
Microeconomia II
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Aplicando
e(p,u) = min P.x
e
L

pi pi
_
u(x) = u
 hi ( p , u )
x  h ( p ,u )
A derivada da despesa em orden a pi é a
coordenada i ésima da função hicksiana.
_
L = p.x – λ(U(x) - u )
L
 xi
pi
Efeito substituição:
hi
 2e
 2 0
A concavidade da despesa explica o efeito substituição!
p i U pi
Problema 1
Função utilidade indirecta
v(p,y) = Max u(x)
s.a p.x = y
solução x(p,y) é a procura Marshalliana
v(p,y) = u(x(p,y))
x2
Graficamente, o problema 1:
y/p2
x2(p,y)
v(p,y)
x1(p,y)
y/p1
x1
Problema 2
Função despesa
e(p,u) = min P.x
solução h(p,u) é a procura hicksiana
_
s.a
u(x) = u
Graficamente, o problema 2:
e(p,u) = p.h(p,u)
x2
declive = -(p1/p2)
h2(p,u)
Curva de nível
h1(p,u)
Microeconomia II
x1
67
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Igualdades a verificar:
1)
2)
3)
4)
 2e
e é côncava em p, logo
é semi-definida
p 2
e(p,v(p,y)) = y
v(p,e(p,u)) = u
h(p,v(p,y)) = x(p,y)
x(p,e(p,u)) = h(p,u)
 2e
negativa, nomeadamente
 0,  i
p i2
- O efeito substituição é o que está por trás desta concavidade no preço.
e
pi
h( p, u ) 
e
e L
, pelo teorema do envelope, porque

p
p p
 x óptimo  h( p, u )
óptimo
L = p.x – λ[u(x) – u]
Para melhor compreensão e assimilação dos conteúdos, de seguinte ir-se-á
apresentar um exemplo:
U(x) = x1x2
Para achar a função utilidade indirecta. Procuras Marshallianas
 y  y

v( p, y )  
 2 p1  2 p 2
y
2 p1
y
x2 =
2 p2
x1 =

y2
 
-> função utilidade indirecta
 4 p1 p 2
Procuras hicksianas: L = p1.x1 + p2x2 – λ[x1x2 – u]
Microeconomia II
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C.P.O. do problema de min imização de despesa



p
 L
  1
 _ 

0

p


x

0

1
2
u
 x

x2

p
.

1
2
 x 






p
p
.
x
 L

 2 2
  1
1



0

p


x

0

p

x

0


x

 x1 

 2   1


2
1
1

x
x
p
p
2
2
1
1






_
_
 L



 0  x1 x 2  u
u



 
x2  x


1






_



p
.
u
x 
2


_
1



p
p2 .u


1
  x1 
 

  Pr ocuras Hicksianas
_
p1



_
_


 x 2  p1 . u
p1 . u
u

x2 

p2
p

x2 
2

_

p2 .u

p1

Mas pelo Teorema do Envelope, para obter a procura hicksiana basta derivarmos
a função despesa em ordem a cada preço. Isto porque, a função objectivo do problema
de minimização da despesa é a função despesa e(p, v(p,y)) = y e no óptimo o ponto que
maximiza a Lagrangeana também tem que maximizar a função objectivo que é
precisamente a função despesa e(p,v(p,y)) = y.
NOTA:
_
hi 
u pj
pi
  no caso da f . utilidade ser uma Cobb  Douglas ( x1 x 2 ).
_
C.A.
e(p,u) = p1h1 + p2h2 = 2 u p1 p 2
_
 _
 u p2
e( p, u )  p1 
 p1

_
u p2
e 2 u p 2


p1
p1
2 p1
_
_
_
2 u p1
u p1
e


p 2
p2
2 p2
_

 _

 u p1
  p2 

 p2


_
u p 2 p1  u p 2 p1  2 u p 2 p1
Microeconomia II
69





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v ( p1 , y )
pi
Identidade de Roy: xi ( p, y )  
v( p, y )
y
Derivando em ordem a pi
v v e
e
 .
0
p i y p i
p i
agora h ( p, u ) 

u  v ( pi , y )
v  p i
v y
v ( p , y )  p i
e
e então xi ( p , y )  hi ( p, v( p, y ))  
p
v ( p , y ) y
No nosso exemplo:
y2

v
p1
4 p 2 p12 4 p1 . p 2 . y 2
y




  é a procura Marshalliana do bem1.
2
v
2y
8. y. p1 . p 2 2 p1
y
4 p1 p 2
utilidade marginal do rendimento que é também o λ (multiplicador de Lagrange do
problema de maximização da utilidade).
v

p 2
y

  é a procura Marshalliana do bem 2.
v
2 p2
y
 Equação de Slutsky
x j ( p, y) h j ( p, u )
x( p, y )

 xi
pi
pi
y
u v ( p , y )
x j ( p, e( p, u ))  h j ( p, u )
x j
pi

x j e h j
x j h j
.



 hi
y pi pi
pi pi
.
u v ( p , y )
x j
y

h j
pi
 xi
u v ( p , y )
x j
y
xi hi
xi  2 e
x
se i  j ,

 xi .
 2  xi . i
pi pi
y pi
y
≤0
a função despesa é concava,
devido ao ef. substituição
 Se tivéssemos dotações
y = p.w
Microeconomia II
70
David Henriques
x j
pi

x j
pi
F.E.U.N.L.

y cons tan te
x j y h j
x j x j
h j
x j
.

 xi

.wi 
 wi  x j 
y pi p i
y
y
p i
y
≤0
NOTA:
Bem normal:
Bem inferior:
x j
y
x j
y
?
?
depende se
é vendedor
ou
comprador
líquido.
 0;
depende se o bem é
normal ou inferior.
 0.
- Mesmo para um bem normal, a procura marshalliana pode ser positivamente inclinada,
se
o
consumidor
for
vendedor
líquido
do
bem,
ou
seja,
x j
 0 e wi  xi  o, então a procura Marshalliana é positivamente inclinada.
y
- Já a procura hicksiana nunca poderá em algum caso ser positivamente inclinada, pois o
efeito substituição é sempre menor que zero.
 Excedente do consumidor
P1
p1'
CS 
p1'
p1
.dp1 
v( p, y )
y
 x1 ( p, y).dp1   
p10
'
1
v( p, y )
p10
p
p0
x1(p,y)
1
* 1 . v( p, y ) .dp  1 v( p 0 , y )  v ( p ' , y
1
1
1
v p' p1
v
1
Queda na utilidade
y
y
– é a alteração do
0
1
p

bem-estar medido
em utis.
x1
Utis por
euro
*
Admitindo
que
v
y
é
independente dos preços,
mas não é este o caso geral.
x2
Se λ (multiplicador de Lagrange) fosse
independente dos preços, significaria que o mesmo
aumento do rendimento levaria a um mesmo aumento de
utilidade, qualquer que fosse o ponto de partida (a
inclinação original ou a razão de preços, mas geralmente
não é assim.
v
é crescente em p1.
y
B
A
λ
Como se pode verificar no gráfico, o λ varia
consoante o óptimo escolhido, ou seja, varia conforme
a razão de preços. Nesta caso, para um mesmo
aumento de rendimento, partindo do ponto B atinge-se
uma utilidade mais elevada do que partindo do ponto
A. Daí que λB > λA.
x1
Microeconomia II
v
y

B
v
y
A
71

David Henriques
F.E.U.N.L.
Resumindo conceitos:
Função utilidade indirecta
Função despesa
v(p,y) = Max u(x)
s.a
p.x = y
e(p,u) = min p.x
_
u(x) = u
s.a
v ( p , y )
Solução: xi(p,y) = 
p i
v( p, y )
y
solução:
hi ( p, u ) 
e( p, u )
p i
Equação de Slutsky
xi
h
x
 i  xj i
p j p j
y
x2
Se p1↑
V.C.
/p2
NOTA:
V.C. = Variação Compensatória
C
A
B
x1
- Variação compensatória: diz-nos o quanto dinheiro teríamos de dar ao consumidor
depois de uma variação de preço, para que ele fique tão bem quanto antes da variação
(pode ser obtido de 2 formas: à Hicks ou à Slutsky).
C.V. é tal que v(p’,y0 + CV) = v(p0,y0)
ou seja, y0 = e(p0,u0), logo CV = e(p1,u0) – e(p0,u0)
- Variação equivalente: diz-nos quanto dinheiro o consumidor está disposto a dar no
máximo para que não haja alterações de preços. É a variação no rendimento que é
equivalente à mudança de preços em termos de variação de utilidade / cabaz de
consumo.
Se for
Se for à
à Hicks
x2
V.E.
Slutsky
Se p1↑
/p2
B
A
Legenda: Variação equivalente (V.E.) à Hicks.
C
x1
Microeconomia II
72
David Henriques
F.E.U.N.L.
V.E. é tal que v(p’,y0) = v(p0,y0 – V.E.), ou seja, y0 = e(p’,u’) onde u’ = v(p’,y0)
y0 – V.E. = e(p0,u’), então V.E. = e(p’,u’) – e(p0,u’)
NOTA:
e( p, u )
 hi ( p, u )
pi
p1
1
 h ( p , u ' )  e( p , u ' )  e( p
0
i
, u' )
po
h1(p,u0)
P1
P1’
Para bem normal (x1 é normal):
VC > XC
P10
x1(p,y)
h1(p,u’)
x1
p1'
VC   hi ( p, u 0 ).dpi , porque h1 ( p, u 0 ) 
p10
e( p, u 0 )
p1
x1 ( p 0 , y 0 )  h1 ( p 0 , u 0 )
x1 ( p ' , y ' )  h1 ( p ' , u 0 )
porque y 0  e( p 0 , u 0 )
y 0  V .C.  y '  e( p ' , u 0 )
Pela equação de Slutsky
xi hi
x

 xi . i
pi pi
y
x1
h
x
Se xi fôr normal
 1  1
p1
p1
p1
1
h
 1
p1
1
p1'
V .E.   h1 ( p, u ' ).dp1
p0'
x1 ( p ' , y 0 )  h1 ( p ' , u ' )
y 0  e( p ' , u ' )
?
x
h
Se x1 fosse inf erior , 1  1
p1 p1
Então
x1
h
 1 , se não fôr bem de Giffen.
p1
p1
x1
por tan to
p1
1
h
 1
p1
1
Microeconomia II
73
David Henriques
F.E.U.N.L.
P1
P1’
h1(p,u’)
P10
h1(p,u0)
x1(p,y)
x1
Excedente do consumidor (tabela resumo):
BEM
Normal
V.C. ≥ ∆XC ≥ V.E.
Subida
de preço
V.E. ≥ ∆XC ≥ V.C.
Descida
de preço
Inferior
V.E. ≥ ∆XC ≥ V.C.
V.C. ≥ ∆XC ≥ V.E.
- Em geral, a VC ≠ VE, mas no caso das preferências quasi-lineares, as curvas de
preferência são paralelas (distância entre curvas de indiferença é sempre a mesma).
No caso deste tipo de preferência (as quasi-lineares) VE = VC = ∆XC.
- Preferências quasi-lineares:
u(x1,x2) = v(x1) + x2
Assumindo v’’< 0, sendo uma função invertível
L (x1,x2,λ) = u(x1,x2) + λ[m – p1.x1 – p2.x2]
 L

 x  0  v' ( x1 )   . p1 v' ( x1 )  p1
 1
p2

 L

 0  1  . p 2
 

 x 2

 L
 x  (v' ) 1  p1    Pr ocura Marshalliana
p 

0

 1
 2
 
Não
há
efeito
rendimento, x1 não
depende de m.
Sendo p2 = 1, vem λ = 1
4.2) Dualidade na teoria do produtor
- Empresa que produz 1 bem usando n inputs. Toma os preços do bem e dos inputs
como dados. Função de produção é f(x), com rendimentos decrescentes à escala, para
que a função de produção seja côncava.
 ( p, w)  Max   p. f ( x)  w.x
x 
p -> preço do output
w -> preço dos inputs
Solução: x(p,w) -> procura ordinária de inputs.
Oferta: y(p,w) = f(x(p,w))
Microeconomia II
74
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F.E.U.N.L.
Resolvendo o problema em duas fases:
1ª fase: Minimizamos as despesas de produção para cada nível de produção
Min w.x
s.a
f(x) = y, em que y está fixo para um dado nível de produção
x2
C(w,y) é a função custo
w1
w2
rectas de iso-custo
inclinação = -
Solução: h(w,y) é a procura compensada
C(w,y) = w.h(w,y)
( p, w)  p. y ( p, w)  w.x ( p, w)
F(x) = y
x1
preço
2ª fase: Maximizar o lucro
Max p. y  c (w, y )
y
Cy
p
Solução será y(p,w) é a função oferta
x(p,w) = h(w,y(p,w))
são as procuras ordinárias pelos inputs.
y
 Pelo teorema do envelope
C (w, y )
hi ( w, y ) 
wi
xi ( p, w)  ?
Como encontrá  las ?
y ( p, w)  ? 
Vejamos, L = w.x – λ[f(x) – y]
C
L

 hi ( w, y )   é a derivada em ordem ao parâmetro no óptimo.   T .Envelope
wi wi óptimo
Em geral:
f (a)  Max g ( x, a )
x
f g

a a

  xi
wi
óptimo
  xi ( p, w)   f . procura agreg .

 f ( x) óptimo  y ( p, w)   função oferta
p
x óptimo
Função procura ordinária e função oferta podem ser
encontradas pelo teorema do envelope.
Exemplificando:
Partindo da função de produção f ( x )  x11 / 3 .x 12 / 3
Microeconomia II
75
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Determinar Função custo:
Min w1 x1  w2 x 2
{ x1 , x 2 }
s.a x11 / 3 .x 12 / 3  y

L( x1 , x 2 ,  )  w1 .x1  w2 .x 2   y  x11 / 3 .x 12 / 3

C.P.O.
1
 L
2 / 3 1/ 3
1

 w1 x 2
w1  .x12 / 3 .x12 / 3
 x  0  w1  3  .x1 .x 2  0

3
1
w  x


1
 2
 L

1 / 3  1  2 / 3
1 / 3  1  2 / 3
 0  w2  x1  .x 2  0  w2  .x1 . .x 2  0  


3
3
 x 2


 L
 y  x 1 / 3 .x 1 / 3

1/ 3 1/ 3
1
2

0

y

x
.
x



1
2

 

1/ 2
x1 .w1

*
3 / 2  w2 
 x 2  w  x 2  y  w 
2
 1



1/ 3
1/ 3
 w

1 / 3  x1 .w1 
2 / 3  w1 




 y 2
y

x

y

x

x


1 
1
1

w 
w
  w1
 2 
 2

1/ 3






3/ 2
*
1
x y
3/ 2
 w2

 w1



1/ 2
x1 * e x2 * são as funções procura condicionadas.
A função custo vai ser dada pela seguinte expressão:
C (w, y )  w1 . y
3/ 2
 w2

 w1



1/ 2
 w2 . y
3/ 2
 w1

 w2



1/ 2

1/ 2
 y 3 / 2 w1 .w2 
1/ 2
 w1 .w2 
  y 2w .w   
1/ 2
3/ 2
1
2
 2 y 3 / 2 w1 w2
Pelo Teorema do Envelope, sabemos que através da função custo podemos obter
as funções procura condicionadas.
w2
C
1
 x1*  2. . y 3 / 2 (w1 .w2 ) 1 / 2 .w2  y 3 / 2
 x1* c.q.d .
w1
2
w1
w1
C
 x 2*  y 3 / 2
 x 2* c.q.d .
w2
w2
- Função lucro:
Custo
3
p2
p  Cmg y 
 2.
y w1 .w2  3 y.w1 .w2  p  3 y.w1 .w2  y 
y
2
9.w1 .w2
Função oferta
Microeconomia II
76
David Henriques
F.E.U.N.L.
- Procuras ordinárias:
xi ( p, w)  hi ( w, y ( p, w))
x1 ( p, w) 
x 2 ( p, w) 
w2  p 2
.
w1  9.w1 .w2



3/ 2
 p 3 .3 3.w1 2 .w21 
p3
27.w12 .w2
p3
27 w1 .w22
 ( p, w)  p.
p2
2. p 3
p3


9.w1 .w2 27.w1 .w2 27.w1 .w2
Função lucro
C. A.
 p2 

C (w, p)  2
 9.w1 .w2 
3/ 2
. w1 .w2 
2 3
2. p 3
p ( w1 .w2 ) 1 
27
27.w1 .w2

3p2
p2


p 27.w1 .w2 p.w1 .w2
C.A.
p3
p3
(1) w11  
  x1*
2
27 w2
27.w2 .w1

p3

  x1 ( p, w)
w1
27.w12 .w2
Procura ordinária x1(p,w) = h1(w,y(p,w))
x1 h1 h1 y
 2C
 2 C y


.


.
w1 w1 y w1 w12 w1y w1
Efeito
substituição
NOTA a)
Efeito substituição é sempre
negativo.
Efeito output
- mede a alteração da utilização do
input 1 via alteração do output
maximizador do lucro.
Preço
NOTA b)
C
hi 
wi
Cmgy
_
p
x2
y0
y
B
Cmgy sobe ou desce quando w1 aumenta?
hi
 0 , input normal
y
(Cmgy)A < (Cmgy)B
Microeconomia II
Y
A
x1
77
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F.E.U.N.L.
Max f(x)
s.a
w.x = m
tem como multiplicador µ (é o inverso do multiplicar λ do problema de minimização
de custos).
Min w.x
s.a
f(x) = y
µA > µB
Função lucro  ( p, w)  Max p. f ( x)  w.x
{ x}
 ( p, w)
w
 ( p, w)
 f ( x ( p, w))
Oferta de output y(p,w) =
p
Solução: procura ordinária x(p,w) = 
Função custo C(w,y) = min w.x
s.a
f(x) = y
Solução: procura compensada
c ( w, y )
hi ( x, y ) 
 ci
w
x(p,w) = h(w,y(p,w)) -> a procura ordinária é igual à procura compensada no
output maximizador do lucro.
xi
h
h y
 i  i.
,i j
w j w j y w j
xi
y
 c ii  c iy
wi ( )
w j
efeito output: alteração da procura do input é pela alteração do output.
Efeito substituição (é uma
função côncava)
Preço
Se o input for normal
 hi


 ciy  0  então C yi  C iy  0
 y

Cy
_
p
Para um input normal quando w aumenta a
curva de custo marginal desloca-se para cima.
y’
y0
NOTA:
Cyi = Ciy > 0
derivadas cruzadas são
iguais.
y
Logo, y diminui, ou seja,
y
y
 0 mas quanto é
?
wi
w j
Microeconomia II
78
David Henriques
F.E.U.N.L.
 C yi
C yi
y
Y

, então

 0,
w j
 C yy
w j
C yy
p  C y (w, y )  0 
para input normal
Cyi > 0, Cyy > 0
Input
normal
Cmg crescente

C2
  C ii  iy  0

C yy

 h

Se o input, for inferior  i  C iy  0  então C yi  C iy  0
 y

Então,
 C yi
xi
 C ii  C iy  
 C
wi
yy

Logo y aumenta, ou seja,
y
0
w j
Preço
Output aumentou
_
p
y0
p  c y ( w, y )  0 
C yi  0, C yy  0
y’
y
 C yi
C yi
y
Y

, então

0
wi
 C yy
w j
C yy
( para input inf erior )
 C yi
x
então i  cii  ciy  
 C yy
wi


C iy2
  C ii 
0

C
yy

Quer se trate de um input normal ou de um input inferior, o efeito substituição e
o efeito output têm sempre o mesmo sinal.
Bem normal: quando o preço do input aumenta, o Cmg sobe, reduzindo o output.
Como o input é normal isso reduz a sua utilização, logo o sinal do efeito output é
igual ao efeito substituição (< 0).
Bem inferior: quando aumenta o preço do input, o Cmg desce, aumentando o
output. Como o input é inferior isso é acompanhado por uma diminuição do input,
logo o efeito output é igual ao efeito substituição (> 0).
Microeconomia II
79
David Henriques
x2
F.E.U.N.L.
x1 normal,
hi
0
y
 w1 
w 
    1    A   B
 w2  B  w2  A
(C y ) A  (C y ) B , ou seja C yi  0
B
C
A
x1
Se o bem 1 é normal, o aumento de output (passagem para uma isoquanta mais
alta) leva a um aumento da utilização do bem 1.
x2
λB
x1 inferior,
B
hi
0
y
λA < λB, então
(Cy)A > (Cy)B, ou seja,
(Cy1) < 0 para bem inferior.
C
A
x1
λA
Para um bem inferior o aumento de output leva a uma redução na utilização do
input 1.
Cy é o multiplicador do problema min w.x e portanto é o inverso do multiplicador λ do
s.a f(x) = y
problema Max f(x).
s.a w.x = y
O λ dá-nos a eficácia de um aumento de despesa em termos de produção.
Cy
Preço
C’y
P
AC
S’
AC’
S
_
p
Dmercado
Y0
Y’
Y
Y’
Microeconomia II
Y0
Y
80
David Henriques
F.E.U.N.L.
w1 aumenta, suponhamos x1 inferior.
AC 
w1 .x1  w2 x 2
;
y
AC x1

0
w1
y
Para um aumento de w1:
-> Quer o bem seja normal ou inferior, o custo médio aumenta sempre.
 As empresas mais penalizadas são aquelas que utilizam mais input 1, pois o
custo médio aumenta mais – saem de mercado.
 O output das empresas que ficam no mercado aumenta de y0 para y’
(individualmente) mas o output agregado diminui de y0 para y’, ou seja, a
redução de output provocada pela saída de empresas é superior ao somatório do
aumento de output nas empresas que ficam no mercado.
 w1 aumenta, supondo x1 normal.
P
S’
P
Cmg
P
C’y Cy
S
P
D
Y
Y’
Y0
Y
Y’
Y0
Y
Y0 Y’
Y das que ficam sobe ou desce?
Não se sabe se o output das empresas que ficam aumenta ou diminui, tudo
AC x i
depende do aumento do custo médio.

wi
y
- O input pode ser utilizado mais ou menos intensivamente a diferentes níveis de
output. De certeza que o output agregado diminui, mas não sebemos o que acontece ao
output individual.
5) Introdução aos Problemas de Informação Assimétrica
- Até aqui tem-se assumido que todos os agentes têm perfeito conhecimento da
qualidade e características dos produtos, a qualidade é fácil de se verificar (ou seja, não
há um custo em se adquirir essas informações sobre os produtos);
- Na realidade, a informação sobre a verdadeira qualidade do produto, pode ter um
custo ou pode mesmo ser impossível de obtê-la – exemplo do mercado de trabalho em
que é difícil distinguir um bom de um mau trabalhador;
- Problemas de custo de informação surgem não só nas empresas mas também para os
consumidores que têm de fazer escolhas quando adquirem bens – exemplo do mercado
de carros usados, em que o comprador desconhece o estado do carro;
- A informação assimétrica pode causar problemas de funcionamento de mercado.
Microeconomia II
81
David Henriques
F.E.U.N.L.
 The market for lemons (George Akerlof)
Market for lemons: é um mercado em que os carros vendidos estão em mau estado,
mas o comprador só sabe disso depois de o adquirir. Os vendedores conhecem o estado
do carro, mas os compradores não!
Considere-se um mercado de carros usados:
 100 compradores;
 100 vendedores;
 É de conhecimento geral que 50 dos carros à venda estão bons e os restantes 50
são de má qualidade. No entanto, a qualidade de cada carro só é conhecida por
cada vendedor (os consumidores não sabem quais são os bons carros nem quais
os maus).
Vendedores
- dono de um carro mau está disposto a aceitar 1000€ mínimo para vendê-lo;
- dono de um carro bom está disposto a aceitar 2000€ mínimo para vendê-lo.
Compradores
- dispostos a dar até 2400€ por um bom carro;
- dispostos a dar até 1200€ por um mau carro.
Se não houvesse assimetria de informação então os carros em mau estado
seriam transaccionados entre 1000€ e 1200€ e os carros em bom estado seriam
transaccionados entre 2000€ e 2400€. Mas se os consumidores não puderem observar a
qualidade dos carros e assim não os conseguir distinguir, então os consumidores terão
de dar um palpite de quando valerá o carro. Essa avaliação / palpite vai basear-se nas
probabilidades de se achar um carro bom ou mau determinando-se o valor esperado do
veículo.
Sendo de conhecimento geral que P(carro bom) = P(carro mau) = 0,5 (por
hipótese).
O valor esperado do carro será = 0,5 * 1200€ + 0,5 * 2400€ = 1800€.
Mas para o preço de 1800€ os vendedores de bons carros preferem sair de mercado
(visto que só pretendem vender no mínimo por 2000€), logo, restam apenas carros de
má qualidade no mercado!
- Havendo apenas carros de má qualidade no mercado, os consumidores estarão
dispostos a pagar apenas 1200€. O equilíbrio de mercado ocorrerá entre os 1000€ e
1200€, visto todos saberem que só os maus carros ficam no mercado.
- Os carros em bom estado saem de mercado apesar de haver quem os queira vender e
quem os queira adquirir; o mercado de carros de qualidade desaparece devido à
externalidade causada por vendedores de maus carros. Quando um indivíduo tenta
vender um mau carro vai afectar a percepção da qualidade de quem compra e logo o
valor esperado de um carro vai diminuir aos olhos do consumidor. Quanto menor for o
valor esperado, mais serão afectados os que querem vender bons carros, criando-se
assim uma falha de mercado.
Quantos mais carros de má qualidade estiverem no mercado, mais difícil se
torna a venda de carros com boa qualidade.
Microeconomia II
82
David Henriques
F.E.U.N.L.
 Escolha da qualidade
Iremos de seguida considerar que a qualidade pode ser determinada pelos
produtores no mercado das sombrinhas.
 2 qualidades de sombrinhas;
- Valorização dos consumidores:
 de sombrinhas de alta qualidade: 14€
 de sombrinhas de baixa qualidade: 8€.
No entanto é impossível dizer / saber qual a qualidade da sombrinha no acto de
aquisição.
Custos de produção de sombrinhas:
Os custos de produção são iguais,
 de alta qualidade: 11,50€
assume-se que a indústria é
 de baixa qualidade: 11,50€
competitiva.
- fracção de boas sombrinhas no mercado = q;
- fracção de más sombrinhas no mercado = 1 – q.
Valor esperado de uma sombrinha = p = 14q + 8(1 - q)
Podem dar-se 3 casos:
1) Apenas são produzidas sombrinhas de baixa qualidade. Os consumidores
valorizam estas sombrinhas em 8€, mas estas custam 11,50€ a ser produzidas,
logo, nenhuma transacção ocorreria.
2) Apenas são produzidas sombrinhas de alta qualidade. Neste caso haveria
excedente do consumidor, uma vez que os consumidores dão até 14€ /
sombrinha e estas custam apenas 11,50€ a serem produzidas.
3) Ambas as qualidades são produzidas.
Num mercado competitivo P = Cmg = 11,50€, logo a qualidade esperada pelos
consumidores deverá ter um valor de pelo menos 11,50€.
Algebricamente temos: 14q + 8(1 – q) ≥ 11,50€  6q ≥ 3,5  q ≥ 7/12. A menor
fracção de qualidade que satisfaz esta inequação é q = 7/12.
P
P = 14q + 8(1 – q)
11,50€
7
/12
q
Como se pode verificar graficamente abaixo de q = 7/12, os consumidores têm
sempre uma valorização (da sombrinha) menor que o custo de produção destes => não
se irão vender sombrinhas se q < 7/12 => mercado desaparece.


XP (excedente do produtor) = 0, sempre para qualquer nível de qualidade, visto
que o mercado é perfeitamente competitivo;
XC (excedente do consumidor) varia consoante o nível de qualidade das
sombrinhas. Quanto maior a qualidade dos chapéus-de-chuva maior será o seu
excedente.
Microeconomia II
83
David Henriques
F.E.U.N.L.
- Suponhamos agora que o custo de produzir 1 sombrinha de boa qualidade é 11,50€ e
custa 11€ a produzir uma de baixa qualidade.
 q é a fracção de chapéus de alta qualidade;
 O mercado tem comportamento competitivo em que os produtores
individualmente pensam que terão um efeito negligenciável se
produzirem chapéus de baixa qualidade. No entanto, todos os produtores
vão pensar que têm um impacto negligenciável no mercado, fazendo
com que a tendência seja a de todos produzirem apenas chapéus de má
qualidade.
- A conclusão a retirarmos deste último modelo é que a possibilidade de produzir bens
de baixa qualidade a custos mais baixos destruiu o mercado dos guarda-chuvas.
 Selecção adversa – Informação escondida
O caso anterior dos guarda-chuvas é de selecção adversa, em que bens de baixa
qualidade expulsam os bens de qualidade devido ao custo de adquirir a informação.
Exemplo de selecção adversa – Companhia de seguros:
 Companhia de seguros oferece seguro para o roubo de bicicletas;
 A incidência de roubos varia muito entre comunidades.
- Se o seguro aplicado pela seguradora for uma media, vai suceder que as pessoas das
zonas mais calmas não compram o seguro, estas só estão dispostas a pagar um valor
abaixo da média, enquanto as pessoas com incidência de roubo mais alta e que estão
dispostas a pagar mais do que o preço média do seguro vão ser as únicas que querem o
seguro.
 Verifica-se assim que a média não é uma boa forma de fazer seguros,
uma vez que só quererão fazer seguro os que têm um risco muito
maior, gerando prejuízo para a seguradora.
 Os assegurados de alto risco afastam os potenciais assegurados de
baixo risco, visto que o preço do seguro vai ser mais alto.
- Uma possível solução para o problema dos seguros é o de fazer seguros com base na
média de cada grupo de indivíduos. É possível fazer com que os indivíduos de baixo
risco possam obter seguros mais baixos que os indivíduos de alto risco e todos possam
beneficiar com os seguros.
NOTA: os indivíduos de alto risco beneficiam com a presença de indivíduos com
menor risco. Se a probabilidade de roubo fosse igual em todos os locais não haveria
problema de selecção adversa.
- Este é um caso em que impondo restrições (fazendo segmentação de mercado) é
possível atingir pontos mais eficientes (movimentos de Pareto).
 Moral Hazard – Risco Moral. Acção escondida
- Se a probabilidade de roubo de uma bicicleta fosse igual em todos os locais, então não
haveria problema de selecção adversa, mas a probabilidade de roubo poderia ser
afectada por acções por parte dos donos, podendo estes ter mais cuidados ou não com a
sua bicicleta.
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

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Sem seguro, os consumidores têm mais cuidado, visto que são eles que
suportam a perda na totalidade.
Por outro lado, se o seguro reembolsar tudo (na totalidade) então o indivíduo
não tem incentivo a ter cuidado nenhum. É a falta de incentivo que gera o
problema de risco moral, em que a seguradora não consegue controlar a acção /
os cuidados que o segurado tem. Se a acção for observável então não há
problema e a seguradora pode discriminar e aplicar diferentes preços aos
segurados.
Solução para problema de “moral hazard”: não fazer seguros completos, para que
o segurado tenha também sempre alguma perda própria e assim seja “obrigado” a ter
algum cuidado e tomar precauções.
- O equilíbrio de uma situação com risco moral é diferente de um equilíbrio de mercado
(em geral).
Algumas conclusões e notas a reter:
- Risco moral tem a ver quando uma das partes de mercado não observa as acções do
outro lado. É um problema de acção escondida, em que geralmente a solução passa por
um racionamento.
- A selecção adversa, tem a ver com problemas de informação escondida, levando a
que hajam poucas transacções devido à existência de bens em boas e más condições
(não se conseguindo fazer a distinção);
- Quanto menor a informação disponível, menor será a eficiência de mercado.
 Sinalização
Considere-se novamente o mercado de carros usados:
- Os donos dos carros de boa qualidade têm um incentivo a tentar convencer os
consumidores que de facto têm um bom carro, praticando acções que dão um sinal
sobre a qualidade do carro – exemplo da garantia.
Os bons carros podem dar garantia mas os carros de pior qualidade caso o façam terão
depois um maior risco de serem devolvidos, não compensando aos donos dos carros de
má qualidade dar a mesma garantia que os dos bons carros.
- A sinalização ao ajudar os consumidores a distinguir os bons dos maus carros faz com
que o mercado atinja uma melhor performance.
 Modelo simplificado sobre a educação como sinal (M. Spence)
- Trabalhador bom tem Pmg = a2
- Trabalhador mau tem Pmg = a1
e
a2 > a1
 b% dos trabalhadores são bons e (1-b)% são maus;
 Assume-se um mercado de trabalho competitivo;
 Função de produção, f(L1, L2) = a1.L1 + a2.L2
 Se a qualidade do trabalho fosse observável então w1 = a1 aos maus
trabalhadores e w2 = a2 aos bons trabalhadores. Cada um seria pago pelo seu
produto marginal.
 Mas as empresas em geral não conseguem saber quem são os bons e os maus
trabalhadores, então ofereceria um salário w = (1 - b).a1 + b.a2, desde que ambos
os tipos de trabalhadores concordem em trabalhar por este salário não haveria
problema de selecção adversa;
Microeconomia II
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
Suponhamos agora que há um sinal que distingue os tipos de trabalhadores: a
educação.
e1 = nº de anos de educação do trabalhador 1;
e2 = nº de anos de educação do trabalhador 2.
Custos:
c2.e2 = custo total da educação para trabalhador 2;
c1.e1 = custo total da educação para trabalhador 1.

Assume-se que: a educação não afecta a produtividade e c2 < c1, significa que o
Cmg de adquirir educação para um bom trabalhador é mais baixo que o Cmg
para um mau trabalhador.
 Suponhamos ainda que se exige um nível de escolaridade e* que satisfaz as
a  a1
a  a1
inequações: 2
 e*  2
, em que a 2  a1 e c 2  c1 ,
c1
c2
De maneira a que:
a2 – a1 < c1.e*, em que o custo de adquirir mais educação para um trabalhador mau
é superior ao benefício, o trabalhador mau nunca quererá “mascarar-se” de bom
trabalhador, visto que tem grandes custos com isso, ficando a perder.
a2 – a1 > c2.e*, o benefício de adquirir mais educação para o bom trabalhador é
superior ao seu custo. Desta situação, verificamos que cada tipo de trabalhador se
vai auto-discriminar ao dizer o nível de educação que tem. Educação é o sinal!
- Este equilíbrio de sinalização é conhecido por equilíbrio separador dado que no
equilíbrio cada trabalhador vai fazer uma escolha que permite separá-lo / identificá-lo
dos restantes.
- Pooling equilibrium, é um equilíbrio em que cada tipo de trabalhador faria a mesma
escolha. Exemplo: se c2 > c1, desta forma os trabalhadores mais aptos teriam maiores
custos de educação => não há sinal!
 No caso do equilíbrio separador, os trabalhadores mais aptos estão dispostos a
pagar pela educação, não por um aumento da produtividade, mas apenas para se
diferenciarem dos maus trabalhadores (pagam para adquirir o sinal). Neste
equilíbrio, o sinal é um desperdício do ponto de vista social. Os trabalhadores
bons só vão estudar mais, devido à existência / presença de maus trabalhadores
(que provocam externalidade). Só por isso é que os bons trabalhadores vão
estudar mais para enviar um sinal e assim dar a informação que são eles os
melhores. Este investimento em educação só traz benefícios em termos
individuais (aumento de salários) pois a nível social tudo fica na mesma (a
produtividade é a mesma) – sinal é ineficiente.
- Os sinais podem ser benéficos ou maléficos do ponto de vista social.
 Incentivos
Situação: suponha-se que há uma terra que para ser trabalhada é necessária a
contratação de mão-de-obra.
O pagamento da mão-de-obra pode ser feito através de uma transferência lump-sum
(mas que não incentiva o trabalhador a produzir) ou tornar o pagamento do trabalhador
dependente da produção (o que constitui maior incentivo a produzir).
Seja x, o esforço do trabalhador e y o output produzido, de maneira que y = f(x),
Py = 1 -> por hipótese
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s(y) -> é o salário do trabalhador
- Dono da terra escolhe s(y) de modo a maximizar o lucro Π = y – s(y)
Em que y depende de x, e x é uma escolha do trabalhador e não do principal. Se o
_
esforço exige um custo c(x) ao agente e tendo este uma utilidade u como custo de
oportunidade, teremos a seguinte restrição de participação do agente:
_
_
s(f(x)) – c(x) ≥ u , onde u é a remuneração na melhor alternativa.
Problema do principal
 O principal gostaria que o agente escolhesse x que
Max f ( x )  s ( f ( x ))
_
s.a s ( f ( x))  c( x)  u
_
Ou seja Max f ( x )  c ( x )  u , ou seja, f’(x) = c’(x), logo Pmg(x) = Cmg(x).
{ x}
Mas como implementar esse nível de x* de esforço?
É necessário que o agente dê incentivos ao trabalhador para que este escolha esforçar-se
x* e nenhum outro nível de x. Temos assim a restrição de compatibilidade de
incentivos:
s(f(x*)) – c(x*) ≥ s(f(x)) – c(x),  x
É esta restrição que garante que a utilidade de o trabalhador escolher x* terá de
ser superior à de se esforçar em qualquer outro montante de x.
Temos assim 2 restrições no esquema de incentivos que devem ser satisfeitas:
_
1) a utilidade do trabalho tem que ser pelo menos igual à sua melhor alternativa u Restrição de participação.
2) Pmgx = Cmgx – Restrição de compatibilidade de incentivos.
Esquemas de incentivo – exemplos:
1) Renda
- O dono da terra arrenda a terra por R, de maneira que o trabalhador fica com todo o
produto que produz depois de pagar R.
Neste esquema
s(f(x)) = f(x) – R
 O trabalhador Max s ( f ( x ))  c ( x )  f ( x )  R  c( x ) , o ponto óptimo x* vai ser
{ x}

quando Pmgx = Cmgx, que é exactamente o que o dono quer.
R é determinado na condição de participação.
_
_
f(x*) – c(x*) – R = u  R = f(x*) – c(x*) - u
Para que o esquema funcione é necessário que o trabalhador seja menos avesso
ao risco do que o dono das terras caso contrário o esquema será ineficiente.
2) Trabalho assalariado
Neste esquema o trabalhador recebe uma parte variável e uma parte fixa (K) no seu
salário.
s(x) = w.x + K
w = Pmg(x*) e K é determinado de modo a que o trabalhador seja indiferente entre
trabalhar aqui ou na sua melhor alternativa, ou seja, é determinado na sua restrição de
participação.
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Problema a resolver é:
Max w.x  k  c ( x )
das C.P.O. tiramos que w = Cmg(x) e como w = Pmg(x),
{ x}
então Pmg(x*) = Cmg(x*), que é a pretensão da empresa.
W
Cmgx
Pmgx
x
x*
_
_
K tal que w.x* + K – c(x*) = u => K* = u - w.x* + c(x*)
- O problema do trabalho assalariado é que requer a observação do montante de input
trabalho. O salário ao basear-se no esforço feito pelo trabalhador, automaticamente
exige supervisão que avalie o esforço feito.
3) Tomar ou largar
Neste esquema paga-se B* se este se esforçar x* e paga zero x  x * , B* pode ser
encontrado pela restrição de participação.
_
_
B* - c(x*) = u => B* = u + c(x*), se x  x * o trabalhador fica com 0 - c(x*), ou seja,
fica com uma utilidade de – c(x). A implementação deste esquema requer a supervisão
do proprietário a fim de se verificar que o trabalhador de facto praticou o esforço
acordado, por outro lado, caso o trabalhador seja avaliado pelo output produzido, tem
de ser ele a suportar todo o risco (pode não conseguir concretizar o objectivo acordado
por interferência de outros factores exógenos).
B
B*
x*
x
4) Partilha de colheita
Na partilha de colheitas o trabalhador e o proprietário partilham as colheitas de
acordo com percentagens fixas. O trabalhador ficará com α% enquanto ao proprietário
pertencerá ficar com (1 – α)%.
- O salário do trabalhador vai ser s(x) = α.f(x) + F, em que F é a componente fixa do
salário; α < 1.
- O problema do trabalhador é
Max  . f ( x )  F  c ( x)
{ x}
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^
^
Pelas C.P.O. verificamos que  .Pmg ( x)  Cmg ( x) , que é claramente diferente de
Pmg(x*) = Cmg(x*) e logo conclui-se que neste esquema não sendo satisfeita a
condição de eficiência, este nunca poderá ser uma forma óptima de incentivo, dado
^
x  x* .
- Para que o incentivo seja óptimo é necessário que o trabalhador seja um “residual
claiment”, ou seja, o trabalhador deverá receber um produto igual ao seu custo de
esforço e não apenas uma fracção α do custo pessoal que incorre ao trabalhar, só assim
se pode garantir que se atinge o nível de esforço óptimo x*.
- A partilha de colheitas acaba por ser uma solução intermédia entre a renda (com
muito risco para o trabalhador) e o trabalho assalariado (que pode ser pouco produtivo
quando não observado), dado que incentiva o trabalhador não só porque este ganha uma
fracção do que produz mas também porque está a ser observado e por outro lado o
trabalhador não suporta todo o risco num sistema de partilhas.
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Notas finais sobre a sebenta
Esta sebenta está organizada em cinco grandes partes, seguindo de perto o
programa apresentado na cadeira de Microeconomia II. Toda a informação exposta
nestas páginas tem por base dois pilares: em primeiro lugar os apontamentos retirados
das aulas teóricas (e circunstancialmente em práticas) e em segundo plano é
complementada pela bibliografia recomendada pelos docentes. Esta é uma sebenta que
visa essencialmente os conteúdos teóricos da disciplina.
A utilização esporádica de alíneas (tópicos) e numerações no decorrer dos
textos, justificam-se apenas por uma questão de melhor memorização, organização e
entrosamento de conteúdos.
Por último, é importante relembrar que a sebenta não substitui
nenhuma aula teórica ou prática ou qualquer bibliografia
recomendada pelo professor.
Algumas abreviaturas / simbologia (vulgarmente utilizadas no contexto
microeconómico):
RO: Restrição Orçamental
CI: Curvas de Indiferença
TMS: Taxa Marginal de Substituição
TMST: Taxa Marginal de Substituição Técnica
TMT: Taxa Marginal de Transformação
Pmgx: Produtividade Marginal do factor de produção x
Cmg: Custo Marginal ou MC: Marginal Cost
Bmg: Benefício Marginal ou MB: Marginal benefit
Rmg: Receita Marginal ou MR: Marginal Revenue
FPP: Fronteira de Possibilidades de Produção
FPU: Fronteira de Possibilidades de Utilidade
P: Preço
XS: excesso de oferta
XD: excesso de procura
VC: Variação Compensatória
VE: Variação Equivalente
XC: Excedente do Consumidor ou CS: Consumer Surplus
VA: Valor actualizado ou VAL: Valor Actualizado Líquido
x >> o: x ponto interior da Caixa de Edgeworth (símbolo utilizado na pg. 10 e 11)
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