Capítulo 7. Teorías de falla y ruptura

Capítulo 7. Teorías de falla y ruptura

Capítulo 7. Teorías de falla y ruptura
CAPÍTULO 7
TEORÍAS DE FALLA Y RUPTURA
Introducción
En el capítulo dos se estableció que las fuerzas aplicadas a un medio continuo generan estados
de esfuerzos en los diferentes puntos del medio y éstos a su vez producen estados de
deformación (capítulo 3). Para ligar los esfuerzos con las deformaciones fue necesario
involucrar las propiedades del material, lo cual como una primera aproximación al
comportamiento real de los materiales, dicha liga se hizo mediante la teoría de los materiales
elásticos lineales homogéneos e isótropos (capítulo 4).
Es claro que la falla o ruptura de un material deberá estar ligada a los esfuerzos o a las
deformaciones que experimente éste cuando se le somete a ciertas solicitaciones, o bien, a un
concepto que involucre tanto los esfuerzos como las deformaciones, tal es el caso de la energía
de deformación. Normalmente la falla de un material se asocia a una condición límite que no
necesariamente involucre la pérdida de continuidad del material, condición bajo la cual
estaríamos hablando de una franca ruptura del medio, en cuyo caso deja de ser aplicable la
mecánica del medio continuo.
En este capítulo se establecen criterios de falla y ruptura, algunos aplicables a materiales
dúctiles y otros a frágiles. Si bien la temperatura es una variable que influye de manera notable
en el comportamiento de los materiales, ésta no se toma en cuenta en ninguno de los criterios
de falla y ruptura que se expondrán más adelante.
Cabe señalar que históricamente las primeras teorías de falla desarrolladas fueron para el caso
del comportamiento de metales y es hasta una época más reciente que se han establecido
teorías de falla para otros materiales involucrados en el diseño de las obras civiles, como ha
sido el caso del concreto, los suelos y las rocas.
Normalmente la condición de falla en un material se establece al comparar el estado de
esfuerzos o deformaciones que generan las cargas aplicadas en el medio con su resistencia,
determinada ésta en una prueba de laboratorio representativa del fenómeno estudiado.
En el caso de los metales cuyo comportamiento a tensión o compresión es muy similar, la
prueba representativa que se emplea en laboratorio para determinar su resistencia es la prueba
de tensión que se ejecuta en una probeta del material en estudio y la cual se denominará en
adelante Sf. Cuando se aplican esfuerzos superiores a Sf , el material puede fluir o se rompe,
1
por lo que asumiremos en lo que sigue que Sf representa el límite de aplicabilidad de la teoría
elástica (comportamiento inelástico) para el estado de esfuerzos aplicado a la probeta. Este
valor límite se le conoce también como límite elástico y no necesariamente representa el
esfuerzo de fluencia del material bajo el cual éste puede alcanzar la ruptura. Materiales como
el concreto, el suelo y la roca, cuya resistencia a la tensión es muy limitada en comparación
con su resistencia a la compresión, es usual que el valor límite Sf se establezca en una prueba
de compresión que tome en cuenta las diferentes variables que influyen en el comportamiento
del material.
Para un medio continuo sometido a un estado de esfuerzos principales, la función que define la
región donde el material tiene un comportamiento elástico, se puede expresar como
f (1, 2, 3) = 0
(7.1)
En los párrafos siguientes se describirán algunas teorías de falla y ruptura comúnmente
empleados para establecer bajo qué condiciones se alcanza la falla o ruptura de un material
sometido a ciertas solicitaciones (superficies de fluencia). Como ya se hizo ver con
anterioridad la mayoría de estas teorías tienen su aplicación principal en el comportamiento de
metales y permiten establecer la condición límite de falla del material (comportamiento
inelástico) y no tanto la condición de ruptura o pérdida de continuidad. Para estudiar esta
última condición se presentarán las teorías de Mohr-Coulomb, ampliamente utilizada en la
mecánica suelos y rocas así como la de Griffith, ésta última con mayores aplicaciones a la
mecánica de rocas.
7.1 Teoría de Rankine
Esta teoría establece que en un material sometido a un estado de esfuerzos principales se
genera fluencia cuando cualquiera de los esfuerzos principales alcanza el valor límite Sf , en
una probeta representativa del mismo material sometida a una prueba de tensión en el
laboratorio. Matemáticamente estas condiciones quedan expresadas por
1 = S f
(7.2)
2 = S f
(7.3)
3 = S f
(7.4)
Las condiciones anteriores se pueden representar gráficamente en un sistema de referencia
donde los ejes corresponden a los esfuerzos 1, 2 y 3.
De esta manera, el límite de aplicabilidad de la teoría elástica queda definido por seis
superficies planas que conforman a un cubo de lado 2Sf (figura 7.1).
3
2
2Sf
1
2Sf
2Sf
FIGURA 7.1 Volumen de fluencia. Teoría de Rankine
Cuando un punto P (1, 2, 3), que representa a un estado tridimensional de esfuerzos, se
ubica en el sistema de referencia establecido, se tendrá una condición de fluencia si P se
encuentra fuera del cubo o en las caras. Si P se localiza dentro del cubo, el material tiene un
comportamiento elástico.
Para un estado de esfuerzo plano, con 3 = 0, se obtendrá la superficie límite o de fluencia que
se muestra en la figura (7.2), delimitada por las siguientes ecuaciones:
1 = ± S f ;
2 = ± S f
(7.5)
Un punto en este plano representaría a un estado de esfuerzo plano. Cuando el punto está dentro
del cuadrado, el material tiene un comportamiento elástico, mientras que si está fuera o en los
bordes del cuadrado, el material habrá dejado de ser elástico.
La teoría de Rankine es aplicable sobre todo a materiales frágiles, esto es, aquellos materiales
que presentan bajos niveles de deformación antes de alcanzar la condición de fluencia.
2
Sf
1
Sf
Sf
Sf
FIGURA 7.2 Superficie de fluencia para el estado de esfuerzo plano. Teoría de Rankine
3
7.2 Teoría de Coulomb-Tresca
El material deja de ser elástico cuando el esfuerzo cortante máximo generado por un estado de
esfuerzos principales, en un punto cualquiera del cuerpo, iguala al esfuerzo cortante máximo
que se engendra en una probeta sometida a tensión.
Para un estado tridimensional de esfuerzos, el esfuerzo cortante máximo queda definido por:
Sf
1 −  2
=
(7.6)
2
2
1 −  3
2
2 − 3
2
=
Sf
=
Sf
(7.7)
2
(7.8)
2
Si cualquiera de las condiciones anteriores es satisfecha, se tendría la condición límite para
que el medio deje de ser elástico.
Para un estado de esfuerzo plano con 3=0, las condiciones matemáticas que indican
iniciación de fluencia serían:
De la ecuación (7.6),
1 −  2 = S f
⇒
1 −  2 = + S f ;
1 −  2 = − S f
(7.9)
De la ecuación (7.7),
1 = S f
⇒
1 = + S f ;
1 = − S f
(7.10)
2 = S f
⇒
2 = + Sf ;
2 = − Sf
(7.11)
De la ecuación (7.8),
Representando gráficamente estas condiciones en el plano 1, 2, se obtendrían seis líneas
rectas límites que definen la superficie de fluencia (figura 7.3).
2
Sf
Sf
1
Sf
Sf
FIGURA 7.3 Superficie de fluencia para el estado de esfuerzo plano. Teoría de Coulomb-Tresca
De acuerdo con la teoría del esfuerzo cortante máximo, si se agregan esfuerzos hidróstaticos
de tensión o de compresión, no es posible predecir ningún cambio en la respuesta del material.
La suma de estos esfuerzos simplemente desplaza el círculo de Mohr a lo largo del eje  pero
máx permanece constante.
Cuando los esfuerzos principales 1 y 2, son del mismo signo, se tienen dos condiciones para
alcanzar la fluencia del material:
τ
2
Tensión
1
3= 0
2
σ
1
FIGURA 7.4 Estado de esfuerzo plano; tensión
2
Compresión
1
2
1
3 = 0
σ
FIGURA 7.5 Estado de esfuerzo plano; compresión
5
Para el estado de esfuerzos de tensión que se muestra en la figura (5.4), se debe cumplir:
1 〉  2 ⇒ 1 ≤ S f
(7.12)
Para el estado de esfuerzos de compresión, figura 5.5, se tiene:
(7.13)
 2 〉 1 ⇒  2 ≤ S f
Por lo tanto, podemos concluir que, cuando los esfuerzos principales 1 y 2 son del mismo
signo, las teorías de Rankine y Coulomb-Tresca coinciden.
Si 1 y 2 son de signo contrario, se tiene que
1 −  2
2
≤
Sf
2
⇒
( 1 −  2 ) ≤ ± S f
(7.14)
Por lo tanto, cuando 1 y 2 son de signo contrario, las teorías de Rankine y Coulomb-Tresca
difieren.
7.3 Teoría de Saint Venant
El material deja de ser elástico cuando una de las deformaciones principales, 1 ,  2 , o  3 ,
alcanza el valor de la deformación principal,  f , que se genera en una probeta sometida a
tensión.
Para un estado uniaxial de esfuerzos, dicha deformación se puede expresar como
Sf
f =
E
(7.15)
Para un estado de esfuerzos tridimensional, las deformaciones principales quedan definidas por
1 =
1
( 1 − v ( 2 +  3 ) ) =  f
E
(7.16)
2 =
1
( 2 − v ( 1 +  3 ) ) =  f
E
(7.17)
3 =
1
( 3 − v ( 1 +  2 ) ) =  f
E
(7.18)
Para un estado de esfuerzo plano, con 3 = 0, las condiciones de fluencia resultarían ser:
De la ecuación (7.16),
1 − v 2 = S f
 1 − v 2 = − S f
De la ecuación (7.17),
⇒ 1 − v 2 = S f
(7.19)
 2 − v1 = S f
⇒  2 − v1 = S f
 2 − v 1 = − S f
De la ecuación (5.18),
(7.20)
−v (1 +  2 ) = S f
⇒ v (1 +  2 ) = S f
v ( 1 +  2 ) = − S f
(7.21)
Reordenando términos, las ecuaciones de las seis rectas límites resultan ser:
2 =
1
v
−
Sf
v
2 =
;
 2 = v 1 + S f ;
 2 = − 1 +
Sf
v
1
v
+
Sf
(7.22)
v
 2 = v 1 − S f
;
 2 = − 1 −
(7.23)
Sf
(7.24)
v
La región que estas ecuaciones definen se muestra en la figura (7.6), en la que se puede
observar que la teoría de Saint Venant permite lograr niveles de esfuerzos mayores antes de
alcanzar la falla, que los que definen las teorías de Rankine y Tresca.
σ2
S f /ν
Sf
σ1
S f /ν
Sf
S f /ν
S f /ν
FIGURA 7.6 Superficie de fluencia, criterio de Saint Venant
7
7.4 Teoría de Nadai
Esta teoría es aplicable principalmente a materiales dúctiles, y establece que la fluencia en una
partícula de un medio continuo se inicia cuando se aplica a ésta una energía de deformación
igual a la energía de deformación que se genera en una partícula de una probeta sometida a
tensión.
La energía de deformación elástica por unidad de volumen, o densidad de energía, para un
estado uniaxial de esfuerzos, tal como se definió en el capítulo 4, resulta igual a
U=
 11
2
Esta ecuación representa el área bajo la curva esfuerzo-deformación.
De acuerdo con esta teoría, la probeta dejará de ser elástica cuando
Sf f
Sf Sf
S 2f
U prob =
=
=
(7.25)
2
2E
2E
Para un estado tridimensional de esfuerzos, la densidad de energía puede expresarse como
1
U=
[ 12 +  22 +  32 − 2v( 1 2 +  1 3 +  2 3 )]
(7.26)
2E
Entonces, la fluencia se presentará cuando
S 2f
1
=
[ 12 +  22 +  32 − 2v( 1 2 +  1 3 +  2 3 )]
(7.27)
2E 2E
Por lo tanto, la condición de fluencia queda representada como
S 2f =  12 +  22 +  32 − 2v( 1 2 +  1 3 +  2 3 )
(7.28)
Para un estado de esfuerzo plano, con 3 = 0, la condición de fluencia queda definida por
S 2f =  12 +  22 − 2v 1 2
(7.29)
La representación geométrica de la región que define la ecuación (7.29) se muestra en la
figura (7.7).
2
Para  = 0.5
Sf
1
Sf
Sf
FIGURA 7.7 Superficie de fluencia; teoría de Nadai
7.5 Teoría de Von Mises Hencky (VMH)
Se alcanza la fluencia en una partícula de un medio continuo cuando la energía de deformación
distorsional en un estado de esfuerzos cualquiera, igual a la energía de deformación distorsional
en una probeta sometida a tensión.
U o = [U o ] prob
Para evaluar Uo empleamos la siguiente relación:
U total = U vol + U o
De donde:
U o = U total − U vol
La energía de deformación total (ecuación 4.60) se puede expresar como
1
U total =
[ 12 +  22 +  32 − 2v( 1 2 +  1 3 +  2 3 )]
2E
El esfuerzo y la deformación volumétricos son iguales a
1 +  2 +  3
;  v = 1 +  2 +  3
3
De esta manera, la energía de deformación volumétrica resulta igual a
  
U vol =  v v 
 2 
Dado que
V =
9
V = K v
E
v
3(1 − 2v)
Despejando  ,
v =
3
 V (1 − 2v)
E
De esta manera, la energía de deformación volumétrica resulta igual a
  
U vol =  v v 
 2 
Dado que
V = K v
E
v
3(1 − 2v)
Despejando  ,
v =
3
 V (1 − 2v)
E
Sustituyendo esta última expresión en Uvol , se tiene:
U vol =
3(1 − 2v) 2
v
2E
Desarrollando:
U vol
3(1 − 2v) ( 1 +  2 +  3 )
=
2E
9
U vol =
2
1 − 2v
2
( 1 +  2 +  3 )
6E
Dado que:
( 1 +  2 +  3 )
2
=  12 +  22 +  32 + 2( 1 2 +  1 3 +  2 3 )
La energía de deformación volumétrica queda como
U vol =
1 − 2v
= { 12 +  22 +  32 + 2( 1 2 +  1 3 +  2 3 )}
6E
La energía de deformación distorsional resulta:
Uo =
1
= { 12 +  22 +  32 − 2v( 1 2 +  1 3 +  2 3 )}
2E
−
Desarrollando se tiene:
1 − 2v 2
 1 +  22 +  32 + 2( 1 2 +  1 3 +  2 3 )}
{
6E
(7.30)
Uo =
1+ v 2
 1 +  22 +  32 − ( 1 2 +  1 3 +  2 3 )}
{
3E
(7.31)
En una probeta sometida a tensión: 2 = 3 = 0
U prob =
1+ v 2
1
3E
(7.32)
Se alcanza la falla del material cuando: Uprob = Uo , por lo tanto:
1+ v 2 1+ v 2
Sf =
 1 +  22 +  32 − ( 1 2 +  1 3 +  2 3 )}
{
3E
3E
De donde resulta
S 2f =  12 +  22 +  32 − ( 1 2 +  1 3 +  2 3 )
(7.33)
Esta última ecuación representa la condición de fluencia de VMH. De la ecuación (7.28) se
puede ver que cuando  = 0.5 el criterio de fluencia de VMH se vuelve un caso particular del
de Nadai.
Para el estado de esfuerzo plano.
S 2f =  12 +  22 −  1 2
(7.34)
De manera experimental se ha demostrado que la teoría de VMH es la que más se apega a los
valores experimentales si 1 y 2 son positivos o si alguno de los dos es positivo.
Si ambos esfuerzos principales son negativos, VMH da resultados conservadores.
Esta teoría es aplicable sobre todo a metales.
La teoría de VMH puede ser expresada en términos de los invariantes del tensor esfuerzo,
como sigue.
Para un estado de esfuerzo principal se tiene que:
I1 = (  1 +  2 +  3 )
I 2 = ( 1 2 +  1 3 +  2 3 )
Elevando la ecuación (5.35) al cuadrado:
I12 = ( 12 +  22 +  32 + 2 1 2 + 2 1 3 + 2 2 3 )
Multiplicando la ecuación (5.36) por 3:
−3 I 2 = −3 1 2 − 3 1 3 − 3 2 3
Sumando las ecuaciones (5.37) y (5.38), se tiene:
I12 − 3I 2 =  12 +  22 +  32 −  1 2 −  1 3 −  2 3
lo cual indica que existe fluencia en un material si
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
11
I12 − 3 I 2 =  2f
(7.39)
Esta última expresión puede ser aplicada para cualquier sistema de referencia.
7.6 Teoría de Mohr-Coulomb
La teoría de Mohr-Coulomb establece que se alcanza la ruptura del material cuando el
cociente del esfuerzo cortante al esfuerzo normal, asociados a un plano que pasa por un punto
del medio continuo, donde se conoce el tensor esfuerzo provocado por las cargas aplicadas,
alcanza un valor máximo. Para un estado general de esfuerzos principales, esta condición se
alcanza en el punto de tangencia de los círculos de Mohr correspondientes. La resistencia del
material queda expresada como:
= +
(7.40)
siendo c y ϕ los parámetros de resistencia del material, conocidos como cohesión y ángulo de
fricción interna, respectivamente. En el plano de Mohr (s-τ) el parámetro c representa la
ordenada al origen de la recta tangente al círculo de esfuerzos principales asociado con la
ruptura del material y el parámetro ϕ representa la pendiente de dicha recta.
La superficie de fluencia para un estado de esfuerzo plano (con s3=0), puede ser definida a
partir de la ecuación (5.40), sustituyendo los valores de τ y s, asociados a cada circulo de
falla. Por lo tanto la falla del material se alcanza bajo la condición siguiente:
á
|
−
2
|
− −
+
2
;
| |
− −
2
2
;
| |
− −
2
(7.41)
2
Siendo k=tanϕ.
Obsérvese que la ecuación (7.8) representa seis rectas cuya intersección define la superficie de
fluencia correspondiente (Figura 7.8). En este caso los valores límite de los esfuerzos RT y RC
que se indican en la figura (7.8) dependen de los parámetros de resistencia c y ϕ.
1
3
3
1
FIGURA 7.8. Criterio de falla de Mohr-Coulomb
7.7 Teoría de Griffith
Esta teoría de ruptura se estableció en un principio para estudiar el comportamiento del vidrio,
pero posteriormente se aplicó a las rocas con resultados razonables. Se asume la existencia de
discontinuidades dentro de la masa del material, como es el caso de las rocas fisuradas.
Se analizará el caso ideal de una masa de roca sometida a un estado de esfuerzos
bidimensional dado por  1 y  3 , en la que se encuentra una grieta o discontinuidad.

1
y

zy
x
 xy
3
y

 zy
y
x

discontinu idad
 xy
x
FIGURA 5.9 Estado de esfuerzos en una grieta presente en un macizo rocoso
Se considerará en un primer análisis que  =cte, siendo b el ángulo que forma la dirección del
esfuerzo principal mayor s1 y el eje longitudinal de la grieta. Este caso correspondería por
ejemplo al de una probeta de roca sedimentaria con planos de sedimentación paralelos entre sí.
Para realizar el análisis, supondremos que sólo existe una discontinuidad y ésta tiene forma
elíptica muy achatada, según se muestra en la figura (7.9).
13
y
 xy
y
Plano
considerad o
P2
a
b
y

b
P1

P3
•
b
x

x
P4
 xy
x
discontinu idad
x = a cos 
y = b sen 
y b sen 
=
= m tan 
x a cos 
y
= tan ; tan = m tan
x
FIGURA 5.10 Esquema para determinar el esfuerzo normal sb en una grieta de un macizo rocoso
En una prueba triaxial dada, se conocen  1 y  3 , y, mediante el uso del círculo de Mohr de
esfuerzos, se pueden determinar  xx ,  yy , y  xy .
Se desea determinar la magnitud del esfuerzo normal  b en términos de los esfuerzos  xx ,
 yy , y  xy y de la geometría de la discontinuidad. Este problema ha sido resuelto en el marco
de la teoría de la elasticidad y el esfuerzo  b se expresa mediante la siguiente fórmula:
b =
 yy  m ( m + 2 ) cos2  − sen 2  +  xx (1 + 2m ) sen 2 − m 2 cos2   −  xy  2 (1 + m 2 ) sen cos  
(7.42)
m cos  + sen 
2
2
2
b
la excentricidad de la elipse.
a
La falla del material está asociada con el valor máximo de  b , siendo éste un esfuerzo de
tensión que ocurre en los labios de la discontinuidad.
Siendo m =
Analicemos los estados de esfuerzos en la vecindad de la cúspide de la elipse, (punto P 4), es
decir, para el caso en que  = 0 , suponiendo además una grieta o discontinuidad infinita de
espesor pequeño, o sea m=0. En estas condiciones:
cosα≈1 y senα≈α
y la expresión anterior queda:
b =
 yy  m 2 + 2m −  2  +  xx  (1 + 2m )  2 − m 2  −  xy  2 (1 + m 2 )  
m2 +  2
(7.43)
Despreciando los términos de segundo orden, por ser muy pequeños comparados con los de
primer orden, obtendremos:
b =
 yy ( 2m ) −  xy ( 2 )
m2 +  2
Es decir,
b =
2 m yy −  xy 
(7.44)
m2 +  2
A partir de esta expresión podremos encontrar el valor máximo de “  b ” en la vecindad del
punto P4.
Sí:
 b max 〈 Resistencia a la tensión de la matriz rocosa, la falla no se presenta.
 b max = Resistencia a la tensión de la matriz rocosa, hay equilibrio límite.
 b max 〉 Resistencia a la tensión de la matriz rocosa, se presenta la falla.
Para conocer en qué punto de la elipse se presenta esta condición, obtendremos el máximo
esfuerzo de tensión, para ello hagamos:
d b
= 0 , suponiendo m constante
d
2
2
(7.45)
d   m  yy −   xy   − 2 xy ( m +  ) − 4  ( m  yy −   xy )
=
=
0
2 


2
d   m 2 +  2 
(m 2 +  2 )
es decir:
2 xy ( m 2 +  2 ) = −4  m yy −  xy 
 2m yy − 2 xy 
2
2
  = − b
 m +

 xy = − 
∴
=
− xy
(7.46)
b
Sustituyendo (5.46) en (5.45) queda:

2 
2  m yy + xy 
 b  2m 1 b2 + 2 xy2  b

b =
=
 xy2
m 2 b2 +  xy2
2
m + 2
b
m 2 b2 +  xy2 = 2m yy b + 2 xy2
∴
m 2 b2 − 2m yy b −  xy2 = 0
resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos:
15
( m
2
−  yy ) =  yy
+  xy2
(7.47)
1
(7.48)
2
b
m b =  yy ± ( y2 +  xy2 ) 2
Para el caso particular en que los ejes “ x ” y “ y ” coincidan con las direcciones de los
esfuerzos principales, se tiene:  xy = 0
y  yy =  t , siendo  t la resistencia a la tensión del
material. Sustituyendo esta condición en la ecuación (5.48), se tiene que m b = 2 t . Por lo
tanto el esfuerzo de falla se puede expresar como:  b =
2 t
.
m
FIGURA 7.10. Esfuerzos en la discontinuidad elíptica
Cuando m b = 2 t , la expresión (7.48) queda como.
2
2 t =  yy ±  yy
+  xy2
Despejando  xy2 de esta ecuación, se obtiene
 xy2 = 4 t ( t −  yy )
(7.49)
Matemáticamente la ecuación (5.49) representa una parábola en el plano  xy −  yy y constituye
la envolvente de resitencia de Mohr para una falla de tipo frágil, es decir:
 yy ±  yy2 +  xy2 = cte
Donde la constante es igual a dos veces la resistencia a la tensión del material determinada
experimentalmente en el laboratorio.
FIGURA 7.11. Envolvente de falla.
Este criterio de falla explica el porqué se relaciona la curvatura de la envolvente de falla con la
presencia de fisuras en la roca.
Obtengamos ahora una expresión que relacione directamente al esfuerzo máximo de tensión
con  1 y  3 . De la Teoría de la Elasticidad se tiene que:
2 yy = ( 1 +  3 ) − ( 1 −  3 ) cos 2 
(7.50)
2 xy = ( 1 −  3 ) sen 2 
(7.51)
Sustituyendo las ecuaciones (7.50) y (7.51) en la ecuación (7.48), se tiene.
m b =
1
[( 1 +  3 ) − ( 1 −  3 ) cos 2 ]
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
±  ( 1 +  3 ) − ( 21 −  2 3 )cos 2  + ( 1 −  3 ) cos 2 2  + ( 1 −  3 ) sen 2 2  
2
4
4
4

Así obtenemos finalmente:
m b =
1
1
 ( 12 +  32 ) − ( 12 −  32 ) cos 2  
 ( 1 −  3 ) − ( 1 −  3 ) cos 2   ±

2
2
(7.52)
Ahora analicemos el caso general cuando el ángulo b es variable (figura 7.12).
FIGURA 7.12. Discontinuidades con diferente inclinación
17
Encontremos el  b máximo “maximorum” haciendo variar la expresión (7.48) con respecto a
a (lo que ya se hizo con anterioridad), y con respecto a b.
Para obtener el  b máximo “maximorum”, derivemos la ecuación (7.52) con respecto a  e
igualemos a cero, así:
1 2
( 1 −  32 )2sen 2
d b 1
1
2
= ( 1 −  3 )2 sen 2  ±
=0
d 2
2 1 2
2
2
2
( 1 +  3 ) − ( 1 −  3 )cos 2
2
[


( 1 −  3 )sen 2 1 ± 1
2


d b
1
=1
d
2
]


1 +  3
=0

1 2
 1 +  32 −  12 −  32 cos 2  
2

[(
) (
1 +  3
[(
) (
]
)
)
1 2
 1 +  32 −  12 −  32 cos 2 
2
]
=0
1
1
 ( 12 +  32 ) − ( 12 −  32 ) cos 2   = ± ( 1 +  3 )

2
2
(7.53)
Desarrollando esta última ecuación, se tiene
[(
) (
)
]
(
)
1 2
1
 1 +  32 −  12 −  32 cos 2 = ( 1 +  3 )2
2
4
(
)
1 2
1
1
 1 −  32 cos 2 =  12 +  32 − ( 1 +  3 )2
2
2
4
1 2 1 2
 1 +  3 −  1 3
2
cos 2  = 2
 12 −  32
cos 2 =
cos 2  =
(1 −  3 )2
2( 1 −  3 )( 1 +  3 )
1 −  3
2 ( 1 +  3 )
(7.54)
La ecuación (7.54) permite calcular el valor del ángulo  que conduce al máximo valor del
m b .
Si hacemos que:
k=
3
1
cos 2  =
1− k
2(1 + k )
Conocidos  1 y  3 se puede evaluar el plano donde se va a presentar la falla del material.
Sustituyendo las ecuaciones (7.53) y (7.54) en la (7.52), se obtiene.
1
 −3  1
m b = ( 1 +  3 ) − ( 1 −  3 ) 1
 − ( 1 +  3 )
2
2( 1 +  3 ) 2
( −  3 ) = 2
m b = − 1
t
4 ( 1 +  3 )
(7.55)
2
Esta es la expresión de la envolvente general de Griffith para un material de con fisuramiento
isotrópico.
En una prueba de compresión simple s3=0,  1 ≠ 0 , y la ecuación (7.55) se reduce a:
 12 + 8  t 1 = 0
(7.56)
 1 = −8  t
De la ecuación anterior puede observarse que la resistencia a la compresión simple (Rc ) es 8
veces la resistencia de la roca a la tensión ( t ) . En la práctica se ha encontrado que la Rc es
del orden de 10 veces la resistencia a la tensión.

 xy2 = 4  t ( t −  y )
2t
8 t

t
FIGURA 7.13. Representación gráfica de la ecuación (5.56).
La ecuación de la parábola que se muestra en la figura (7.13), tiene como ecuación.
19
 xy2 = 4  t ( t −  yy )
(7.57)
Si  y = 0 , se obtiene la cohesión de la roca:
c =  xy = 2 t
De lo anterior puede concluirse que la cohesión de la roca es la cuarta parte de su resistencia a
la compresión simple.
La falla de la muestra se va a presentar por insuficiencia de resistencia a la tensión en la matriz
rocosa, en un punto cercano a la cúspide de la elipse representativa de la discontinuidad más
desfavorable para su estabilidad. Las fisuras se propagan en un principio con un ángulo 2b
con respecto al eje de la discontinuidad, y posteriormente tienden a tomar la dirección paralela
al esfuerzo  1 , no siendo ya peligrosas cuando llegan a este punto, debido a que el esfuerzo de
confinamiento  3 no deja progresar la grieta.
Problemas resueltos
PROBLEMA 7.1
El tensor esfuerzo en la viga, que se muestra en la figura (5.8), está dado por
 2 xy
c2 − y 2
3P  2
Tij = 3 c − y 2
0
4c
 0
0

Siendo c el semiperalte de la sección transversal de la viga y
extremo.
0

0
0 
P una carga puntual aplicada en su
y
x
c
P
c
z
L
1
FIGURA 5.8 Barra prismática sometida a una carga puntual P en su extremo libre
Determine, aplicando el criterio de VMH, el valor límite de la fuerza P, de tal forma que la viga se
mantenga dentro del rango elástico.
SOLUCIÓN:
La teoría del medio continuo será aplicable si I12 − 3I 2 〈 S 2f , en todos los puntos del medio.
Si en algún punto I12 − 3I 2 = S 2f , se establecería el límite del tensor Tij hasta donde sería aplicable la
mecánica del medio continuo.
Si en algunas regiones I 12 − 3I 2 〉 S 2f , la teoría de la mecánica del medio continuo no será aplicable.
Si P se aplica al medio, se busca de definir la región del medio continuo en el cual sea aplicable la
teoría elástica.
k=
Llamando:
3P
4c 3
Entonces los invariantes valen:
I1 = 2 xyk
I 2 = −(c 2 − y 2 ) 2 k 2
Sustituyendo los valores de I1 e I2 en la ecuación (5.39) existirá fluencia cuando
4 x 2 y 2 k 2 + 3k 2 (c 4 − 2c 2 y 2 + y 4 ) = S 2f
Desarrollando:
4 x 2 y 2 k 2 + 3k 2 c 4 − 6k 2 c 2 y 2 + 3k 2 y 4 = S 2f
4 x 2 y 2 + 3(c 4 − 2c 2 y 2 + y 4 ) =
S 2f
k2
Esta última ecuación representa la condición de fluencia de VMH.
La elasticidad sería aplicable mientras no se plastifique algún punto. Los puntos más esforzados son
a (L, −c) y b (L, +c).
Se iniciará la fluencia en el medio en el instante en que las coordenadas de los puntos a y b
satisfagan la condición de VMH.
Sustituyendo las coordenadas de los puntos en la condición de fluencia, se tiene:
4 L c + 3(c − 2c + c ) =
2 2
4L c =
2 2
f
9P2
= 2 2
6
16c
4L c
2
4
 2f
k2
4
4
∴ k =
2
 2f
k2
 2f
4 L2 c 2
16c 4 2f 4c 4 2f
P2 =
=
36 L2
9 L2
21
P=±
2c 2 f
3L
Si la fuerza P del extremo está comprendida entre los límites −
2c 2 f
3L
〈 P 〈
2c 2 f
3L
, el medio es
elástico.
Si
P≥
2c 2 f
3L
, el material deja de ser elástico.
PROBLEMA 7.2
El tensor esfuerzo en la viga que se muestra en la figura (5.9) está dado por:
0
0
0


Mz

Tij = 0
x 0


Iz


0
0
0
Siendo Mz el momento flexionante aplicado en los extremos de la viga e Iz el momento de la inercia
centroidal de la misma. Determine, aplicando el criterio de VMH, el momento de fluencia Mf de la
viga.
x
Mz
Mz
c
c
y
FIGURA 7.9 Viga sometida a flexión pura
SOLUCIÓN:
Existirá plastificación si I12 − 3I 2 〉 S 2f
2
2
 Mz 
M x
x  = S 2f ;  z  = S f

 Iz 
 Iz 
x=
Iz
Sf
Mz
Las rectas límites pasan por el borde del medio si c =
Así
M f = Sf
Iz
c
Iz S f
Mf
, por lo tanto Mz = Mf .
Si
M f 〈 Sf
Iz
,
c
todo el medio es elástico.
Si
M f 〉 Sf
Iz
,
c
el medio deja de ser elástico y sólo una porción próxima al eje y
permanecerá elástica.
Esta distribución de esfuerzos aparecerá cuando la sección se ha plastificado completamente, y será
engendrada por un momento plástico total Mp , tal que
Mp 〉 Mf
Por estática se puede afirmar que el Mp es la resultante de la distribución de esfuerzos en la sección
transversal completamente plastificada.
M p = Fc
M p = S f bc 2
Por otra parte,
Mf =
2
M f = bc 2 S f
3
1 b(2c)3
Sf
12 c
⇒
Mf =
2
Mp
3
Si el material que forma la pieza tiene el diagrama supuesto, se puede incrementar el momento que
provoca la primera fluencia en 50% para alcanzar el momento que provoca fluencia en toda la sección
transversal.
3
Mp = Mf
2
Mp
La relación que existe entre el momento de la fluencia y el momento de plastificación total,
,
Mf
depende de la forma de la sección transversal y puede oscilar entre 1 y 2.5.
1.07 <
Mp
< 1.17
Mf
Mp
= 1.5
Mf
Mp
> 1.5
Mf
FIGURA 7.10 Relación Mp /Mf para diferentes secciones
23
PROBLEMA 7.3
Para el estado de esfuerzo:
0
0
0


Mz
Tij = 0
x 0 siendo  y  constantes


Iz


0
0
0
Determine el esfuerzo de fluencia empleando los criterios de Coulomb-Tresca y VMH.
Los esfuerzos principales se obtienen resolviendo la ecuación característica, y resulta:
1 =  + 
2 = 
3 =  −
Así, el tensor esfuerzo queda como
 ( +  ) 0

Tij =  0

 0
0

0 

0 
( −  )
Condición de fluencia de VMH:
I12 − 3 I 2 = S 2f
Los invariantes del tensor esfuerzo son:
I 1 = 3
I2 =
( +  )
0

0
+
0
( −  )
+
0 ( −  )
0

I 2 = ( +  )  +  ( −  ) + ( −  )( +  )
I 2 =  2 +  +  2 −  +  2 +  −  −  2
I 2 = 3 2 −  2
Por lo que, aplicando la condición de fluencia de VMH, se tiene:
( 3 )
2
− 3 ( 3 2 −  2 ) = S 2f
9 2 − 9 2 + 3 2 = S 2f
S 2f = 3 2
⇒
S 2f = ± 3
S f = ±1.73
0
( +  )
Utilizando el criterio de Coulomb-Tresca:
 m áx =
1 −  3
2
=
Sf
2
( +  ) − ( −  )  f
=
2
⇒
2
 f = 2
Obsérvese que este último criterio permite un mayor esfuerzo de fluencia comparado con la teoría de
VMH.
PROBLEMA 5.4
Una muestra cilíndrica de un material deformable está confinado por un molde rígido que no le permite
deformarse lateralmente, bajo una presión constante p . Aplicando el criterio de VMH, diga si el
material alcanza la condición de fluencia.
Para establecer el estado de esfuerzos y deformaciones suponga que el cuerpo deformable es elástico
lineal, homogéneo e isótropo. Suponga además que no se producen esfuerzos cortantes en el contacto
molde-muestra.
P
molde
rígido
a)
y
b)
molde
x
muestra
z
FIGURA 7.11 Muestra cilíndrica en un molde rígido,
a) alzado, b) planta
Datos:
E =
 =
Sf =
p =
2.1 × 108 kPa
0.2
4000 × 102 kPa
1000 × 102 kPa
25
5.5 TEORÍA DE VON MISES HENCKY
SOLUCIÓN:
Las ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales, homogéneos e isótropos son:
xx = 2Gεxx + λJ1
yy = 2Gεyy + λJ1
zz = 2Gεzz + λJ1
Cálculo de las constantes elásticas.
G=
E
2.1 × 108
=
= 0.875 × 108 kPa
(1 − 2 ) 2(1 + 0.2)
=
E
0.2 × 2.1 × 108
=
= 0.583 × 108 kPa
(1 +  )(1 − 2 ) (1 + 0.2)(1 − 2 × 0.2)
De los datos del problema, se pueden establecer las siguientes condiciones:
xx = −p ;
εxx ≠ 0
yy ≠ 0 ;
εyy ≠ 0
zz ≠ 0 ;
εzz = 0
Para yy se tiene:
yy = λJ1
Para zz se tiene:
zz = λJ1
Para xx se tiene:
⇒
yy = zz
xx = −1000 = 2Gxx + λJ1(xx + yy + zz)
−1000×102 = 2Gxx + λxx = xx (2G + λ)
 xx =
−1000 × 102
−1000 × 102
=
(2G +  )
(2 × 0.875 × 108 + 0.583 × 108 )
 xx = −0.428 × 10−3 = J1
 yy = 0.583 × 10 −3 × −0.428 × 10 −3 = −249.5 × 10 2 kPa
 yy =  zz = −249.5 × 10 2 kPa
Por lo tanto, el tensor esfuerzo resulta igual a
0
0 
 −1000

Tij =  0
−249.5
0  × 102 kPa
 0
0
−249.5
Aplicando el criterio de VMH, se tiene:
S 2f = I12 − 3 I 2
26
Cálculo del primer invariante I1.
I1 =  xx +  yy +  zz = −1000 × 10 2 − 249.5 × 10 2 − 249.5 × 10 2
= −1499.0 × 102 kPa
I 2 = {( −1000 × −249.5 ) + ( −249.5 × −249.5 ) + ( −249.5 × −1000 )} × 104
I 2 = 561250 × 104
S 2f = 1499.0 2 − 3 × 561250 × 10 4 = 563251 × 10 4
S f = 750.5 × 10 4 kPa (esfuerzo de fluencia calculado)
Dado que 750.5 × 104 kPa 〈 4000 × 104 kPa , no se presenta fluencia en el material.
27