MaquetaciÛn 1

Transcripción

MaquetaciÛn 1

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UNIDAD
Sistema diédrico.
Poliedros regulares
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
1 Superficies y cuerpos. Introducción
1.1 Concepto de superficie
1.2 Generación y clasificación
1.3 Poliedros regulares
1.4 Fórmula de Euler
1.5 Poliedros conjugados
2 Características de los diferentes poliedros regulares
2.1 Tetraedro: elementos y relaciones
2.2 Hexaedro: elementos y relaciones
2.3 Octaedro: elementos y relaciones
2.4 Dodecaedro e icosaedro
APLICACIONES PRÁCTICAS
1 Representaciones de los poliedros regulares
1.1 El tetraedro
1.2 El hexaedro o cubo
1.3 El octaedro
1.4 El dodecaedro
1.5 El icosaedro
2 Secciones planas, desarrollos y transformadas
2.1 Secciones planas de los poliedros
2.2 Intersecciones recta-poliedro
2.3 Desarrollos
3 Presencia de los poliedros regulares
3.1 Antecedentes históricos
3.2 Poliedros y arte
CUESTIONES Y EJERCICIOS
UNIDAD
7 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Sistema diédrico. Poliedros regulares
En los próximos apartados nos introduciremos en el estudio de superficies
y cuerpos, un terreno mucho más concreto que el explorado en las dos
últimas unidades, a las que recurriremos en busca de recursos (movimientos, posiciones favorables...) con los que resolver las representaciones de
los poliedros regulares en proyecciones diédricas.
1 SUPERFICIES Y CUERPOS. INTRODUCCIÓN
No debemos confundir los conceptos de cuerpo y superficie. El cuerpo, o
sólido en la terminología de la mayoría del sorfware 3D, siempre hace referencia a un volumen determinado al que poder asociar propiedades como el
peso, la densidad, centro de gravedad, etc.; la superficie, que puede ser ilimitada, coincide con la envoltura imaginaria que rodea a un cuerpo. En el
caso de un cubo, todas sus superficies son planas y en el caso de una esfera
son curvas; otros cuerpos, como el cono, tienen superficies planas y curvas.
Fig. 1
1.1 Concepto de superficie
Fig. 2
Una superficie es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una
línea, denominada generatriz, que cambia de posición, o de posición y
forma, según una ley determinada. A las líneas que determinan el movimiento de la generatriz, se las denomina directriz de la superficie. En una
superficie de revolución, cónica en el ejemplo de la figura 1, la generatriz gira alrededor de una recta fija a la que denominamos eje, y a la cual
está invariablemente ligada.
El plano es la superficie más elemental. En su generación, tanto la generatriz como la directriz son líneas rectas. La unión de dos o más planos define los siguientes ángulos:
Fig. 3
Fig. 4
136
• Ángulo diedro, formado por dos planos con una intersección o
arista común i (Fig. 2).
• Cuando son tres los planos que, concurrentes dos a dos, tienen un
punto común llamado vértice, la forma geométrica que configuran
se denomina ángulo triedro. Un triedro característico es el denominado triedro trirrectángulo, formado por tres planos ortogonales
entre sí (Fig. 3); sus tres ángulos diedros serán rectos y cada arista es
perpendicular al plano de las otras dos.
• Ángulo poliedro, formado por más de tres planos, con un vértice
V común entre ellos y limitado por sus intersecciones respectivas llamadas aristas (Fig. 4). Cada plano del ángulo poliedro se denomina
cara, y el ángulo formado por dos caras consecutivas, diedro.
Si prolongando una de las caras del poliedro todo él queda situado
a un mismo lado respecto a esta cara, el poliedro es convexo; en
caso contrario sería cóncavo.
TEÓRICOS UNIDAD
CONOCIMIENTOS
UNIDAD
CONOCIMIENTOS
TEÓRICOS
1.2 Generación y clasificación
7
Una primera clasificación agrupa las superficies en limitadas o ilimitadas;
entre las primeras se incluyen las cerradas, que encierran un volumen determinado y dan lugar a los cuerpos que estudiaremos en esta unidad y en la
próxima.
Una superficie puede generarse de dos maneras distintas:
1.Como lugar geométrico de las posiciones de una línea cualquiera,
que se mueve en el espacio de acuerdo con una ley determinada.
2.Como envolvente de otra superficie, que a su vez se mueve en el
espacio de acuerdo con una ley determinada.
Clasificaremos las superficies atendiendo a la forma de su generatriz y a
las leyes a que responda su movimiento, las cuales condicionan la forma
de la directriz.
Un primer gran grupo de superficies son las regladas, cuya generatriz es
una recta; a su vez se subdividen en desarrollables y alabeadas. Las primeras pueden extenderse sobre un plano sin experimentar deformación ni
rotura, e incluyen a las poliédricas (regulares e irregulares) y a las radiales o radiadas (cónicas y cilíndricas). Las superficies alabeadas no pueden
desarrollarse sobre un plano como las desarrollables.
Kisho Kurokawa. Torre Nakagin, 1970.
Las superficies curvas tienen por generatriz una curva, pero no son desarrollables ni alabeadas; entre éstas se encuentran la esfera y el toro.
1.3 Poliedros regulares
Un poliedro es una figura tridimensional cerrada, formada por varios planos que se interseccionan en el espacio. Cada polígono formado en la
intersección de una cara con las otras del poliedro, define una de las caras
del poliedro. Los segmentos comunes a dos caras son las aristas, y la
intersección de éstas forma cada uno de los vértices del poliedro.
Un poliedro es regular cuando sus caras están formadas por el mismo
polígono regular y los ángulos poliedros son también iguales entre sí.
Todos los poliedros regulares son convexos y en cada uno de ellos existe
un centro geométrico único que, a su vez, es el centro de las esferas inscrita, circunscrita y tangente a las aristas del poliedro. La primera es tangente a todas sus caras en los puntos centrales de éstas, y su diámetro
coincide con la distancia entre caras opuestas; la segunda pasa por todos
sus vértices, mientras que la tercera es tangente a todas las aristas en sus
respectivos puntos medios, y su diámetro es igual a la distancia entre aristas opuestas.
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UNIDAD
Sabiendo que para formar un ángulo poliedro la suma de los ángulos de
las caras concurrentes en un vértice no puede llegar a ser 360°, en cuyo
caso formarían un ángulo plano, y que el mínimo de caras concurrentes
en un vértice ha de ser tres, los poliedros regulares convexos no pueden
ser más que los cinco siguientes:
• Si el polígono de la cara es un triángulo equilátero, las caras concurrentes en cada vértice pueden ser tres, cuatro o cinco (Fig. 5), dando
lugar, respectivamente, a los siguientes poliedros: tetraedro, octaedro e icosaedro.
Piet Blom. Kubuswowing. Roterdam.
Fig. 5
Fig. 6
• Si el polígono de la cara es un cuadrado, sólo pueden ser tres las
caras concurrentes en cada vértice, ya que con cuatro llegarían al
ángulo de 360º (Fig. 6). El poliedro formado es un hexaedro o
cubo.
• Cuando el polígono de la cara es un pentágono regular, cuyos
ángulos interiores miden 72º, únicamente pueden ser tres las caras
concurrentes en cada vértice, ya que con cuatro superarían los 360º
(Fig. 7). El poliedro formado es un dodecaedro.
• Con caras formadas por hexágonos (ángulos interiores de 120º) ya
no es posible formar ningún poliedro regular, pues con el mínimo
de tres caras por vértice alcanzaríamos los 360º.
Fig. 7
138
UNIDAD
1.4 Fórmula de Euler
En la siguiente tabla recogemos las características geométricas de los
poliedros regulares convexos:
Poliedro
Polígono
caras
Nº
caras
Vértices
Aristas
Ángulo
poliedro (caras
por vértice)
Tetraedro
Triángulo
4
4
6
Triedro
Hexaedro
Cuadrado
6
8
12
Triedro
trirrectángulo
Octaedro
Triángulo
8
6
12
Tetraedro
Icosaedro
Triángulo
20
12
30
Pentaedro
Dodecaedro
Pentágono
12
20
30
Triedro
El número de aristas de cada poliedro será igual al total de aristas de todas
sus caras (obtenido multiplicando su número por los lados de cada una)
dividido por dos, que son las caras que concurren en cada arista.
El número de vértices se obtiene dividiendo el número total de vértices del
conjunto de caras del poliedro (obtenido multiplicando el número de caras
por los vértices de cada una) entre el número de caras que concurren en
cada vértice.
En cada uno de los poliedros, los números de caras, vértices y aristas están
relacionados por la fórmula de Euler:
nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2
1.5 Poliedros conjugados
Fig. 8
Llamamos conjugados a dos poliedros en los que el número de caras de
uno de ellos coincide con el número de vértices del otro y viceversa.
El punto central de las caras de un hexaedro o cubo define la posición de
cada uno de los vértices de su poliedro conjugado, el octaedro, inscrito en
el mismo (Fig. 8). De forma similar, uniendo los puntos centrales de las
caras de un octaedro, formaremos el cubo conjugado e inscrito en él, tal
como podemos apreciar en la representación perspectiva de la figura 9.
Otro par de poliedros conjugados, con las mismas propiedades descritas,
son el dodecaedro y el icosaedro. El tetraedro es el poliedro conjugado de
sí mismo.
Fig. 9
139
7
UNIDAD
2 CARACTERÍSTICAS DE LOS DIFERENTES
POLIEDROS REGULARES
En este apartado realizaremos la descripción de los diferentes poliedros regulares, así como las relaciones entre algunos elementos lineales característicos
de cada uno de ellos, cuyo conocimiento nos facilitará su representación en
proyecciones diédricas.
En todos los poliedros regulares es posible establecer una sección plana, que
denominamos sección principal y que, pasando por su centro geométrico,
contiene y relaciona sus principales magnitudes.
2.1 Tetraedro: elementos y relaciones
Fig. 10
El tetraedro es un poliedro regular convexo, cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros; cada uno de sus cuatro vértices es el elemento común a
las tres caras y aristas que concurren en ellos (Fig. 10).
La arista y la altura h del tetraedro se relacionan mediante un triángulo
rectángulo que hemos representado en la figura anterior; un triángulo en
el que la hipotenusa es la arista, siendo sus catetos la altura y la proyección a’ de la arista sobre una de las caras del poliedro.
Fig. 11
La sección principal es la intersección del tetraedro con un plano que
pase por una de sus aristas y por su centro geométrico (Fig. 11); esta intersección es un triángulo isósceles de base la arista a del tetraedro, cuyos
lados iguales coinciden con la altura hc de cada una de las caras. En la sección principal, la altura referida a la arista coincide con la mínima distancia entre aristas opuestas, da, del tetraedro.
Analizadas las características de la sección principal, podemos construirla
de forma independiente del poliedro al cual pertenece; así lo hemos realizado en la figura 12, conocida la arista a del tetraedro:
Fig. 12
• Con la arista a como lado, construimos el triángulo equilátero ABC.
• Determinamos la altura hc correspondiente a la cara representada.
• El triángulo isósceles de base a y lados iguales a la altura hc, es la
sección principal; su altura da es la distancia entre aristas opuestas.
Siendo r y R los radios, respectivamente, de las esferas inscrita y circunscrita en el poliedro, ambos aparecen contenidos y relacionados en la sección principal (Fig. 13):
Fig. 13
140
• R es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos el radio r de la esfera inscrita y el radio del polígono de la cara,
2/3 de la altura de la cara hc por ser ésta un triángulo equilátero.
UNIDAD
2.2 Hexaedro: elementos y relaciones
El hexaedro es un poliedro regular convexo, cuyas seis caras son cuadrados y sus ángulos poliedros son triedros trirrectángulos; cada uno de sus
ocho vértices es el elemento común a las tres caras y aristas que concurren
en ellos (Fig. 14).
Mediante el triángulo rectángulo de la figura 15, a partir de la arista a del
cubo podemos determinar la diagonal d de cada una de sus caras; un segundo triángulo rectángulo nos permite determinar la diagonal D del poliedro.
Fig. 14
La relación entre las tres magnitudes anteriores la veíamos también en la
representación del primer cubo en perspectiva. A partir de cualquiera de
ellas podemos determinar, gráficamente, el segmento representativo de la
longitud de las otras dos; así, conociendo la diagonal D del cubo, resolvemos las longitudes de la arista a y de la diagonal d de la cara (Fig. 16):
• Con centro en el punto medio del segmento D trazamos una semicircunferencia, arco capaz de 90º cuyo diámetro sea su longitud.
• Dividimos D en tres partes iguales y por la primera de ellas levantamos una perpendicular al segmento D hasta cortar al arco.
• Los catetos del triángulo rectángulo formado responden a las longitudes buscadas de a y d.
La sección principal del hexaedro es la representada en la figura 17: un rectángulo de lados a y d que, como vemos también en la figura 18, relaciona,
en la forma indicada anteriormente, estas magnitudes con la diagonal D del
cubo. En la figura 19 indicamos las secciones producidas por otros planos
que, pasando también por el centro geométrico del poliedro, tienen una
inclinación diferente a la del plano que nos produce la sección principal.
Fig. 15
Fig. 16
Al igual que vimos en el tetraedro, los radios r y R de las esferas inscrita y
circunscrita están relacionados mediante un triángulo rectángulo (Fig. 20):
• R es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos el radio r de la esfera inscrita y el radio del polígono de la cara
(1/2 de la diagonal d de la cara, por ser ésta un cuadrado).
Fig. 18
Fig. 19
Fig. 17
Fig. 20
141
7
UNIDAD
2.3 Octaedro: elementos y relaciones
El octaedro es un poliedro regular convexo formado por ocho caras, todas
ellas triángulos equiláteros (Fig. 21). Tiene seis vértices y doce aristas. Las
caras opuestas son paralelas dos a dos y la distancia entre ellas es una
magnitud que se determina a partir de la sección principal, y que utilizaremos en alguna de sus representaciones diédricas.
Fig. 21
Fig. 22
Las tres diagonales son iguales y perpendiculares y se cortan en sus puntos medios, puntos que coinciden con el centro geométrico del poliedro.
Conocida la arista, podemos determinar la longitud de la diagonal D
mediante la construcción del triángulo rectángulo de la figura 22.
La sección principal es la intersección del octaedro con un plano que pasa
por su centro geométrico y por las alturas de dos pares de caras opuestas
(Fig. 23). Esta intersección es un rombo, cuyo lado coincide con la altura hc
del triángulo de las caras y cuyas diagonales son la arista a y la diagonal D
del octaedro; la distancia dc entre lados opuestos de la sección principal
coincide con la mínima distancia entre aristas opuestas del octaedro.
En la figura 24 disponemos perpendicularmente los valores conocidos de
arista y diagonal, cortándose en sus respectivos puntos medios, para fijar
la posición de las diagonales del rombo que nos permiten trazar la sección
principal; en ella determinamos el segmento dc de la distancia entre caras.
La figura 25, con la representación de media sección principal, es una simplificación de la anterior:
Fig. 23
• Un triángulo isósceles de base a y altura la mitad de la diagonal,
D/2. La altura, trazada en relación a uno de los lados iguales, coincide con la distancia entre caras dc y con el diámetro de la esfera
inscrita en el octaedro.
2.4 Dodecaedro e icosaedro
142
Fig. 24
El dodecaedro es un poliedro regular convexo formado por doce caras, las cuales son pentágonos regulares (Fig. 26). Tiene veinte vértices y treinta aristas, y sus ángulos poliedros
son triedros.
Fig. 25
En su geometría destaca la simetría; su centro
geométrico o de gravedad lo es también de
simetría; así, cada vértice, arista o cara tiene su
simétrica u opuesta en relación a este centro
de la figura. Las aristas opuestas son paralelas
y las caras opuestas, además de paralelas, aparecen giradas 180º una respecto a la otra.
Fig. 26
UNIDAD
Si en el pentágono existe una relación áurea entre la diagonal d y la arista
a, en el dodecaedro existe esta relación entre la distancia entre aristas
opuestas da y la diagonal d de cada una de las caras. Podemos establecer:
da
d
=
= ∅ ≈ 1’618034
d
a
La sección principal es la producida en el dodecaedro por un plano que
contiene dos aristas opuestas, paralelas entre sí como acabamos de señalar. Dicha sección es un hexágono irregular, representado en la figura anterior, en el que los dos lados paralelos menores coinciden con la arista del
poliedro y el resto de lados, también paralelos dos a dos, tienen por longitud la altura de los polígonos de las caras. La sección principal puede inscribirse en un cuadrado cuyo lado es igual a la distancia entre aristas
opuestas da.
Otra sección característica en el dodecaedro es la producida por un plano
paralelo a una de sus caras; la sección es un pentágono regular, cuyo lado
coincide con la diagonal de las caras y cuya diagonal es la distancia entre
aristas opuestas. Este pentágono sección justifica la relación áurea entre la
distancia entre aristas opuestas y la diagonal de las caras.
El icosaedro es un poliedro regular convexo formado por veinte caras,
todas ellas triángulos equiláteros (Fig. 27). Tiene doce vértices y treinta
aristas, y sus ángulos poliedros son pentaedros. El poliedro puede descomponerse en dos pirámides pentagonales, regulares e iguales, de bases
paralelas y en un sólido prismático intermedio, de base pentagonal, limitado lateralmente por diez triángulos equiláteros.
Fig. 27
Como en el dodecaedro, la figura tiene un centro geométrico que también
lo es de simetría; las aristas y caras opuestas son paralelas, y cada par de
estas últimas están giradas 180º una en relación a la otra.
La sección principal es la producida por un plano que, conteniendo su
centro geométrico, pasa por dos aristas opuestas. Esta sección es un hexágono irregular en el que los dos lados paralelos menores coinciden con la
arista del poliedro, y el resto de lados, también paralelos dos a dos, coinciden con la altura de los triángulos de las caras. Como en el dodecaedro,
podemos trazar quince secciones del tipo de la descrita.
Las secciones producidas por dos planos perpendiculares a una de las diagonales del poliedro, y que pasen por alguno de sus vértices, son dos pentágonos regulares de lado igual a la arista del icosaedro y desfasados 180º
uno en relación al otro. Si el plano perpendicular a una de las diagonales
pasa por su punto medio, el polígono sección es un decágono de lado
igual a la mitad de la arista del poliedro.
143
7
UNIDAD 7
Conocidas las principales características de los poliedros regulares, en los
próximos apartados efectuaremos su representación gráfica en las posiciones más características respecto a los planos de proyección.
1 REPRESENTACIONES DE LOS POLIEDROS REGULARES
1.1 El tetraedro
El dato más habitual, al abordar sus proyecciones diédricas, es su arista;
veamos, a partir de la misma, las representaciones más habituales:
• Con una cara paralela a uno de los planos de proyección
En la representación de la figura 28, suponemos al tetraedro con una de
sus caras contenida en el plano horizontal de proyección, por lo que la
proyección de la misma sobre este plano estará en verdadera magnitud,
triángulo equilátero A’B’C’ de lado igual a la arista del poliedro; la proyección vertical A’’B’’C’’ estará situada en la LT.
Fig. 28
La proyección horizontal del cuarto vértice, E’, coincide con el centro geométrico de la cara proyectada en verdadera magnitud. Para situar la proyección
vertical, E’’, debemos encontrar la altura h del tetraedro; altura que determinamos mediante una construcción auxiliar sobre su representación en planta, abatiendo el triángulo rectángulo formado por la arista, su proyección
ortogonal sobre la base y la propia altura. En este triángulo, A’E’ es el primero de los catetos; la magnitud del segundo, h, se determina sobre la perpendicular al anterior al situar como hipotenusa una longitud igual a la arista a.
Conocidas las proyecciones horizontales y verticales de los cuatro vértices,
realizamos su unión prestando especial atención a la visibilidad de las aristas. Los contornos aparentes son siempre visibles en su totalidad, mientras
que la visibilidad del resto de aristas depende de la dirección en que se ha
obtenido la proyección a la que pertenecen.
• Con una de sus caras contenida en un plano α
cualquiera
Ejemplo de pirámide en el patio del museo de Louvre, Paris.
144
Conocidas las trazas hα - vα del plano y la arista a del tetraedro, abatimos el plano para poder representar en verdadera magnitud la cara contenida en él. En la figura 29 hemos
abatido el plano α sobre el horizontal de proyección, representando sobre el mismo la verdadera magnitud de la cara
ABC; conocida esta cara, determinamos la altura h del
tetraedro con la construcción auxiliar utilizada en la primera representación del poliedro.
UNIDAD
Fig. 29
Utilizando horizontales auxiliares del plano α que hacemos pasar por cada
uno de sus vértices, desabatimos la cara ABC en sus proyecciones A’B’C’
- A’’B’’C’’; por el centro de cada una de éstas, trazamos la perpendicular
r’ – r’’ a las trazas del plano. Sobre esta perpendicular, y a la distancia h
del centro, O’ – O’’, de la base, se encontrarán las proyecciones del cuarto vértice del tetraedro.
Para poder medir la verdadera magnitud de la altura h sobre la recta oblicua
r, giramos ésta hasta la posición de recta horizontal mediante un eje de punta
no representado, que hacemos pasar por O’ – O’’; sobre la proyección O’ – M1’, situamos la verdadera magnitud de la altura h y deshacemos el giro para determinar las proyecciones E’ – E’’ del cuarto
vértice. La representación de las aristas en ambas proyecciones, de
acuerdo a la visibilidad correspondiente, nos completa el trazado.
• Con una arista sobre el PH y la opuesta paralela al
mismo
Tanto la arista contenida en el PH como la paralela a él, tendrán la proyección horizontal en verdadera magnitud; sus proyecciones A’B’ y
C’E’ reflejarán la perpendicularidad existente entre las mismas en el
tetraedro. El trazado del contorno aparente nos completa la proyección horizontal (Fig. 30).
Fig. 30
145
7
UNIDAD
7
La proyección vertical de la arista inferior, A’’B’’, se halla sobre LT y la de la
arista opuesta, C’’E’’, será paralela a la línea de tierra a una distancia de ésta
igual a la mínima distancia entre aristas opuestas da. Encontramos esta distancia en la sección principal del tetraedro, o abatiendo en la representación en planta el triángulo rectángulo formado por la altura de la cara hc,
su proyección ortogonal sobre la base y la distancia entre aristas opuestas.
Conocidas las proyecciones verticales de los cuatro vértices, completamos
la proyección homónima del tetraedro con el trazado de las aristas correspondientes, visibles o no según la dirección de la proyección efectuada.
1.2 El hexaedro o cubo
Conocida su arista a, obtendremos las proyecciones correspondientes a las
posiciones más habituales:
• Con una cara apoyada o paralela a uno de los planos de proyección
Con una de las caras en la posición solicitada, la opuesta se proyectará coincidente con ella, y las cuatro restantes son proyectantes respecto al plano
horizontal.
La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo,
(Fig. 31); las cuatro aristas perpendiculares a los planos paralelos al PH son
verticales, y tienen su proyección vertical en verdadera magnitud.
Fig. 31
Al estudiar la visibilidad de la proyección vertical, recordamos que las aristas
que forman el contorno aparente del cuerpo son siempre visibles; para conocer la visibilidad de las aristas interiores, examinamos la proyección horizontal
observando que, al mirar la figura perpendicularmente a LT, la arista BF es la
primera que se ve, por tanto, es visible en proyección vertical; por idéntica
razón, la arista DH es oculta y la representamos con línea discontinua.
• Con una cara situada en un plano cualquiera
Al conocer el plano que contiene una de las caras del hexaedro, podemos
encontrar las proyecciones diédricas del poliedro de forma similar a la utilizada en la representación del tetraedro, con una de sus caras contenidas
en un plano α cualquiera, de la figura 29.
En este caso, buscaremos una resolución diferente a partir de una posición
favorable del plano la cual nos facilite los trazados (Fig. 32).
Un cambio de plano vertical transforma el plano oblicuo inicial en uno de
canto, con la nueva traza vertical en la posición vα1; lo abatimos sobre el
PH, dibujando en verdadera magnitud la cara ABCD contenida en él.
146
UNIDAD
Fig. 32
Desabatida en sus proyecciones A’B’C’D’ – A1’’B1’’C1’’D1’’, esta última
situada en la traza proyectante del plano de canto, trazamos por ellas las
perpendiculares al plano auxiliar que, dada la posición del plano, serán rectas frontales.
Sobre las perpendiculares a vα1 trazadas por A1’’, B1’’…etc., medimos la
longitud real de la arista del cubo, completando de esta forma la proyección vertical auxiliar. Referimos los vértices de la base superior a las perpendiculares a hα1 trazadas por A’, B’… etc., obteniendo las proyecciones
E’, F’, G’ y H’ correspondientes a la proyección horizontal de la cara superior del cubo. Con estas proyecciones completamos la proyección horizontal del hexaedro.
Para representar la proyección vertical en la posición del plano α, determinamos las proyecciones verticales de los vértices ABCD correspondientes a
la base inferior. Para ello utilizamos rectas auxiliares, horizontales del plano
α, que hacemos pasar por las proyecciones A’, B’... Por las nuevas proyecciones A’’, B’’…, levantamos perpendiculares a la traza vertical vα del
plano y referimos a ellas los vértices E’, F’, G’ y H’ de la base superior.
El paralelismo entre las proyecciones de aristas paralelas en el espacio nos
ayuda en el trazado de las diferentes aristas. El estudio de la visibilidad,
según el punto de vista de cada una de las proyecciones, completa las proyecciones solicitadas del hexaedro.
147
7
UNIDAD
7
• Con una diagonal perpendicular al horizontal de proyección
Esta representación la podemos efectuar de dos maneras; mediante la primera de ellas (Fig. 33), disponemos el hexaedro con una de sus caras paralela o contenida en el PH y dispuesto, en relación al PV, de tal forma que
una de sus diagonales, la AG en el ejemplo, sea una recta frontal.
Fig. 33
A partir de esta posición auxiliar inicial, efectuamos un cambio de plano horizontal para que la diagonal anterior quede en posición de recta vertical; para
ello disponemos la LT1 perpendicular a la proyección vertical A’’ – G’’. Referimos
los alejamientos de la proyección horizontal anterior y representamos la visibilidad de las diferentes aristas, según la nueva dirección de proyección.
Del análisis de la representación anterior, extraemos las conclusiones que nos
permiten representar el hexaedro en la posición solicitada de manera directa (Fig. 34), sin utilizar proyecciones auxiliares. El cubo queda inscrito en una
esfera cuyo diámetro es la diagonal principal A’’- G’’. Dividiendo esta diagonal en tres partes iguales, obtenemos los vértices C’’ y E’’ que, unidos con
A’’ y G’’, nos dan el contorno aparente del poliedro en proyección vertical;
proyección que completamos con las aristas D’’ – H’’ y B’’– F’’, coincidentes
por pertenecer al mismo plano proyectante.
Fig. 34
148
En proyección horizontal, el contorno de la figura es un hexágono regular
inscrito en una circunferencia cuyo radio coincide con la proyección horizontal del segmento A’’ – E’’. Referimos vértices según la correspondencia
entre proyecciones y trazamos las aristas de acuerdo a la visibilidad del
conjunto; observamos, por ejemplo, que la arista GC, por ser la de mayor
cota, será visible en proyección horizontal; al contrario, la arista AE es la
de menor cota y se representa oculta en la misma proyección.
UNIDAD
• Con una arista en uno de los planos de proyección
Conocemos las proyecciones de la arista AE; por estar contenida en el
PH, su proyección sobre este plano estará en verdadera magnitud.
Buscamos una proyección auxiliar vertical en la que la arista AE se vea
como recta de punta (Fig. 35); para ello efectuamos un cambio de plano
vertical en la dirección de la proyección A’ – E’. En la nueva proyección
vertical las caras perpendiculares a AE se verán en verdadera magnitud,
por lo que dibujamos un cuadrado con uno de sus vértices en A1’’E1’’,
lado igual a la proyección A’ – E’, y con cualquier inclinación al no tener
condiciones al respecto.
Fig. 35
Las caras que pasan por los vértices A y E, por ser perpendiculares a la arista definida por ambos, serán planos verticales y sus proyecciones horizontales serán segmentos perpendiculares a A’ – E’. De la proyección auxiliar
obtendremos la correspondencia de los vértices que forman el cubo y,
también, las cotas que, conocida la proyección horizontal, nos permitirán
completar la proyección vertical.
En el estudio de la visibilidad horizontal, la arista A’ – E’ es oculta al ser
la de menor cota de todas las que forman el poliedro. En la visibilidad
vertical, al comparar los alejamientos de los vértices D y F, es mayor el
del segundo de ellos, por lo que las tres aristas que concurren en él son
visibles, a la inversa de lo que ocurre con las aristas concurrentes en el
vértice D.
149
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UNIDAD
7
1.3 El octaedro
Como en los poliedros anteriores, suponemos conocida su arista para
obtener las siguientes representaciones:
• Con una de sus diagonales perpendicular al PH
Con una diagonal EF representada como una recta vertical (Fig. 36), el
contorno aparente, A’B’C’D’, de la proyección horizontal es un cuadrado
de lado igual a la arista del octaedro. Las diagonales A’C’ y B’D’ tienen la
misma longitud que la diagonal E’’F’’, todas ellas en verdadera magnitud.
Sobre las dos primeras diagonales se proyectan, horizontalmente, las ocho
aristas restantes.
En proyección vertical, los vértices E y F están en los extremos de la diagonal correspondiente, mientras que los otros cuatro se hallan sobre el plano
medio del octaedro, horizontal y de cota igual a la mitad de la longitud de
la diagonal. Completamos el trazado con la representación de las aristas y
el estudio de su visibilidad.
• Con una cara apoyada en el plano horizontal
Fig. 36
Empezamos por representar la proyección horizontal (Fig. 37); en ella el
triángulo A’B’F’ está en verdadera magnitud, correspondiendo a la proyección horizontal de la cara contenida en PH. La cara opuesta, C’D’E’, paralela a la anterior y al PH, también está en verdadera magnitud y se proyecta
según un triángulo equilátero desfasado 180º en relación al anterior. La
unión de las proyecciones de los seis vértices define el contorno aparente y
nos completa la proyección horizontal.
Fig. 37
150
UNIDAD
En proyección vertical, las caras ABF y CDE se proyectan como dos planos
horizontales, el primero de ellos coincidente con LT y el segundo con una
cota igual a la distancia entre caras opuestas. Determinamos ésta con una
construcción auxiliar, realizada sobre la representación en planta: abatimos
sobre el horizontal el triángulo rectángulo que tiene por catetos la distancia entre caras y la proyección horizontal de la altura de una cara, y por
hipotenusa, la verdadera magnitud de esta última.
• Con el plano medio situado en un plano α dado
En el plano α dado, conocemos también las proyecciones de la arista AB
del octaedro (Fig. 38). Abatimos el plano sobre el horizontal de proyección
(al ser un plano de canto, el abatimiento de vα coincide con LT) y representamos en verdadera magnitud la sección ABCD. Al desabatir, tendremos las proyecciones, C’D’ y C’’D’’, de los otros dos vértices de la sección.
Por su centro O’ – O’’ trazamos la perpendicular r al plano de canto; ésta
será una frontal sobre cuya proyección vertical mediremos la verdadera
magnitud de la diagonal del poliedro, para completar la posición de los
vértices E’’ y F’’ que referimos a la proyección horizontal de la recta r. El
estudio en la forma acostumbrada de la visibilidad de las aristas completa
la representación solicitada.
Fig. 38
151
7
UNIDAD 7
1.4 El dodecaedro
De los dos últimos poliedros regulares efectuaremos una única representación para cada uno de ellos. Al dodecaedro lo suponemos situado con una
de sus caras paralela o contenida en el plano horizontal de proyección; la
cara opuesta también será, lógicamente, paralela. Conocemos un único
dato del poliedro que queremos representar: su arista (Fig. 39).
Fig. 39
Dibujamos la proyección horizontal del pentágono regular ABCDE y de
dos de las caras contiguas, las que comparten entre sí la arista BF; la representación efectuada de éstas últimas equivale a su abatimiento sobre el
PH, utilizando para ello como charnelas las aristas A’B’ y B’C’. Al desabatir las dos posiciones del vértice (F), la intersección de las perpendiculares
a las respectivas charnelas definirá su proyección F’ sobre el plano horizontal. Por simetría respecto al centro del pentágono ABCDE, definiremos la
posición de las proyecciones horizontales de los vértices G, H, I y J; todas
ellas se encuentran sobre una circunferencia, concéntrica con la circunscrita a la cara A’B’C’D’E’, en la que también se hallan las proyecciones de los
vértices K, L, M, N y O, formando un decágono regular.
La cara superior del dodecaedro tiene por proyección horizontal un pentágono P’Q’R’S’T’, centrado con la proyección de la base inferior y desfasado 36º en relación a la misma. Completamos la proyección horizontal del
152
UNIDAD
poliedro representando el resto de aristas; las que parten de los vértices de
la base inferior son ocultas, mientras que las que parten de los vértices de
la base superior son vistas.
Para poder representar la proyección vertical, necesitamos determinar las
cotas de sus diferentes vértices. Los vértices de la base inferior, A, B, C, D
y E, tienen la proyección vertical sobre LT. La cota z1, común a los vértices
F, G, H, I y J, la determinamos mediante el abatimiento sobre el PH de un
triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la arista en verdadera magnitud y por catetos, la proyección de esta arista y la cota buscada z1; la
figura 40 ilustra en perspectiva los trazados descritos.
De forma similar buscamos la cota z2 de los vértices K, L, M, N y O; la figura 41 justifica el triángulo rectángulo abatido en la representación en planta, triángulo que tiene por hipotenusa la altura de una de las caras y por
catetos, la proyección de ésta y la cota buscada z2.
Fig. 40
A partir del plano horizontal, que definen las proyecciones verticales de los
vértices anteriores, trasladamos nuevamente la cota z1 para situar el plano
horizontal en el que se hallan las proyecciones verticales de los vértices de
la base superior P, Q, R, S y T.
Uniendo las proyecciones verticales de los veinte vértices y estudiando la
visibilidad de las aristas según los alejamientos respectivos, completaremos
la proyección vertical del poliedro.
Fig. 41
1.5 El icosaedro
Lo representamos con la diagonal MN, que une dos de
sus vértices opuestos, perpendicular al plano horizontal
de proyección (Fig. 42). En esta posición, los pentágonos ABCDE y FGHIJ, bases de las dos pirámides en que
podemos descomponer la figura, tendrán la proyección
horizontal en verdadera magnitud por estar contenidos
en planos paralelos al PH.
Determinar la proyección horizontal del poliedro supone trazar dos pentágonos regulares centrados, de lados
iguales a la arista del icosaedro, y desfasados 36º uno
en relación al otro. Su punto central es la proyección
horizontal de la diagonal MN; punto que unimos con
los correspondientes vértices de los dos pentágonos y
con la visibilidad que se desprende de la diferencia de
cota entre M y N.
En proyección vertical situamos N’’ sobre LT. El plano
horizontal que definen las proyecciones de los vértices
Fig. 42
153
7
UNIDAD 7
A’’, B’’… se halla a una cota z1 respecto a LT, cota que determinamos con
el abatimiento sobre el plano horizontal del triángulo rectángulo que tiene
por hipotenusa la arista del icosaedro y por catetos, la proyección de esta
arista y la cota z1 que pretendemos determinar. La figura 43 describe, en
perspectiva, la construcción efectuada sobre la proyección horizontal.
A partir del plano horizontal anterior, buscamos la cota z2 de un segundo
plano horizontal, el que definen los vértices F, G, H… , mediante un triángulo rectángulo similar al descrito que, en representación perspectiva,
vemos en la figura 44.
Por simetría del icosaedro, la cota de M’’ respecto al anterior plano horizontal vuelve a ser z1.
Fig. 43
Fig. 44
Dada la posición de la planta respecto al plano vertical de proyección, las
aristas vistas y ocultas quedan confundidas en una única proyección vertical, lo que facilita los trazados. De esta posición también se desprende que
la arista ND es frontal, por lo que también podríamos determinar la proyección vertical D’’, sobre la perpendicular a LT trazada por D’, mediante
un arco de centro N’’ y cuyo radio es la longitud de la arista.
2 SECCIONES PLANAS, DESARROLLOS
Y TRANSFORMADAS
Determinar la sección que un plano produce en un cuerpo, poliedro regular en nuestro caso, o la intersección de éste con una recta, no son más
que dos aplicaciones de las intersecciones entre elementos fundamentales,
las cuales estudiamos en la unidad 11 de Dibujo técnico 1. Lo veremos
en los próximos apartados.
154
UNIDAD
2.1 Secciones planas de los poliedros
Denominamos sección plana a la intersección de un plano con un cuerpo. En
la descripción efectuada de los diferentes poliedros, además de la denominada sección principal, hemos hablado de otras secciones características; por
ejemplo, la sección hexagonal producida en un cubo por un plano que, pasando por el centro del poliedro, sea perpendicular a una de sus diagonales.
En general, para determinar una sección plana cualquiera, deberemos buscar los puntos de intersección de cada una de las aristas del cuerpo con el
plano; dichos puntos de intersección serán los vértices del polígono sección. Veamos dos ejemplos, con dos posiciones de planos diferentes:
• Sección plana de un tetraedro por un plano proyectante
Partimos de las dos proyecciones del tetraedro y de las trazas del plano
sector, en este caso un plano α de canto (Fig. 45).
Fig. 45
Por ser el plano proyectante vertical, los puntos de intersección con el poliedro serán los de intersección de su traza vertical con las proyecciones verticales de las aristas del tetraedro. Así, directamente, encontramos las proyecciones verticales 1’’, 2’’, 3’’ de los vértices del polígono sección. Referimos
las anteriores proyecciones a las correspondientes aristas de la proyección
horizontal del tetraedro, y tendremos la proyección horizontal de la sección.
Si queremos conocer la sección producida por el plano α en verdadera
magnitud, abatiremos dicho plano; en la figura hemos realizado el abatimiento sobre el plano horizontal, obteniendo la sección plana (1) - (2) - (3)
en verdadera magnitud.
155
7
UNIDAD 7
• Sección plana de un hexaedro por un plano cualquiera
Para determinar la sección que un plano produce en una figura cuando el
plano es oblicuo a los de proyección, podemos proceder de dos maneras:
determinando la intersección de cada una de las aristas con el plano, en
una aplicación de la intersección recta-cuerpo que veremos en el próximo
apartado, o, más fácilmente, colocando el plano en posición de plano proyectante; de esta segunda manera, la sección que produce el plano se verá
como una recta y su determinación es inmediata, como ya hemos visto en
el ejemplo anterior.
Suponemos el hexaedro representado en la figura 46 y cuya sección por un
plano α, oblicuo a los de proyección, queremos determinar. Representamos
una nueva LT, perpendicular a la traza horizontal hα del plano, para definir
un cambio de plano vertical de proyección, en relación al cual el plano α
pasará a ser proyectante vertical o de canto.
Fig. 46
Buscamos la nueva traza vertical vα1 y la nueva proyección vertical del
cubo; los puntos en que vα1 intersecciona con las aristas de la nueva proyección vertical son los vértices del polígono sección que, mediante perpendiculares a las respectivas líneas de tierra, pasamos a las proyecciones
iniciales del cubo. Al referir 1’’ y 2’’, utilizamos la cota de la proyección vertical auxiliar.
156
UNIDAD
Como en la sección plana anterior, el abatimiento del plano proyectante sobre uno de los de proyección nos sirve para determinar la verdadera magnitud de la sección plana buscada. Observemos en la sección abatida que las aristas (1) - (4) y (2) – (3), producidas como intersección del
plano α sobre dos caras paralelas de un mismo cuerpo, son también
paralelas.
Cualquier sección plana la resolveremos tal como hemos efectuado en los
ejemplos anteriores: si el plano es proyectante, encontraremos directamente el polígono sección en la intersección de la traza proyectante del
plano con las aristas del cuerpo (si el plano fuera horizontal o frontal, tendríamos, además, la proyección no proyectante de la sección en verdadera magnitud), y, si el plano es oblicuo, efectuaremos un cambio de plano
para conseguir la posición de plano proyectante con las ventajas derivadas
de la misma.
2.2 Intersecciones recta-poliedro
Hallar la intersección de una recta con un sólido consiste en determinar los
puntos de entrada y salida de la recta en el sólido. Para ello utilizaremos
un plano auxiliar que contenga a la recta (Fig. 47), y determinaremos la
sección que dicho plano produce en el sólido; los puntos de intersección
entre la sección y la recta son los puntos buscados.
Fig. 47
En proyecciones diédricas, hemos buscado las intersecciones entre una recta r y un octaedro, conocidas las
proyecciones de ambos (Fig. 48). Coincidente con la proyección horizontal de la recta, definimos la traza proyectante de un plano vertical auxiliar; su intersección con la
proyección horizontal de las aristas del poliedro define la
posición de los vértices 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ y 6’ de la sección
auxiliar.
Referimos los vértices anteriores a la proyección vertical
de las aristas del octaedro; su unión representa la proyección vertical de la sección auxiliar, y la intersección de ésta
con la proyección vertical r’’ determina las proyecciones
verticales, P’’ y Q’’, de los puntos buscados. A continuación, referiremos éstos a la proyección horizontal r’ de la
recta. En ambas proyecciones representamos con trazo
discontinuo el segmento comprendido entre los puntos P
y Q, para diferenciar la parte de la recta que atraviesa el
interior del poliedro.
No añadimos más ejemplos ya que, independientemente
del poliedro de que se trate, siempre utilizaremos un procedimiento idéntico al que acabamos de ver.
Fig. 48
157
7
UNIDAD 7
2.3 Desarrollos
Al clasificar las superficies al inicio del tema, las poliédricas (entre
las que se incluyen los poliedros regulares) figuraban dentro de las
denominadas desarrollables. Esto significa que la superficie exterior
asociada a cada uno de ellos puede extenderse sobre un plano.
Al estar formados por polígonos regulares, representar su desarrollo no presenta mayor dificultad que la de dibujar cada una de sus
caras en contacto con las contiguas; así lo hemos realizado para
cada uno de ellos en la figura 49.
Poliedros aplicados en la arquitectura.
Fig. 49
El desarrollo del hexaedro corresponde al representado en la figura 46.
Sobre el mismo hemos indicado la sección que en el poliedro producía
un plano α; a esta representación se la denomina transformada de la
sección.
Tanto las aristas que definen el desarrollo de la superficie del sólido, como
los segmentos correspondientes a la transformada de la sección plana, han
de ser siempre las verdaderas magnitudes de los mismos.
158
UNIDAD
3 PRESENCIA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En la naturaleza encontramos estructuras poliédricas como, por ejemplo,
los cristales de diversas sustancias. Así, el tetraedro aparece en la estructura cristalina del sodio; el cubo, en la de la sal común; el octaedro, en la de
los diamantes naturales, y el dodecaedro, en la de las piritas. La estructura del modelo de la cadena de ADN está formada, también, por una serie
de dodecaedros superpuestos en espiral.
3.1 Antecedentes históricos
Algunos pueblos neolíticos conocían la existencia de formas geométricas
que recuerdan a algunos poliedros (Fig. 47). Así lo demuestran algunos
vestigios encontrados en zonas de Escocia. Estos restos se hallan localizados en la actualidad en el Ashmolean Museum de Oxford, se trata de piedras esculpidas, cuya forma recuerda a la de algunos poliedros (cubo,
dodecaedro, icosaedro…), de las que se sospecha que pudieron ser usadas como elementos de juego o decoración.
Fig. 47
En excavaciones realizadas cerca de Pádova (Italia), se halló un dodecaedro
etrusco, que probablemente era usado como juguete (Fig. 48).
En el antiguo Egipto, encontramos referencias más concretas a algunos
poliedros (cubo, tetraedro, octaedro, pirámide...). La utilización de la
forma piramidal como sepultura de los faraones egipcios pone de manifiesto cierta conexión entre los poliedros y aspectos religiosos y místicos.
Sin embargo, y aunque estos sólidos ya se conocían en tiempos prepitagóricos, fueron Pitágoras y su escuela quienes iniciaron su estudio; se les
supone conocedores del tetraedro, el cubo y el dodecaedro. Los otros dos
restantes poliedros regulares, el icosaedro y el octaedro, se atribuyen a
Teeteto (415 – 369 a. C.), amigo y alumno de Platón, a quien se debe el
estudio sistemático de los cinco poliedros regulares. Se les llama también
sólidos platónicos por el papel que tienen en el diálogo de Platón El
Timeo, donde pone de manifiesto su relación con los elementos primarios:
hexaedro-tierra, tetraedro-fuego, octaedro-aire e icosaedro-agua; al dodecaedro, tan distinto por sus caras de los otros poliedros, lo asoció con el
universo, la representación del Todo, la Quintaesencia (Fig. 49). Kepler,
siglos más tarde, asocia sus doce caras con los doce signos del Zodíaco.
Fig. 48
Fig. 49
159
7
UNIDAD 7
Euclides, en el libro XIII de los Elementos, mejoró los trabajos de Teeteto
en relación con los sólidos platónicos, probando que los únicos poliedros
convexos regulares, con caras y ángulos en los vértices iguales, eran los
sólidos platónicos.
Ya en el Renacimiento volvemos a encontrar numerosas referencias y representaciones de los poliedros regulares. Alberto Durero (1471-1528) centró
su atención en estos poliedros, ya que le servían de modelos en sus estudios
de perspectiva; los representó mediante su desarrollo sobre un plano.
Leonardo Da Vinci utilizó los poliedros para la decoración del libro De
Divina Proportione del franciscano Luca Pacioli (1445-1514), donde éste
estudia las relaciones entre dodecaedro e icosaedro y la denominada divina
proporción. En la representación de Leonardo, con los poliedros huecos o
vacíos, se observan simultáneamente sus partes frontal y posterior (Fig. 50).
Fig. 50
Aproximadamente un siglo después, el astrónomo alemán Johannes Kepler
encuentra en los poliedros regulares una explicación a las órbitas de los planetas alrededor del Sol: creía que los radios de sus órbitas circulares estaban
en proporción con los radios de las esferas inscritas en los sólidos platónicos,
al estar éstos dispuestos uno dentro de otro. Además, sistematiza y desarrolla todo los que se conocía en su época sobre estos poliedros.
3.2 Poliedros y arte
El período histórico en el que la conexión entre arte y poliedros fue más
fructífera es, sin duda, el Renacimiento. Además de los dibujos de
Leonardo ya reseñados, encontramos
otros ejemplos en los que éstos aparecen representados:
En el primer retrato conocido de un
matemático, el de Luca Pacioli, observamos sobre la mesa un dodecaedro
y, en la parte superior izquierda, un
poliedro semirregular transparente,
figura 51. Es obra del pintor veneciano Jacopo de Barbari; en él, Pacioli
aparece haciendo una demostración
geométrica a un joven, identificado
como el Duque de Urbino.
Fig. 51
160
UNIDAD
Destacamos también los famosos mosaicos (Fig. 52), realizados con maderas de diversas tonalidades, elaborados por Fra Giovanni, donde se muestran poliedros y esquemas de poliedros.
En la escuela alemana renacentista, además de la referencia ya realizada
a Durero, encontramos al orfebre Jamnitzer (1508-1585), uno de los
más creativos artistas poliedrales tal y como vemos en sus esculturas de
la figura 53.
Fig. 52
Fig. 53
El pintor holandés Maurits Escher (1898-1972), considerado uno de los
artistas del siglo XX más vinculado a las matemáticas, también utilizó los
poliedros en algunas de sus obras. En un grabado sobre madera, titulado
Estrellas (Fig. 54), muestra un cielo poliedral en el que fácilmente identificamos poliedros regulares y otras composiciones derivadas de los mismos.
En el campo de la arquitectura, encontramos poliedros regulares y truncamientos de los mismos en la Sagrada Familia de Gaudí; en la cripta del
templo barcelonés, también utiliza Gaudí dodecaedros para construir originales lámparas. Tomando como referencia este poliedro regular o el icosaedro, pueden construirse
cúpulas geodésicas como la
del museo Dalí de Figueres
(Fig. 55).
Fig. 54
Fig. 55
161
7
UNIDAD
7
CUESTIONES Y EJERCICIOS
1. Elaborar una tabla resumen que clasifique
los diferentes tipos de superficies.
Tetraedro
2. Representar un tetraedro de 3 cm de
arista, con una de sus caras contenida
en un plano horizontal de cota 2 cm.
3. Determinar las proyecciones diédricas
de un tetraedro cuya altura mide 4,5 cm,
en una posición cualquiera del mismo.
4. Representar un tetraedro de arista 4 cm
con una de sus caras contenida en un
plano α (5, 45º, 60º). Diferenciar las
aristas según la visibilidad de las mismas.
7. Representar las proyecciones de un cubo
inscrito en una esfera de 6 cm de radio,
con una de sus caras contenida en
el PH.
8. Determinar las proyecciones de un
cubo de 4 cm de arista, con una de
sus secciones principales contenida en
el plano α (5, 45º, 60º). Diferenciar
las aristas según su visibilidad en ambas
proyecciones.
Octaedro
9. Representar un octaedro de 3,5 cm de
arista con una de sus caras contenida
en el PH; estudiar y diferenciar la
visibilidad.
Hexaedro
5. Representar un hexaedro de 5 cm de
arista y con una de ellas apoyada en
el plano horizontal de proyección,
formando 30º con el PV.
octaedro cuya diagonal mide 5 cm,
disponiendo ésta perpendicularmente
a uno de los planos de proyección.
hexaedro cuya diagonal mide 7 cm,
dispuesta ésta perpendicular al plano
horizontal; diferenciar la visibilidad de las
aristas en cada una de las proyecciones.
11. Representar un octaedro de 4 cm de
arista con una de sus secciones
principales contenida en el plano α
(5, 45º, 60º). Considerando opaco el
plano, estudiar la visibilidad del conjunto.
Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD.
Más actividades en el CD
El verdadero progreso es el que pone la tecnología al
alcance de todos.
HENRY FORD
162

MaquetaciÛn 1

Transcripción

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