Taller 5 - Universidad de Talca

Universidad de Talca
Taller de Matemática 2012
Estudiantes de Enseñanza Media
Taller 5
Conteo
Profesores: Juan Barrera, Gloria Correa
NÚMERO FACTORIAL.
Si tenemos n, que es un número natural mayor que 1, llamamos factorial de n y lo
representamos como n! al producto de los n primeros números naturales no nulos. Es decir,
un número factorial es el producto de varios números naturales consecutivos a partir del 1.
Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores, no tienen sentido
los símbolos 0! y 1!, pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos, se definen los
números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.
Propiedades de los números factoriales
Multiplicando n factorial por n + 1 obtenemos como resultado n + 1 factorial; es decir:
n! (n + 1)= (n + 1)!
De esta propiedad podemos deducir que si dividimos el factorial de n + 1 entre n factorial
obtendremos n + 1; es decir:
( n + 1)!
= n +1
n!
Si multiplicamos un número factorial k! por sus consecutivos hasta llegar a n obtendremos
el factorial de n; es decir,
k!⋅(k + 1) ⋅ ( k + 2) ⋅ ( k + 3) ⋅ K ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 1) ⋅ n = n!
Ejemplo
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.
Si una decisión se puede tomar de m maneras y una vez tomada una de ellas, una segunda
decisión es tomada de n maneras, entonces el número de maneras de tomar ambas
decisiones es igual a m × n.
PRINCIPIO DE ADICIÓN.
Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y
la segunda de n maneras, entonces una ó la otra se puede tomar de m+n maneras.
ARREGLOS
Un arreglo simple de n objetos diferentes tomados de k en k es una ordenación de k objetos
entre los n dados, de tal manera que estos grupos de k elementos difieran en algún elemento
ó en el orden de colocación.
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PERMUTACIONES
Son los diferentes grupos que pueden formarse con los n objetos dados, de modo que
intervengan todos los elementos en cada grupo y cuya diferencia está dada en el orden de
colocación.
El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene
mediante la fórmula: Pn = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ K ⋅ n = n!
El número de permutaciones distintas que pueden formarse de n objetos tomando k cada
n!
vez, se obtiene mediante la fórmula: Pkn =
( n − k )!
COMBINACIONES
Una combinación de n objetos diferentes tomados de k en k, es una selección de k objetos
de los n dados sin tener en cuenta la ordenación de los mismos (no pueden haber dos
grupos con los mismos elementos).
El número de combinaciones distintas que pueden formarse de n objetos tomando k cada
⎛n⎞
n!
vez, se obtiene mediante la fórmula: C kn = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!⋅( n − k )!
Ejercicios
1. De un total de 15 jugadores se debe formar un equipo de fútbol.
a) ¿De cuántas maneras de puede formar el equipo si tres de los jugadores se niegan a
jugar en el mismo equipo?
b) Si dos de los jugadores son arqueros y no pueden jugar en otro puesto, ¿Cuántos
equipos se pueden formar, si cada equipo debe tener un arquero?
2. En una urna hay 50 esferas, de las cuales ocho están marcadas con premios. Una
persona extrae de la urna un puñado de cinco esferas. Determine de cuántas maneras se
pueden sacar, si:
a) Exactamente dos esferas están marcadas.
b) Por lo menos dos lo están.
3. De un grupo de 11 edecanes debe escogerse un comité de cuatro para que asistan a una
exposición. Determine de cuántas maneras se puede hacer selección si, además, existe
el requisito de que:
a) Una de las 11 tiene que formar parte del comité.
b) Dos señoritas específicas no deben formar parte del comité.
c) Una de las 11 tiene que ser incluida por fuerza, pero a otras dos señoritas específicas
hay que excluirlas.
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4. De un grupo de 13 ingenieros con doctorado se desea formar un comité de cinco para
enviarlo a un congreso en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Determine de
cuántas maneras es factible elegir el comité si se desea que éste incluya a por lo menos
tres de los siete mejores del grupo.
5. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 12 juguetes entre tres niños, de tal manera
que cada pequeño reciba cuatro juguetes?
6. La mamá de Caperucita Roja, que tenía una gran canasta con 12 plátanos, ocho
duraznos, seis manzanas y cinco peras, le encargó a su hija seleccionar cuatro plátanos,
tres duraznos, dos manzanas y dos peras para llevárselos en una canasta a la abuela.
Considerando que las frutas del mismo tipo son distinguibles unas de otras.
1. Calcule el número de formas como Caperucita Roja podría seleccionar frutas para la
abuela, de acuerdo con las indicaciones de su mamá.
2. Determine las selecciones posibles si la niña no hace caso a las indicaciones de la
madre y simplemente elige 11 frutas al azar.
7. Con las letras de la palabra POISSON calcule el número de combinaciones de cuatro
letras.
8. Para los Juegos Olímpicos hay 25 comentaristas deportivos, de los cuales sólo seis
hablan inglés. Se requiere formar grupos de cuatro, con la condición de que por lo
menos se integre uno que hable inglés. ¿De cuántas maneras se pueden formar los
grupos?
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