Problema realizado por Norberto J. Rivillo Matía Enunciado: Hallar

Problema realizado por Norberto J. Rivillo Matía Enunciado: Hallar

Problema realizado por Norberto J. Rivillo Matía
Enunciado:
Hallar el valor del parámetro p de modo que la parábola de ecuación y2 =2px
pase por el punto P(3,1).
Teoría:
•
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes
a un punto llamado foco(F) y una recta llamada directriz(d).
•
Para hallar la ecuación de la parábola utilizamos la definición de lugar
geométrico, que consta de los siguientes pasos:
1. Se toma un punto genérico de la parábola(P):
P(x, y )
2. Se escribe la ecuación del lugar geométrico:
d (P , F ) = d (P , d )
3. Se expresa analíticamente el paso anterior:
(x
•
− x 2 ) + (y 1 − y 2 ) =
2
1
2
Ax + By + C
A 2 + B2
Para hallar la ecuación reducida de este tipo concreto de parábola
debemos saber que el parámetro (p) es la distancia entre el foco (F) y la
directriz (d), y que el vértice(V) se encuentra a mitad de camino entre
ambos. Se deben seguir los siguientes pasos:
1. Hallar las coordenadas del foco, que se encuentra en el eje X a
distancia p/2 del vértice, que se encuentra en el origen de coordenadas :
p 
F ,0 
2 
2. Hallar las coordenadas de la directriz, que es perpendicular al eje y se
encuentra a distancia p/2 del vértice en dirección contraria que F:
x=−
p
2
3.Aplicamos la fórmula general que antes hemos averiguado y la
desarrollamos:
3.1.Tomamos un punto genérico de la hipérbola:
P(x, y )
3.2.Se escribe la ecuación del lugar geométrico:
d(P,F) = d(P, d)
3.3.Se expresa analíticamente el paso anterior:
2
p
p

2
x −  + y = x +
2
2

x 2 − px +
p2
p2
+ y 2 = x 2 + px +
2
4
y 2 = 2px
Resolución gráfica:
Las parábolas que responden a esta ecuación están abiertas lateralmente
su vértice está en le origen de coordenadas y tienen la directriz paralela al eje
de la Y a una distancia p/2 de él.
.
Para dibujar una parábola debemos colocar primero su foco (F), en este
caso en el eje X, y su directríz (d), en este caso perpendicular al eje de las X. A
continuación, equidistante a ambos y en el eje de las X, se encuentra el vértice
(V). Finalmente se dibuja la curva que incluye a todos los puntos equidistantes
a F y d, la cual pasa por el punto P(3,1) que nos habían dado.
Cálculos:
Para resolver este ejercicio debemos saber que la ecuación de la parábola que
nos dan se corresponde con la ecuación reducida de la parábola cuyo eje es el
eje X y cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas.
1. Sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación para hallar p.
( −1) 2 = 2p × 3
1 = 6p
2. Despejando p nos queda:
Solución: p =
1
6