1.1.2. Ángulo Trigonométrico 1.1.3. Ángulos Trigonométricos

Transcripción

1.1.2. Ángulo Trigonométrico
1.1.2A. Definición
En todas las torres de control de aeropuertos
generalmente existen 2 radares para controlar el
tráfico aéreo.
El radar primario detecta todo objeto volador
en el aire y lo refleja en la pantalla de barrido (ver
imagen). El secundario detecta la señal de un
transmisor instalado en la cabina del avión.
En ambos casos los aparatos utilizan los pulsos electromagnéticos lanzados al espacio como
rayos giratorios, descritos por medio del concepto de ángulo trigonométrico.
1.1.1. La Trigonometría
No es posible fijar de una manera precisa el origen de la Matemática, sólo se puede afirmar que
se remonta a tiempos muy antiguos y menos aún podríamos señalar el instante en que apareció
la Trigonometría.
Podemos conceptuar la Trigonometría como aquella parte de la matemática elemental que se
ocupa del estudio de las relaciones métricas de los ángulos y lados de todo triángulo con la
ayuda de las llamadas funciones trigonométricas. Se dice también y con justicia que:
El ángulo trigonométrico es la figura formada por dos rayos geométricos, de origen común, que
se genera por la rotación de uno de ellos, llamado rayo generador, alrededor de su origen, llamado
vértice del ángulo trigonométrico, desde una posición inicial, llamada lado inicial, hasta una posición final, llamada lado final.
El ángulo trigonométrico se distingue, además, del
ángulo geométrico en que éste se toma siempre en valores
absolutos y limitados, mientras que aquél puede ser positivo o negativo y de valores sin límite.
Ejemplo.- Las figuras que se muestran al lado son dos
ángulos trigonométricos.
Obsérvese que cada figura incluye una flecha curva
que señala la forma en que se realizó la rotación del
rayo generador. Cada ángulo trigonométrico es denotado por una letra o  que además indica su medida.
1.1.2B. Sentido de rotación
El sentido de rotación se define como la forma en que se produce la rotación del rayo generador del ángulo respecto de un observador.
El sentido de rotación de un rayo generador puede ser: horario o antihorario, esto es, en el mismo
sentido del movimiento de las manecillas de un reloj o en sentido contrario, respectivamente. En el
primer caso la medida de un ángulo es positiva y en el segundo es negativa.
Ejemplo.- Los ángulos trigonométricos y  del ejemplo anterior son (+) y (-) respectivamente.
1.1.3. Ángulos Trigonométricos Básicos
La Trigonometría es la ciencia del cálculo indirecto
En la actualidad la Trigonometría no puede encasillarse en una definición ni en un único
campo de acción puesto que en estos tiempos ella interviene en toda clase de materias, tales como
en: Topografía, Astronomía, Geometría Analítica, Física, y en general no hay parte de la matemática y de las otras ciencias que no demanden un conocimiento previo de la Trigonometría en
general.
La palabra «TRIGONOMETRÍA» proviene de las raíces griegas:
ÁNGULO
DEFINICIÓN
EJEMPLIFICACIÓN
Es el ángulo trigonométrico en el que, luego de la rotación, coinciden por primera vez el lado inicial (i) con el
lado final (f). Se denota por: 1v.
Es el ángulo trigonométrico en el que el rayo no ha
experimentado rotación alguna. Se denota por: 0v.
TRI ... tres
GONO ... ángulo
METRON ... medida
Etimológicamente hablando, la Trigonometría se definiría como «la ciencia del estudio de la
medida de los tres ángulos que representan a un triángulo»
10
Trigonometría
Es el ángulo trigonométrico cuya medida es la mitad del
ángulo de una vuelta. Se denota por: 1/2v.
Es el ángulo cuya medida es la cuarta parte del ángulo
de una vuelta. Se denota por: 1/4v.
Según esta definición: 1v = 4 ángulos rectos.
Und. 1 Introducción a la Trigonometría
11
Observaciones:
1ra. De acuerdo con la definición de ángulo trigonométrico, su medida puede tener un valor
ilimitado, es decir, no tiene límite numérico lo cual se explica por que el rayo que define la
posición del lado final puede haber rotado tanto como se desee y en cualquiera de los dos
sentidos.
Ejemplo.- Dibujemos dos ángulos trigonométricos de más de una vuelta.
1.1.5. Suma de Ángulos
La suma de dos o más ángulos trigonométricos de un mismo sentido se define como otro
ángulo trigonométrico cuyo valor se obtiene mediante la suma algebraica de las medidas de
dichos ángulos.
Debe quedar claro que para realizar la suma de ángulos trigonométricos éstos deben tener el
mismo sentido. La suma puede hacerse considerando ángulos en sentido horario o antihorario.
Ejemplo.- Determinemos la suma de los siguientes ángulos trigonométricos:
O
O
2da. A diferencia del ángulo geométrico, que por definición tiene una medida que no puede ser 0°
ó 180°, el ángulo trigonométrico sí puede tomar estas y otras medidas.
<>
x = 
Ejemplo.- Dibujemos un ángulo nulo y un ángulo llano.
Obsérvese que ha sido necesario cambiar el sentido del ángulo , por otro -, de este modo los
tres ángulos tienen sentidos iguales. Sin embargo, también pudo cambiarse el sentido de  y .
3ra. Las unidades de medida del ángulo trigonométrico se definirán más adelante aunque es
obvio que entre ellas están los grados sexagesimales (°) indicados en el ejemplo anterior.
1.1.6A. Definición
Un sistema de medida angular se define como el conjunto de unidades establecidas para
medir ángulos.
1.1.4. Cambio de Signo
Se define como el proceso mediante el cual un ángulo trigonométrico invierte el sentido de
rotación del rayo generador, de modo que su lado final, se intercambia por el lado inicial y
viceversa, cambiando de este modo el signo de su valor.
Ejemplo.- En cada uno de los siguientes casos se da un ángulo trigonométrico y de lo que se trata
es cambiar su signo original.
Primer caso
1.1.6. Sistemas de Medida Angular
Segundo caso
Existen tres sistemas llamados: Sexagesimal (Inglés); Centesimal (Francés) y Radial o Circular (Internacional), los cuales se han definido en base a una división particular de la circunferencia.
1.1.6B. Sistema sexagesimal
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado sexagesimal (1º), definida como la abertura
equivalente a 1/360 de una vuelta o circunferencia.
A continuación se muestran todos los submúltiplos del grado sexagesimal y sus equivalencias:
En el 1er caso  es positivo, entonces - es negativo.
En el 2do caso  es negativo y - es positivo.
Estos ejemplos nos muestran que si un ángulo trigonométrico es positivo, al cambiar el sentido de rotación del rayo generador, se transforma en negativo y viceversa.
12
Trigonometría
De este cuadro se puede reconocer que: 1’’ < 1’ < 1° < 1 v
13
Si la medida de un ángulo contiene a grados, b minutos y c segundos sexagesimales, estos se
anotan así:
aº + b' + c'' º = aº b’c’’
Ejemplo.- Determinemos a cuántos (s) equivalen 45g .
Lo que haremos es calcular a cuántos ( m ) equivalen los grados dados, a continuación calcularemos a cuántos ( s ) equivale el resultado obtenido. Veamos:
a) 45 g = 45(100 m)

45 g = 4 500 m
Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (‘’) equivalen 32°.
b) 4500 m = 4500 (100 s)

4500 m = 450 000 s
Lo que haremos es calcular a cuántos (‘) equivalen los grados dados y luego establecer a cuántos
(‘’) equivale el resultado obtenido. Veamos:
Observación.- Resulta claro que:
a)
1.1.6D. Sistema radial
donde: b y c son menores que 60.
32° = 32(60‘)
b) 1920’ = 1920(60’’)

32° = 1 920’

1920’ = 115 200’’
Ejemplo 2.- Expresemos 12,26° en (°), (‘) y (’’).
1 v  1 v  1g  1º
400
360
Es el sistema que tiene por unidad al radián, denotado por rad.
En términos geométricos diremos que 1 rad, es la medida de un ángulo central que subtiende
un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.
En primer lugar separaremos la parte entera de la parte decimal: 12,26° = 12° + 0,26°
60'
Ahora transformamos la parte decimal a (‘): 12,26° = 12° + 0,26°· 1º = 12°15,6’
Finalmente transformamos la parte decimal que queda en (‘’):
60''
12°15,6’ = 12° 15’ + 0,6’· 1' = 12°15’ 36’’
1.1.6C. Sistema centesimal
Es el sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal (1g), definida como la medida del
ángulo central que subtiende un arco equivalente a 1/400 de una vuelta o circunferencia.
A continuación se muestran todos los submúltiplos del grado centesimal y sus equivalencias:
Para efectos de comparación con los otros sistemas de medidas angulares diremos que el
radián es la medida del ángulo central que subtiende un arco equivalente a una vuelta dividida
por 2.
1v
= 1 rad  1v = 2 rad
2
donde:   3,1416
Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (º) equivale 1 rad.
Lo que haremos es comparar grados sexagesimales y radianes con aquello que les es común: la
vuelta. Así tenemos que:
2 rad = 1 v, y 1 v = 360º
Luego, por la ley transitiva de la igualdad, se tiene:
2 rad = 360º
De este cuadro se puede reconocer que las unidades verifican la siguiente relación:
1s < 1m < 1g < 1 v
  1 rad  360º
2
  1 rad  57,296º
Ejemplo 2.- Determinemos a cuántos (g) equivale 1 rad.
Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior, tenemos que:
Si la medida de un ángulo contiene x grados, y minutos y z segundos centesimales, estos se
anotan así:
x g + y m + zs = x g y m z s
2 rad = 1 v, y 1v = 400 g
2 rad = 400 g

donde y y z son menores que 100.
14
Trigonometría
1 rad  400
2
g

1 rad  63,662
g
15
1.1.7. Conversión de Unidades Angulares
1.1.7C. Conversión entre grados sexagesimales y radianes
Como: 1v = 360º = 2 rad
1.1.7A. Fórmula general de conversión


Llamamos así a la relación matemática mediante la cual la medida de un ángulo, expresada
en uno de los sistemas, puede expresarse en cualquier otro sistema.
Si Sº; C g y R rad representan la medida de un ángulo expresada en cada uno en los tres
sistemas, entonces se debe cumplir que:
Sº = Cg = R rad
180º =  rad
rad
1 = 180º
= 180º
rad
Factores de conversión
El primer factor 180º , se emplea para convertir (rad) a (º).
 rad
El segundo factor  rad , se emplea para convertir (º) a (rad).
180º
1.1.7D. Conversión entre grados centesimales y radianes
Si convertimos S y C a radianes, aplicando los factores de conversión, tendremos:
Como: 1v = 400g = 2 rad
 200g =  rad
g
 rad
 1  200 
 rad 200g
g  rad
Sº   rad  C 
 R rad
g
180º
200
g
S  C R
180 200 
Simplificando se obtiene:
El primer factor 200 , se emplea para convertir (rad) a (g).
 rad
(**)
El segundo factor  radg , se emplea para convertir (g) a (rad).
200
En esta fórmula se debe tener en cuenta que:
1.1.7E. Tabla de Conversión entre (º) y rad
S = Número de grados sexagesimales.
C = Número de grados centesimales.
R = Número de radianes.
Ejemplo.- Convirtamos 45° al sistema centesimal y sistema radial.
Dado que S = 45 reemplazando en (**):
 45  C
45  C  R   180 200

180 200 
 45  R
 180 
 C  50
 45º  50   rad
4
g

R 
4
1.1.7B. Conversión entre grados sexagesimales y grados centesimales
Como: 1v = 360º = 400g

9º = 10g
g
 1  9ºg  10
9º
10
El primer factor
9º
g
g , se emplea para convertir ( ) a (º).
10
g
El segundo factor 10
, se emplea para convertir (º) a (g).
9º
16
Trigonometría
1.1.8. Transformaciones Condicionadas
1.1.8A. Transformaciones condicionadas
Llamamos transformaciones condicionadas a un grupo importante de casos de conversión en
los que la medida de un ángulo en un sistema está relacionada de un modo específico con su
medida en otro sistema.
Para la resolución de este tipo de casos es importante identificar nuevas formas de relación
entre las medidas S, C y R de un mismo ángulo. La clave de este proceso consiste en expresar la
medida de un ángulo trigonométrico en los tres sistemas mediante un mismo parámetro.
17
La expresión obtenida para la fórmula general es una proporción de razón «k», cuyo valor
dependerá de la medida del ángulo dado, luego:
S = C = R k
180 200 
. . . (*)
De esta igualdad resultan las siguientes relaciones notables que serán empleadas en los ejercicios condicionales:
S = 180 k
C = 200 k

R = k

01.- Dados los siguientes ángulos trigonométricos, completar el siguiente cuadro, donde: LI (lado inicial), LF
(lado final), S (sentido), SA (sentido antihorario) y SH
(sentido horario):
(e)
(f)
(g)
(h)
(I)
Si (*) lo multiplicamos por 20, obtenemos: S = C = 20R  20 k
9 10

Haciendo 20k = r, y despejando resulta:
S=9r

C = 10 r
R=

r
20
(II)
03.- Determina el valor de  en cada uno de los casos
mostrados:
Donde r es una nueva constante de proporcionalidad.
Ejemplo.- La medida de un ángulo verifica: 2S + C = 140, determinemos su valor en radianes.
i.
ii.
iii.
iv.
Reconociendo que S y C representan la medida del mismo ángulo, y tratándose de una relación
condicionada entre estas medidas, aplicamos la relación (I):
2(180k) + 200k = 140
Y como: R = k


560k = 140

k = 1/4
R = /4
1.1.8B. Cambio de variable para submúltiplos
04.- Convierte los ángulos ,  y , en ángulos positivos, si no lo son, y escribe su suma:
Si S y C son los valores de la medida de un ángulo en (°) y (g) respectivamente, entonces dichas
medidas expresadas en minutos y segundos en los sistemas sexagesimal y centesimal,
correspondientemente, son:
a.
.............................
b.
.............................
c.
.............................
d.
.............................
e.
.............................
Número de minutos sexagesimales = 60 S
;
Número de segundos sexagesimales = 3 600 S
Número de minutos centesimales = 100 C
;
Número de segundos centesimales = 10 000 C
Ejemplo.- Sabiendo que a y b son los minutos sexagesimales y centesimales, respectivamente, que
posee un ángulo, se pide calcular su medida en radianes, sabiendo además que:
02.- Anotar, al lado de cada ángulo trigonométrico, su
correspondiente medida en términos de vueltas, siendo «i» el lado inicial y «f» el lado final:
(a)
(b)
a  b  68
12 25
Debemos reconocer que: a = 60S, y, b = 100C. Luego, al reemplazar en la condición, se tiene:
60S  100C  68
12
25

(c)
5S + 4C = 68
(d)
Como se hizo en el ejercicio anterior, aplicamos la relación condicionada entre estas medidas
dada en (I):
5 (180 k) + 4 (200 k) = 68
Y como:
18
Trigonometría
R = k

1700 k = 68

R = /25

k = 1/25
19
05.- Convierte a grados, minutos y segundos sexagesimales cada una de las siguientes medidas:
a. 12,74° = ..................................
Prob. 01
b. 35,56° = ..................................
c. 45,45° = ..................................
06.- Convierte a grados sexagesimales cada una de
las siguientes medidas:
Obtener el valor de «x».
Cambiamos el sentido de giro a .
11.- Expresar cada medida en grados, minutos y segundos sexagesimales:
a. 10°28’2’’ = ..................................
b. 52°8’20’’ = ..................................
c. 45°45’45’’ = ..................................
07.- Convierte a grados, minutos y segundos centesimales cada una de las siguientes medidas:
b. 85,45 g = ..................................
12.- Sabiendo que la medida de un ángulo expresada
en los tres sistemas es S, C y R, respectivamente, se
pide determinar la medida del ángulo en radianes, sabiendo que ésta verifica las siguientes condiciones:
c. 85,25 g = ..................................
a. S + C = 38
............................
b. 2S – C = 24
............................
a. 58,25 g = ..................................
08.- Convierte a grados centesimales cada una de las
siguientes medidas:
g
m
s
c. 3S + 2C = 21
............................
g
m
s
d. 4S – 3C = 60
............................
c. 64 g70 m 75 s = ..................................
e. 3C  2S  30
4
............................
09.- Completar cada uno de los siguientes cuadros:
13.- Visualiza cada gráfico, analiza las condiciones y
determina el valor de «x».
a. 20 48 20 = ..................................
b. 50 25 80 = ..................................
Los dos ángulos deben sumar 360º, así:
x – 90° + (-) = 360°
Cambiamos el sentido de giro a los ángulos
negativos:

x = 450º + 
Prob. 03
En el gráfico mostrado, calcula «x»
a.
En el gráfico observamos que:
- = -x + 
a.

x=+
Observa que «x» es positivo, cambiamos el sentido de giro a «».
Prob. 02
b.
b.
Según la figura mostrada, calcula «x»
Observa que «-» es mayor que 360°, luego se
cumple que:
10.- Expresar cada medida en grados, minutos y segundos centesimales:
c.
- = 360° + x
 x = -360 – 
20
Trigonometría
21
-(5° – x) + (x – 5°) = 90°
Prob. 04
Calcula el valor de «x», si: L1 || L2 .

+x – 5° + x – 5° = 90°
2x – 10° = 90°
2x = 100°


Prob. 09
Nuestra estrategia consistirá en orientar todos
los ángulos en un mismo sentido, en nuestro
caso el sentido antihorario.
Luego:
mAOC = 
x +  + (-) = 1 vuelta
x = 50º
Del gráfico mostrado, calcula 10x – 9y
 = 1 vuelta + 
Además:
. . . (1)
. . . (2)
Sumando la ecuaciones (1) y (2), obtenemos:
Prob. 06
x +  –  = 2 vueltas + 
Del gráfico mostrado, calcular «x».
Cambiamos el sentido de giro al ángulo yg.
De donde: x = 2 vueltas +–= 2(2) + –
Observa que  y  son negativos y x es positivo,
le cambiamos de sentido a  y , así:

x = 4 – 
Prob. 08
Orientamos el ángulo  al sentido antihorario,
resultando:
Encuentra la medida del ángulo BOC, denotada
por mBOC, en radianes.
Los tres ángulos suman 360°, así:
x º (  y )  2  rad  360º
3
g
Convertimos todos a grados sexagesimales:
Como L1 y L2 son paralelos entonces se cumplirá que:
- = - + x

x=–
Prob. 05
g
x º  y  9ºg  2  rad  180º  360º
3
 rad
10
 –  – x = 180º
- x = 180º –  + 


x =  –  – 180º
Reduciendo resulta:
Dando el sentido positivo a los ángulos, se tiene:
(20 – x)° + (-x – 40)° = 180°

De la figura, calcula «x».
Prob. 07

mBOC = - (-100 + 40)°
Trigonometría
Finalmente:
10x – 9y = 2400
x = -100
Finalmente: mBOC = - (x + 40)°
22
9y º
 120º  360º
10
10x º 9 y º
 240º
10
-2x – 20 = 180
-2x = 200
Calcular «x», si:  y  son datos.
Si hacemos que los ángulos tengan el sentido,
antihorario sus medidas son: (x – 5°) y -(5° – x).
Por tratarse de dos ángulos complementarios,
la suma de sus medidas es 90°, luego:
xº 

mBOC = 60º

mBOC = 60°·


m BOC = 3 rad
Prob. 10
Determina el valor de x  y , sabiendo que:
4xº = y g. Además se sabe que éstos son como se
muestra en la figura:
 rad
180
23
Cambiando el sentido del ángulo BOC, para
luego sumarlo con el ángulo AOB, tendremos:
x° + yg = 180°
. . . (1)
g
Pero por condición: 4x° = y

Finalmente :

xy =
Prob. 16
Se tienen tres ángulos tales que si los sumamos de
dos en dos se obtiene respectivamente: 50°, 80 g y
/6 rad. Calcular el menor de los ángulos en grados sexagesimales.
Expresa /64 rad en grados, minutos y segundos
sexagesimales.
Las medidas de tres ángulos están en progresión
aritmética cuya razón es 20°. Si los dos ángulos
mayores son complementarios, evalúa el triple de
la suma de los tres ángulos en el sistema centesimal.
9º
g
10
g
x + y = 50° ; x + z = 80 ; y + z =
g
196
x  y = 14

rad
6
A continuación convertimos cada uno de los
valores dados al sistema sexagesimal, así:
9
80 ·
g = 72°
10
y = 160
36  160 =
Convertimos
Del enunciado, se plantea:
 5x° = 180°  x = 36
Sustituyendo en (2): 4 (36)º = y g ·
Prob. 14
. . . (2)
Reemplazando (2) en (1), tendremos:
x° + 4x° = 180°
Prob. 12
De donde:
x + z = 72°

x + y = 50º
. . . (1)
. . . (2) ;
y + z = 30° . . . (3)
2(x + y + z) = 152°  x + y + z = 76°
La suma de dos ángulos es 56° y la diferencia de
los mismos es 60 g. Encontrar la medida del menor
de dichos ángulos en radiantes.
. . . (4)
Finalmente, reemplazamos (1) en (4):
z + 50° = 76°

z = 26°
En (2) resulta: x = 46°  en (1) resulta: y = 4°
El menor mide 4º
Sean  y  los ángulos, luego de las condiciones dadas se puede plantear que:
 +  = 56°

 –  = 60 g
Puesto que la medida del ángulo se pide en
radianes, convertimos estos valores a radianes,
así tendremos:
56°·
 + =
14
3
rad   – =
rad
45
10
De donde deducimos que  es el menor tal que:
 14   3 
 28  27  
2 = 
rad2 = 
rad
10 
90
 45




=
rad
180
24
Trigonometría


45
rad =
64
16
A continuación dividimos como sigue:
Sean: x, x + 20º, x + 40º los ángulos dados en
progresión aritmética. Luego por condición del
problema los ángulos de mayor medida deben
ser complementarios, por lo tanto:
(x + 20º) + (x + 40º) = 90°
13º  60'  780'
1º
12'  60''  720''
1'

Así, se verifica que:
rad =
64

2x + 60° = 90°

x = 15°
Luego la suma pedida es:
3x + 60º = 3(15º) + 60º = 105°
2º 48' 45"
Y su triple convertido al sistema centesimal:
g
3(105º)· 10
9
Prob. 15
Determina el menor de dos ángulos en grados sexagesimales, tales que uno de ellos sea seis veces
el complemento del otro y este último los 2/3 del
suplemento del primero.
Finalmente el resultado es:
350g
Prob. 17
Del triángulo mostrado, calcular «x».
Prob. 13
Sean  y  los ángulos, luego se cumple:
Haciendo conversiones, simplifica:
o
4 x   x rad  19x 

 5 
E 5
o
 2,79x o
 rad
14
3
 rad
=
rad y 60g·
g = 10 rad
180 º
45
200
Estas mismas condiciones quedan así:

180
rad =
64
64

180
rad =
= 30°
6
6
Sumando miembro a miembro:
Prob. 11

rad al sistema sexagesimal, así:
64
Para simplificar convertimos al S.S:
180
x
rad .
= (36x)°
 rad
5
Entonces, nos quedará:

 4 x   ( 36 x )  ( 19 x )
( 55 ,8 x )
 5 
E=
=
( 2 ,79 x )
( 2 ,79 x )
Simplificando:
E = 20
 = 6· C()   = 6(90° – )
  + 6 = 540°
2
=
S()  3 = 2(180° – )
3
 3 + 2 = 360°
 6 + 4 = 720°
g
Resolviendo como sigue, tendremos:
A + C = 90º  10 x + 6xº = 90º
6   4   720 

  6   540 
Convertimos a (º):
 3 = 180°
  = 60° 
Los ángulos agudos A y C son complementarios, es decir:
10 xg· 9ºg + 6xº = 90º
10
Simplificando obtenemos:
9xº + 6xº = 90º 
 = 80°
Finalmente, el menor ángulo mide:
60°
15xº = 90º
x = 6
25
Prob. 18
De donde: B + C – A = 2n° + 5n° – 3n°
Los ángulos de un triángulo están en progresión
geométrica cuya razón es 3. Calcular la medida
del mayor ángulo en radianes.
 B + C – A = 4n°  B + C – A = 4 (18)°
Reemplazamos: S = 180 k ; C = 200 k ; R = k
 B + C – A = 72º
Prob. 20
Sea ABC un triángulo cuyos ángulos están en
progresión geométrica de razón 3:
2S + C = 140
El número de grados sexagesimales de un cierto
ángulo y los 2/3 del número de grados centesimales
de otro, están en la relación de 9 a 10. Calcula la
medida de los ángulos, sabiendo además que son
suplementarios.
Como los ángulos son suplementarios entonces podemos dibujarlos así:
380 k + k = 380 + 3,1416
k (380 + ) = 380 + 
Reemplazando en () tendremos:
Nos piden calcular «R»:

 R= 
R = k  R = (1)
Las medidas sexagesimal (S), centesimal (C) y radial (R) de un ángulo verifican:
R  CS
R
CS
Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
  = /13 rad
 C = 9/13 rad
C = 9
Prob. 19
Si los ángulos de un triángulo ABC miden:
 
A = 3n° , B = 20 n
9
g
, C=
n
rad ;
36
3
9
3
=
  
2
5
10

9
=

2
10 
3
º  g = 180º
9º
g = 180º
10
9
 +
= 180 . . . (2)
10
 º +  g ·
Reemplazamos (1) en (2):
g
 B = 2n°
n
180 º
C=
rad ·
36
 rad
 C = 5n°
Trigonometría
Si:
En el problema:
 10nº = 180º

a  b = m n
a b m  n
Los ángulos serán: º = 72º y  = 120 <> 108º

La medida de un ángulo en grados sexagesimales
y centesimales es: a2 – 3a – 10 y a2 – 2a – 4,
respectivamente. Determinar la medida de este ángulo en el sistema radial.
Del enunciado se sabe que:
S = a2 – 3a – 10
La suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de grados centesimales de un
ángulo es igual a 140. Determinar la medida radial de dicho ángulo.
C = a2 – 2a – 4

S  9k
 S C

9 10
C  10 k
Reemplazamos:
a
10  rad
9
1
4
k=
Prob. 24
a
Prob. 23
Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo,
calcular el número de radianes de dicho ángulo si
se cumple que: S + C + R = 383,1416
1
R = k =   4 
 
2
a  2a  4
a2  3a  10
=
10
9
2
2
10 (a – 3a – 10) = 9(a – 2a – 4)
a2 – 12a – 64 = 0
R
10

=
 R = 10 9

9
 La medida radial del ángulo es

Efectuando:
2R
2C
R
C  10 k
=
=

S
9k
2
2S

g
560 k = 140
Además:
R 
C S
=
R 
C S
(C S)  (C S)
(R  )  (R  )
=
(C  S)  (C S)
(R  )  (R  )
Se obtiene:
 = 72
Prob. 21
 n = 18
26
a= m
b n
Finalmente los ángulos miden 108° y 72°
A continuación, se sabe que: A + B + C = 180°
3nº + 2nº + 5nº = 180º
En (1):
9
3
+
= 180
5
10
 = 120
g
 20 n 
9º
B=  9  ·
g


10
. . . (1)
Del gráfico obtenemos la siguiente relación:
determinar el valor de: B + C – A
Expresando los ángulos en grados sexagesimales, tendremos:
Por aritmética, sabemos que en una proporción
se verifica que:
Por condición del problema se tiene que:
R = k
R= 
4

 La medida radial del ángulo es rad
4
Luego:
A + B + C = 180º
C = 200 k 
2(180 k) + (200 k) = 140
k=1
En todo triángulo se cumple:
 + 3 + 9 = 180º  13 =  rad
S = 180k 
. . . ()
Donde:
Prob. 22
El mayor ángulo del triángulo es C, luego:
Del enunciado podemos plantear que:
180 k + 200 k + k = 383,1416
-16 

+4 
 (a – 16) (a + 4) = 0
 a = 16
ó
a = -4
Luego el ángulo mide:
S = 162 – 3(16) – 10

S = 198
S = (-4)2 – 3(-4) – 10

S = 18
Los que expresados en radianes son:
198
11
rad =
rad
180
10
ó
18

rad =
rad
180
10
27
Simplificando, resulta:
Prob. 25
Siete veces el número que expresa la medida de un
ángulo en grados centesimales menos cinco veces
el número que expresa la medida de ese ángulo en
grados sexagesimales es a una vez el número de
grados sexagesimales del mismo como 25 veces el
número que expresa su medida en radianes es a
3. Evaluar dicho ángulo en radianes.
. . . ()
A continuación reemplazamos los equivalentes de C y S en términos de k en (), obteniendo:
7(200k )  5(180 k )
25 R
=
3
180 k
Prob. 27
Calcular la medida radial de un ángulo, donde la
suma y la diferencia de sus medidas centesimal y
sexagesimal son las dimensiones de un rectángulo cuya área es 76 m2.
y
ancho = C – S
Recordando que:

R= 3
Reemplazando:
S = 180 k
Los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal cumplen la relación:
C  S  3C  2S
10
3SC
En (), se obtiene:
76 = (C + S) C – S)

10
 (9r)
9
10
= (10r)  9 · r
9
En (1):
10r
10
Prob. 30
= (10 r)9r
9
= 10 · r  r  1010
9
9
9
9
9r  9 9  1010  10
9
9
Siendo «a» y «b» los números de minutos sexagesimales y centesimales contenidos en un ángulo, determine la medida radial de dicho ángulo, si se cumple que:
a
b
+
= 68
12
25
1
k =
100
2
10 k  9k  3  10 k   2  9 k 
10
3  10 k  9 k
Sea «S» el valor de la medida del ángulo en (º),
entonces si «a» es su medida en (''), se verifica:
1
a" ·
= S°
3 600"
Si «S» y «C» son los valores de las medidas de
un ángulo en (º) y ( g ) respectivamente, entonces dichas medidas en (') y ( m ) están dadas por
«a» y «b» tales que:
2
1
 k=
10

R = k  R = 
Prob. 28
Un ángulo trigonométrico positivo mide xº y yg.
Calcular el valor de 9 x cuando xy = yx
g
Pero:

b = 100C
Luego reemplazando los equivalentes de a y b
en «M», tendremos:
M=
180 S  10 C
5(3600 S)  10(100C)
=
C
100 C
5S + 4C = 68
S = 180 k  C = 200 k
. . . (1)
. . . (2)
Reemplazamos (2) en (1) y obtenemos:
5(180 k) + 4 (200 k) = 68
1
g
b ·
m =C
100
m
Asimismo:
60 S
100 C
+
= 68
12
25
 a = 3 600 S
Igualmente, si C es el valor de la medida del
ángulo en (g), entonces si «b» es su medida en
(m), se verifica:
b = 100 C
Luego reemplazando en la condición dada:
76 = 380 k· 20 k
S=9k
En la condición:
Simplificar: M  5a  10b , donde:
b
a: # de segundos sexagesimales de un ángulo.
a = 60 S y
. . . ()
  La medida radial es /10 rad
Trigonometría
M = 152

C = 200 k
 76 = 7600 k

Determinar el número de radianes de dicho ángulo en el sentido horario.
28
. . . (1)
b: # de minutos centesimales del mismo ángulo.
Pero por otra parte sabemos que:
y
9r
9
M = 180   – 10 = 162 – 10
 10 
Arectángulo = largo · ancho
Prob. 26
C = 10 k
x =
9
Partimos de la ecuación dada:
(9r)
largo = C + S

 La medida del ángulo en radianes es 3 rad
Utilizando:
9
Nos piden calcular:
Del enunciado del problema, tenemos:
50
25 R
18 = 3

y = número de (g) = 10 r
Prob. 29
500 k
25 R
=
180 k
3

R 
30

 9r 
 M  180 
  10
 10 r 
x = número de (º) = 9 r
Sabemos que: R  k como: k   2  horario 
20
3
xy = yy
7C  5S
25R
=
S
3
6
R = 18
Por teoría de conversiones se sabe que:
Finalmente el ángulo en el sentido horario
medirá: -/30 rad
Del enunciado deducimos que:

S
M = 180   – 10 pero: S = 9r  C = 10r
C
4
2
k = 9  k= 3
2
900 k + 800 k = 68

Pero:
1
1 700 k = 68  k = 25
R = k 
R=
La medida radial es

rad
25

rad
25
29
16.- La suma de los números que representan el suplemento de un ángulo en grados centesimales y el
complemento del ángulo en grados sexagesimales
es igual a 5. Determina la medida radial del ángulo.
09.- De la figura, calcula «a»:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
01.- Indica la relación correcta de los ángulos mostrados.
05.- De la figura, determina mAOC, si es obtuso.
10.- A partir del gráfico, evalúa:
A) 
A) 30
B) 
B) 10/3
C) 
C) 3/10
D) 
A) 130°
B) 135º
D) 3/5
E) 
D) 145°
E) 150°
C) 140°
3
A) 48°
B) -–
B) 56°
C)  – 
C) 78°
D)  – 
D) 89°
E) 2 – 
E) 99°
calcula el valor de: M =
A) 100
B) 120
D) 160
E) 180
B) 21
C) 31
D) 41
C) 45
E) 45
π
rad < > A° xy '; calcula: A + x – y.
48
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 37
E) 53
19.- Del gráfico adjunto, calcula el valor de «».
A) 2/3
07.- Determina el valor de «x», en términos de «».
13.- La suma de dos ángulo es 63° y su diferencia es
3/20 rad, calcula la medida del ángulo menor en
radianes.
B) 7/12
A) 360º –  – 
A) -480º – 
A) /5
E) /40
D) 3/5
B) 360º +  – 
B) 480º + 
E) 4/5
C) 360º +  – 
C) 480º – 
D)  – 360º – 
D)  – 480º
14.- Dados los ángulos a° y b , la diferencia numérica de estas medidas, respectivamente es 15. Si la
suma de estos ángulos es 129°, indica las medidas
de dichos ángulos respectivamente.
03.- Del gráfico mostrado determina «x»
E)  – 360º – 
E) -240º + 
04.- Evalúa «x» de la figura.
08.- Del gráfico mostrado, calcula «x»:
A) 0,5
A) 25
B) 1
B) -25
C) 1,5
C) 27
D) 2
D) -27
E) 2,5
E) -36
30
Trigonometría
B) /10
C) /20
D) /5
g
g
g
A) 65°; 75
g
D) 65°; 70
B) 75°; 60
g
E) 70°; 65
C) 60°; 75
g
15.- Se crea un nuevo sistema de medición angular,
x
cuya unidad (1 ) es la séptima parte del ángulo de
media vuelta, simplificar:
x
7  30º
H x 3
7  25 g   rad
8
4
A) 1/2
C) 140
B) 60
a 2b'
( a  b)'
12.- Dado:
A) 1
C) 3/7
A) 30
2
A) 11
E) 3/8
18.- Del gráfico adjunto, calcula el valor de «».
E) 5/3
06.- De la figura, calcula la medida del ángulo COB.
A)  + 
B) 3/5
D) 3/10
17.- Tres ángulos están en progresión aritmética y
los dos menores son complementarios. Si la razón
de la progresión es 18°, calcula la suma de los tres
en el sistema centesimal.
5a
b
11.- Si se cumple que: (a + b) = 4ab,
02.- Del gráfico mostrado, calcula «x»
A) 3/4
B) 3/2
C) 2
D) 1
C) 5/6
20.- Calcula la medida radial de uno de los ángulos
congruentes de un triángulo isósceles si el ángulo
 3g 10 m 2º10' 

desigual mide: 
m
10 ' 
 10
A) /3
B) 2 /5
D) 4 /9
E) 9 /20
o
C) 5 /12
21.- Siendo S, C y R los números convencionales de
un ángulo, calcula «R» que satisface la igualdad:
3S + 2C = 94
E) 3
A) 
B) 
D) 
E) /2
C) 
31
un ángulo, calcula «R «que satisface la igualdad:
R
4S + 80

A) /40
B) 
D) 5/13
E) 10/13
= 20
A)
π
3
B)
π
4
2
;
C = ax + 12
C)
π
5
D)
π
6
E)
π
7
25.- Calcula la medida de un ángulo en el sistema
internacional, si se cumple que:
3
3
3
1
 18 
 20   π 
  +  +
 =
9
S
 C   10R 
π
3π
π
2π
π
B)
C)
D)
E)
10
10
5
5
6
26.- La suma de los recíprocos de los números de
grados sexagesimales y centesimales que un ángulo tiene por medida, da 19/180. Calcula el número de
radianes que tiene el ángulo.
A)
A) /5
B) /6
D) /9
E) /10
2
3
1/S = 1/C + 1/C + 1/C + . . .
Determinar la medida de dicho ángulo en radianes.
B) /10
D) /4
E) /3
C) /5
28.- Si S, C y R son los números que representan la
medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial respectivamente, tal que:
S2 – 80πSR – 1 800
R2 = 27
2 C
π2
32
Trigonometría
B)
π
4
C)
π
5
D)
π
6
E)

8
A) 
B)
10
3
C) 3
D)
3
10
5a
b
E) 30
 x 2y  z 
 , siendo:
x


30.- Calcular: 500 
x : número de segundos centesimales de un ángulo.
y : número de segundos sexagesimales del mismo
ángulo
z : número de minutos centesimales del ángulo.
A) 
B) 170
C) 171
o
D) 172
E) 173
g
31.- Si: a 0b < > a (2a )0 , calcula (a + b)° en
radianes.
A) /10
B) /12
C) /15
D) /18
E) /20
32.- Se tiene 2 ángulos, tales que el número de grados centesimales de uno de ellos es igual al número
de grados sexagesimales del otro, y la diferencia del
número de grados centesimales de este último y el
primero es 19, determina la diferencia de los números de radianes de estos ángulos.
A) 19 /200
B) 17/200
C) 13 /200
D) 11 /200
E) 9 /200
C) /8
27.- Siendo C y S los números que representan la
medida de un mismo ángulo en los sistemas
sexagesimal y centesimal y que cumplen:
A) /20
π
3
segundos centesimales mide b. Calcula el valor de: 3
24.- Calcula un ángulo expresado en radianes que
cumple la siguiente condición:
2
A)
29.- Un ángulo mide a minutos sexagesimales pero en
C) 
20R  πC  πS
un ángulo, calcula: P =
200R
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
S = ax + 7
Calcular el número de radianes (R) de dicho ángulo.
01
A
02
C
03
B
04
D
05
D
06
E
07
A
08
D
09
B
10
C
11
C
12
B
13
B
14
B
15
D
16
A
17
E
18
A
19
E
20
E
21
D
22
D
23
B
24
B
25
B
26
E
27
A
28
D
29
D
30
C
31
E
32
A

1.1.2. Ángulo Trigonométrico 1.1.3. Ángulos Trigonométricos

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