Respuesta temporal de sistemas

Respuesta temporal de sistemas
Prof. Mª Jesús de la Fuente
ISA-UVA
Conceptos
• Respuesta temporal de sistemas de primer
orden
• Respuesta temporal de sistemas de segundo
orden
• Introducción a la identificación de sistemas
• Respuesta de sistemas de orden superior
• Nociones de estabilidad
ISA-UVA
2
Basado en modelos…
Análisis
Diseño
Control
Las características
de la respuesta del
sistema se deducen
del modelo
El proceso o el
controlador se
diseñan usando el
modelo y las
especificaciones
El modelo se usa
explícitamente en
el controlador
para el cálculo de
la señal de
control
ISA-UVA
3
Respuesta temporal
Señales
normalizadas
1
2
3
Tiempo
Transformada en s
tiempo
Deducir las características de la respuesta en tiempo
del sistema directamente de la función de
transferencia G(s)
Identificación: inferir el modelo (G(s)) a partir de datos
experimentales (datos de entrada u(t) y salida y(t)).
ISA-UVA
4
Sistemas de primer orden
dΔh
+ Δh = KΔq
dt
A2 h 0
2 h0
K=
τ=
k
k
q
τ
h
F
dy( t )
τ
+ y( t ) = Ku( t )
dt
Función de transferencia:
U(s)
u=0
u(t)=u
K
τs + 1
Y(s)
t=0
Respuesta a una entrada salto en u(t) desde el equilibrio
ISA-UVA
5
Respuesta a un salto en u
U(s)
dy( t )
τ
+ y( t ) = Ku( t )
dt
K
τs + 1
Y(s)
β
α(s + 1 τ)
βs
K u
Kτ u α
=
= +
=
+
(τs + 1) s (s + 1 τ) s s s + 1 τ s(s + 1 τ) s(s + 1 τ)
α = Ku
para s = 0 ⇒ Ku τ = α τ;
β = − Ku
para s = − 1 τ ⇒ Ku τ = − β τ;
Y (s) =
1
1
Y (s) = Ku ( −
);
s s +1 τ
−
⎛ −1 ⎡1⎤ −1 ⎡ 1 ⎤ ⎞
⎟⎟
y( t ) = L [Y (s)] = Ku⎜⎜ L ⎢ ⎥ − L ⎢
⎥
⎣s + 1 τ ⎦ ⎠
⎝ ⎣s ⎦
−1
t
τ
y( t ) = Ku (1 − e )
Comprobación:
ISA-UVA
t
− ⎤
⎡
t
τ
−
e
⎥ + Ku (1 − e τ ) = Ku
τ ⎢Ku
⎢
τ ⎥
6
⎥⎦
⎢⎣
Respuesta a un salto en u
U(s)
dy( t )
τ
+ y( t ) = Ku( t )
dt
−t
τ
K
τs + 1
Y(s)
y(t)
y( t ) = Ku (1 − e )
Ku
τ > 0 constante de tiempo
Respuesta estable, sin retardo
ni cambio de concavidad y
sobreamortiguada
Ganancia = K = Ku/u
ISA-UVA
t
u
7
Interpretación en s
−t
τ
U(s)
y( t ) = Ku (1 − e )
τ s+1=0
K
τs + 1
Y(s)
y(t)
polo = -1/τ
Ku
Plano s
t
x
polo en la parte real
izquierda del plano s
Si τ > 0
Respuesta estable, sin cambio de
concavidad y sobreamortiguada
ISA-UVA
8
Estabilidad Entrada-Salida BIBO
estable
U(s)
Y(s)
G(s)
inestable
Un sistema es estable entrada-salida cuando a una
entrada acotada le corresponde una salida acotada
ISA-UVA
9
Interpretación en s (τ<0)
−t
τ
U(s)
y( t ) = Ku (1 − e )
τ s+1=0
K
τs + 1
Y(s)
y(t)
polo = -1/τ
positivo
t
Plano s
x
Si τ < 0
Respuesta inestable
polo en la parte real
derecha del plano s
ISA-UVA
10
Otros tipos de entradas
U(s)
Ejemplo: Impulso
Y (s) =
K
Kτ
u
u=
(τs + 1) (s + 1 τ)
Ku −1 ⎡ 1 ⎤
y( t ) = L−1 [Y (s)] =
L ⎢
⎥
τ
⎣s + 1 τ ⎦
t
Ku − τ
y( t ) =
e
τ
ISA-UVA
K
τs + 1
Y(s)
La estabilidad viene
determinada por la
posición del polo, no
por el tipo de entrada
11
Tiempo de asentamiento
U(s)
Plano s
x
-1/τ1
x
-1/τ2
K
τs + 1
Y(s)
y(t)
0.95Ku
y( t 95 ) = 0.95Ku = Ku (1 − e
−
t 95
τ
τ1 < τ2
)
t 95 = 3τ
−t
τ
t
y( t ) = Ku (1 − e )
t95
ISA-UVA
12
Constante de tiempo
−t
τ
U(s)
y( t ) = Ku (1 − e )
K
τs + 1
Y(s)
−1
y(τ) = Ku (1 − e ) = 0.632Ku
resp
Derivada en el origen
−t
τ
d y( t ) Ku
=
(e )
τ
dt
d y( t )
Ku
=
τ
dt t = 0
Ku
t
τ
y(t)
0.63Ku
Ku
t
t=τ
ISA-UVA
SysQuake
13
Identificación
El modelo se obtiene a partir de
datos experimentales de
entrada-salida del proceso
U
U
t
Y
Y
Proceso
t
Modelo
ISA-UVA
14
u(t)
Δu
Identificación
t
y(t)
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto Δu
en u(t) es como la figura
⇒ sistema de primer
orden
y(t)
Estimación de
parámetros:
0.63 Δy
Δy
K = Δy/ Δu
τ dos métodos
t
t=τ
ISA-UVA
15
Sistemas de segundo orden
⎡ d x1 ⎤
⎢ d t ⎥ ⎛ a 11 a 12 ⎞ ⎡ x 1 ⎤ ⎛ b 11
⎟⎟ ⎢ ⎥ + ⎜⎜
⎥ = ⎜⎜
⎢
d
x
⎢ 2 ⎥ ⎝ a 13 a 14 ⎠ ⎣ x 2 ⎦ ⎝ b 21
⎢⎣ d t ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
y = [c1 c 2 ]⎢ ⎥
⎣ x2 ⎦
CAi(s)
F(s)
b 12 ⎞
⎟⎟u
b 22 ⎠
U(s)
Reactor
isotérmico
1
s 2 + 0 .666 s + 0 .111
− 0 . 09 s + 0 . 24
s 2 + 0 . 666 s + 0 . 111
ISA-UVA
Y(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
CB(s)
A
CAi
F
A⇒B
CA CB
16
Sistemas de segundo orden
CAi
d 2 y( t )
dy( t )
2
2
2
+
δω
+
ω
y
(
t
)
=
K
ω
n
n
n u(t )
2
dt
dt
U(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
CB
K ganancia
u(t)=u
u=0
A⇒B
δ amortiguamiento
t=0
Respuesta a una entrada salto en u(t)
ISA-UVA
ωn frecuencia propia
no amortiguada
17
Sistemas de segundo orden
U(s)
Polos:
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
s 2 + 2δωn s + ω2n = 0
− 2δωn ± 4δ2ω2n − 4ω2n
= −δωn ± ωn δ2 −1
s=
2
si ωn > 0
si δ ≥ 1
2 raices reales negativas
si δ < 1
2 raices complejas conjugadas
− δωn ± jωn 1 − δ2
ISA-UVA
18
Respuesta a un salto en u, δ >1
a = δωn − ωn δ2 −1
U(s)
b = δωn + ωn δ2 −1
Kab
(s + a)(s + b)
Y(s)
β
γ
Kab
u α
=
= +
+
(s + a )(s + b ) s s s + a s + b
α(s + a )(s + b)
β s(s + b)
γs(s + a )
=
+
+
s(s + a )(s + b) s(s + a )(s + b) s(s + a )(s + b)
⇒ Kabu = αab
α = Ku
para s = 0
Y (s) =
− δ − δ2 −1
β = Kub /(a − b) = Ku
2 δ2 −1
para s = −a
⇒ Kabu = β(−a )(−a + b)
para s = -b
− δ + δ2 −1
⇒ Kabu = γ (-b)(-b + a)
γ = − Kua/(a - b) = Ku
2
2
δ
− 1 19
ISA-UVA
Respuesta a un salto en u, δ >1
a = δωn − ωn δ −1
2
U(s)
b = δωn + ωn δ2 −1
Kab
(s + a)(s + b)
Y(s)
K
1
1
( s + 1)( s + 1)
b
a
2 constantes de tiempo 1/a, 1/b
β
γ
α
+
Y (s) = ( +
);
s s+a s+b
⎡α ⎤
⎡ β ⎤
−1 ⎡ γ ⎤
y( t ) = L−1 [Y(s)] = L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢
+
L
⎢⎣ s + b ⎥⎦
⎣s⎦
⎣ s + a ⎥⎦
− δ − δ 2 − 1 − at − δ + δ 2 − 1 − bt
e )
y( t ) = α + β e + γe = Ku (1 +
e −
2
2
2 δ −1
2 δ −1
y ( 0) = 0
y(∞) = Ku
función monótona creciente
− at
− bt
ISA-UVA
20
Respuesta a un salto en u, δ >1
U(s)
a = δωn − ωn δ −1
2
b = δωn + ωn δ2 −1
y( t ) = α + β e
− at
+ γe
− bt
Kab
(s + a)(s + b)
Y(s)
K
1
1
( s + 1)( s + 1)
b
a
− δ − δ 2 − 1 − at − δ + δ 2 − 1 − bt
= Ku (1 +
e −
e )
2
2
2 δ −1
2 δ −1
Respuesta estable, sin retardo
con cambio de concavidad y
sobreamortiguada
y(t)
Ku
t
Ganancia = K = Ku/u
u
ISA-UVA
21
Interpretación en s
U(s)
Kab
(s + a)(s + b)
El polo mas a la derecha
domina en la desaparición
del transitorio
Plano s
-b -a
x x
Y(s)
respx
P. Dominantes
concavidad
SysQuake
y( t ) = α + β e − at + γe − bt
y(t)
Ku
t
polos en la parte real
izquierda del plano s
u
ISA-UVA
22
u(t)
Δu
Identificación
t
y(t)
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto Δu
en u(t) es como la figura
⇒ sistema de segundo
orden con raices reales
Estimación de
parámetros:
t
y(t)
Δy
K = Δy/ Δu
constantes de tiempo
difíciles de estimar
ISA-UVA
t 23
Aproximación
y(t)
Kab
(s + a)(s + b)
d
Ke − ds
τs + 1
t
La respuesta del sistema de
segundo orden puede
aproximarse por la de uno de
primer orden mas un retardo
ISA-UVA
24
Identificación con un salto en u
tg de máxima pendiente
valor estacionario
y
Δy
t
d
Κ= Δy/Δu
τ
− ds
u
Δu
t
ISA-UVA
Ke
τs + 1
25
Identificación de FOPD
Ke − ds
τs + 1
y( t ) = Ku (1 − e
−t +d
τ
y(t)
)
d
Evaluando la respuesta
para instantes de tiempo
t1 =d+τ y t2 = d+τ/3 :
t
t1t2
y( t ) = Ku (1 − e −1 ) = 0.632Ku
y( t ) = Ku (1 − e −1 / 3 ) = 0.283Ku
ISA-UVA
Tomando medidas de
t1 =d+τ y t2 = d+τ/3
pueden calcularse d y τ
26
Identificación con un salto en u
y
0.632Δy
0.283Δy
τ = 1.5 (t2 - t1)
d = t2 - τ
Δy
t
Κ= Δy/Δu
t1 t2
− ds
u
Δu
t
Ke
τs + 1
Problema03
ISA-UVA
27
Cambiador de calor
Test en lazo abierto
ISA-UVA
28
Cambiador de calor
K = (135.4-140)/10 = -0.46
d = 0.75
τ = 1.4
ISA-UVA
29
Respuesta a un salto en u, δ =1
U(s)
Ka2
(s + a) 2
Y(s)
a = −δωn
Ka 2 u α
γ
β
Y (s) =
=
+
=
+
2
2
(s + a ) s s s + a (s + a )
γs
α(s + a ) 2 β s(s + a )
+
+
=
s(s + a ) 2 s(s + a ) 2 s(s + a ) 2
para s = 0
⇒ Ka 2 u = αa 2
para s = −a
⇒ Ka 2 u = γ (−a )
para s = a
α = Ku
γ = − Kua = Kuδωn
⇒ Ka 2 u = Ku 4a 2 + β2a 2 − Kua 2
ISA-UVA
β = -Ku
30
Respuesta a un salto en u, δ =1
α
γ
β
+
Y (s) = ( +
);
2
s s + a (s + a )
U(s)
Ka2
(s + a) 2
y( t ) = L−1 [Y(s)] =
Y(s)
a = −δωn
γ ⎤
⎡α ⎤
−1 ⎡ β ⎤
−1 ⎡
= L ⎢ ⎥+L ⎢
+L ⎢
2⎥
⎥
s
s
a
+
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣ (s + a ) ⎦
−1
y( t ) = α + β e − at + γte − at =
= Ku (1 − e
y ( 0) = 0
− at
+ δωn te
− at
)
y(t)
Ku
y(∞) = Ku
Función monótona
creciente
u
ISA-UVA
31
Respuesta a un salto en u, δ <1
U(s)
Kω 2n
u
Y (s) = 2
s + 2δωn s + ω2n s
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
1
⎡
⎤
− δωn t
2
y( t ) = L-1 [Y(s)] = Ku ⎢1 −
e
sen
(
1
t
)
ω
−
δ
+
φ
n
⎥
1 − δ2
⎣
⎦
1 − δ2
φ = arctg
δ
Si δωn>0
Respuesta estable,
sin retardo y
subamortiguada
y(t)
ISA-UVA
t 32
wISA-UVA
nt
33
Respuesta a un salto en u, δ <1
U(s)
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
2
1
1
−
δ
⎡
⎤
− δωn t
2
ω
−
δ
y( t ) = Ku ⎢1 −
e
sen
(
1
t + φ)⎥
φ = arctg
n
2
δ
1− δ
⎣
⎦
y(0) = 0;
y(∞) = Ku;
Ganancia : Ku/u = K
Frecuencia de oscilación :
y(t)
Ku
ωd = ω n 1 − δ 2
ISA-UVA
t 34
Tiempo de pico
1− δ2
φ = arctg
δ
1
⎡
⎤
− δωn t
2
ω
−
δ
+
φ
y( t ) = Ku ⎢1 −
e
sen
(
1
t
)
;
n
⎥
2
1− δ
⎣
⎦
d y( t )
=0
d t t=tp
[
d y( t )
− Ku
− δωn t
− δωn t
2
2
2
=
−
δω
e
sen
(
ω
1
−
δ
t
+
φ
)
+
e
cos(
ω
1
−
δ
t
+
φ
)
ω
1
−
δ
n
n
n
n
dt
1− δ2
y(t)
tp = Tiempo que
transcurre hasta el
primer máximo
Ku
tp
ISA-UVA
t 35
]
Tiempo de pico
[
d y( t )
− Ku
− δωn t
− δωn t
2
2
2
−
δω
e
sen
(
ω
1
−
δ
t
+
φ
)
+
e
cos(
ω
1
−
δ
t
+
φ
)
ω
1
−
δ
=
n
n
n
n
dt
1− δ2
d y( t )
=0
d t t=tp
δωn e
− δωn t p
tg (ωn
sen (ωn 1 − δ t p + φ) = e
2
cos(ωn 1 − δ t p + φ)ωn 1 − δ
2
1 − δ2
1 − δ t p + φ) =
= tg (φ)
δ
tg
2
2
ω n 1 − δ 2 t p = ± nπ
tp =
− δωn t p
]
ωn
sen (π + φ) − senφ
=
cos(π + φ) − cos φ
y(t)
Ku
π
π
=
1 − δ 2 ωd
tp
ISA-UVA
t 36
Sobrepico
1
⎡
⎤
− δωn t
2
e
sen
(
1
t
)
y( t ) = Ku ⎢1 −
ω
−
δ
+
φ
n
⎥
2
1
−
δ
⎣
⎦
y( t p ) − Ku
π
Mp =
100 en %
tp =
Ku
ωn 1 − δ 2
100
Mp = −
e
2
1− δ
− δωn
M p = 100e
ω n 1− δ
2
100 −
sen (π + φ) =
e
2
1− δ
1− δ 2
1 − δ2
1− δ 2
sen (φ) =
y(t)
Ku
πδ
1− δ
πδ
πδ
100 −
=
e
2
1− δ
−
π
1 − δ2
φ = arctg
δ
2
en %
tp
ISA-UVA
t 37
Tiempo de asentamiento
2
−
δ
1
1
⎡
⎤
− δωn t
2
ω
−
δ
φ = arctg
e
sen
(
1
t + φ)⎥
y( t ) = Ku ⎢1 −
n
2
δ
1− δ
⎣
⎦
1
⎡
⎤
− δωn t ss
2
ω
−
δ
+
φ
e
sen
(
1
t
)
0.95Ku = Ku ⎢1 −
n
ss
⎥
1 − δ2
⎣
⎦
Ecuación
1
− δωn t ss
2
implícita
e
sen
(
ω
1
−
δ
t ss + φ) = 0.05
max t ss tal que
n
2
1− δ
Aproximadamente:
t ss =
± 5%
y(t)
Ku
3
5
L
δωn δωn
tss
ISA-UVA
t 38
Interpretación en s
U(s)
Plano s
x
ωn 1 − δ 2
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Polos:
Y(s)
− δωn ± jωn 1 − δ 2
− δωn
x
polos complejos
conjugados con la
parte real en el
semiplano izquierdo
y(t)
t
ISA-UVA
39
Interpretación en s
Polos:
Plano s
x
β
3
5
t ss =
L
δωn δωn
ωn 1 − δ 2
δ
tg (β) =
1 − δ2
− δωn
x
− δωn ± jωn 1 − δ 2
ωd = ω n 1 − δ 2
tp =
ωn
M p = 100e
π
π
=
1 − δ 2 ωd
−
πδ
1− δ 2
en %
y(t)
polos complejos
conjugados con la
parte real en el
semiplano izquierdo
resp
t
ISA-UVA
40
Interpretación en s
ωn 1 − δ 2
Plano s
U(s)
1
⎡
⎤
− δω n t
2
e
sen
(
ω
1
−
δ
t
+
φ
)
y( t ) = Ku ⎢1 −
n
⎥
1 − δ2
⎦
⎣
si δωn < 0 sistema inestable
x
− δωn
y(t)
x
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
Y(s)
t
ISA-UVA
41
u(t)
Δu
Identificación
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto Δu
en u(t) es como la figura
⇒ sistema de segundo
orden con raices
complejas conjugadas
Kω2n
s 2 + 2δωn s + ω2n
t
y(t)
Δy
Estimación de
parámetros:
K = Δy/ Δu
Problema56
t
tp
ISA-UVA
M p = 100e
tp =
ωn
−
πδ
1− δ 2
en %
π
π
=
1 − δ 2 ωd
42
Respuesta a un salto en u, δ =0
U(s)
Kω2n u
Y (s) = 2
s + ω2n s
Kω2n
s 2 + ω2n
Y(s)
π ⎤
⎡
y( t ) = L-1 [Y (s)] = Ku ⎢1 − sen (ωn t + )⎥
2 ⎦
⎣
Como δ = 0 la
respuesta no se
amortigua nunca.
Respuesta en el
límite de la
estabilidad
y(t)
Ku
t
ISA-UVA
43
Interpretación en s
+ jω n
Kω2n
s 2 + ω2n
x
Plano s
− jω n x
Polos sobre el
eje imaginario:
límite de
estabilidad
polos: s 2 + ω2n = 0 ⇒ s = ± jωn
π ⎤
⎡
y( t ) = L-1 [Y (s)] = Ku ⎢1 − sen (ωn t + )⎥
2 ⎦
⎣
y(t)
Ku
t
resp
ISA-UVA
SysQuake
44
Polos en el origen: Integradores
U(s)
Y (s) =
Ka
s(s + a)
Ka u α β
γ
=
= + 2+
(s + a )s s s s s + a
αs(s + a ) β(s + a )
γs 2
= 2
+ 2
+ 2
s (s + a ) s (s + a ) s (s + a )
⇒ Kau = β a
β = Ku
para s = 0
para s = −a
⇒ Kau = γa 2
Y(s)
Respuesta a un
salto u en la
entrada
γ = Ku / a
para s = a ⇒ Kau = α 2a 2 + β2a + γa 2
Ku = α 2a + 2Ku + Ku ⇒ α = -Ku / a
ISA-UVA
45
Polos en el origen: Integradores
U(s)
Y (s) =
Ka
s(s + a)
Y(s)
Ka u α β
γ
= + 2+
(s + a )s s s s s + a
⎡α ⎤
⎡β ⎤
⎡ γ ⎤
y( t ) = L−1[Y (s)] = L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢ 2 ⎥ + L−1 ⎢
⎣s⎦
⎣s ⎦
⎣ s + a ⎥⎦
1
⎡1
⎤
y( t ) = α + β t + γe −at = Ku ⎢ + t − e −at ⎥
a
⎣a
⎦
y(t)
t
Plano s
x
respx
ISA-UVA
SysQuake
46
Polos en el origen: Integradores
Entrada: Impulso u
Y (s) =
U(s)
Ka
s(s + a)
Y(s)
Ka
u
(s + a )s
y( t ) = L−1[Y(s)] = Ku[1 − e − at ]
y(t)
Ku
Plano s
x
t
Límite de estabilidad: depende de la entrada
ISA-UVA
47
Sistemas de orden superior
U(s)
G(s)
Y(s)
respx
σ
β
α
γ
υ
+
+
+ ....);
Y (s) = ( +
...
+
+
2
2
2
s s + a s + b (s + b)
s + 2δωn s + ωn
y( t ) = L−1 [Y(s)] =
⎤
σ
⎡α ⎤
⎡ β ⎤ −1 ⎡ γ ⎤ −1 ⎡ υ ⎤
−1 ⎡
= L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢
+
+
+
L
L
L
+
...
+ ...
⎢
2⎥
2
2⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣s⎦
⎣s + a ⎦
⎣s + b ⎦
⎣ (s + b) ⎦
⎣ s + 2δωn s + ωn ⎦
y( t ) = α + β e − at + γe − bt + υte − bt + ... + e − δωn t sen (ωn 1 − δ 2 + φ) + ...
La estabilidad y tipos de respuesta la determinan los polos.
Los ceros modifican la forma de la respuesta pero no la
ISA-UVA
estabilidad
48
Efecto de ceros sobre la respuesta
1
1
G(s)( s + 1) = G(s) + sG(s)
c
c
La respuesta a la misma entrada del sistema con un cero
en s = -c, se obtiene sumando a la respuesta del sistema
sin cero su derivada multiplicada por un factor 1/c
ISA-UVA
49
Efecto de ceros sobre la respuesta
u
Con c > 0, se
adelanta la respuesta.
y(t)
No produce
oscilaciones si la
respuesta sin cero no
la tiene, pero puede
producir sobrepico
d y( t )
dt
+1/c
-c -b -a
x x
ISA-UVA
Plano s
cero en la parte real
50 s
izquierda del plano
Efecto de ceros sobre la respuesta
u
Con c < 0, se
produce una
respuesta inversa
inicialmente (fase
no-mínima)
y(t)
d y( t )
dt
-b -a
x x
+1/c
Plano s
-c
cero en la parte real
derecha del plano s
ISA-UVA
51
Interpretación de los ceros
U(s)
K1
(as + 1)
+
Y(s)
respcero
K2
(bs + 1)
-
⎡ K1
K2 ⎤
K1 (bs + 1) − K2 (as + 1)
( K1b − K2a )s + ( K1 − K2 )
−
=
=
Y(s) = ⎢
U
(
s
)
U
(
s
)
U(s)
⎥
+
+
+
+
+
+
(
as
1
)(
bs
1
)
(
as
1
)
(
bs
1
)
(
as
1
)(
bs
1
)
⎣
⎦
Se genera un cero como resultado de dos efectos diferentes de
la misma causa. Si los efectos son de sentidos contrarios puede
aparecer un cero inestable
ISA-UVA
52
Cambiador de calor
ISA-UVA
53
Reactor Isotermo
⎡ d Δc A ⎤
⎢ d t ⎥ ⎛ − 0.33
0 ⎞ ⎡Δc A ⎤ ⎛ 0.09 0.333 ⎞ ⎡ ΔF ⎤
⎟⎢
⎟⎢
⎢
⎥=⎜
⎥
⎥ + ⎜ − 0.09
d
c
Δ
c
c
Δ
Δ
3
0
.
33
0
−
B
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎣
⎦
B
Ai
⎢
⎥
⎢⎣ d t ⎥⎦
CAi(s)
1
s 2 + 0.666s + 0.111
F(s)
− 0.09s + 0.24
s 2 + 0.666s + 0.111
-0.3330 + 0.0105i
A
CAi
F
A⇒B
CA CB
CB(s)
-0.3330 - 0.0105i
ISA-UVA
54
Matlab
ISA-UVA
55
Cstation
ISA-UVA
56
Dos depositos
Punto de operación:
q=17.8 l/m u= 70 %
F=2 l/m h20= 4 m
A1=0.2 dm2 A1=0.2 dm2
q
u
h1
F(s)
LT
h2
U(s)
%
0 .126
(1 .01s + 1)(1 .14 s + 1)
− 0.505
1.01s + 1
H2(s)
m
F
ISA-UVA
57
Identificación
El modelo se obtiene a partir de
datos experimentales de
entrada-salida del proceso
U
U
t
Y
Y
Proceso
t
Modelo
ISA-UVA
58
Metodología de la identificación
Conocimiento previo y diseño de experimentos
Toma de datos experimentales
Análisis y tratamiento de datos
Selección del tipo de modelo
Estimación de parámetros
Validación del modelo
ISA-UVA
59
Identificación por respuesta salto
Dos experimentos:
•Cambio en u con F cte.
•Cambio en F con u cte.
Ajuste con funciones de
primer orden
u
K q e − ds
0.127e − 0.71s
H 2 (s) =
U (s) =
U (s)
τqs + 1
1.64s + 1
LT
h2
H 2 (s) =
F
ISA-UVA
Kf
− 0.5
F(s) =
F(s)
τf s + 1
0.99s + 1
60
Mínimos cuadrados
Criterio de estimación: Dado un conjunto de datos
experimentales u(t), y(t), buscar los parámetros del
modelo, θ, que minimizan la función de coste V :
N
1 N
1
2
V = ∑ e( t ) 2 = ∑ [ ( y ( t ) − y m ( t , θ ) ]
N t =1
N t =1
v
u
y
Proceso
e(t)
Modelo
y
m
m
ISA-UVA
61
Cstation
ISA-UVA
62
Cambiador de calor (LS)
ISA-UVA
63
Cambiador de calor (LS)
ISA-UVA
64
Reactor Químico
Estudio simplificado:
Se consideran ctes. las variables relacionadas con
el producto: F, Ti, Cai
Solo se estudia la temperatura en el reactor
TT
Fr
Tri
Reactor
T
Refrigerante
ISA-UVA
Tr
MV: caudal de refrigerante
CV: Temperatura del reactor
DV: temperatura de entrada
del refrigerante
65
Reactor Químico - Temperatura
ISA-UVA
66
Modelo reducido, con conversión x
Conversión x
x = cB/cAi
cA = cAi(1- x )
d cA
− E RT
V
= FcAi − FcA − Vke
cA
dt
dT
− E RT
cA ΔH − UA( T − Tr )
Vρce
= Fρce Ti − Fρce T + Vke
dt
d Tr
Vr ρr cer
= Fr ρr cer Tri − Fr ρr cer Tr + UA( T − Tr )
dt
ISA-UVA
67
Modelo reducido, linealización
dx
F
−E
= − x + ke RT (1 − x)
dt
V
−E
F0
dΔx
kE − E RT0
RT0
= −( + ke
)Δx + 2 e
(1 − x 0 )ΔT
dt
V
RT0
⇒
dΔx
= a11Δx + a12ΔT
dt
dT
−E
Vρce
= Fρce Ti − Fρce T + Vke RTc Ai (1 − x)ΔH − UA(T − Tr )
dt
−E
−E
F0 kEe RT0 cAi (1 − x 0 )ΔH UA
cAiΔH
dΔT − ke
−
)ΔT +
=(
)Δx + (− +
2
ρce
Vρce
ρce
V
dt
RT0
+(
UA
)ΔTr
Vρce
RT0
⇒
dΔT
= a 21Δx + a 22ΔT + a 23ΔTr
dt
ISA-UVA
68
Modelo reducido, linealización
Vr ρr cer
dTr
= Fr ρr cer Tri − Fr ρr cer Tr + UA(T − Tr )
dt
F
T −T
F
dΔTr
UA
UA
)ΔT − (
=(
+ r 0 )ΔTr + ( ri0 r 0 )ΔFr + ( r 0 )ΔTri
dt
Vr ρr cer
Vr ρr cer Vr
Vr
Vr
⇒
dΔTr
= a 32ΔT + a 33ΔTr + b31ΔFr + b32ΔTri
dt
0⎞
⎡ Δx& ⎤ ⎛ a11 a12 0 ⎞ ⎡ Δx ⎤ ⎛ 0
⎟ ⎡ ΔFr ⎤
⎟⎢ ⎥ ⎜
⎢ ΔT& ⎥ = ⎜ a
a
a
0 ⎟⎢
ΔT + 0
⎢ ⎥ ⎜ 21 22 23 ⎟ ⎢ ⎥ ⎜
ΔTri ⎥⎦
⎣
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢⎣ΔT& r ⎥⎦ ⎝ 0 a 32 a 33 ⎠ ⎢⎣ΔTr ⎥⎦ ⎝ b32 b32 ⎠
⎡ Δx ⎤
⎡ ΔFr ⎤
⎢
⎥
ΔT = (0 1 0) ΔT + (0 0)⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ΔTri ⎦
⎣⎢ΔTr ⎥⎦
ISA-UVA
69
Estimación de parámetros
TT
u
Tr
Fr
Tri
Reactor
T, x
Para calcular los parámetros del modelo (U, F0, E,….)
necesitamos hacer medidas del proceso. Usaremos datos tomados
de Cstation en algunos puntos estacionarios, y los sustituiremos
en el modelo para calcular los parámetros desconocidos, pero
este procedimiento no permite calcular todos los parámetros.
ISA-UVA
70
Punto de operación
TT
u
Tr
Fr
Tri
Reactor
T = 92 ºC x = 0.902
Tr = 75.6 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 50 ºC u = 42 %
T, x
Otro:
T = 88.6 ºC
Fr = 30. l/m
x = 0.881 Tr = 71.8 ºC
Tri = 30 ºC u = 22.2 %
Otro:
T = 33.6 ºC
x = 0.102 Tr = 32.2 ºC
Tri = 30 ºC u = 42 %
Fr = 47.8 l/m
ISA-UVA
71
Estimación de parámetros
−E
0 = Fx − Vke
RT
(1 − x)
−E
0 = F(Ti − T) +
Vke
0 = Fr (Tri − Tr ) +
−E
0 = 0.902F − Vke
RT
(1 − x)c AiΔH UA
−
(T − Tr )
ρce
ρce
UA
(T − Tr )
ρr c e r
R ( 92+ 273.2)
−E
(1 − 0.902) ⇒ ln 0.902 + ln
T = 92 ºC x = 0.902
Tr = 75.6 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 50 ºC u = 42 %
F
E
=−
+ ln(1 − 0.902)
Vk
R (92 + 273.2)
R (92+ 273.2)
(1 − 0.902)c AiΔH UA
0 = F(Ti − 92) +
−
(92 − 75.6)
ρce
ρce
UA
UA
= 74.5
⇒
0 = 47.8(50 − 75.6) +
(92 − 75.6)
ρ r c er
ρr c e r
Vke
ISA-UVA
72
Estimación de parámetros
T = 92 ºC x = 0.902
Tr = 75.6 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 50 ºC u = 42 %
T = 24.5 ºC x = 0.047
Tr = 21.9 ºC
Fr = 100 l/m
Tri = 20 ºC u = 100 %
T = 88.8 ºC x = 0.882
Tr = 72 ºC
Fr = 56.8 l/m
Tri = 50 ºC u = 52 %
E
= 8598.9
R
F
= 6.46e - 012
Vk
c Ai ΔH
−E
R (92+ 273.2)
= 114.783
Vke
(1 − 0.902)c AiΔH UA
ρc e
0 = F(Ti − 92) +
−
(92 − 75.6)
ρce
ρce
UA
−E
= 1.460e - 011
Vke R (88.8+ 273.2) (1 − 0.882)c AiΔH UA
ρc e Vk
0 = F(Ti − 88.8) +
−
(88.8 − 72)
ρce
ρce
Ti = 25.54
F
E
ln 0.902 + ln
=−
+ ln(1 − 0.902)
Vk
R (92 + 273.2)
⇒
F
E
ln 0.882 + ln
=−
+ ln(1 − 0.882)
Vk
R (88.8 + 273.2)
Mas otra en el tercer punto
ISA-UVA
73
Estimación de parámetros
Suponiendo:
TT
u
Tr
Fr
Tri
Reactor
T, x
c Ai ΔH
= 114.783
ρc e
UA
= 1.460e - 011
ρc e Vk
Ti = 25.54
E
= 8598.9
R
F
= 6.46e - 012
Vk
UA
= 74.5
ρ r c er
ISA-UVA
V = Vr = 68.8941 l
F = 34.4471 l/min
ρce = 4180 j/k l
ρrcer = 4000 j/k l
Resulta:
k = 7.7399e+010
cAiΔH = 479792.94
UA = 311410
Reactor Matlab
74
Modelo linealizado
TT
En el punto de operación:
u
Tr
Fr
Reactor
Tri
T, x
T = 92 ºC x = 0.902
Tr = 75.6 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 50 ºC u = 42 %
−E
F0
dΔx
kE − E RT0
RT 0
= − ( + ke
e
(1 − x 0 ) ΔT
) Δx +
dt
V
RT02
−E
Sustituyendo en:
−E
F0 kEe RT0 cAi (1 − x 0 )ΔH UA
dΔT − ke RT0 cAiΔH
UA
=(
−
)
Δ
T
+
(
)ΔTr
)Δx + (− +
2
ρce
ρce
Vρce
dt
Vρce
V
RT0
F
T − Tr 0
F
d ΔTr
UA
UA
=(
) ΔT − (
+ r 0 ) ΔTr + ( ri 0
) ΔFr + ( r 0 ) ΔTri
Vr
dt
Vr ρ r c er
Vr ρ r c er Vr
Vr
ISA-UVA
75
Matriz de transferencia
0 ⎞⎡ Δx ⎤ ⎛ 0
0 ⎞
⎡ Δx& ⎤ ⎛ − 5.1 0.029
⎟⎡ ΔFr ⎤
⎢ ΔT& ⎥ = ⎜ − 528.2 1.707 1.13 ⎟⎢ ΔT ⎥ + ⎜ 0
0
⎟⎢
⎟⎢ ⎥ ⎜
⎥
⎢ ⎥ ⎜
Δ
T
⎣
⎦
ri
1.081 −1.77⎟⎠⎢⎣ΔTr ⎥⎦ ⎜⎝ − 0.37 0.694⎟⎠
⎢⎣ΔT& r ⎥⎦ ⎜⎝ 0
⎡ Δx ⎤
⎡ ΔFr ⎤
⎢
⎥
(
)
(
)
ΔT = 0 1 0 ΔT + 0 0 ⎢
G(s) = C sI − A
⎥
⎢ ⎥
Δ
T
⎣ ri ⎦
⎢⎣ΔTr ⎥⎦
[
Tri(s)
u
?
Fr(s)
]
−1
B
- 8.882 10 -16 s 2 + 0.784 s + 4
s 3 + 5.17 s 2 + 11.45 s + 5.566
-16
2
8.882 10 s - 0.4199 s - 2.142
s 3 + 5.17 s 2 + 11.45 s + 5.566
ISA-UVA
T(s)
76
Modelo en s Reactor
Tri(s)
Fr(s)
roots(denominador)
-2.2571 + 1.8435i
-2.2571 - 1.8435i
-0.6554
Punto de operación
estable
0.784 s + 4
s 3 + 5.17 s 2 + 11.45 s + 5.566
- 0.4199 s - 2.142
s 3 + 5.17 s 2 + 11.45 s + 5.566
Ceros
Ganancia
-5.1 (Tri)
0.718
- 5.1 (Fr)
- 0.385
ISA-UVA
T(s)
77
Respuesta salto
Fr
1
roots(d2)
-2.2571 + 1.8435i
-2.2571 - 1.8435i
-0.6554
T
Polo dominante
ISA-UVA
78
Otro punto de operación
TT
En el punto de operación:
u
Tr
Fr
Tri
Reactor
T, x
Tri(s)
Fr(s)
T = 74.9 ºC x = 0.747
Tr = 58.9 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 34 ºC u = 42 %
0.784 s + 1.527
s 3 + 2.37 s 2 + 1.516 s + 0.6078
- 0.4084 s − 0.7954
s 3 + 2.37 s 2 + 1.516 s + 0.6078
ISA-UVA
T(s)
79
Otro punto de operación
Tri(s)
Fr(s)
0.784 s + 1.086
s 3 + 2.173 s 2 + 0.4339 s − 0.007578
T(s)
- 0.359 s − 0.4975
s 3 + 2.173 s 2 + 0.4339 s − 0.007578
Step Response
0
T
Fr
1
Amplitude
Polos:
-1.6834
-0.3432 + 0.4933i
-0.3432 - 0.4933i
-0.5
-1
-1.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Time (sec)
ISA-UVA
80
18
Un punto de operación inestable
TT
En el punto de operación:
u
Tr
Fr
Tri
Reactor
T, x
Tri(s)
Fr(s)
T = 68.1 ºC x = 0.651
Tr = 54.6 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 32.7 ºC u = 42 %
0.784 s + 1.086
s 3 + 2.173 s 2 + 0.4339 s − 0.007578
- 0.359 s − 0.4975
s 3 + 2.173 s 2 + 0.4339 s − 0.007578
ISA-UVA
T(s)
81
Un punto de operación inestable
Tri(s)
Fr(s)
0.784 s + 1.086
s 3 + 2.173 s 2 + 0.4339 s − 0.007578
- 0.359 s − 0.4975
s 3 + 2.173 s 2 + 0.4339 s − 0.007578
T = 68.1 ºC x = 0.651
Tr = 54.6 ºC
Fr = 47.8 l/m
Tri = 32.7 ºC u = 42 %
T(s)
Polos: -1.9487
-0.2408
0.0161
ISA-UVA
82
Bloques en serie
X(s)
U(s)
Y(s)
G2(s)
G1(s)
Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)
U(s)
G (s)
Y(s)
G(s) = G2(s)G1(s)
ISA-UVA
83
Sistemas realimentados
W(s)
U(s)
E(s)
+
-
R(s)
G(s)
Y(s)
Y (s) = G (s) U(s) = G (s)R (s) E (s) = G (s)R (s)[W (s) − Y (s)]
Y (s)[1 + G (s)R (s)] = G (s)R (s) W (s)
Y (s) =
G (s) R (s)
W (s)
1 + G (s)R (s)
ISA-UVA
84
Sistemas realimentados
W(s)
U(s)
E(s)
+
-
R(s)
G(s)
Y(s)
H(s)
Y(s) = G (s) U (s) = G (s)R (s) E (s) = G (s)R (s)[W (s) − H (s)Y (s)]
Y (s)[1 + G (s)R (s)H (s)] = G (s)R (s) W (s)
Y (s) =
G (s) R (s)
W (s)
1 + G (s)R (s) H(s)
ISA-UVA
85
Perturbaciones
V(s)
W(s)
E(s)
R
+
-
D(s)
U(s)
G(s)
Y(s)
H(s)
Y (s) = G (s) U (s) + D(s)V (s) = G (s)R (s) E (s) + D(s)V(s) =
= G (s)R (s)[W (s) − Y (s)H (s)] + D(s)V (s)
Y (s)[1 + G (s)R (s)H (s)] = G (s)R (s) W (s) + D(s)V (s)
Y (s) =
G (s) R (s)
D(s)
W (s) +
V(s)
1 + G (s)R (s) H(s)
1 + G (s)R (s)H (s)
ISA-UVA
86
Transmisor-Regulador
V(s)
D(s)
E(s)
W(s)
+
-
R(s)
mA→ ºC
U(s)
%
Y(s)
G(s)
mA
ºC
ºC → mA
Si el regulador usa la calibración del transmisor, y la
dinámica del transmisor es rápida frente a la del proceso,
puede despreciarse la función de transferencia en la
realimentación.
ISA-UVA
87
Lazo cerrado
V(s)
W(s)
E(s)
+
-
R(s)
Y (s) =
D(s)
U(s)
G(s)
Y(s)
D(s)
G (s)R (s)
W (s) +
V(s)
1 + G (s) R (s)
1 + G (s) R (s)
Expresión fundamental para analizar o diseñar
ISA-UVA
88
Lazo cerrado- Señal de control
V(s)
W(s)
E(s)
+
-
R(s)
D(s)
U(s)
G(s)
Y(s)
U (s) = R (s)E (s) = R (s)[ W (s) − Y(s)] = R (s)[ W (s) − G (s) U (s) − D(s)V(s)] =
U (s)[1 + R (s)G (s)] = R (s)[ W (s) − D(s)V(s)]
R (s)
R (s)D(s)
U (s) =
W (s) +
V(s)
1 + G (s)R (s)
1 + G (s)R (s)
ISA-UVA
89
Respuesta en lazo cerrado
V(s)
W(s)
E(s)
+
-
R(s)
D(s)
U(s)
G(s)
Y(s)
La respuesta temporal ante cambios en w(t) ó v(t)
puede calcularse con la F.T. en lazo cerrado:
Y (s) =
D(s)
G (s)R (s)
W (s) +
V(s)
1 + G (s)R (s)
1 + G (s)R (s)
ISA-UVA
90
Ejemplo
Kd
τds + 1
V(s)
W(s)
E(s)
+
-
Kp
U(s)
K
τs + 1
Y(s)
Kd
K
Kp
G (s)K p
τds + 1
D(s)
W (s) +
V (s) = τs + 1
W (s) +
Y (s) =
V (s) =
K
K
1 + G (s)K p
1 + G (s)K p
1+
Kp
1+
Kp
τs + 1
τs + 1
KK p
K d (τs + 1)
=
W (s) +
V (s)
τs + 1 + KK p
(τs + 1 + KK p )(τ d s + 1)
ISA-UVA
91
Ecuación característica
Y (s) =
D(s)
G (s)R (s)
W (s) +
V(s)
1 + G (s)R (s)
1 + G (s)R (s)
El tipo de respuesta y la estabilidad en lazo cerrado
vienen determinadas por los polos de la función de
transferencia en lazo cerrado, que son las raíces de la
ecuación característica:
1+G(s)R(s) = 0
Cambiando el regulador R(s) podemos modificar la
forma de la respuesta
ISA-UVA
92
Ceros en lazo cerrado
Y (s) =
D(s)
G (s)R (s)
W (s) +
V(s)
1 + G (s)R (s)
1 + G (s)R (s)
Num(s)
G (s)R (s) =
Den (s)
Num(s)
G (s)R (s)
Num(s)
Den (s)
=
=
1 + G (s)R (s) 1 + Num(s) Den (s) + Num(s)
Den (s)
D(s)
D(s)
Den (s)D(s)
=
=
1 + G (s)R (s) 1 + Num(s) Den (s) + Num(s)
Den (s)
ISA-UVA
Los ceros en lazo
abierto aparecen
también como
ceros en lazo
cerrado
93
Ceros inestables
Num(s)
Den (s)
Num(s)
G (s)R (s)
Num(s)
Den (s)
=
=
1 + G (s) R (s) 1 + Num(s) Den (s) + Num(s)
Den (s)
D(s)
D(s)
Den (s)D(s)
=
=
1 + G (s) R (s) 1 + Num(s) Den (s) + Num(s)
Den (s)
G (s) R (s) =
y(t)
yc(t)
Si la respuesta en lazo abierto presenta fase no minima,
tambien la presentara en lazo cerrado independientemente de
R(s)
ISA-UVA
94
Reactor Químico
ISA-UVA
95
Reactor Químico
ISA-UVA
96
Reactor Químico
Para Kp = -4 los polos
en lazo cerrado son:
-1.5810 + 2.028i
-1.5810 – 2.028i
-2.709
La respuesta
en salto ante
un cambio
de 2 grados
en el SP
El cero es: -5.1
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97