sombras ii - António Galrinho

14
SOMBRAS II
Neste capítulo mostra-se como se determinam sombras próprias e projectadas de sólidos sobre os planos de projecção, nomeadamente de pirâmides,
prismas, cones e cilindros.
Sumário:
2. Sombras de sólidos no espaço
3 e 4. Sombras de pirâmides
5 e 6. Sombras de prismas
7, 8 e 9. Sombras de cones
10 e 11. Sombras de cilindros
12 e 13. Exercícios
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 1
Sombras de sólidos no espaço
Aqui mostra-se como surgem as sombras própria e projectada por um cone nos planos de projecção. Compreendendo esta situação, facilmente se compreendem outras envolvendo outros sólidos.
l
V
φ0
T’
x
VS2
TS1
O
QS
T
OS1
Vv1
Q’S
T’S1
ν0
Sombras própria e projectada por um cone de revolução com base horizontal
Como a base do sólido é paralela ao PHP, determinam-se em primeiro lugar as sombras da base e do vértice
nesse plano. A sombra da base, com centro em OS1, liga-se a VV1 através das tangentes [TS1VV1] e [T’S1VV1].
Essas tangentes dão origem aos pontos de quebra QS e Q’S que, unidos à sombra real do vértice, VS2, permitem determinar a sombra projectada pelo cone no PFP.
Para determinar a sombra própria traçam-se os raios [OT] e [OT’], paralelos respectivamente a [OS1TS1] e
[OS1T’S1]. As geratrizes [TV] e [T’V] separam a zona iluminada do cone da zona em sombra própria, pelo que se
designam separatrizes.
Aqui, como nas páginas seguintes, fazem-se tracejados finos para indicar as manchas de sombra: 45ºad no
PFP; 45ºad no PHP e horizontais na sombra própria.
Uma situação idêntica a esta surge representada em projecções na página 7.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 2
Sombras de pirâmides
Observa-se aqui como se determinam sombras projectadas e sombras próprias de pirâmides. Nesta
página exemplifica-se com pirâmides de bases frontais.
B2≡BS2
A2≡AS2
V2
Sombras de uma pirâmide regular
com a base no PFP
l2
D2≡DS2
x
Estando a base no PFP, a sua sombra
situa-se aí, pelo que basta determinar a
sombra do vértice principal. Determinase também a sombra virtual desse vértice por se encontrar no plano da base e
assim se poder unir a ela.
A sombra própria é limitada pelas arestas [BV] e [DV], as mesmas cujas sombras limitam a mancha que se projecta
nos planos de projecção.
C2
A1
B1
D1
Q’S
C1
QS
l1
VV2
VS1
V1
A2
B2
F2
AS2
Sombras de uma pirâmide
oblíqua com a base frontal
Aqui foram determinadas as
sombras reais dos vértices da
base, assim como ambas as
sombras do vértice principal. As
sombras dos vértices das bases
que se unem às sombras do
vértice principal são aquelas que
permitem a maior abertura de
ângulo a partir deste. A sombra
de C não se indica por se situar
no interior da mancha de sombra
projectada.
As arestas [BV] e [DV] limitam a
sombra própria. De notar que
nesta situação a sombra própria
não é visível em projecção horizontal.
l2
BS2
FS2
V2
E2
C2
Q’S
QS
x
ES1
D2
l1
E1≡F1
B1≡C1
A1≡D1≡DS1
VS1
VV2
V1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 3
Aqui observa-se mais uma situação que envolve a determinação das sombras própria e projectada
por uma pirâmide nos planos de projecção.
R2
E2
A2
D2
C2
B2
(fδ)≡t2≡t’2
r2
DS2
CS2
l2
BS2
V2
BV1
QS
x
Q’S
AS1
D1
l1
C1
VV2
VS1
V1
B1
E1
t1
r1
A1
t’1
R1
Sombras de uma pirâmide regular com a base horizontal
Aqui foi utilizado um processo que não se aplicou na página anterior. Começou por se determinar as separatrizes, que são as arestas [AV] e [DV], com recurso ao raio de luz r que contém o vértice e cruza o plano da base
no ponto R. A partir desse ponto foram traçadas as tangentes t e t’ que contêm os pontos A e D. Deste modo
fica-se a saber que o ponto E, situado no espaço interior dessas tangentes, não se utiliza nas determinação das
sombra projectada, pois a sua sombra ficaria no interior dessa mancha. Para determinar os pontos de quebra
faz-se recurso das sombras virtuais dos pontos V e B. De notar que a sombra própria fica invisível em projecção horizontal, uma vez que a pirâmide está invertida.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 4
Sombras de prismas
Aqui observa-se como se determinam sombras projectadas e sombras próprias de prismas. Nesta
página exemplifica-se com prismas rectos.
D2≡D’2≡DS2
G2≡G’2≡GS2
F2≡F’2≡FS2
Sombras de um prisma recto
com uma base no PFP
l2
E2≡E’2
F1
x
G1
QS
l1
Q’S
E1
D1
G’S1
F’S1
As arestas laterais são de topo, pelo
que as suas sombras projectadas no
PFP fazem 45ºad e as projectadas
no PHP são perpendiculares ao eixo
x, não havendo necessidade de
recorrer a sombras virtuais.
As arestas [FF’] e [GG’] são as
separatrizes da sombra própria que,
neste caso, não é visível em nenhuma das projecções.
E’S1
F’1
D’1
E’1
G’1
J’2
K’2
I’2
H’2
L’2
K’S2
l2
Sombras de um prisma regular
com as bases horizontais
Também aqui não há necessidade
de determinar sombras virtuais,
dado que as arestas laterais são
verticais. De notar que o segmento
de recta [H’S1Q’S] é paralelo a
[H’1L’1], o que permite determinar o
ponto de quebra da direita.
As arestas [HH’] e [JJ’] são as separatrizes da sombra própria.
K2
I2
J2
J’S2
L’S2
H2
L2
Q’S
QS
x
H’S1
K1≡K’1
l1
JS1
L1≡L’1
J1≡J’1
IS1
I1≡I’1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
HS1
H1≡H’1
Sombras II - 5
Nesta página observa-se como se determinam as sombras própria e projectada de mais dois prismas, o segundo com as bases de perfil.
A’2
A2
Sombras de um prisma
oblíquo com as bases frontais
B’2
AS2
C’2
l2
B2
C2
Q’S
QS
x
A’S1
CS1
l1
C1
B1
A1
Aqui não foi feito uso de sombras
virtuais, já que se tirou proveito de
paralelismos. Determina-se o ponto
de quebra da esquerda uma vez que
[A2C2] é paralelo a [A2SQS], e o da
direita porque [A’S1Q’S] é paralelo a
[CS1C’S1]. Não se indica a sombra
projectada pelo ponto B, uma vez
que esta fica no interior da mancha
da sombra projectada pelo sólido.
A sombra própria é limitada pelas
arestas [AA’] e [CC’].
B’S1
C’S1
C’1
B’1
A’1
D2
DS2
DV1
E2
Sombras de um prisma
oblíquo com as bases de perfil
Aqui recorreu-se às sombras virtuais
de dois pontos para determinar os
pontos de quebra. Não se indica a
sombra projectada pelo ponto E,
uma vez que fica no interior da mancha projectada pelo sólido.
A sombra própria é limitada pelas
separatrizes [DD’] e [FF’], não sendo
visível em nenhuma das projecções.
D’2
l2
D’V1
D’S2
F2
E’2
F’2
QS
x
D1
Q’S
FS1
l1
D’1
F1
F’1≡F’S1
E’S1
E1
E’1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 6
Sombras de cones
Nesta página observa-se como se determinam as sombras própria e projectada de dois cones com
bases horizontais, sendo um recto e outro oblíquo.
V2
VV1
VS2
l2
T2
A2
O2
QS
B2
T’2
x
Q’S
T1≡TS1
l1
Sombras de um cone de revolução
com a base no PHP
A base do cone situa-se no PHP, por isso
coincide com a sua sombra real. Determinando a sombra virtual do vértice, liga-se
à sombra da base nos pontos de tangência T e T’. Os pontos de quebra fazem a
ligação à sombra real do vértice. É nos
pontos de tangência que nascem as
separatrizes que limitam a sombra própria.
A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TV] e [T’V].
B1
A1
V1≡O1≡OS1
V2
T’1≡T’S1
VS2
l2
A2
T2
O2
T’2
VV1
B2
QS
x
Q’S
TS1
l1
T1
OS1
A1
B1
O1
T’S1
T’1
V1
Sombras de um cone oblíquo com a base horizontal
Determina-se a sombra da base e as sombras real e virtual do vértice. A sombra projectada determina-se de
modo idêntico ao do exercício anterior. Para determinar as projecções dos pontos de tangência, T e T’, traçaram-se dois raios nas projecções da base paralelos aos da sombra, pois aqui as circunferências não coincidem.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 7
Aqui mostra-se como se determinam as sombra de um cone em posição invertida.
T’2
O2≡V2
A2
B2
T2
l2
VS2
22
12
QS
Q’S
x
T’S1
V1
T’V2
l1
BS1
TV2
TS1
2S1
1S1
A1
T1
OV1
O1≡12
T’1
21
B1
Sombras de um cone de revolução com a base frontal
Determina-se a sombra do vértice e a sombra da base no plano em relação ao qual esta é paralela, ou seja o
PFP. A determinação dos pontos de tangência e dos pontos de quebra faz-se como nos casos da página anterior. Aqui toda a sombra real da base é elíptica, sendo utilizados os pontos 1, 2 e B para a determinar.
A sombra própria é limitada pelas separatrizes [TV] e [T’V].
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 8
Nesta página mostra-se como se determinam as sombras de um cone com a base de perfil.
R2
hπ≡fπ≡hπR
T2
C2
E2
ES2
O2≡A2≡B2
T’2
l2
AS2
F2≡G2
VS2
Q2
D2
x≡fπR
ER
TR
l1
QS
Q’S
DS1
GS1
OR
VV1
FS2
A1
FR E1≡F1
Q1
QR
T1
AR
V2
TS2
T’S1
V1
O1≡C1≡D1
DR
G1
GR
T’R
RR
T’1 B1
R1
Sombras de um cone oblíquo com a base de perfil
Em rebatimento determinam-se quais os pontos da base cuja sombra interessa achar. Para o efeito utilizam-se
os pontos A, D, E, F, G e Q, ponto de quebra nessa linha. O ponto R é a intersecção do raio de luz que passa
pelo vértice com o plano da base. Os pontos de tangência T e T’ são aqueles em que o contorno da sombra
une as partes elípticas com as partes rectas. É também nesses pontos que nascem as separatrizes. Aqui um
ponto de quebra situa-se no contorno elíptico, outro no contorno recto.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 9
Sombras de cilindros
Quando se trata de cilindros com bases paralelas a um plano de projecção, sugere-se que se comece com a determinação das suas sombras nesse plano, sejam elas reais ou virtuais. Nesta página
observam-se dois cilindros de revolução com as bases frontais.
U2≡U’2≡US2
A2≡A’2
O2≡O’2≡OS2 B2≡B’2
l2
T2≡T’2≡TS2
x
A sombra da base de afastamento nulo
situa-se no PFP. Unindo as sombras
projectadas pelas duas bases no PFP
obtém-se toda a sombra projectada
pelo cilindro nesse plano. Acima do
eixo x essa sombra é real, abaixo é
virtual. A sombra virtual passa a real
através da determinação das sombras
reais dos pontos de tangência T’ e U’,
assim como dos pontos 1, 2 e B’.
A sombra própria é limitada pelas
separatrizes [TT’] e [UU’].
22
12
T1
A1
Sombras de um cilindro de
revolução com uma base no PFP
QS
U1
O1
Q’S
B1
U’S1
l1
U’V2
O’V2
B’S1
T’S1
T’V2
2S1
1S1
A’1 T’1
O’1≡11 U’1≡21 B’1
U2≡U’2
Sombras de um cilindro de
revolução com as bases frontais
Este caso tem semelhanças com o
anterior, com a diferença de que a
base de menor afastamento não se
situa no PFP. Unindo as sombras projectadas pelas duas bases no PFP
obtém-se toda a sombra projectada
pelo cilindro nesse plano. De seguida
passa-se para reais as sombras virtuais. De notar que um ponto de quebra está se situa no contorno recto e
outro no contorno curvo da sombra
projectada. Para determinar a sombra
elíptica da base de maior afastamento
foram utilizados os pontos 2, 3 e B’. O
ponto 1 foi utilizado para determinar o
pequeno arco de elipse da sombra da
base de menor afastamento.
A sombra própria é limitada pelas
separatrizes [TT’] e [UU’].
O2≡O’2
A2≡A’2
B2≡B’2
US2
12
l2
T2≡T’2
32
22
OS2
Q’S
x
TS1
1S1 TV2
U’S1
l1
A1
O1
11 T1
U1
B1
B’S1
T’S1
U’V2
O’V2
3S1 T’V2
2S1
A’1 T’1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
QS
O’1≡21 U’1≡31 B’1
Sombras II - 10
Aqui temos as sombras de um cilindro oblíquo com as bases horizontais, estando uma delas no plano horizontal de projecção.
A’2
T’2
O’2≡12 U’2
22
T’S2
B’2
1S2
T’V1
2S2
l2
O’V1
A2
T2
O2
B’S2
QS
B2
x
Q’S
T1≡TS1
U’S1
l1
A1
O1≡OS1
U1≡US1
T’1 11
B1
21
A’1
B’1
O’1
U’1
Sombras de um cilindro oblíquo com uma base no PHP
A base de menor cota tem a sua sombra no sítio onde se encontra, pelo que se determina apenas a sombra da
base de maior cota. Os pontos de quebra surgem da união das sombras das suas bases, estando um no contorno recto, outro no contorno circular da sombra projectada. Para determinar a sombra da linha elíptica, foram
utilizados os pontos 1, 2 e B’. As sombras próprias estão limitadas pelas separatrizes [TT’] e [UU’].
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 11
Sombras II – Exercícios
Sombras de pirâmides
Sombras de prismas
1. Representar uma pirâmide regular com 7cm de
altura, cuja base é o hexágono horizontal
[ABCDEF], sendo A(3;1;0) e F(6;2;0) dois dos seus
vértices consecutivos.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
6. Representar um prisma recto, com 4cm de altura
e bases rectangulares horizontais, sendo [JKLM] a
de menor cota. J(5;0;0) e K(0;2;0) são os extremos
de um dos lados maiores; os lados menores medem
3cm.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
2. Representar uma pirâmide regular com 6cm de
altura, cuja base é o triângulo frontal [JKL], sendo
J(6;2;7) e K(0;2;7) os seus vértices de menor cota.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
3. Representar uma pirâmide oblíqua, cuja base é o
pentágono horizontal [ABCDE], inscrita numa circunferência com 3cm de raio e centro em O(4;3;3).
o ponto A situa-se no PFP. O vértice principal é
V(7;9) e a sua abcissa é igual à do vértice da base
que se situa mais à direita.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
4. Representar uma pirâmide oblíqua, cuja base é o
quadrado horizontal [FGHI], sendo F(5;3;8) e
G(1;1;8) os seus vértices de menor afastamento. O
vértice principal é V(-1;3;0).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
5. Representar uma pirâmide com 8cm de altura
cuja base tem como vértices os pontos R(7;0;1),
S(7;6;3) e T(7;2;6). O vértice principal é V, sendo a
aresta [TV] fronto-horizontal.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
7. Representar um prisma hexagonal regular com
5cm de altura e bases frontais, sendo [ABCDEF] a
de maior afastamento, inscrita numa circunferência
com centro em X(2;8;4). Duas faces laterais do
sólido são horizontais.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
8. Representar um prisma oblíquo com 5cm de altura, cujas bases são triângulos equiláteros. [DEF] é a
de menor afastamento e está inscrita numa circunferência com 2,5cm de raio e centro em O(4;1,5;4).
O lado de menor cota da base é fronto-horizontal.
As projecções frontais e horizontais das arestas
laterais fazem 40ºad e 70ºad, respectivamente.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
9. Representar um prisma pentagonal oblíquo de
bases horizontais, sendo o pentágono regular
[ABCDE] a de menor cota, inscrita numa circunferência com 3,5cm de raio e centro em O(4;4;2). O
lado [AB] é fronto-horizontal e o de menor abcissa.
A outra base está inscrita numa circunferência com
centro em O’(4;7;7).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
10. Representar um prisma regular com 3cm de
altura e bases quadradas de perfil, sendo [ABCD] a
de menor abcissa. A(3;0;5) e C(3;5;4) são dois vértices opostos dessa base.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
Sombras II - 12
Sombras de cones
Sombras de cilindros
11. Representar um cone de revolução com 7cm de
altura, cuja base é frontal com 3cm de raio e centro
em O(2;0;5).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
16. Representar um cilindro de revolução com 6cm
de altura e bases horizontais com 2,5cm de raio,
uma delas com centro em O(4;4;0).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
12. Representar um cone de revolução com 7cm de
altura, cuja base é frontal, tem 3cm de raio e centro
em X(4;2;5).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
17. Representar um cilindro de revolução com 5cm
de altura e bases horizontais com 3cm de raio, uma
delas com centro em X(4;3;3).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
13. Representar um cone oblíquo cuja base é horizontal, tem 3cm de raio e centro em O(4;3;4). O
vértice é V(10;8), sendo de perfil a geratriz situada
mais à direita.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
18. Representar um cilindro oblíquo com 6cm de
altura e bases frontais com 2,5cm de raio, uma
delas com centro em O(5;0;4). As geratrizes são
horizontais e fazem 60ºad.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
14. Representar um cone oblíquo cuja base é horizontal, tem 3cm de raio e centro em X(3;5;7). O
ponto V(8;7;1) é o vértice.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
19. Representar um cilindro oblíquo com 5cm de
altura e bases frontais com 2,5cm de raio, uma
delas com centro em X(5;2;3). As projecções frontais e horizontais das geratrizes fazem 45ºad e
60ºad, respectivamente.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
15. Representar um cone de revolução com 8cm de
altura, cuja base é de perfil, com 3cm de raio e centro em O(0;5;4). O vértice situa-se à esquerda da
base.
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho
20. Representar um cilindro de revolução com 4cm
de altura e bases de perfil, tendo a de menor abcissa centro em O(-1;4;5).
Determinar as sombras própria e projectada do sólido nos planos de projecção.
Sombras II - 13