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fr : :
t
TEI\{A 3.I. Geometríaplana
I. LA RECTA
t
A = (*u,yo)
Puntof,jq de la recta
X : (x, y)
Puntoqenéricode la recta
VO = (ur,uzJ Vectordirectorde la recta
Podemosdefinirla rectade distintasformasen funciónde los anterioresdatos
a. Ecuaciónvectorial
oi = o.i.r ñ
b . Ecuacionesparamétricas.seobtienensustituyendo
lascoordenadas
de los vectores
que aparecenen la ecuaciónvectorial:
( " .y )= ( " . . 1 , ,-) i . . ( u ,u. . ) : > ' l , 1 " = * , , + ) . . u r
[y=]'o+^.u2
t
)
c. Ecuación continua, despejandoel parámetroi en las ecuacionesparamétricase
igualandoambosresultados:
,
t-*,,
u1
X-Xn
y-y.
ul
Y-Y,t
u2
u2
d. Ecuacióngeneralo implícita, la conseguimos
simplificando
la ecuacióncontinua
A x + B y + C : 0 , d o n d eA = r , y B : - u r
Otrasformasde definiciónde la recta utilizanla pendienteo inclinación,o bien
puntos
sus
de corte con los ejescoordenados.
26
t
;,,',j:,
ij r ;l i ,
s
1
Q
f
A?r:
ñünt[f
-
-.¡t
A
,
frinur ñ.fi. (rrntrn
bcEstubios
suprriurrs
*
La pendiente, se define como la
tangentedel ánguloque forma la recta
con el eje OX:
m=tBü . = m - u z u1
e. Ecuaciónpunto-pendiente:
y - yo = m(x - x")
f. Ecuaciónexplícita:
y: mx + b
g. Ecuacióncanónica:
i-i=
t
2. POSICIONES RELATI\¡AS
Dos rectas,r y s. en el plano, puedenser.
r = Ax+By+C = 0,(*, = -AiB) y s= A'x*B'y*C'= 0. (*. = -A7B')
A B C
a) Coincidentes
. m '- =¡ n lA. - ' B ' C '
b) Paralelas.
mr
_ñ
A
B
...-......___+_
C
S A I B ' C '
c) Incidentes: mr É ms
Se cortan en un punto P, cuyascoordenadasse
obtienenresolviendoel sistemaformado por las
dos rectas
c.1) Perpendiculares:
d ,= g C P t ü , . i . = 0 ,
puesto
que
las
coordenadas de los vectores directores son
ü. = (-B,A) y i, = (-g',R),
las
rectas
perpendiculares
verifican:
A . A ' + B . B ' =0 : ) m -
I
ms
Es decir tiene pendientesinversasy de signo contrario
,
t
--.=*
r - i , . : r 1 :, ; . '
27
Suntur $linux fi,í[,ornrrrhrEsrubirrr
suprriu*s
3. PROBLEMAS METRICOS
a. Distanciaentre dos puntos
t
t
Seanlos puntosA = (x,, yr) y B = (*r,yr), r. definela distancia
entreA y B como
t
t
t
=m
a(a,n)
t
b. Puntomediode un segmento
t
Puntomediodelsegmento
AB, U = IA*L,
\
¿
Y r- Y z )
2 )
c. Distanciade un punto a una recta
Considerando
el punto P = (xo, yo) y la recta r = Ax + By + C : 0, definimosla
distanciaentrePyr.
d ( P ,r ) =
lA*"+Bx.,+Cl
let - Bt
d. Angulo entre dos rectas
t
t
t
S e a nl a sr e c t a s .
r = Ax+By+C = 0,(-. = -A/B) y s= A'x+B'y+C'=0,(r. = -A7B'),
podremoscalcularel ángulo que forman ambasutilizandoalgunade las siguientes
expresiones
t
t
,
t
A.
A . A ' + B .B '
cosü.=
VAt+82.JA'2+B'2
m -- m -
B tgcx:ffi;
t
4. Rf,SOLUCION DE TRIANGITLOS
ta resoluciónde triángulosconsistefundamentalmente
en obtenersus PUNTOS
NOTABLESy el AREA
Los puntosnotablesdeltriánguloson:
,
a
t
t
- Puntode cortede las medianas:
- Punto de corte de las ahuras.
- Puntode cortede las mediatrices
- Puntode cortede lasbisectrices:
BARICENTRO
ORTOCENTRO
CIRCLINCENTRO
INCENTRO
28
A
s,*+
-+:.,
Suntur Dlinux fi,í[,crnrrnDc
Éstr¡iius
Fuperiu*s
t¡'
i t
4.1.
Area
Se fraza una altura y tomamos su base
correspondiente
^ b.h
t=
z
Secalculanbyh:
b = OÍO,9)- Distanciaentredospuntos
= ]
punto- r ecta
Ih: d( B,r ( A,C)-)> Distancia
b_l
2. l\fedianas
Medianaes la rectaque va desdeun vérticehastael puntomediodel lado opuesto.El
punto de corte de las medianasde un triángulo es el BARICENTRO, las
coordenadas
del baricentrose puedencalcularutilizandola exoresión:
o=(t=.t'*?'t,,)
3. Alturas
La alturaes la rectaque va desdeun vérticeperpendicularmente
al lado opuesto.Las
tres alturasde un triánsulose cortanel ORTOCENTRO.
4 . 1\lediatrices
Mediatrizes la rectaperpendicular
a un segmentoque pasapor su punto medio.Las
mediatricesde los tres ladosde un triángulose cortanen el CIRCLTNCENTROque
es el centrode la circunferencia
circunscritaal triánsulo
Bisectrices
Bisectrizesuna rectaque divideuna ánguloen dos iguales.En un triángulo,sustres
bisectricesse cortan en el INCENTRO, que es el centro de la circunferenciainscrita
en el triángulo.
Parael cálculode las bisectrices
utilizamosla expresión.
Ax+By'-C , A'x+B'y+C'
-r
Gt+#
{t¿+B¿
El signo * se introduce porque todo ángulo tiene dos bisectricesperpendiculares
entre sí. Hay que ver cuál de ellas necesitamos(debe ser la del áneulo interno) v
puedeserla que tieneel signo(+) o la del signo(-)
29
J
' i
: 1 , ;' , 1I;
1l 1:'
iil;
i
f
b:l
_:i:=-^l
.,;,
j;
,j
Suntur llinur fr,íf ,(frnrro
1 1 ; i r
icEsrr¡iinr
suprriurrs
I
/
A
|
1\
\
5:o
J
I
,
l
A
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E"
$untux Díinur fi,íL(f,rnrrn
DrEsrr¡Dins
Fuprriu*ri l
/za:7-."::
'jt,'t:t
;
í
:1 l{
- EJERCICIOSD a d o sl o sp u nto A
s (0 ,1 ),B (-3 ,7 ),
C (5 ,2)D(
, - 1,- 3)E(
, Z,- Z)
y F( 0,0)
a
Representar y calcularlos vectorer,iB,At, Ai,,&, iF, ób, o1, ñ, ni
IJnavezcalculados
estosvectoresdibujaren los ejessusvectoreslibrescorrespondientes
carcurar
ros
móduro,
o.lñl lntibJ 4 l*l l.;,l;rllrü,l"il
r r t ' , l l l l l ' t l l i l l
l
2 Determinarsi los siguientesparesde vectoresson linealmenteindependientes
o no. En caso afirmativo
c a l c u l aer l f a c t o rd e d e p e n d e n c ila( 2. , 3 ) , ( - 1 , 5 ,)l,(}2 , 3 ) , ( - 4 , - 6 ) ){, ( 1 1 2 , 2 ) , ( - 1 , 4 ) } ,
l(4,-l), (_1,4)}
3 Determinarsi los siguientespares de vectoresforman base o no.
{(5,-2),(3.2)},{(1,312),(-4,-6)1,
{ ( 1 , 2 ) ,1(, 4 ) } ,{ ( 5 , - 1 ) , ( 1 , 6 ) } .
4 calcularlascoordenadas
del vector(1,1)respectode la base{(-1,0),(0,-l)}
5 Calcularlascoordenadas
del vector(-3,3)respectode la base{(2,-4),(1,2)1.
6 calcularlascoordenadas
del vector(2.1)respectode la base{(2,0),(3,-l)}.
7 Sabiendoque un vector tiene de coordenadas(0,r) respectoa la base
{(2,3), (5,-l)}, calcularlas
coordenadas
de estevectoren la basecanónica
8 Sabiendoque un vector tiene de coordenadas(5,2) respectoa la base
{(2,1), (-3,4)}, calcular las
coordenadas
de estevectoren la basecanónica.
9 Estudiarla posiciónrelativade los siguientes
paresde rectas
D)
x-l
v+3
5
1
c) x+y-3=0;
I
( x . ) ) = ( 0 . - 3 ) -*3i . . -
1
- l
\
v-l?
^
A
l
l
r¡-ll
-
"
L
l 0 . D a d a l a r e cxt*a m y - 4 : 0 , c a l c u r amr p a r a q usee a p a r a l e l a . = r * ^ '
+
t
-
J
l l.Dadala rectaqx+3y - b:O,calcularay h paraque
seaparalela
a 3x - y * 2:0 y además
pasepor el
punto(- I ,3)
l2 Calcularen todassusformasla rectaquepasap",
de lasrectas
Í-r,llr / y por el puntode intersección
\
r = x + y- 4 = 0 ; s = 2 x - y - 2 = 0 .
/
3I
;
1
;
(f'
(!
|r
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¡yútltlüF Altl[fi
E ,lL, €rntrn
hrEsru¡ius
sup*riurrs r, ,',
-
/
--.
-a
--1
i¡ I
l-i Calcularla rectaque pasapor el puntomediodel segmentoRg siendoA = (-1,4)y B : (2,5) y por el
puntode intersección
de lasrectasr = x - y - 4 :0 y s : x + 2y - 7 : O.
r-1Dado el triángulode vérticesA = (-l ,2),8: (0,112)y C = (5,4) Calcular:
-a
'1
--;
-a
-=
a) Ecuaciones
de los lados
b) Ecuaciones
de las medianas
Baricentro
c)
del triáneulo
I5 Determinaanalíticamente
el áneulooue forman:
-i
a)
b)
c)
d)
-a
<
-
Los dos ejescoordenados
Las dos bisectrices
de los cuatrocuadrantes
El eje de abscisas
con la bisectrizdel primercuadrante
Lasrectasy:x-3yy:-x+8
16 De entrelos siguientes
paresde rectas,indicacuálessonparalelas.
cuálessonperpendiculares
o cuálesse
cortanen un punto sin ser perpendiculares,
hallandolas coordenadas
del punto de intersecciónen su
caso
-
a)
b)
c)
d)
2 x+ 3 y : 0 ; 4 x+ 6 y* 8 : 0
x-y:0;
2x+y-1:0
3x+2y-5:0,
2x-31,+4:0
x-Zy+1:0;
4x+)y:3
17 Hallaun vectorde dirección,un vectorperpendicular
v la pendientede las rectasdel eiercicioanterior.
-.
18 Determinael valor de m paraque los siguientes
paresde rectassean(1) paralelas
y (2) perpendiculares:
-,
-,
-.
a) 2x-3y-5:0;
b) 3x+JY-7:0,
c) -xi3y:m;
6x+nty:7
6x*my:l
2x-6y:2
l9 Halla.en cadacaso,la ecuaciónde la rectaperpendicularaIa rectadaday trazadapor el punto que se
señala
r
a ) r = 5 x - 2 y : 3 , d e s d ee l p u n t o( 1 , 3 ) .
b ) r = 3 x - y + I : 0 p o r e l p u n t o d e r d e a b s c i1s a
x
v
c) r:;+-'-=1,
desdeel punto de intersección
de dos rectascuyasecuaciones
son y = 3x - Z y
-
ii
'
-
)
1
lx=-2t
lv=-2+t
l0 Halla la ecuaciónde la rectaque, formandoun ángulode 45ocon y - Zx:0, pasapor el punto (-2,4).
;
:
:
I i Calculala distanciaentrelos puntos
a ) A( - 5 , 3y) B(2 ,-6 )
=
b)
p( 1,0)y e( - 3,1)
c)
M ( 1,2) ,N( - 2,5 )
JZ
t
Suntur 0linur fi,íL(frntrnürEsrrriins
superiurts
-'--:
-:
ll Hallala distanciadel punto A(-1,4) a cadauna de las rectasdel ejerciciol6
li Halla la ecuaciónde la mediatrizdelsegmentodeterminadopor los puntosA(-1,2) y B(3,0), y el ángulo
que forma con el eje OX
l - 1H a l l a u n p u n t o d e l a r e c t a x - 5 y + 4 : 0 q u e e q u i d i s t a d e l o s p u n t o s M ( 1 , 4 ) y N ( - 1 , 2 ) .
15 De un paralelogramo
ABCD se conocenlos vérticesA(1,3),B(5,1)y C(-2,0) Hallalas coordenadas
del
verticeD y el áreadel paralelogramo.
l6 Halla el áreadel triángulodeterminado
por el punto C(1,-3)y por los puntosde intersección
con los ejes
coordenados
de la rectaquepasapor A(-1,3)y B(1,4)
17 Los puntos A(2,-3), B(-2,-2) v C(0,3) son los vérticesde un triángulo ABC. Calculalas siguientes
ecuaciones:
,-------4
a) Medianacorrespondiente
al vérticeA
b) Altura correspondiente
al vérticeB
c) Mediatrizcorrespondiente
al lado AB
Determinaque clasede triánguloes el ABC y hallasu área
-4
-<
lS Hallael punto simétricode A en los siguientes
casos.
a) A(-1,3),respectode la recta3x - 2-v+ 5 : 0
b) A(0,-5),respectodel puntoM(3,4)
c) A(4,1),
respecto
delarecta
+
1
=+
L
19 Halla ei oñocentro. baricentro,circuncentroy el área del triángulo cuyos vérticesson el origen de
coordenadas
y los puntosA(-1,7)y B(a.3).
-r,, Hallael circuncentrodel triángulocuyosvérticessonA(2,2), B(-2,2) y C(-2,-2).
,,11
Hallalas ecuaciones
de lasbisectrices
de los ángulosformadospor las rectas
r=5x -12y:0; s=3x-4y+21:0,
comprobando
que sonperpendiculares.
-rl Hallalas ecuaciones
de las bisectrices
de los ángulosformadospor las rectas
8 x+ 6 y : 5 ; 5 x- 1 2 y : 0
-)J
J
A
4:
.ts,
SUntUr DlinUr fi ,í[,€rnrr¡brEsruüinr
suprriurtr
r; :i ij:r
r
---.
3 3-
( s e l - j u n - 9 6 ) D a d o s l o s v e cdt ,o6r e
s t a l e s q u jea l : 3 , I á i : t V : 4 y
yd
lrl
á+b+é =0,calcular
l a s i g u i e n tseu n l ad e p r o d u c t o s e s c a l a rde.sb: + b I + d . ó
-t
-,
(sel-jun-96)Señalarsi las siguientes
3'1afirmaciones
on verdaderas
o falsas.En casode serciertas,
-,justifiquense'encaSocontrario.póngaseejemplosqueloconfirmen:
a) El productomixto de tresvectorescualesquiera
no nuloses siempredistintode cero
-
b) Si d, 6 y d sontres vectoresdel espaciotridimensional
R3 no nulosque satisfacen
la condición
-,
-',
d . b = d . Z , e n t o n c essev e r i f i c aq u e á = d
35 -
-',
(sel-jun-96)SeaABC un triánguoisósceles,
cuyo ángulodesiguales A. Hallarel cosenodel ángulo
A sabiendoque las medianastrazadas
desdelos vérticesB V C sonreciprocamente
perpendiculares.
(Sugerencia.Tomar ejescoodenados
XOY haciendoque el eje OX coincidadcon BC y que el eje
OY coincidacon la alturadesdeel vérticeA a BC)
34
a