Propiedades de algunas distribuciones ∑∑

Propiedades de algunas distribuciones ∑∑

Pablo Silva N.
Propiedades de distribuciones
Propiedades de algunas distribuciones
Para todas las propiedades de la 1 a la 4:
Sea X, Y, Z v.a con ϕ X , ϕ Y , ϕ Z las respectivas fgm.
1. La n-esima derivada de la fgm de una v.a. calculada en t=0 corresponde al
n-ésimo momento de la v.a. X respecto de cero.
ϕ X( n ) = E X n
[ ]
2. Sea Y = αX + β . Entonces la fgm de la v.a. Y está dada por:
ϕ Y (t ) = e β ⋅t ϕ X (t )
3. Si ϕ X (t ) = ϕ Y (t ) , entonces X e Y poseen la misma distribución.
4. Si X e Y son v.a independientes, luego Z = X + Y, entonces:
ϕ Z (t ) = ϕ X (t ) ⋅ ϕ Y (t )
5. (Propiedad reproductiva de la distribución normal). Sean X1, X2,..., Xn, v.a
independientes con distribución N µi, σi 2 , i=1,2,...,n. Sea Z= X1 + X2 +...+ Xn.
Luego Z tiene una distribución:


N  ∑ µi, ∑ σi 2 
 1≤i ≤ n 1≤i≤ n 
(
)
6. Sean X1,...,Xn, v.a. independientes. Supóngase que Xi tiene una distribución
de Poisson con parámetro αi , i=1,...,n. Sea Z= X1 + ... + Xn. Luego Z tiene
distribución Poisson con parámetro α = α1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αn .
7. Supóngase que la distribución de X es χ ni2 , i=1,2,...,k, en donde Xi son v.a.
independientes. Sea Z= X1 + ... + Xk, luego Z tiene distribución χ n2 , donde
n= n1 + ... + nk.
8. Sean X1,...,Xk, v.a. independientes, donde cada una tiene distribución N (0,1).
Entonces S = X 12 + X 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + X k2 , tiene distribución χ k2 .
9. Sea Z = X 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + X r , donde Xi son r v.a. independientes e idénticamente
distribuidas, donde cada una tiene una distribución exponencial con el
mismo parámetro α . Luego Z tiene distribución Gamma con parámetros
α y r ( Γ(α , r ) ).