Boletín 9

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 9. Mayo de 2010
9.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separadas una distancia a (a b); entre ellas hay vacı́o. Entre los centros de las placas se establece una
tensión V0 cos ωt.
(a) Halle, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
(b) Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de
Ampère-Maxwell.
(c) Calcule, la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (a), de acuerdo con la ley
de Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es,
comparable al campo estático)?
(d) Indique como serı́an las siguientes correcciones, tanto en E como en B.
9.2. Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el
vacı́o) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La carga
total de la nube, Q0 , se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen
de la esfera.
A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la
nube. Puede suponer que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.
Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?
¿Habrá campo magnético en el sistema?
Nota: La mayor parte de este problema ya aparece en el boletı́n 5.
9.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magnética
μ0 . El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a b). La placa superior está
permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión V (t).
(a) Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico
entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
(b) Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.
(c) Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası́ como su flujo a través de una
superficie cilı́ndrica de radio b y altura a, concéntrica con el sistema.
(d) ¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este
caso?
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Campos Electromagnéticos
9.2
9.4. Un cable coaxial ideal está formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor,
y una superficie cilı́ndrica exterior, de radio b, también perfectamente conductora. Los cilindros se
extienden indefinidamente a lo largo de su eje.
El cilindro interior se encuentra a una tensión V0 , mientras que la superficie exterior se encuentra
a tierra. Simultáneamente, por la superficie del núcleo fluye una corriente I0 en la dirección del
eje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que hay
distribuida uniformemente una corriente −I0 .
(a) Halle los campos eléctrico y magnético en todos los puntos del espacio.
(b) Calcule las densidades de energı́a eléctrica y magnética por unidad de volumen, ası́ como la
energı́a total almacenada en una porción de longitud h del cable coaxial.
(c) Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En qué dirección fluye la
energı́a? Halle el flujo de energı́a a través de una sección del cable coaxial.
9.5. En una región del espacio tenemos un par de campos dados por las expresiones, en coordenadas
cilı́ndricas,
E=
−Aρt(a2 − ρ2 )uϕ
0
ρ<a
ρ>a
B=
At2 (a2 − 2ρ2 )uz
0
ρ<a
ρ>a
siendo A una constante
(a) Compruebe que se trata de un posible campo electromagnético.
(b) Calcule las fuentes de este campo.
(c) Determine las densidades volumétricas de energı́a eléctrica, magnética, electromagnética y de
potencia desarrollada por el campo.
(d) Halle la fuerza sobre una carga puntual q que en el instante t = a/c se encuentra situada en el
punto r = (a/2)ux y se mueve con una velocidad v = −(3c/4)ux (siendo c la velocidad de
la luz).
V0
a
I0
e,s,m0
b
V(t)
Problema 9.3
Problema 9.4