Capitulo 4 Correlación

Transcripción

Procesamiento Digital de Señales
Correlación
2012
Capítulo 04.
Correlación
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo
Facultad de Ingeniería; Telecomunicaciones
16/03/2011
Ver_09_01_01
Mario Alfredo Ibarra Carrillo
Año 2012
1
Correlación
Año 2012
2
Correlación
Año 2012
3
Correlación
Año 2012
4
Correlación
4.1 Correlación en tiempo continuo
4.1.1 Definición de la correlación
Definición 4.1. Correlación en el tiempo. Es una operación binaria entre dos funciones y que indica la fuerza y
dirección de la relación entre ambas funciones. La correlación sólo se parece a la correlación estadística
cuando se habla de procesos estacionarios y ergódicos.
Definición 4.2 Nomenclatura de la correlación. Sean f (t ) y g(t ) dos funciones reales de variable real, la
correlación de ambas funciones denotada por f (t )∗∗g(t ) ∀ t ∈ℝ es otra función definida como
f ∗∗g(t ) ∀ t∈ℝ . En forma de ecuación se puede plantear que:
f ∗∗g(t )= f (t )∗∗g(t)
∀ t∈ℝ (4.1)
4.1.2 Correlación para señales energía
Definición 4.3 Correlación para señales energía, valuada en t= τ . Sean f (t ) y g(t ) dos señales
energía, su correlación evaluada para t= τ se plantea como:
•
f (t ) se mantiene fija
f (t )
•
g(t ) se retrasa en
τ , es decir,
t cambia por
t − τ y la función cambia como
g(t )⇒ g( t −τ)
•
Las funciones se multiplican (punto a punto como en todo producto de funciones).
f (t ) g( t− τ)
•
Se calcula el área del producto
T
f ∗∗g( τ)= lim
∫ f (t) g (t− τ)[v 2]dt [s]
T → ∞ −T
(4.2)
Siguiendo la definición 4.3 si se desea conocer la correlación para todo instante de tiempo se tendría que crear
un registro para τ tomando valores de un extremo a otro del infinito, es decir τ∈(−∞ ,∞) . Una forma de
generalizar y simplificar este proceso es mediante un cambio de variable tal como se define a continuación.
Definición 4.4. Correlación para señales energía para toda t . Si se desea evaluar la correlación para toda
t se hace un intercambio de variables t ← → τ en la ecuación 4.2 de tal forma que resulta:
T
f ∗∗g(t )= lim
∫ f (τ) g ( τ−t)[v 2]d τ [s]
T → ∞ −T
(4.3)
Año 2012
5
Correlación
4.1.3 Estimador discreto de la correlación para señales energía
Teorema 4.1 El estimador discreto de la correlación de tiempo continuo queda expresado en una suma de
correlación dada a continuación:
N −1
∑
f ∗∗g(n)= lim
N →∞
m=−( N−1)
f (m) g(m− n) τ s [v 2 s] ; ∀n∈ℤ (4.4)
A modo de demostración, se parte de la correlación dada en ecuación 4.3 para señales energía. Se muestrea la
señal considerando las equivalencias siguientes.
t =n τ s
τ=m τ s
dt =τ s
d τ= τ s
(4.5)
T =( N −1) τ s
En donde
•
•
•
•
•
t
es la variable de tiempo continuo
T es la ventana de tiempo en el cual se muestrea la señal
τs es el periodo de muestreo y también es la diferencial de tiempo
dt y
dτ
n es la n-ésima muestra
N es el número de muestras. Las muestras se numeran de 0 a N−1 .
Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (4.5) en la ecuación (4.3) de correlación para señales energía de
tiempo continuo se logra:
N−1
f ∗∗g (n)= lim
N →∞
∑
m=−(N −1)
f ( m) g (m−n) τs [v 2 s] ; ∀ n∈ℤ
Nótese que la ecuación resultante es igual a la ecuación (4.4).
4.1.4 Correlación para señales energía de tiempo discreto
Teorema 4.2. La correlación para señales energía en tiempo discreto queda descrita por la siguiente
ecuación.
N −1
f ∗∗g (n)= lim
N →∞
∑
f (m) g(m− n)[v 2 ] ; ∀n∈ℤ (4.6)
m=−( N−1)
Año 2012
6
Correlación
A modo de demostración considérense que las señales discretas no están definidas entre muestras, a
consecuencia, el periodo de muestreo se normaliza a la unidad y por tanto la ecuación (4.4) puede reescribirse
como en la forma de la ecuación (4.6)
Nótese también que la suma de correlación está definida en función de un índice de instantes y no en función
de una variable temporal, no obstante, se le seguirá llamando correlación para tiempo discreto.
4.1.5 Correlación promediada
La correlación promediada se logra dividiendo la suma de correlación por el número de muestras involucradas
1
f∗∗g(n)= lim
N →∞ (2N−1)
N→∞
lim
N −1
∑
m=−( N−1)
f (m) g(m −n)
; ∀ n∈ ℤ (4.7)
2N−1
En [proakis; cap.2] es posible encontrar mayor información, sólo se debe tener cuidado con el cambio de
nomenclatura.
4.1.6 Correlación en tiempo discreto para secuencias causales de duración finita:
señales energía
Definición 4.5 Señal causal. La señales causales son aquellas que no están definidas en tiempo negativo y
por tanto toman el valor de cero para tales tiempos. Si bien presentan un comportamiento en tiempo positivo.
Teorema 4.3. Correlación causal finita. Sean dos secuencias causales finitas f =[f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)] y
g =[g (0 ), g(1),… , g ( N−1)] , ambas de cardinalidad N . La correlación causal de ambas funciones,
f (n)∗∗g( n) , es otra función también denotada como (f ∗ g)(n)=f (n)∗∗g( n)
denotada por
y cuya
definición es:
N −1
f ∗∗g(n)= ∑ f (m) g(m−n)[v2 ] ; ∀n∈[−( N−1) ,( N−1)] (4.8)
m=0
Teorema 4.4. Longitud de la secuencia de correlación causal finita. Dada la secuencia
f =[f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)] , de longitud N a correlacionar con la secuencia g =[g (0 ), g(1),… , g ( N−1)] de
la misma longitud, la longitud de la secuencia de correlación se representa como N f ∗∗g y su cálculo es:
N f ∗∗g =2 N−1 (4.9)
Teorema 4.5. Dominio de la secuencia de correlación causal finita. El dominio de la secuencia de
correlación causal finita es un subconjunto de los números enteros definido a continuación.
n∈[−( N−1) ,( N−1)] (4.10)
Teorema 4.6 El significado de la n . El índice n indica cuanto se desplaza la segunda secuencia para la
operación de correlación.
Año 2012
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Correlación
Teorema 4.7 No causalidad de la correlación. La correlación de dos secuencias causales finitas es otra
secuencia no causal finita. Esto se puede observar en el dominio de la variable independiente.
4.1.7 Ejemplo
Realice la correlación de las dos secuencias siguientes:
f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]
↑
g=[g(0) , g(1) , g(2) , g(3)]
(4.11)
↑
Ahora se desarrollan los cálculos previos a la correlación, es decir:
•
La longitud de las secuencias implicadas es N=4 .
•
El dominio de la correlación se calcula a partir de la ecuación 4.10, es decir:
n∈[−3, 3]
Luego se desarrolla la suma de correlación para las secuencias dadas en las ecuaciones (4.11).
Tabla 4.1 Correlación para las secuencias causales finitas
g=[g(0), g(1), g(2), g(3)]
f**g(-3)
=
f(0)g(3)
+
f(1)g(4)
+
f(2)g(5)
f**g(-2)
=
f(0)g(2)
+
f(1)g(3)
+
f(2)g(4)
f**g(-1)
=
f(0)g(1)
+
f(1)g(2)
+
f(2)g(3)
f**g(0)
=
f(0)g(0)
+
f(1)g(1)
+
f(2)g(2)
f**g(1)
=
f(0)g(-1) +
f(1)g(0)
+
f(2)g(1)
f**g(2)
=
f(0)g(-2) +
f(1)g(-1) +
f(2)g(0)
f**g(3)
=
f(0)g(-3) +
f(1)g(-2) +
f(2)g(-1)
f=[f(0), f(1), f(2), f(3) ]
+
+
+
+
+
+
+
y
f(3)g(6)
f(3)g(5)
f(3)g(4)
f(3)g(3)
f(3)g(2)
f(3)g(1)
f(3)g(0)
Obsérvese de la tabla 4.1 que los productos en rojo corresponden con índices para los cuales al menos una de
las secuencias no está definida. Ahora bien, realizando los productos y sumas indicados se tiene que la
correlación es:
f ∗∗g=[ f∗∗g(−3) , f ∗∗g(−2), f ∗∗g(−1), f ∗∗(0) f ∗∗g(1) , f∗∗g( 2), f ∗∗g(3) ] (4.12)
↑
donde:
f ∗∗g(−3)= f ( 0) g (3)
f ∗∗g(−2)= f ( 0) g (2)+f (1) g(3)
f ∗∗g(−1)=f (0) g (1)+f ( 1) g(2)+f ( 2) g(3)
f ∗∗g( 0 )=f (0) g (0)+f (1) g(1)+f (2) g(2)+f (3) g(3)
(4.13)
f ∗∗g( 1)=f (1) g(0)+f (2) g(1)+f (3) g( 2)
f ∗∗g( 2)=f (2) g(0)+f (3) g(1)
f ∗∗g( 3)=f (3) g( 0)
Año 2012
8
Correlación
4.1.8 Correlación de secuencias de duración finita por el método de la cinta
deslizante
El método de la cinta deslizante ilustra de manera gráfica el proceso de correlación entre dos secuencias, es
decir, para correlacionar una secuencia finita f =[ f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)] con otra secuencia finita
g =[g (0 ), g(1),… , g ( N−1)] :
•
La secuencia f
•
La secuencia g se desplaza de adelante hacia atrás.
•
En cada desplazamiento, se realiza el producto punto. En el caso de secuencias finitas sólo se
consideran aquellos productos punto que no son nulos.
se mantiene sin alteraciones
Ahora bien, siguiendo los pasos dados, se consideran las dos secuencias siguientes (son las mismas
ecuaciones (4.11) )
f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]
↑
g=[g(0) , g(1) , g(2) , g(3)]
↑
Ahora se desarrolla la suma de correlación, es decir:
•
La longitud de las secuencias implicadas es N=4 .
•
El dominio de la correlación se calcula a partir de la ecuación 4.10, es decir:
n∈[−3, 3]
Entonces por el método de la cinta deslizante se plantea la tabla 4.2 donde se obtienen las mismas ecuaciones
(4.13), es decir
f ∗∗g (−3)= f ( 0) g(3)
f ∗∗g (−2)= f ( 0) g(2)+ f (1) g(3)
f ∗∗g (−1)=f (0) g(1)+ f (1) g(2)+ f (2) g(3)
f ∗∗g ( 0 )=f (0) g(0)+ f (1) g(1)+ f (2) g(2)+ f (3) g(3)
f ∗∗g ( 1)=f (1) g(0)+ f (2) g(1)+ f (3 ) g(2)
f ∗∗g ( 2)=f (2) g(0)+ f (3) g(1)
f ∗∗g ( 3)=f (3) g( 0)
Año 2012
9
Correlación
Tabla 4.2 .Método de la cinta deslizante. Note que la función “f” se mantiene sin cambios, en tanto que la función “g” se desplaza. Debe realizarse el producto punto entre “f” y cada desplazameinto de “g”.
f(n)
g(n+3)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
f(2)
f(3)
g(1)
g(2)
f(0)
g(3)
f(1)
g(0)
3
4
Σ= f(0)g(3)
f(0)g(3)
f(n)
g(n+2)
g(0)
f(n)
g(n+1)
g(1)
g(0)
f(n)
g(0)
f(n)
g(n-1)
f(n)
g(n-2)
f(0)
g(2)
f(1)
g(3)
f(0)g(2)
f(1)g(3)
f(0)
g(1)
f(1)
g(2)
f(2)
g(3)
f(0)g(1)
f(1)g(2)
f(2)g(3)
f(0)
g(0)
f(1)
g(1)
f(2)
g(2)
f(3)
g(3)
f(0)g(0)
f(1)g(1)
f(2)g(2)
f(3)g(3)
f(0)
f(1)
g(0)
f(2)
g(1)
f(3)
g(2)
f(1)g(0)
f(2)g(1)
f(3)g(2)
f(1)
f(2)
g(0)
f(3)
g(1)
f(2)g(0)
f(3)g(1)
f(2)
f(3)
g(0)
f(0)
f(n)
g(n-3)
f(0)
f(1)
f(2)
f(3)
Σ= f(0)g(2) + f(1)g(3)
f(3)
Σ= f(0)g(1)+ f(1)g(2) +
f(2)g(3)
Σ= f(0)g(0)+ f(1)g(1) +
(f2)g(2) + f(3)g(3)
g(3)
Σ= f(1)g(0) f(2)g(1) +
f(3)g(2)
g(2)
g(3)
Σ= f(2)g(0)+f(3)g(1)
g(1)
f(3)g(0)
g(2)
g(3)
Σ= f(3)g(0)
4.1.9 Ejemplo
Correlacione las siguientes secuencias:
f =[2 , 5 , 0 , 4]
↑
(4.14)
g=[4 , 1, 3,0]
↑
La longitud de la secuencia de correlación queda definida como
N f ∗∗g =2N−1=2×4−1=7 (4.15)
La tabla 4.3 ilustra el proceso de correlación por cinta despllizante.
Año 2012
10
Correlación
Tabla 4.3 Convolución de las secuencias f=[2,5,0,4] y g=[4,1,3,0]
-3
f(n)
g(m+3))
-2
-1
0
1
2
3
5
0
4
0
0
0
4
5
6
0
0
0
'Σ=
0
0
0
0
'Σ=
6
4
0
1
0
3
0
2
0
0
0
5
0
0
4
1
0
2
3
6
0
4
0
0
0
0
2
1
2
5
3
15
0
0
0
4
4
0
0
0
0
0
'Σ=
17
0
2
4
8
5
1
5
0
3
0
4
0
0
0
0
0
'Σ=
13
2
0
5
4
20
0
1
0
4
3
12
0
0
0
0
'Σ=
32
2
5
0
0
0
4
0
4
1
4
3
0
0
0
0
'Σ=
4
2
5
0
4
4
16
1
0
3
0
0
0
'Σ=
16
f(n)
g(m+2)
f(n)
g(m+1)
0
f(n)
g(m)
0
0
f(n)
g(m-1)
0
0
0
f(n)
g(m-2)
0
0
0
f(n)
g(m-3)
0
0
0
0
0
0
El dominio de la secuencia de correlación es:
n∈[−( N−1) ,( N−1)]
(4.16)
∈[−3,3]
La secuencia de correlación es:
f ∗∗g=[0,6,17,13 ,32,4,16] (4.17)
↑
Año 2012
11
Correlación
4.1.10 correlación de secuencias de duración finita por el método matricial
Considérense las dos secuencias siguientes: son la mismas ecuaciones (4.11)
f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]
↑
g=[g(0) , g(1) , g(2) , g(3)]
↑
El planteamiento de la correlación por fórmula quedó definido en la tabla 4.2. ahora bien, considerando los
factores no nulos y factorizando los términos de la secuencia f se logra el siguiente planteamiento:
[ ][
f ∗∗g(−3)
f ∗∗g(−2)
f ∗∗g(−1)
f ∗∗g( 0) =
f ∗∗g( 1)
f ∗∗g( 2)
f ∗∗g( 3)
g(3)
g(2)
g(1)
g(0)
0
0
0
0
g(3)
g(2)
g(1)
g(0)
0
0
0
0
g(3)
g(2)
g(1)
g(0)
0
0
0
0
g(3)
g( 2)
g( 1)
g( 0)
][ ]
f ( 0)
f (1)
f ( 2)
f ( 3)
(4.18)
La ecuación anterior se puede expresar en forma compacta de la forma siguiente
f ∗∗g=G F (4.19)
En donde
[
0
g(3)
g(2)
g(1)
g(0)
0
0
[]
(4.21)
g(3)
g(2)
g(1)
G= g(0)
0
0
0
f ( 0)
f (1)
F=
f (2)
f (3)
0
0
g(3)
g( 2)
g( 1)
g( 0)
0
[ ]
f∗∗g(−3)
f∗∗g(−2)
f∗∗g(−1)
f ∗∗g= f ∗∗g(0)
f ∗∗g(1)
f ∗∗g(2)
f ∗∗g(3)
0
0
0
g(3)
g(2)
g(1)
g( 0)
]
(4.20)
(4.22)
Año 2012
12
Correlación
4.1.11 Ejemplo
Correlacione las siguientes secuencias (son las mismas ecuaciones (4.14)
f =[2 , 5 , 0 , 4]
↑
g=[4 , 1, 3,0]
↑
Planteando las matrices se logra.
[ ][ ] [ ]
0
3
1
f ∗∗g= 4
0
0
0
0
0
3
1
4
0
0
0
0
0
3
1
4
0
0
0
0
0
3
1
4
0
6
2
17
5 =
13
0
32
4
4
16
N f ∗∗g =2N−1=2×4−1=7
n ∈[−( N−1) ,( N−1 )]
∈[−3,3 ]
La secuencia de conrrelación es:
f ∗∗g=[0,6,17,13 ,32,4,16]
↑
4.1.12 correlación de secuencias de duración finita por el método de malla
f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]
↑
g=[g(0) , g(1) , g(2) , g(3)]
↑
Primero se crea una maya tal como se ilustra en la tabla 4.4: en el renglón superior se coloca la secuencia
en tanto que en la columna más a la derecha se coloca la secuencia g reflejada.
f
Año 2012
13
Correlación
Tabla 4.4. Correlación por el método de malla. Planteamiento de la malla.
f(0)
f(1)
f(2)
f(3)
g(3)
g(2)
g(1)
g(0)
Luego la maya se llena con el producto cartesiano de las secuencias, tal como se indica en la tabla 4.5
Tabla 4.5. Correlación por el método de malla. Llenado de la malla.
f(0)
f(1)
f(2)
f(3)
f(0)g((3)
f(1)g(3)
f(2)g(3)
f(3)g(3)
g(3)
f(0)g(2)
f(1)f(2)
f(2)g(2)
f(3)g(3)
g(2)
f(0)g(1)
f(1)g(1)
f(2)g(1)
f(3)g(1)
g(1)
f(0)g(0)
f(1)g(0)
f(2)g(0)
f(3)g(0)
g(0)
Finalmente, se realizan sumas en diagonal hacia abajo-izquierda. Los totales son los elementos de la secuencia
de correlación tal como ilustra la tabla 4.6.
Tabla 4.6 Correlación de las secuencias f=[f(0,f(1),f(2),f(3)] y g=[g(0),g(1),g(2),g(3)]]
f(0)
f(1)
f(2)
f(3)
f(0)g(3)
f(1)g(3)
f(2)g(3)
f(3)g(3)
g(3)
f**g(-3)
f(0)g(2)
f(1)g(2)
f(2)g(2)
f(3)g(2)
g(2)
f**g(-2)
f(0)g(1)
f(1)g(1)
f(2)g(1)
f(3)g(1)
g(1)
f**g(-1)
f(0)g(0)
f(1)g(0)
f(2)g(0)
f(3)g(3)
g(0)
f**g(0)
f**g(1)
f**g(2)
f**g(3)
Año 2012
14
Correlación
Donde:
f ∗∗g (−3)= f ( 0) g(3)
f ∗∗g (−2)= f ( 0) g(2)+ f (1) g(3)
f ∗∗g (−1)=f (0) g(1)+ f (1) g(2)+ f (2) g(3)
f ∗∗g ( 0 )=f (0) g(0)+ f (1) g(1)+ f (2) g(2)+ f (3) g(3)
f ∗∗g ( 1)=f (1) g(0)+ f (2) g(−1)+ f (3) g(−2)
f ∗∗g ( 2)=f (2) g(0)+ f (3) g(1)
f ∗∗g ( 3)=f (3) g( 0)
Nótese que son las mismas ecuaciones (4.13)
4.1.13 Ejemplo
f =[2 ,5 , 0, 4]
↑
g=[4 , 1,3 , 0]
↑
El proceso por el método del producto queda definido como indica la tabla 4.7.
Tabla 4.7 Correlación de las secuencias f(n)=[2,5,0,4] y g(n)=[4,1,3,0]
2
5
0
4
0
0
0
0
0
0
6
15
0
12
3
6
2
5
0
4
1
17
8
20
0
16
4
13
32
4
16
N f ∗∗g =2N−1=2×4−1=7
n∈[−( N−1) ,( N−1)]
∈[−3,3 ]
Año 2012
15
Correlación
Finalmente, la secuencia de correlación es:
f ∗∗g=[0,6,17,13 ,32,4,16]
↑
4.1.14 Correlación de secuencias de duración finita por el método del producto
f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]
↑
g=[g(0) , g(1) , g(2) , g(3)]
↑
El planteamiento de la correlación por producto queda definido en la tabla 4.8. Note de la tabla que la secuencia
g está reflejada.
Tabla 4.8. Correlación por el método del producto para las secuencias [f(0),f(1),f(2),f(3)] y
[g(0),g(1),g(2),g(3)]
f(0)
g(3)
f(0)g(3)
+
f**g(-3)
f(1)
g(2)
f(1)g(3)
f(0)g(2)
f**g(-2)
+
f(2)
g(1)
f(2)g(3)
f(1)g(2)
f(0)g(1)
+
f**g(-1)
f(3)
g(0)
f(3)g(3)
f(2)g(2)
f(1)g(1)
f(0)g(0)
f**g(0)
+
f(3)g(2)
f(2)g(1)
f(1)g(0)
f**g(1)
+
f(3)g(1)
f(2)g(0)
f**g(2)
f(3)g(0)
f**g(3)
Donde:
f ∗∗g (−3)= f ( 0) g(3)
f ∗∗g (−2)= f ( 0) g(2)+ f (1) g(3)
f ∗∗g (−1)=f (0) g(1)+ f (1) g(2)+ f (2) g(3)
f ∗∗g ( 0 )=f (0) g(0)+ f (1) g(1)+ f (2) g(2)+ f (3) g(3)
f ∗∗g ( 1)=f (1) g(0)+ f (2) g(−1)+ f (3) g(−2)
f ∗∗g ( 2)=f (2) g(0)+ f (3) g(1)
f ∗∗g ( 3)=f (3) g( 0)
Nótese que son las mismas ecuaciones (4.13)
Año 2012
16
Correlación
4.1.15 Ejemplo
f =[2 ,5 , 0, 4]
↑
g=[4 , 1,3 , 0]
↑
El proceso por el método del producto queda definido como:
Tabla 4.9 Método del producto para las secuencias f=[2,5,0,4]
y g=[4,1,3,0].
**
2
0
0
5
3
0
6
0
1
0
15
2
+
0
6
17
4
4
0
0
5
8
12
0
20
4
0
16
13
32
4
16
N f ∗∗g =2N−1=2×4−1=7
n∈[−( N−1) ,( N−1)]
∈[−3,3]
La secuencia de conrrelación es:
f ∗∗g=[0,6,17,13 ,32,4,16]
↑
Año 2012
17
Correlación
4.2 Correlación discreta por software
4.2.1 Correlación discreta en MATLAB
formato
xcorr( a, b)
donde
a ,b
son secuencias discretas no necesariamente de la misma longitud.
Ejemplo
> f =[2,5,0,4]
> g=[4,1,3,0]
> xcorr( f , g)
> [0,6,17,13,32,4,16]
4.3 Propiedades de la correlación lineal
A continuación se han anotado algunas propiedades importantes de la correlación. Al respecto, siempre debe
recordar que aunque la correlación es una operación lineal no es conmutativa.
Teorema 4.8 Asociatividad.
f (n)∗∗g( n)∗∗h(n)=f (n)∗∗( g(n)∗∗h(n) )
(4.23)
=( f ( n)∗∗g(n) )∗∗h(n)
Teorema 4.9 Distributividad.
f (n)∗∗[ g(n)+h(n) ]= f ( n)∗∗g(n)+f (n)∗∗h( n) (4.24)
Año 2012
18
Correlación
Teorema 4.10 Homogeneidad.
Af (n )∗∗g( n)= A ( f ( n)∗∗g (n) ) (4.25)
f (n )∗∗B g (n)=B ( f (n)∗∗g (n) ) (4.26)
Af (n )∗∗B g (n)= A B ( f (n )∗∗g( n) ) (4.27)
Teorema 4.11 Impulso.
δ (n)∗∗f (n)=f (−n) (4.28)
f (n)∗∗δ (n)=f (n) (4.29)
Teorema 4.12 Invarianza temporal.
Dada la correlación
f (n)∗∗g( n)=h(n) se tiene que:
f (n−α )∗∗h(n)= y (n−α) (4.30)
f (n)∗∗h(n−β)= y (n−β) (4.31)
f (n−α )∗∗h(n−β)= y(n−α−β) (4.32)
Teorema 4.13 incoumutatividad. La correlación no es conmutativa, esto es; dada
f (n )∗∗g ( n)=h (n )
(4.33)
se tiene que la permutación de los operandos genera la secuencia invertida
g(n)∗∗f ( n)=h(−n) (4.34)
Año 2012
19
Correlación
4.4 Correlación circular
Dada la secuencia f =[ f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)] de cardinalidad N a correlacionar con otra secuencia
g =[g (0 ), g(1),… , g ( N−1)] también de cardinalidad N , el proceso de correlación exige N× N productos
e igual cantidad de sumas. Empleando una operación conocida como FFT (Trasnformada Rápida de Fourier)
para calcular la correlación, se logra reducir este número a un mútiplo de N log 2 N .
Dado que la FFT es una operación que se aplica a señales periódicas, es lógico pensar que a la FFT se le
conozca como correlación circular o cíclica.
4.4.1 Secuencia periódica
Sea la secuencia periódica x con cardinalidad N=3 tal como se ilustra a continuación (Note que en la
ecuación hay un origen definido).
x=[... x(0) , x (1) , x(2 ), x(0) , x (1) , x(2 ), x(0) , x (1) , x(2 ), ...] (4.35)
↑
Esta secuencia también puede escribirse con índices no periódicos de la forma siguiente
x=[... x(−3), x(−2) , x(−1) , x (0) , x (1), x(2) , x (3) , x( 4) , x (5) , ...] (4.36)
↑
Ambas formas, la periódica y la no periódica son equivalentes y serán usadas en la correlación circular.
4.4.2 Sobre el origen de la secuencia periódica
Definición 4.6 El origen de una secuencia finita y periódica será el primer elemento de la secuencia.
4.4.3 Desplazamiento hacia adelante de una secuencia periódica
Definición 4.7. Desplazamiento circular hacia adelante. Cuando una secuencia periódica se adelanta un
paso, el elemento más a la izquierda sale e ingresa por la derecha, es decir.
x (n)=[ x(0), x(1) , x (2)]
(4.37)
x(n+1)=[ x(1) , x (2) , x( 0)]
4.4.4 Desplazamiento hacia atrás de una secuencia periódica
Definición 4.8. Desplazamiento circular hacia atrás. Cuando una secuencia periódica se atrasa un paso, el
elemento más a la derecha sale e ingresa por la izquierda, es decir.
x (n)=[ x(0), x(1) , x (2)]
(4.38)
x(n−1)=[ x(2) , x (0) , x (1)]
Año 2012
20
Correlación
4.4.5 Correlación de secuencias periódicas
Para ejemplificar considérese que las secuencias siguientes corresponden a un periodo.
f (n)=[ f ( 0) , f (1), f ( 2), f (3)]
↑
g(n)=[g(0) , g(1) , g(2) , g(3)]
(4.39)
↑
Sustituyendo las secuencias (4.39) en la ecuación (4.8) se logra la tabla 4.1. Ahora bien, considérense las
siguientes equivalencias:
g (−3 )=g (1)
g (−2)=g (2)
g (−1)=g (3)
g ( 0)=g (0)
g ( 1)=g (1) (4.40)
g ( 2)=g (2)
g ( 3)=g (3)
g ( 4 )=g (0 )
g ( 5)=g (1)
Entonces la tabla 4.1 puede transcribir en la tabla 4.10
Tabla 4.10 Correlación para las
g=[g(0), g(1), g(2), g(3)]
f**g(-3)
=
f(0)g(3)
+
f**g(-2)
=
f(0)g(2)
+
f**g(-1)
=
f(0)g(1)
+
f**g(0)
=
f(0)g(0)
+
f**g(1)
=
f(0)g(3)
+
f**g(2)
=
f(0)g(2)
+
f**g(3)
=
f(0)g(1)
+
secuencias periódicas f=[f(0), f(1), f(2), f(3) ]
f(1)g(0)
f(1)g(3)
f(1)g(2)
f(1)g(1)
f(1)g(0)
f(1)g(3)
f(1)g(2)
+
+
+
+
+
+
+
f(2)g(1)
f(2)g(0)
f(2)g(3)
f(2)g(2)
f(2)g(1)
f(2)g(0)
f(2)g(3)
+
+
+
+
+
+
+
y
f(3)g(2)
f(3)g(1)
f(3)g(0)
f(3)g(3)
f(3)g(2)
f(3)g(1)
f(3)g(0)
Nótese de la tabla 4.10 que la secuencia de correlación es periódica para N=4 , es decir:
f ☼☼ g(−3)=f ☼☼ g(1)
f ☼☼ g(−2)=f ☼☼ g(2) (4.41)
f ☼☼ g(−1)=f ☼☼ g(3)
Teorema 4.14 Ecuación de correlación circular. Sean dos secuencias periódicas f =[f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)]
y g=[g (0), g(1) ,…, g(N −1)] , ambas de cardinalidad N para un periodo. La correlación circular de ambas
f (n)☼☼ g(n) ; n∈[0, N−1] , es otra función también denotada como
funciones, denotada por
f ☼☼ g( n); n∈[0, N−1] y cuya definición es:
N−1
f ☼☼ g( n)=
∑
f (m ) g( m−n)[v 2 ] ; ∀ n∈[0,( N−1)] (4.42)
m=0
Año 2012
21
Correlación
Illustration 4.1: (a)Representación del operando f(n). (b) Acomodo de los dos operandos f(n) y g(n) para la correlación
circular.
Si la fórmula (4.42) se desarrolla se tendrá la siguiente secuencia de operaciones
f ☼☼ g( 0)= f ( 0) g(0)
f ☼☼ g(1)=f (0) g(3)
f ☼☼ g(2)=f (0) g(2)
f ☼☼ g(3)=f ( 0) g(1)
+
+
+
+
f (1) g(1)
f (1) g(0)
f (1) g(3)
f (1) g(2)
+
+
+
+
f (2) g(2)
f ( 2) g(1)
f (2) g(0)
f (2) g( 3)
+
+
+
+
f (3) g(3 )
f (3) g(2)
(4.43)
f (3) g(1)
f (3) g(0)
Teorema 4.15 Longitud de la correlación circular. La correlación de dos secuencias periódicas de longitud
N es otra secuencia periódica de longitud N .
4.4.6 Método de los círculos concéntricos
Para construir el método de los círculos concéntricos, síganse los pasos anotados a continuación:
•
Sea la secuencia f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)] el primer operando de una correlación circular. Éste
operando puede representarse con puntos equidistantes sobre un círculo. Los puntos se numeran en
orden de las manecillas del reloj sin perder de vista el origen de la secuencia tal como ilustra la figura
4.1.a.
•
Sea la secuencia g=[g (0), g(1) , g(2) , g (3)] el segundo operando de una correlación circular. Este
operando se representa con puntos equidistantes sobre un círculo inscrito en el círculo del operando
f . Los puntos se numeran en orden a las manecillas del reloj y haciendo coincidir el primer elemento
de la secuencia g con el origen de la secuencia f . La figura 4.1.b ilustra tal acomodo.
Año 2012
22
Correlación
Illustration 4.2: Proceso de correlación circular para las secuencias f(n)=[f(0),f(1),f(2),f(3)] y g(n)=[g(0),g(1),g(2),g(3).]
Ya dispuestos los círculos, se realiza el siguiente algoritmo:
•
Se realiza el producto punto de los vectores tal como indican los círculos concéntricos.
•
El círculo interior se gira un paso en sentido de las manecillas del reloj.
•
Se repiten los pasos hasta la secuencia g ha descrito una revolución completa.
La figura 4.2 ilustra el proceso
Año 2012
23
Correlación
Illustration 4.3: Aplicación del método de los círculos conćentricos.
4.4.7 Ejemplo:
Sean las secuencias periódicas anotadas a continuación, realice la correlación circular de la secuencias
f =[2,5,0,4 ]
(4.44)
g=[4,1,3,0]
La figura 4.3 ilustra cómo se realiza la correlación circular de las secuencias. Finalmente, la secuencia de
correlación es:
f ☼☼ g=[13,32,10,33] (4.45)
Año 2012
24
Correlación
4.4.8 Correlación circular, método matricial
Sean las secuencias periódicas siguientes de cardinalidad N=4 . Se trata de las mismas secuencia (4.39)
f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)]
g=[g(0), g(1) , g(2) , g(3)]
En una sección pasada se desarrolló la fórmula de la correlación circular para
ecuación 4.43, misma que se repite a continuación:
f ☼☼ g( 0)= f ( 0) g (0)
f ☼☼ g(1 )=f (0 ) g (3)
f ☼☼ g(2 )=f (0 ) g (2)
f ☼☼ g(3 )=f ( 0) g (1)
+
+
+
+
f (1) g (1)
f (1 ) g (0)
f (1 ) g (3)
f (1 ) g (2)
+
+
+
+
f (2) g (2)
f ( 2) g (1)
f (2 ) g (0)
f (2 ) g( 3)
+
+
+
+
N=4
resultando en la
f (3) g (3 )
f (3) g (2)
f (3) g (1)
f (3) g (0)
Si ahora las fórmulas se expresan en forma matricial resulta que:
[ ][
f ☼☼ g(0)
f ☼☼ g(1)
=
f ☼☼ g(2)
f ☼☼ g(3)
g(0)
g(3)
g(2)
g(1)
g(1)
g(0)
g(3)
g(2)
g(2)
g(1)
g(0)
g(3)
g(3)
g( 2)
g( 1)
g( 0)
][ ]
f ( 0)
f ( 1)
f ( 2)
f (3)
(4.46)
Simplificando la fórmula se tiene que
f ∗∗g=G F (4.47)
En donde
[
[]
g (3)
g (2)
G=
g (1)
g (0)
g (0)
g (3)
g (2)
g (1)
f (0 )
f (1 )
F=
f ( 2)
f (3 )
(4.49)
g (1)
g (0 )
g (3)
g (2)
g(2 )
g(1 )
g(0 )
g(3 )
]
(4.48)
Año 2012
25
Correlación
Illustration 4.4: Secuencia reflejada respecto de la frontera izquierda. (a) La secuencia original es f=[a,b,c,d]. (b) Así
entonces, la secuencia reflejada es: fR=[a,d,c,b]
4.4.9 Ejemplo
Realice la correlación circular de la secuencias periódicas siguientes. Son las mimas ecuaciones (4.44)
f =[2,5,0,4 ]
g=[4,1,3,0]
Planteando la matriz de correlación se tiene que:
[ ] [ ][ ] [ ]
f ☼☼ g (0 )
f ☼☼ g (1)
=
f ☼☼ g (2)
f ☼☼ g (3 )
4
0
3
1
1
4
0
3
3
1
4
0
0
3
1
4
2
13
5 = 32
0
10
4
33
(4.50)
Finalmente, la secuencia de correlación es:
f ☼☼ g=[13,32,10,33]
4.4.10 Teorema de cálculo de la correlación circular usando la convolución circular
Definición 4.9: Reflexión de una señal. Dada una secuencia finita f =[f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)] , existe una
versión reflejada denotada como f R tal que satisface:
f (n)=f (−n)
∀ n∈[0, N −1] (4.51)
[
a , b ,c , d
A modo de demostración considere la secuencia f = ↑
]
. La versión reflejada es como sigue:
R
f =[ a, d , c , b ] . La figura 4.4 ilustra como surge un periodo de tal secuencia reflejada.
Año 2012
26
Correlación
Teorema 4.16. La correlación circular puede calcularse con la convolución circular si el segundo
operando de la convolución se refleja y se toma un periodo completo. Matemáticamente se expresa que, dadas
las secuencias f =[f (0) , f (1) ,…, f ( N−1)] y g=[g (0), g(1) ,…, g(N −1)] , su correlación circular puede
expresarse como:
f ☼☼ g=f (n)☼ gR (4.52)
4.4.11 Ejemplo: correlación circular por convolución circular
Correlacione circularmente las siguientes secuencias usando la convolución circular.
ecuaciones (4.44)
Son las mimas
f =[2,5,0,4]
g=[4,1,3,0]
Así entonces, la segunda secuencia se refleja de tal forma que resulta en:
R
g =[4, 0,3,1]
Realizando la convolución resulta en:
R
f ☼ g =[13,32,10,33]
Tal resultado es la correlación de las secuencias originales.
4.4.12 Teorema de ćalculo de la correlación lineal con la correlación circular
Teorema 4.17 . Aproximación de la correlación lineal con la correlación circular. Dada la secuencia no
periódica f =[f (0) , f (1) , f (2) , f (3)] de longitud N a correlacionar con la secuencia no periódica
g=[g(0), g(1) ,…, g(N −1)] de la misma longitud y siendo la longitud de la secuencia de correlación de
2N−1 . Para calcular la correlación lineal a partir de la correlación circular se agregan ceros de la siguiente
forma:
•
Se concatenan ceros al inicio de la secuencia f hasta que su cardinalidad sea 2N−1 .
Se concatenan ceros al final de la secuencia g hasta que su cardinalidad sea 2N−1 .
•
Realícese la correlación circular.
•
Año 2012
27
Correlación
4.4.13 Ejemplo: calculo de la correlación lineal mediante correlación circular
Calcule la correlación lineal de las siguientes dos secuencias empleando la correlación circular. Son las
ecuaciones (4.14)
f =[2,5,0,4]
g=[4,1,3,0]
•
Primero, las secuencias son de longitud N =4 , por lo cual la longitud de la secuencia de correlación
es 2N−1=7
•
Segundo, se concatenan tres ceros al inicio de la secuencia f
la secuencia g .
y se concatenan tres ceros al final de
f '=[[0,0,0], f ]=[0,0,0,2,5,0,4 ]
(4.53)
g '=[ g,[0,0,0]]=[4,1,3,0,0,0,0]
•
Finalmente la correlación circular se calcula como:
[
4
0
0
f '☼☼ g'= 0
0
3
0
1
4
0
0
0
0
3
3
1
4
0
0
0
0
0
3
1
4
0
0
0
0
0
3
1
4
0
0
0
0
0
3
1
4
0
][][ ]
0
0
0
0
0
6
0
0
17
0 × 2 = 13
3
5
32
1
0
4
4
4
16
Para conocer el el origen de la secuencia, se recurre a las estrategias empleadas para la correlación lineal.
4.5 Propiedades de la correlación circular
Teorema 4.18 Asociatividad.
f (n)☼☼ g(n)☼ ☼h(n)=f (n)☼☼ ( g( n)☼☼ h( n) )
(3.54)
= ( f (n)☼☼ g( n) ) ☼☼ h(n)
Teorema 4.19 Distributividad.
f (n)☼☼ [ g(n)+h(n) ] =f (n)☼☼ g(n)+f (n)☼ ☼h(n) (3.55)
Año 2012
28
Correlación
Teorema 4.20 Homogeneidad.
Af (n )☼☼ g (n)= A ( f (n)☼ ☼ g (n) ) (3.56)
f (n )☼☼ B g ( n)= B ( f (n )☼☼ g (n) ) (3.57)
Af (n )☼☼ B g ( n)= A B ( f (n)☼☼ g (n) ) (3.58)
Teorema 4.21 Impulso.
δ (n)☼☼ f (n)= f (−n ) (3.59)
f (n)☼☼ δ(n)= f ( n) (3.60)
Teorema 4.22 Invarianza temporal.
Dada la convolución
f (n)☼☼ g(n)=h(n) se tiene que:
f (n−α )☼☼ h( n)= y( n−α) (3.61)
f (n)☼☼ h(n−β)= y (n−β) (3.62)
f (n−α )☼☼ h( n−β)= y (n−α−β) (3.63)
Teorema 4.23 incoumutatividad. La correlación circular no es conmutativa, esto es; dada
f (n )∗∗g (n )=h (n)
(4.64)
se tiene que la permutación de los operandos genera la secuencia invertida
g(n)∗∗f ( n)=h(−n) (4.65)
Año 2012
29
Correlación
4.6 Correlación lineal 2D en tiempo discreto
La correlación 2D se suele aplicar en imágenes:
•
Obtenidas con sensores ópticos en el rango visible.
•
Obtenidas con sensores ópticos en rangos no visibles como el infrarrojo, el ultravioleta, rayos gama.
•
Obtenidas por radar.
Los fines con los cuales se aplica la correlación 2D en imágenes implica la detección de patrones, detección de
movimiento.
El proceso de correlación 2D en el dominio del tiempo discreto es ya demasiado complejo como para ilustrar en
un texto el desarrollo de las fórmulas. A consecuencia, suelen usarse algoritmos especiales como el método
deslizante y el método de la correlación circular.
4.6.1 Correlación 2D para matrices infinitas
Dadas las matrices f (m ,n ) y g( m , n) no periódicas e infinitas, mismas que se ilustran a continuación
[
[
...
...
...
...
...
... f (0,−1) f (0,0) f (0,1) f (0,2)
f (m , n)= ... f (1,−1) f (1,0) f (1,1) f (1,2)
... f (2,−1) f (2,0) f (2,1) f (2,2)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
]
...
...
...
...
...
...
... g(0,−1) g( 0,0) g(0,1) g(0,2) ...
g( m, n)= ... g(1,−1) g( 1,0) g(1,1) g(1,2) ...
... g(2,−1) g( 2,0) g(2,1) g(2,2) ...
...
...
...
...
...
...
(4.66)
]
(4.67)
La correlación entre ambas secuencias es:
f ∗∗g(m, n)=
∞
∑
r=−∞
∞
∑
c =−∞
f ( r , c) g(r−m , c−n) (4.68)
4.6.2 Correlación 2D para matrices finitas
Se considera en este caso que las matrices de datos a convolucionar tienen su origen en el elemento superior
izquierdo, es decir, el elemento (0,0) .
Año 2012
30
Correlación
Dadas las matrices f (m , n) y g( m , n) no periódicas, finitas y de iguales dimensiones:
[
[
]
f (0,0)
f (0,1)
f (0,2)
f (1,0)
f (1,1)
f (1,2)
f (m ,n)= f (2,0)
f (2,1)
f (2,2)
...
...
...
f (M , 0) f ( M ,1) f ( M ,2)
... f (0, N )
... f (1, N )
... f (2, N )
...
...
... f ( M , N )
g(0,0)
g(0,1)
g( 0,2)
g(1,0)
g(1,1)
g(1,2)
g(m , n)= g(2,0)
g(2,1)
g( 2,2)
...
...
...
g ( M , 0) g( M , 1) g( M , 2)
... g(0, N )
... g(1, N )
... g(2, N )
...
...
... g( M , N )
(4.69)
]
(4.70)
y cuyas dimensiones son (Nótese que las matrices tienen las mismas dimensiones)
size(f)=( M , N )
(4.71)
size(g)=( M , N )
La correlación 2D se puede describir como sigue:
f ∗∗g(m, n)=
M −1
N −1
r=0
c=0
∑
∑
f (r , c) g(r−m , c−n);
m∈[−( M −1), ( M−1)] ∧ n∈[−( N −1), (N −1)] (4.72)
4.6.3 Las dimensiones de la matriz de correlación
Dadas las matrices f (m ,n ) y g( m , n) no periódicas y finitas cuyas dimensiones son:
size(f)=( M , N )
size(g)=( M , N )
Las dimensiones de la matriz de correlación son:
size ( f**g )=(2 M −1 , 2 N −1) (4.73)
Año 2012
31
Correlación
4.6.4 Algoritmo visual para la correlación lineal 2D de secuencias finitas
El algoritmo es simple,
f (m ,n ) se mantiene sin cambios
•
La matriz
•
La matriz
columnas.
•
Las matrices se multiplican punto a punto (se omiten aquellos productos donde las matrices no están
definidas).
•
Este algoritmo se repite para cada paso que se desplaza la matriz
g( m , n) se desplaza en pasos de adelante hacia atrás tanto en renglones como en
g( m, n) .
Este algoritmo queda ilustrado en la tabla 4.11
Tabla 4.11. proceso de correlación entre dos matrices. f(m,n) se mantine en tanque g(m,n) se desplaza en
pasos. A cada paso, se multiplican punto a punto las matrices.
'g(0,0) 'g(0,1)
'g(0,2)
'g(0,0)
'g(0,1)
'g(0,2)
'g(0,0)
'g(0,1) 'g(0,2)
'g(1,0) 'g(1,1)
'g(1,2)
'g(1,0)
'g(1,1)
'g(1,2)
'g(1,0)
'g(1,1) 'g(1,2)
'g(2,0) 'g(2,1)
'f(0,0)g(2,2)
'f(0,1)
'f(0,2)
'g(2,0)
'f(0,0)g(2,1)
'f(0,1)g(2,2)
'f(0,2)
'g(2,1) 'g(2,2)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)
'f(2,0)
'f(2,1)
'f(2,2)
'f(2,0)
'f(2,1)
'g(0,0)
'f(0,1)
'f(0,2)g(2,0)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)
'f(2,2)
'f(2,0)
'f(2,1)
'f(2,2)
'g(0,0)
'g(0,1) 'g(0,2)
'f(0,0)
'f(0,1)
'f(0,2)g(1,0)
'g(1,1) 'g(1,2)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)g(2,0)
'g(2,1) 'g(2,2)
'f(2,0)
'f(2,1)
'f(2,2)
'f(0,0)
'f(0,1)
'f(0,2)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)
'f(2,0)
'f(2,1)
'f(2,2)g(0,0)
'g(0,1) 'g(0,2)
'g(0,0) 'g(0,1)
'g(0,2)
'g(1,0) 'g(1,1)
'f(0,0)g(1,2)
'f(0,1)
'f(0,2)
'g(1,0) 'f(0,0)G(1,1)
'f(0,1)g(1,2)
'f(0,2)
'g(2,0) 'g(2,1) 'f(1,0)G(2,2)
'f(1,1)
'f(1,2)
'g(2,0)
'f(1,0)g(2,1)
'f(1,1)g(2,2)
'f(1,2)
'f(2,1)
'f(2,2)
'f(2,0)
'f(2,1)
'f(2,2)
'f(2,0)
'g(0,1)
'f(0,0)
...
'g(0,2)
...
...
'f(0,0)
'f(0,1)
'f(0,2)
'f(0,0)
'f(0,1)
'f(0,2)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)
'f(1,0)
'f(1,1)
'f(1,2)
'g(0,0) 'g(0,1)
'f(2,0)g(0,2)
'f(2,1)
'f(2,2)
'g(0,0)
'f(2,0)g(0,1)
'f(2,1)g(0,2)
'f(2,2)
'g(1,0) 'g(1,1)
'g(1,2)
'g(1,0)
'g(1,1)
'g(1,2)
'g(1,0)
'g(1,1) 'g(1,2)
'g(2,0) 'g(2,1)
'g(2,2)
'g(2,0)
'g(2,1)
'g(2,2)
'g(2,0)
'g(2,1) 'g(2,2)
...
Año 2012
32
Correlación
4.7 Correlación circular 2D en tiempo discreto
4.7.1 Método matricial para la correlación circular 2D.
Se considera que las siguientes matrices deben convolucionarse circularmente
[
f (0,0) f (0,1) f (0,2)
f (m , n)= f (1,0) f (1,1) f (1,2)
f (2,0) f (2,1) f (2,2)
]
y
[
g (0,0) g( 0,1) g( 0,2)
g( m, n)= g (1,0) g( 1,1) g(1,2)
g (2,0) g( 2,1) g(2,2)
]
El proceso de correlación 2D circular f (m ,n)∗∗g( m, n) , por el método matricial se ilustra en la tabla 4.12
Tabla 4.12 Proceso de convolución circular 2D.
h(0,0)
f(0,0) f(0,1) f(0,2)
f(1,0) f(1,1) f(1,2)
f(2,0) f(2,1) f(2,2)
g(0,0)
h(0,1)
f(0,1) f(0,2) f(0,0)
f(1,1) f(1,2) f(1,0)
f(2,1) f(2,2) f(2,0)
g(0,1)
h(0,2)
f(0,2) f(0,0) f(0,1)
f(1,2) f(1,0) f(1,1)
f(2,2) f(2,0) f(2,1)
g(0,2)
h(1,0)
f(1,0) f(1,1) f(1,2)
f(2,0) f(2,1) f(2,2)
f(0,0) f(0,1) f(0,2)
g(1,0)
f(1,1) f(1,2) f(1,0)
f(2,1) f(2,2) f(2,0)
f(0,1) f(0,2) f(0,0)
g(1,1)
h(1,2)
f(1,2) f(1,0) f(1,1)
f(2,2) f(2,0) f(2,1)
f(0,2) f(0,0) f(0,1)
g(1,2)
h(2,0)
f(2,0) f(2,1) f(2,2)
f(0,0) f(0,1) f(0,2)
f(1,0) f(1,1) f(1,2)
g(2,0)
h(2,1)
f(2,1) f(2,2) f(2,0)
f(0,1) f(0,2) f(0,0)
f(1,1) f(1,2) f(1,0)
g(2,1)
h(2,2)
f(2,2) f(2,0) f(2,1)
f(0,2) f(0,0) f(0,1)
f(1,2) f(1,0) f(1,1)
g(2,2)
h(1,1)
=
Año 2012
33

Capitulo 4 Correlación

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