I(t) - UNAM

Modelos Analíticos de
Epidemias con Fines de
Pronóstico III.
Boyev BV, ReyesTG, Gómez AG
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Resumen: Sobre las epidemias como
posibilidad de sustituto moderno de las armas
de destrucción masiva y la seguridad nacional.
Apéndice 2
• La Influenza Aviar A(H5N1) es una nueva enfermedad
viral que propiamente ya hizo su aparición en el
Sudeste Asiático, caracterizada por su alta velocidad de
crecimiento y mortalidad.
• MODELO MATEMÁTICO FENOMENOLÓGICO de la
EPIDEMIA de la INFLUENZA AVIAR A(H5N1).
El modelo fenomenológico de como se desarrolla el
proceso patológico de la influenza aviar A(H5N1) se
toma como un modelo tipo SEIRF con los siguientes
conjuntos de individuos: Susceptibles (S), Latentes (E),
Infecciosos (I), Recuperados (R), Fenecidos (F), como
aparecen en los artículos [2], [3] y [4] dado al carácter
de la metodología aplicada este modelo queda dado por
un modelo fenomenológico de 5 ecuaciones, donde la
variable básica es el tiempo especial τ transcurrido
desde el instante de la infección, a saber:
•
•
Obsérvese que no aparece la razón de
cambio del tamaño de la población de
susceptibles, dado que la función que los
mide es una función sólo del tiempo t: S(t).
La razón de cambio del tamaño de la
población de latentes (incubados) E(τ) es:
dE(τ)/dτ = - γ(τ)E(τ)
(1) con
la condición inicial E(0) = 100%; donde: τ es
el tiempo (en días) transcurrido desde el
momento en que los susceptibles son
infectados por el patógeno; y γ(τ) es la
función de distribución del período de
incubación de la influenza aviar A(H5N1);
La estimación del número de nuevos casos
de la enfermedad entre los infectados por el
patógeno:
W(τ) = γ(τ)E(τ)
(2)
y γ(τ) la distribución del período de latencia
• La razón de cambio del número de
infectados
I(τ), en distintas formas clínicas de la influenza
A(H5N1):
dI(τ)/dτ = γ(τ)E(τ) - δ(τ)I(τ)
(3)
I(0)=0
y δ(τ) la función de distribución del período
de infección
2.
• 4. La razón de cambio del número
de personas recuperadas R(τ) con
éxito de la influenza aviar A(H5N1):
dR(τ)/dτ = 0.85 δ(τ)I(τ) (4)
R(0)=0;
donde 0.85 es la parte
recuperada del total de enfermos
de la influenza A(H5N1);
• 5. La estimación del número de
casos de fallecimientos F(τ) por la
influenza aviar A(H5N1):
dF(τ)/dτ = 0.15 δ(τ)Y(τ) (5)
F(0) = 0.
• donde 0.15 es la parte que muere
entre los enfermos de la influenza
avear A(H5N1);
• Resumiendo, el modelo fenomenológico de
la influenza aviar A(H5N1) queda dado por :
•
•
•
•
•
dE(τ)/dτ = -γ(τ)E(τ); U(0)=1
W(τ) = γ(τ)E(τ)
dI(τ)/dτ=γ(τ)I(τ)-δ(τ)I(τ); I(0)=0 (6)
dR(τ)/d τ = 0.85δ(τ)I(τ); R(0)=0
dF(τ))/dτ = 0.15δ(τ)I(τ); F(0)=0
•
Las interrelaciones del modelo matemático del desarrollo
del proceso "colectivo" de la influenza aviar A(H5N1) entre el
conjunto de personas afectadas por el patógeno sería digno
de ser realizado en forma de programa computacional:
(como aplicación Windows para PC, o bien en Linux). Este
programa debería de suministrar la ejecución de los cálculos
analíticos numéricamente en cuanto a la verificación de la
dinámica del desarrollo del proceso patológico de la influenza
aviar A(H5N1) con base en las estimaciones provisionales
de los períodos de incubación e infección de la influenza
aviar A(H5N1) y la elaboración del modelo experimental
arriba descrito de la epidemia de la influenza aviar. En la Fig.
2 aparecen las gráficas calculadas, las cuales caracterizan a
la dinámica del desarrollo del proceso patológico "colectivo"
de la influenza aviar para las condiciones iniciales
mencionadas, con las funciones de distribución hipotéticas
correspondientes a los períodos de incubación γ(τ) = [γ(0),
γ(1), γ(2), …, γ(9), γ(10)] e infección δ(τ) = [δ(0), δ(1), δ(2),
…, δ(24), δ(25)] de la influenza aviar A(H5N1) , dígase por
ejemplo:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Día
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
En incubación(γ(τ))
0.000
0.000
0.111
0.222
0.333
0.444
0.556
0.667
0.778
0.889
1.000
En infección(δ(τ))
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.008
0.033
0.074
0.132
0.207
0.298
0.405
0.529
0.669
0.826
1.000
Tabla 1.
La dinámica del desarrollo del proceso de la influenza aviar con funciones de distribución de los períodos de
incubación e infección dados/
• Se pueden "modelar" Las gráficas del desarrollo de
dicho proceso patológico de la influenza aviar en los
conjuntos de infectados por el patógeno, o sea en
{E(τ), I(τ), R(τ), F(τ)} fueron obtenidos como
resultado de los cálculos sobre el modelo con
funciones experimentales de los períodos de
incubación γ(τ) y de infección δ(τ). Tabla 1
•
La estructura del modelo matemático del
desarrollo de la epidemia de la influenza aviar entre
la población de una ciudad promedio de 4 millones
de habitantes, generada por la "introducción" de la
infección por medio de dos personas que porten el
virus en el período de incubación U(0) se muestra
en la siguiente Fig. 3.
Fig. 3. Diagrama de flujo de la epidemia de la influenza
aviar en una ciudad
• MODELO de la EPIDEMIA de la INFLUENZA
AVIAR A(H5N1) en SÍ (Modelo de la epidemia).
•
•
•
•
•
El modelo matemático en sí de la epidemia de la influenza
aviar A(H5N1) para una ciudad (dígase de 4 millón de
habitantes) queda descrito por el sistema:
1. La dinámica del tamaño de la población de personas
susceptibles en el grupo de alto riesgo S(t) a través de la
razón de cambio absoluta a ser infectado por el patógeno de
la influenza aviar, queda dada por:
dS(t)/dt = - (λ/P(t))[Vin(t)S(t)];
(7)
con la condición inicial: S(0) = αP(0);
donde: t es el tiempo calendario (en días) de la epidemia; α
es aquella parte de la población con alto grado de infección
de la influenza aviar entre el total de la población de la
ciudad: P(0); λ / P(t) es el promedio de contactos (referido a
1 habitante de la ciudad) de personas susceptibles S(t) con
el patógeno Vin(t) de la influenza aviar, durante el transcurso
de la epidemia;
• 2. La dinámica del cambio del tamaño de la
población de individuos en el período de
incubación E(τ,t) de la enfermedad, queda dada
por:
∂E(τ,t) / ∂τ+ ∂E(τ,t) / ∂t = -γ(τ)E(τ,t);
(8)
U(τ,0) = 0;
• donde τ (en días) es el tiempo transcurrido para los
individuos susceptibles desde el momento de
contagio de la influenza aviar A(H5N1) por parte de
los individuos infectados y γ(τ) es la función de
distribución de los individuos en el período de
incubación de la enfermedad;
• 3. La dinámica de los nuevos casos de enfermos,
entre las personas afectadas por el patógeno,
queda dada por:
W(t) = ∫γ(τ)E(τ,t)dτ
(9)
• 4.La dinámica del cambio del tamaño de la
población de individuos infectados I(τ,t),
que manifiestan distintas formas clínicas de la
infección, queda dada por:
∂I(τ,t)/∂τ+∂I(τ,t)/∂t =γ(τ)E(τ,t)-δ(τ)I(τ,t) (10)
I(τ,0) = 0;
• donde δ(τ) es la función de distribución de los
individuos en el período de infección de la
enfermedad.
• 5.La dinámica del tamaño de la población de
personas que exitosamente se recuperan del
padecimiento R(t), queda dada por la razón
de cambio de los que se recuperan:
•
•
dR(t)/dt = 0.85 ∫δ(τ)I(τ,t)dτ;
con: R(0)=0;
(11)
donde: 0.85 es aquella parte de los enfermos
que con exito se recuperan de la A(H5N1).
• 6.La dinámica del cambio del tamaño de
la población de los casos letales F(t)
por el padecimiento, queda dada por la
razón de cambio de los que mueren por
la influenza aviar A(H5N1):
•
dF(t)) / dt = 0.15∫δ(τ)I(τ,t)dτ; (12)
F(0)=0;
• donde 0.15 es aquella parte de los
enfermos que mueren por la influenza
aviar A(H5N1).
• 7. La estimación del tamaño de la población del patógeno:
Vout(t), la cual se "transfiere" al medio ambiente que rodea a
los enfermos infectados I(τ,t) por el patógeno:
•
Vout(t) = µI [1-Aisl(t)] I(t)= [1-Aisl(t)]µI∫I(τ,t)dτ (13a)
• t es el tiempo (en días) en el que transcurre la epidemia de la
influenza aviar A(H5N1);
• Aisl(t) es la función que manifiesta el aislamiento de los
enfermos infectados en la ciudad;
• µI es la norma promedio de “expulsión" del patógeno de los
organismos de los enfermos de la influenza aviar A(H5N1)
(que se define experimentalmente);
• τ es el tiempo (en días) transcurrido desde el momento de
contagio de la infección a los individuos susceptibles por
parte de los individuos infectados. Con
•
I(t) = ∫I(τ,t)dτ.
(13b)
• 8. El funcionamiento de varios mecanismos de
transmisión del patógeno (sobre vivencia del
patógeno en el medio ambiente exterior: en aerosol,
en plásticos, enseres, heces, etc) Vin(ξ,t):
• ∂Vin(ξ,t)/∂ξ+ ∂Vin(ξ,t)/∂t = δv(ξ)Vin(ξ,t); (14)
Vin(ξ,0) = 0(ξ);
• ξ es el tiempo transcurrido desde el momento de
“expulsión" del patógeno al medio exterior por
parte de los enfermos infectados;
• δv(ξ) es la función de "conservación o sobre
vivencia" del patógeno en el medio exterior (queda
establecida mediante experimentos: pudiendo ser
del tipo 24 horas en plásticos, hasta 4 días en
excrementos, etc.).
• 9. Las condiciones a la frontera
para el mecanismo de transmisión
del patógeno, quedan dadas por:
• Vin(0,t) = Vout(t)=[1-Aisl(t)]
µII(t) = [1-Aisl(t)] µI ∫I(τ,t)dτ
(15)
• µI es la norma promedio de “expulsión" del
patógeno de los enfermos de la influenza
aviar A(H5N1) (definida experimentalmente);
• 10. Estimación del tamaño de la población
del patógeno: Vin(t), la cual "se lleva" del
medio circundante de los infectados a los
susceptibles, contagiando a éstas:
•
Vin(t) = ∫ Vin(ξ,t)dξ;
(16)
• 11. Las condiciones a la frontera para la
epidemia de esta enfermedad son:
•
E(0,t) = (λ/P(t))Vin(t)S(t);
I(0,t)=0
(17)
Resumiendo el modelo del proceso epidémico en si es:
• 1 dS(t)/dt = -(λ/P(t))[Vin(t)S(t)], S(0)=αP(0);
• 2 ∂E(τ,t)/∂τ + ∂E(τ,t)/∂t = -γ(τ)E(τ,t), E(τ,0)=0(τ);
• 3 W(t) = ∫γ(τ)E(τ,t)dτ;
• 4 ∂I(τ,t)/∂τ+ ∂I(τ,t)/∂t = γ(τ)E(τ,t)-δ(τ)I(τ,t);
I(τ,0)=0(τ)
• 5 dR(t)/dt = 0.85 ∫δ(τ)I(τ,t)dτ; R(0)=0
• 6 dF(t))/dt = 0.15 ∫δ(τ)I(τ,t)dτ;
F(0)=0
• 7 Vout(t) = [1-Aisl(t)]µyI(t) = [1-Aisl(t)]µy∫ I(τ,t)dτ;
• 8 ∂Vin(ξ,t)/∂ξ + ∂Vin(ξ,t)/∂t = δv(ξ)Vin(ξ,t); Vin(ξ,0)=0(ξ)
• 9 Vin(0,t)=Vout(t)=[1-Aisl(t)]µyI(t)=[1-Aisl(t)] µy ∫ I(τ,t)dτ;
• 10. Vin(t) = ∫ Vin(ξ,t)dξ;
• 11. E(0,t) = (λ/P(t))Vin(t)S(t);
• 12. E(t) = ∫ E(τ,t)dτ;
• 13. I(t) = ∫ I(τ,t)dτ;
I(0,t)=0
• 14. P(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t) + F(t)
• PRONÓSTICOS de la EPIDEMIA. Resultados para 2
escenarios hipotéticos extremos de la aparición y
diseminación de la influenza aviar A(H5N1) en una ciudad.
• 1. Escenario E1. Sólo habrá un pequeño brote cuando se
toman medidas efectivas. Escenario de un brote epidémico
controlable por los órganos de Salud Pública. Este escenario
se forma como resultado de la introducción del patógeno por
2 personas en el período de incubación, U(0)=2, con
detección temprana, con medidas preventivas, con
campañas explicativas y aislamiento de los infectados.
• 2. Escenario E2. De una epidemia del síndrome no
controlada por los órganos de Salud Pública. Bajo las
mismas condiciones de "introducción del patógeno" U(0)=2,
pero por deficiencias en su detección y falta de acciones
preventivas efectivas para su control se desarrolla una
epidemia de consecuencias muy indeseables, ya que
incluso si viniera acompañada de implementación de
medidas preventivas, campañas de explicación y un
completo aislamiento de los infectados, el retraso en la
detección de la infección hace que todo se complique.
Fig. 4. Diagrama de flujo de la epidemia de Influenza aviar
en una ciudad con medidas de aislamiento de los enfermos
(aislamiento de los focos de infección).
•
Escenario E1: Un simple brote epidémico en el caso de toma de
medidas preventivas efectivas. De acuerdo con este escenario la
introducción de la enfermedad a la ciudad no pasa desapercibida para
los órganos de salud pública. En forma centralizada se detecta desde los
primeros contagiados, no obstante que la forma de la enfermedad es
parecida a la de otras enfermedades respiratorias como la influenza
usual o al resfrío, es detectada por el personal médico especializado
como el síndrome de la influenza aviar A(H5N1). En estas condiciones
se forma un brote epidémico controlado, detectado casi desde su inicio
luego de haber sido introducida la infección al territorio de la ciudad. Del
análisis de este esquema se sigue que en la ciudad: Al día 20 luego de
introducida la infección ya se forma un grupo de 40 personas infectadas
Y. En período de incubación U del padecimiento aparecen del orden de
45 personas el día 22. Al día 20 son 30 personas recuperadas R. Casos
fatales F el día 22 aparecen 10, y a los 2 meses alcanza un máximo de
25 personas. La morbilidad W (con primeros síntomas de la enfermedad,
es decir enfermos frescos o nuevos) está constituida por un máximo de
15 personas al día, el día 21, o sea que en 2 meses a lo más alcanzan
la cifra de 15×60=900 personas. La estructura del modelo matemático
del desarrollo de la epidemia del padecimiento entre la población de una
ciudad, generada por la "introducción" de la infección por medio de 2
personas que portan el virus en el período de incubación y que resulta
ser una epidemia controlada se muestra en la gráfica de la Fig. 5.
• FALTA Fig. 5 (Epidemia controlada)
•
Escenario 2:
De acuerdo con este otro escenario la "introducción" de la enfermedad a
la ciudad pasa desapercibido para los órganos de salud pública. La
forma de la enfermedad por ser parecida al de la influenza usual o al
resfrío, no es ubicada por el personal médico como el síndrome de la
influenza avear. En estas condiciones se forma un brote epidémico y
dicho brote se supone se desarrolla sin control por cerca de 40 días
luego de haber sido introducida la infección al territorio de la ciudad. Del
análisis de este esquema se sigue que en la ciudad al día 40 luego de
introducida la infección se forma un grupo muy significativo de personas
infectadas. En el período de incubación E del padecimiento aparecen al
día 78 del orden de 220 mil personas. Enfermos infectados I del
síndrome aparecen en el pico de la epidemia cerca de 365 mil
personas. Casos fatales F aparecen al 3er. mes 300 mil y al 4o.
alcanzan los 365 mil muertos. La morbilidad (con los primeros síntomas
de la enfermedad, o nuevos enfermos) W en el pico está constituida por
120 mil personas al día. (o sea que se alcanzan a enfermar en los 4
meses unos 1.44 millones de personas) La estructura del modelo
matemático del desarrollo de la epidemia propiamente sin control del
padecimiento entre la población de una ciudad grande, generada por la
"introducción" de la infección por medio de dos personas que porten el
virus en el período de incubación se muestra en la gráfica de la siguiente
Fig. 6
Fig. 6. (Epidemia no controlada)
• CONCLUSIONES. En México sería deseable que se tomaran
medidas multifacéticas drásticas para prevenir la "introducción" de la
influenza avear A(H5N1) a través del sistema de granjas del tipo de aves
que son potencialmente peligrosas. El servicio médico de control
aduanero mexicano debería estar monitoreando los aeropuertos de las
grandes ciudades a su máxima alerta con el fin de contrarrestar la
posible introducción de la infección. Bajo el mando de la Secretaría de
Salud y de la Secretaría del Agricultura y Ganadería debería de formarse
un "Consejo contra el virus de la influenza aviar A(H5N1)", donde
confluyen representantes de las Secretarías mencionadas, así como
epidemiólogos de nuestro país. A nivel global para la lucha contra la
influenza avear A(H5N1) seguramente funcionará un "Centro Operativo"
con base en la Organización Mundial de la Salud (OMS) [1], la cual
concentrará la información y coordinará las acciones de los especialistas
expertos de la red de centros de la OMS en enfermedades infecciosas,
quienes trabajarán en la localización de la epidemia mundial de SARS;
se ubicarán y se atraerán médicos veterinarios y epidemiólogos en
diferentes países por todo el mundo; se otorga ayuda a los órganos
locales de Salud Pública de cualquier parte del mundo en el
establecimiento e investigación de todos los casos sospechosos de
haber contraído esta enfermedad infecciosa; se proporciona la
información de todo el mundo sobre dicha enfermedad, las formas de
transmisión de la misma, etc.
• En México hasta la fecha no se ha tenido ningún caso
sospechoso de dicha enfermedad. El diagnóstico definitivo
sobre este padecimiento es posible practicarlo en México ??
al menos en el INER??. Existen modelos más complicados
que el modelo fenomenológico de este artículo, tipo el de [2],
pero menos elaborados que el modelo de la epidemia en sí.
El presente modelo con propósitos de pronóstico fue
elaborado gracias a la colaboración del Instituto de
Epidemiología y Microbiología Gamaley (INIEM) de Moscú, el
Instituto Nacional de Enfermedades Respiratorias (INER) de
la SSA y la Facultad de Ciencias de la UNAM México, la cual
se enmarca en la misma tendencia del trabajo conjunto de
algunos de los mismos autores sobre el cólera y las narco
adicciones [3] y [4]. Este modelo además de pronosticar
diferentes escenarios de aparición de la epidemia, también
puede servir para preparar y entrenar a especialistas. Tales
modelos, junto con modelos desarrollado tanto en USA,
como en UK son necesarios en los órganos de Salud Pública
de las grandes ciudades de la República Mexicana para
poder tomar a tiempo las medidas de lucha contra la
influenza aviar A(H5N1) y padecimientos infecciosos en
general.
Bibliografía complementaria
• [1] Organización Mundial de la Salud: Avear Flu Syndrome
(A(H5N1)) : http://www.who.int/csr/A(H5N1)/
• [2] Chowell, Fenimore, Castillo-Garsow and Castillo-Chavez,
"SARS outbreaks in Ontario, Hong Kong and Singapure: the
role of dignosis and isolation as a control mechanism",
Journal of Mathematical Biology, ...?
• [3] "Epidemiología del Cólera" (1998), Foro-Red-Mat, Vol. 6,
No.1, 1-133: http://valle.fciencias.unam.mx
• [4] "Modelo Narco" (2002), Foro-Red-Mat, Vol. 12, No.2, 7087: http://www.red-mat.unam.mx/~foro, o bien a partir del
menú principal de: http://valle.fciencias.unam.mx
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