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Teorema de Laurent: Sea f una función analítica en la corona circular
centrada en el punto a, r < z − a < R . Entonces puede desarrollarse de
forma única en una serie de Laurent:
+∞
∑ cn ( z − a ) , con cn ∈ C y z ∈ C
n
n=−∞
cn =
z
1
2 πi
f ( w ) dw
w−a =ρ
( w − a ) n +1
Dem:
Consideremos dos círculos γ 1 : z − a = r + ε ; γ 2 : z − a = R − ε
como en la figura:
y el ciclo Γ = γ 2 ∪ ( −γ 1 ) . Entonces, integrando en ese ciclo, por la
fórmula integral de Cauchy, para todo z entre esos dos Círculos se tiene:
1 ⎛
⎞
f (z) =
dw −
dw ⎟
⎜∫
∫
2π i ⎝ γ ( w − z )
γ (w − z)
⎠
f
( w)
2
f
1
Para la primera integral, como
+∞
1
w− z
se tiene
=
∑
n =0
( z −a )
n+1
( w−a )
n
( w)
+∞
( w)
n
dw = ∑ c ( z − a )
n =0
2π i γ∫ ( w − a )
1
f
n
2
cn =
1
∫
f
( w ) dw
2π i γ 2 ( w − a )
n +1
Para la segunda integral, como
−1
w− z
=
1
+∞
1
=
(z − a) − (w − a) (z − a)
∑
n =0
⎛ w− a ⎞
⎜ z −a ⎟
⎝
⎠
n
que es convergente por ser w − a < z − a para w en γ 1, se tiene
⎛
+∞ ⎜
( w)
⎜
dw = ∑ ⎜⎜ f ( w )( w − a )
∫
∫
n =0 ⎜
2π i γ1 ( w − z )
⎜γ
−1
f
⎝ 1
cn =
1
∫
f
⎞
⎟
n
⎟
dw ⎟⎟
⎟
⎟
⎠
−1
1
( z −a )
n +1
= ∑ cn ( z−a )n
n = −∞
( w ) dw
2π i γ1 ( w − a )
n +1
Estas fórmulas son válidas para cualquier círculo contenido en la corona
circular inicial, de ecuación w − a = ρ , con r < ρ < R por ser la función
subintegral que define los coeficientes
radios r y R .
cn
analítica en la corona circular de