EL FACTOR EDAD

Publicaciones del Instituto Nacional de Previsión
EL FACTOR EDAD
EN LAS
TABIFAS DE LOS RETIROS OBREROS
POR
GUILLERMO
MARTÍNEZ
Teniente Coronel retirado, antiguo Profesorde la Academia
de Artillería de Segovía.
M a d r i d , 1 9 0 9 . - I m p r e n t a de la Sucesora de M. MInuesa
d e los R Í O S , Miguel S e r v e t , n ú m . 1 3 . - T e l é f o n o 6 5 1 .
EL FACTOR EDAD
en las tarifas de los retiros obreros.
Cualquiera que sea la forma del contrato que se establezca
entre un asegurador, que contrae el compromiso de pagar cierta
suma—sea á la muerte del asegurado, ó sea en época por otra
causa determinada, y, en dicho caso, viva éste ó no viva—, y
la persona asegurada por otra parte, la cual sé propone pagar
ciertas cantidades iguales á intervalos periódicos, ó acaso también su valor en una sola vez, el cálculo tiene por base la
igualdad de los compromisos que ambos lian de cumplir, valorados en el momento mismo de la contratación.
El valor actual del compromiso del asegurador da exactamente la suma que debería pagar el asegurado como precio de
la operación concertada; por lo que este valor, que es llamado
prima única, representa realmente el recíproco compromiso
de ambos, y será bastante, una vez aquél determinado, proceder, en vista de la forma de pago qué el asegurado desee, á
calcular cuál debe ser el importe de cada una de las entregas
que baga para que su totalidad dé un valor actual igual á
aquél de la prima única, La determinación de ésta y su transformación en primas anuales tienen por base el conocimiento
de las anualidades vitalicias; ó, más propiamente dicho, como
éstas y aquéllas reposan sobre las reglas del descuento á interés compuesto y sobre el conocimiento de las tablas de mortalidad, una vez prefijados ambos elementos, las dos categorías
de operaciones, que tienen por objeto, respectivamente, rentas
y seguros, operaciones aquéllas que suponen vida de una persona y estas otras haber ocurrido su muerte, vienen á ser es-
-
6—
pecies de un mismo género, son órdenes de una misma clase:
hay realmente una síntesis suprema que los reúne, pues que
abarca la totalidad posible, la vida ó la muerte del individuo,
y la suma de ambas probabilidades, dentro de un período cualquiera, y en todo momento, está representada por la certeza
absoluta: de aquí el enlace entre ambas categorías, sobre el
cual enlace, muy someramente, vamos á hacer algunas elementales consideraciones.
La íntima relación entre seguros y anualidades está cifrada
en la expresión
A¿••'==> v (1 -f- a¿) — ax,
en la cual Ax representa la prima única para un seguro de 1
sobre la cabeza de x años de edad; ax, la anualidad ó suma constante pagada á fin de cada año á una persona de x años hasta
su muerte, ó bien renta vitalicia, como ordinariamente es llamada. Sean también: i, el interés obtenido realmente en un,
año sobre un capital 1; v = (1 -{- i) - 1, el valor descontado
de 1 al interés anual i, y d, el descuento. Este, á, es igual,
por tanto, á 1 — v, é igual al valor actual de i, esto es, á v X i"
y, del mismo modo, el valor descontado v puede sustituirse por
su igual ó equivalente 1 •— d. Queda entendido que la anualidad, representada por ax, consiste en pagar, como se ha dicho, 1 al fin de cada año que cumpla (x), y que las primas de
los seguros corresponden al pago de ellos al fin del año en el
cual ocurre el fallecimiento de {x). Este valor de las primas
es inferior al que para ellas resultaría de suponer el seguro
pagadero en el momento de la muerte, ó que es pagado, ó bien
está su importe disponible, al principio del año dentro del cual
ocurre el fallecimiento; pero estas diferencias resultan de ininfluencia pequeña si se atiende á que realmente los siniestros
se producen sucesivamente y se reparten dentro de cada año
que se considere, y cabe suponer que en número igual en cada
una de, sus mitades: la costumbre actuarial inglesa es la hipótesis adoptada.
Un sencillo razonamiento conduce á la fórmula más arriba
escrita, que expresa la relación que liga la prima de seguro y.
la anualidad sobre una misma cabeza, cualesquiera que sean
la tabla de mortalidad con que se opere y el interés que se presuma seguramente asequible. En efecto: si se consideran dos
anualidades sobre una misma cabeza de edad (x), que han de
pagarse: la una, al término de cada año que empiece, y la otra
al fin de todo año que acabe (%) con vida, claro es que la diferencia entre las dos es el valor de la suma 1, pagadera al
terminar el año comenzado, pero no acabado, por (x); es realmente el valor de 1, pagadero al fin del año de la muerte, ó lo
que es lo mismo, el valor de un seguro de 1 sobre la cabeza
de (%).
Cabe llegar á esta conclusión de otra manera, también brevemente y con la misma claridad. La diferencia de las anualidades podemos establecerla consignando que, al término de
cada año comenzado por (x), ha de recibirse la suma 1, y al
término de cada año concluido co,n vida ha de abonarse la
misma suma 1; el año, pues, de la muerte de (x) es cuando
queda la unidad, que se recibe por haber comenzado libre para
pagar el seguro, toda vez que no procede pagar anualidad. Si
del valor, pues, de la primera anualidad, que es v (1 + ax), se
resta el de la anualidad ordinaria ax , el valor del seguro será,
como se dijo más arriba,
Áx = v (1 + ax) — a& (1),
fórmula que puede transformarse haciendo entrar en ella i ó d,
dándose así lugar á otras varias que, si bien algebraicamente
serán equivalentes, al producir, traducidas al lenguaje ordinario, enunciados diversos, ofrecerán significaciones particulares
dignas de estudio. Nos limitaremos á dos de las posibles: una,
haciendo entrar en ella el tanto por 1 i, y otra, que resultará
de introducir su valor actual, ó descontado á = ! ) X ¿
De Áx = v (1 + ax) — axse deduce, poniendo
, • en
lugar de v,
A ^ - 1 + ^ L ^ a ^
1 -f- % .
1 a XÍ
~* 1 -f- *
=
v{l-iXax){2);
y escribiendo en ésta v — v i ax por v i su igual d, y por v su
igual 1 — d, será
k¿í.==•. 1 — íü:— á a«, = 1 — d (1 + ax) (3).
La fórmula kx (1) expresa en su forma más sencilla la relación entre el seguro y la anualidad. La fórmula A¿ (2) dice
que si un seguro de 1 hubiera de haber vencido á fin del primer año de concertado, hubiera sido v el valor de la suma á
pagar; pero como el pago no ha de verificarse sino al fin del
año en que tenga lugar la muerte de (x), es necesario disminuir aquel valor del importe, durante la vida de {%), de los
intereses del capital v, que son t X * X % , resultando que la
suma debida al fin del año aquel, el de la muerte de (%), es la
diferencia v — v X.¿ X «*; ==, v {1 — i ax) = Ax •
Análogamente, la fórmmla Ax (3) dice que si, en lugar de
suponer, como se ha hecho en el caso anterior, pagadero á fin
de su primer año, un seguro de 1, se considerase que lo había
de ser en seguida, su valor sería 1; mas como no lo es, realmente, hasta el fin del año de la muerte de (ce), habrá que disminuir la unidad de lo que importe el interés; pero el valor
descontado del interés i de 1 por año es d, como le hubimos de
llamar; luego el valor descontado, ó valor actual, del interés,
durante todos los años que empiece con vida (x), será d, multiplicado por (1 -f- ax), y restando, será, finalmente, 1 •— d
(1 + 0.,) = A» (3).
La anualidad en función de la prima única, deducida de
l
A
esta última, será sencillamente ax — •
=—
• 1.
a
Partiremos de esta fórmula de la prima única de un seguro
para seguir viendo el enlace y dependencia entre anualidades
y seguros, sean las primas de éstos únicas ó anuales.
Sabido es que basta, para pasar á las primas anuales desde
la prima única, considerar á ésta como el valor de una anualidad pagada por adelantado, forma de pago de las primas
anuales, de cuya anualidad la suma de sus actuales valores es
la prima única. Por tanto, bastará dividir el valor de ésta por
el precio de 1 + ax de la anualidad 1, pagada por adelantado,
para que el cociente nos dé el número de unidades de una
anualidad vitalicia, cuyo importe, equivale y sustituye al i m porte y valor de la prima única; será, pues, llamando Px á la
'••'• '"';;
A
prima anual, Px == — — ~ — .
1 -f-.'»«,
Esta es la norma general adoptada en la contratación: el
pago periódico, en lugar del pago único, que dificultaría, por
modo extraordinario, el beneficio del seguro. Por este motivo
vamos á examinar los resultados á que conduce la transformación del valor de Px , dejándolo en función tan sólo de Ax , ó
bien de ax .
Si sustituímos por Ax la expresión (3) de la prima única,
será
•
P
_
1 — <? (1 + «»)
í x —
z
;
1
1: + %
y si por ax , se escribe
1 — Ax
ú
. ,
,.
—-—;
—
(l,
1 + Ct,x
i
- r.
1, sera P~. —
A
d
*
1 -— A.x
í
A
*
Ax
Ambas expresiones son. equivalentes, poro son distintas
sus significaciones respectivas, según se deduce de la traducción
de ellas al lenguaje ordinario, modo por el cual se reconoce
y establece la concordancia que debe existir entre los datos de
naturaleza real en los problemas con los resultados á que conducen los procedimientos algébricos. Veamos el primero de
aquéllos, que es relación entre prima y anualidad.
Si se conviene que en lugar de un pago único de valor 1 se
hagan entregas por adelantado durante toda la vida de (as), el
importe de cada una de éstas es . 1
, y este valor, para
-\~ 0¡x
que haya equivalencia, ha de comprender, al mismo tiempo
que el' interés anual d sobre la unidad mientras la vida
de (x) dure, otra cantidad para el reembolso de la unidad después de la muerte. Pero, tratándose d e s u n seguro, la suma 1
no se ha de entregar desde luego, como se ha dicho en el su-
' — 10
-
puesto anterior, para buscar aquella equivalencia, sino que
no hace falta, porque no ha de abonarse hasta terminar el año
de la muerte de (x). Claro es, por consiguiente, que no hay
que pagar intereses durante la vida de (x), y hay que restar,
por tanto, el interés d del valor encontrado
,
, como
1 "T" (t¡%
equivalente anual del pago único 1; el resto es, pues,
.
l + ax
(j
a
p
.
— r* '
esto es, la prima anual, pagadera por adelantado, para asegurar
el capital 1 al fin del año de la muerte de (x). De lo dicho se sigue que, si se hace por una persona el pago único 1, á que nos
acabamos de referir, para recibir una renta sobre su cabeza, el
importe de ella al principio de cada año será
¡
1 ~T~ ax
, yesta
cantidad recibida comprenderá por una parte el interés d de
la suma 1 durante la vida del rentista, más la prima Pa; para
el seguro de la unidad después de la muerte. Si, pues, en el
momento mismo en que se toma la anualidad P x -f- d procedente del capital 1 entregado al asegurador, se contrata una
póliza de seguro por el mismo capital pagadero á la muerte
del rentista,1'el valor de ambos contratos desde el primer momento, y en la sucesión de cada uno de los días del contratante, siempre será 1 (*), porque la anualidad dará el interés de
la inversión ,d,- más la prima P x debida cada año al asegura(*) Uno de los dos sumandos es siempre igual á la suma, menos
el otro sumando, trátese de cantidades constantes ó variables ligadas
por ese elemental algoritmo; de modo que, al cabo de un número cualquiera n de años, el valor de una póliza de seguro en función de la'
anualidad será 1, menos el valor que la anualidad tenga al propio
tiempo; esto es: 1
;—-^
—, que se representa por el símbo-
X -r~ Clx
lo nYx, que es la reserva de la póliza al fin de n años, de estar en
vigor un seguro ,ordinario de vida contratado aquel número de años
antes. En los seguros sobre la vida á pagos limitados, y en los llamados mixtos ó dótales, las anualidades á considerar son las temporales,
en lugar de las vitalicias en que nos hemos ocupado.
11
dor, pues que d y Px son los sumandos del valor de la anualidad, y la póliza proporcionará el reintegro del capital entregado cuando cese la anualidad, la cual, como adelantada, proporciona pagar á su debido tiempo la prima del seguro.
Si de la expresión de la prima anual en íunción de la anualidad despejamos ésta en función de aquélla, será igualmente fácil explicar el sentido de la forma resultante. Sea,
pues, ax ='—5———
1. El denominador Px -f- d es una
anualidad, pagadera por adelantado, cuyo precio es 1, porque
contiene á d, que es el interés de dicho precio 1, pagado por
adelantado y durante la vida del comprador, y á Px,. que es
la prima de un seguro 1, que reembolsaría á los derechohabientes del comprador del pago 1 que éste hiciera para adquirir la anualidad al terminar el año de su muerte.
Ahora bien: si la anualidad Px -f- d cuesta 1, la anualidad
de valor 1, por una sencilla proporción, se ve que es —5—•—f-¡.
pero esta anualidad de que se viene hablando es pagadera por
adelantado, y, como se trata del valor de la anualidad ordinaria ax, deberá restarse de aquel valor el primer pago 1, y
será, por consiguiente, ax = —-—•—¡
1.
;
Px + d
Ejemplos numéricos de la relación entre tales elementos
presenta el siguiente cuadro:
Capital 1 para renta; capital del seguro, 1;
i = 0,035 v = 0,966185.
1
a
Edad.
25
30
35
40
45 '
50
55
60
x
19,387
18,441
17,349
16,103
14,706
13,172
11,528
9,823
l +
ax
0,049055
0,051433
0,054498
0,058469
0,063669
0,070562
0,079821
0,092395
¿jíj
0,015240
0,017620
0,020680
0,024650
0,029850
0,036750
0,046000
0,058580
l—v
d =
00
co
co
0
0"
0,049055
0,051435
0,054495
0,058465
0,063665
0,070565
0,079815
0,092395
— 12 —
Las cifras de la misma fila en las columnas tercera y sexta
son verdaderamente iguales, porque la pequeña diferencia en
millonésimas sólo tiene realidad efectiva en céntimos para
operaciones superiores en. cantidad á 100.000 unidades de capital.
Viniendo ahora á la otra fórmula que da la prima anual en
función de la prima única, veamos cómo ella dice que la prima
anual es el interés de la prima única necesaria para asegurar
su propio reembolso, al mismo tiempo que el de la suma asegurada al terminar el año de la muerte del asegurado. Si se
supone que el asegurado no quiere pagar la prima única de su
seguro y pretende que el pago se difiera hasta terminar el año
de su muerte, comprometiéndose á pagar el interés de la operación al principio de cada año de su vida, la prima única,
base de cálculo de este interés, será la necesaria para asegurar,
al mismo tiempo que el capital del seguro, el reembolso de la
prima, puesto que, al llegar el término de aquel año, el asegurado ha de pagar el seguro y ha de cobrar la prima única,
de la cual sólo ha recibido los intereses. Ahora bien: si A'x representa esta prima única, la suma de que ha de cubrirse el
asegurador es A'x + 1, cuyo valor actual es Ax (1 -f~ A' x ), á
lo que equivale el compromiso A'x del asegurado, puesto que
éste debe pagar, como sabemos, al contratar su seguro, el
valor actual de la obligación que el asegurador contrae; y de
'
'A
tal expresión, despejando, A'x == — ~—: el interés de esta
1 A.x
suma, que debe ser pagado á principio de cada año por el aseA
rado [x), es, pues, d X —¡ ^r—, que es la prima anual del
1 •
Ax .
seguro de 1, según la fórmula que encontramos de la prima
anual en función de la prima única.
Otra interpretación puede darse á la expresión formular
que nos ocupa, considerando, como antes, que el asegurado
desea no pagar la prima única, pero quiere entregar anualmente, por adelantado, los intereses de ella, y que su importe
sea descontado de la suma asegurada al recibir ésta su beneficiario al final del año de la muerte. El interés de la prima
Ax será d Ax , y por este concierto, el dueño de la póliza reci-
•
•-
-
13 —
birá, al hacerse ésta efectiva, el capital 1 — Áx, por lo que
aquella cantidad d kx representa la prima de. un seguro de
valor 1 — Ax: la prima del seguro cuyo importe sea 1 se
•,••.,'
$ Ax
.•.:,
.
1 — Ax
1deducira ser —7
-— de la proporción —3—r
= -=—.
í
• Ats
••
d Ax
Yx
En correspondencia con la tabla anteriormente inserta,
véanse, á las mismas edades, los valores de las primas únicas,
cuyos intereses son las primas anuales; como en aquélla, el
interés presupuesto es 3,50 por 100, y d igual á 0,033815:
iKx
^•x
r
x
Edad.
25
30
35
40
45
50
*«
0.01524
0,01762
0,02068
.0,02465
0,02985
0,03675
0,04600
0,05858
• 55
60
0,31061
0,34257
0,37949 .
0,42161
0,46889 •
0.52079
0,57634
0,63400
1
1 — •*•»
A-x
0,01524 '
0.01762
0,02067
0,02465
0,02985 '
0,03675
0,04600
0,05857
0;45056
0,52108
. 0,61126
0,72894
0,88285
1,08680
1,36040
' 1,73220
.. Observando las anteriores cifras bien se ve, de acuerdo con
' •
•
••••••,
.'-'•.-' d A
'
" • ' . ' ' ' . '
lo establecido, que los intereses —-—^— de las primas úniA
'' -v
'.*"••'
-•''••'
'••'.•/"
cas ——~—
1 — A* son iguales á los valores de la prima anual P*
para el seguro de capital 1.
.
'•'. "
De lo últimamente expuesto se deduce que, si en la gestión
del seguro se presentan casos, en que se desea pagar sólo el
interés débeoste del seguro, dejando éste á cargo del beneficiario, puede hacerse ver en seguida al proponente que lo que
pretende no ofrece ventaja alguna, presumida tal por él; que
de proceder así, lo que se hace es reducir él importe del capital, el cual, disminuido como en la fórmula sé expresa desde
1 hasta 1 — Áx\, pide como prima la correspondiente á la
diferencia entre el capital nominal del seguro y el valor de la
prima única. Cierto es; como quedó demostrado anteriormente,
que la prima pura ordinaria representa intereses; pero son los-
-
14 -
del valor de la prima, que nos permitiremos llamar doble
prima única, pues que ha de proveer, al mismo tiempo que á
la suma asegurada, al reembolso del valor actual del seguro á
la edad de su contratación; y en el caso de referencia no es
esto, pues que desde d Ax [que es la prima de 1 — Ax , al par
que intereses de la prima Ax~¡ hasta —
%— que representa
los intereses de la doble prima que hemos llamado, y que es la
prima anual que da el seguro del. capital sin disminución, hay,
la distancia que se ha señalado, y sobre la que no hay necesidad de insistir. Un ejemplo numérico acabará de esclarecer
por entero, este asunto; y, para terminar, fijémonos en la primera edad de los cuadros anteriores. A 25 años, Tabla H m , y
3,50 de interés, siendo kx = 0,31061 y d = 0,033315, su
producto es 0,0105, que es la prima correspondiente al capital 1 — 0,31061 = 0,68939, como se deduce directamente del
producto de este capital reducido por la prima para 1 igual
á 0,01524, que, á su vez, corresponde perfectamente con el
interés de la prima única 0,45056 del seguro total. En el sentido que se viene hablando, pagar sólo intereses es disminuir
el capital presupuesto, es pagar solamente el coste de un seguro, por tal, manera reducido. El resultado, como es lógico,
siempre el mismo: á una tabla de mortalidad y á un interés
prefijado,.en edad marcada, cada unidad de desembolso asegura una cantidad precisa; hay correspondencia en la igualdad,
•como hay correspondencia en la suma; son cantidades proporcionales los capitales asegurados y las primas únicas ó anuales.
Es de capital importancia la condición que se ha establecido.- En cada edad, la probabilidad de cuya vida es base esencial de cálculo, puede afirmarse la proporcionalidad anterior;
pero sería absurdo establecerla á diferentes edades como resultado de admitir un mismo precio, para una misma especie de
seguro á edades que variaran, por ejemplo, de 20 á 60 años.
En los resultados que debe producir el desembolso de una
unidad á 20 años de edad, como á 60, como á una edad cualquiera en que se haga, y ya se. refiera el seguro que quiera
determinai'se á vida ó á muerte, hay que tener en cuenta» la
esperanza matemática, entrando á formarla la probabilidad
15 —
respectiva á uno ú otro fin. Representadas, como es sabido,
por px j qx, ellas varían por modo que se concreta, según la
tabla de mortalidad que se adopte, así como queda por igual
manera fijo el otro factor que en la esperanza entra, señalado
el interés con arreglo al que se determina, por descuento compuesto, el valor actual de la suma que se espera haya de cobrarse ó pagarse por consecuencia del concierto establecido
entre asegurador y asegurado.
Estas razones justifican que es necesario atender la edad
en el seguro, si ha de cimentarse éste sobre bases de la más
completa y satisfactoria seguridad
-.
Bibliografía para el estudio de las bases técnicas del Instituto
Nacional de Previsión, y, en especial, de las operaciones de renta vitalicia diferida.
Instituto Nacional de Previsión, y sus relaciones con las entidades similares. Publicación del Instituto de Eeformas Sociales. — Madrid, 1906. Maluquer y Salvador: Tecnicismo del proyecto, pág. 236
y siguientes. •
••
P. H. Shaw: Teoría y práctica del seguro de vida. — Madrid, 1907.
López Núñez (Alvaro): Él seguro obrero en
1908.
España.—Madrid,
Puyol Lalaguna (Mateo): Manual de seguros sobre la vida. —- Za :
ragoza, 1909.
El Jefe de Publicidad y Biblioteca del Instituto (Sagasta, 6, Madrid) contestará á las consultas sobre ampliación de estas indicaciones bibliográficas. '