Transformación de Joukovsky

MECÁNICA DE LOS FLUIDOS I, Ingeniería Aeronáutica
Transformación de Joukovsky
La transformación de Joukovsky1 en el plano complejo, es la más simple de un conjunto de
transformaciones de la forma:
a
a
a
z' = f (z) = z + 1 + 22 + 33 + ...
z z
z
Estas modifican el plano sensiblemente para valores pequeños de z, pero su influencia
tiende a 0 a medida que el módulo de z crece.
La transformación de Joukovsky tiene la expresión:
z' = f (z) = z +
b2
z
Esta convierte a una circunferencia de radio a > |b| en una la forma de un perfil
aerodinámico.
Fig. 1
La derivada de la transformación es
dz'
b2
= 1− 2
dz
z
Se observa que se anula en dos puntos : z = b y z = -b. En éstos, la transformación no es
conforme, es decir, no conserva los ángulos entre dos curvas que pasen por esos puntos.
1
Nikolai Igorovich Joukovsky (o Zhukovsky, en otra versión occidentalizada de su apellido), vivió entre 1847
y 1921. Fue profesor de Mecánica Analítica en la Universidad de Moscú. Publicó diversos trabajos en
Matemáticas, Mecánica y Fluidodinámica. Sus principales contribuciones a la Aerodinámica son: la
transformación conforme de Joukovsky, los perfiles Joukovsky, y la condición hoy conocida como de KuttaJoukovsky, sobre la circulación que genera un perfil en movimiento.
Una transformación conforme en todo el plano z, aplicada a una circunferencia, no podría
generar un perfil con un borde de fuga afilado, porque cualquier quiebre en la curva violaría
la conservación de ángulos que impone la condición de conforme. Pero en este caso, si uno
de los puntos de la circunferencia es z = ± b, en la imagen de ese punto puede aparecer un
quiebre en la curva: ese punto se transforma en el borde de fuga del perfil. En el ejemplo de
la figura, es el punto z = -b. Como el punto z = +b queda en el interior del círculo, su
imagen queda dentro del perfil, y no afecta su forma, ni el campo de flujo alrededor del
mismo.
La transformación de las coordenadas da:
x '+ i y' = x + i y +
b 2 ( x − i y)
x 2 + y2
⇒

b2
x
'
=
x
(
1
+
)

x2 + y2


2
 y' = y (1 − b
)

x 2 + y2
(1)
Las coordenadas del círculo original se obtienen de la ecuación del mismo:
z cil = z c + ae it , con 0 ≤ t < 2π
Las coordenadas del centro del círculo quedan determinadas por su radio, a y el ángulo β
que muestra la figura, de modo que el punto z = -b sea la intersección de la circunferencia
con el eje real:
Fig. 2
Se analizarán algunos casos particulares.
1) Transformación del círculo centrado en el origen:
En el caso general, con |b| < a, la transformación es conforme en todos los puntos del
círculo. La ecuación de este círculo es:
z = ae iθ , 0 ≤ θ < 2π o bien x 2 + y 2 = a 2
(2)
Si se despejan x e y en función de x’e y’ (ecuaciones (1) ) y considerando (2), queda:


 x'

b2
1
+

a2

2
 
 
 +  y'
 
b2
1
−
 
a2
 
2


 = a2



Es decir:


 x'

b2
a
+

a

2
 
 
 +  y'
 
b2
a
−
 
a
 
2


 =1



(3)
que es la ecuación de una elipse.
Fig. 3
En el caso límite en que b = a, el círculo se transforma en el segmento del eje real
-2a ≤ x ≤ 2a. Se observa que si b = a, los puntos z = b y z = -b pertenecen a la
circunferencia, y se transforman en z’= 2a y z’= -2a respectivamente. En este caso no es
aplicable la ecuación (3), ya que el denominador del segundo término se anula. Pero la
transformación es muy sencilla en coordenadas polares:
z' = z +
a2
a2
e iθ + e − iθ
= ae iθ + iθ = ae iθ + ae −iθ = 2a (
) = 2a cos θ
z
2
ae
0 ≤ θ < 2π
Al variar θ, el segmento es recorrido dos veces: desde 2a a -2a y viceversa.
Fig. 4
2) El centro de la circunferencia está en (0, yc). La ecuación de la misma es, por lo tanto:
x 2 + (y − y c ) 2 = a 2
Esta circunferencia se transforma en el arco de circunferencia en z’ indicado, entre 2a y
-2ª, que cruza el eje y en 2yc. Los puntos z = b y z = -b caen sobre la circunferencia
original, y se convierten en los extremos del arco.
La ecuación correspondiente es:
x ' 2 + [ y'−( y c −
a2 2
a2
)] = ( y c + ) 2
yc
yc
Fig. 5
para
y' ≥ 0
También aquí, el límite para yc → 0 es el segmento [-2a, 2a].
3) El centro de la circunferencia está en (xc, 0). (Corresponde al parámetro β = 0)
La transformación da un perfil simétrico. El punto z = -b se convierte en el z’= -2b, que
es el borde de fuga del perfil. La imagen del punto z = b queda en z’= +2b, en el interior
del perfil. El borde de ataque es la imagen del punto z = 2a - b (cruce con el eje x), y es
b2
(2a − b) 2 + b 2
=
, sobre el eje real. Es simple demostrar
el punto z' = (2a − b) +
(2a − b)
2a − b
que este valor es mayor o igual que 2b, y sólo es igual si a = b.
Fig. 6
4) Caso general: circunferencia con centro en (xc, yc)
Se transforma en un perfil no simétrico.
Fig. 7
De los ejemplos vistos, se puede inferir que los parámetros que determinan la forma
del perfil son las coordenadas del centro de la circunferencia. En particular:
- La coordenada xc, relacionada con el cociente b/a, determina el espesor del perfil
resultante. Los casos en que el centro cae sobre el eje y, con xc = 0, dan arcos sin espesor.
- La coordenada yc, relacionada con el ángulo β, determina la curvatura de la línea media
del perfil. Los casos en que el centro cae sobre el eje x (β = 0) dan perfiles simétricos, es
decir, su línea media es un segmento de la recta que constityue el eje de simetría.
Construcción del perfil Joukowsky:
La construcción del perfil es muy simple con una calculadora o planilla de cálculo
que opere con números complejos: dados, a, b y β, las coordenadas del cilindro son (fig. 2)
z cil = z c + ae it = (− b + ae iβ ) + ae it , con
0 ≤ t < 2π
Se calcula la transformación:
z jouk = z cil +
b2
z cil
y se grafica Im(zjouk) vs Re(zjouk), o en gráfico polar, |zjouk| vs arg(zjouk) (arg = argumento).
Una antigua construcción gráfica, sin calcular componentes, sigue los siguientes pasos2:
1) Desde el origen de coordenadas (o) se marca el punto z = -b.
2) Desde z = -b, con el ángulo β y a una distancia a, se ubica el centro del cilindro, al que
llamaremos Q.
3) Con centro Q y radio a, se traza la circunferencia C1, que es la que se quiere
transformar.
4) El segmento oQ y el eje y determinan el ángulo δ.
5) Con el mismo ángulo δ medido desde el eje y hacia la dirección negativa de x, se traza
oM , donde M es el punto de intersección con oQ
6) Con centro en M y radio (− b)M , se traza la circunferencia C2
7) Para trazar el perfil, se dan valores a θ desde 0 a 2π. Con θ, se determina sobre C1 el
b 2 b 2 − iθ
punto P1: z = reiθ, y con -θ, sobre C2 queda el punto P2:
=
e
z
r
8) La suma vectorial de ambos (por el método gráfico del paralelogramo), da el punto P’
que pertenece al perfil, y es la imagen de P1. Recorriendo todos los valores de θ, queda
dibujado el perfil Joukowsky
2
Trefftz, E. 1913: Z. Flugtech. Motorluftschiffahrt, vol. 4, p. 130.
Fig. 8
La forma de este perfil presenta el extrados y el intrados tangentes en el borde de fuga (el
perifl tiende a un espesor nulo allí). Esto es problemático tanto desde el punto de vista
constructivo, como desde el de resistencia estructural. Por otro lado, las características
aerodinámicas tampoco son buenas: el mínimo de presión está muy cerca del borde de
ataque, por lo que el flujo debe recorrer gran parte del extrados con un gradiente de presión
adverso. Otras transformaciones conformes generan “mejores” perfiles. Sin embargo, la
transformación de Joukowsky se incluye en muchos textos de estudio, por su simplicidad,
que facilita el aprendizaje conceptual, y por ser la primera explorada analíticamente.
Circulación y sustentación
Se sabe que la circulación que genera un obstáculo es determinante en el campo de flujo en
su entorno. En el caso particular de un cilindro embestido por una corriente U, el valor de la
circulación, Γ, determina la posición de los puntos de remanso sobre el mismo, alejándose
más del eje de la dirección de la corriente cuanto mayor es la relación Γ / U.
En el caso de un perfil aerodinámico, la “condición de Kutta-Joukowsky” establece que, en
flujo potencial:
la circulación que genera un perfil aerodinámico en una corriente es tal que el punto de
remanso posterior coincide con el borde de fuga
Se subraya la condición de flujo potencial, ya que a ángulos de ataque moderados a
grandes, la capa límite del perfil se desprende, produciendo la llamada “entrada en pérdida”
del perfil (que la teoría de flujo potencial no predice), y los cálculos con este modelo
pierden validez.
La justificación matemática es la siguiente: si F es el potencial complejo del cilindro en el
plano z, la velocidad sobre el perfil en el plano z’, obtenido por la transformación del
cilindro será:
u '−i v' =
dF dF dz
dF
dz'
=
= ( ) /( )
dz' dz dz'
dz
dz
Como dz’/dz se anula en z = -b, que pertenece al cilindro, la única forma de que la
velocidad no sea infinita en el borde de fuga (imagen de -b), es que dF/dz sea nula en -b. Es
decir, que el punto z = -b sea un punto de remanso del cilindro.
Para un cilindro de radio a centrado en el origen, con circulación Γ, embestido por una
corriente uniforme de intensidad -U, proveniente de la dirección positiva del eje real x1, en
el plano z1, el potencial complejo es:
F(z 1 ) = − U(z 1 +
z
Γ
a2
) − i ln( 1 )
z1
2π
a
Si rotamos los ejes, para trabajar en nuestro sistema z:
Fig. 9
z = z 1 e − iα
⇒
z 1 = z e iα
Por lo tanto:
F(z) = − U(z e iα +
z e iα
Γ
a 2 − iα
e ) − i ln(
)
z
2π
a
dF
a2
Γ
= − U(e iα − 2 e −iα ) − i
dz
2πz
z
En este sistema (origen en el centro del cilindro), las coordenadas del punto singular de la
transformación conforme son:
z − b = a e i ( π + β ) = − a e iβ
Si hacemos dF/dz = 0 en ese punto
0 = − U ( e iα −
a2
Γ
e − iα ) − i
2 i 2β
a e
2 π( − a ) e i β
Se despeja Γ:
Γ=
2πUa (e i ( α +β) − e −i ( α +β) )
= 4πUa sen(α + β)
i
La sustentación del perfil por unidad de envergadura, por el teorema de Blasius, también
conocido como teorema de Kutta-Joukovsky, es:
Y = ρUΓ = 4πρaU 2 sen(α + β)
Y = 4πρaU 2 sen(α − α o ) , donde αo = -β es el “ángulo de
También puede escribirse
sustentación nula” del perfil.
Considerando que para perfiles de pequeño espesor, la cuerda es aproximadamente 4a, se
puede calcular el coeficiente de sustentación
cL =
1
2
Y
= 2π sen (α + β )
ρU 2 4 a
Se observa que:
1) Un perfil simétrico (β = 0) no sustenta sin ángulo de ataque, pero un perfil asimétrico
puede hacerlo.
2) La teoría de flujo potencial predice un máximo de sustentación para α+β = π/2. Esto no
se cumple en la realidad, ya que para ángulos de ataque mucho menores se produce el
desprendimiento de la capa límite (“entrada en pérdida” del perfil) y esta teoría pierde
validez.
3) El cálculo del flujo alrededor del perfil predice una fuerza resultante nula en la
dirección de la corriente (resistencia nula). Esto se debe, naturalmente, a que la teoría
de flujo potencial ignora los efectos viscosos, y es una limitación común a todo cálculo
de perfiles basado en esta teoría.
Ref:
Prandtl L. and Tietjens O. G., Applied Hydro- and Aeromechanics, Dover Pub.
1934