ALGEBRA FICHA CEPRU 2010

Transcripción

CEPRU
UNSAAC
-2-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL
CUSCO
PRIMER EXAMEN
1. Determinar el valor de n, para que el
polinomio:
n
n-1
2n+1
n+1
3
P(x,y) = (x +y )(5x -4y )(x+3y -5)
sea de grado absoluto 10, con n>0.
Rpta. 2
2
2
2
2. Si a+b+c=7 y a +b +c =31.
Determinar el valor de la expresión:
M= 18 - 2ab
bc + ac
Rpta. 2
3. Dado los polinomios:
a-1 b-1
b-1 a
a+2 b-1
P(x,y)=ax y +bx y -cx y
a+1 2-b
2-b a
a-1 3-b
Q(x,y)=rx y +tx y +ux y .
Sabiendo además que GA(P)=8 y GA(Q)=6.
Calcular el valor de GRx(P)+GRy(Q).
Rpta. 12
4. Si el grado del polinomio:
2
n
3
n-2
5
P(x)=(25x +7) (100x -1) (2x -1), es 49.
Calcular el valor de la expresión:
E= n + 6
Rpta. E=4
5. Simplificar la expresión, aplicando
productos notables:
 (a 2 + b 2 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 
M=  (a 4 + b 4 ) 2 - (a 4 − b 4 ) 2  ,
1
1
 a 4 + b 4 
Rpta. M=1/2
6. Hallar el coeficiente del polinomio
m -n 3m+2n 5m-n
P(x,y)= 9 3 x
y .
Sabiendo además que su grado absoluto
es 10 y grado relativo respecto a x, es
7.
Rpta. 1
7. Dado el polinomio:
P(x,y)= 2x
m+5 n-3
y +5x
2m-1 n
y (x
1-m
4
+y )+8x
m+2 n-1
y
De grado absoluto 22 y de grado relativo
respecto a x igual a 7.
Hallar el valor de la expresión: E= mn.
Rpta. 30
8. Utilizando productos notables, simplificar
la expresión:
2
2
2
E = (a+b+c) +(a+b-c) +(a-b+c) +
2
2
2
2
(b+c-a) -4(a +b +c )
Rpta. 0
9. ¿Cuántas y cuales de las siguientes
proposiciones son falsas?
I El grado absoluto de
11
7
P(x)=0x +2x +2 es 11.
II En todo polinomio, el grado absoluto
siempre es igual al grado relativo
con respecto a uno de sus variables.
III El coeficiente principal del polinomio
3
4 3 4
5 2
P(x,y)= (2x +y ) (x +3y ) es 72.
IV P(x,y)= 2x 4 y 6 + 3 xy 6 + 7 , es un
trinomio entero.
La suma de coeficientes del
100
polinomio: P(x,y)=(x-2y) (2x+y-1);
es -2.
Rpta. 4
V
10. Si el polinomio:
2
P(x)= (m+1)x +(5m-3)x+2m+3,
es un trinomio cuadrado perfecto.
Calcular el valor de la expresión E=34m.
Para m<0.
Rpta. E=-2.
11. Si el grado del polinomio:
2
n
3
n-2
5
P(x) = (25x +7) (100x -1) (2x -1) es 49.
Calcular:
E= Coeficiente principal de P(x)
5017
Rpta. 25.
ALGEBRA
12. Calcular el valor dela expresión:
2
2
N= (a + 1)
a4 +1
2
2010-II
-319. ¿Cuál es el resultado de multiplicar y
simplificar los factores, en el polinomio?
a
-a
-4a
4a
a -a
P(x)=(x +x )(x +x +1)(x -x )
6a -6a
Rpta. x -x
3 +2)a.
Si se cumple : (a+1) =(
Rpta. N=3.
3
13. Si x+x =3, Hallar el valor de la expresión:
6
-6
E=x +x
Rpta. 322.
2
14. Si el grado de P(x).[Q(x)] es 13 y el
2
3
grado de [p(x)] .[Q(x)] es 22.
3
3
Calcular el grado de [P(x)] +[Q(x)]
Rpta. 15.
2
2
15. Si se sabe que: x +y +z =xy+xz+yz.
Calcular el valor de la expresión:
10
M= 9 (x + y + z)
x10 + y10 + z10
Rpta. 3.
n+2
n-1
n
16. Si P(x,y)=(3xy) -n(xy) +x y, es un
polinomio cuyo grado absoluto es 8.
Hallar la suma de los coeficientes del
polinomio.
Rpta. 80.
2
2
2
17. Hallar el valor de la expresión a +b +c .
Si la suma de coeficientes es 8 y su
coeficiente principal es 1, en el polinomio:
3
P(x) = (a+b+c-5)x +(ab+ac+bc)x+4.
Rpta. 30.
3
3
monomio: P(a,b)=
tiene grado relativo respecto a a igual a 2
y tiene grado absoluto igual a 7.
Rpta. x=5, y=3
21. ¿Cuál es el resultado, de multiplicar y
reducir la expresión?
32
4
2
8
2
16
P(x)= x -(x +1)(x -1)(x +1)(x +1)(x +1)
Rpta. 1.
22. Determinar el grado absoluto del
polinomio:
5
4
2 2 4
3
5 3
P(x,y) = (x -7xy+y -6) (x y +3xy +8y ) .
Rpta. 28.
2
-2
23. Si se cumple: x +x =11.
¿Cuál es el valor positivo de la expresión
1
E=x-x ?
Rpta. E=3.
24. Hallar n, si la suma de coeficientes es el
cuádruplo del término independiente,
del siguiente polinomio:
2
2
2
P(x)=(n+nx) -(3x-1) -15x +15.
Rpta. 4.
25. Hallar el coeficiente del siguiente
monomio: M=
()
1 n
3
m 3m+2n
9 x
5m-n
y
,
Sabiendo que su grado absoluto es 10,
y que el grado relativo respecto a x es 7.
Rpta. 1.
5
18. Dado el polinomio P(x,y)= (2x -1) (y+2) .
¿Cuáles de las siguientes proposiciones
son verdaderas y cuales son falsas?
I EL coeficiente principal de P(x,y) es 8
II La suma de coeficientes de P(x,y)
es 243.
III El grado absoluto de P(x,y) es 8
IV El término independiente de P(x,y)
es 32.
Rpta. VVFF.
26. Hallar el grado de P(x), sabiendo que la
suma de sus coeficientes excede, en la
unidad al duplo de su término
independiente. Siendo:
2
2
2n-3
P(x-2)=n (2x-3) -(x-2)[(x-2) +61]
Rpta. 4.
Rpta. 23 / 7.
36. Que valor debe tomar n, para que el
P(x,y,z)=4x
a x + y b y +6
,
a 2/3b1-y
2m-n+1 2n-p 2p-m
y
z
+5x
2m-n 2n-p+1 2p-m+2
y
z
.
El grado relativo respecto a x es 5
El grado relativo respecto a y es 4
El grado relativo respecto a z es 1
Rpta. 6.
29. Cuál es el resultado de efectuar:
R=
x
polinomio P(x)=x
3
x -1 3 x -1 3 x -n ,sea
de segundo grado.
Rpta. -39.
37. Al efectuar el desarrollo de:
(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)-(x-2)(x-4)(x+3)(x+5)2
12(x +x-1). Resulta:
Rpta. -84.
38. Hallar el grado de la expresión siguiente
4
9 2 7 11 16
35
P(x,b)=[(x +y ) b ] y +y
(a x + 1)(a x − 1)(a 2x + 1) + 1
4
Rpta. a .
30. Dado el monomio:
M ( x, y ) =
Rpta. 165.
( 12 )−3 b − a x 2b +3a y− (b −5a ) .
39. Si A, B y C son polinomios de grado
25,30 y 22 respectivamente.
2
¿Cuál es el grado de: B (A - C) ?
2
C (A + B)
Rpta. 11.
Hallar el coeficiente del monomio, si su
grado absoluto es 10 y el grado relativo
respecto a y es igual a 3.
Rpta. 2.
31. AL reducir:
P(x) = (x-3)(x-5)(x+4)(x+6)(x-4)(x-8)(x+5)(x+9)-50(x-1)(x+2),
resulta:
Rpta. -980.
32. Hallar un polinomio de segundo grado
cuyo coeficiente de x i términos
independientes son iguales, además
P(1) =7 y P(2) = 18. Dar como respuesta
2
el coeficiente de x .
Rpta. 3.
33. Hallar n, si el grado del polinomio es 272.
nn
siendo:P(x)=
Rpta. 2.
nn
( x n + x + 1) n ( x + 2) n
nn
40. Sabiendo que: x+y =
Reducir: R=
xy
.
x+y
x 4 + y4
.
x 2 y2
Rpta. -1
41. Si el polinomio cuadrático:
m
-6
Q(y)= n4 y 3 +(p-13)y+2p-5, tiene como
coeficiente principal igual a 17, mientras
que le termino independiente es el triple
del coeficiente del término lineal.
Calcular el valor de m+n-p.
Rpta. 58.
2
2
42. Dada la expresión: (a+2b) +(a-2b) =8ab.
3
27. Calcular el grado del monomio:
bc a b c
M(x,y,z)=a x y z , sabiendo que:
GA(M)-GRx=11
GA(M)-GRy=12
UNSAAC
-4-
28. Hallar el valor de la expresión E=m+n+p,
si en el polinomio:
20. Hallar el valor de x e y, sabiendo que el
-1
2
CEPRU
GA(M)-GRz=13.
Rpta. 18.
3
34. Si: a+b = 3 y ab = 4. Hallar a +b
Rpta. -9.
4
2
35. Si x≠0 y 7(x +1)=9x . Hallar (x+
1 2
)
x
ab + 2b 2
Hallar el valor de: M=
a2
Rpta. 1
43. Hallar el resto que se obtiene al dividir:
ALGEBRA
2010-II
-550. Determinar el valor de n, si la división
27x + 18x - 6mx + 13
3x - 1
3
2
Sabiendo que la suma de los coeficientes
del cociente es 25.
Rpta. 20.
5
3
2
amx 3 + apx 2 - anx - bmx 2 − bpx - bn
ax - b
,deja como residuo -20b.
Rpta. 10.
51. Hallar la suma de los coeficientes del
20
8
4
cociente al dividir 8x +5x -4x +3 entre
4
2x +1.
Rpta. 4.
45. ¿Qué valores debe tomar a y b, para que
5
el polinomio P(x)=x -ax+b, al ser dividido
2
por Q(x) = x -4 sea exacta?
Rpta. a=16, b=0.
52. En la división:
a 1 2
3
2
c
15x 5 + 32x 4 + 25x 3 + ax 2 + bx + c
3x + 4
x + ax + b , es
(x - 1) 2
3
2
de primer grado. Calcular dicho residuo.
Rpta. 22.
3
47. Hallar b-a, si la división
exacta:
5
4
3
2
3
2
es x+n+3. Hallar n.
3
2
48. Hallar el resto de dividir 6x -5x +ax-1
entre 2x+1, sabiendo que su cociente es
2 cuando x=1.
Rpta. 2.
49. Si el resto de dividir:
3x 5 - 8x 4 - 5x 3 + 26x 2 + mx + n
x 3 - 2x 2 - 4x + 8
es -5x+2. Hallar el valor de m+n.
Rpta. -7
54. El resto de dividir:
3x +2x -7x +(n-3)x +(n+3) entre x +x -2x+1
Rpta. 5.
+ p + 2) q
2
+p
.
Rpta. 1
58. En el siguiente esquema de Horner:
1
Rpta. 8.
55. Hallar el valor de E= 2m+3n. Si el resto
mx 8 + nx 6 - 3x 5 - 1 .
x3 +1
2
Es igual a 8x -5.
de la división:
Rpta. -2.
56. Cuando el polinomio:
4
3
2
P(x)= 8x +nx +mx +px+q se divide entre
2
2x -x+1 se obtiene un cociente cuyos
coeficientes van disminuyendo de uno a
3
A
K
63. La suma de los divisores binomios del
5
3
2
polinomio P(x)= x -25x +x -25, es:
Rpta. 3x+1.
64. Calcular la suma de los coeficientes del
cociente de dividir:
K
M
B
65. Hallar el valor de n, para que el polinomio
3
2
2
x +mx +nx-6 sea divisible por x -5x+6.
Rpta. 11.
S
66. La suma de los coeficientes de uno de
los factores primos del polinomio:
2 4
2
2
2
2 4
2
12a b -10ab mn -39ab -12m n -26mn ,
es: Rpta. -15.
5
P
L
E=
3x - x + 2x + ax + a , el residuo no es
x 2 + x -1
4
Rpta. 44x+47.
2
Rpta. -3
6x 20 − 17 x15 + 15x10 - 14
.
4 - 3x 5
Los coeficientes del cociente disminuyen
de uno de uno. Determinar el valor de
a+b+c, si el resto es 5.
53. Si en la siguiente división:
b-1 c+1
el valor de E= (q
UNSAAC
-6-
Rpta. -4/3
Rpta. 38.
4
Rpta. 16
3
57. En el cociente exacto de x + px + q dar
x 2 + mx - 1
44. Si la división de 8x +4x +Ax +Bx+C entre
3
2
2
2x +x +3; deja un residuo de 5x +11x+7.
El valor de A+B-C, es:
Rpta. 9.
46. Si el siguiente esquema es la división por
el método de Horner, el residuo, es:
CEPRU
uno a partir del primero y un residuo
idéntico a 5x+1. Calcular n+m+p+q
N
8
K + L - M + N -S+ P + A - B
3
Rpta. 7.
59. En la división:
mx 4 + mx 3 + mx - 1
, el
x 2 + x -1
residuo es 4. Hallar la suma de los
coeficientes del dividendo.
Rpta. 14.
60. Calcular m, si el resto de la división
3x 2 + mx + 5
es igual al resto de
x+2
2x 2 − x + 1
x+2
Rpta. 3.
61. Hallar a + b, para que:
x 3 - ax + b
sea una división
P(x) =
x2 - 9
exacta.
Rpta. 9.
62. Hallar el valor de k, si al dividir el
3
2
polinomio P(x)=kx +6x +20x-8, entre x+2
es exacto.
67. El número de factores primos del
2
polinomio P(x)=2x +x-10, es:
Rpta. 2.
68. Calcular el valor de n, sabiendo que
na +6 n + 16 a b +25b , es un trinomio
cuadrado perfecto. Rpta. 9.
8
4 3
6
69. La suma de los factores primos de:
4
3 2
P(a) = a -4a -a +16a-12, es:
Rpta. 4a - 4.
siguiente polinomio:
5
3
2
P(x) = x -10x -20x -15x-4, es:
Rpta. 2.
3
3
71. Dada la expresión E(x,y)= x +y -3xy+1;
expresar en un producto indicado de
factores primos.
2
2
Rpta. (x+y+1)(x -xy+y -x-y+1)
72. En el sistema de números enteros
¿Cuántos de las siguientes proposiciones
son falsas?
ALGEBRA
2010-II
-74
I x -16 es factor primo.
e indique la suma de sus factores primos.
3
Rpta. 3x-3.
II x +2 es un polinomio primo.
4
2 2
4
III x +x y +y tiene dos factores primos.
2
82. En R. ¿Cuantas de las siguientes
IV x -9 es factor primo.
4
proposiciones son verdaderas?
V x -2 tiene tres factores primos.
6 2
3
I El polinomio P(x)=(x-1) (x +2) tiene 2
Rpta. 3.
factores primos
3
73. La suma de los términos lineales de los
II x +2 es un polinomio primo
2
factores primos de:
III El trinomio x -x+1 es un factor primo
4
2
de x +x +1.
4
3 2
2
P(x)=x -4x -x +16x-12, es:
IV El trinomio x +x-1 es un factor primo
4
2
de x +x +1
Rpta. 4x.
Rpta. 2.
74. Hallar la suma de factores primos de:
3 2
3
2
2 3
3
2
2 2
83. Al factorizar:
P(x,y)=x y +x y+x y+x y +xy +xy +2x y
4
5
3
Rpta. 3x+3y+1+xy.
P(x)= (x-2) (x+2)+(2-x) - (x-2)
La suma de los coeficientes de uno de
4
3
2
75. Factorizar x +7x +19x +36x+18.
los factores primos, es:
Indique la suma de sus factores primos.
Rpta. -5.
2
Rpta. 2x +7x+9.
5
4
3 2
polinomio: P(x)= x +5x +7x -x -8x-4, es:
2
2
2
76. Al factorizar: 6x +7xy+2y +10xz+6yz+4z ,
Rpta. 3.
uno de los factores primos, es:
Rpta. 2x+y+2z.
85. La suma de los factores primos del
3
2
polinomio: P(x) = 12x +8x -3x-2, es:
3
2
77. Al factorizar: 6x -25x +23x-6, la suma de
Rpta. 7x+2.
los términos independientes de los
factores primos, es:
86. Al factorizar el polinomio:
2
2
Rpta. -6.
P(x,y)=3x -4y +16x+16y-4xy-12 uno de
sus factores primos, es:
78. Al factorizar:
Rpta. x-2y+6.
4
3
2
Q(z)= 12z -56z +89z -56z+12
El número de factores primos,es:
87. Factorizar el siguiente polinomio:
4 2
P(x)=x -x +6x-9. Dar como respuesta uno
Rpta. 4.
de los factores primos
2
79. El factor primo de mayor suma de
Rpta. x -x+3
coeficientes del polinomio:
2 2
4
2
P(x,y) = x -y +6x+10y-16, es:
88. Al factorizar: (x-1) -5(x-1) +6 uno de los
Rpta. x-y+8
factores primos, es:
2
Rpta. x -2x-1
80. ¿Cuántos factores primos tiene el
89. Factorizar:
polinomio:
5 2
4 2
3 2
4 4
3 3
2 2
P(x,y) = 5x y -8x y +3x y ?
P(x,y)=320x y +658x y +675x y +357xy+90
Rpta. 4.
Dar como respuesta uno de los factores
3
2
81. Factorice el polinomio P(x) = x -3x -6x+8
primos.
2 2
Rpta. 32x y +37xy+15
CEPRU
90. Al factorizar el polinomio:
6
4
2
P(x)= x +4x +3x -2x-1.
Uno de sus factores primos, es:
3
Rpta. x +x-1
91. ¿Cuántos factores primos tiene la
siguiente expresión:
Q(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1?
Rpta. 1.
92. Factorizar e indicar el número de
8
factores de P(x)= x -1
Rpta. 16.
93. Factorizar:
2 2 2
2
2
2 2 2
(a -b )x +2(a +b )xy+( a -b )y
Rpta. [(a+b)x+(a-b)y][(a-b)x+(a+b)y]
2
2
94. Factorizar 3x +10xy+8y +14x+22y+15
Rpta. (3x+4y+5)(x+2y+3)
8
6
4
2
95. Factorizar 2x +x -16x +8x -1
4
2
4
2
Rpta. (2x -5x +1)(x +3x -1)
96. Hallar la suma de los términos
independientes de los factores primos de
5
4
3 2
P(x) = x +5x +7x -x -8x-4
Rpta. 2
5
3
2
polinomio P(x)= x -25x +x -25, es:
Rpta. 3x+1
98. Uno de los factores del polinomio:
4
3
2
P(x)= 6x -35x +62x -35x+6, es:
Rpta. 2x-1
3
2
polinomio P(x) = x -4x +x+6, es:
Rpta. 3x-4.
100. En el polinomio:
12 8 4 4 8
12
P(x,y)=x -x y -x y +y
Indicar cuantos factores primos tiene.
Rpta. 4
UNSAAC
-8101. Factorizar e indicar el número de
factores primos de:
Q(x) = (x+4)(x+1)(x-2)(x-5)+81
Rpta. 1
2
2
2
102. Factorizar x +2ax+a -b e indicar la
suma de los factores primos.
Rpta. 2x+2a.
103. Expresar el polinomio:
5
4 3
2
P(x) = 3x -2x -x +2x -2x como factores e
indicar la suma de los factores lineales.
Rpta. 3x
104. Si R(z) = (3z+2)(4z-3)(z-1)(12z+11)-14
es un polinomio factorizable en un
sistema de números racionales,
entonces un factor primo, es:
Rpta. 12z-13
2
105. Si (x+1) y (2x -3x-2) son dos factores
primos del polinomio:
4
3
2
P(x) =2x -3x -4x +3x+2,
entonces el otro factor primo es:
Rpta. x-1
106. La suma de los factores primos
Lineales del polinomio:
3
2
P(x) = x +6x +3x-10, es:
Rpta. 3x+6.
107. La suma de los factores primos del
3
2
polinomio: P(y)=y -6y +11y-6, es:
Rpta. 3y-6.
108. La suma de los coeficientes de uno
de los factores primos del polinomio:
5
4
3
2
P(x)=12x +8x -45x -45x +8x+12, es:
Rpta. 2
109. Al factorizar por el método de Ruffini
el polinomio:
5
4
3
2
P(x)=x +3x -17x -27x +52x+60.
Se obtiene:
Rpta. (x+1)(x-2)(x-3)(x+2)(x+5)
110. El radical doble que dió origen a los
ALGEBRA
2010-II
-9-
radicales simples 7x - 1 − 5x - 6
tiene por coeficiente de uno de sus
términos lineales, el número.
Rpta. -188.
117. Transformar a radicales simples:
17
− 18 .
4
Rpta. 1 − 12
E=
111. Luego de transformar en radicales
Simples la expresión:
3x - 1 + 8x 2 + 4x - 24 ;
uno de los radicales simples, es:
Rpta. x + 2
112. Transformar a radicales simples:
2x + 8x 4 3
+ 2x
4
Rpta. 1 ( x + 4 2x )
2
119. Reducir y dar como respuesta:
A+B+C, Si:
5 + 2 6 + 10 − 2 21 + 7 − 2 10 = a + 2 b
Hallar a+b.
Rpta. 47.
Rpta.
Rpta. 2
126. Reducir E=
3+ 5- 7
116. Si se verifica la siguiente igualdad:
2 3 + 5 − 13 + 48 = 4 a + 4 b
encontrar los valores de a y b; a>b.
5
7
Rpta.
3 + 2 . 4 5 + 24
2 + 1.2 x 3 − 2 2
Rpta. 3 + 2
128. Transformar la expresión:
10 + 60 − 40 − 24 ,
a:
Rpta. 8x + 60x 2 + 8x - 4
122. Expresar como la suma de radicales
simples:
3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 −1
Rpta.
3
123. Calcular el cubo de
Rpta. 5 2 + 7
4
17 + 12 2
3
3
denominador se reduce a:
Rpta. 13
133. Racionalizar el denominador de:
3
12
9 + 33 3 − 3
Rpta.
3
2
129. Hallar uno de los radicales simples de:
x
2
3
, el
2 −1
135. Al racionalizar el denominador
de
1
, es:
3− 2
Rpta. 1
−
9 +3 3
5−
denominar queda:
Rpta. 17.
5+ 3− 2
Rpta.
5x - 1 + 3x + 1
1
, el
3 3 − 36 + 2 3 2
E=
a suma de radicales simples:
Rpta.
, es:
132. Al racionalizar la siguiente expresión:
3
x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 + 2 x
x
2
x y4 z7
3
x
Rpta.
1
13
5
134. Al racionalizar
B=
C=
8x + x 15 , uno de sus radicales
T=
4 + 15 + 4 − 15
6 + 35 + 6 − 35
121. Hallar el radical doble que dió origen
24 + 4 15 − 4 21 − 2 35
3
127. Transformar
simples, es:
115. Expresar en radicales simples:
x + 2x + 1
x + 2x - 1
+
2
2
3
3 + 2.2 n 7 − 4 3
4+ 7
7
7
se tiene:
n
Rpta. 6.
120. Al transformar el radical doble
2 + 16 + 5 7
x 3 + 2x + x 6 + 4x 4 + 4x 2 - 1 ,
Rpta.
UNSAAC
racionalizado de la expresión
Rpta. Sexto grado
A=
( 3 − 1)( 2 − 1)( 3 + 1)( 2 + 1) .2 2
114. Calcular el valor equivalente a:
E=
∀a, b ∈ Q +
II El radical doble 3 − 3 es posible
transformar a diferencia de radicales
simples.
III a+b+c-2 ab+2 ac-2 bc= a + c − b , a,b,c∈R+
Rpta. Sólo I y III.
113. Si:
3 + 7  13 − 7 − 5 − 7  .


125. Transformando a radicales simples:
a + b - 2 ab = a − b
I
E=
- 10 -
Rpta. 4.
4
118. Las proposiciones verdaderas son:
E=
CEPRU
124. Simplificar
Rpta. a=9, b=1
136. El denominador racionalizado de
E=
1
7 + 6 +1
, es:
Rpta. 12.
137. Al racionalizar:
130. Calcular n , si:
6 + 2n 10 + 2 8 − 2 7 = 7 + 1
3
14
,
15 − 2 + 3 6 − 3 5
3
el denominador, es:
Rpta.1.
Rpta. 1.
131. El grado absoluto del denominador
138. Al reducir la siguiente expresión el
denominador racionalizado de:
E=
9+4 2 − 9−4 2
,
5+ 3
ALGEBRA
es:
2010-II
- 11 Rpta. 1
147. Al racionalizar:
Rpta. 1
E=
139. Al racionalizar la expresión:
10
M=
; se tiene:
como respuesta el denominador.
Rpta. 13.
2 − 12 + 18
3
Rpta. 2+
3
3
12
148. EL denominador racional de la
5
fracción:
, es:
3 2+ 5
140. Racionalizar:
F=
Rpta.
20
2
, x>
7
7 x + 2 − 7x - 2
Rpta. 13.
38
, el
149. Al racionalizar: 3
2 4 +3 6
5( 7 x + 2 + 7x - 2 )
141. El denominar racionalizado de:
3 5 −1
, es:
6 + 2 2 + 24 + 12 + 3 + 2 − 1
Rpta. 2
142. El denominador racionalizado y
simplificado de la expresión
17
,
3+ 3 7
es:
Rpta. 2
143. El denominador:
4
3
, es:
4− 3
Rpta. 1
6
5 − 6 + 10 − 15
Rpta. 5 + 15 − 10 − 6
144. Racionalizar
145. Si:
2
8 + 4p
= 5 − 3,
el valor de p, es:
Rpta. 15.
146. Racionalizar E=
3
, dar
80 + 15 − 32 − 6
5
8 − 4 81
denominar es:
Rpta. 1.
150. En la siguiente expresión calcular el
denominador racionalizado
4
2+ 7+ 5
Rpta. 5.
151. Luego de racionalizar la expresión:
CEPRU
2
2
ax - a
bx - b
+
= x , a≠0, b≠0
b
a
Rpta. x=a+b.
156. Sea la ecuación:
x -a x -b x -c
1 1 1
+
+
= 2( + + ) .
bc
ac
ab
a b c
Hallar x.
Rpta. a+b+c.
157. ¿Qué valor debe tomar n, para que la
ecuación: n ( x - n) = m ( x - m) donde
m
n
n≠m, sea incompatible?
Rpta. m=-n.
158. En la siguiente ecuación determinar el
valor de x.
a
b
a-b
−
=
x -a x -b x +a -b
Rpta. x= b/2.
159. Hallar el valor de x que satisface la
ecuación:
1
,
(a + b) - 2ab
(a 2 + ab)x ab3 - a 2 b 2
− 3 3 =x
a 2 + ab + b 2
a -b
indicar su denominador.
2
2
Rpta. a +b
Rpta. a.
SEGUNDO EXAMEN
152. Si la ecuación:
mx+(3-n)x=5x+2m-10+n,
tiene infinitas soluciones, entonces el
valor de m-n, es:
Rpta. 8.
153. Determinar el mínimo valor entero de
x, en: 4 ≤ 7-2 x < 13
Rpta. -2
154. Si a, b ∈ R la solución de la ecuación:
2
3
2
3
a x-a +b x-b =abx, es:
Rpta. x=a+b.
155. Resolver:
UNSAAC
- 12 162. ¿Qué valores enteros de x satisfacen
la desigualdad:
2x-5 ≤ x+3 ≤ 3x-7?
Rpta. {5,6,7,8}
160. Si a≠0, el valor de b para que la
Ecuación:
2x - 1 x + a + b ,
=
2x + 1 x + a - b
sea incompatible, es:
Rpta. -1/2.
161. La ecuación:
3
5
3
x ,
−
=
+
x + 2 x2 − 4 x + 2 x2 − 4
al resolverlo, es:
I Compatible determinado.
II Compatible indeterminado.
III Incompatible.
IV Tiene por solución x=-2
V Tiene por solución x ∈ R-{-2,2}
Rpta. I.
163. Determinar el valor de x en la
ecuación:
1 1  1
 
 x - 1 − 1 − 1 = 0
4  3  2
 
Rpta. x=32.
164. Calcular a para que la ecuación:
2(3ax-5)+
7x − 9
=0,
2
sea imposible
Rpta. -7/12.
3
3
165. Calcular x-ab, si a +bx=ax+b
2
2
Rpta. a +b .
166. Al formar una ecuación cuadrática,
cuyas raíces son la suma y el
producto de las raíces de la ecuación
2
ax +bx+c=0; ¿esta ecuación tiene por
término independiente?
2
Rpta. –bc/a
167. Si p y q son raíces de la ecuación
2
x +2bx+2c=0, entonces el valor de
2
1
1
Rpta. b - c
+ 2 , es:
2
c2
p
q
168. Si los cuadrados de las dos raíces
2
reales de la ecuación x +x+c=0
suman 9, entonces el valor de c, es:
Rpta. -4
169. Si la ecuación:
3
2
2
2
3
ax -3x +6x-2a =ab-bx-bx +2x , es
cuadrática cuyo coeficiente del
término cuadrático es 1, la suma de
sus raíces es:
Rpta. -10
170. Si las raíces de la ecuación:
ALGEBRA
- 13 2
(k-1)x -(5-2k)x+4k+5=0 son
reciprocas, la suma de sus raíces, es:
Rpta. -3
171. Si las ecuaciones:
2
2
(5m-52)x +(4-m)x+4=0 y (2n+1)x 5nx+20=0, son equivalentes.
Hallar m+n.
Rpta. 18.
172. Las raíces x1 y x2 de la ecuación:
2
2
x -3kx+ k =0,
son tales que:
4
4
(x1 + x2) -( x1 - x2) =14 x1x2.
Determinar el producto de todos los
valores de k.
Rpta. -1/4.
173. Calcular m en la ecuación:
2
2x -(m-1)x+m+1=0,
si la diferencia de sus raíces es uno.
Rpta. 11y-1
174. El conjunto de valores de k para que
2
La ecuación (k+5)x +3kx-4(k-5)=0, no
tenga raíces reales.
Rpta. <-4,4>
175. Si x1 y x2 son raíces de la ecuación:
2
2x +x-1=0, forman una ecuación
cuadrática de incógnita x cuyas raíces
son: x1 + 1 y x + 1
2
x1
x2
2
Rpta. 2x -x-10=0
176. De las siguientes proposiciones cuál o
cuáles son verdaderas, dada la
2
ecuación: ax +bx+c=0, a≠0.
2
I) Si b -4ac=0, entonces las raíces
son reales y diferentes
2
II) Si b -4ac<0, entonces las raíces
son imaginarios
2
III) Si b -4ac>0, entonces las raíces
son reales e iguales
2010-II
2
2
IV) Si b -4ac=k (cuadrado perfecto)
siendo a, b y c números
racionales, entonces las raíces de
la ecuación serán racionales.
Rpta. II y IV
177. El valor de k, si las raíces de la
Siguiente ecuación:
2
(2k+2)x +(4-4k)x+k-2=0,
son reciprocas, es:
Rpta. k=-4.
2
178. Si: x +2x+m=0;
¿Qué valor debe tener m para que
represente la diferencia de las 2
raíces?
Rpta. -2 ± 8
179. Resolver la ecuación:
x 2 − 6x + 10  x - 3 
=

x 2 + 8x + 17  x + 4 
2
Rpta. -1/2.
180. Determinar el menor valor entero
negativo de k para que la ecuación
2
(k+2)x +4x-2=0 tenga raíces reales
diferentes, es:
Rpta. k=-3
181. Hallar a y b para que la ecuación
(2a+4)x-3b+9=0, sea compatible
indeterminado.
Rpta. a=-2, b=3.
182. La diferencia de las raíces de:
CEPRU
Rpta. x=-2
184. Hallar el valor de m para que una de
las raíces sea el triple de la otra en:
2
2
x -(3m-2)x+m -1=0
Rpta. m=2, m=14/11
185. Para que valor de m la ecuación
2
cuadrática: (m+1)x -2mx+m-3=0 tiene
dos raíces reales e iguales.
Rpta. -3/2
186. Calcular la suma de las raíces reales
6
3
de: x -18 2 x +64=0
Rpta. 3 2
187. Que valor tendrá m para que las
2
raices de mx -(m+3)x+2m+1=0,
difieran en 2 unidades.
Rpta. m=1, m=-9/11
188. Si x1 y x2 son las raíces de la
2
ecuación: 3x +5x-1=2+x. Calcular:
-1
-1
(x1+1) +(x2+1)
Rpta. -1/2
2
189. Si p y q son las raíces de x -2x-5=0.
Hallar la ecuación cuadrática cuyas
2
2
raíces son p y q .
2
Rpta. x -14x+25=0
190. Calcular el valor de k de:
2
2kx +(3k-1)x-3k+2=0.
De manera que una de sus raíces sea
la unidad. Rpta. k=-1/2
191. Determinar m para que las raíces de:
2
(m+4)x -(2m+2)x+m-1=0, sean
números reales e iguales.
Rpta. m=5
2
x -ax+15=0, es 2 5 .
Hallar el valor de a.
Rpta. a= ± 4 5
183. Al resolver la ecuación:
4x - 3 1 - x x + 1 x + 2 .
+
=
−
30
15
6
10
La ecuación es:
Rpta. ∀x ∈ R
UNSAAC
- 14 -
192. Hallar m para que:
2
x -m(2x-8)=15,
tenga raíces iguales.
Rpta. m=3,m=5
193. Determinar el mínimo valor entero de
x, en:
4 ≤ 7-2 x < 13
194. Al resolver la inecuación:
2
18 ≤ x -7≤114, se obtiene:
Rpta. [5,11]U[-11,-5]
195. Resolver:
3
5x
3
x
− 2
=
+ 2
x+2 x −4 x−2 x −4
Rpta. Es imposible.
196. Si 1 ≤ x ≤ 3 . Hallar m tal que
4
2
x-2
≥m.
x-4
Rpta. 1/5
197. Resolver: 10 + 2 − 4x - 3 < x .
x -7 x -7 x -7
Calcular la suma de los valores
enteros que verifican dicha
inecuación.
Rpta. 50.
198. Determinar el menor valor entero de x
que satisface a la inecuación
2
42≤x +x≤110, es:
Rpta. x=-11
199. Calcular la suma de los valores
enteros que verifica la desigualdad:
2x-5≤ x+1 < 3x-7
Rpta. 11.
200. Hallar el conjunto solución de la
Inecuación:
x+4
>x
x +1
Rpta. − ∞,−2 U − 1,2
201. Si x ∈ [2,3], hallar a+b en
4
∈ [a,b]
1− x
Rpta. -6
202. Determinar el menor valor entero de k
ALGEBRA
2
en: 12x -4x+5≥k.
Rpta. k=5
203. Entre qué límites está comprendido n,
2
sabiendo que x +2nx+n > 3 .
16
Rpta. n ∈ − ∞, 14 U 34 ,+∞
204. Hallar el conjunto solución de
4x<x+12<3x+6, es:
Rpta. 3,4
205. Si x ∈ 0,3 , Calcular:
5x + 48 - 32x - 16
x
Rpta. 11.
206. Hallar el conjunto solución de
2
x -8x+8>4-4x.
Rpta. R-{2}
207. Determinar el conjunto solución de:
2
x -5x+7>0.
Rpta. R.
208. Resolver: x
Rpta. [-3,5]
2
- 9 ≤ 2x + 6
209. Determinar el conjunto solución de:
3
1
9
11 - x < (5x + 14) ≥ (2 + x)
2
3
5
Rpta. 2,8]
210. La suma de todos los enteros que
satisface a la inecuación:
2x-7<x+2≤3x-5, es:
Rpta. 30
211. El conjunto solución de la inecuación:
1
4 ( x − 3) + 2 ≤ 2 + 3 x , es:
Rpta.
[− 113 ,+∞
212. Al resolver
3x
2
− 1 < 4x − < 5x + 2 , el
2
3
conjunto solucion, es:
Rpta. <-2/15,+∞>
2010-II
- 15 -
CEPRU
UNSAAC
- 16 233. ¿Cuántos valores enteros satisfacen
Rpta. -2.
la inecuación?
223. El conjunto solución de x - 3 ≤ 5x , es:
213. El conjunto solución de:
2
18x-80-x >0, es:
Rpta. <8,10>
Rpta. [1/2,+∞[
Rpta. 4.
224. ¿Cuántos valores enteros satisfacen a
la inecuación 3x - 4 ≤ x + 4 ?
2
214. Al resolver x -5x+25<11, el conjunto
solución es:
Rpta. Φ
2
(x+2) +8x > 6x-6, es:
Rpta. R.
Rpta. 5.
2x + 8 < 5x + 6 ,
es:
216. Determinar el número de enteros que
2
satisface a x + 3x + 2 ≤ 0
x 2 + 4x - 5
Rpta. 5
217. El conjunto solución de: x ≥
2x + 5 > 4x − 3
1
,es:
x
Rpta. [-1,0>U[1,+∞>
218. El menor entero positivo que
satisface a: x − 12 ≥ 1
x
Rpta. 4
219. Al resolver:
x2 − 2
x
,
≥ 2
2
x − 3x + 2 x − 3x + 2
el conjunto solución, es:
Rpta. <-∞,-1]U<1,+∞>-{2}
220. La suma de todos los valores que
satisface a la ecuación x − 2 = 3 , es:
Rpta. <2/3,+∞>
226. Al resolver: 3 − 2 x ≤ 4 − 2 x , el
conjunto solución es:
Rpta. <-∞,7/4]
227. Hallar la suma del menor entero y
mayor entero que satisface a la
inecuación: 3x + 3 x + 2 < 3( x + 4)
4
Rpta. -4
Rpta. {2,7}
222. El número entero que satisface a la
ecuación:
5 x − 3 = −5x + 10 , es:
2
ecuación
3x + 1
= 2 , es:
x −1
Rpta. -3/5
235. El conjunto solución de: 2x + 8 = 8 ,
2x - 3
es:
Rpta. {9/8, 16/7}
236. Determinar el menor entero positivo
que satisface a
2 x + 5 > 5 , es:
2
<1
x −1
Rpta. 4.
237. La solución de:
x 2 + 3x + 11
< 3 , es
x-2
el conjunto:
Rpta. <-5,-1>
Rpta. <-∞,-5>U<0,+∞>
238. La suma de las raíces de la ecuación:
229. El mayor entero negativo que
satisface a la inecuación: 12x - 1 > 23
Rpta. -2.
230. El conjunto solución de x − 7 > −4 ,
es:
Rpta. R.
Rpta. 4.
221. El conjunto solución de
3x - 1 = 5x - 15 , es:
234. El producto de las raíces de la
231. La solución de: x − 2 ≤ 1 , es el
conjunto:
Rpta. [-3,-1]U[1,3]
1
2x + 1
−7
+ 6 = 0 , es:
2
2
2
2x +
Rpta. -2.
239. Al resolver la inecuación:
x − 4 − x − 6 < 0 , el conjunto solución,
es:
Rpta. <-∞,5>
240. Determinar el conjunto solución de
x - 5 = 4x
Rpta. {-5/3,1}
232. Al resolver: 2 - x ≥ 2x + 3 el conjunto
solución es:
Rpta. [-5,-1/3]
241. Hallar el conjunto solución de la
inecuación:
3x + 7 < 4
Rpta. <-11/3,-1>
ALGEBRA
2010-II
- 17 -
242. La ecuación 2x - 7 = x − 5 , tiene
como conjunto solución:
Rpta. Φ
El número de proposiciones
verdaderas es:
Rpta. 1.
248. Sea
243. Dar el conjunto solución de la
inecuación: 3 - 2x < 3x − 8
Rpta. <5,+∞>
 7 - 2 1 .
A = - 1 2 4
 4 0 5
El elemento
a 23 de la matriz A-1, es:
Rpta. -29/20
244. Si la matriz:
 1 - 42 y - 3x 
,
A = 6x 20
1 


1
30 
 0
es simétrica.
2
2
El valor de E=18x +y , es:
Rpta. 1323
245. Calcular x+y+w, si la matriz:


 x -1 
− 2  27 − y  ,

 2
 3



A =  x-7
3
4w - 24 
 y − 3 
w−6
14 
 9




es diagonal.
Rpta. 40
246. Sabiendo que las operaciones de la
multiplicación y adición de las
matrices A, B y C están definidas.
Entonces indicar las proposiciones
verdaderas:
I) A(B+C)=AB+AC
II) Si AB=0, entonces A=0 v B=0
III) La igualdad AB=AC no implica que
B=C
IV) A+B ≠ B+A
V) (AB)C=A(BC)
Rpta. I, III y V
247. Dada las siguientes proposiciones:
I) Toda matriz cuadrada tiene inversa
II) Si A, B y C son matrices
cuadradas de orden nxn.
Si AB=BC entonces A=C
III) Sea I la matriz identidad nxn.
k
Entonces I = I,
∀k ∈ z
249. Calcular la traza de X en la ecuación
AX=AB-BX, donde:
1 2 ;
 0 - 2
A=
B=


3 4
- 3 - 3 
CEPRU
1 2 3 
k + 2 3 k − 1
A= 1 0 4 y B=  2
1
7  .



2 1 3
 1
k
1 
es antisimétrica.
si la trazade AB es 48, Determinar el
valor de k.
Rpta. Si.
Rpta. 4
254. Dada la ecuación:
x2
a + b  a
6  3a 3b 
.
+
=

3  − 1 2d  3c 3d 
b+c .
Hallar
a+d
 4
c + d

251. Hallar el valor de x, en:
x +1 − 3
= 8+ x
1
2
Rpta. X=3
252. Determinar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I) Una matriz triangular superior es si
aij=0 para i<j.
II) Una matriz identidad es aquella
que tiene todos sus elementos
igual a la unidad.
III) Una matriz nula es aquella matriz
cuadrada cuyos elementos son
todas ceros.
IV) Matriz escalar es aquella matriz
cuadrada cuyos elementos de la
diagonal principal son iguales a un
escalar k ∈ R y los demás
elementos iguales a cero.
Rpta. FFFF
+
253. verificar si es la matriz:
259. Sea la matriz M= 
x
− 3 tal que

1
2
x>0. Si │M│=4, Hallar la matriz M ,
es:
− 2 − 6
− 2
Rpta. 1.
Rpta. -24
250. Determinar la traza de:
 2 3  7 − 6 
A=
+

- 5 4  8 2 
Rpta. 15
UNSAAC
- 18 -
1 2
0
,

A =  − 1 0 3
− 2 − 3 0
Rpta. 
2
255. Si:
1 − 1 0  3
,
A =  2 − 3 4 1[1 2 1]
0 0 1  1
Hallar
A.
Rpta. 0.
256. Si:
x/3
z + 12
 − ( m − 2)
,
− ( n − 3) 6 − n 
 y /3
 5 − m
n+ p −3
p 
M= 
es una matriz escalar.
Hallar 3n-2m+p
Rpta. 5.
257. Dadas las matrices:
1 1 
3 0 − 4
A= 2 0  y B= 
.


1 − 1 2 
3 − 5
t
t
La traza de la matriz B A , es:
Rpta. -18.
258. Sean:
260. ¿Cuántos de las siguientes
proposiciones son falsos?
I) En una matriz triangular superior
se cumple aij=0, ∀ i<j
II) Dadas las matrices A, B y C, Si
AB=AC, esto implica que B≠C.
III) Si el producto de las matrices A y
B es conmutativa, entonces el
t
t
producto de A y B es
comnutativa.
IV) Toda matriz diagonal es simétrica.
V) La transpuesta de una matriz
triangular inferior es una matriz
triangular superior.
VI) Toda matriz no singular es
invertible.
Rpta. I y II
261. Dada la matriz:
1 2 2 
,
A = 3 4 - 3
5 - 1 1 
hallar la traza de la matriz A más la
suma de los elementos de la diagonal
secundaria.
Rpta. 17.
262. Sea:
ALGEBRA
2010-II
mismo orden, indicar el valor de
verdad de las siguientes
proposiciones:
I) Si AB=AC entonces B=C.
II) Si AB=0 entonces A=0 ó B=0
2
2
2
III) Si (A+B) =A +2AB+B , entonces el
producto de las matrices A y B es
conmutativa.
Rpta. FFV
269. Si la matriz:
- 19 -
 1 - 42 y - 3x 
A = 6x 20
1  ,
 0
1
30 
una matriz simétrica.
2
Hallar el valor de E=x -y
Rpta. 28.
263. Sean las matrices:
2 5
 3 - 5
y B=
A=
.

1 3
- 1 2 
Hallar la traza de C=AB+BA
Rpta. 4.
3 2 . Hallar -1
A
A=

4 7
Rpta. 1/13.
265. Si:
3 1 1
5 3 2


y
A = 1 0 2 B = 1 0 3 .
1 3 4
 2 1 1 
2
Hallar (A+B)
Rpta.  81 44 59
31 28 31


 47 32 54
266. Si A= 1 2 , B= 4 3 y C= 2 3 .
4 5
2 1
3 4






Hallar X en la ecuación:
2(X-3A)=(B-C)+4(X-A-B).
Rpta. 6 4
2 0 


267. Si la matriz:
m + 2n
B=  m
 5
2n + 3 p
2n
7
10  ,
3 p + m
3 p 
es simétrica.
Calcular la traza de B.
Rpta.11.
a −b
2a − b
a + b
,
A = a − 6
2a
3b 
 b + 3 a + b − 3
7 a 
es triangular superior. Hallar a-b
Rpta. 9
270. El valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I) La matriz cuadrada A es simétrica
t
si y solo si A=A
II) La traza de una matriz
antisimétrica es igual a cero.
III) La matriz cero es cuadrada.
IV) A es una matriz escalar, si A = r In,
∀ r∈ R
En el orden en que aparecen, es:
Rpta. VVFF.
271. Si A y B son matrices conmutables. Si
1 0
2
2
0 − 1
A =B = 
0 1 y A.B= 1 2  .




Determinar la suma de sus elementos
2
de (A+B) .
Rpta. 8
 1 − 2 − 1
.
A =  3 − 1 2 
 − 3 0 − 2
La suma de c21+c32 de la matriz de
cofactores,es:
Rpta. -9.
268. Si A, B y C matrices cuadradas del
CEPRU
es una matriz simétrica.
El valor de (a+b), es:
Rpta. 3.
La suma de los elementos de la
diagonal principal de la matriz adjunta
de A, es:
Rpta. -4.
274. Sean las matrices:
 x - 3y x  ,
A=
y 
 1
- 4 - 8 .
C=

2 3
2 6 - y  ,
B= 

1 6 - x 
Si A=B; entonces 3A+2C, es:
Rpta.
UNSAAC
- 20 -
1 3 2
.
A = 2 1 1 
0 1 1 
- 2 - 1
 7 9


x 2
2
1


A=1
2
x,
 y x - 2 - 5


tal que su traza es 1 y el producto de
los elementos de la diagonal
secundaria es -16.
Hallar su determinante para x>0.
Rpta. -46.
276. Si:
a - 2 c -8 
 4

A = b - 3 6 - a x + 4 ,
 n - 1 m + 6 8 + x 
es una matriz escalar.
Hallar la traza de A.
Rpta. 12.
277. Si:
5 a + 3 7 
A = 8 - 9 b - 2 ,
7 - 4
10 
278. Dada las matrices:
1
2 − 1 0 
y B = − 2
A=


3 − 4 1 

3
t
5
4  ,
− 1
t
la traza de la matriz B A , es:
Rpta. 2.
279. Hallar el valor de k, sabiendo que la
matriz:
2 3 − 2
,
A = 1 − 4 0 
0 k
1 
es singular.
Rpta. -11/2
280. Calcular el valor de x.
2 − 4 −1
Si: 2 x − 2 = 5
1 3
Rpta. -5.
2
281. Sabiendo que determinante de la
matriz:
 a b c
m n p  es 12; el valor del


 x y z 
determinante de la matriz:
- 5a 15b - 5c
 m - 3n p  , es:


 - x 3y - z 
Rpta. -180
1 0  . Calcular
At = 

1 1 
Rpta. 1.
A12
ALGEBRA
2010-II
- 21 -
4 − 1
1 − 3
y B=
A=
.

2 5 
2 6 
t
t
verdaderas es:
Rpta. 2.
CEPRU
si existe.
-1
284. Hallar los valores de x para que la
Matriz:
 x 2 − 5 1
A=
 , Tenga inversa.
4
x
1


Rpta. x ∈ R − {5,−1}
285. Si la matriz:
a - b - 1
 1

A= 2
3
b 
b - x a - x 4 
288. Dada la matriz simétrica
c - 11 15 - d 
 a

A = 31 - c
c
19 + a  .
 d + 5 15 - a
d 
La suma de los elementos de la
diagonal principal de la matriz de
cofactores de A, es:
Rpta. -436
289. Hallar el valor de x, en:
2+ x
x
x
2
Es simétrica, hallar A
Rpta.
 6 7 - 3
 7 14 5 


- 3 5 18 
286. Dada las siguientes proposiciones:
I) Toda matriz escalar es matriz
identidad
II) Los elementos de la diagonal
principal de una matriz
antisimétrica no todos son cero.
III) Toda matriz simétrica es igual a su
transpuesta.
IV) Si A es una matriz antisimétrica,
entonces el valor de su traza es
cero.
verdaderas es:
Rpta. 2
287. De las siguientes proposiciones:
I) Sea la matriz A=[aij]nxn entonces
T
A+ A es simétrica.
II) Toda matriz cuadrada A es igual a
la suma de una matriz simétrica y
de una matriz antisimétrica.
III) Si A es una matriz antisimétrica,
entonces kA es también
antisimétrica ∀ k ∈ R.
x
x
3+ x
x =0
x
4+ x
293. Calcular el valor de m-n+p. Si:
 a +9 p+b a-m 
A =  a + 6
b - 1 n + b 
2a + 12 b + 8 - 2c + 1
es una matriz diagonal.
1 − 2 1
A = 1 − 3 1
1 − 4 1
Calcular
1 0 0 
y B = 0 1 0  .


0 0 1
A+B
Rpta. 1.
40 − a 

m
− 11 
4
4m
− 15
11
es la matriz identidad.
Rpta. 104.
Rpta. -6
294. Si la matriz:
 a + 2 1 - 2a - b - 5
,
A =  a + 6 a + b
7 
2a - c c + 1 c - 2 
es simétrica.
Rpta. 26/3
290. Si:
298. Calcular el valor de a+b+m, si la
matriz:
 25a − 15 2a − b

A =  a2 − b 35b − 11
a
 10a − b5
−1
40
Hallar el valor de a+b+c.
Rpta. X=-12/13
Rpta. 27.
Rpta. NO existe la inversa A
Hallar X, en (A-B) +X=2(B +A).
13 − 2
Rpta. 

 4 23 
UNSAAC
- 22 -
295. Hallar la suma de elementos de la
matriz inversa de:
1
− 2 4
A =  0
1 − 2
 1 − 1 − 3
Rpta. -5
2 1 − 3
A = 2 5 1  .
1 3 2 
El elemento de la primera fila y tercera
columna de la matriz adjunta, es:
Rpta. -16.
4 5 
6 1
y B=
A = 1 − 1
− 1 4
2 7 
292. Hallar la inversa de:
 2 − 1 4
A = 3 2 6 ,
4 1 8 
297. Calcular m+n+p de modo que A sea
una matriz escalar.
0
− 2
299. Si A y B son matrices cuadradas
multiplicable; de las siguientes
proposiciones:
t
I) Traz(A) = Traz(A )
2
II) Si A =I entonces A=I
III) Si A es una matriz antisimétrica,
entonces traz(A)=0
IV) Traz(AB)=Traz(A)Traz(B)
verdaderas, es:
Rpta. 2
300. Sea:
d
c 
a − b
,
a
b
+
1
−
4 

 e
4
c − 2
A= 
una matriz antisimétrica.
El valor de a+b+c+d+e, es:
Rpta. -1
A= 2 3 .
 3 2


2
El valor de A -4A, es:
Rpta. 5(I)
Hallar la traza de la matriz AB.
Rpta. 2
0
b − 10
m − 4
0
n
−
8
10
− n

6 − m m + n − 16 p − 9 
A= 
302. El producto de las soluciones del
sistema:
 2x − 3 y − z = 3

,
 3x − 4 y + z = 9
5 x + 2 y + 3z = 9

es:
Rpta. -2
ALGEBRA
303. El sistema:
2010-II
- 23 309. El valor de m para que el sistema sea
Indeterminado:
 (a + b) x + (a − b) y = 15
,

(2a − 3b) x + (2a − 5b) y = a + 2b
 3 x + 2my = 5
,

4 x − 2(m + 1) y = 8
Admite como solución x=3 y Y=-7.
El valor de b-a, es:
Rpta. -165/2
es:
304. El valor de a+b+c, del sistema:
 4a − 2b + c = 8

,
16a − 4b + c = 64
 9a − 3b + c = 27

es:
Rpta. 59
305. Si el sistema:
 ax + 3 y = 1 ,

2 x + by = 5
es compatible indeterminado, el valor
de (5a+b/3), es:
Rpta. 7
306. La suma de los cuadrados de las
soluciones del sistema:
 − 2x + y + z = 1

,
 x + 2 y − 3z = 7
3 x − 4 y + 10 z = 9

es:
Rpta. 38
307. El valor de m+n, para que el sistema:
 3x + 2my = n + 2
,

5x
+
2(m
+
2)y
=
30

sea indeterminado, es:
Rpta. 19
308. Hallar x, en el siguiente sistema:
x + y =7

 y + z = 13
z + x = 10

Rpta 2
Rpta. -3/7
CEPRU
III) Si el sistema lineal no acepta
solución alguna, entonces
a1 b1 c1
=
=
a 2 b 2 c2
Rpta. VFF
314. Dado el sistema:
1 1 5
 x + y = 6 .
 7 5 11
 − =
 x y 6
310. Calcular el valor de m para que el
sistema:
 (2m + 4) x + 2my = 2
,

(m − 1) x + (m + 1) y = 8
Sea incompatible.
Rpta. -1/2
315.
319.
El valor de x+y, es:
Rpta. 19/14
Dado el siguiente gráfico.
Rpta. 1/18
312. Al resolver el sistema:
 x+y+z=3

2x + 3y + 4z = 11
3x + y − 2z = −5

El valor de y, es:
Rpta. y = -3
313. Dado el siguiente sistema lineal
L1: a1x+b1y=c1
L2: a2x+b2y=c2
Donde L1 y L2 son las ecuaciones de
dos rectas ubicadas en el plano XY
Determinar el valor de verdad de las
I) Si el sistema lineal acepta solución
única, entonces: a 1 ≠ b1
a 2 b2
II) Si el sistema lineal acepta infinitas
soluciones, entonces a1 = b1 ≠ c1
a 2 b2 c2
320.
ax+y=1
5
316.
317.
5
Compatible indeterminado.
El valor de 3a + 5b, es:
X
Hallar a+b.
Rpta. 6
¿Cuántas de las siguientes
I) Un sistema es compatible, si tiene
una única solución.
II) Un sistema de ecuaciones es
compatible indeterminado si tiene
infinitas soluciones.
III) Los sistemas determinados son
aquellos que tienen más
ecuaciones que incógnitas.
IV) Un sistema es incompatible si
admite infinitas soluciones
Rpta. 1
El sistema lineal:
 (a - 3)x - 5y = 4 ,

2 y + (a - 1)x = 8
tiene solución, cuando el valor de a,
es:
Rpta. R - {11/7}
Dado el sistema:
( a + 2) x + 3 y = 5 ,

 4 x + (b − 1) y = 6
b+1
0
Calcular a-b, para que el siguiente
Sistema sea compatible
indeterminado:
 3x + 5 y = 1 .
Rpta. 80
3x-2y=5
4 x + 2 y + 3 z = 3

3x − 6 y + 4 z = 3 .
 x + 2y + z =1

UNSAAC
Determinar el valor de m, para que el
siguiente sistema sea compatible
determinado.
 (m + 1) x + 5 y = 2

(m + 2) x + 3 y = 6
Rpta. R- {-7/2}

ax − by = 10
Y
311. Hallar y, del siguiente sistema:
- 24 318.
321.
Rpta. 27
Para que valor de n, el siguiente
sistema:
 (n − 1) x + 3 y = 1
,

(
n
−
5
)
x
−
2
y
=
3

no tiene solución.
Rpta. 17/5
322.
¿Qué valor debe tomar a para que el
siguiente sistema sea compatible
determinado?
(a − 7) x − y = 3
.

 ax − 2 y = 2
Rpta. R-{14}
323.
El valor de a para que el sistema:
2x + 5y = a − 4

 3x - 2y = 2 − a
Sea compatible determinado, es:
Rpta. R- {16/5, 2/3}
ALGEBRA
2
2
324. Si a ≠ b , en el siguiente sistema :
x x − y
a − b = b


x x − y
=a
 −
a
b
El valor de x-y, es:
Rpta. 0
325. Calcular x en el sistema:
 x = 3(y - 1)

 y = 3(z - 1)
 z = 3( x − 1)

Rpta. 3/2
326. Para que valor de a, el sistema es
compatible indeterminado:
ax + y = 0

 ay + z = 1
az + x = a

Rpta. -1
327. Determinar el valor de y del sistema:
 2 x − y + 3z = 9

3 x + y + 2 z = 11
 x− y+z =2

Rpta. 2
2010-II
- 25 330. Hallar el valor de x del siguiente
sistema:
4 x + 4 y − 3 z = 3

 2 y + 7 z = −11
 81z = −81

Rpta. 2
TERCER EXAMEN
331.Sea R una relación de A en B.
-1
I) R es un subconjunto de BxA
II) Si n(A) = a y n(B) = b, existen ab
relaciones distintas de A en B.
III) Si A=B, R es una relación definida en A
IV) AxB se llama la relación total.
Rpta: Todas
332.Dada la relación
2
2
2
R={(x,y) ∈ R / x +y +10y-75=0}.
Hallar el Ran(R).
Rpta: [-15,5]
333.Dados los conjuntos:
A={x ∈Z / -12<x+6<20} y
2
B={x ∈Z / 10<x ≤400}.
Cuantos elementos tiene AxB
Rpta: 1054
CEPRU
Rpta: <-3,-1]
[(A∩B)UC]x(B-C), es:
Rpta: 2
338.Dada A={5,6,1} y B={2,3}. Determinar la
relación R: A → B, definida por:
R={(x,y) ∈ AxB / x>y }
Rpta: {(5,2),(5,3),(6,2),(6,3)}
339.Hallar el dominio y rango de
R: A → B / R={(x,y) ∈ AxB / x≤y }
Donde: A={2,4} ; B ={-2,2,8}
Rpta: Dom (R) = {2,4}; Ran(R)={2,8}
340.Sea R una relación de A en B.
proposiciones son falsas?
I R es un subconjunto de BxA
II Si n(A) = p y n(B)=q, entonces existen
pq relaciones distintas de A en B
III El conjunto φ se llama relación nula
IV Si A=B, R está definida en A.
V El dominio de la relación R
corresponde siempre a todos los
elementos del conjunto de partida A.
Rpta: 3
341.Dada el conjunto A={2,3,4}, se define las
siguiente relaciones:
2
R1={(x,y) ∈ A / y<x}
2
2
R2={(x,y) ∈ A / y =x}
2
R3={(x,y) ∈ A / y-x-1=0}
Hallar E = n(R 1 ) − n(R 2 )
n(R 3 )
Rpta: 1
328. Si el sistema:
(m − 3) x + (m + 2) y = 2m + 3 ,

(m − 1) x + (3m − 1) y = 5m + 1
es compatible indeterminado.
Hallar m.
Rpta. 5
334.Hallar el dominio de la relación si:
2 2
2
2
R={(x,y) ∈ RxR / x y -4x -4y =0}
Rpta: < -∞,-2>U<2,+∞>
335.Si A = (2m – 3n , 4n – m) y B = (2,-3).
Hallar la suma de m y n, Si A=5B.
Rpta: -5
342.La suma de todos los enteros que
verifican el dominio de la relación
2
2
R={(x,y) ∈ RxR / x +y -2x+4y-4=0}, es:
Rpta: 7
329. Si el sistema lineal:
336.Hallar el Dominio y el Rango de:
2
2
2
R = { (x,y) ∈ R / x + y – 6x +2y – 6 = 0}
Rpta: Dom (R) = [-1, 7],Ran (R) = [-5,3]
343.Dado los conjuntos:
 2 x + ky = 5k
,

5 x − 4 y = −27
es incompatible.
El valor de k, es:
Rpta. -8/5
337.Hallar el dominio de la siguiente
relación:
2
2
2
R={(x,y) ∈ R / xy +x+3y +1=0}
UNSAAC
- 26 -
A= {x ∈N / x =
2k + 1 ∈
, k N },
4
B= {x ∈N / x -14x+40=0},
2
C={x ∈N / x -1=0}, entonces el número
de elementos del conjunto:
2
344.Determinar el dominio y rango de la
2
2
2
relación: R={(x,y) ∈ R / x y-x -y=0}
Rpta: R-{1,-1}; <-∞.0]U<1,+∞>
345.Dados los conjuntos:
A={3-x / -1≤ x<3; x ∈Z} y
B={2x+3 / -2<x≤3; x ∈Z}
definimos la relación R3 como:
R3={(x,y) ∈AxB / y=3x-2}.
Hallar Dominio y rango.
Rpta: {3,1} y {7,1}
346.Hallar la ordenada positiva del punto
cuya abscisa es 1 y la distancia al punto
(-4,-6) es 13.
Rpta: 6
347.Dados los conjuntos A={1,3,5} y
B={2,4,6}, se define las relaciones
R1={(x,y) ∈ AxB / x+y=7};
R2={(x,y) ∈ AxB / y=6}.
Hallar Ran(R1) - Ran(R2)
Rpta: {2,4}
348.Dada la relación:
2
R={(x,y) ∈ RxR / y=
}.
x 2 − 6x + 10
Hallar el rango.
Rpta <0,2]
349.Si A = (3x–5, x–2y+2), B=(x–y–2,3–2y).
Hallar x-y de modo que 3A = 4B.
Rpta: 19/2
350.Hallar el Dominio y el Rango de:
2
2
R = {(x,y) ∈ R / 4x + y – 4y = 0 }.
Rpta: <-∞,1] y R.
351.Sea:
2
A={3,4,5,6} y R={(x,y) ∈ A / 2x-y=5}.
Hallar la suma de los elementos del
Dom(R) y Ram(R).
Rpta 17
2
352.Hallar el dominio y rango de (2-y) =9-x
Rpta [-3,3] ; [-1,5]
2
ALGEBRA
2010-II
- 27 -
353.Sea B = {1,2, 3} un conjunto, dadas las
Relaciones:
R1 = {(x,y) ∈ BXB/ x<y} y
R2 = {(x,y) ∈ BXB/ x+y = 5}.
Calcular el número de elementos de
R1UR2.
Rpta: 4
354.Indicar la relación que representa al
siguiente gráfica:
A
1
2
3
4
5
2
6
10
12
18
20
A) R = {(x,y) ∈ AxB / y = x+1}
2
2
B) R = {(x,y) ∈ AxB / y - x =3}
C) R = {(x,y) ∈ AxB / y = 2x+1}
2
D) R = {(x,y) ∈ AxB / y - x =2}
2
E) R = {(x,y) ∈ AxB / y = x +x}
Rpta E
355.Sea la Relación:
2
2
R = {(x,y) ∈ R / x y-3x-4y+3=0}.
EL dominio de R es:
Rpta: Dom (R) = R - {-2,2}
Hallar el n(Ran(R)).
Rpta 4
359.Hallar el dominio de la relación:
2
2
R={(x,y) ∈ RxR / x − y = 1 }.
4
3
360.El rango de la relación:
2
2
2
R = {(x,y) ∈ R / 3x + 3y = 27}, es:
Rpta: [-3,3]
361.Determinar el dominio de la relación:
R = {(x, y) ∈ R 2 / y =
1
1
+
+ x +1}
x −1 3 − x
Rpta: [-1,1> U <1,3>
362.Determinar el rango de la relación
definida por: 12-y=
Rpta <-∞,12]
x-2
363.Hallar el dominio y rango de la relación:
2
2
R={(x,y) ∈ R / y=x -4x , y≤0}
Rpta [0,4] ; [-4,0]
364.El dominio de la relación:
2
2
2
R={(x,y) ∈ R / 2x + 3y =6}, es:
Rpta [ − 3 , 3 ]
365.Hallar el rango de la relación:
R={(x,y) ∈ RxR / 3x-2y+6=0, x ∈ <-2,4]}
Rpta: <o, 9]
366.La abscisa de un punto es -6 y su
357.Dado A={1,2,3,4} se define las
relaciones:
2
R1={(x,y) ∈ A / x>y} y
2
R2={(x,y) ∈ A / x+y=5}.
Hallar la suma de los elementos de
Dom(R1UR2))∩(Ran(R1∩R2)).
Rpta: 3
367.Uno de los extremos de un segmento
rectilíneo de longitud 5 u. es el punto
P1=(3,-2). Si la abscisa del otro extremo
es 6. hallar su ordenada positiva.
Rpta 2.
distancia al punto (1,3) es 74 .
Hallar la ordenada del punto.
Rpta: -2 ó 8
368.Uno de los extremos de un segmento
rectilíneo es (1,-9) y su punto medio es
(-1,-2), el otro extremo esta en el punto.
UNSAAC
- 28 -
369.El punto medio del segmento de recta es
(-1,4), si un extremo es el punto (3,3).
Hallar el otro extremo:
Rpta. (-5,5)
Rpta: <-∞,-2]U[2,+∞>
356.Dado los conjuntos:
A={1,3,5} y B={-2,-4}.
Hallar el número de elementos de AxB,
tal que cumpla, la suma de sus
componentes sea un número impar.
Rpta 6
358.Dada A={2,3,4,5}, se define la relación
2
en A. R={(x,y) ∈ A / x+y=7}.
CEPRU
Rpta. (-3,5)
370.Hallar la distancia entre los puntos (6,0)
y (0,8)
Rpta. 10
371.Una recta que pasa por los puntos
(k,k+3) y (3-k,k+1) tiene por pendiente
¼. Hallar k.
Rpta. 11/2
372.La distancia del punto (-2,7/4) a la recta
L: -3x+4y=5, es:
Rpta 8/5
373.La distancia del punto P=(-2,5) a la
recta L: 5x-12y-8=0,es:
Rpta. 6
374.Hallar la ecuación de la recta con menor
pendiente que pasa por el punto
P=(-2,-4) y cuya suma de las distancias
del origen a los puntos de intersección
de la recta con los ejes coordenados es 3.
Rpta. x-2y-6=0
375.Hallar las pendientes de la rectas que
pasa por el punto (3,1) tal que la
distancia de esta recta al punto P(-1,1)
es 2 2 .
Rpta ±1
376.Hallar el valor de K, si las rectas:
L1: (2-k)x+(k+1)y=6, L2: 4x+3y+5=0, son
perpendiculares.
Rpta 11
377.Hallar el valor de k para que la recta
L1: kx + (k-1)y – 18 = 0, sea paralela a la
recta L2 : 4x + 3y + 7 = 0.
Rpta: 4
378.Hallar el valor de k para que la recta
2
L: k x+(k+1)y+3=0 sea perpendicular a
L: 3x-2y-11=0
Rpta 1± 7
3
379.La pendiente de la recta que pasa por
los puntos A=(a, a+1) y B=(1,-2) es 3,
Hallar la ecuación de la recta
perpendicular a ésta recta que pase por
el punto A
Rpta x+3y-15=0
380.Dada la recta:
2
L1 = {(x,y) ∈ R / y= -4x+3}.
Hallar la ecuación de la recta L2 que
pase por el origen de coordenadas y sea
paralela a L1
Rpta 4x+y=0
381.La ecuación de la recta L que pasa por
el punto (1,-2) y es perpendicular a la
recta L1: 2x+3y-5=0, es:
Rpta 3x-2y-7=0
382.La ecuación de la recta L2, que sea
perpendicular a la recta:
L1: x+3y-5=0, es:
Rpta. 3x-2y-7=0.
383.El punto medio del segmento de recta es
(-1,4), si un extremo es el punto (2,3).
Hallar el otro extremo.
Rpta (-4,5)
384.Dadas las ecuaciones de las rectas:
L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0 y
las siguientes proposiciones:
I. L1 ⁄ ⁄ L2
⇔ A1 = B1 = C1
A 2 B2 C 2
II. L1 ┴ L2 ⇔ A1A 2 + B1B2 = 0
III. L1 y L2 se intercepta en uno y
solamente en un
punto ⇔ A1B2 − A 2 B1 ≠ 0
ALGEBRA
2010-II
- 29 El número de proposiciones verdaderas,
es:
393.La distancia entre las rectas
L1: 2x+y+5=0 y L2: 2x+y+c=0 es 2 .
Rpta: 4
5
Hallar la suma de todos los valores de c.
385.Hallar el valor de k para que las rectas
Rpta. 10
de ecuación: L1: 2y –kx – 3 = 0 y
L2: (k+1)y – 4x + 2 = 0, sean
394.Si las rectas:
2
perpendiculares.
L1 ={(x,y) ∈ R / y = mx+b}
2
Rpta: k = -1/3
L2={(x,y) ∈ R / y = 2x},
son paralelas. Hallar m+b sabiendo que
386.El punto M=(7/4, -11/4) es el punto
L1 pasa por el punto (2,3).
medio del segmento AB , siendo
Rpta: 1
A=(1/2,-3).
395.De las siguientes proposiciones:
2
2
Hallar el punto B.
I. La ecuación x +y +3x+4y+12=0
Rpta (3,-5/2)
corresponde a una circunferencia.
2
2
II. La ecuación x +y -6x =0
387.Hallar el valor de “m” si la distancia entre
corresponde a una circunferencia
los puntos (7,1) y (2, m) es 5.
con centro en el eje y.
Rpta: m = 1
III. El centro de la circunferencia es un
punto de dicha circunferencia.
2
2
388.Si un extremo de un segmento rectilíneo
IV. La ecuación x +y -4y =0
es el punto (-4,3). Hallar el punto del otro
corresponde a una circunferencia
extremo, sabiendo que el punto medio
con centro sobre el eje y.
de dicho segmento es (2,-1).
La verdadera, es:
Rpta (8,-5)
Rpta. IV.
389.La recta perpendicular a L: 2x-3y=5, y
396.La recta L1: x-y-6=0 es perpendicular a
que pasa por el punto (-2,1), tiene por
la recta L2 que pasa por el punto (1,2).
ecuación.
Hallar el punto de intersección de L1 y L2
Rpta (9/2,-3/2)
Rpta y= - 32 x -2
397.Hallar los puntos de ordenada 3, cuya
390.Hallar la ecuación de la recta ortogonal
distancia de la recta L: 4x-3y+1=0, es 4
a la recta L: 2x+3y-6=0 y que pasa por el
unidades.
punto (1,2).
Rpta: (7,3) y (-3, 3)
Rpta: 3x-2y+1=0
de la
391.Una recta de pendiente 2a+3 pasa por 398.Hallar el centro y 2radio
2
circunferencia:
x
+y
+4x-2y+2=0
los puntos (a, a+1) y (a-1,2). Hallar el
Rpta: (-2,1) y 3
valor de a.
Rpta: -4
399.Determinar el centro y el radio de la
2
2
circunferencia: x -4x+y +2y-4=0.
392.La distancia entre los puntos (2,a) y
Rpta (2,-1); 3
(a+2,1) es 13 . Hallar la suma de todos
los valores de a.
400.Si C=(h,k) el centro y r es el radio de la
2
2
Rpta: 1.
circunferencia: x +y -24x-256=0.
CEPRU
Hallar h+r
Rpta: 32.
UNSAAC
- 30 Rpta 3
401.Hallar el dominio de la circunferencia:
2
2
4x +4y -16x+20y+25=0.
Rpta: [0,4]
402.Hallar el dominio y rango de la
2
2
circunferencia: 4x +4y -8y-4=0.
Rpta [ − 2 , 2 ]; [ 1− 2 , 1+ 2 ]
403.Si R={(x,y) ∈ R / x +y -8x+10y+k=0}
es una circunferencia de radio 7
unidades, el valor de k, es:
Rpta -8
2
2
2
404.La ecuación general de una
circunferencia de radio 5 unidades y con
centro en (2,-1), es:
2
2
Rpta. x +y -4x+2y=20
410.Encontrar la ecuación de una
circunferencia que pasa por los puntos
A=(2,3), (-1,1) con centro sobre la recta
L: x-3y-11=0.
2
2
Rpta (x-7/2) +(y+5/2) =130/4
411.La circunferencia que pasa por los punto
P=(-1,-4 ) y Q=(2,-1), con centro en la
recta L: 4x+7y+5=0, tiene por ecuación:
2
2
Rpta. x +y +6x-2y-19=0
412.Hallar la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos (5,0) y (1,4) si
su centro pertenece a la recta x+y-3=0.
Rpta ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 10
413.Hallar la ecuación de una circunferencia
con centro en el punto (4,2) y tangente a
la recta L: 2x+3y-6=0.
2
2
405. La ecuación de una circunferencia que
Rpta. 13x +13y -104x-52y+196=0
pasa por el punto (3,2), con centro en el
punto (2,-1), es:
414.El centro de una circunferencia tangente
2
2
Rpta. (x-2) + (y+1) =10
a la recta L: x+2y=4 en el punto (2,1),
está sobre el eje Y, la ecuación general,
406.Determinar la ecuación de una
es:
2
2
circunferencia que tiene como
Rpta x +y +6y-11=0.
diámetro el segmento de extremos
A= (-1,5) y B= (11,-9)
415.Hallar la ecuación de una circunferencia
2
2
Rpta: x + y – 10x + 4y - 56 = 0
con centro en (-2.5) y tangente a la recta
L: x=7.
2
2
2
407.Si el punto (2,3) es el centro de una
Rpta. (x+2) +(y-5) =9
circunferencia, que pasa por el punto
(-2,2), su ecuación general, es:
416.Hallar la longitud de la circunferencia:
2
2
2
2
Rpta x +y -6y-4x-4=0
x +y -8x-10y+25=0
Rpta 8 π
408.Encontrar la ecuación de una
circunferencia de radio 5 unidades, con
417.Hallar la ecuación de la parábola con
centro en la intersección de las rectas:
foco en el punto (3,1) y vértice (-1,1)
2
L1: 3x – 2y – 24 = 0 y L2 : 2x+7y+ 9 = 0.
Rpta: y -16x-2y-15=0
2
2
Rpta: x + y – 12x + 6y +20 = 0
418.Hallar uno de los valores de a, para que
409.Una circunferencia pasa por los puntos
la suma de los coordenadas del foco de
2
(6,4), (3,7) y cuyo centro está sobre la
la parábola: y +4ax+4y-16=0, sea 2.
recta L: 2x-y-2=0. Su radio, es:
Rpta. 1.
ALGEBRA
2010-II
- 31 2
4
419. Hallar la ecuación de la parábola con
Rpta: x -4x+ 3 y -4=0
eje focal paralelo al eje X y que pasa por
los puntos A=(0,0), B=(8,-4) y C=(3,1).
2
428.Hallar la ecuación de la siguiente
Rpta y +2y-x=0.
parábola, con vértice en (2,5) y foco en
(2,0).
420.Hallar la ecuación de la parábola de foco
2
Rpta: x -4x+2oy-96=0
(5,1) y la directriz la recta L: y+5=0.
2
Rpta: x -10x-12y+1=0.
429.Dada la parábola P: y=x(x-1).
Determinar el vértice y el foco.
Rpta: (1/2; -1/4); (1/2; 0)
421.Hallar la ecuación de la parábola de
vértice en el punto (4,-1), eje focal la
recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto
430.La longitud del lado recto de una
(3,-3).
2
parábola con vértice en el origen eje
Rpta: y + 2y + 4x -15 = 0
focal el eje X, y que pasa por el punto
(2,-4), es:
422.Hallar la ecuación de la parábola cuyo
Rpta: 8
vértice es V=(5,-2) y foco F=(5,-4)
2
Rpta: x -10x+8y+41=0.
431.El radio de la circunferencia::
423.Una parábola con foco en el punto (2,3)
tiene por directriz la recta y=7.
Hallar la distancia del vértice a uno de
los extremos del ancho focal.
Rpta: 2 5
424.Escribir la ecuación de la parábola cuyo
foco es F=(1,-1) y directriz y=-2.
2
Rpta: (x-1) =2(y+3/2)
2
2
x + y – 8x +12y +27 = 0,
es igual al ancho focal de la parábola:
2
y = -kx, donde k>0, el valor de k, es:
Rpta : 5
432.Si x ∈ [-6,0], hallar el rango de la porción
de la parábola dada por la ecuación
2
y=x +6x.
Rpta [-9,0]
425.Determinar la ecuación de la parábola
que se abre hacia arriba, con foco en 433.La ecuación de la parábola de vértice
(0,4) y su ancho focal es de 12
(5,2) y foco (3,2); es:
2
unidades.
Rpta (y-2) = -8(x-5)
2
Rpta: x =12(y-1)
434.Hallar la ecuación de la parábola que
426. Hallar la ecuación de la Parábola cuyo
tiene su vértice en V=(-3,5) y cuyos
vértice y foco son los puntos (-4,3)
extremos del lado recto son L=(-5,9)
y (-1,3) respectivamente.
R=(-5,1).
2
2
Rpta: y – 12x -6y – 39 = 0
Rpta: (y-5) =-8(x+3)
427.El vértice de una parábola es el foco 435.Una parábola de ecuación y=ax2+bx+c,
superior de la elipse:
con vértice en (2,3) pasa por el origen
2
2
13x +4y -52x-24y+36=0,
de coordenadas. Hallar el valor de a+b+c.
además, la parábola pasa por los
Rpta 9/4
extremos del eje menor de la elipse.
Hallar la ecuación de la parábola.
CEPRU
UNSAAC
- 32 444.Calcular la longitud del eje mayor de la
436.Hallar la excentricidad de la elipse cuya
2
2
elipse con centro en el origen, tal que el
ecuación, es: 9x +4y -8y-32=0
lado recto mide 32/17 y uno de los
Rpta 5 / 3
extremos del eje menor está en (4,0).
Rpta 34.
437.Los vértices de una elipse son (7,1);
(1,1) y su excentricidad es 1/3.
Hallar la ecuación de la elipse.
2
2
Rpta 8x +9y -64x-18y+65=0
438.El triple de la longitud del lado recto de
la Elipse de vértices (2,2) y (2,-4) y
excentricidad 1/3 es :
Rpta: 16
439.Hallar la ecuación de una elipse si su
centro esta en el origen de coordenada,
la longitud del eje mayor es 16, los focos
están sobre el eje X y la curva pasa por
el punto (4,3).
2
2
Rpta 3x +16y -192=0
440.Hallar la ecuación de la elipse cuyos
focos son los puntos (±2,0) y su
excentricidad es igual a 2/3
2
2
Rpta x + y = 1
9
5
441.Una elipse tiene su centro en el origen y
su eje mayor coincide con el eje X.
Hallar su ecuación sabiendo que pasa
por los puntos ( 6 ,-1) y (2, 2 )
2
2
Rpta. x + y =1
8
4
442.¿Cuál de las ecuaciones dadas
representa a una elipse?
2
2
I 2x -8x+y -2y+10=0
2
2
II x +4y -24y+36=0
2 2
III 2x -y -4x+4y-4=0
2
2
IV x +2y -4x -4y +4=0
Rpta IV
443.Encontrar los focos de la elipse cuya
2
2
ecuación, es: 9x +25y =225.
Rpta (4,0) y (-4,0)
445.La ecuación de la elipse de vértices
V1 = (7,1) y V2 = (1,1) y e =1/3, es:
2
2
Rpta: 8(x – 4) + 9(y-1) = 72
446.Una elipse de eje mayor paralelo al eje
de la abscisas pasa por el punto (6,0)
tiene sus vértices en la circunferencia
2
2
x +y -8x+4y-5=0 y es concéntrica con
ella. Hallar la ecuación de la elipse.
2
2
Rpta ( x − 4) + ( y + 2) = 1
25
100 / 21
2
2
447.En la elipse 2x +y -8x+4y+8=0,
determinar sus vértices.
Rpta (2,-2±2)
448.La ecuación de la elipse de focos (2,1) y
(2,-5) y longitud del eje menor 4
unidades, es:
2
2
Rpta 13(x-2) +4(y+2) =52
449.La ecuación de la recta directriz de la
2
2
elipse: 9x +4y -36x+8y+4=0, es:
Rpta: y= -1+ 9 ó y= -1- 9
5
5
450.El centro de una elipse es el punto (-2,3)
y su eje mayor paralelo al eje Y, es igual
a 16, hallar su ecuación siendo su
excentricidad 1/3.
2
2
Rpta: 8(y-3) +9(x+2) =512
451.La ecuación de la elipse con centro en
C = (1,-1), semieje menor horizontal y de
longitud igual a 6 unidades,
excentricidad ½ es:
2
2
Rpta: ( y + 1) + ( x − 1) = 1
48
36
452.La ecuación cartesiana de la elipse,
cuyos focos son (-2,3) y (6,3), eje menor
8 unidades, es:
ALGEBRA
Rpta ( x − 2) + ( y − 3) = 1
32
16
2
453.Hallar el dominio y rango de la relación
que representa una elipse
2
2
2
R={(x,y) ∈ R / 16x +9y -64x+18y-71=0}
Rpta: [-1,5]; [-5,3]
454.Hallar la longitud del lado recto de la
elipse, cuyos vértices son (3,5) y
(3,-1). Donde e=1/3.
Rpta: 16/3
CUARTO EXAMEN
455.Sea el conjunto de pares ordenados:
f={(2,2), (4,3),(2,│m+1│), (4, │n -1│),
(5, m ),(6, 2 − n ) }
Calcular el valor de m y n para que f sea
una función, además determinar f.
Rpta. m=1, n=-2 ;
f={(2,2),(4,3),(5,1),(6,2)}
456.Si f es una función definida por:
f(x)= 36 - x − 3 , entonces
Dom(f)∩Ran(f), es:
Rpta. [-3,3].
2
457.Hallar el dominio de la siguiente función
real:
3
2
f(x)= 2x + x - 2x - 1 .
3
x -x
Rpta. <-∞,-1/2]U<0,+∞> - {-1,1}
458.Hallar el dominio de
f(x)=
2010-II
- 33 2
x -1 + 4 - x .
2x - 6
Rpta. [1,3>U <3,4].
459.Hallar el rango de la función:
f(x)= x + 2 , x ∈ [-1,23]
Rpta. [1,5].
CEPRU
UNSAAC
- 34 Rpta. 2.
Rpta. [-73/8,+∞ >.
460.Hallar el dominio de:
f ( x) = 4 − x 2 + 3 − x
470.Determinar el rango de la función
g(x)=
Rpta. [-2,2]
461.Dada la función f: N→N / f(x)=2x-1.
Hallar: f(8-f(2)).
Rpta.9.
462.Si el conjunto de pares ordenados:
3
3
3
f(x)={(5,a+b),(6,a),(5,-c),(4, a + b + c )},
abc
representa una función.
Calcular f(4).
Rpta. 3
463.El rango de la función real f definida por
2
f(x)= 1 - x , es:
Rpta. [0,1].
x - 1 − 2 ),es:
Rpta. {-1,0,1}.
465.Dada la función:
f={(1,a-b),(1,4),(2,a+b),(3,4),(2,6)}.
Hallar ab. Rpta. 5.
466.Determinar el dominio de la función:
xy-2y-x=0.
Rpta. R-{2}.
467.Dadas las funciones:
1 .
x-2
Hallar el dominio de f.g.
Rpta. <2,+∞>.
f(x)=
471.Sea la función lineal f : A → B, tal que
b
2
f={(x,y) / f(x) =  7a + 9 − 2  x +(a+b)x+ },
4
 3a - 11

cuya gráfica corta al eje Y en 5.
Calcular a y b.
Rpta. -31 y 20.
472.Sea la función f definida por:
f={(x,y)
∈ R2 / y=x2, x ∈ {-2,-1,1,2,3}}.
Por: f(x)=
1
2
(x-2) -2. Hallar su rango.
4
Rpta. [-2,2].
480.Se definen las funciones: x=10-6n;
+
y=100+2n, n ∈ Z .
¿Cuántos valores positivos tiene x+y?
Rpta. 27.
481.Indicar la regla de correspondencia de f,
Dom(f) y Ran(f), en:
f
rango de f. Rpta. 14.
464.El rango de la función real f definida por
f(x) = Sgn(
x -x. Rpta. <-1,0].
2
478.Si f(x+4)=x +4x.
Hallar el rango de f.
Rpta. [-4,+∞>.
479.Sea la función f: [0,6] ⊂ R → R, definida
x 2 − 4 ; g(x)=
473.Hallar el rango de la función f tal que:
2
f(x) = 2x - 13x + 15
x -5
Rpta. R-{7}.
474.En A={1,2,3,4} se definen las funciones
f={(1,1),(2,3),(4,2),(3,3),(4,m)} y
2
g(x)=mx +bx+c. Si f(1)=g(1) y g(2)=4.
Hallar Ran(g).
Rpta. {1,4}.
475.Sea la función
f(x)= x - 2a + 6 - a - x .
Hallar la suma de los elementos enteros
del dominio máximo, donde a es el
menor entero no negativo.
Rpta. 21.
2
476.Hallar el rango de f(x) = x +x468.Dada la función:
2
f={(3,6),(7,a +4),(5,2),(7,3a+b),(5,b-2)}.
Si a>0 la suma de los elementos del
rango, es: Rpta. 21.
2
469.Calcular el rango de: f(x)=2x +5x-6.
x,
Dom(f)=R. Rpta. [-1,+∞>.
f={(3,m+2n),(2,m-n),(3,8),(5,4)}.
Hallar n si f(2)=2.
Rpta. f(x)=x+2.
Dom(f)={1,2,3,4}
Ran(f)={3,4,5,6}
2
3
4
5
6
1
2
3
4
482.Si el rango de la función f(x)=-2x+3 es
[1,7>, el dominio de la función, es:
Rpta. <-2,1].
483.Si los pares ordenados (3,-1) y (1,3).
Pertenecen a la función lineal f(x)=ax+b,
el valor de a-b, es:
Rpta. -7.
484.Dados los conjuntos A={1,3,5,7} y
B={0,2,4}. ¿Cuáles de las siguientes
relaciones son funciones definidas de A
en B?
I R1={(1,2),(3,2),(5,2),(7,2)}
II R2={(1,2),(1,4),(3,4)}
III R3={(1,4),(3,2),(5,0)}
Rpta. I y III.
2
485.El rango de la función f(x)= x +1,
ALGEBRA
si x ∈ [0,2>, es:
Rpta. [1,5>.
- 35 -
2010-II
IV No toda parábola es una función.
CEPRU
498.Hallar el dominio de la función:
Rpta. FVFV.
486.Calcular el dominio de la siguiente
función:
f ( x) =
x-1 .
2-x
2
Rpta. [1,2>.
487.Dada las funciones:
f = {(a,6),(b,7)}, h(x) = 2x+5 y
h(b) -2 = f(b).
Hallar 2f(a)+b.
Rpta. 14.
493.Sea f una función f(x)=ax +bx, donde:
f(1)=2, f(2)=6.
Indicar la regla de correspondencia de f.
2
Rpta. f(x)= x +x
25
0
2
491.Indicar verdadero o falso según
convenga:
I Toda relación es una función.
II Toda función es una relación.
III Toda recta es una función.
2x + 7
.
-x+3
f(x)=
f(x)=
x
− 1 + 3x - 1 .
3
2 ).
495.Sean los conjuntos A={1,2,3} y
B={2,3,4}.
¿Cuál o cuáles de las siguientes
relaciones son funciones?
I R1={(x,y) ∈ AxB /x<y}
II R2={(x,y) ∈ AxB /x=y}
III R3={(x,y) ∈ AxB /x≥y}
Rpta. II.
496.Sean las funciones f y g definidas por:
2
501.Sea la función lineal f(x)=mx+b,m≠0 tal
que f(1)=2 y f(2)=1.
Calcular f(12)+f(-12).
Rpta. 6
502.Hallar el rango de la función f(x)=
2
4-x
.
x−2
Hallar: Dom(g)URan(f)
Rpta. [-2,2>U[5,+∞>.
497.Hallar la suma de los elementos de
rango de la siguiente función:
f = {(2,4),(3,m),(4,6),(m,13),(3,8)}.
Rpta. 31.
Y
Gráfico:
x-6 .
3
0
X
-3
Si Dom(f)=[5,10]
f(x)=
Rpta. {-1,0,1}
−
3x
− 5 +6 Sgn(x2+1)+U3(x-2).
2
El valor de f(5), es:
503.Si f(x)=
3Sgn(x + 1) + x - 1
.
U 5 ( x) + x - 52
Rpta. 20.
Hallar f(3/2)
Rpta. 3.
f(x)=
2
f(x)=3x +6x+8 y g(x) =
x - 2 -3, y graficar:
Rpta. [-3, +∞>
X
Donde f(5)-f(1)=4. Determinar f(
Rpta. 43/3.
4
.
1+ x2
Rpta. 10.
Hallar f(1).
Rpta. 0.
10
x -1
2
)+U3(x -1)+ x - 1 .
2
506.Determinar la suma de los elementos
del rango de la siguiente función:
499.Hallar el rango de la función
f(x)=
x 2 − 3 + Sgn(
Hallar f(1/3).
Rpta. -10/3.
Rpta. [3,6]-{4}.
f(x)=Sgn(-3x- 13 )+
Hallar a+b.
Rpta. 5
Si f(a)=f(b) en B, entonces a=b en A
Para cada b ∈ B existe un único
a ∈ A tal que b=f(a)
III Para todo a ∈ A existe un único b ∈ B
tal que b=f(a)
IV f es una función constante, si para
cualquier a ∈ Dom(f), existe único
b ∈ B tal que b=f(a)
Rpta.1.
.
500.Sea la función f cuya regla de
correspondencia, es:
3a + 7
f={(2,
),(4,a+1),(6, 7b - 6 ), (9,7b-10)}.
4
2
I
II
x - 4 . x2
Rpta. R-{-2}.
Y
489.Hallar el rango de f(x)= 4 - x +1.
Rpta. [1,3]
490.Sean A y B conjuntos no vacíos.
Si f : A → B es una función.
proposiciones siempre son verdaderas?
3
f(x) =
494.Dada la gráfica de la función:
488.Dada la función constante:
2
x -3 + 4 6- x
f(x)=
2
492.Hallar el dominio y rango de: y=x +4x.
Rpta. R, [-4,+∞>.
UNSAAC
- 36 505.Dada la función:
504.El dominio de la función:
f(x)=
x − ( x + 2) , es:
2
x3 − 1
x+2
 2x + 1 
2
 +U2(x -2x+4)
 2 
+Sgn 
Hallar: f(1/2)
Rpta. 12/5.
510.Si f ={(8, x-22),(1,Log y),(16, 2z)} es una
Rpta. <-∞,-1]U[2,+ ∞>
función identidad. Hallar
Rpta. 5.
x+y
.
z
ALGEBRA
2010-II
- 37 511.Dada la función constante:
519.Si f(x)=4Sgn(x)+ 3x - 2 .
F={(2, 3a + 1 ), (5,a+7), (9, 7b - 5 ), (11,3b-5)}
Determinar f(5/3).
4
2
Rpta. 7
el valor de a+b, es:
x -1
Rpta. -32.
520.Dada la función: f(x)=
, x ≠ -2.
512.Sea f una función cuadrática tal que
f(1)=4, f(-2)=7 y f(-1)=2.
El valor de f(-3), es:
Rpta. 16.
1
513.Si f(x)=
. Hallar el Dom(f).
x -3 − x -2
x+2
¿f es inyectiva?.
Rpta. Si.
521.Si la gráfica de una función raíz
cuadrada
es:
Rpta. R-{5/2}.
514.La función f(x)=
x -1
para x ∈ [1,7>;
2
tiene como rango:
Rpta. {0,1,2}
4
X
(4, b - 1 ),(5,
a ),(6, 5 + b )}.
Hallar Dom(f)∩Ran(f) Rpta. {2}.
517.La gráfica de la función y =U2(x+1), es:
Rpta.
Y
1
0
0
1
X
0
518.Sea f una función lineal tal que
f(1)=-3, f(3)=1 el valor de f(-2), es:
Rpta. -9.
527.Hallar el dominio de f(x) =
1− x .
Rpta. [-1,1].
Su regla de correspondencia, es:
Rpta. g(x)=
Hallar el valor de g(-4).
Rpta. 6
f={(2,2),(4,3),(2, a + 1 ),
524.Sean las siguientes funciones reales de
una variable real cuyas reglas de
correspondencia son:
2
I f(x)=ax +bx+c, a≠0, ∀ x ∈ R
II f(x)=4, ∀ x ∈ R
III f(x)=ax+b, a≠0, ∀ x ∈ R
IV f(x)=│x│, ∀ x ∈ R
¿Cuál o cuáles son funciones inyectivas?
Rpta. Solo III.
525.Si ∀ x ∈ R definimos g(x-1)=3x+1.
-1
-1
Hallar g [g (4-x)].
Rpta. -1/9(x+12).
526.El rango de la función f definida por:
Sgn(x)
, es:
f(x) = 3
Rpta. {1/3,1,3}.
2
0
2x + 1 +U4(x+1).
UNSAAC
- 38 V f : R→[-1,1] / f(x)=
x-4 +2
522.Indicar los valores de verdad de los
I El dominio de la función signo es:
{-1,0,1}.
2
II La función f definida por f(x)=ax +b
tiene por gráfica una parábola que se
abre hacia abajo cuando a<0.
III El dominio del la función escalón
unitario es todo los reales.
IV El rango de la función valor absoluto
es <0,+∞>
Rpta. FVVF
523.Sea los conjuntos:
A={1,2,6,7,8} y B={2,3,4,5,6},
y las funciones de A y B:
f={(1,2),(2,3),(6,4),(7,5),(8,6)}
g={(1,3),(2,2),(6,6),(7,4),(8,5)}
h={(1,4),(2,2),(6,3),(7,5),(8,3)}
Establecer cual de ellas son funciones
biyectivas
Rpta. f y g.
2
528.Si f:[-1,2] → B / f(x)=x suryectiva, el
conjunto B, es:
Rpta. B=[0,4].
529.Se definen las siguientes funciones:
f : R→R / f(x)=
x -3 .
532.¿Cuántas de las siguientes funciones
son inyectivas?
I f ={(-1,4),(-2,5),(-3,6)}
II f(x)=2x+3, ∀ x ∈ [-1,+∞>
2
III f(x)=x , ∀ x ∈ [0, +∞>
x ∀ x ∈ R 0+
Rpta. Todas
533.El rango de la función inversa de:
f(x)=
1
, es:
x +1
Rpta. R-{-1}
534.Sea f: R → B, definida como:
f(x)=
x
, x ∈ R.
x +1
2
Hallar B talque f es suryectiva:
Rpta. B= [- 12 , 12 ]
3
2
g: R→R / g(x)= x -9
h: R→R / h(x)=x+2
¿Cuál o cuáles de los siguientes
enunciados son correctos?
I f es una función inyectiva
II g es una función inyectiva
III h es una función biyectiva
Rpta. Solo III
son suryectivas?
2
I f : R→R / f(x)= x
II f : R→R / f(x)= 3x+b, b ∈ R
x
III f : [0,+∞>→R / f(x)=
IV f : R→[0,+∞> / f(x)=
x
x
Rpta. 2
2
531.Sea f: [0,3>→[0,9> / f(x)=x .
¿f es una función suryectiva?
Rpta. Si
IV f(x)=
Y
515.Dada la función g, de variable real tal
que: g(x)=Sgn(x-3)+
CEPRU
x
535.Dada la función real tal que f(x)=6x +7.
Hallar su inversa, si existe:
-1
Rpta. f (x)= 3
x -7
.
6
536.Sean f y g funciones definidas por:
2
f(x)=x +2x, g(x)=2x-m; m<0.
Si (f ◦ g)(2)=(g ◦ f)(m-2). El valor de m,
es:
Rpta. m = -8
2
537.¿Es biyectiva la función f(x)= 1 - x ?.
Rpta. La función no es biyectiva
538.Determinar si f es una función biyectiva
f: R -{1} → R -{1} / f(x)=
x -3
.
x -1
Rpta. La función es biyectiva.
ALGEBRA
2010-II
- 39 Rpta. III y IV.
539.En la misma secuencia indicar el valor
de verdad de las siguientes
543.Dada la función f={(3,2),(5,7),(a,2),(b,7)}
proposiciones:
inyectiva. Hallar el valor de a-b.
I Toda función, es relación.
Rpta. -2.
II Toda relación, es una función.
III Toda función, es inyectiva.
2
544.Verificar que la función f(x) = 2x -4x,
IV Toda función inyectiva o suryectiva,
es biyectiva.
x ∈ [1,+∞ > es inyectiva.
V Toda función inyectiva, es suryectiva.
Rpta. f es inyectiva.
VI Toda recta, es función.
Rpta. VFFFFF.
545.La función f: [0,5]→[1,10] definida por
2
f(x)=x -6x+10, es:
I Inyectiva.
son biyectivas? Si f: A → B, donde
II Suryectiva.
A={1,2,3,4,5,6} y B={a, b, c, d, e}:
III Biyectiva.
I f={(2,a),(3,c),(4,e),(6,d)}.
Rpta. f es suryectiva
II f={(1,c),(2,b),(3,d),(5,c)}.
III f={(1,c),(2,d),(3,b),(5,a),(6,e)}.
546.¿Cuántas proposiciones dadas son
Rpta. III.
falsas?
I Toda función inyectiva es suryectiva.
2
541.Dados los conjuntos A={1,2,3} y
II La relación real definida por y =x-1 es
B={1,2,3,4} , g={(3,1),(x,y),(1,3)} es una
una función.
función inyectiva de A en A y
III Una función f: A ⊂ R → B ⊂ R es
f={(1,1),(2,z),(3,2),(4,2)} es una función
biyectiva si y solo si para cada y ∈ B
suryectiva de B en A, el valor de xy - z,
existe un único x ∈ A tal que y=f(x).
es:
IV Una función cuadrática definido por
2
Rpta. 1.
f(x)= ax + bx +c, ∀ x ∈ R, a≠0, es
542.Dada las siguientes gráficas:
inyectiva.
V Una función f: A ⊂ R → B ⊂ R es
suryectiva si y solo si para cada
Y
Y
y ∈ B existe x ∈ A tal que f(x)=y.
VI Toda función inyectiva tiene inversa.
Rpta.FFVFVV.
0
0
X
X
(I)
(II)
547.¿Cuátas de las siguientes
funciones tienen inversa?
Y
0
Y
0
X
X
I
II
III
IV
V
Signo.
Mayor entero.
Lineal.
Valor absoluto.
Escalón unitario
CEPRU
g(x)=3x-1, ∀ x ∈ <7,14>.
Hallar Dom(f ◦ g)
Rpta. <7, 23/3>.
(IV)
¿Cuál o cuáles son funciones inyectivas?
Rpta. 4.
548.Si f(x)= 4x+3,
2
0
f={(2,1),(3,2 ),(6,-1)}
g={(x+2,x) / x ∈ N }
2
h={(x,x +1) / x ∈ Z}
¿Cuáles son funciones inyectivas?
Rpta. g
551.Si f(x)=
4 - x y g(x)=
1
x2 − 4
, son
funciones. Determinar el dominio de
(f.g)(x)
Rpta. <-∞;-2>U<2,4].
552.Si f es una función de variable real
2
talque f(x+3)=x +x.
Calcular E= f(m - 2) - f(m + 2) .
2m - 5
Si, 2m − 5 ≠ 0 .
Rpta. -4.
553.Sea A={-1,0,1,2} se definen las
aplicaciones f y g en A, tal que:
f={(1,m),(0,m),(1,n),(n,2),(-1,m)}
3
2
g(x)=2m x+n +3.
Determinar la suma de todos los
elementos del rango de la aplicación g.
Rpta. 60
554.Sean las funciones:
-1
∀ x ∈ <15,22>,
f={(2,1),(-2,3),(1,4),(-1,5),(7,4)};
549.Dado los siguientes conjuntos
A={1,2,3,4}, B={1,3,5,7} y es definida
f: N → A ó B / f={(1,1),(2,1),(3,3),(4,5)},
g={(1,3),(2,1),(3,5),(4,7)}.
¿Son las funciones suryectivas y sobre
que conjunto?
Rpta. g suryectiva sobre B.
f(x) = 2x-3, g(x) =
(III)
UNSAAC
- 40 -
1
(x+3).
2
Calcular: (fog) (5/4).
Rpta. -4.
g(x)= 1 - x . La función f+g, es:
Rpta. {(-1,5),(1,4)}.
556.Dadas las funciones f y g definidas por:
f(x)=
x + 1 , g(x)=
-1
x
.
4
Hallar (f ◦ g )(2).
Rpta. 3.
f={(3,1),(4,0),(7,2),(2,4),(5,3)}
g={(2,1),(6,7),(3,-3),(5,4),(8,-1)}
h={(3,5),(2,3),(5,-1),(1,3)}.
rango de la función: f + g.h.
Rpta. -8
f={(2,5),(3,4),(4,1),(5,0)}
g={(8,6),(9,3),(2,8)}.
Determinar la función: f+g+f.g
Rpta. {(2,53)}.
559.Dada la función f(x) =
2x
.
x -3
Hallar la inversa de f, si existe:
-1
Rpta. f (x)=
3x
.
x-2
560.En la gráfica, la regla de
correspondencia de la función, es:
Y
1
0 1
Rpta: f(x)=
X
x - 1 +1.
561.Si f(x+1)=3x+1 y g(x)=2x-3.
Hallar (f ◦ g)(x+1).
Rpta. 6x-5.
ALGEBRA
2010-II
- 41 2
562.Si f(x)=x -3x+5. Hallar dos funciones g
2
x
para los cuales (fog)(x)=x -x+3.
571.Para la función exponencial f(x)=a , la
Rpta. g1(x)=x+1, g2(x)=-x+2.
base debe ser:
I Solamente números enteros
563.Si f y g son dos funciones definidas por:
II Cualquier número real con a≠0
2
III Cualquier número entero con a<0
f(x)=x -4y
IV Cualquier número real con a>0 y
g={(2,-1),(4, 5 ),(7, 5 )}.
a≠1
Hallar (fog)(x).
V Cualquier número real.
Rpta. {(2,-3),(4,1),(7,1)}.
Rpta. IV.
564.Si: f : R→R / f(x+1)=x , x ∈ <-1,7].
g: R→R / g(x-1)= 2x-1. x ∈ [1,+∞>.
Hallar fog y su dominio.
2
Rpta. 4x ; [1,3].
572.Sabiendo que f(x)=e . El valor de f (9e),
es:
Rpta. 2 Ln3+1.
1+x
f : R→R / y = f(x)= 4 -1
Rpta. <-1,+∞>
573.Si f(x) = a . es una función tal que
x1 y x2 ∈ Dom(f).¿Cuántas de las
siguientes proposiciones son
verdaderas?
2
x
-1
x
f={(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-1),(4,3)} y
g={(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}.
2
rango de f +3g.
Rpta. 59.
567.Sean f(x)= 1 - x y g(x) =
Hallar el dominio de fog.
4 - x2 .
3 ]U[ 3 ,2].
Rpta. [-2,-
568.Si f={(x, x - 1 ) / x ∈ [1,+∞>} y
g={(2,-5),(0,1),(-4,6),(8,-3),(-7,10)}.
Hallar fog.
Rpta. {(0,0),(-4,
3
5 ),(-7,3)}.
570.Dadas las funciones reales f(x)=
1
y g(x)=
.
x
Hallar el valor de k, si (gof)(k)=1.
Rpta. 3.
x-2
f(x1 + x 2 ) = f(x1 ).f(x 2 )
II f(x1 )/f(x 2 ) = f(x1 − x 2 ) ∀ f(x2)≠0
x
III [f(x1 )] 2 = f(x1 + x 2 )
I
581.La inversa de la función:
f (x)= 2+Ln(x-2), es:
-1
-x-4
Rpta. f (x)=2+e .
590.Si f(x)=a , ∀ a>0 es una función que
pasa por el punto A=(3,1/64).
Determinar el valor de a.
Rpta. 1/4.
x
x −9
586.El dominio de la función inversa de:
2
,
Rpta. <0, +∞>.
589.Si f(x)=3
, es una función, su rango
es: Rpta. <0,+∞>
585.Si f(x) =b , es una función. ¿Cuántas de
las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I
x≥0
II f es biyectiva, si b>0 y b≠1
III f es decreciente, si b>1
IV f es decreciente si 0 < b<1
Rpta. 2
576.Una función exponencial pasa por el
punto (2/3,25), su base es:
Rpta. 125.
588.Si f(x)= 2 , es una función en R, su
rango es:
580.Si f(x)=2x-1 y g(x)=3x+5, el dominio de
la función f+g, es:
Rpta.R.
punto P=(3/2, 27); la regla de
correspondencia de la función es:
x
Rpta. f(x)= 9 .
x
584.El rango de la función f(x)=5 +1, es:
Rpta. <1,+∞>.
Rpta. 2
x
574.Si f(x)=b , para b>1es una función,
I Es creciente y pasa por (1,0).
II Es decreciente y pasa por (0,1)
III Es creciente y pasa por (0,1).
IV ∀ x ∈ R, f(x)≥0.
V ∀ x ∈ R, f(x)>0
Rpta. 2
x-2 -x
f(x)=4 .2 , es: Rpta. R.
577.EL dominio de la función f(x)=1+3
es:
Rpta. <-∞,-3]U[3,+∞>
x
x-1
579.Si f(x)= 2 +3, es una función en R; su
rango es:
Rpta. <3,+∞>.
punto (2,4); la regla de correspondencia
de la función es:
x
Rpta. f(x)=2 .
3
569.Si f(g(x))=x +x+1; g(x)=x +1. Halle
g(f(9)).
3
Rpta. 11 +1
CEPRU
UNSAAC
- 42 578.El dominio de la inversa de la función:
587.El dominio de la función:
f(x)=Log4(Log1/4(Log3x)), es:
5x , es:
f(x)=
x
Rpta. <1, 4 3 >.
1+ 5
Rpta. <0,1>.
2x
f(x)=
, es:
1 + 2x
2(x+2)
x
ax+1
591.Dada la función f(x)=2
tal que
x1, x2 ∈ R, x1<x2 , si f(x1)>f(x2). El valor
de “a” que verifica la condición es:
Rpta. a<0.
x-1
594.Si la gráfica de una función exponencial
contiene al punto P(3/2,27). ¿Cuál es
base de dicha función exponencial?.
Rpta. 9.
595.Sea la función exponencial con regla de
x
correspondencia f(x)= x5 .
5 +1
-1
Hallar el dominio de f .
Rpta. <0,1>.
x
Rpta. <0,1>.
x
592.Dadas las funciones: f(x)=3 , g(x)=3 ,
h(x)=f(x)+g(x). Si h(x)=4; el valor de x
es:
Rpta. x=1.
593.La gráfica de la función exponencial
x
f(x)=a , 0<a<1, es:
Rpta. Decreciente y pasa por (0,1).
596.Sea f={(x,y) / y=a } para que sea una
función exponencial ¿Cuál o Cuáles de
las siguientes proposiciones se deben
cumplir?
ALGEBRA
I a≠0 y a>1
II Dom(f) = <0,+∞> , Ran(f)=R.
III 0<a<1 y a<0
IV a>0 y a≠1
Rpta. Solo IV.
597.Dada la función f definida por:
b-1
f(x) = ax , la imagen de 1 mediante f
es 9 y la preimagen de -72 es -2.
Hallar el valor de a+b.
Rpta. 13
x
598.Si f(x)= e . el valor de
2
E=
2
[f(Ln2x)] - [f(Ln2)]
, es:
2x - 2
Rpta. 2(x+1)
599.La regla de correspondencia de la
función mostrada, es:
2010-II
- 43 605.Dada la función f, definida por
f(x)=Log2x. De las siguientes
proposiciones:
I Si x>0 entonces y>0
II Si x>1 entonces y>0
III Si 0<x<1 entonces y ∈ R.
Son verdaderas:
Rpta. Solo III.
x
606.Si f(x)= e , el valor de expresión:
E=
f(Ln2x) - f(Ln2)
, x≠1, es:
x -1
Rpta. 2
607.Dada la función logarítmica y=Logax,
0<a<1, esta función es creciente o
decreciente en x ∈ <0,+∞>.
Rpta. Decreciente.
608.De la gráfica dada. Hallar su regla de
correspondencia:
Y
Y
1
(0,1)
0
X
0
2
3X
2
602.Si f(x) = Log2(4-x ). Hallar el dominio.
Rpta. <-2,2>.
603.Hallar la inversa de:
f(x)=Log4(x-4)+Log4(x+4), x>4.
Rpta. f (x)= 4 + 16 .
x
-1
 x -1 
.
2-x
- 44 -
612.Dada la función f(x) = Log( −
1
x+5) los
3
puntos de intersección con los ejes
coordenados son:
Rpta. (12,0) y (0, Log5).
613.Sea f(x) = Log2(2-3x). Hallar el dominio y
rango, de la función dada.
Rpta. Dom(f)= <-∞,2/3> y Ran(f) =R.
614.Si f(x) = Log4[Log1/2(Log3x)]. Hallar el
dominio de f.
Rpta. <1,
3>
615.La grafica de la función f(x)= Logax, con
0<a<1, es:
I Creciente y pasa por (1,0)
II Decreciente y pasa por (0,1)
III Decreciente y pasa por (1,0)
IV Creciente y pasa por (0,1)
Rpta. III.
616.Hallar el rango de: f(x)=Log2(x-1).
Rpta. R.
617.Hallar el dominio de la función
x
Rpta. f(x)=a , a>1
2
f(x)=Log2(x +2x-15).
Rpta. <-∞,-5>U<3,+∞>.
2
601.Hallar el dominio de f(x)= Log (3x-x ).
Rpta. <0,3>.
CEPRU
Rpta. f(x)=Log3(3-x).
 x .
y=Log2 

1- x 
Rpta. Dom(f)=<0,1>.
610.Dada la función definida por f(x)=Logax.
para 0<a<1 y 0<x<1, f es creciente o
decreciente.
Rpta. Decreciente.
611.El dominio de la función f definida por
 x - 2  es:
,
 x -3
f(x)= Log3 
f(x)=Log5 
Rpta. <1,2>.
Rpta. <-∞,2>U<3,+∞>.
f(x)=Log( −
1
1
x − x+50).
3
6
Rpta. <-∞,100>.
UNSAAC

ALGEBRA FICHA CEPRU 2010

Transcripción

Documentos relacionados

Cada pregunta vale 10% 1.- Si un cuerpo tiene una densidad de 6,2

CONTEO DE FIGURAS