Clase 15 - Capítulo 6: Controlabilidad y Observabilidad Parte 1/4

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Clase 15 - Capítulo 6: Controlabilidad y Observabilidad
Parte 1/4
1. Controlabilidad
2. Definiciones
3. Control de mínima energía y gramiano
4. Tests PBH de controlabilidad
5. Ejemplo Matlab: plataforma suspendida
Introducción
En este capítulo (4 clases) introducimos dos conceptos fundamentales de
teoría de sistemas: controlabilidad y observabilidad.
Estos conceptos describen la interacción entre el mundo externo (entradas y
salidas) y las variables internas del sistema (estados).
Controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un
sistema puede ser controlado por medio de sus entradas.
Observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del
sistema puede detectarse en sus salidas.
Como de costumbre, veremos primero sistemas lineales estacionarios, luego
sistemas lineales estacionarios discretos, y finalmente lineales
inestacionarios.
Controlabilidad: definiciones y tests
Sea el sistema lineal y estacionario de n estados y p entradas
ẋ = Ax + Bu,
con A ∈ Rn×n y B ∈ Rn×p .
(1)
La controlabilidad relaciona entradas y estados ⇒ la ecuación de salida es
irrelevante.
Definición (Controlabilidad)
La ecuación de estados (1), o el par (A, B), se dice controlable si para
cualquier estado inicial x(0) = x0 ∈ Rn y cualquier estado final x1 ∈ Rn ,
existe una entrada que transfiere el estado x de x0 a x1 en tiempo finito. En
caso contrario, la ecuación (1), o el par (A, B), se dice no controlable.
La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de
cualquier estado inicial al cualquier estado final en tiempo finito, no
importando qué trayectoria se siga, o qué entrada se use.
Ejemplo (Sistemas no controlables)
Veamos el sistema eléctrico de la izquierda en la figura. Es un sistema de
primer orden; variable de estado x: la tensión en el capacitor.
1
+
+ x -
u
-
1
1
+
y
-
1
Si el capacitor está inicialmente descargado x(0) = 0 ⇒ x(t) = 0 para todo
t ≥ 0 — la tensión u de entrada no afecta. Este sistema es no controlable.
Ejemplo (cont) (Sistemas no controlables)
El siguiente sistema eléctrico tiene dos variables de estado, las tensiones en
los dos capacitores, x1 y x2 .
+
1F
x1
+
+
1F
x2
-
-
u
-
1
1
Ahora la entrada puede llevar x1 o x2 a cualquier valor, pero no puede llevar
x1 y x2 a distintos valores.
Por ejemplo, si x1 (0) = x2 (0) entonces x1 (t) = x2 (t) para todo t ≥ 0
independientemente de u. Este sistema tampoco es controlable.
Teorema (Tests de Controlabilidad)
La siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. El par (A, B), A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p , es controlable.
2. La matriz de controlabilidad,
ˆ
C = B AB A2 B
···
˜
An−1 B ,
C ∈ Rn×np ,
(2)
es de rango n (rango fila pleno).
3. La matriz n × n
Z
Wc (t) =
t
Aτ
T
e BB e
AT τ
0
es no singular para todo t > 0.
Z
dτ =
0
t
T
eA(t−τ ) BB T eA
(t−τ )
dτ
(3)
Demostración
(1⇒2) Sean x0 y x1 ∈ Rn y t1 > 0 cualesquiera. Como (A, B) es controlable,
existe u(t) que lleva x de x(0) = x0 a x(t1 ) = x1 en t1 . De la fórmula de
variación de los parámetros
x1 = x(t1 ) = e
At1
t1
Z
x0 +
eA(t1 −τ ) Bu(τ )dτ,
0
t1
Z
eA(t1 −τ ) Bu(τ )dτ = x1 − eAt1 x0 .
| {z }
⇔
0
(4)
z
Expresamos eA(t1 −τ ) como un polinomio de orden n − 1 en A (Capítulo 3)
e
A(t1 −τ )
=e
At1
e
−Aτ
=
n−1
X
ηk (τ )Ak
k =0
= η0 (τ )I + η1 (τ )A + · · · + ηn−1 (τ )An−1
(5)
Demostración (continuación)
Reemplazando (5) en (4) obtenemos
Z t1
Z t1
˜
ˆ
A(t1 −τ )
η0 (τ )I + η1 (τ )A + · · · + ηn−1 (τ )An−1 Bu(τ )dτ
z=
e
Bu(τ )dτ =
0
Z
=
0
t1 ˆ
˜
Bη0 (τ )u(τ ) + ABu(τ )η1 (τ ) + · · · + An−1 Bηn−1 (τ )u(τ ) dτ
0
Z
t1
=
ˆ
B
AB
A2 B
0
ˆ
= B
|
AB
A2 B . . .
{z
C
»
η0 (τ )u(τ )
...
ηn−1 (τ )u(τ )
–
dτ
An−1 B
" Rt
#
1 η (τ )u(τ )dτ
˜
0
0
...
= Cr
An−1 B R t
1
} 0 ηn−1 (τ )u(τ )dτ
|
{z
}
...
˜
r
Así, la controlabilidad de (A, B) implica que la ecuación lineal algebraica
z = Cr
siempre tiene solución, para z y r en Rn arbitrarios. Del Capítulo 3 sabemos
que esto sucede sii C es de rango fila pleno, es decir, n.
(2 ⇒ 3) Por contradicción. Supongamos que rango C = n pero que existe
algún t > 0 tal que Wc (t) es singular.
Por la forma de (3), Wc (t) ≥ 0, y así es singular sii existe algún 0 6= v ∈ Rn
tal que v T Wc (t)v = 0, es decir,
Z t
Z t
T
T Aτ
T AT τ
0 = v Wc (t)v =
v e BB e vdτ =
kv T eAτ Bkdτ
0
0
o sea, v T eAτ B = 0 para todo τ ∈ [0, t]. Escribiendo eAτ en forma polinomial
como antes, tenemos
2
3
η0 (τ )Ip
ˆ
˜ 6 η1 (τ )Ip 7
7
0 = v T eAτ B = v T B AB . . . An−1 B 6
(6)
4 ... 5.
ηn−1 (τ )Ip
Como eAτ B 6= 0 si B 6= 0, la única posibilidad de que se dé (6) para todo τ es
que v T C = 0, que implicaría que el rango fila de C es menor que n, lo cual es
una contradicción, y prueba que 2 ⇒ 3.
(3 ⇒ 1) Sean x0 y x1 dos vectores cualesquiera de Rn , y t1 > 0 arbitrario. Si
Wc (t) es no singular para cualquier t > 0, entonces podemos construirnos la
entrada
T
u(t) = −B T eA (t1 −t) Wc−1 (t1 )(eAt1 x0 − x1 ).
(7)
Esta entrada transfiere el estado del sistema de x0 a x1 en el tiempo t1 , ya
que reemplazando u(t) de (7) en la fórmula de variación de los parámetros
para x(t1 ) tenemos
„Z t1
«
`
´
At1
A(t1 −τ )
T AT (t−τ )
x(t1 ) = e x0 −
e
BB e
dτ Wc−1 (t1 ) eAt1 x0 − x1
0
=e
At1
`
´
x0 − Wc (t1 )Wc−1 (t1 ) eAt1 x0 − x1 = x1 .
Como x0 , x1 , y t1 > 0 son arbitrarios, el sistema es controlable.
Ejemplo
La EE linealizada de un péndulo invertido es
m
q
" ẏ #
ÿ
θ̇
θ̈
»0 1
=
0
0 0 −1
0 0 0
0 0 5
1
0
1
0
–"y #
ẏ
θ
θ̇
»
+
0
1
0
−2
–
u
mg
l
Calculamos la matriz de
controlabilidad
»
ˆ
˜
C = B AB A2 B A3 B =
u
0
1
0
−2
1
0
0
0
2
0
−2 0 −10
0 −10 0
M
–
y
que tiene rango 4 ⇒ el sistema es
controlable.
Si θ se desviara ligeramente de cero, existe un control u que lo retorna a
cero en tiempo finito. De hecho, la controlabilidad nos garantiza que existe
un control u capaz de llevar y , θ, y sus derivadas a cero.
Control de mínima energía y gramiano
La ley de control a lazo abierto
T
u(t) = −B T eA
(t1 −t)
Wc−1 (t1 )(eAt1 x0 − x1 ),
usada en la prueba del Teorema 1, es la que usa mínima energía en
transferir al sistema de x0 a x1 en el tiempo t1 . Es decir, para cualquier otro
control ũ(t) que haga la misma transferencia
Z t1
Z t1
2
kũ(τ )k dτ ≥
ku(τ )k2 dτ
0
0
Por ejemplo, si x0 = 0, la mínima energía de control es
„Z t1
«
Z t1
2
T
−1
A(t1 −τ )
T AT (t1 −τ )
ku(τ )k dτ = −x1 Wc (t1 )
e
BB e
dτ Wc−1 (t1 )(−x1 )
0
0
− 21
= x1T Wc−1 (t1 )x1 = kWc
(t1 )x1 k2 .
Si A es Hurwitz, Wc (t) converge para t = ∞. En ese caso notamos
simplemente Wc (t) = Wc , y se llama gramiano de controlabilidad. Si el par
(A, B) es controlable,
"
#
T
rango C T = rango
B
BT A
...
B T An−1
= n.
Vimos en el capítulo anterior que esta condición, si A es Hurwitz, garantiza
que Wc es la única solución, y positiva definida, de la ecuación
AWc + Wc AT = −BB T .
Volviendo a la mínima energía necesaria para llevar al estado del sistema de
0 a x1 , si tomamos t1 → ∞
Z ∞
−1
ku(τ )k2 dτ = kWc 2 x1 k2 .
0
Cuanto más cerca de cero esté el menor autovalor de Wc , más difícil será
controlar al sistema (se necesitará más energía de control).
En Matlab
Las funciones M ATLAB Cc=ctrb(A,B) y W=gram(A,B) calculan
respectivamente la matriz de controlabilidad C y el gramiano de
controlabilidad Wc .
Para saber si un sistema es controlable chequeamos el rango de C o Wc .
Para calcular el control de mínima energía (7) necesitamos la matriz Wc (t1 ),
que podemos calcular usando un resultado de Van Loan (ver Teorema 4.1)
implementando
#
– "
»
T
ˆ
˜ A BB T t 0n
Wc (t) = In 0n e 0n −A
,
T
eA t
que en M ATLAB se puede hacer:
O=zeros(n,n);
I=eye(n);
Wt=[I,O]*expm([A,B*B’;O,-A’]*t)*[O;expm(A’*t)];
Tests PBH
Los tests de Popov-Belevitch-Hautus (PBH) sirven para chequear
controlabilidad en base a autovectores y rango.
Lema (Test PBH de autovectores)
El par (A, B) es no controlable si y sólo si existe un autovector izquierdo
v ∈ R1×n de A, tal que
vB = 0.
Es decir que el par (A, B) es controlable si y sólo si “no hay autovectores
izquierdos de A ortogonales a las columnas de B.”
Lema (Test PBH de rango)
El par (A, B) es controlable si y sólo si
ˆ
˜
rango sI − A B = n
para todo s.
Controlabilidad y cambio de coordenadas
Teorema
La controlabilidad es una propiedad invariante con respecto a
transformaciones de equivalencia (cambios de coordenadas).
Demostración
Consideremos el par (A, B) con matriz de controlabilidad
ˆ
˜
C = B AB · · · An−1 B
y su par equivalente (Ā, B̄), donde Ā = PAP −1 y B̄ = PB, y P es una matriz
no singular. La matriz de controlabilidad del par (Ā, B̄) es
ˆ
˜
C¯ = B̄ ĀB̄ · · · Ān−1 B̄
ˆ
˜
= PB PAP −1 PB · · · PAn−1 P −1 PB
ˆ
˜
= P B AB · · · An−1 B
= PC.
¯
Como P es no singular, tenemos que rango C = rango C.
Ejemplo en Matlab: Plataforma suspendida
El ejemplo se encuentra en la página Útiles de CAUT2. El sistema es la
plataforma de la figura, usada para analizar sistemas de suspensión de
vehículos.
2u
x1
x2
Asumiendo la masa de la plataforma cero, cada sistema de amortiguación en
los extremos recibe la mitad de la fuerza aplicada a la plataforma. Tomando
los desplazamientos de la posición de equilibrio de los extremos de la
plataforma como variables de estado, tenemos las EE
»
–
»
–
−k1 /b1
0
1/b1
ẋ =
x+
u.
1/b2
0
−k2 /b2
En resumen. . .
La controlabilidad es una propiedad fundamental del sistema que determina
si es posible llevar su estado x a un determinado valor mediante una
elección adecuada de la entrada u.
Si un sistema es controlable sabemos que existe una entrada que es capaz
de transferir el estado a una posición deseada cualquiera en un tiempo finito
arbitrario.
La controlabilidad sólo depende de las matrices A y B del sistema. El para
(A, B) es controlable sii
ˆ
˜
rango C = rango B AB A2 B · · · An−1 B = n
La controlabilidad es invariante respecto de cambios de coordenadas.

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