PRACTICA Nº 2 - Métodos Numéricos I

MAT 1105 F
PRACTICA Nº 2
FECHAS DE ENTREGA: Tercer parcial
Martes 14 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 5 (Geología)
Viernes 17 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 31
1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el método de
punto fijo multivariable:
SOLUCIÓN
Resolviendo por el método de punto fijo multivariable, con sustituciones simultaneas, primero se
despejaran de las ecuaciones las variables de la siguiente forma:
Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las
formulas con derivadas parciales:
Luego de probar algunos valores se tomarán como valores iniciales:
Además de darnos como tolerancia un error de 10-6.
Pagina
1
1ra. Iteración
3
Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método:
Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá rápidamente a una respuesta, pero
como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración.
2da. Iteración
Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método:
Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la
tolerancia se deberá continuar con otra iteración.
3ra. Iteración
Pagina
2
Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método:
Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la
tolerancia se deberá continuar con otra iteración.
Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
i
error
0
0.1
0.1
-0.1
1
0,499983
0,020176
-0,524101
0,745561
2
0,499981
-0,000028
-0,524106
0,020204
3
0,500000
-0,000028
-0,523598
0,000508
4
0,500000
0,000000
-0,523598
2.8·10-5
5
0,500000
0,000000
-0,523599
7.1·10-7
RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente:
2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
a) El método de Newton - Raphson multivariable
Solución
- En primer lugar se debe despejar e igualar cada función a cero:
- Resolviendo por el método de Newton-Raphson multivariable, con las siguientes formulas:
Pagina
3
- Los valores del vector [hxi, hyi, hzi], se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones:
Donde:
La matriz [J] de derivadas parciales, o matriz Jacobiana es:
El vector [-f ] es el valor negativo de cada ecuación del sistema:
- Considerando las características de las funciones, se tomarán los siguientes valores iniciales:
1ra Iteración
- Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene:
- Evaluando los valores en el vector de funciones:
- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación:
Pagina
4
- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:
- Por otra parte para verificar el error se puede calcular la distancia entre los valores de la primera
iteración y lo valores iniciales con la siguiente formula:
Si tomamos una tolerancia de 10-5, se continúa el algoritmo con una siguiente iteración.
2da Iteración
- Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene:
- Evaluando los valores en el vector de funciones:
Pagina
5
- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación:
- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:
3ra Iteración
- Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene:
- Evaluando los valores en el vector de funciones:
- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación:
Pagina
6
- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:
Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
error
i
0
1,000000
1,000000
1,000000
1
1,588306
0,153840
-0,692238
1,981353
2
1,440126
-0,013132
0,102269
0,825275
3
1,470351
-0,000437
-0,233979
0,337842
4
1,469501
0,000000
-0,227768
0,006284
5
1,469504
0,000000
-0,227777
0,000009
RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente:
Pagina
7
3. Dada la siguiente tabla de datos:
Puntos
0
1
2
3
4
1.00
1.35
1.70
1.90
3.00
0.00000 0.30010 0.53063 0.64185 1.09861
a) Primero construir la tabla de diferencias divididas, para aproximar la función en los
siguientes puntos:
Solución
1ra. diferencia dividida.
2da. diferencia dividida
3ra. diferencia dividida
4ta. diferencia dividida
Estos resultados se muestran en la siguiente tabla:
Pagina
8
9
Pagina
i
xi
yi
0
1.00
0.00000
1ra. diferencia
2da. diferencia
3ra. diferencia
4ta. diferencia
0.857429
1
1.35
0.30010
2
1.70
0.53063
3
1.90
0.64185
4
3.00
1.09861
Pagina
9
b) Para
, con un polinomio de 2do. grado.
Solución
Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un
polinomio de segundo grado solo se necesitan 3 puntos, se utilizarán los puntos más
cercanos al punto buscado
:
i
0x0
xi
yi
1.00
0.00000
1.20
1ra. diferencia
2da. diferencia
0.857429
1
1.35
0.30010
2
1.70
0.53063
La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente,
donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es
Reemplazando valores, se obtiene el polinomio:
Evaluando en el punto requerido,
:
Respuesta
Pagina
10
c) Para
, con un polinomio de 3er. grado.
Solución
Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un
polinomio de tercer grado se necesitan 4 puntos:
i
xi
yi
x11
1.35
0.30010
2
1.70
0.53063
3
1.90
0.64185
4
3.00
1.09861
1ra. diferencia
2da. diferencia
3ra. diferencia
1.75
La ecuación de interpolación por diferencias divididas de tercer orden es la siguiente,
donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es
Reemplazando valores, se obtiene el polinomio:
Evaluando en el punto requerido,
:
Pagina
11
Respuesta
d) Para
, con un polinomio de 2do. grado.
Solución
Ubicando el punto en la tabla de datos se puede notar que se encuentra fuera del rango
de datos, pero de todas formas se puede interpolar este valor, utilizando los 3 datos
más cercanos a este punto.
i
xi
yi
x22
1.70
0.53063
3
1.90
0.64185
4
3.00
1.09861
1ra. diferencia
2da. diferencia
3.50
La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente,
donde el primer punto de los datos que se usarán es
Reemplazando valores, se obtiene el polinomio:
Evaluando en el punto requerido,
:
Respuesta
Pagina
12
4. Con los siguientes valores:
Puntos
0
1
2
3
4
5
6
40
60
80
100
120
140
160
0.63
1.36
2.18
3.00
3.93
6.22
8.59
Obtener el valor de la función para
utilizando los siguientes métodos:
, con un polinomio de 2do. grado,
a) Por interpolación polinominal simple.
Solución
Con un polinomio de segundo grado, solo se utilizarán los 3 pares de puntos que estén
más cerca del punto buscado (
), en la tabla, por lo que tendríamos una nueva
tabla con los datos:
90
Puntos
1
2
3
60
80
100
1.36
2.18
3.00
Para interpolar polinomios con este método se tiene que reemplazar cada par de datos
en la ecuación característica de segundo grado:
Reemplazando los datos:
Resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Pagina
13
Que resolviendo por alguno de los métodos conocidos:
00
.000
Con lo que el polinomio de interpolación resulta ser un polinomio de 1er. grado:
Para verificar este resultado se puede graficar los puntos:
3,5
3
3
2,59
2,5
2,18
2
1,5
1,36
1
50
60
70
80
90
100
110
Reemplazando el valor requerido:
Respuesta
b) Por polinomios de Lagrange.
Solución
Interpolando por el método de Lagrange se utiliza la siguiente formula:
Pagina
14
Donde:
En este caso con un polinomio de segundo grado y con los puntos utilizados, la formula
sería:
Puntos
1
2
3
60
80
100
1.36
2.18
3.00
Reemplazando los valores de la tabla:
Finalmente evaluando el polinomio en el punto:
Respuesta
c) Por diferencias finitas.
Solución
Resolviendo por el método de interpolación de Newton con diferencias finitas, se necesita
verificar que la distancia entre los puntos sea la misma:
Pagina
15
Puntos
1
2
3
60
80
100
20
20
La fórmula de este método es la siguiente:
Para un polinomio de segundo grado, considerando que el primer punto no es
, por lo que la formula queda:
sino es
Donde:
Reemplazando con los datos:
Puntos
1
2
3
60
80
100
1.36
2.18
3.00
Luego el polinomio sería:
Pagina
16
Finalmente evaluando el polinomio en el punto:
Respuesta
Comparando los resultados de los incisos, se puede ver que interpolando con cualquier
método se obtiene el mismo polinomio, y por supuesto el mismo resultado.
5. Con los siguientes datos:
Puntos
0
1
2
3
4
5
6
293
300
320
340
360
380
400
8.53·10-5
19.1·10-5
1.56·10-3
0.01
0.0522
0.2284
0.8631
Calcular los coeficientes de la ecuación:
Resolviendo con el método de mínimos cuadrados, linealizando la ecuación.
Solución
Como se puede ver la ecuación mostrada no es lineal, sino exponencial, por lo que se deberá
hacer un cambio de variable para linealizar la ecuación, de la siguiente manera:
- Primero aplicando logaritmos a ambos lados de la función:
Por propiedades de logaritmos:
Pagina
17
- Luego realizando el siguiente cambio de variables:
Con lo que se tiene una ecuación lineal:
- De la misma forma se tiene que realizar las operaciones en cada valor de la tabla:
Puntos
0
293
8.53·10-5
0,003413
-9,369336
1
300
19.1·10-5
0,003333
-8,563237
2
320
1.56·10-3
0,003125
-6,463069
3
340
0.01
0,002941
-4,605170
4
360
0.0522
0,002778
-2,952673
5
380
0.2284
0,002632
-1,476657
6
400
0.8631
0,002500
-0,147225
Finalmente resolviendo por el método de mínimos cuadrados, debe calcular la siguiente tabla:
Puntos
0
0,003413
-9,369336
1,164836·10-5
-0,031977
1
0,003333
-8,563237
1,111111·10-5
-0,028544
2
0,003125
-6,463069
9,765625·10-6
-0,020197
3
0,002941
-4,605170
8,650519·10-6
-0,013545
4
0,002778
-2,952673
7,716049·10-6
-0,008202
5
0,002632
-1,476657
6,925208·10-6
-0,003886
6
0,002500
-0,147225
6,250000·10-6
-0,000368
∑
0,020722
-33,577367
6,206687·10-5
-0,106719
Pagina
18
Luego para calcular los coeficientes
ecuaciones:
se tiene que resolver el siguiente sistema de
=
Reemplazando los valores de las sumatorias, donde
es el número de puntos.
Resolviendo el sistema:
141883
Con lo la ecuación queda:
141883
Finalmente se reemplazando a las variables originales:
Con lo que la ecuación queda:
Para verificar los resultados se debe graficar la ecuación obtenida:
Pagina
19
yi
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Curva regresionada
Datos Originales
290
310
330
350
xi
370
390
410
Respuesta
Luego de verificar los coeficientes en la gráfica, se tiene como resultado:
Nota: Obviamente no puedes imprimir este documento y
entregarlo como practica.
Pagina
20