operaciones con segmentos

Quinto de secundaria
Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
FUNDAMENTALES
I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍA
El objeto de la geometría es el estudio de las
figuras geométricas desde el punto de vista de
su forma, extensión y relaciones que guardan
entre sí.
Geometría plana.- Estudia las figuras planas,
esto es, aquellas cuyos puntos se encuentran en
un mismo plano. Llamada también Planimetría.
Geometría del espacio.- Estudia las figuras
sólidas o del espacio, esto es, aquellas cuyos
puntos no se encuentran en un mismo plano.
Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc.
III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES
DE LA GEOMETRÍA
Los elementos geométricos fundamentales
son:
1) El Punto
2) La Recta y
3) El Plano
1.Punto: Límite mínimo de la extensión,
que se considera sin longitud, latitud
ni profundidad. La idea de punto
geométrica nos lo da la punta de un
alfiler o la marca que deja la punta de
un lápiz. Expresa tan solo una idea y
no un objeto real.
Clasificación de las figuras planas:



Congruentes. Cuando tienen igual forma
y tamaño.
Semejantes. Cuando tienen igual forma
pero diferente tamaño.
Equivalente. Cuando tienen la misma
área o el mismo volumen pero diferente
forma o tamaño.
3.Plano: Superficie imaginaria ilimitada,
es engendrada por una línea recta
cuando se desplaza paralelamente a su
posición original.
IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS
1.Línea: Está formada por una sucesión
continua de puntos con una sola
dimensión que es la longitud.
2.Semi-recta: Parte de la recta que carece
de punto de origen.
3.Rayo: Parte de la recta que posee punto
de origen.
4.Segmento de recta: Porción de recta
comprendido entre dos puntos que son
los extremos.
Conjuntos Convexos
Definición: Un conjunto “P” del plano
recibe el nombre de conjunto convexo, si
y solo si, para cada par de puntos A y B de
P, se cumple que AB  P .
Un conjunto que no es convexo se llama
CÓNCAVO.
Prof. Edwin Meza Flores
b)
A
y x 2 , y 2  , entonces su punto medio
tiene por coordenada (m;n).
c)
A
A
B
n
e)
d) ___ ___
SEGMENTO DE RECTA


Definición: Para dos puntos cualesquiera
A y B, el segmento AB es el conjunto de
los puntos A y B y de todos los puntos
que están entre A y B. Los puntos A y B
se denominan extremos.
Segmentos consecutivos: Dos o más
segmentos se llaman consecutivos,
cuando cada uno tiene con el siguiente un
extremo común. Los segmentos
consecutivos pueden pertenecer a una
misma recta o a una poligonal.
Congruencia de segmentos: Se dice que
dos segmentos son congruentes cuando
tienen la misma longitud.
Punto Medio o Punto Bisector de un
segmento:
Se dice que el punto “M” de AB es un
punto medio. Si: AM=MB
a
A
1
2
1
2
;
2
2
Si: P=(2;4) y Q=(6,8)
Hallar la coordenada de su punto
medio.
Solución:
26
4
2
48
n
6
2
m
Luego: M= (4,6)
c) Si los puntos extremos de AB tienen
por coordenadas x 1 y x 2 , es decir:
A  x1 y B  x 2 , entonces, su punto
medio tiene por coordenada:
m
x x
1
2
2
Distancia entre A y B:
AB  x  x
2
a
M
y y
x x
Ejemplo:
De los conjuntos precedentes (a) son
conjuntos convexos.

m
Donde:
B
B
2.Línea Recta: Sucesión continua de
puntos que se desplaza hacia ambos
extremos en forma ilimitada.
II. FIGURA GEOMETRICA
Se llaman figuras geométricas a los conjuntos
de puntos, tales como las líneas, superficies y
cuerpos. El punto representa el conjunto
unitario. En toda figura, menos en el punto,
distinguiremos su tamaño, su forma y su
posición.
a)
B
AM = MB = a
Observaciones:
a) Todo segmento tiene exactamente un
punto medio.
b) Si los puntos extremos de un segmento
PQ , tienen por coordenadas x 1 , y 1 
1
OPERACIONES CON SEGMENTOS
A) Suma de Segmentos:
A
B
C
D
AB  BC  CD  AD
“Amar, adorar y servir”
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a) 14
d) 10
B) Resta de Segmentos:
B
A
D
C
AB  AD  BD
b) 11
e) 9
05. 7 PC = 2 PD + 5 PB
2AD + 5AB = 14 mts. Calcular “x”
a) 2
d) 8
a) 7
C
B
A
P
x
D
b) 7
e) 6
c) 4
C b Q b D
a B
a) 5
d) 20
A
x
01. AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ
b) 10
e) 25
c) 15
1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar “x”
A
C
N
B
b) 30
e) 5
c) 20
03. AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD = 17
cm. Hallar “x ”
M
R
O
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
B
C
a) 4
d) 7
b) 10
e) 8
D
c) 12
04. PR + QS = 20 mts
Calcular : “x”
C
b) 4
D
c) 6
d) 9
a) 10
d) 13
e) 2
P
B
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
Q
11. AB 
AC  CD
2
Calcular : “x”
A
C
B
D
a) 3
d) 10
b) 6
e) 7
c) 8
2
2
08. AC = 3 mts ; AB . AC = 2 ( AB  BC )
Calcular “x”
B
C
D
QR = 6 mts.
x
A
B
C
b) 1
e) 0,8
c) 7
12. Los puntos consecutivos A, M, B y C
pertenecen a la misma recta. M es el punto
medio de AC . Hallar MB; si AB – BC =
32.
a) 8
d) 16
c) 12
15. Se tiene los puntos A, B, C y D, colineales
y consecutivos, tal que AB=4 y AB.BD =
AC.CD. Calcular “CD”.
a) 2
d) 6
b) 2 2
e) 8
c) 4
2
; BD  2 BD  1
x
a) 9
d) 2
x
b) 11
e) 14
16. Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B y C de tal manera que
: AC+AB=18 ; si “M” es punto medio de
BC . Calcular “AM”.
c) 3
07. CD = AB + BC ; AD = 10 mts
BC / CD = 2/5. Hallar “x”
x
A
M
x
A
a) 50
d) 15
B
10. 1 / AP  2 / AB  1 / AQ ; AP = 2 mts
BQ = 3 mts. Calcular : “x”
A
06. AM = 4 mts , OR = 6 mts
x
M
14. Sean los puntos colineales y consecutivos:
A, B, C y D. Calcular “AD” si : AC = 7
; BD = 9 y
BC = 4.
x
02. AB = 60 cm ; BC = 40 cm
AM = MC . Calcular “x”
A
09. AM = MD ; AB + CD = 10 mts
BM - MC = 2 mts. calcular “x”
x
PRÁCTICA DE CLASE
A a P
c) 13
b) 32
e) 24
c) 18
13. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D cumpliendo la
relación: AD – BD – 2CD = 1. Hallar AD,
si AB = 3 y AC = 5.
a) 12
b) 9
d) 7,5
e) 6
c) 8
17. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D tal que “M” es
punto medio de AB y “N” es punto medio
de CD . Calcular “MN” si AC = 6 y BD
= 8.
a) 7
c) 12
d) 10
b) 9
e) 5
18. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, y D de manera que
AC = 8, BD = 7 y AD = 4BC.
Calcular “BC”.
a) 2,5
c) 3,5
d) 4
b) 3
e) 5
x
P
Q
R
S
a) 2
d) 3
b) 5
e) 1,5
c) 8
Prof. Edwin Meza Flores
a) 5
d) 9
b) 6
e) 7
c) 8
“Amar, adorar y servir”
Geometría Analítica
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19. Sobre una recta se dan tres puntos
consecutivos M, A y B , tal que AB = 2
y MB . MA = 24.
Calcular la distancia de “M” al punto medio
de AB .
a) 4
d) 8
b) 5
e) 10
04. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D, cumpliéndose
que AC + BD = 10 y BC=3. Hallar AD.
a) 6
d) 9
b) 7
e) N.A.
c) 8
05. En una recta se encuentra los puntos
consecutivos A, B, C, D y cumplen la
siguiente relación:
4AB - BD - 2CD = 4 ; AB = 3 ; AC = 5
Hallar AD:
b) 30
e) 20
a) 5
d) 8
01. Se tiene los puntos colineales A, B, C y D.
AC=2BD. Calcular “BC”.
b) 6
e) N.a.
c) 7
06. Sobre una línea recta se marcan los puntos
consecutivos A, B, C y D de modo que AB,
BC y CD están en progresión aritmética. Si
AD = 27 y CD = AB + 6. Hallar AB
2AB + 8 = 3BC + 4CD
a) 8
d) 10
b) 12
e) 11
c) 9
02. En una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D, E, tal que
AC+BE = 20 . Hallar BC, si AE=BC+12.
a) 6
d) 5
b) 3
e) 8
b) 4
e) 10
c) 6
07. Tres segmentos tienen sus longitudes
proporcionales a los números 5, 8 y 12. Si
el mayor tiene 56 unidades más que el
menor, entonces la longitud del segmento
que no es mayor ni menor es:
a) 20
d) 72
Hallar AM, si: AB+AC=14.
b) 14
e) N.A.
a) 2
d) 8
c) 4
03. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B, C. Luego se toma el
punto medio “M” de BC .
a) 7
d) 3,5
AB
Calcular la distancia de “O” al punto medio de
AB.
a) 5
d) 6,5
b) 6
e) 7,5
c) 5,5
10. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C, D. Si AB = 2CD; BC
igual a 5CD y BC = 3m.
c) 15
PROBLEMAS PROPUESTOS
Si:
O, A, B. Si OA  OB  13 m .
14. Sobre una recta se toman los puntos A, B,
C, D.
Calcular AD, si: BC = 6
CD
c) 6
20. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D.
Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60.
Hallar “AC”.
a) 45
d) 10
09. En una recta se toman los puntos colineales
c) 28
b) 32
e) 86
c) 64
08. Se tienen los segmentos consecutivos
colineales AB , BC y CD . El primero es
el cuádruple del segundo y el tercero es el
doble de AC . Si AD = 30. Hallar la
distancia entre los puntos medios de
AB y CD .
a) 8
d) 16
b) 12
e) 18
c) 15
Prof. Edwin Meza Flores
a) 1,2
d) 1,4
a) 36
d) 56
b) 6
e) 1,6
c) 2,8
3
2
;
AB
BC
b) 38
e) 64

AD
CD
c) 42
15. En una recta
se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D, hallar AD, Sí:
AB
2
Calcular AB .

a) 4
d) 36

BC
3

CD
4
y AC = 4 + CD
b) 16
e) 45
c) 27
11. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B y D de modo que AC =
CD.
Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m
a) 1
d) 5
b) 2
e) 4
c) 3
12. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D de modo que:
BC
CD
AB 

. Si AD = 24m.
2
3
Calcular AB.
a) 2
d) 8
b) 4
e) 10
c) 6
13. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B y C. Hallar AM2 – BM2.
Sabiendo que AB x AC = 16 y que M es
punto medio de BC.
a) 8
d) 14
b) 10
e) 16
c) 12
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