Las ecuaciones de Navier

Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Diego Córdoba
Consejo Superior de Investigaciones Cientı́ficas
Instituto de Ciencias Matemáticas
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
¿Qué es un fluido?
El modelo matemático
Olas, tornados, plasma
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
¿Qué es un fluido?
El modelo matemático
¿Qué es un fluido?
Aquella sustancia que, debido a su poca cohesión
intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del
recipiente que lo contiene.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
¿Qué es un fluido?
El modelo matemático
¿Qué es un fluido?
Aquella sustancia que, debido a su poca cohesión
intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del
recipiente que lo contiene.
� Lı́quido, gas y plasma.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
¿Qué es un fluido?
El modelo matemático
El medio continuo
Aristóteles:
El continuo puede ser definido como aquello que
es divisible en partes que, a su vez, pueden ser
divididas, y ası́ hasta el infinito.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Las ecuaciones de los fluidos
La descripción matemática
de un fluido requiere
�
D es un dominio de R3 (R2 )
�
x ∈ D es una partı́cula del fluido
�
ρ(x, t) es la densidad del fluido en el punto x en el instante t
�
u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)) nos da la velocidad que tendrı́a
una partı́cula en cada punto x del espacio y cada tiempo t,
�
p = p(x, t) es la presión en el seno del fluido.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Euler y Lagrange (siglo XVIII)
Leonhard Euler (1707-1783)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Formulación euleriana
u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t))
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Formulación lagrangiana
x = x(a, t) es la trayectoria de la partı́cula que está en
posición a en tiempo t = 0.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Euler y Lagrange (siglo XVIII)
Relación entre las dos:
dx
= u(x, t)
dt
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Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Terminologı́a
∂u1 ∂u2 ∂u3
div(u) =
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
rot(u) =
� ∂u
�
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
3
2
1
3
2
1
−
,
−
,
−
∂x2
∂x3 ∂x3
∂x1 ∂x1
∂x2
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Incompresibilidad
�
div(u) > 0
�
div(u) < 0
Incompresibilidad → div(u) = 0
Conservación del volumen (con ρ constante, conservación de
la masa).
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Conservación del momento
Para la velocidad de la partı́cula u(x(a, t), t),
aceleración :
d
∂u
dx
∂u
u(x(a, t), t) =
+∇x u·
=
+u·∇x u
dt
∂t
dt
∂t
Ası́ que
�
�
∂u
ρ
+ u · ∇x u = Finternas + Fexternas
∂t
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Las ecuaciones de Navier-Stokes
La segunda ley de Newton, la conservación de masa junto con
la incompresibilidad dan lugar a las ecuaciones de
Navier-Stokes:

∂p
∂ui
i

ρ(
+
u
·
∇u
)
=
−
+
ν∆u
+
f
i
i

ε
∂t
∂xi


∇·u =0



 ρ + u · ∇ρ = 0
t
donde
� ν = cte ≥ 0 viscosidad.
� fε = (f 1 , f 2 , f 3 ) fuerza externa.
ε
ε
ε
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Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Fluidos
�
�
�
�
Fluido
Fluido
Fluido
Fluido
incompresible ⇔ ∇ · u = 0;
perfecto ⇔ ν = 0;
homogéneo ⇔ ρ = 1;
ideal ⇔ las tres condiciones anteriores.
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Fluidos perfectos y viscosos
Fluidos perfectos, ρ = 1, sin fuerzas externas:
�
div(u) = 0
(Euler )
∂u
+ u · ∇x u = −∇x p
∂t
Fluidos viscosos, ρ = 1, sin fuerzas externas:
�
div(u) = 0
(Navier − Stokes)
∂u
+ u · ∇x u = −∇x p + ν∆u
∂t
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Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Fluidos perfectos y viscosos
En coordenadas:
� ∂ui
∂ui
∂p
+
uj
= −
+ ν∆ui + fi ,
∂t
∂xj
∂xi
1≤j≤n
� ∂ui
=0
∂xi
1≤i≤n
i = 1, .., n
donde ν es el coeficiente de viscosidad cinemática y
f = fi (x, t) representa un campo de fuerzas externo.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Euler y Navier-Stokes
Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes son un sistema que se
deduce a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton y
la ley de conservación de masa.
C. Navier (1785-1836) y G. Stokes (1819-1903)
Diego Córdoba
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Las ecuaciones de Navier-Stokes en el siglo XX
�
�
Condiciones de contorno (para simplificar tomamos
Ω = Rn , Zn ).
�
1
La energı́a se define por 2 Ω |u(x, t)|2 dx, y de las
ecuaciones se obtiene
1
2
�
Ω
|u(x, t)|2 dx + ν
� t�
t0
Ω
Diego Córdoba
|∇u(x, s)|2 dxds =
1
2
�
Ω
|u(x, t0 )|2 dx.
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Las ecuaciones de Navier-Stokes en el siglo XX
�
�
El trabajo de J. Leray fue pionero en hacer un análisis
matemático de las ecuaciones de Navier-Stokes. En 1933
probó la existencia local de soluciones regulares (con
energı́a finita) donde el tiempo de existencia depende del
dato inicial.
J. Leray introdujo la noción de solución débil.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Resultados
�
�
�
�
�
Existencia y unicidad local de soluciones clásicas, Leray
(1934).
Existencia global de soluciones débiles, Leray (1934).
Existencia global de soluciones clásicas para 2d
Navier-Stokes, Leray (1934).
Existencia global de soluciones clásicas para 2d Euler,
Wolibner (1934).
No unicidad de soluciones débiles para Euler, Scheffer
(1993) y Shnirelman (1997). Con energı́a finita De Lellis y
Szekelyhidi (2009).
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Singularidades
Problemas abiertos:
� Unicidad de soluciones débiles para Navier-Stokes.
� Existencia global de soluciones clásicas con energı́a finita
en R3 .
¿Existen singularidades?
Diego Córdoba
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Torbellinos
Diego Córdoba
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Gotas
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Gotas
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Singularidades
Vorticidad
Olas
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Singularidades
La presencia de dichas singularidades fue conjeturada por J.
Leray como posible explicación del fenómeno de la turbulencia.
De hecho Leray llamó a sus soluciones débiles soluciones
turbulentas, anticipando una conexión entre singularidades de
las soluciones débiles y el fenómeno de la turbulencia.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Singularidades
A finales del siglo pasado, y con ocasión del cambio de milenio
se reflexionó sobre las cuestiones cientı́ficas más relevantes que
quedaban por resolver y que debı́an concentrar los esfuerzos
intelectuales en años venideros. A este respecto el problema de
existencia de singularidades para el sistema de Navier-Stokes
desempeña un papel estelar.
- El Instituto Clay lo ha distinguido entre los 7 problemas por cuya
solución se ofrece un millon de dólares (www.claymath.org).
Diego Córdoba
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Singularidades
Vorticidad
El problema del Instituto Clay de Matemáticas
Consideramos un fluido viscoso, homogéneo e incompresible:

 ut + u · ∇u = −∇p + ν∆u + f (ν > 0, x ∈ R3 , t ≥ 0)
∇·u =0
 u(x, 0) = u
0
�
El dato inicial debe verificar las siguiente condiciones de
regularidad:
|∂xα u0i | ≤ Cα,k (1 + |x|)−k
para todo α, k > 0
y la fuerza exterior
|∂xα ∂tm f | ≤ Cα,k,m (1 + |x| + t)−k
Diego Córdoba
para todo α, m, k > 0
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Singularidades
Vorticidad
El problema del Instituto Clay de Matemáticas
�
Las soluciones admisibles al problema son:
�
�
Para x ∈ R3 , (u, p) ∈ C ∞ (R3 × [0, ∞)) con decaimiento en el
infinito
de la presión y de energı́a finita, es decir,
�
|u|2 dx < ∞ para todo t;
R3
o bien soluciones (u, p) ∈ C ∞ (T3 × [0, ∞)) periódicas y la
presión de media cero.
Diego Córdoba
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
El problema del Instituto Clay de Matemáticas
Problema Clay: Demostrar una de las dos afirmaciones
siguientes:
1. Sea u0 satisfaciendo las condiciones de regularidad.
Entonces siempre existen soluciones admisibles.
2. Encontrar u0 satisfaciendo las condiciones de regularidad y
tal que no existe solución admisible con dato inicial u0 .
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Leonardo da Vinci 1510
“Observad el movimiento
de la superficie del agua,
que se asemeja al del cabello,
que tiene dos movimientos,
de los cuales uno es causado
por su propio peso, el otro por
la dirección de los remolinos;
por tanto el agua tiene
movimientos rotatorios, una
parte de los cuales se debe a la
corriente principal, y la otra a un movimiento inverso y
aleatorio.”
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Singularidades
Tal como ya observó Leonardo da Vinci, el régimen turbulento
se caracteriza por la aparición de remolinos (torbellinos) a muy
diversas escalas espaciales. La aparición de estructuras rotantes
en el seno de un campo vectorial sugiere la introducción de un
operador vectorial clásico que las caracteriza: el rotacional.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
La Vorticidad
En el contexto de la mecánica de fluidos al rotacional del
campo de velocidades se le denomina vorticidad y es un vector
que juega un papel crucial como veremos. La vorticidad se
define como
� ∂u
∂u2 ∂u1 ∂u3 ∂u2 ∂u1 �
3
ω(x, t) = ∇ × u(x, t) =
−
,
−
,
−
∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
La Vorticidad
La vorticidad es un término que sirve para cuantificar la
rotación local de un fluido
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Introducción
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
La Vorticidad
El clásico criterio para la formación de singularidades en
fluidos es el teorema de Beale, Kato y Majda (1984)
� T
Singularidad en tiempo T si y solo si
supx |ω|dt = ∞.
0
�
�
Un fluido muy viscoso no tiene singularidades.
En dimensión 2 supx |ω| está acotado.
http://panda.unm.edu/flash/viscosity.phtml
Diego Córdoba
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Laminar
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Singularidades
Vorticidad
Turbulento
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Singularidades
Vorticidad
La Vorticidad
�
�
�
Flujo regular (suave, laminar...).
Singularidades
Flujo Turbulento.
No existe una explicación matemática de cómo se pasa de un
flujo regular a un flujo turbulento.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Ejemplos clásicos de soluciones a las ecuaciones:
i) Soluciones estacionarias:
u = (γ1 x1 , γ2 x2 , −[γ1 + γ2 ]x3 )
γ1 2 γ2 2 γ1 + γ2 2
p = − x1 − x2 −
x3
2
2
2
donde la velocidad y la presión no dependen de la variable
t. Sin embargo, las trayectorias satisfacen
X (α, t) = (α1 e γ1 t , α2 e γ2 t , α3 e −[γ1 +γ2 ]t ),
siendo α = (α1 , α2 , α3 ).
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Ejemplos clásicos de soluciones a las ecuaciones:
ii) Singularidades con energı́a infinita:
x1
x2
u = (−
,
, 0)
T −t T −t
y
x22
p=
(T − t)2
desarrollan una singularidad para t → T .
iii) Crecimiento lineal (∇u ∼ t) con energı́a finita:
u = (0, f (x3 − tw (x1 )), w (x1 )),
Las funciones w y f se toman periódicas y ν = 0.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad
Ejemplos clásicos de soluciones a las ecuaciones:
iv) Soluciones axisimétricas (variables cilı́ndricas):
u = u r (r , x3 , t)er + u θ (r , x3 , t)eθ + u 3 (r , x3 , t)e3 ,
siendo er = ( xr1 , xr2 , 0), eθ = (− xr2 , xr1 , 0) y e3 = (0, 0, 1).
Si u0θ = 0, entonces u θ = 0 se conserva para todo tiempo
y como consecuencia hay existencia de solución global. Si
u0θ �= 0, el problema a dı́a de hoy está abierto. Para el caso
viscoso ν > 0 solo puede haber singularidades en el eje z.
Diego Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Diego Córdoba
Consejo Superior de Investigaciones Científicas
Instituto de Ciencias Matemáticas
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Estimaciones a priori (ν > 0)
∂p
uit + u · ∇ui = −
+ ν∆ui ,
∂xi
multipliquemos por ui e integremos en Ωn . Integrando por
partes se obtiene
�
�
�
�
∂p
ui uit +
ui (u · ∇ui ) =
−
ui +
(ν∆ui )ui
∂xi
Ωn
Ωn
Ωn
Ωn
de donde se deduce
�
�
�
�
1�
∂u
i
|ui |2 =
p
−ν
|∇ui |2
2 Ωn
t
Ωn ∂xi
Ωn
para cada i = 1, 2, 3. Sumando en las tres componentes y
utilizando la incompresibilidad tenemos
�
�
1d
|u|2 = −ν
|∇u|2 ,
2 dt Ωn
Ωn
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Estimaciones a priori (ν > 0)
que al integrar en tiempo
1
2
�
�
T
�
�
1
|u| + ν
|∇u| dt =
|u0 |2 .
2 Ωn
Ωn
0
Ωn
�
Se puede concluir que la energía Ωn |u|2 se conserva en el
caso ν = 0. Además en el caso viscoso obtenemos una cota
sobre las derivadas
� T�
|∇u|2 dt < C
2
0
2
Ωn
donde C depende de la energía inicial.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Estimaciones a priori (ν > 0)
−
�
Ωn
∆ui uit −
�
Ωn
∆ui (u · ∇ui ) =
y se deduce
�
��
�
|∇ui |2 −
Ωn
t
�
Ωn
∂p
∆ui −
∂xi
�
Ωn
(ν∆ui )∆ui
�
∂∆ui
∆ui (u · ∇ui ) = −
p
−ν
∂xi
Ωn
Ωn
�
Ωn
para cada i = 1, 2, 3. Sumando en las tres componentes
tenemos
�
�
�
d
|∇u|2 −
∆u · (u · ∇u) = −ν
|∆u|2 ,
dt Ωn
Ωn
Ωn
aplicando la desigualdad de Holder al segundo término
obtenemos
�
|
∆u · (u · ∇u)| ≤ ||u||L4 ||∇u||L4 ||∆u||L2 .
Ωn
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
|∆ui |2
Estimaciones a priori (ν > 0)
En dimensión 2: la norma L4 puede ser acotada por
1
2
L2
1
2
L2
||f ||L4 ≤ c||f || ||∇f ||
que implica la desigualdad
�
�
�
�2
d
|∇u|2 ≤ c
|∇u|2
dt Ω2
Ω2
del que se deduce
�
2 ≤ C por la cota
|∇u|
Ω2
�
T
0
�
Ωn
|∇u|2 dt < C
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Estimaciones a priori (ν > 0)
En dimensión 3: la norma L4 está acotada por
1
4
L2
3
4
L2
||f ||L4 ≤ c||f || ||∇f ||
que nos impide obtener una desigualdad similar a la de
dimensión n = 2. Como consecuencia
�
�
d
|∇u|2 ≤ c||u||4L6
|∇u|2 .
dt Ω3
Ω3
Por otra parte
que implica
||u||L6 ≤ c||∇u||L2
d
dt
�
Ω3
|∇u|2 ≤ c
��
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Ω3
|∇u|2
�3
Resultados más destacados
Existencia local (Leray, 1933-34). El problema está bien
propuesto. Existe un tiempo T que depende del dato
inicial tal que hay soluciones regulares para todo t en
[0, T ] (en el caso de Euler véase ).
Existencia global para n = 2 (Leray, Wolibner, Kato,
Yudovich, Ladyzhenskaya) con ν ≥ 0.
Existencia de soluciones débiles. En 1934 Leray introdujo
la noción de solución débil y probó la existencia de
soluciones débiles para las ecuaciones de Navier-Stokes.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Resultados más destacados
Resultados de dato pequeño para n = 3 y con respecto a
la viscosidad ν > 0 (Leray, Fujita y Kato, Giga y Miyakawa,
Kato, Weissler ): Si la norma ||u0 || 1 (o la norma L3 )
H2
suficientemente pequeña, entonces existe solución global.
Criterios de singularidades (blow-up):
Si ν > 0,
� T
�u�kLr dt = ∞ ⇔ singularidad a tiempo T ,
0
donde r , k verifican 2r + k3 = 1, para 3 < r ≤ ∞ (Leray,
Giga, Ladyzhenskaya, Prodi y Serrin ). El caso crítico
k = 3 y r = ∞ se estableció recientemente por
Escauriaza, Seregin y Sverak.
Si ν = 0, (Beale, Kato y Majda)
� T
|∇ × u|L∞ dt = ∞ ⇔ singularidad a tiempo T .
0
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Resultados más destacados
Las singularidades son aisladas, para ν > 0 (Scheffer,
1976 y Caffarelli, Kohn y Nirenberg 1982) . Scheffer aplicó
las técnicas de la teoría de geometría de la medida para
estimar la dimensión Hausdorff del conjunto
{(x, t) ∈ Ω × [0, T ]; |u|L∞ = ∞}.
Su resultado fue luego mejorado por Caffarelli, Kohn y
Nirenberg.
Combinando técnicas analíticas de integrales singulares
con argumentos geométricos, Constantin, Fefferman y
Majda probaron que si la dirección del vector vorticidad
ω(x)
ξ(x) = |ω(x)|
se mantiene lisa en regiones donde la
vorticidad es alta, entonces no puede producirse una
singularidad.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Resultados más destacados
En el caso ν > 0, la existencia de una singularidad es
equivalente a que la presión se haga −∞ en el punto de
singularidad (Sverak y Seregin, 2002).
Hiperviscosidad (Ladyzhenskaya): Para α ≥ 54 , cambiando
−∆ por (−∆)α , hay existencia de soluciones globales.
Existencia global de datos iniciales particulares.
Recientemente Chemin, Gallagher y Paicu prueban que
en dimensión 3 (con ν > 0) existen soluciones globales en
el tiempo con dato inicial que no es pequeño.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
x ∈ R2 ,
Sea el escalar w =

∂p
u
+
u
·
∇u
=
−
+ ν∆u1

1t
1
∂x

1


∂p
u2t + u · ∇u2 = − ∂x
+ ν∆u2
2




∇·u =0
∂u1
∂x2
−
∂u2
∂x1 .
entonces
wt + (u · ∇u1 )x2 − (u · ∇u2 )x1 = 0 ⇒ wt + u · ∇w = 0.
es decir, que la derivada de la vorticidad a lo largo de
trayectorias es cero:
w(X (α, t), t) = w0 (α).
Así �w�L∞ (t) = �w�L∞ (0).
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
También al multiplicar por w e integrar en el dominio
obtenemos
�
�
0=
w(wt + u · ∇w)dx =
wwt dx ⇒
R2
�
R2
|w|2 (t)dx =
�
R2
R2
|w|2 (0)dx,
y en general se puede obtener que todas las normas Lp
(1 ≤ p ≤ ∞) se conservan en tiempo �w�Lp (t) = �w�Lp (0).
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
Como ∇ · u = 0, existe una función de corriente ψ tal que
∂ψ ∂ψ
u = (− ∂x
,
) y por tanto w = −∆ψ (ecuación de Poisson).
2 ∂x1
Estamos interesados en soluciones con energía finita y que
sus derivadas decaen suficientemente rápido en el infinito.
Podemos invertir el operador laplaciano y obtenemos
�
1
ψ(x1 , x2 , t) =
log |x − y |w(y , t)dy
2π R2
que al derivar
1
u(x1 , x2 , t) =
2π
�
R2
D. Córdoba
(x − y )⊥
w(y , t)dy .
|x − y |
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
Aplicamos a la ecuación el operador gradiente ortogonal
∇⊥ = (− ∂x∂ 2 , ∂x∂ 1 )
(∇⊥ w)t + u · ∇(∇⊥ w) = (∇u) · ∇⊥ w
que también puede escribirse como
�
�
∂
+ u · ∇ |∇w| = α|∇w|
∂t
donde α es
α = (∇u)ξ · ξ.
y ξ es la dirección del vector ∇⊥ w.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
Se deduce que para i = 1, 2 obtenemos
�
∂u
1
(x − y )⊥ ∂w
=
(y , t)dy
2
∂xi 2π R2 |x − y | ∂yi
�
� |x − y | � (x − y )⊥ ∂w
1
=
Γ
(y , t)dy
2
2π R2
δ
|x − y | ∂yi
� �
� |x − y | �� (x − y )⊥ ∂w
1
+
1−Γ
(y , t)dy
2
2π R2
δ
|x − y | ∂yi
=I1 + I2
donde definimos una función Γ(r ) ∈ C ∞ que verifique
Γ(r ) = 1 si r < 1 y Γ(r ) = 0 si r > 2.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
|I1 | ≤ cδ|∇w|.
Integrando por partes
�
|w(x + y , t)|
|I2 | ≤c
dy =
2
|y |
|y |≥2δ
�
�
|w(x + y , t)|
|w(x + y , t)|
=c
dy + c
dy ≤
2
2
|y |
|y |
k >|y |≥2δ
|y |>k
≤�w�L∞ (t) ln δ + ck �w�L2 (t)
=�w�L∞ (0) ln δ + ck �w�L2 (0),
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Existencia global n=2 y ν = 0.
Entonces
Sea δ =
|∇u|L∞ ≤ cδ|∇w|L∞ + c ln δ + c.
1
|∇w|+1 ,
sustituyendo se tiene
|∇u|L∞ ≤ c ln(1 + |∇w|L∞ ) + c
Por lo tanto
d
| |∇w|L∞ | ≤ C|∇w|L∞ log(|∇w|L∞ + 1)
dt
y |∇ω|L∞ está acotada por una doble exponencial en tiempo
|∇w|L∞ (t) ≤ ce
D. Córdoba
Cet
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Dimensión n=3.
Sea ω = ∇ × u la vorticidad, y aplicando el rotor a las
ecuaciones obtenemos:
ωt + ∇ × (u · ∇u) = ν∆ω
de la que se deduce

 ωt + u · ∇ω = (∇u) · ω + ν∆ω
x ∈ R3 ,
 ∇·u =∇·ω =0
La ley de Biot-Savart nos permite escribir el sistema en función
de la vorticidad: tomamos ψ = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ) tal que −∆ψ = ω :
�
1
ω(y , t)
ψ(x, t) =
dy función de corriente
4π R3 |x − y |
y u = −∇ × ψ,
1
u(x, t) =
4π
�
R3
x −y
× ω(y , t)dy .
3
|x − y |
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Dimensión n=3.
La diferencia crucial entre 2 y 3 dimensiones aparece en la
evolución a lo largo de trayectorias de la vorticidad; en el caso
de tres dimensiones la vorticidad satisface
ω(X (α, t), t) = ∇α X (α, t)ω0 (α).
En dimensión n=3 las ecuaciones incompressibles de Euler
tienen la propiedad de que las lineas de vorticidad (curvas
tangentes al vector vorticidad) se mueven con el fluido.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Lineas de vorticidad.
Consideremos la curva lisa C= {y (s) ∈ R3 : 0 < s < 1}:
diremos que es una línea de vorticidad a tiempo t si es
tangente a la vorticidad en cada uno de los puntos, eso quiere
decir que
dy
(s) = λ(s)ω(y (s), t)para algún λ(s) �= 0
ds
Una cuenta muy sencilla muestra que las líneas de vorticidad,
de la solución de la ecuación incompresible tridimensional de
Euler, se mueven con el fluido: la curva
C(t) = {X (y (s), t) ∈ R 3 : 0 < s < 1}
satisface
dX
(y (s), t) = λ(s)ω(X (y (s), t))para algún λ(s) �= 0.
ds
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Tubos de vorticidad
Un tubo de vorticidad está formado por la unión de líneas de
vorticidad. En las simulaciones numéricas se observa que
estos tubos se doblan, tuercen y se contraen.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Dimensión n=3.
El operador Dt ≡ ∂t + u · ∇ es la derivada con respecto al
tiempo a lo largo de trayectorias y es natural hacer el siguiente
argumento heurístico
dω
= ω2
dt
ya que ∇u tiene el mismo orden que la vorticidad. Esta
ecuación diferencial ordinaria produce singularidades en
tiempo finito.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Dimensión n=3.
Pero en realidad, ∇u es una convolución de la vorticidad con
un núcleo homogéneo de orden -3 y con media cero en la
esfera unidad. ∇u son integrales singulares de
Calderon-Zygmund.
Tf = VP
�
K (x − y )f (y )dy ≡ lim
�
ε→0 |x−y |≥ε
K (x − y )f (y )dy ,
donde el núcleo K (x) verifica
−n K (x)
K
(λx)
=
λ
�
|x|=1 K (x)ds = 0
Algunas de las propiedades de este valor principal son:
1
�Tf �Lp ≤ cp �f �Lp para cada 1 < p < ∞;
2
En dimensión n = 1 sólo hay un operador con las
propiedades exigidas: la transformada de Hilbert
�
f (y )
Hf = VP
dy
x −y
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelo 1D.
En 1986 Constantin, Lax y Majda estudiaron el siguiente
modelo en dimensión n=1:

wt = (Hw)w




w(x, 0) = w0



�x

u(x, t) = −∞ w(y , t)dy
que se puede integrar y obtener soluciones exactas.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelo 1D.
Propiedades de de la transformada de Hilbert Hf :
1
2
3
4
Z (x) = Hw + iw es el valor de frontera de una función
analítica en el semiplano inferior H − = {z = x + iy /y < 0}
si y → 0.
Si Z (x) = α(x, y ) + iβ(x, y ) es analítica en H − , haciendo
y → 0, entonces α(x, 0) = Hβ(x, 0).
iZ (x, y ) = −β(x, y ) + iα(x, y ) es analítica, luego
H(Hf ) = −f .
ZZ es analítica, Z 2 = α2 + β 2 + i2αβ, luego
2H(fHf ) = (Hf )2 − f 2 ;
(Hβ)2 − β 2
H(2αβ) = 2H(Hββ) =
.
2
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelo 1D.
la ecuación de evolución de Hω y nos queda

(Hw)2 −w 2

 (Hw)t =
2

 wt = (Hw)w
Sea Z = Hw + iw, entonces
Z2
.
Zt =
2
Así Z (x, t) =
z0 (x)
1− 12 tz0 (x)
y por tanto
4w0 (x)
w(x, t) = �z =
.
2
2
2
(2 − t(Hw0 )(x)) + t w0 (x)
Para todo dato inicial donde existe un punto x0 tal que
w0 (x0 ) = 0 y Hw0 (x0 ) > 0 (por ejemplo, para Hw0 (x) = cos x)
existen singularidades en tiempo finito.
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelo 1D.
Pero si a la derivada temporal añadimos un término convectivo,
de forma que la derivada de la velocidad sea una integral
singular de la vorticidad, entonce no puede integrarse el
sistema. En este caso las ecuaciones serían

 wt + auwx = (Hw)w
a∈R
 u = Hw.
x
Para todo a ∈ R existen soluciones autosimilares y la existencia
de singularidades con dato inicial regular para el caso a ≤ 0.
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Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelos bidimensionales
Ecuación quasi-geostrófica superficial (SQG)

q + u · ∇q = 0

 t

 ∇·u =0
u = (−R2 q, R1 q),
ui (x, t) = VP
x ∈ R2
transformadas de Riesz,
�
D. Córdoba
yi
q(x + y , t)dy
3
|y |
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelos bidimensionales
Ecuación de medios porosos (IPM)
u = VP
�

qt + u∇q = 0






∇·u =0

�
�


0


 u = ∇p +
q
−2y1 y2 y12 − y22
1
(
,
)q(x + y , t)dy + (0, q).
4
4
2
|y |
|y |
D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelos bidimensionales
2D:
3D:
(∂t + u · ∇) ∇⊥ q = (∇u) · ∇⊥ q.
∇·u =0
(∂t + u · ∇) ω = (∇u) · ω.
∇·u =0
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Las ecuaciones de Navier-Stokes II
Modelos bidimensionales

















∇⊥ q(x1 , x2 , t)
=
∂q ∂q
(− ∂x
,
)
2 ∂x1
∼ ω(x1 , x2 , x3 , t) = ∇ × u
∇ · (∇⊥ q) = 0 ∼ ∇ · (ω) = 0
(∇u) ≡ SIO(∇⊥ q)en 2D ∼ (∇u) ≡ SIO(ω)en 3D
curvas de nivel of q ∼ líneas de vorticidad
Energía acotada
||u||Lp ≤ ∞(1 < p < ∞)
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Energía constante
∼ ||u||L2 ≤ ∞
Las ecuaciones de Navier-Stokes II

















Modelos bidimensionales
Existencia local de soluciones clásicas.
Existencia global (?)
Criterio de Blow-up
� T
�∇q�L∞ (t) dt = ∞ ⇔ singularidad t = T .
0
Limitaciones geométricas.
∇⊥ q
ω
η= ⊥ =
|∇ q| |ω|
Squirt singularities
�
0
T
�u�L∞ (t) dt < ∞.
Simulaciones numéricas �∇θ�
�∇θ�L∞ (t) ∼ et (IPM)
D. Córdoba
L∞
(t) ∼
t
e
e
(SQG)
Las ecuaciones de Navier-Stokes II
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D. Córdoba
Las ecuaciones de Navier-Stokes II