Una introducción a la geometr´ıa hiperbólica bidimensional

Transcripción

Una introducción a la geometrı́a hiperbólica
bidimensional
Antonio Lascurain Orive
2 de febrero de 2005
ii
Prefacio
La geometrı́a hiperbólica ha cobrado enorme importancia en las últimas
décadas por su interrelación con múltiples ramas centrales de la matemática.
A principio de los an̄os ochenta, Troels Jørgensen y Wiliam Thurston (medalla Fields) revolucionaron la topologı́a al mostrar que la geometrı́a hiperbólica
es una poderosa herramienta en el estudio de las 3-variedades y los nudos (cf.
[22] y [3] pp. 190-272). Dennis Sullivan y Curt Mc Mullen (medalla Fields),
por su parte, han encontrado un importante paralelismo entre la geometrı́a
hiperbólica y los sistemas dinámicos, lo cual se hace patente al observar la
asombrosa similitud que existe entre el conjunto lı́mite de un grupo kleiniano
y el conjunto de Julia de una función racional (cf. [13] y Figura 3.1). Por
otro lado, en el modelo del hiperboloide, el grupo completo de isometrı́as
es precisamente el grupo de Lorentz, lo cual refleja la estrecha relación de la
teorı́a de la relatividad con la geometrı́a hiperbólica. En otro ámbito, el grupo
clásico modular y sus subgrupos son centrales en la teorı́a de los números y
también en la geometrı́a hiperbólica. Más aún, recientemente se han probado
importantes resultados sobre grupos aritméticos kleinianos, que vinculan la
teorı́a de números, la topologı́a y la geometrı́a hiperbólica (cf. [12]). Es importante destacar también que en el contexto de la variable compleja, cualquier
superficie de Riemann es el cociente de la acción discontinua de un grupo de
Möbius en la esfera (cf. [2] pp. 120 y 121 y [19]). Existen además conexiones
de muchas otras ramas con la geometrı́a hiperbólica; mencionamos dos de
gran importancia en la actualidad: la teorı́a de los mapeos cuasiconformes y
la teorı́a de Teichmüller (cf. [11] y [16]).
Este texto está dirigido principalmente a los estudiantes de los últimos
niveles de la licenciatura que han aprobado un primer curso de variable compleja; sin embargo, considero que puede ser también de utilidad para los
alumnos de posgrado y para los profesores e investigadores que no son especialistas en geometrı́a hiperbólica. La idea original de este trabajo fue
adaptar para la licenciatura algunos temas del libro de maestrı́a de Joseph
iii
iv
Lehner [10]; texto recomendado por Troels Jørgensen, y muy adecuado para
llegar de manera rápida y formal al estudio de las regiones fundamentales.
No obstante, la materia fundamental del presente libro son las notas que
elaboré para los seminarios de geometrı́a, álgebra y análisis, de los últimos
niveles de la licenciatura, donde ensen̄é temas básicos de geometrı́a hiperbólica, los grupos fuchsianos y las transformaciones de Möbius. Es mi intención
también en este trabajo hacer más accesibles algunas de las ideas del importante libro de Alan F. Beardon [2], en particular el estudio del grupo general
de Möbius. Aunque la naturaleza del contenido es en general bidimensional,
en diversas partes se sen̄alan generalizaciones a dimensiones mayores, y algunas veces también se prueban. El espı́ritu del libro es el de mostrar que las
matemáticas no son ramas aisladas sino que interactúan fuertemente unas
con otras. En este texto el lector podrá observar cómo se mezclan temas de
los cursos de álgebra moderna I, análisis matemático I, variable compleja I
y topologı́a. El texto puede ser cubierto en un curso semestral, omitiendo si
es necesario la mayorı́a de los resultados de la última sección del segundo
capı́tulo.
El enfoque del libro es analı́tico y no axiomático. Éste inicia con el estudio de las transformaciones de Möbius complejas actuando en la esfera para
posteriormente mostrar los grupos completos de isometrı́as hiperbólicas en el
modelo del semiplano y en el del disco de Beltrami-Poincaré, ası́ como algunas propiedades de los grupos discretos de P SL(2, C) y del carácter fractal
de su conjunto lı́mite. El texto concluye en el ámbito de las teselaciones con
la construcción de las regiones fundamentales de Dirichlet y Ford. Uno de los
objetivos es presentar de manera formal y sistemática una introducción a los
polı́gonos fundamentales. Para el caso de los subgrupos modulares, estos dominios son de gran utilidad para visualizar resultados numéricos, véase, por
ejemplo, [7] y [9]. En el caso kleiniano, el conocimiento de poliedros fundamentales es una herramienta muy importante en la topologı́a tridimensional
(cf. [12]).
Se han escrito muchos textos avanzados sobre el tema en las últimas
décadas, probablemente los más importantes son [2], [3], [12], [14], [16], [20]
y [22]. Algunos otros libros en espan̄ol, dirigidos a los estudiantes de licenciatura, sobre otros temas de la geometrı́a hiperbólica de los que se presentan
en este libro –o con otros enfoques– son [17], [18], [15] y [23].
Las Figuras 2.9 y 3.1 fueron tomadas de las páginas de Curt Mc Mullen
y David Wright, respectivamente. Ası́mismo, la Figura 4.11 fue tomada del
libro de Joseph Lehner [10].
Agradecimientos
A Troels Jørgensen, por sus invaluables ensen̄anzas.
A mi esposa, Adda Stella Ordiales de la Garza, por su apoyo constante y
por la corrección de estilo del texto.
A mis padres, que me guiaron al conocimiento.
A Pablo Rosell González, por la cuidadosa elaboración de las figuras del
texto.
A mis tesistas y alumnos de los seminarios, con quienes compartı́ el estudio de la geometrı́a hiperbólica, particularmente, Alejandro Mozo Cruz, que
inició la captura de algunos temas del libro.
A mis colegas del seminario sobre el libro de Alan Beardon que se llevó a
cabo a principio de los an̄os noventa, en particular, a Pilar Martı́nez Téllez
y Francisco Struck Chávez, miembros permanentes del seminario.
A las autoridades de la Facultad de Ciencias y la Dirección General de
Asuntos del Personal Académico que me apoyaron en la publicación de este
libro, con el proyecto de PAPIME EN107-403.
v
vi
Contenido
1. Transformaciones de Möbius complejas
1.1. Proyección estereográfica, métrica cordal
1.2. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . .
1.3. Clasificación por conjugación . . . . . . .
1.4. Geometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Transformaciones elı́pticas . . . .
1.4.2. Transformaciones hiperbólicas . .
1.4.3. Transformaciones loxodrómicas .
1.4.4. Transformaciones parabólicas . .
1.5. Transformaciones que preservan “discos”
1.6. Clasificación por la traza . . . . . . . . .
2. Métrica hiperbólica
2.1. Densidades . . . . . . . . . . .
2.2. El modelo del semiplano . . . .
2.3. El modelo del disco de Poincaré
2.4. El grupo completo de isometrı́as
.
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1
1
8
20
23
26
27
29
29
32
37
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43
43
47
59
64
3. Grupos fuchsianos
87
3.1. Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2. Grupos Discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Conjunto lı́mite de un grupo discreto . . . . . . . . . . . . . . 118
4. Regiones fundamentales
4.1. Regiones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Construcción del polı́gono de Dirichlet . . . . . . . . . . . .
4.3. Polı́gono de Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
131
. 131
. 140
. 156
Capı́tulo 1
Transformaciones de Möbius
complejas
Se proyecta el plano complejo extendido a la esfera de Riemann, uno de los
espacios naturales donde actúan las transformaciones de Möbius complejas,
y de esta manera se introduce la métrica cordal. Posteriormente, estas funciones se identifican con los elementos del grupo P SL(2, C) y se exhiben sus
propiedades básicas. Mediante la conjugación a formas canónicas, se clasifican y se muestran sus propiedades geométricas elementales. Finalmente, se
caracterizan las transformaciones que preservan el semiplano superior y el
disco unitario, y se establece la clasificación por la traza.
1.1.
Proyección estereográfica, métrica cordal
La proyección central descrita en la Figura 1.1 sugiere que el plano complejo
se puede pensar como la esfera unitaria en R3 sin el polo norte. Resulta
natural, entonces, pensar que el polo norte corresponde a un punto ideal que
representa al infinito.
Definición 1 Los puntos del plano complejo junto con ∞ forman el plano
b
complejo extendido, denotado por C.
El incluir el sı́mbolo ∞ es particularmente útil en el contexto de las
transformaciones de Möbius complejas
z 7−→
az + b
,
cz + d
ad − bc 6= 0,
1
a, b, c, d ∈ C.
2
CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Mostraremos que estas funciones son las únicas biyecciones meromorfas de
b en C.
b La esfera unitaria,
C
S2 = {x ∈ R3 |x| = 1},
llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto
al infinito. Para asociar cada punto en el plano con uno en S2 , usamos la
siguiente idea geométrica: se toma el plano x3 = 0 como el plano complejo
C, y la lı́nea que proyecta el polo norte e3 = (0, 0, 1) de la esfera de Riemann
a cualquier otro punto x = (x1 , x2 , x3 ) en dicha esfera.
Esta lı́nea cruza el plano complejo en un único punto, para encontrarlo
se parametriza
e3 + t(x − e3 ), t ∈ R
y se debe cumplir
[e3 + t(x − e3 )] · e3 = 0,
1 + t(x − e3 ) · e3 = 0,
1
.
t=
1 − x3
De donde, el punto asociado a x es
1
(x − e3 )
e3 +
1 − x3
x1
x2
x3 − 1
= e3 +
,
,
1 − x3 1 − x3 1 − x3
x1
x2
=
,
,0
1 − x3 1 − x3
Una prueba geométrica de este hecho se obtiene observando que la proyección de x debe tener la dirección de (x1 , x2 ), y por semejanza se obtiene
que
p
x21 + x22
|z|
=
1
1 − x3
(véase la Figura 1.1). Con base en estas ideas, se define la función
ψ : S2 − {e3 } 7−→ C,
dada por (x1 , x2 , x3 ) 7−→
x1 + ix2
.
1 − x3
Se afirma que ψ es una biyección de S2 − {e3 } al plano complejo C.
1.1. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA, MÉTRICA CORDAL
(x1 , x2 , x3 )
p
e3
3
x21 + x22
1
x3
|z |
z
Figura 1.1: La proyección estereográfica
1. ψ es inyectiva. Para demostrar esto se construye la inversa. Obsérvese
que si z = ψ(x1 , x2 , x3 ), como (x1 , x2 , x3 ) ∈ S2 , se tiene que
x + ix 2
1 − x23
1 + x3
x2 + x22
1
2
=
=
|z| = = 1
2
2
1 − x3
(1 − x3 )
(1 − x3 )
1 − x3
2
y despejando
x3 =
|z|2 − 1
.
|z|2 + 1
También
z+z =
(1.1)
2x1
,
1 − x3
y
z+z
(z + z)(1 − x3 )
=
x1 =
2
2
x1 =
|z|2 − 1
1− 2
|z| + 1
z+z
.
|z|2 + 1
z+z
=
2
2
|z|2 + 1
,
(1.2)
Finalmente, como
z−z =
se sigue que
x2 =
2ix2
,
1 − x3
z−z
.
i(|z|2 + 1)
(1.3)
4
Por consiguiente, ψ es inyectiva, ya que z determina (x1 , x2 , x3 ).
Obsérvese también que la función
z+z
z−z
|z|2 − 1
π(z) =
,
,
|z|2 + 1 i(|z|2 + 1) |z|2 + 1
es inversa por la izquierda de ψ.
2. ψ es sobre. Un cálculo sencillo muestra que π es también una inversa
derecha de ψ (ejercicio).
Haciendo corresponder ∞ con el polo norte e3 se obtiene una biyección
b y el modelo buscado. A esta biyección se le llama la proyección
de S2 en C
estereográfica. Geométricamente es evidente que el hemisferio sur (x3 < 0)
corresponde al disco unitario
∆ = {z ∈ C |z| < 1}
y el hemisferio norte (x3 > 0) al exterior de este disco; la fórmula (1.1)
también, muestra este hecho de manera analı́tica.
En esta representación esférica del plano complejo no hay una interpretación fácil de la suma y el producto, su ventaja radica en que ∞ no
es un punto distinguido. Convendremos que toda recta es un subconjunto
b que incluye al sı́mbolo ∞ , es decir, que toda recta pasa por ∞. Una
de C
propiedad fundamental de la proyección estereográfica la exhibe el siguiente
resultado.
b y cı́rculos
Proposición 1.1.1 Bajo la proyección estereográfica, rectas en C
2
en C se transforman en cı́rculos en S y viceversa.
Demostración.
1. Un cı́rculo en S2 es la intersección de un plano con la esfera, por lo
que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma
ax1 + bx2 + cx3 = d.
Por lo tanto, este cı́rculo es la imagen bajo la proyección estereográfica
de un conjunto cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano
z−z |z|2 − 1 z+z +b
+c
= d.
a
|z|2 + 1
i(|z|2 + 1)
|z|2 + 1
5
Escribiendo z = x + iy, se obtiene
2ax + 2by + c(x2 + y 2 − 1) = d(x2 + y 2 + 1),
que es la ecuación de una recta o un cı́rculo en el plano, dependiendo si
d = c o si d 6= c (al completar cuadrados no se puede obtener un radio
negativo, puesto que se trata de la imagen de un conjunto no vacı́o).
2. Viceversa, una recta en el plano está definida por la ecuación
ax + by = c.
Estos puntos bajo la proyección estereográfica son llevados al conjunto
de puntos en la esfera definidos por la ecuación
x x 1
2
+b
= c,
a
1 − x3
1 − x3
a x1 + b x2 = c(1 − x3 ),
los cuales están contenidos en la intersección de un plano y la esfera,
es decir, se trata de un cı́rculo. Como π(∞) = (0, 0, 1) satisface dicha
ecuación, este cı́rculo pasa por el polo norte, lo cual también es evidente
a partir de la construcción geométrica.
Finalmente, un cı́rculo en el plano está definido por las siguientes
ecuaciones
| z − a |2 = r2 ,
(z − a)(z − a) = r2 ,
|z|2 − az − az + |a|2 = r2 ,
por lo que usando 1.1, se tiene
1 + x3
− 2Re(az) = r2 − |a|2 .
1 − x3
Si a = a1 +i a2 , z = x+iy, entonces Re(az) = a1 x+a2 y y la imagen
del cı́rculo en la esfera está definida por las siguientes ecuaciones
1 + x3
− 2(a1 x + a2 y) = r2 − |a|2 ,
1 − x3
1 + x3
x1
x2
− 2a1
− 2a2
= r2 − |a|2 ,
1 − x3
1 − x3
1 − x3
1 + x3 − 2a1 x1 − 2a2 x2 = (r2 − |a|2 )(1 − x3 ).
6
Se sigue entonces que estos puntos están contenidos en un plano y por
lo tanto constituyen un cı́rculo en la esfera.
Es útil obtener, en términos de z y z 0 , puntos del plano complejo, una
fórmula de la distancia entre sus proyecciones en la esfera. Si denotamos éstas
por (x1 , x2 , x3 ) y (x01 , x02 , x03 ), se tiene
(x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 + (x3 − x03 )2 = 2 − 2(x1 x01 + x2 x02 + x3 x03 ).
Ahora, usando (1.1), (1.2) y (1.3), se sigue que
x1 x01 + x2 x02 + x3 x03
0
0
2
0 2
z+z
z + z0
z−z
z − z0
|z| − 1
|z | − 1
=
−
+
|z|2 + 1
|z 0 |2 + 1
|z|2 + 1
|z 0 |2 + 1
|z|2 + 1
|z 0 |2 + 1
=
=
2 z z 0 + 2 z z 0 + |z z 0 |2 − |z|2 − |z 0 |2 + 1
(1 + |z|2 ) (1 + |z 0 |2 )
−2(z − z 0 )(z − z 0 ) + (1 + |z|2 ) (1 + |z 0 |2 )
(1 + |z|2 ) (1 + |z 0 |2 )
(el último paso equipara numerador y denominador).
Por consiguiente,
2|z − z 0 |2
0 2
0 2
0
(x1 − x1 ) + (x2 − x2 ) + (x3 − x3 ) = 2 − 2 1 −
(1 + |z|2 ) (1 + |z 0 |2 )
=
4|z − z 0 |2
.
(1 + |z|2 ) (1 + |z 0 |2 )
b es particularmente novedosa y útil
Esta nueva fórmula de distancia en C
por incluir el punto al infinito. En este caso, si z 0 = ∞, se tiene
x1 x01 + x2 x02 + x3 x03 =
|z|2 − 1
,
|z|2 + 1
por lo que
(x1 −
x01 )2
+ (x2 −
x02 )2
+ (x3 −
x03 )
=2−2
b
Estos cálculos inducen la métrica buscada en C.
|z|2 − 1
|z|2 + 1
=
4
.
1 + |z|2
7
Definición 2 Se define la métrica cordal en el plano complejo extendido de
la siguiente manera

2|z1 − z2 |


p
p
,
si z1 , z2 6= ∞.



1 + |z1 |2 1 + |z2 |2
dC (z1 , z2 ) =


 p 2

,
si z2 = ∞.

1 + |z1 |2
Como S2 es un subespacio métrico de R3 , esta distancia define en efecto
b El término cordal proviene de que se miden cuerdas en
una métrica en C.
la esfera
dC (z1 , z2 ) = |π(z1 ) − π(z2 )|.
Proposición 1.1.2 Las métricas cordal y euclideana inducen la misma topologı́a en C, es decir, definen los mismos abiertos en C. Además
dC (zn , ∞) 7−→ 0 si y sólo si
|zn | 7−→ ∞.
Demostración. Para la primera parte hay que probar que la función identidad
Id : CE 7−→ CC
es bicontinua, donde CE es el plano complejo provisto con la métrica euclideana y CC , con la métrica cordal.
Si |zn − z| → 0, cuando n → ∞, entonces |π(zn ) − π(z)| → 0, cuando
n → ∞, ya que la función π es continua, lo cual prueba que la función Id es
también continua. Ahora, por la continuidad de ψ, si dC (zn , z) → 0, cuando
n → ∞, entonces |π(zn ) − π(z)| → 0 y |ψ π(zn ) − ψ π(z)| = |zn − z| → 0,
cuando n → ∞.
Para la segunda parte, sea zn , n ∈ N, una sucesión en C, tal que
|zn | → ∞, cuando n → ∞, como
dC (zn , ∞) = p
2
1 + |zn |2
,
se sigue que dC (zn , ∞) → 0 (ejercicio).
Por otra parte, si dC (zn , ∞) → 0, cuando n → ∞, dado > 0, existe N ,
tal que si n > N , se tiene
r
2
4
p
−1
< y por lo tanto |zn | >
2
1 + |zn |2
8
(ya que se puede tomar < 2). Por lo que, dado M > 0, tomando tal que
r
4
M=
− 1,
2
se obtiene |zn | > M, si n > N y |zn | → ∞.
EJERCICIOS 1.1
1 +ix2
1. Demuestre que la función estereográfica (x1 , x2 , x3 ) → x1−x
de la esfera
3
de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.
2. Demuestre que si zn → ∞, cuando n → ∞, entonces dc (zn , ∞) → 0,
cuando n → ∞.
1.2.
Propiedades básicas
Recordamos que a las transformaciones de variable compleja de la forma
T (z) =
az + b
,
cz + d
a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0, se les llama de Möbius. Estas funciones están
también definidas en los puntos del plano complejo extendido, donde no se
aplica el álgebra:
(i) Si c = 0, se define T (∞) = ∞.
(ii) Si c 6= 0, se define T (∞) = a/c y T (−d/c) = ∞.
Si ad − bc = 0, se trata de una función constante (ejercicio). Para otros
valores ad − bc = k 6= 0, la transformación
a
√ z+
k
z 7−→
c
√ z+
k
b
√
k
d
√
k
tiene la misma regla de correspondencia que la transformación original, sin
embargo,
a d
b c
√ √ − √ √ = 1.
k k
k k
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS
9
De este hecho se sigue que todas las transformaciones de Möbius pueden
definirse por matrices de la forma
a b
, a, b, c, d ∈ C, ad − bc = 1.
c d
A este grupo de matrices se le denota por SL(2, C). El centro de este grupo
consiste de las matrices ±Id (ejercicio).
Proposición 1.2.1 Las transformaciones de Möbius complejas son funciones
b con la métrica cordal.
continuas en C
Demostración. Se sigue de la proposición 1.1.2 que basta probar la continuidad en ∞ y en −d/c, si c 6= 0, y en ∞, si c = 0.
Ahora, si c 6= 0 y zn → −d/c, cuando n → ∞, se tiene que como
(−d/c) a + b
azn + b
7−→
c
c
entonces
y
1
7−→ ∞,
zn − (−d/c)
azn + b
azn + b
=
7−→ ∞
czn + d
c(zn − (−d/c))
y por lo tanto
dC
azn + b
,∞
czn + d
7−→ 0,
cuando
n 7−→ ∞.
La prueba de la continuidad en ∞ es similar y queda como ejercicio para
el lector.
Por otra parte, el producto de matrices se corresponde con la composición
de transformaciones de Möbius, es decir, si
T (z) =
az + b
cz + d
y S(z) =
αz + β
γz + δ
son dos transformaciones de Möbius definidas por las matrices
a b
α β
T =
, S=
,
c d
γ δ
entonces la transformación S T es de Möbius y está definida por la matriz
α β
a b
αa + βc αb + βd
ST =
=
.
γ δ
c d
γa + δc γb + δd
10 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Esto se sigue ya que ∀z ∈ C, salvo por un número finito de puntos (donde
el álgebra no se aplica), se tiene
az + b +β
α
α(az + b) + β(cz + d)
(αa + βc)z + αb + βd
=
S T (z) = cz + d =
.
az + b
γ(az + b) + δ(cz + d)
(γa + δc)z + γb + δd
γ
+δ
cz + d
Por lo cual, las transformaciones S T y la definida por la matriz S T coinb excepto, quizá, por un número finito de puntos, sin embargo, al
ciden en C,
ser ambas funciones continuas, son iguales.
En particular, las transformaciones de Möbius son biyecciones, ya que si
T está definida por la matriz
a b
T =
∈ SL(2, C),
c d
la transformación inversa T
−1
está definida por
d −b
−1
T =
.
−c a
Por consiguiente, estas transformaciones forman un grupo, la identidad
es la función
1z + 0
z 7−→
.
0z + 1
Con frecuencia es importante distinguir las transformaciones de las matrices
que las definen, por lo que denotaremos las primeras con una barra arriba y
las segundas sin barra.
Proposición 1.2.2 Dos transformaciones de Möbius
T (z) =
az + b
cz + d
y
S(z) =
a0 z + b 0
c0 z + d 0
son iguales si y sólo si existe k ∈ C, tal que
a = ka0 , b = kb0 , c = kc0 , d = kd 0 .
11
Demostración. La condición de suficiencia es inmediata. Para probar la
necesidad obsérvese primero que como T y S coinciden en 0 y ∞, se
tiene que si a = 0, entonces a0 = 0, y si b = 0, entonces b0 = 0, etcétera.
Probamos primero el caso a, b, c, d 6= 0, se tiene que
T
−1
(∞) = −d/c = −d 0 c0 ,
y
T
−1
(0) = −b/a = −b0 /a0 .
Escribiendo
d/d 0 = c/c0 = λ,
b/b0 = a/a0 = µ,
se sigue que
az + b
µ a0 z + µ b0
µ (a0 z + b0 )
=
=
.
cz + d
λ c 0z + λ d 0
λ (c 0 z + d 0 )
En particular, al evaluar S y T en la preimagen de 1, se tiene µ/λ = 1,
por lo cual µ = λ.
Los casos en los que algún coeficiente es cero son más sencillos, mostramos
dos de ellos y dejamos los cuatro restantes como ejercicio.
(i) Si b, c = 0, evaluando en 1 se tiene a/d = a0 /d 0 y a/a0 = d/d 0 .
(ii) Si c = 0 y b 6= 0, como el primer caso, b/b0 = a/a0 = µ y para alguna
λ, d = λ d 0 , etcétera.
De la proposición anterior se sigue que hay exactamente dos matrices
unimodulares que determinan una transformación de Möbius dada. Esto es,
ya que si T es de Möbius y está definida por las matrices
0 0
a b
a b
∈ SL(2, C),
,
c0 d 0
c d
entonces
1 = a0 d 0 − b0 c0 = k 2 (ad − bc) = k 2
y
k = ±1,
i.e.
a0 b 0
c0 d 0
a b
=±
.
c d
Al cociente de SL(2, C) sobre su centro ±Id se le llama su proyectivización, este grupo cociente, denotado por P SL(2, C), es isomorfo al
grupo de transformaciones de Möbius complejas. La afirmación anterior es
consecuencia de las últimas observaciones y del primer teorema de isomorfismo de grupos (cf. [4] p. 50), ya que si µC denota el grupo de transformaciones
de Möbius, se tiene el siguiente diagrama de sucesiones exactas
'
±Id SL(2, C) P SL(2, C).
µC
De ahora en adelante identificaremos al grupo de transformaciones de Möbius
con P SL(2, C).
ejemplos de transformaciones de Möbius
(1) Las traslaciones
T (z) = z + b,
b ∈ C.
z+b
b
z
Figura 1.2: Traslaciones
(2) Las rotaciones
T (z) = az,
a = eiθ .
(3) Las homotecias
T (z) = kz, k ∈ R+ .
(4) Las composiciones de homotecias seguidas de rotaciones
T (z) = az,
|a| =
6 1, 0,
a∈
/ R+ .
13
az
θ
z
Figura 1.3: Rotaciones
z
kz
z
kz
Figura 1.4: Dilatación y contracción
(5) La transformación
T (z) = 1/z,
que es la composición de la inversión en el cı́rculo unitario
z → z/ |z|2 = 1/ z,
seguida de la reflexión en el eje real (conjugación).
Se describe ahora las propiedades de conformalidad de estas transformaciones ası́ como sus singularidades (polos). Obsérvese que una transformación
de Möbius
az + b
T (z) =
cz + d
tiene un polo simple en −d/c, si c 6= 0, y es entera si c = 0.
z
1/z̄
1/z
Figura 1.5: z 7−→ 1/z
En general, dada una función holomorfa f definida en una vecindad de
∞ , se dice que f es holomorfa en ∞ (o que f tiene un polo de orden k en
∞ ), si la función g definida en una vecindad del cero por
g(z) = f (1/z)
es holomorfa en cero ( o tiene un polo de orden k en cero). Obsérvese que si
∞ no es una singularidad esencial, entonces necesariamente se tiene una de
las dos posibilidades antes mencionadas.
La elección 1/z en esta definición no es arbitraria. Por una parte, es
una elección natural de cartas coordenadas para proveer de estructura de
superficie de Riemann a la esfera S2 (cf. [2], p. 117), por otra parte, la
acción de z → 1/z en S2 está dada por la rotación
(x1 , x2 , x3 ) 7−→ (x1 , −x2 , −x3 )
(ejercicio).
Con esta convención se tiene que si
az + b
cz + d
es de Möbius y c 6= 0, entonces f es holomorfa en ∞ y tiene un polo simple
en −d/c. Para el caso c = 0, f tiene un polo simple en ∞. Mostramos la
primera afirmación y dejamos las dos restantes como ejercicio. Cerca de ∞
f (z) =
f (z) =
az + b
a + b/z
a
=
7−→ ,
cz + d
c + d/z
c
15
cuando z → ∞, y cerca de 0
g(z) =
a + bz
a
a/z + b
=
7−→ ,
c/z + d
c + dz
c
cuando z → 0, por lo que 0 es una singularidad removible de g.
b → C
b meromorfa,
Volviendo al contexto general de una función f : C
b entonces f es
se sigue del teorema de Liouville que si f es entera en C,
constante. Por otra parte, si f es entera en C y f tiene un polo en ∞,
entonces f es necesariamente un polinomio. Esto es consecuencia del teorema
de las desigualdades de Cauchy y el principio de continuación analı́tica; queda
como ejercicio la verificación de los detalles. Estos resultados básicos de la
variable compleja se pueden consultar, por ejemplo, en [5] (pp. 170, 397).
Este hecho tiene una interesante y fundamental consecuencia: toda función meromorfa en la esfera es necesariamente racional. Esto se sigue, ya que
b→C
b es meromorfa, entonces por compacidad f tiene solamente un
si f : C
número finito de polos, y es claro que al multiplicar a f por un polinomio
adecuado, se obtiene una función constante u otro polinomio. En particular,
las únicas biyecciones meromorfas de la esfera en la esfera son las de Möbius.
Definición 3 Sea A un abierto en R n y f : A ⊂ R n → R n diferenciable
en A, se dice que f es conforme en x0 ∈ A, si Df (x0 ) es un múltiplo
escalar de una transformación ortogonal.
Se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que la definición de conformalidad para funciones analı́ticas –de los cursos básicos de variable compleja–
es una caso particular de esta definición más general, que además incluye a las
reflexiones. Obsérvese también que la conformalidad implica que se preservan
los valores absolutos de los ángulos.
Para el caso de una transformación de Möbius
T (z) =
az + b
,
cz + d
se tiene T 0 (z) =
ad − bc
,
(cz + d)2
si T no fija a ∞ y T 0 (z) = a/d, si ∞ es un punto fijo. Por lo cual, estas
transformaciones son conformes en el plano complejo, salvo en el punto −d/c,
si c 6= 0. Sin embargo, si se considera las transformaciones de Möbius como
biyecciones de la esfera S2 en sı́ misma, provista con estructura de superficie
de Riemann, no es difı́cil probar que hay conformalidad en todos los puntos,
incluyendo ∞.
Alternativamente, se puede tomar el grupo formado por las composib 3 , denominado también
ciones finitas de reflexiones en esferas o planos en R
de Möbius, que contiene como subgrupo a las extensiones de P SL(2, C) a
b 3 (llamadas de Poincaré). Resulta que la reflexión en la esfera con centro
R
√
en e3 = (0, 0, 1) y radio 2 es una extensión de la proyección estereográfica, y al conjugar las extensiones de Poincaré de P SL(2, C) con la reflexión
en el plano complejo, seguida de la reflexión en dicha esfera, se obtiene un
grupo –denotado por M (B 3 )– cuyos elementos transforman la esfera de Riemann conforme y biyectivamente en sı́ misma. En particular, estas funciones
preservan los ángulos en todos los puntos de la esfera. Esto se sigue, ya que
los elementos de M (B 3 ) son composiciones finitas de reflexiones en esferas
o planos ortogonales a S2 . Algunos de estos resultados se probarán en el
siguiente capı́tulo, una prueba completa se puede deducir de [2], pp. 25,27,
31, 33, 37, 58.
Se tiene además que la proyección estereográfica es conforme en C. Una
demostración elemental de este hecho se puede consultar en [6] p. 36. Esta
propiedad también es consecuencia directa de que la proyección estereográfica
b 3 ; mostraremos en el
es la restricción de una reflexión en una esfera en R
siguiente capı́tulo que estas reflexiones son conformes.
Los siguientes dos teoremas establecen propiedades geométricas fundamentales de las transformaciones de Möbius. Escribiremos “cı́rculos” para
denotar cı́rculos o rectas. Primero probamos un resultado que describe la
estructura de las transformaciones de Möbius.
Lema 1.2.3 Cualquier transformación en P SL(2, C) se puede expresar como la composición de traslaciones, rotaciones, homotecias y la transformación z → 1/z.
Demostración. Una transformación en P SL(2, C) que fija ∞ es de la
forma
b
a
z 7−→ z + ,
d
d
es decir, es una composición de homotecias, rotaciones y traslaciones.
Si la función de Möbius no fija ∞, entonces se puede expresar como
a
ad
ad
(cz + d) + b −
b−
az + b
a
c
c
c
z−
7 →
=
= +
,
cz + d
cz + d
c
cz + d
y es por lo tanto composición de algunas de las transformaciones descritas
en el enunciado del lema.
17
El siguiente resultado muestra que las transformaciones de Möbius tienen
un carácter inversivo, ya que preservan la familia de todos los “cı́rculos”. Este
resultado se generaliza a cualquier dimensión (véase [2] p. 28).
Teorema 1.2.4 Las funciones de Möbius en P SL(2, C) transforman “cı́rculos” en “cı́rculos”.
Demostración. Basta probar que la transformación z → 1/z tiene la
propiedad mencionada, ya que evidentemente las traslaciones, las rotaciones
y las homotecias transforman cı́rculos en cı́rculos y rectas en rectas. Para
estas últimas funciones, una prueba analı́tica de este hecho es muy simple,
por ejemplo, si k ∈ C, la función z → kz transforma la recta
a, b ∈ C,
z = a + bt,
t ∈ R,
en la recta
w = kz = ka + k b t,
t ∈ R,
y el cı́rculo
|z − a| = r,
en el cı́rculo
|kz − ka| = kr.
El caso de la traslación es también trivial (ejercicio).
Para mostrar que la transformación z → 1/z tiene dicha propiedad,
usamos la ecuación general del “cı́rculo”
A(x2 + y 2 ) + Bx + Cy = D.
(1.4)
Escribiendo z = x + iy y 1/z = u + iv, como
u=
x2
x
,
+ y2
v=
−y
+ y2
x2
y u2 + v 2 =
x2
1
,
+ y2
sustituyendo en 1.4 se obtienen la ecuaciones
1 u −v +B 2
+C 2
=D
A 2
u + v2
u + v2
u + v2
y
−D(u2 + v 2 ) + Bu − Cv = −A,
que es de nuevo la ecuación de un “cı́rculo”. Esto se sigue, ya que si D 6= 0,
se puede completar cuadrados y obtener la ecuación de un cı́rculo (no hay
radios negativos, ya que se trata de la imagen de un “cı́rculo”).
Este argumento algebraico no se aplica en 0 y en ∞, si el “cı́rculo” pasa
por ellos. Sin embargo, probar el resultado para estos puntos es muy sencillo,
por ejemplo, si se trata de un cı́rculo por el origen, entonces D = 0 y los
puntos de la imagen satisfacen la ecuación de la recta Bu−Cv = −A. Como
∞ es la imagen del 0 y está en dicha recta, se sigue el argumento, véase la
Figura 1.6. Dejamos como ejercicio verificar los otros dos casos.
T (W )
W
1
1
Figura 1.6: Imagen del cı́rculo W bajo z → 1/z
Otra demostración del teorema anterior se sigue de que la función
z 7−→ 1/z
es una rotación de π radianes alrededor del eje x en la esfera de Riemann,
b en
y del hecho de que la proyección estereográfica manda “cı́rculos” en C
cı́rculos de la esfera. El siguiente resultado muestra que las funciones de
Möbius complejas son transitivas en ternas de puntos en la esfera de Riemann.
b distintos y w1 , w2 , w3 ∈ C
b también
Teorema 1.2.5 Dados z1 , z2 , z3 ∈ C
distintos, existe una única transformación en P SL(2, C) que envı́a zj en
wj , j = 1, 2, 3.
Demostración. Primero probamos que si T es de Möbius y T fija 0, 1 e
∞, entonces T es la identidad. Sea
az + b
T (z) =
cz + d
19
con dicha propiedad, como T (0) = b/d y T (∞) = a/c, se tiene b, c = 0,
por lo que T (1) = a/d = 1 y a = d. En consecuencia, T (z) = z ∀z.
Ahora, si z1 , z2 , z3 ∈ C, la transformación
z1 − z3
z − z2
S 1 (z) =
z1 − z2
z − z3
es de Möbius y envı́a z1 , z2 , z3 en 1, 0, e ∞, respectivamente. Para adaptar
esta fórmula al caso en que alguno de los puntos sea ∞, simplemente se
omiten los dos factores donde aparece este punto, por ejemplo, si z2 = ∞,
la transformación
z1 − z3
S 1 (z) =
z − z3
tiene la propiedad deseada. Dejamos como ejercicio para el lector verificar
los otros dos casos.
El mismo argumento muestra la existencia de una transformación de
Möbius S 2 que manda w1 , w2 , w3 en 1, 0, e ∞ y por lo tanto la transformación
−1
S 2 S 1 ∈ P SL(2, C)
manda zj en wj , j = 1, 2, 3.
La unicidad se sigue ya que si T 1 y T 2 envı́an zj en wj , j = 1, 2, 3, se
tiene
−1
−1
S2 T 1 S1 = S2 T 2 S1
(puesto que ambas funciones son la identidad), por lo que T 1 = T 2 .
w1
z1
z2
w2
T
z3
w3
Figura 1.7: Transitividad de P SL(2, C) en “cı́rculos”
Este teorema y los resultados anteriores implican que las transformaciones
de Möbius actuan transitivamente en la familia de todos los “cı́rculos” de la
esfera de Riemann. Esta útil y fundamental propiedad se generaliza también
a cualquier dimensión (cf. [2] p. 31).
b existe T ∈ P SL(2, C),
Corolario 1.2.6 Dados dos “cı́rculos” A y B en C,
tal que T (A) = B, es decir, este grupo actua transitivamente en los “cı́rcub
los” de C.
Demostración. El “cı́rculo” A está determinado por tres puntos distintos,
digamos z1 , z2 , z3 , asimismo el “cı́rculo” B está determinado por otros tres
puntos distintos w1 , w2 , w3 . Se sigue entonces del teorema anterior que existe
T ∈ P SL(2, C), tal que T (zi ) = wi ∀i y el resultado es consecuencia del
hecho de que las transformaciones de Möbius mandan “cı́rculos” en “cı́rculos”
(véase la Figura 1.7).
EJERCICIOS 1.2
1. Sea T (z) =
az+b
,
cz+d
tal que ad − bc = 0, demuestre que T es constante.
2. Demuestre que el centro de SL(2, Z) es ±Id. Sugerencia: usar las matrices
( 10 11 ) , ( 11 01 ) .
3. Termine la prueba de la Proposición 1.2.1.
4. Termine la prueba de la Proposición 1.2.2.
5. Demuestre que la transformación z → 1/z es una rotación en la esfera de
Riemann de π radianes alrededor del eje x.
6. Sea T (z) = az+b
de Möbius, demuestre que T tiene un polo simple en
cz+d
−d/c, si c 6= 0, y en ∞, si c = 0.
7. Sea f una función entera en C, tal que f (∞) = ∞, demuestre que f
es un polinomio.
8. Demuestre que las traslaciones preservan la familia de cı́rculos y la familia
de rectas.
9. Termine las pruebas de los Teoremas 1.2.4 y 1.2.5.
1.3.
Clasificación por conjugación
Una primera clasificación de las transformaciones de Möbius se obtiene al
b Obsérvese primero que si T es de Möbius
considerar los puntos fijos en C.
y no es la identidad, entonces T fija a lo más dos puntos. Esto se sigue ya
1.3. CLASIFICACIÓN POR CONJUGACIÓN
21
que si T (∞) 6= ∞, entonces
T (z) =
az + b
=z
cz + d
⇐⇒
az + b = cz 2 + dz
y si ∞ es un punto fijo, la ecuación
a
b
z+ =z
d
d
tiene a lo más una solución.
b
Definición 4 Sea T de Möbius, tal que fija exactamente un punto en C,
entonces a T se le llama parabólica.
Lema 1.3.1 Sean T y ϕ transformaciones de Möbius, entonces T fija a un
b (o preserva un subconjunto A ⊂ C)
b si y sólo si S = ϕ T ϕ−1
punto w en C
fija ϕ(w) (o preserva ϕ(A)).
Demostración.
T (w) = w
⇐⇒
ϕ T (w) = ϕ(w)
⇐⇒
ϕ T ϕ−1 (ϕ(w)) = ϕ(w).
Esta misma demostración prueba la afirmación del lema sobre un conjunto
A preservado por T .
Observése que el lema anterior también se aplica en otras dimensiones y
en contextos más generales.
Proposición 1.3.2 Sea T una transformación de Möbius. Entonces:
(i) si T es parabólica, T es conjugada en P SL(2, C) a una traslación;
(ii) si T no es parabólica, T es conjugada en P SL(2, C) a una transformación de la forma z → αz, α ∈ C.
Demostración. Sea T parabólica con punto fijo z0 y ϕ ∈ P SL(2, C) tal
que ϕ(z0 ) = ∞, por ejemplo,
ϕ(z) =
1
,
z − z0
entonces S = ϕ T ϕ −1 fija ∞, y por lo tanto es de la forma
S(z) = αz + β.
Se sigue del lema anterior que S no tiene otro punto fijo, por lo cual α = 1
(si α 6= 1, la ecuación αz + β = z tendrı́a una solución finita).
Para probar la segunda parte, supongamos que T fija 2 puntos distintos
w1 , w2 y que
z − w1
ϕ(z) =
z − w2
(si w2 = ∞, se toma ϕ(z) = z − w1 ). Bajo estas hipótesis la función
S = ϕ T ϕ−1
fija 0 e ∞, por lo cual si
S(z) =
az + b
,
cz + d
se tiene b, c = 0.
El resultado anterior muestra que cualquier transformación de Möbius es
conjugada a una transformación canónica. El siguiente resultado examina la
conjugación entre estas transformaciones canónicas.
Proposición 1.3.3 Sean k1 , k2 complejos no nulos, supóngase también que
k1 6= k2 , k2−1 , entonces las transformaciones T (z) = k1 z y S(z) = k2 z no
son conjugadas en P SL(2, C).
Demostración. Si la transformación ϕ ∈ P SL(2, C) conjuga T y S,
digamos S = ϕ T ϕ−1 , entonces se sigue del Lema 1.3.1 que ϕ preserva
{0, ∞}.
Si ϕ fija 0 e ∞, entonces ϕ es de la forma z → αz, α ∈ C, por lo que
ϕ conmuta con T , pero entonces T = S, lo cual contradice las hipótesis.
Por otra parte, si ϕ(0) = ∞ y ϕ(∞) = 0, escribiendo
ϕ(z) =
az + b
,
cz + d
como ϕ(0) = b/d y ϕ(∞) = a/c, se tiene que a, d = 0 y que
ϕ(z) =
b
.
cz
1.4. GEOMETRÍA
23
En este caso ϕ es una involución, es decir, ϕ = ϕ−1 y
b
k b
b
z
1
−1
= ,
=ϕ
= ϕ T ϕ (z) = ϕ T
k1 b
cz
cz
k1
c
cz
lo cual contradice k2 6= 1/k1 .
Podemos ahora obtener una clasificación de los elementos de P SL(2, C),
en relación a las transformaciones canónicas actuando en la esfera de Riemann.
Definición 5 Sea T ∈ P SL(2, C), tal que T fija exactamente 2 puntos en
b supóngase también que T es conjugada en P SL(2, C) a la transformaC,
ción S(z) = αz. Entonces:
(i) si |α| = 1, a T se le llama elı́ptica;
(ii) si α ∈ R+ , a T se le llama hiperbólica;
(iii) si |α| =
6 1 y α∈
/ R+ , a T se le llama loxodrómica.
La proposición anterior muestra que esta definición no depende de la
transformación conjugante. Más aún, la transformación z → 1/z conjuga
las transformaciones T 1 (z) = αz y T 2 (z) = z/α.
La definición anterior no es usada de manera general en la literatura, algunos autores denominan a las transformaciones loxodrómicas o hiperbólicas,
simplemente hiperbólicas (cf. ([3] p. 31), otros autores en cambio, consideran
a las hiperbólicas como una subclase de las loxodrómicas (cf. ([2] p. 67).
EJERCICIOS 1.3
1. Demuestre que si una función en P SL(2, C) es de orden finito, entonces
es necesariamente elı́ptica.
2. Demuestre que cualquier traslación z → z + b, b ∈ C, es conjugada en
P SL(2, C) a la traslación z → z + 1.
1.4.
Geometrı́a
Para visualizar la acción geométrica de las transformaciones de Möbius en la
esfera de Riemann y en el plano complejo, es útil considerar ciertas familias
de “cı́rculos”. Con este propósito se toman α1 , α2 ∈ C distintos y
ϕ(z) =
z − α1
.
z − α2
(1.5)
α2
ϕ
α1
Figura 1.8: Configuración de Steiner
Obsérvese que como ϕ es de Möbius, ϕ transforma los “cı́rculos” que
pasan por α1 y α2 , en rectas
por el origen. También los “cı́rculos” concéntri
cos al origen {w ∈ C |w| = r} son la imagen bajo ϕ de los conjuntos
definidos por la siguiente ecuación
|z − α1 |
z∈C
=r .
|z − α2 |
Estos conjuntos son “cı́rculos” ya que ϕ −1 es de Möbius. A estos “cı́rculos”
se les llama de Apolonio con respecto a los puntos lı́mite α1 y α2 . Nótese
1.4. GEOMETRÍA
25
que estos “cı́rculos” están caracterizados por la propiedad de ser el conjunto
de puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen una razón
constante. No es difı́cil probar analı́tica y geométricamente que para un solo
valor de r, el “cı́rculo” de Apolonio es una recta (ejercicio) .
Denotamos por C1 a la familia de “cı́rculos” que pasan por α1 y α2 , y
por C2 la familia de los “cı́rculos” de Apolonio con respecto a estos puntos
(véase la Figura 1.8). Esta configuración, llamada de Steiner, cumple las
siguientes propiedades:
b p 6= α1 , α2 , se tiene que p está exactamente en un “cı́rculo”
P1: ∀p ∈ C,
de la familia C1 y uno de la familia C2 .
P2: cada “cı́rculo” en C1 intersecta a cada “cı́rculo” de C2 ortogonalmente
en dos puntos.
b − {α1 , α2 } es la unión ajena de los “cı́rculos” de la familia C2 .
P3: C
Estas propiedades son evidentes cuando se trata de cı́rculos concéntricos
al origen y rectas por el origen, el caso general se sigue por biyectividad y
conformalidad.
T (z)
z
α1
α2
Figura 1.9: Las transformaciones elı́pticas “rotan” los cı́rculos de Apolonio
1.4.1.
Transformaciones elı́pticas
Sean T elı́ptica con puntos fijos α1 , α2 , y ϕ como en (1.5), entonces
S(z) = ϕ T ϕ −1 = eiθ z.
Afirmación 1 Si C es un “cı́rculo” de Apolonio con puntos lı́mite α1 y
α2 , entonces T (C) = C.
Demostración. Como S preserva ϕ(C), entonces T = ϕ−1 S ϕ preserva
ϕ−1 ϕ(C) = C.
Afirmación 2 Si A es un “cı́rculo” por α1 y α2 , entonces T (A) es un
“cı́rculo” por α1 y α2 , que forma con A un ángulo θ en α1 , y en α2 .
Demostración. Como T fija α1 y α2 , T (A) es un “cı́rculo” por α1
y α2 . Ahora ϕ(A) y S ϕ(A) forman un ángulo θ en el origen y por la
conformalidad de ϕ −1 se tiene que A = ϕ −1 ϕ(A) y T (A) = ϕ −1 S ϕ(A)
también se intersectan en un ángulo θ en α1 . Para probar la afimación en
el punto α2 , se intercambian los papeles de α1 y α2 en la expresión de ϕ
Figura 1.10: Acción de las transformaciones elı́pticas en la esfera
En resumen, una transformación elı́ptica es una rotación en los “cı́rculos”
de Apolonio en la esfera de Riemann, o en el plano complejo. Véase las
b3
Figuras 1.9 y 1.10. La acción geométrica de estas transformaciones en R
consiste de una rotación alrededor de un “cı́rculo” de puntos fijos, cf. [2]
p. 67. En el siguiente capı́tulo se analizará de nuevo la geometrı́a de las
transformaciones de Möbius, usando la métrica hiperbólica.
1.4. GEOMETRÍA
27
A
θ
T (A)
Sϕ(A)
θ
α1
α2
θ
ϕ(A)
Figura 1.11: Las transformaciones elı́pticas intercambian los “cı́rculos” por
los puntos fijos (rotándolos)
1.4.2.
Transformaciones hiperbólicas
Sϕ(C)
T (C)
C
α1
α2
ϕ(C)
Figura 1.12: Las transformaciones hiperbólicas intercambian los “cı́rculos”
de Apolonio
Como en el caso elı́ptico consideramos ϕ(z) como en (1.5) y T hiperbólica
con puntos fijos α1 y α2 , por lo cual
S(z) = ϕ T ϕ −1 = kz,
k ∈ R+ .
En este caso T preserva los “cı́rculos” por α1 y α2 e intercambia los “cı́rculos” de Apolonio. La primera afirmación se sigue de manera inmediata (véase
la Figura 1.13). Ahora, si C es un “cı́rculo” de Apolonio, entonces ϕ(C) y
S ϕ(C) son cı́rculos distintos concéntricos al origen y
ϕ −1 S ϕ(C) = T (C)
es otro “cı́rculo” de Apolonio (véase la Figura 1.12).
T (z)
n
T (z)
z
n
T (z)
T (z)
z
α1
α2
Figura 1.13: “Cı́rculos” fijos de las transformaciones hiperbólicas
Figura 1.14: Acción de las transformaciones hiperbólicas en la esfera
Obsérvese que al iterar T , si n ∈ N, se tiene
n
n
n
−1
T (z) = ϕ S ϕ (z) = ϕ−1 S ϕ(z).
n
Por lo cual, si k > 1 y z 6= α1 , entonces T (z) → α2 , cuando n → ∞, ya
n
que S ϕ(z) se acerca a ∞. En este caso los puntos fluyen hacia α2 y se
n
n
dice que α2 es el atractor. También, S ϕ(z) se aleja de 0 y T (z) de α1 ,
se dice que α1 es el repulsor. Si k < 1, es claro que se invierten los papeles,
α1 es ahora el atractor (véase las Figuras 1.13 y 1.14).
1.4. GEOMETRÍA
1.4.3.
29
Transformaciones loxodrómicas
Las loxodrómicas son una composición de hiperbólicas y elı́pticas, por lo que
su dinámica consiste de una rotación de los “cı́rculos” de Apolonio, seguida
de una traslación a lo largo de los “cı́rculos” por α1 y α2 (o viceversa,
ya que estas funciones conmutan). De manera análoga al caso hiperbólico,
uno de los puntos fijos es un atractor y el otro un repulsor. En este caso, no
hay “cı́rculos” fijos, sin embargo, estas transformaciones preservan espirales
que se enrollan en los puntos fijos (véase la Figura 1.15). Si los puntos fijos
son 0 e ∞, esto se sigue al considerar T (z) = az, a = er+iθ , loxodrómica
y z0 ∈ C − {0}; se tiene entonces que las imágenes de este punto bajo las
iteraciones de T son los puntos
z0 enr+inθ , n ∈ Z,
por lo cual, la espiral
z0 exr+ixθ , x ∈ R
es invariante bajo T . El caso general se sigue por conjugación, queda como
ejercicio para el lector la verificación de los detalles.
z0 enr+inθ
z0
0
0
Figura 1.15: Espirales invariantes bajo las transformaciones loxodrómicas
1.4.4.
Transformaciones parabólicas
Las traslaciones de la forma S(z) = z + b tienen como familia de “cı́rculos”
fijos a las rectas paralelas al vector b, las cuales se intersectan en ∞ (véase
la Figura 1.16). Al iterar S los puntos de C se mueven hacia ∞ en la
dirección del vector b.
En el caso general, si T es parabólica y fija α, conjugando con
ϕ(z) =
1
,
z−α
b y se intersectan solamente
se tiene que la familia de “cı́rculos” fijos cubren C
en α. Al iterar T algunos puntos fluyen a lo largo de estos “cı́rculos” hacia α,
otros se “alejan” de este punto, para posteriormente “acercarse” a él (véase
las Figuras 1.16 y 1.17). Estas afirmaciones se pueden probar de manera
análoga a las del caso hiperbólico.
z+b
α
z
Figura 1.16: Cı́rculos fijos de las transformaciones parabólicas
La configuración de los “cı́rculos” fijos de las parabólicas descrita en la
Figura 1.16 se enriquece al incorporar su familia ortogonal, como se muestra
en la Figura 1.18. Esta nueva configuración describe de manera más detallada
la geometrı́a de las transformaciones parabólicas y se puede pensar como un
caso degenerado de la configuración de Steiner, que se obtiene al juntar los dos
puntos lı́mite α1 , α2 , en uno solo, que es precisamente el punto α. La familia
de los “cı́rculos” fijos, la denotamos por C2 , como ya se mencionó consiste
de “cı́rculos” tangentes en α, que cubren la esfera de Riemann, es decir,
si F1 , F2 ∈ C2 , entonces F1 ∩ F2 = {α}. Esta familia se puede pensar como
un caso degenerado de los “cı́rculos” de Apolonio que originalmente rodean
los puntos lı́mite α1 , α2 , y que al deformar estos en un solo punto α, se
transforman en “cı́rculos” tangentes en α, que cubren la esfera de Riemann.
1.4. GEOMETRÍA
31
Figura 1.17: Acción de las transformaciones parabólicas en la esfera
En este sentido, las parabólicas se pueden pensar como un caso degenerado
de las elı́pticas, al conservarse en el lı́mite ese carácter rotacional por los
cı́rculos de Apolonio (véase la Figura 2.6). La otra familia, que denotamos
por C1 , es la familia ortogonal, esto es, los “cı́rculos” obtenidos al rotar
(por multiplicación por i) alrededor de α, los “cı́rculos” de la familia C2 .
Para el caso α = ∞, la rotación puede ser sobre cualquier punto del plano.
Los “cı́rculos” de esta familia C1 son intercambiados por las parabólicas,
esto es, se rotan entre si, alrededor de α (véase la Figura 1.18). Todas estas
afirmaciones son evidentes para el caso de las traslaciones, el caso general se
sigue por biyectividad y conformalidad al conjugar.
α
z+b
z
Figura 1.18: Configuración de Steiner degenerada
EJERCICIOS 1.4
1. Demuestre análitica y geométricamente que existe solamente una recta de
Apolonio.
2. Demuestre la existencia de espirales invariantes bajo las transformaciones
loxodrómicas.
3. Demuestre que una transformación loxodrómica tiene como puntos fijos
un atractor y un repulsor.
1.5.
Transformaciones que preservan “discos”
Se denotará por “discos” a discos o semiplanos en el plano complejo (o discos
en la esfera de Riemann). Se describe primero las transformaciones de Möbius
que preservan el semiplano superior,
H2 = {z ∈ C Im(z) > 0}.
Mostraremos en el siguiente capı́tulo que este semiplano es uno de los modelos más importantes del plano hiperbólico y que las transformaciones de
P SL(2, C) que lo preservan, actuan como isometrı́as hiperbólicas.
Al subgrupo de las matrices en SL(2, C) con entradas reales se le denota
por SL(2, R). La misma prueba del caso complejo muestra que el centro de
SL(2, R) es ±Id y que se puede identificar a las transformaciones de Möbius
definidas por estas matrices con P SL(2, R), donde este último grupo es el
cociente de SL(2, R) sobre su centro. Esta afirmación se sigue del siguiente
diagrama de sucesiones exactas, donde µR denota las transformaciones de
Möbius definidas por las matrices en SL(2, R).
'
±Id SL(2, R) P SL(2, R).
µR
De ahora en adelante nos referiremos a estas transformaciones como los
elementos de P SL(2, R).
Teorema 1.5.1 Las transformaciones de Möbius que preservan H2 son precisamente aquéllas definidas por P SL(2, R).
1.5. TRANSFORMACIONES QUE PRESERVAN “DISCOS”
33
Demostración. Sea
T (z) =
az + b
,
cz + d
ab − bc = 1,
a, b, c, d ∈ R,
b = R.
b Ahora, como
se sigue entonces que T (R)
T (i) =
(a i + b)(−c i + d)
ai + b
=
,
ci + d
c2 + d2
se tiene que
Im(T (i)) =
1
> 0,
c2 + d2
y se sigue entonces por conexidad que T preserva H2 .
Por otra parte, si una función en P SL(2, C)
T (z) =
az + b
,
cz + d
ad − bc = 1,
preserva H2 , entonces la continuidad y la biyectividad implican que T tamb
bién preserva la recta real extendida R.
Ahora, si
az + b
S(z) =
,
cz + d
b ya que si z ∈ R,
b entonces
resulta que T y S coinciden en R,
T (z) = T (z) = S(z) = S(z).
Por lo tanto, como T y S coinciden en más de dos puntos, T = S y
a = ± a,
b = ± b,
c = ± c,
d = ± d.
Hay que probar que a, b, c y d no son imaginarios puros, si ası́ fuera, se
tendrı́a
ai + b
(a i + b)(−c i + d)
T (i) =
=
ci + d
|c i + d|2
y
ad − bc
ad − bc
Im T (i) =
=−
< 0,
2
|c i + d|
|c i + d|2
lo cual contradice que T preserva H2 .
Se quiere describir las transformaciones de Möbius que preservan el disco
unitario
∆ = {z ∈ C | |z| < 1}.
Esto es muy importante, porque este disco, llamado de Poincaré, es un segundo modelo del plano hiperbólico, más homogéneo que el semiplano superior,
ya que todos los puntos en la “recta” al infinito, es decir, en el cı́rculo unitario, son similares; en contraste con la recta real extendida, en la cual ∞
juega un papel muy particular. Con este objeto, se encuentra una función en
P SL(2, C) que transforme H2 en ∆. Para esto basta mandar tres puntos
distintos de la recta real extendida, a tres puntos distintos del cı́rculo unitario
∂ ∆. Una elección, que resulta muy adecuada, es enviar −1, 0, 1 a i, −1, −i.
Si T ∈ P SL(2, C),
az + b
T (z) =
,
cz + d
tiene esta propiedad, evaluando en 0, se tiene
b/d = −1 y b = −d.
Evaluando ahora en ±1, se sigue que
−a + b
=i y
−c + d
a+b
= −i.
c+d
Por consiguiente
−a − d = i(−c + d) y a − d = −i(c + d),
sumando y restando estas ecuaciones se obtiene
− 2 d = −2 i c y
− 2 a = 2 i d.
Finalmente, si d = i se obtiene la transformación buscada
T (z) =
z−i
,
z+i
ya que como T (i) = 0 y por construcción T manda la recta real en el cı́rculo
unitario, se sigue por conexidad que
T (H2 ) = ∆.
Esta transformación llamada de Cayley es una rotación de orden 3 en la
esfera de Riemann (cf. [16]).
1.5. TRANSFORMACIONES QUE PRESERVAN “DISCOS”
35
Teorema 1.5.2 Las transformaciónes de Möbius en P SL(2, C) que preservan el disco unitario ∆ son de la forma
S(z) =
αz + β
,
βz + α
|α|2 − |β|2 = 1 α, β ∈ C.
Demostración. Obsérvese primero que si
T (z) =
z−i
z+i
y S es una función en P SL(2, C) que preserva ∆, entonces la transformación
−1
U = T S T ∈ P SL(2, R)
y
S=TUT
−1
.
Escribiendo
T =
1 −i
1 i
y U=
basta calcular T U T −1 .
Como
T
se tiene
−1
=
i/2 i i/2 i
−1/2 i 1/2 i
= (1/2) I
1 1
,
i −i
a b
1 1
T U T = (1/2) I
c d
i −i
a − ic b − id
1 1
= (1/2) I
a + ic b + id
i −i
a + d + i(b − c) a − d − i(b + c)
= (1/2) I
,
a − d + i(b + c) a + d + i(c − b)
−1
a b
∈ SL(2, R),
c d
1 −i
1 i
la cual es una matriz de la forma
α β
, |α|2 − |β|2 = 1,
β α
α, β ∈ C.
Denotaremos por M (∆) a este subgrupo de transformaciones de P SL(2, C)
que preservan ∆. La función
z 7−→
az + c
,
cz + a
|a|2 − |c|2 = 1,
se puede modificar a otra útil expresión, de la siguiente manera:
c
a z+
a
az + c
=
cz + a
cz + a
=
=
a
|a|
a
c
z+
|a|
a
=
c
a
z+
|a|
|a|
2 c z− −
a
aa
ac
z+ 2
|a|2
|a|
e iθ (z − z0 )
,
−z 0 z + 1
z0 ∈ ∆,
(1.6)
donde e iθ = (a/|a|)2 y z0 = −c/a (como |a|2 − |c|2 = 1, z0 ∈ ∆).
Viceversa, se sigue por biyectividad y conexidad, que toda transformación
de la forma (1.6) preserva ∆, ya que T (z0 ) = 0 y si |z| = 1, entonces
|zz − z0 z|
|z − z0 |
=
= 1.
| − z 0 z + 1|
| − z 0 z + 1|
Las transformaciones de Möbius que preservan ∆ son conformes en ∆,
ya que los únicos puntos donde una función en P SL(2, C) puede no ser
conforme son ∞ y su preimagen.
EJERCICIOS 1.5
1. Sea f : ∆ → ∆ una biyección conforme, demuestre que f es de Möbius.
Sugerencia: usar la unicidad del teorema del “mapeo” de Riemann.
2. Demuestre que P SL(2, R) está generado por homotecias, traslaciones por
reales y la función z → −1/z.
1.6. CLASIFICACIÓN POR LA TRAZA
1.6.
37
Clasificación por la traza
Ahora exhibimos una caracterización de los elementos de P SL(2, C) en
términos de la traza, esta clasificación es de gran utilidad, por ejemplo, permite detectar de manera inmediata de qué tipo es una transformación de
Möbius dada.
Definición 6 Sea T una transformación de Möbius distinta de la identidad.
(i) Si T es parabólica se define su multiplicador como 1.
(ii) Si T es conjugada a una transformación de la forma z → kz, k 6= 0, 1,
a los números k y 1/k se les llama los multiplicadores de T .
Se sigue de la clasificación definida por la conjugación a formas canónicas
que los multiplicadores están bien definidos. El grupo de matrices de 2 × 2
con entradas complejas y determinante distinto de 0 se denota por GL(2, C),
se define la traza de A ∈ GL(2, C) como la suma de los elementos diagonales,
ésta se denota por tr(A). Usaremos el siguiente resultado básico del álgebra
lineal.
Lema 1.6.1 La traza es invariante bajo conjugación en GL(2, C).
Demostración. Basta probar que tr(AB) = tr(BA), A, B ∈ GL(2, C), ya
que entonces tr(ABA−1 ) = tr(A−1 AB) = tr(B). Escribiendo
a b
α β
A=
,
B=
,
c d
γ δ
se tiene
AB =
aα + bγ
∗
?
cβ + dδ
y
BA =
por lo que tr(AB) = tr(BA).
αa + βc
∗
,
?
γb + δd
La traza de una transformación de Möbius está bien definida salvo un
signo, puesto que existen dos matrices unimodulares que la definen.
Definición 7 Dada T ∈ P SL(2, C),
T (z) =
se define la traza de T como ± √
az + b
,
cz + d
a+d
.
ad − bc
Denotaremos la traza de T por χ(T ), o simplemente por χ. Para muchas
aplicaciones es útil tener fórmulas explı́citas de las coordenadas de los puntos
fijos. Obtenemos ahora una expresión en términos de la traza, para esto
consideramos
az + b
T (z) =
, ad − bc = 1, T 6= Id
cz + d
y se tienen dos casos.
Caso 1: c 6= 0. En este caso, como
T (z) = z ⇐⇒ az + b = (cz + d) z ⇐⇒ cz 2 + (d − a)z − b = 0,
los puntos fijos de T están dados por
p
a − d ± (a − d)2 + 4 b c
,
2c
y usando la condición unimodular, esta fórmula se simplifica a
p
a − d ± χ2 − 4
.
2c
Caso 2: c = 0. En este caso
T (z) =
a
b
z+ .
d
d
Si T es parabólica, ∞ es el único punto fijo. De otra manera, como
T (z) = z ⇐⇒
b
−1 z =− ,
d
d
a
el segundo punto fijo está dado por
b
.
d−a
Teorema 1.6.2 Sea T ∈ P SL(2, C), T 6= Id, entonces
k+
1
+ 2 = χ2 ,
k
donde k, 1/k son los multiplicadores de T y χ es su traza.
(1.7)
39
Demostración.
Caso 1: T es parabólica.
Como el cuadrado de la traza es invariante bajo conjugación, se tiene
1 t
2
2
=4
χ (T ) = tr
0 1
y se sigue el resultado.
Caso 2: T no es parabólica.
En este caso T es conjugada a una transformación de la forma S(z) = kz,
la cual está definida por la matriz

√
k 0
1  ∈ SL(2, C).
S=
0 √
k
Por lo cual
χ2 (T ) = χ2 (S) =
√
1 2
1
k+√
= k + + 2.
k
k
Para transformaciones con dos puntos fijos finitos α1 , α2 , se tiene una
expresión de los multiplicadores en términos de estos puntos. Sea
T (z) =
az + b
cz + d
con esta propiedad, S(z) = kz, donde k es uno de los multiplicadores de T
y
z − α1
ϕ(z) =
.
z − α2
Entonces,
S = ϕ T ϕ −1 y S ϕ = ϕ T .
Por lo cual
z − α1
T (z) − α1
=k
,
z − α2
T (z) − α2
y evaluando en ∞, se tiene
k=
a/c − α1
a/c − α2
y 1/k =
a/c − α2
.
a/c − α1
Para el caso de una transformacion en P SL(2, C) que fija dos puntos,
uno de los cuales es ∞, es decir, de la forma T (z) = α z + β, los multiplicadores se encuentran con facilidad, éstos son precisamente α y 1/α. Lo
cual se sigue, ya que con esta notación el segundo punto fijo está dado por
β
,
1−α
y conjugando con
β
,
1−α
β
−1
S(z) = ϕ T ϕ (z) = ϕ T z +
= αz
1−α
ϕ(z) = z −
se obtiene
(como el término constante es cero, no es necesario efectuar más cuentas).
Esta facilidad para detectar los multiplicadores de una transformación
que fija ∞, permite también clasificarla de manera inmediata, por ejemplo,
z → iz + 5
es elı́ptica, sin embargo
z → 7z + 8 + i
es hiperbólica. El siguiente resultado es muy importante, exhibe un criterio,
también sencillo, para clasificar cualquier transformación en P SL(2, C).
Teorema 1.6.3 Sea T ∈ P SL(2, C), T 6= Id y χ la traza de T . Entonces
(i) T es parabólica si y sólo si χ = ±2;
(ii) T es eliptı́ca si y sólo si χ ∈ (−2, 2);
(iii) T es hiperbólica si y sólo si χ ∈ (2, ∞) ∪ (−∞, −2);
(iv) T es loxodrómica si y sólo si χ ∈
/ R.
Demostración. Probamos primero las condiciones de necesidad. El caso
parabólico ya se probó.
Si T es elı́ptica, entonces T es conjugada a una transformación de la
forma S(z) = e iθ z, θ ∈ (0, 2π), la cual está determinada por la matriz
iθ/2
e
0
∈ SL(2, C).
0 e−iθ/2
41
Por lo tanto, ± χ(T ) = ± χ(S) = ± 2 cos(θ/2) ∈ (−2, 2).
Si T es hiperbólica, entonces T es conjugada a una transformación definida por la matriz
√
k
0√
0 1/ k
∈ SL(2, C),
k ∈ R+ ,
por lo cual
2
2
χ (T ) = χ (S) =
√
1
k+√
k
2
=k+2+
1
> 4,
k
puesto que
√
1
k−√
k
2
> 0.
Ahora, si T es loxodrómica y ρe iθ , ρ 6= 0, 1, θ ∈ (0, 2π), es uno de sus
multiplicadores, se sigue del Teorema 1.6.2 que
1
ρ(cos θ + i sen θ) + (cos θ − i sen θ) + 2 = χ2 (T ).
ρ
Si χ(T ) ∈ R, se tendrı́a χ2 (T ) ∈ R+ y (ρ − 1/ρ) sen θ = 0, por lo cual
sen θ = 0 y θ = π. Al tomar la parte real se tiene −(ρ + 1/ρ) + 2 ∈ R+ , lo
que es una contradicción, ya que ρ + 1/ρ > 2.
Para probar la suficiencia, obsérvese que si χ2 (T ) = 4, se sigue de la
primera parte que T no es elı́ptica, ni tampoco hiperbólica o loxodrómica,
por lo que debe ser parabólica. Los otros casos se siguen de manera análoga.
El siguiente resultado, que es consecuencia del Teorema 1.6.2, muestra
que χ2 clasifica las clases conjugadas de P SL(2, C); dejamos su verificación
como ejercicio para el lector.
Corolario 1.6.4 Dos transformaciones de Möbius complejas T , S son conjugadas en P SL(2, C) si y sólo si
χ2 (T ) = χ2 (S).
Damos ahora unos ejemplos, las transformaciones
z 7−→
2z + 3
z+2
y z 7−→
2z + 9
−z − 4
son hiperbólica y parabólica, respectivamente. Por otra parte, las funciones
z 7−→
−1
z
y z 7−→
iz − 2
z + iz
son elı́ptica de orden 2 y loxodrómica, respectivamente.
EJERCICIOS 1.6
1. Sea T ∈ P SL(2, C), demuestre que T preserva un “disco” si y sólo si T
no es loxodrómica.
2. Demuestre que una transformación en P SL(2, C) es de orden dos si y sólo
si su traza es 0.
3. Demuestre que los puntos fijos de una transformación elı́ptica en P SL(2, R)
son conjugados.
4. Demuestre que los puntos fijos finitos de una transformación hiperbólica
o parabólica en P SL(2, R) son reales.
5. Demuestre que la función z →
6. Demuestre el Corolario 1.6.4.
z−i
z+i
es elı́ptica de orden 3.
Capı́tulo 2
Métrica hiperbólica
Primeramente se demuestra cómo una densidad induce una métrica y cómo
bajo biyecciones conformes se obtienen isometrı́as. Usando estos resultados
se presentan dos modelos del plano hiperbólico, el del semiplano superior H2
y el del disco de Poincaré ∆. En cada uno de estos modelos, se describen
fórmulas de la distancia, ası́ como los grupos de isometrı́as, las geodésicas
o curvas que minimizan la distancia y los cı́rculos. También, se muestran
algunas aplicaciones, como el paralelismo. Posteriormente, se estudia el grupo
general de isometrı́as en ambos modelos y se describen los haces parabólicos,
elı́pticos e hiperbólicos, probando algunas propiedades de éstos. Por último,
se prueban algunos resultados de la geometrı́a hiperbólica 3-dimensional.
2.1.
Densidades
Recordamos que si A es un abierto en Rn y f es una función diferenciable
de A en Rn , se dice que f es conforme en x0 ∈ A, si Df (x0 ) es el producto
de una matriz ortogonal por la matriz k I, k ∈ R+ . Al número k se le llama
el factor de conformalidad y se le denota por µf (x0 ), o simplemente por
µ(x0 ).
Definición 8 Sea A una región en Rn , una densidad en A es una función
continua λ : A → R+ .
Las densidades nos permiten medir longitudes de curvas de distintas
maneras. Más precisamente, dada una densidad λ en una región A y γ
43
44
CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
una curva de clase C 1 en A, se define la λ-longitud de γ como
Z b
λ(γ(t)) | γ 0 (t) | dt,
a
donde γ:[a , b]→ A. Esta definición se extiende de manera natural a curvas de
clase C 1 por tramos. Denotamos a esta longitud por lλ (γ). Esta medición
de curvas permite también medir la distancia entre puntos.
Definición 9 Sea λ una densidad en una región A y z1 , z2 ∈ A, se define
la λ-distancia de z1 a z2 , como
ı́nf lλ (γ),
γ
donde el ı́nfimo es sobre todas las curvas γ de clase C 1 por tramos que unen
z1 con z2 . A esta distancia se le denota por ρλ (z1 , z2 ).
Teorema 2.1.1 Sea λ una densidad definida en una región A de Rn , entonces la distancia ρλ define una métrica en A.
Demostración. Probamos primero que ρ es simétrica. Para esto, si se
tiene una curva γ : [a , b] → A de clase C 1 que une z1 con z2 , se define
−γ : [a , b] → A como −γ(t) = γ(a + b − t). Obsérvese que −γ une z2 con
z1 , y que usando el teorema fundamental del cálculo se tiene
Z b
Z b
0
λ γ(a + b − t) | γ 0 (a + b − t)| dt
λ − γ(t) |(−γ) (t)| dt =
lλ (−γ) =
a
a
Z
=
b
λ γ(s) |γ 0 (s)| ds = lλ (γ).
a
Evidentemente, ρ(x, x) = 0, ∀x ∈ A y ρ es no negativa. Además, se
cumple la desigualdad del triángulo: si ρ(x, z) > ρ(x, w) + ρ(w, z), entonces
existe > 0, tal que ρ(x, z) > ρ(x, w) + ρ(w, z) + . Sin embargo, en este
caso se podrı́an tomar dos curvas, γ1 y γ2 , cuyas longitudes aproximaran
ρ(x, w) y ρ(w, z) por una cantidad menor a /2 , respectivamente. Esto serı́a
una contradicción, ya que la curva γ1 + γ2 unirı́a x con z y tendrı́a longitud
menor a ρ(x, z).
Falta solamente probar que si x 6= y, entonces ρ(x, y) > 0. Para probar
esto, sea D un disco cerrado con centro en x, radio r y tal que y ∈
/ D. Por
2.1. DENSIDADES
45
compacidad y continuidad existe m tal que λ(z) ≥ m, ∀z ∈ D. Ahora, sea
γ : [a , b] → A una curva que une x con y y t0 ∈ [a , b], tal que γ(t0 ) es el
primer punto donde la curva sale del disco abierto D (veáse la Figura 2.1).
En este caso se tiene
Z t0
λ(γ(t)) |γ 0 (t)| dt ≥ m r,
lλ (γ) ≥
a
puesto que cualquier curva que une x con un punto en ∂D tiene una longitud
mayor o igual a r. Por lo tanto ρ(x, y) ≥ mr > 0.
γ(t0 )
y
x
Figura 2.1: Positividad de la métrica definida por una densidad
La siguiente observación es de gran utilidad para obtener espacios isométricos, por ejemplo, al exhibir diferentes modelos del plano hiperbólico. Sean A
y B dos regiones en Rn y f : A → B, una biyección conforme, supóngase
también que la región A está provista de una métrica definida por una densidad λ. Bajo estas hipótesis, se puede proveer a la región B con una densidad
σ, de tal manera que f sea una isometrı́a. Esto se obtiene definiendo
σ(f (x)) =
λ(x)
,
µ(x)
(2.1)
donde µ(x) es el factor de conformalidad de f en x. Esto se sigue, ya que
si γ : [a , b] → A es una curva de clase C 1 , entonces se tiene
Z b
(f γ) 0 (t) σ f (γ(t)) dt
lσ (f (γ)) =
a
46
Z
=
b
µ(γ(t)) |γ 0 (t)|
a
λ (γ(t))
dt = lλ (γ).
µ(γ(t))
Como toda curva de clase en C 1 en B es de esta forma, se sigue la observación, puesto que este análisis se puede generalizar fácilmente a curvas de
clase C 1 por tramos.
Es importante destacar que el argumento funciona también en el sentido
inverso, es decir, si se tienen dos regiones A y B con métricas definidas por
densidades λ y σ respectivamente y una biyección conforme entre ellas que
satisface (2.1), entonces A y B son regiones isométricas.
En particular, si se tiene una región A en Rn provista con una métrica
definida por una densidad λ y una biyección conforme f : A → A, que
satisface la ecuación
λ(x)
,
(2.2)
λ(f (x)) =
µ(x)
entonces, f es una isometrı́a.
Si se tiene definida una densidad λ, en una región A ⊂ Rn , es claro
que la λ-longitud de una curva C en A no está unı́vocamente determinada, ya que al parametrizarla se puede hacer de tal manera que se recorra
algún segmento de la curva, más de una vez. Sin embargo, si la curva C
está parametrizada por una función C 1 por tramos, de modo que la derivada se anule solamente en un número finito de puntos y recorra la curva en
la misma dirección; entonces la λ-longitud de C es única. Para probar esto, obsérvese primero que se tienen dos parametrizaciones γ1 : [a , b] → A,
γ2 : [c , d] → A, de clase C 1 , que recorren el mismo segmento de la curva C,
en la misma dirección y con derivada no nula, entonces se sigue del teorema
de parametrización unitaria, que existe un difeomorfismo ϕ : [a , b] → [c , d],
tal que γ2 ϕ = γ1 . Ahora, bajo estas hipótesis, se tiene por el teorema de
cambio de variable real, que
Z b
0
lλ (γ1 ) = lλ (γ2 ϕ) =
(γ2 ϕ) (t) λ γ2 ϕ(t) dt
a
Z
=
b
ϕ (t) γ2 0 ϕ(t) λ γ2 ϕ(t) dt =
0
a
Z
d
0 γ2 (s) λ γ2 (s) ds = lλ (γ2 ).
c
Usando este argumento se sigue facilmente la afirmación en el caso general.
EJERCICIOS 2.1
1. Demuestre formalmente la existencia del punto t0 descrito al final de la
demostración del Teorema 2.1.1.
2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO
47
2. Demuestre formalmente la validez
descrita al final de la
R t0 de la desigualdad
0
demostración del Teorema 2.1.1: a λ(γ(t)) |γ (t)| dt ≥ m r.
3. Sea f : A → Rn una función diferenciable en una abierto A de Rn y que
(x0 )|
existe y
también es conforme en x0 ∈ A, demuestre que lı́mx→x0 |f (x)−f
|x−x0 |
es precisamente el factor de conformalidad.
2.2.
El modelo del semiplano
La discusión sobre densidades nos permite presentar un primer modelo del
plano hiperbólico, donde P SL(2, R) actúa como un grupo de isometrı́as.
Definición 10 El plano superior H2 provisto con la métrica definida por
la densidad
1
λ(z) =
Im z
se le llama el plano hiperbólico y a esta métrica se le llama la métrica
hiperbólica.
En este modelo, llamado del semiplano, es intuitivamente claro que si se
tiene una curva C en H2 y se traslada en dirección vertical, su longitud
hiperbólica puede crecer tanto como se quiera (si se mueve hacia abajo), o
puede decrecer tanto como se quiera (si se mueve hacia arriba); sin embargo
la longitud euclideana siempre es la misma. Viceversa, existen curvas que
euclideanamente miden cualquier valor que se quiera, pero que hiperbólicamente siempre miden lo mismo, por ejemplo, los segmentos de cı́rculos
concéntricos de la Figura 2.2. Esto se sigue del Teorema 2.2.1, ya que las
homotecias son isometrı́as hiperbólicas, al estar definidas por matrices en
SL(2, R).
Teorema 2.2.1 El grupo P SL(2, R) actúa como un grupo de isometrı́as en
H2 con la métrica hiperbólica.
Demostración. Obsérvese primero que si
T (z) =
az + b
cz + d
está definida por la matriz
a b
∈ SL(2, R),
c d
48
entonces
Im T (z) = Im
= Im
az + b
cz + d
= Im
adz + bcz
|cz + d|2
=
(az + b)(cz + d)
|cz + d|2
Im(z)
.
|cz + d|2
También, como
T 0 (z) =
1
,
(cz + d)2
se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que
µT (z) =
1
.
|cz + d|2
Estos hechos muestran que se cumple la relación (2.2), ya que
1
1
|cz + d|2
1
=
=
,
Im(z)
Im(z) µT (z)
Im T (z)
por lo que se sigue el resultado.
0
Figura 2.2: Curvas de la misma longitud hiperbólica
Algunos ejemplos de isometrı́as hiperbólicas son las traslaciones por reales
y la función z → −1/z, esto se sigue ya que las matrices
1 t
0 −1
,
, t ∈ R,
0 1
1 0
49
pertenecen a SL(2, R). Obsérvese que esto implica que al trasladar cualquier
curva horizontalmente su longitud hiperbólica permanece invariante.
La reflexión en el eje imaginario
ϕ(z) = −z
es también una isometrı́a hiperbólica de H2 (ejercicio). De hecho, probaremos
que el grupo de todas las isometrı́as hiperbólicas del modelo del semiplano
superior está generado por P SL(2, R) y ϕ.
Se establece ahora cómo son las curvas en el modelo del semiplano que
minimizan la distancia. Para ello se considera primero una caso sencillo: se
toman los puntos i, k i, k > 1 y γ : [a , b] → H2 , de clase C 1 , tal que
γ(a) = i y γ(b) = k i. Si lh (γ) denota la longitud hiperbólica de γ y
γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)), se tiene
Z bp 0
(γ1 (t))2 + (γ2 0 (t))2
dt
lh (γ) =
γ2 (t)
a
Z
≥
a
b
p
(γ2 0 (t))2
dt ≥
γ2 (t)
Z
a
b
b
γ2 0 (t)
dt = log(γ2 (t))
γ2 (t)
a
= log γ2 (b) − log γ(a) = log(k) − log(1) = log k.
En particular, la curva γ : [1 , k] → H2 , dada por γ(t) = i t, alcanza esta
cota
Z k
1
dt = log k.
lh (γ) =
1 t
Como este argumento se generaliza fácilmente a curvas de clase C 1 por
tramos, se sigue que
ρ(i, k i) = log k,
donde ρ denota la distancia hiperbólica. Se tiene también que este segmento
del eje imaginario es la única curva que minimiza la distancia, ya que para
cualquier otra curva con componente real y parametrizada por una función
β, se tiene lh (β) > log k (ejercicio).
Si 0 < k < 1, se aplican los mismos argumentos, considerando ahora que
las curvas inicien en k i y terminen en i, y que el dominio de la curva de
longitud mı́nima sea el intervalo [k , 1], obteniéndose como distancia − log k.
50
Alternativamente, como la transformación z → −1/z está en P SL(2, R) y
fija i, se sigue del caso anterior que
ρ(k i , i) = ρ(i/k , i) = log (1/k) = − log k.
Estos resultados implican también, que si t > m > 0, entonces
ρ(t i , m i) = log t − log m
(ejercicio).
De manera análoga se puede definir un modelo del espacio hiperbólico
n-dimensional, usando el semiespacio superior en Rn
Hn = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | xn > 0} ,
con la densidad
1
,
xn
donde x = (x1 , x2 , ..., xn ). Resulta que una prueba, casi idéntica a la del
caso del semiplano superior, muestra que en este caso la longitud hiperbólica
entre puntos alineados verticalmente, es decir, con el eje definido por el vector
en = (0, ..., 0, 1) está también dada por el logaritmo.
Volviendo al contexto bidimensional, se necesita otro resultado para analizar cuáles son las curvas que minimizan la distancia hiperbólica entre dos
puntos en H2 , que no estén alineados verticalmente.
λ(x) =
Proposición 2.2.2 El grupo P SL(2, R) actúa transitivamente en la familia
de “cı́rculos” ortogonales al eje real.
Demostración. Obsérvese primero que por conformalidad cualquier transformación en P SL(2, R) preserva esta familia. Ahora, para probar el teorema, basta mostrar que dado cualquier “cı́rculo” ortogonal al eje real C existe
una función en P SL(2, R) que transforma este cı́rculo en el eje imaginario.
Si C es una recta paralela al eje imaginario, una traslación la mueve al eje
imaginario. Por otra parte, si C es un cı́rculo que intersecta ortogonalmente
al eje real, éste se puede transformar mediante una traslación y una homotecia
en el cı́rculo unitario, por lo que basta probar que existe un elemento en
P SL(2, R) que transforme el cı́rculo unitario en el eje imaginario. Una opción
es mandar 1 en 0 y −1 en ∞, lo cual sugiere tomar
z 7−→
z−1
,
z+1
51
que es en efecto una transformación en P SL(2, R) que transforma el cı́rculo
unitario en el eje imaginario.
Nótese, que la transformación
z 7−→
z+1
∈
/ P SL(2, R),
z−1
por lo que es importante checar a nivel matricial las entradas, para detectar
si una transformación pertenece, o no, a P SL(2, R). Obsérvese también que
la Proposición 2.2.2 implica que P SL(2, R) es transitivo en puntos de H2
b ya que cualquier punto puede
(evidentemente lo es para los puntos de R),
trasladarse al eje imaginario, y posteriormente aplicando una homotecia mandarlo al punto i.
Se puede ahora caracterizar todas las curvas que minimizan distancias,
que en este contexto se les llama también geodésicas. Sean z, w ∈ H2 y C el
“cı́rculo” ortogonal a la recta real que pasa por z y w; se tiene entonces que
ρ(z, w) está dada por la longitud hiperbólica del segmento de C que une z
con w (véase la Figura 2.3). Esto se sigue, ya que en virtud de la Proposición 2.2.2, se puede encontrar una función en P SL(2, R) que transforme
C en el eje imaginario, y estas transformaciones, además de ser isometrı́as,
tienen la propiedad de preservar curvas que minimizan la distancia (la última
afirmación se sigue de la prueba del Teorema 2.2.1).
Este argumento demuestra además que el segmento de C, que denotaremos por [z, w], es la única curva que minimiza la distancia; esto se sigue,
ya que si hubiera otra curva de z a w, con dicha propiedad, existirı́a otra
geodésica, distinta de un segmento vertical, uniendo a dos puntos en el eje
imaginario. Se concluye entonces que los “semicı́rculos” en H2 , ortogonales
a la recta real, contienen todas las geodésicas hiperbólicas. Estos últimos
razonamientos demuestran también el siguiente importante resultado.
Teorema 2.2.3 Sean z, w, v tres puntos distintos en H2 , entonces
ρ(z, v) = ρ(z, w) + ρ(w, v)
⇐⇒
w ∈ [z, v].
Obsérvese que el teorema anterior implica que cualquier isometrı́a hiperbólica de H2 necesariamente manda geodésicas en geodésicas. Para obtener una
fórmula general de la distancia hiperbólica, entre dos puntos cualesquiera, se
prueba primero el siguiente resultado de invariabilidad de cierta expresión,
bajo la acción de elementos en P SL(2, R).
52
ki
i
ki
z
i
w
z
w
Figura 2.3: Geodésicas en H2
Lema 2.2.4 La expresión
|z − w|2
2 Im z Im w
es invariante bajo la acción de transformaciones en P SL(2, R).
Demostración. Sea T ∈ P SL(2, R) dada por
T (z) =
az + b
,
cz + d
ad − bc = 1,
se tiene entonces que
=
=
|T (z) − T (w)|2
2 Im T (z) Im T (w)
az + b aw + b 2
2
2
cz + d − cw + d |cz + d| |cw + d|
2 Im z Im w
|(az + b)(cw + d) − (aw + b)(cz + d)|2
|z − w|2
=
.
2 Im z Im w
2 Im z Im w
El lema anterior se puede generalizar a cualquier dimensión, sustituyendo la parte imaginaria por la enésima coordenada de un punto en Hn y
reemplazando P SL(2, R) por el grupo de isometrı́as (cf. [2] p. 34). Se puede
ahora exhibir una fórmula general de la distancia hiperbólica en el modelo
del semiplano; ésta mostrará ser de gran utilidad, debido a sus múltiples
aplicaciones.
53
Teorema 2.2.5 Sean z y w dos puntos en H2 , entonces
cosh ρ(z, w) = 1 +
|z − w|2
.
2 Im z Im w
Demostración. Si z = i y w = ki, k > 1, entonces
cosh ρ(i, k i) = cosh (log k) =
=
k + 1/k
2
k + 1/k − 2
(k − 1)2
+1 =
+1
2
2k
=
|i − k i|2
+ 1.
2 Im i Im(k i)
El caso general se sigue del lema anterior y de los Teoremas 2.2.2 y 2.2.1,
ya que se puede encontrar una transformación en P SL(2, R) que mande z y
w en i y k i, k > 1. Esto último se logra enviando la geodésica por z y w
al eje imaginario, y posteriormente –si es necesario– aplicando una homotecia
y la función z → −1/z.
Se puede probar que la fórmula del teorema anterior es también válida
en todas las dimensiones (véase [2] p. 35 y el final de este capı́tulo).
z0
Figura 2.4: Cı́rculo hiperbólico con centro en z0
Una primera aplicación de esta fórmula muestra que los cı́rculos hiperbólicos son cı́rculos euclideanos, donde el centro euclideano se obtiene incrementando la parte imaginaria del centro hiperbólico (véase la Figura 2.4).
54
Teorema 2.2.6 El conjunto de los puntos z = x + iy en H2 , que equidistan hiperbólicamente una distancia r de un punto z0 = x0 + i y0 , están
determinados por la siguiente ecuación
(x − x0 )2 + (y − y0 cosh r)2 = y02 senh2 r,
es decir, constituyen un cı́rculo euclideano.
Demostración. Sea C = {z ∈ H2 | ρ(z, z0 ) = r}, entonces
cosh ρ(z, z0 ) = cosh r = 1 +
|z − z0 |2
,
2 Im z Im z0
y se tiene
coshr =
(x − x0 )2 + y 2 + y02
.
2 y y0
Despejando y completando cuadrados se tiene
2 y y0 cosh r = (x − x0 )2 + y 2 + y02 (cosh2 r − senh2 r)
y
(x − x0 )2 + (y − y0 cosh r)2 = y02 senh2 r.
Se ha probado entonces que el cı́rculo hiperbólico con centro z0 = x0 +iy0
y radio hiperbólico r es el cı́rculo euclideano con centro en x0 + iy0 cosh r y
radio y0 senh r (véase la Figura 2.4). De nuevo, esta fórmula de los cı́rculos
hiperbólicos se generaliza a esferas hiperbólicas de cualquier dimensión (cf.
[2] p. 35). Mostramos ahora otra manera de probar que los cı́rculos hiperbólicos son cı́rculos euclideanos. Sean z0 ∈ H2 y r ∈ R+ , trazando cualquier
geodésica en H2 por el punto z0 , se encuentra otro punto z ∈ H2 , tal que
ρ(z, z0 ) = r. Ahora, si C denota el cı́rculo de Apolonio con respecto a z0 y
b es también un “cı́rculo” de Apolonio con respecz 0 que pasa por z, como R
to a estos puntos lı́mite, se tiene que cualquier transformación elı́ptica, que
fije z0 y z 0 , está en P SL(2, R) y preserva C. En consecuencia, C consiste
de puntos que equidistan hiperbólicamente una distancia r de z0 , esto se
sigue ya que las transformaciones en P SL(2, R) son isometrı́as. Finalmente,
si ρ(z0 , w) = r, al trazar la geodésica que une z0 con w, ésta intersecta C
en 2 puntos y es claro que uno de ellos es w (véase la Figura 2.5).
55
w
C
z0
z
z0
Figura 2.5: Los cı́rculos hiperbólicos son de Apolonio
Una consecuencia importante de esta caracterización de los cı́rculos hiperbólicos es que las métricas hiperbólica y euclideana definen la misma topologı́a
en el semiplano superior H2 , es decir, los conjuntos abiertos en ambas métricas coinciden. Esto se sigue del hecho de que dado un punto z0 ∈ H2 , los
cı́rculos de Apolonio en H2 con puntos lı́mite z0 y z 0 cubren H2 − {z0 }.
En este contexto pueden interpretarse las transformaciones de Möbius en
P SL(2, R) de manera hiperbólica, primero introducimos dos definiciones,
véase además las Figuras 2.6 y 1.13.
b es un cı́rculo en
Definición 11 Un horociclo basado en un punto α ∈ R
2
H , tangente en α a la recta real, si α es finito, y es cualquier recta en H2
paralela a la recta real (y distinta de ésta), si α = ∞.
b es la intersecDefinición 12 Un hiperciclo por α, β puntos distintos en R
2
ción de cualquier “cı́rculo” por α y β con H .
Se tiene entonces que las elı́pticas son rotaciones hiperbólicas en los cı́rculos de Apolonio contenidos en H2 . Las transformaciones parabólicas son un
caso lı́mite de las elı́pticas cuando los puntos fijos z0 y z 0 se juntan en la
recta real para coincidir en un solo punto, digamos α; se dice que son una
rotación lı́mite, esto es, son rotaciones en los horociclos (véase la Figura 2.6).
b entonces T
Por otra parte, si T es hiperbólica con puntos fijos α, β ∈ R,
preserva los hiperciclos por α y β. Más aún, al iterar T los puntos viajan en
estos hiperciclos hacia el atractor, por lo que T es una traslación hiperbólica
(véase la Figura 1.13). En particular, la geodésica por α y β, llamada el eje,
56
es uno de estos hiperciclos. Resulta que en los casos hiperbólico y parabólico
los puntos fijos no pertenecen al plano hiperbólico, sin embargo juegan un
papel fundamental en la acción geométrica de estas funciones, por lo que es
muy importante considerar la recta real extendida, a la cual se le llama la
recta al infinito.
Otra aplicación fundamental del Teorema 2.2.5 la establece el siguiente resultado, el cual implica que el grupo completo de isometrı́as de H2 está dado
por
hz 7−→ −z, P SL(2, R)i,
posteriormente mostraremos que este grupo es también el generado por las
reflexiones en los “cı́rculos” ortogonales a la recta real.
z0
α
z0
Figura 2.6: Las transformaciones parabólicas en P SL(2, R) son rotaciones
hiperbólicas por horociclos en H2
Teorema 2.2.7 Cualquier isometrı́a del plano hiperbólico H2 es un elemento de P SL(2, R), o es de la forma
z −→
donde a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1.
a(−z) + b
,
c(−z) + d
57
Demostración. Sea ϕ una isometrı́a de H2 con la métrica hiperbólica.
Usando los Teoremas 2.2.1, 2.2.3 y la Proposición 2.2.2 (y si es necesario
aplicando una homotecia y la función z → −1/z), se puede suponer, sin
perder generalidad, que existe T ∈ P SL(2, R), tal que la función T ϕ fija
puntualmente el eje imaginario positivo.
Ahora, sea z ∈ H2 , z = x + iy y T ϕ(z) = a + ib, se sigue entonces del
Teorema 2.2.5 que ∀ t ∈ R, t > 0, se tiene
|it − z|2
|it − T ϕ (z)|2
=
,
2 Im (it) Im z
2 Im (it) Im T ϕ(z)
por lo cual
a2 + (b − t)2
x2 + (y − t)2
=
b
y
y
y a2 + (b − t)2 = b x2 + (y − t)2 .
Haciendo t tender a ∞, en esta última ecuación, se obtiene
b=y
y a = ± x.
Finalmente, como las isometrı́as son evidentemente continuas, se tiene
que los puntos en el primer cuadrante, donde T ϕ es la función z → −z
(o la identidad), es un conjunto abierto y cerrado (este argumento se aplica
también al segundo cuadrante). Se sigue entonces por conexidad, y del hecho
de que cualquier isometrı́a es inyectiva, que
T ϕ = Id o T ϕ (z) = −z.
Una caracterización del grupo completo de isometrı́as en el espacio hiperbólico n-dimensional aparece en [20], pp. 129 y 130. Una versión más geométrica,
que sin embargo asume diferenciabilidad, se puede consultar en [14] p. 61.
Estas generalizaciones muestran que –como en el caso bidimensional– este
grupo está generado por las reflexiones en “esferas” ortogonales a Rn−1 . El
siguiente resultado muestra que la distancia de un punto a una geodésica se
alcanza trazando otra geodésica ortogonal.
Lema 2.2.8 Sea λ una geodésica en H2 y z ∈ H2 − λ, entonces ρ(z, λ)
se alcanza en z0 ∈ λ, donde el segmento [z, z0 ] corta ortogonalmente a λ.
58
λ
i |z|
z
Figura 2.7: Distancia de un punto a una geodésica
Demostración. Sin perder generalidad, se puede suponer que λ es el eje
imaginario, se afirma que ρ(z, λ) = ρ(z, i|z|) (véase la Figura 2.7). Usando
la fórmula de la distancia hiperbólica, si z = x + iy, se tiene
x2 + y 2 + t2
|z − it|2
=
2(Im z)t
2yt
|z|2 + t2
|z| |z|
t
|z|
=
=
+
≥
2yt
2y t
|z|
y
(puesto que ∀ x ∈ R+ , x + 1/x ≥ 2). La igualdad se obtiene si t = |z|.
coshρ(z, it) = 1 +
Se deduce de la fórmula de la distancia hiperbólica una interesante propiedad que cumplen todos los triángulos hiperbólicos en el semiplano superior –o
en el disco de Poincaré– que tienen un ángulo recto y dos puntos finitos. Esta
propiedad establece que la longitud hiperbólica del lado finito está determinada por el ángulo de magnitud distinta de 0 y de π/2. Explı́citamente,
como P SL(2, R) es transitivo en geodésicas, se puede tomar el triángulo
determinado por ∞, i|z| y z; si el ángulo en z es α, se tiene
sen α cosh ρ(z, i|z|) = 1
(veáse la Figura 2.8). A esta propiedad se le conoce como ángulo de paralelismo, queda como ejercicio para el lector probar dicha identidad.
EJERCICIOS 2.2
1. Demuestre formalmente que si se tiene una curva C 1 por tramos que une
i con k i, k > 1, y que no está contenida en el segmento vertical [i , k i],
entonces su longitud hiperbólica es estrictamente mayor que log k.
2.3. EL MODELO DEL DISCO DE POINCARÉ
59
2. Pruebe que z → −z es una isometrı́a hiperbólica de H2 .
3. Demuestre que si t > m > 0, entonces ρ(t i , m i) = log t − log m.
4. Demuestre formalmente el Teorema 2.2.3.
5. Demuestre que dado un triángulo hiperbólico en H2 con un vértice en
la recta al infinito, un ángulo recto y otro ángulo positivo α, se tiene que
sen α cosh b = 1, donde b denota la longitud hiperbólica del lado finito.
6. Demuestre que existen parametrizaciones de curvas que minimizan la distancia hiperbólica entre dos puntos, pero que sin embargo sus derivadas se
anulan en un número finito de puntos.
7. Pruebe de manera geométrica el Lema 2.2.8.
b
b
α
i |z|
b
z
b
α
b
b
α
Figura 2.8: Paralelismo
2.3.
El modelo del disco de Poincaré
La relación (2.1) descrita en la sección de densidades permite exhibir, sin gran
dificultad, el disco unitario ∆ como un segundo modelo del plano hiperbólico.
Recordamos del primer capı́tulo que la función de Cayley
z−i
f (z) =
z+i
2
es una biyección conforme de H en el disco unitario ∆.
Para encontrar la métrica hiperbólica en ∆, primero hay que calcular la
función inversa de f y su factor de conformalidad. Se tiene que
iw + i
−1
f (w) =
,
−w + 1
60
y
f 0 (z) =
(z + i) − (z − i)
2i
=
.
(z + i)2
(z + i)2
Ahora, se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que el factor de conformalidad, denotado en (2.1) por µ(z) está dado por |f 0 (z)|, por lo cual
µ(z) =
2
.
|z + i|2
También
"
#
hw + 1i
−1
(w + 1)(1 − w)
1 − |w|2
= Re
=
.
Im f (w) = Re
1−w
|1 − w|2
|1 − w|2
Finalmente, juntando esta información se tiene
2
−1
−1
λ f (w)
f
(w)
+
i
=
σ(w) = −1
−1
2 Im f (w)
µ f (w)
2
iw + i
|1 − w| + i 2
1−w
=
=
.
2
2(1 − |w| )
1 − |w|2
2
Estos cálculos establecen una densidad en ∆ que define la métrica hiperbólica en este segundo modelo (descubierto por Beltrami).
Definición 13 El disco unitario ∆ = {z ∈ C |z| < 1} provisto con la
métrica definida por la densidad
σ(w) =
2
,
1 − |w|2
se le conoce como el disco de Poincaré y a la métrica inducida se le llama
hiperbólica.
A ambos modelos, el disco de Poincaré y el semiplano H2 , se les conoce
como el plano hiperbólico. Se sigue de las observaciones y definiciones anteriores que la funcion f es una isometrı́a hiperbólica entre estos dos “discos”
de la esfera de Riemann.
61
Es evidente de la definición de esta densidad que al trasladar euclideanamente una curva en el disco unitario hacia su frontera, es decir, al cı́rculo
unitario, su longitud hiperbólica crece tanto como se quiera. Sin embargo,
al trasladar hiperbólicamente una curva hacia el cı́rculo unitario, la longitud euclideana decrece a cero. Este último hecho se manifiesta con gran claridad y belleza en algunas de las famosas ilustraciones de Escher, como la
que reproducimos en la Figura 2.9. Una manera rigurosa de constatar estas
ideas es observando la acción de la transformación hiperbólica conjugada a
la homotecia z → k z, k > 1, bajo la función f . Si denotamos a esta función como g se tiene que su eje es el intervalo [−1, 1], ya que f (∞) = 1 y
f (0) = −1. También, es claro que si consideramos la imagen iterada bajo g
de un segmento vertical
[−t i, t i],
su longitud euclideana tiende a cero, mientras que la longitud hiperbólica se
mantiene constante. Esto se sigue, ya que g es composición de isometrı́as
Figura 2.9: M.C Escher: Cı́rculo lı́mite IV
Este modelo del disco es ciertamente más homogéneo que el del semiplano,
al ser todos los puntos en la recta al infinito ∂∆ similares, a diferencia
62
de H2 en el que ∞ es un punto distinguido. Sin embargo, al estudiar las
transformaciones parabólicas e hiperbólicas, como éstas son conjugadas a las
traslaciones y las homotecias –que se expresan de manera muy simple con
números reales–, el modelo del semiplano es el más adecuado. En contraste,
el ámbito donde se entiende mejor a las transformaciones elı́pticas es en el
disco unitario, ya que las rotaciones se expresan en términos de complejos
unitarios.
ti
−ti
Figura 2.10: Homotecias en el disco de Poincaré
Casi todas las propiedades que se probaron para el semiplano son también
válidas en el disco de Poincaré, ya que la función f es una isometrı́a de
Möbius y es por lo tanto conforme y preserva la familia de todos los “cı́rculos”.
En primera instancia, f transforma los “cı́rculos” ortogonales a la recta
real en los “cı́rculos” ortogonales al cı́rculo unitario; también se sigue de la
prueba de la relación (2.1) que esta función no solamente es una isometrı́a,
sino que también preserva la longitud de las curvas de clase C 1 por tramos,
en particular las que minimizan la distancia. Por lo tanto, los segmentos en
∆ de los “cı́rculos” ortogonales al cı́rculo unitario minimizan las distancias
hiperbólicas. Se sigue también de la discusión en la sección anterior, referente
a que la única curva que minimiza la distancia entre i y k i es el correspondiente segmento vertical en el eje imaginario, que esta propiedad de unicidad
también la cumplen los segmentos de los “cı́rculos” ortogonales al cı́rculo
unitario. En consecuencia, las geodésicas en este modelo son los semicı́rculos
ortogonales al cı́rculo unitario, ası́ como los diámetros (véase la Figura 2.11).
Estos argumentos muestran que el Teorema 2.2.3 también se cumple en este
modelo.
63
Figura 2.11: Geodésicas en el disco de Poincaré
Otra consecuencia fundamental es que los grupos P SL(2, R) y M (∆)
son conjugados bajo la transformación f , y por consiguiente el grupo M (∆)
actúa como un grupo de isometrı́as en el disco de Poincaré, en particular, en
este modelo las rotaciones son isometrı́as hiperbólicas . Por otra parte, las
propiedades descritas de la función f , junto con el Teorema 2.2.6 implican
también que los cı́rculos hiperbólicos en el disco de Poincaré son cı́rculos
euclideanos; más aún, los discos hiperbólicos con centro en el origen son
cı́rculos euclideanos con centro en el origen (ejercicio). Además, como la
función f es una isometrı́a conforme que manda geodésicas en geodésicas,
se sigue que el Teorema 2.2.8 y la propiedad del paralelismo se cumplen
también en este modelo (véase la Figura 2.8). El siguiente resultado es el
dual del Teorema 2.2.7 para el disco unitario.
Teorema 2.3.1 Cualquier isometrı́a hiperbólica del disco de Poincaré es un
elemento de M (∆), o es de la forma
z −→
az + c
,
cz + a
donde |a|2 − |c|2 = 1.
Este resultado es consecuencia directa del Teorema 2.2.7 y del hecho de
que las transformaciones z → z y z → −z son conjugadas bajo la función
f . Dejamos la verificación de los detalles como ejercicio para el lector. En la
64
siguiente sección se probará una fórmula general para la distancia entre dos
puntos cualesquiera en ∆. A continuación probamos un caso particular.
Lema 2.3.2 La distancia hiperbólica del origen a un punto z en el disco de
Poincaré está dada por
1 + |z|
log
.
(2.3)
1 − |z|
Demostración. Se sigue de las observaciones anteriores que basta calcular
la longitud hiperbólica del segmento de geodésica [ 0, |z| ], el cual se puede
parametrizar por γ : [0, |z| ] → ∆, γ(t) = t. Por lo cual
Z |z|
Z |z|
Z |z|
2
1
1
lh (γ) =
dt =
dt +
dt,
2
1−t
1+t
1−t
0
0
0
lo cual implica el resultado.
EJERCICIOS
1. Demuestre que los cı́rculos hiperbólicos con centro en el origen son cı́rculos
euclideanos con centro en el origen.
2. Pruebe que el grupo M (∆) actúa transitivamente en geodésicas de ∆ y
en puntos de ∆.
3. Demuestre directamente, sin hacer uso del semiplano superior, que la función z → z es una isometrı́a hiperbólica del disco de Poincaré.
4. Demuestre que las funciones en P SL(2, C) que preservan tanto el origen
como el cı́rculo unitario son rotaciones.
5. Verifique los detalles de la prueba del Teorema 2.3.1.
2.4.
El grupo completo de isometrı́as
A fin de conocer con más detalle el grupo de todas las isometrı́as del plano
hiperbólico, ya sea el modelo del semiplano o el del disco, es conveniente
b Para esto definimos
introducir el grupo general de Möbius actuando en C.
primero las reflexiones en cı́rculos y rectas. Denotaremos por u∗ a u/|u|2 ,
donde u ∈ C, y por C(a, r) al cı́rculo con centro en a y radio r, es decir,
{z ∈ C |z − a| = r}.
2.4. EL GRUPO COMPLETO DE ISOMETRÍAS
65
Definición 14 Se define la reflexión (o inversión) en C(a, r), como
( a + r2 (z − a)∗ ,
si z ∈ C, z 6= a,
si z = a,
ϕ (z) = ∞,
a,
si z = ∞.
Exactamente la misma definición se aplica para esferas
S(a, r) = {x ∈ Rn |x − a| = r}
b n = Rn ∪ {∞}.
en R
La proyección estereográfica se puede definir en cualquier dimensión, una
demostración muy similar a la que se hizo al principio del libro muestra que
esta función es una biyección entre Rn ∪{∞} y la esfera unitaria centrada en
el origen en Rn+1 . Para medir continuidad de las funciones en Rn ∪ {∞} se
usa la métrica cordal, la cual se deriva de manera análoga al caso complejo,
más aún, la fórmula que se obtiene es exactamente la misma que la de la
Definición 2 en el capı́tulo 1 (cf. [2] pp. 20-22).
Geométricamente es evidente que ϕ es una involución y que
ϕ (z) = z
⇐⇒
z ∈ C(a, r).
Una prueba analı́tica de estos hechos, en cualquier dimensión, es además
muy simple (ejercicio). Esta función ϕ es también continua en la esfera de
Riemann con la métrica cordal, dejamos la verificación de este hecho como
b n.
ejercicio para el lector; obsérvese que esta prueba también se aplica en R
Un cálculo sencillo –que se aplica también a esferas en Rn – muestra que si
T es la traslación z → z − a, S la homotecia z → z/r y ψ la reflexión en
el cı́rculo unitario ∂∆, entonces
ϕ=T
−1
S
−1
ψ S T.
(2.4)
Para definir las reflexiones en rectas conviene identificar al plano complejo
b 2 , de esta manera se puede usar el producto escalar usual en
extendido con R
2
b 2 están determinados
R . Con este producto, los puntos de una recta en R
por la siguiente expresión
R(a, t) = z ∈ R2 z · a = t, a ∈ R2 − {0}, t ∈ R ∪ {∞}.
b n de codimensión uno
La misma ecuación define un plano en R
P (a, t) = x ∈ Rn x · a = t, a ∈ Rn − {0}, t ∈ R ∪ {∞}.
66
Resulta conveniente, para simplificar los cálculos, tomar al vector normal
a de longitud 1 . Con esta convención el punto t a ∈ R(a, t) y se sigue del
teorema de Pitágoras que el número t es la distancia de la recta –o del plano–
al origen, ya que si y, z ∈ R(a, t), entonces el vector y − z es ortogonal al
vector a.
Obsérvese que dado un punto z ∈ R2 , si ϕ es la reflexión en la recta
R(a, t), entonces, si ϕ(z) = z + ma, m ∈ R, se tiene que
z + ma + z
∈ R(a, t)
2
(véase la Figura 2.12), por lo cual z · a + m/2 = t.
Definición 15 Se define la reflexión (o inversión) en R(a, t) como la funb2 → R
b 2 , dada por
ción ϕ : R
(
z − 2(z · a − t) a,
si z ∈ R2 ,
ϕ (z) =
∞,
si z = ∞,
donde |a| = 1.
ϕ(z)
a
z
θ
0
Figura 2.12: Reflexión en una recta por el origen
b n.
Esta misma definición se aplica a reflexiones en planos P (a, t) en R
Análogamente al caso de los cı́rculos, ϕ es una involución y
ϕ (z) = z
⇐⇒
z ∈ R(a, t).
Nótese que la función T (z) = z − ta traslada la recta R(a, t) a la recta
por el origen R(a, 0), más aún, si ψ denota la reflexión en esta nueva recta,
67
−1
entonces un cálculo sencillo muestra que ϕ = T ψ T . Estas últimas afirmab n (ejercicio). Además,
ciones se cumplen también para planos P (a, t) en R
si ϕ es la reflexión en el plano P (a, 0), entonces ϕ es lineal y preserva normas, por ende, es ortogonal; esto se sigue de un cálculo elemental que queda
como ejercicio para el lector. El siguiente resultado relaciona las distintas
reflexiones sobre rectas por el origen.
Proposición 2.4.1 Sean ψ(z) = z, S(z) = eiθ z y ϕ la reflexión en la
recta L que pasa por el origen y por eiθ , donde 0 < θ ≤ π, entonces
ϕ = SψS
−1
.
Demostración. Un vector normal unitario a L está dado por a = ieiθ .
Escribiendo a = a1 + ia2 y z = x + iy, se tiene que Re (z a) = a1 x + a2 y,
por lo cual
ϕ(z) = z − 2Re (z a) a = z − (z a + a z) a = −a2 z.
Finalmente,
ϕ S(z) = ϕ(ei θ z) = ei 2 θ e−i θ z = ei θ z = S( z) = S ψ(z).
La proposición anterior muestra de nuevo que las reflexiones en rectas
por el origen son funciones lineales ortogonales, y por lo tanto las reflexiones
en rectas son conformes. Más aún, la prueba de dicha proposición exhibe la
matriz que determina la reflexión como función lineal de R2 en R2
cos2 θ −sen2 θ
1 0
cos2 θ sen2 θ
=
.
(2.5)
sen2 θ cos2 θ
0 −1
sen2 θ −cos2 θ
En Rn , las reflexiones en planos de codimensión uno son también conformes,
al ser conjugadas por traslaciones a funciones lineales ortogonales.
Como las funciones en P SL(2, C) y la función z → z son continuas
en la esfera de Riemann con la métrica cordal, se sigue de la Proposición
2.4.1 que la reflexión en cualquier recta es también continua en todos los
puntos incluyendo ∞. En general, las traslaciones y las transformaciones
b n con la métrica cordal, ya que, como en
ortogonales son continuas en R
el caso complejo, si se tiene una sucesión de puntos finitos en la esfera de
Riemann xn , n ∈ N, entonces
dC (xn , ∞) 7−→ 0
⇐⇒
xn 7−→ ∞.
68
De esta última observación se deriva también que las reflexiones en planos
b n . Con esta terminologı́a se puede definir el grupo general
son continuas en R
de Möbius.
b 2 , denotado por
Definición 16 El grupo general de Möbius actuando en R
2
b ), consiste en todas las funciones que son una composición finita de
GM (R
reflexiones en “cı́rculos”.
W2
W1
L1
L2
Figura 2.13: Una transformación hiperbólica es la composición de dos
reflexiones en “cı́rculos” ajenos
Se sigue fácilmente de las observaciones anteriores que estas funciones
son auto-homeomorfismos de la esfera de Riemann y que forman un grupo.
b 2 ) al subgrupo formado por las funciones que son comSe denota por M (R
posiciones de un número par de reflexiones. Este subgrupo, que resulta ser
P SL(2, C) (Teorema 2.4.4) consiste en aquellas transformaciones que preserb 2 ) preserva la orientación,
van la orientación. Se dice que una función en GM (R
si el determinante de su matriz jacobiana en cualquier punto finito (con valor
finito) es positivo (la consistencia de esta definición se puede verificar, por
ejemplo, en [2] pp. 25 y 26).
La relación (2.4) implica que la reflexión en el cı́rculo C(a, r) es conforme
en C − {a}. Esto se sigue, ya que la matriz jacobiana de la inversión en el
cı́rculo unitario, en un punto (x, y) ∈ R2 , distinto del origen, está dada por
 2

y − x2
−2xy
 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 



,


2
2
 −2xy
x −y 
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
la cual es una matriz escalar, multiplicada por una matriz de la forma (2.5).
L1
L2
69
W2
W1
b/2
b
Figura 2.14: Una transformación parabólica es la composición de dos reflexiones en “cı́rculos” tangentes
Lema 2.4.2 La homotecia z → kz es la composición de una
√ reflexión en el
cı́rculo unitario, seguida de la reflexión en el cı́rculo C(0, k).
Demostración. Sean ϕ, ψ estas reflexiones, respectivamente, entonces
ψ ϕ(z) = ψ(z ∗ ) = k(z ∗ )∗ = kz
Lema 2.4.3 La traslación z → z + b es la composición de la reflexión en la
recta R(b/|b|, 0), seguida de la reflexión en la recta R( b/|b|, |b|/2 ).
Demostración. Sean ϕ, ψ estas reflexiones, respectivamente y a = b/|b|,
entonces
ψ ϕ(z) = ψ z − 2(a · z)a
"
#
h
i
|b|
= z − 2(a · z)a − 2 z − 2(a · z)a · a −
a=z+b
2
De manera análoga al caso bidimensional, se define el grupo general de
b n , denotado por GM (R
b n ). Obsérvese también que
Möbius actuando en R
los dos últimos lemas y sus pruebas se aplican de manera idéntica en Rn .
Podemos ahora identificar a las transformaciones de Möbius complejas con
b 2 ).
M (R
70
Teorema 2.4.4
b 2 ).
P SL(2, C) = M (R
Demostración. Probamos primero que aquellas transformaciones del grupo
general de Möbius que preservan la orientación, están en P SL(2, C). Para
demostrar este hecho, mostramos en primera instancia que las reflexiones en
“cı́rculos” son de la forma
az + b
z 7−→
,
(2.6)
cz + d
donde ad − bc 6= 0.
La reflexión en el cı́rculo C(a, r) está definida por
z 7−→ a + r2
(z − a)
1
= a + r2
2
|z − a|
z−a
a (z − a) + r2
az + r2 − |a|2
=
,
z−a
z−a
que es de la forma (2.6), ya que r 6= 0.
Por otra parte, se probó que la reflexión en la recta R(a, t) es la composi−1
ción T ψ T , donde T (z) = z − ta y ψ es la reflexión en la recta R(a, 0).
También, se mostró –en la prueba de la Proposición 2.4.1– que la función ψ
está determinada por z → −a2 z, y por consiguiente la reflexión en la recta
R(a, t) está dada por
=
z 7−→ T
−1
(ψ(z − ta)) = T
−1
(−a2 (z − t a)) = −a2 z + 2 t a,
que es de la forma (2.6).
Ahora, la composición de dos transformaciones de esta forma es una función en P SL(2, C). Esto se sigue, ya que dadas dos de estas funciones
ϕ(z) =
az + b
cz + d
y ψ(z) =
αz + β
,
γz + δ
calculando (como en el caso de P SL(2, C) ), se tiene que ψ ϕ coincide con
la transformación definida en P SL(2, C) por el producto de matrices
α β
a b
γ δ
c d
(se prueba la igualdad primero con el álgebra y posteriormente se concluye
la válidez en todos los puntos de la esfera de Riemann por continuidad). Por
b 2 ) ⊂ P SL(2, C).
consiguiente, M (R
71
Para probar que las transformaciones de Möbius complejas son funciones
b 2 ), basta verificar que esto se cumple para las homotecias,
en el grupo M (R
las traslaciones, las rotaciones y la función z → 1/z. Los primeros dos casos
se siguen de los Lemas 2.4.2 y 2.4.3; también la función z → 1/z es una
inversión en el cı́rculo unitario, seguida de la conjugación (o viceversa), ya
que
z
1
= 2.
z
|z|
Finalmente, se sigue de la prueba de la Proposición 2.4.1 que la reflexión en
la recta que pasa por el origen y por e i θ/2 está dada por z → e i θ z; por lo
cual la rotación z → e i θ z se puede expresar como la conjugación, seguida
de dicha reflexión (véase la Figura 2.15).
L1
W1
L2
W2
Figura 2.15: Una transformación elı́ptica es la composición de dos reflexiones
en cı́rculos que se intersectan en dos puntos
El teorema anterior tiene varias consecuencias importantes. Primero introducimos el concepto de puntos inversos, que es inherente a las reflexiones.
Definición 17 Sea W un “cı́rculo”, se dice que z, w son puntos inversos
con respecto a W, si σ(z) = w, donde σ es la reflexión en W.
Corolario 2.4.5 Sea ϕ una transformación en el grupo general de Möbius,
tal que fija puntualmente un “cı́rculo” W, entonces ϕ es la reflexión en W,
o es la identidad.
Demostración. Si ϕ ∈ P SL(2, C), entonces se sigue del Teorema 1.2.5
que ϕ = Id. De otra manera, σ ϕ ∈ P SL(2, C), donde σ es la reflexión en
W, por lo cual σ ϕ = Id y ϕ = σ.
72
Corolario 2.4.6 Sean σ1 , σ2 las reflexiones en los “cı́rculos” W1 y W2 ,
respectivamente, entonces σ1 y σ2 son conjugadas en el grupo general de
b 2 ), en particular, la transformación conjugante se puede tomar
Möbius GM (R
en P SL(2, C).
Demostración. Sea T ∈ P SL(2, C), tal que T (W1 ) = W2 , entonces como
−1
T σ2 T fija puntualmente W1 , se sigue del corolario anterior que
T
−1
σ2 T = σ1 .
b 2 ) y W1 , W2 , “cı́rculos.en la esfera de RieCorolario 2.4.7 Sea ϕ ∈ GM (R
mann, tales que ϕ(W1 ) = W2 , entonces ϕ manda puntos inversos con respecto a W1 en puntos inversos con respecto a W2 .
Demostración. Se sigue de los resultados anteriores que si σ1 y σ2 denotan
las reflexiones en los “cı́rculos” W1 , W2 , respectivamente, entonces
ϕ −1 σ2 ϕ = σ1 ,
por lo cual
σ2 ϕ = ϕ σ1 .
Ahora, si z, w son puntos inversos con respecto a W1 , se tiene
σ2 ϕ(z) = ϕ σ1 (z),
y
σ2 ϕ(z) = ϕ (w),
lo que prueba el resultado.
b n (véase [2] pp. 31, 32). TamEstos corolarios son también válidos en R
bién, se siguen del Teorema 2.4.4 otros resultados muy importantes del plano
hiperbólico.
Corolario 2.4.8 Sea σ la reflexión en un “cı́rculo” W que es ortogonal al
eje real, entonces la restricción de σ a H2 es una isometrı́a hiperbólica.
73
Demostración. Sea T ∈ P SL(2, R), tal que T transforma el “cı́rculo” W
en el eje imaginario, entonces si ψ denota la reflexión en el eje imaginario,
se sigue que
−1
σ = T ψ T,
es decir, es una composición de isometrı́as que preservan H2 .
Este último resultado se aplica también para reflexiones en “cı́rculos” ortogonales al cı́rculo unitario en el disco de Poincaré (ejercicio). Más aún, usando
el Ejercicio 1.5.2 y el Teorema 2.2.7, se sigue que las reflexiones en “cı́rculos”
ortogonales a la recta real (o al cı́rculo unitario) generan el grupo completo
de isometrı́as del plano hiperbólico H2 (o ∆).
Aplicamos ahora los resultados sobre las reflexiones, para encontrar la
fórmula general de la distancia hiperbólica entre dos puntos del disco de
Poincaré. En este proceso, el análisis de ciertas ecuaciones, que cumplen
las reflexiones en cı́rculos ortogonales a ∂∆, permite exhibir expresiones
invariantes bajo las isometrı́as de este modelo. También, se prueba que la
proyección estereográfica es la restricción de una reflexión en una esfera. A
continuación generalizamos la fórmula de la distancia cordal.
Proposición 2.4.9 Sea S(a, r) la esfera con centro en a y radio r en Rn ,
es decir,
x ∈ Rn |x − a| = r ,
y sea ϕ la reflexión en S(a, r), entonces si x, y ∈ Rn − {a}, se tiene
|ϕ(x) − ϕ(y)| = r2
|x − y|
.
|x − a| |y − a|
Demostración. Usando el producto escalar estándar en Rn , se sigue directamente de la definición que
|ϕ(x) − ϕ(y)|2 = r4 |(x − a)∗ − (y − a)∗ |2
1
1
(x − a) · (y − a)
4
=r
+
−2
|x − a|2
|y − a|2
|x − a|2 |y − a|2
|y − a|2 + |x − a|2 − 2(x − a) · (y − a)
4
=r
|x − a|2 |y − a|2
|x − y|2
=r
.
|x − a|2 |y − a|2
4
74
Esta fórmula es particularmente interesante al aplicarla a la reflexión ϕ
3
en
√ la esfera de R , cuyo centro es el punto e 3 = (0, 0, 1) y su radio es
2. Un primer hecho notable es que al aplicar esta reflexión a puntos del
plano complejo se obtiene precisamente la función estereográfica descrita al
principio del libro
ϕ(x, y, 0) = (0, 0, 1) + 2 [(x, y, 0) − (0, 0, 1)]∗
2x
2y
x2 + y 2 − 1
,
,
,
=
x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1
lo cual muestra que la proyección estereográfica es la restricción, al plano
complejo, de una reflexión en una esfera en R3 , es decir, de una función de
b 3 ). Al ser esta reflexión una involución, se tiene
Möbius del grupo GM ( R
que también su restricción a la esfera unitaria es la inversa de esta función
estereográfica, esto es, si (x1 , x2 , x3 ) ∈ S2 , entonces
x2
x1
ϕ(x1 , x2 , x3 ) =
,
,0 .
1 − x3 1 − x3
Ahora, la Proposición 2.4.9 implica de manera inmediata la fórmula de
la distancia cordal para la esfera de Riemann, la cual se probó en el primer
capı́tulo; en efecto, si z, w ∈ C, se tiene
|ϕ(b
z ) − ϕ(w)|
b =2
2 |z − w|
|b
z − w|
b
p
=p
,
|b
z − e 3 | |w
b − e 3|
( |z|2 + 1) ( |w|2 + 1)
donde zb, w
b representan a los complejos z, w, como puntos de R3 .
Como ya se mencionó en el Ejercicio 2.1.3, si A es un abierto en Rn y
f : A → Rn es una función conforme en x0 ∈ A, entonces el lı́mite
lı́m
x→x0
|f (x) − f (x0 )|
|x − x0 |
existe y es precisamente el factor de conformalidad. Se sigue entonces de la
Proposición 2.4.9, que el factor de conformalidad de la reflexión en el cı́rculo
C(a, r) en un punto z, z 6= a, está dado por
r2
.
|z − a|2
75
Esta última fórmula también es válida para reflexiones en esferas en Rn , ya
que como mostraremos al final de este capı́tulo, estas reflexiones son también
conformes.
Enunciamos ahora un teorema que caracteriza aquellas isometrı́as del disco de Poincaré que son reflexiones en cı́rculos ortogonales al cı́rculo unitario.
De este resultado se derivan expresiones de estas reflexiones, que junto con la
Proposición 2.4.9, permiten encontrar una fórmula explı́cita de la distancia
en este modelo del plano hiperbólico.
1
r
a∗
a
Figura 2.16: Cı́rculo ortogonal a la frontera del disco unitario
Teorema 2.4.10 Sea C(a, r) un cı́rculo en R2 y ϕ la reflexión en este
cı́rculo. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) el cı́rculo C(a, r) es ortogonal al cı́rculo unitario;
(ii) ϕ(0) = a∗ ;
(iii) |a|2 = 1 + r2 ;
(iv) la reflexión ϕ preserva ∆.
Demostración. Se sigue del teorema de Pitágoras que el cı́rculo C(a, r) es
ortogonal al cı́rculo unitario si y sólo si
|a|2 = 1 + r2 ,
76
y como esta condición es equivalente a
ϕ(0) = a − r2 a∗ = |a|2 − r2 a∗ = a∗ ,
se concluye que las primeras tres afirmaciones son equivalentes. Ahora, si
se cumple (iv), ϕ manda puntos inversos con respecto al cı́rculo unitario a
puntos inversos con respecto al cı́rculo unitario; por lo que ϕ(0) = a∗ , ya
que ϕ(∞) = a (véase la Figura 2.16).
Por lo cual, basta probar que las primeras tres afirmaciones implican la
cuarta. Esto se puede probar de manera muy elemental usando la función de
Cayley, ya que evidentemente una reflexión sobre un “cı́rculo” ortogonal a
la recta real preserva el semiplano superior H2 . Sin embargo, mostraremos
otra prueba analı́tica que proporciona una expresión necesaria para exhibir
la fórmula de la distancia hiperbólica.
Usando la fórmula de la Proposición 2.4.9, se tiene
|ϕ(z)| = |ϕ(z) − ϕ(a∗ )| =
=
r2 |z − a∗ |
|z − a| |a − a∗ |
|z − a∗ |
(|a|2 − 1)
|z − a∗ |
= |a|
.
1
|z − a|
|z − a|
|a| 1 − 2
|a|
Por consiguiente
1 − |ϕ(z)|2 =
|z − a|2 − |a|2 |z − a∗ |2
.
|z − a|2
Ahora, el numerador de esta expresión está dado por
a 2
|z − a|2 − |a| z −
|a|
= |z|2 + |a|2 − |z|2 |a|2 − 1 = r2 (1 − |z|2 ).
En consecuencia
1 − |ϕ(z)|2 =
r2 (1 − |z|2 )
,
|z − a|2
y se sigue de manera inmediata que ϕ preserva el disco unitario.
(2.7)
Una prueba casi idéntica que usa el producto inversivo, para sustituir el
teorema de Pitágoras, muestra que este resultado es también válido en la bola
77
n-dimensional (véase [2] pp. 38 y 39). El Teorema 2.4.10 y la Proposición 2.4.9
implican la existencia de una expresión que es invariante bajo las isometrı́as
hiperbólicas del disco (y de la bola n-dimensional).
Teorema 2.4.11 La expresión
|z − w|2
,
(1 − |z|2 ) (1 − |w|2 )
(2.8)
z, w ∈ ∆, es invariante bajo las isometrı́as del disco de Poincaré.
Demostración. Basta probar la invariabilidad bajo las reflexiones en “cı́rculos” ortogonales al cı́rculo unitario, ya que éstas generan el grupo completo
de isometrı́as. Si ϕ es una reflexión en una recta por el origen, entonces ϕ
es una función lineal ortogonal y por lo tanto es una isometrı́a euclideana, y
es evidente que preserva la expresión (2.8). Ahora, si ϕ es la reflexión en el
cı́rculo C(a, r), se sigue de la Proposición 2.4.9 y de la igualdad (2.7) que
|ϕ(z) − ϕ(w)|2
1 − |ϕ(z)|2 1 − |ϕ(w)|2 |z − a|2
|w − a|2
|z − w|2
4
=
r
r2 (1 − |z|2 ) r2 (1 − |w|2 )
|z − a|2 |w − a|2
|z − w|2
.
= 1 − |z|2 1 − |w|2 Finalmente, se puede ahora enunciar y verificar una fórmula general de la
distancia hiperbólica en el disco de Poincaré. Este teorema también es válido
en la bola n-dimensional (cf. [2] p. 40 ).
Teorema 2.4.12 Sean z, w puntos en el disco hiperbólico de Poincaré, entonces
1
|z − w|2
sen h2 ρ(z, w) =
.
(2.9)
2
(1 − |z|2 ) (1 − |w|2 )
Demostración. Como ambas expresiones son invariantes bajo las isometrı́as
hiperbólicas del disco, basta probar la identidad para el caso en que z = 0
y w = t ∈ (0, 1), ya que cualesquiera dos puntos en ∆ se pueden mandar mediante una isometrı́a hiperbólica a esta posición (ejercicio). Ahora, si
denotamos por u a
1+t
log
,
1−t
78
se sigue de la expresión (2.3) que
1
ρ(0, t) =
sen h
2
2
1
=
4
1
4
u
−u
e −2+e
1
=
4
eu/2 − e−u/2
2
2
1+t
1−t
−2+
1−t
1+t
(1 + t)2 − 2(1 − t2 ) + (1 − t)2
1 − t2
t2
=
,
1 − t2
y se sigue el teorema.
Se presentan ahora haces de geodésicas en el plano hiperbólico que describen de una manera geométrica las distintas isometrı́as en P SL(2, R), o
en M (∆). Se deduce también del Teorema 2.4.4 que las transformaciones
parabólicas, hiperbólicas o elı́pticas se pueden expresar como la composición
de dos reflexiones.
Teorema 2.4.13 Sea T ∈ P SL(2, C) parabólica, hiperbólica o elı́ptica, entonces T se puede expresar como σ2 σ1 , donde σj , j = 1, 2, son reflexiones
en “cı́rculos” W1 , W2 , respectivamente. Además
(i) si T es parabólica, entonces W1 , W2 se intersectan en el punto fijo de
T , es decir, son tangentes;
(ii) si T es elı́ptica, entonces W1 , W2 se intersectan en los puntos fijos de
de T ;
(iii) si T es hiperbólica, entonces W1 , W2 no se intersectan.
Demostración. Probamos los casos parabólico e hiperbólico, el caso elı́ptico
se sigue de manera análoga, usando el modelo del disco de Poincaré y la
descripción de una rotación como la composición de dos reflexiones en rectas
por el origen.
Para homotecias y traslaciones, el resultado se sigue de los Lemas 2.4.2
y 2.4.3. En los casos generales, digamos si T es parabólica con punto fijo
α, tomando una transformación S ∈ P SL(2, C) que mande ∞ en α, se
−1
tiene que la transformación conjugada S T S es una traslación y se puede
expresar como la composición σ2 σ1 de dos reflexiones sobre rectas paralelas,
digamos L1 y L2 . Por consiguiente, si S(Lj ) = Wj , j = 1, 2, se sigue del
79
−1
es la reflexión en Wj , j = 1, 2. Finalmente,
Corolario 2.4.5 que S σj S
como
−1
−1
T = S σ2 S S σ1 S ,
se sigue el resultado. El caso hiperbólico se prueba de manera análoga. Véase
las Figuras 2.13, 2.14 y 2.15.
Figura 2.17: Haces parabólicos
Obsérvese que el resultado anterior se aplica a todas las transformaciones
en P SL(2, R) o en M (∆), y en estos casos, la descripción es particularmente
importante, ya que las reflexiones se hacen sobre “cı́rculos” cuya intersección
con el plano hiperbólico (H2 o ∆) son geodésicas (véase las Figuras 2.13, 2.14
y 2.15). A su vez, estas geodésicas son también “semicı́rculos” en las familias
de “cı́rculos” de la configuración de Steiner y su caso degenerado (que se
describieron en el capı́tulo anterior). Dichas configuraciones son muy útiles
para entender otros aspectos importantes de la geometrı́a de las isometrı́as
del plano hiperbólico. A continuación describimos los tres casos relevantes.
(i) elı́ptico: los dos puntos lı́mite son complejos conjugados (o son puntos
inversos con respecto a ∂∆);
b (o en ∂∆);
(ii) hiperbólico: los dos puntos lı́mite están en R
b (o en ∂∆), de
(iii) parabólico: es el caso degenerado con un solo punto en R
b (o ∂∆) es un “cı́rculo” de la familia de los cı́rculos
tal manera que R
de Apolonio degenerados.
80
Sin embargo, conviene restringir los “cı́rculos” a su intersección con la
cerradura del semiplano superior H2 (o del disco de Poincaré ∆), y modificar la clasificación descrita en el primer capı́tulo de “cı́rculos” de Apolonio y
“cı́rculos” por los puntos lı́mite, en otra distribución de estos mismos “cı́rculos”. A saber
(i) la familia C de los “cı́rculos” (o “semicı́rculos”) fijos;
(ii) su familia ortogonal, que denotamos por G .
Figura 2.18: Haces elı́pticos
Figura 2.19: Haces hiperbólicos
Obsérvese que la familia C consiste en cı́rculos hiperbólicos, hiperciclos y
horociclos, respectivamente; en contraste, la familia G consiste en geodésicas
81
(véase las Figuras 2.17, 2.18 y 2.19). Esta descripción refina los resultados
del Teorema 2.4.13: si T ∈ P SL(2, R) (o T ∈ M (∆) ), entonces
T = σ2 σ1 ,
donde σj , j = 1, 2, son reflexiones en geodésicas de la familia G . Obsérvese
también que dadas dos geodésicas cualesquiera L1 , L2 , en H2 ( o en ∆),
éstas determinan de manera única un haz de geodésicas G, como el descrito
anteriormente. Esto se sigue ya que si L1 , L2 , no se intersectan, entonces
existe otra geodésica M, que es ortogonal común a L1 y a L2 (ejercicio).
Al haz se le llama:
(i) parabólico si L1 y L2 son tangentes;
(ii) elı́ptico si L1 y L2 se intersectan;
(iii) hiperbólico si L1 y L2 son disjuntas.
Esta nueva distribución de los “cı́rculos” de Steiner conlleva muchos resultados importantes del plano hiperbólico; en el siguiente teorema mostramos
uno de ellos. Más información sobre este tema se puede consultar en [2] pp.
168-175.
Definición 18 Se dice que dos “cı́rculos” (o “semicı́rculos” ) C1 , C2 en H2
(o en ∆) son equidistantes, si ∀z ∈ C1 , existe w ∈ C2 , tal que
ρ(C1 , C2 ) = ρ(z, w).
teiφ
teiψ
Figura 2.20: Hiperciclos equidistantes
82
Teorema 2.4.14 Los “cı́rculos” (o “semicı́rculos”) de la familia C son
equidistantes.
Demostración. Mostramos el caso hiperbólico y dejamos los otros dos
casos, que son más secillos, como ejercicio. Sin perder generalidad, se puede
suponer que los hiperciclos C1 , C2 son los semirayos definidos por
t ei ϕ , t ∈ R + ,
s eiψ , s ∈ R+ ,
respectivamente (véase la Figura 2.20). Ahora,
1
iϕ
iψ
2
sen h
ρ(t e , s e )
2
|t ei ϕ − s ei ψ |2
1
cos h ρ(t ei ϕ , s ei ψ ) − 1 =
2
4 Im(t ei ϕ) Im(s ei ψ )
=
(t ei ϕ − s ei ψ )(t e−i ϕ − s e−i ψ )
t2 + s2 − 2 t s cos(ϕ − ψ)
=
4 t s sen ϕ sen ψ
4 t s sen ϕ sen ψ
1
=
4 sen ϕ sen ψ
t s
+ − 2 cos(ϕ − ψ)
s t
1
(2 − 2 cos(ϕ − ψ)) ,
4 sen ϕ sen ψ
por lo cual el ı́nfimo se alcanza cuando t = s.
Obsérvese que en la prueba del caso hiperbólico en el teorema anterior,
se usó la propiedad del paralelismo para probar que
≥
ρ(t ei ϕ , t ei ψ ) = ρ(C1 , C2 ).
Nótese también que el teorema anterior se puede probar de manera geométrica usando cı́rculos de Apolonio apropiados. Véase la Figura 2.20.
Terminamos este capı́tulo describiendo las isometrı́as del espacio hiperbólico tridimensional. Para esto, definimos primero las extensiones de Poincaré,
denotamos por b
a al punto en Rn+1 , (a, 0), donde a ∈ Rn . Poincaré obb 2 , C(a, r), R(a, t), se extienden
servó que las reflexiones en “cı́rculos” de R
de manera natural a reflexiones en “esferas” (planos o esferas), S(b
a, r), P (b
a, t),
83
b 3 (véase las Figuras 2.21 y 2.22). Si ϕ es la reflexión en el cı́rculo C(a, r)
en R
(o en la recta R(a, t)), se denota por ϕ
b a la reflexión en la esfera S(b
a, r)
3
b
(o en el plano P (b
a, t)). A esta transformación ϕ
b ∈ GM (R ) se le llama la
extensión de Poincaré de ϕ.
b 2 ), ϕ = ϕ1 ϕ2 . . . ϕm , donde ϕj es la reDefinición 19 Dada ϕ ∈ GM (R
flexión en un “cı́rculo”, j = 1, 2, . . . , m, se define su extensión de Poincaré como
ϕ
b=ϕ
b1 ϕ
b2 . . . ϕ
bm .
α
α
b
Figura 2.21: Extensión de Poincaré de la reflexión en un cı́rculo
α
α
b
Figura 2.22: Extensión de Poincaré de la reflexión en una recta
Usando la versión tridimensional del corolario 2.4.5 (cf. [2] p. 31), se
sigue fácilmente que esta definición no depende de la descomposición
2de ϕ
3
en reflexiones en “cı́rculos”. Obsérvese que ϕ
b preserva H y que ϕ
bb
R =ϕ
(ejercicio). Denotamos por
b 2)
d (R
GM
b 3 ), que consiste en las extensiones de Poincaré de
al subgrupo de GM (R
b 2 ).
GM (R
84
Figura 2.23: Geodésica en H3
Por otra parte, un cálculo muestra que si ϕ es la reflexión en la esfera
unitaria con centro en el origen en Rn , la entrada i j de la matriz jacobiana
de ϕ 0 (x) está dada por
2 xi xj
δi j
−
,
2
|x|
|x|4
donde δi j denota la delta de Kronecker (ejercicio). Más aún, si M es la
matriz con entradas
2 xi xj
Mi j =
,
|x|2
entonces la matriz M − I es ortogonal (ejercicio). En consecuencia, la reflexión en la esfera S(a, r) es conforme en Rn − {a}. Sin embargo, las reflexiones en planos son conformes en Rn .
b 2 ) son biyecciones cond (R
En particular, los elementos del grupo GM
formes de H3 ; más aún, son isometrı́as hiperbólicas, ya que usando el Teorema 2.4.9, un cálculo sencillo muestra que la igualdad (2.1), aplicada a
la densidad hiperbólica de H3 , se cumple bajo las reflexiones en esferas o
planos ortogonales a R2 (ejercicio). Resulta también que el grupo completo
b 2 ) (cf. [20] pp. 129 y 130).
d (R
de isometrı́as es precisamente GM
Además, de manera idéntica al análisis bidimensional, la distancia hiperbólica, entre dos puntos alineados verticalmente en H3 se minimiza en segmentos verticales, y está dada por el logaritmo. No es difı́cil probar que en general
b n mandan “esferas” en “esferas” (cf.
las transformaciones de Möbius en R
[2] p. 30). Usando este hecho, se sigue entonces por conformalidad que las
geodésicas en H3 son “semicı́rculos” ortogonales al plano complejo (véase la
Figura 2.23).
85
Finalmente, un sencillo cálculo muestra que la expresión
|x − y|2
,
x3 y3
x, y ∈ H3 , es invariante bajo las reflexiones en esferas o planos ortogonales
a R2 (ejercicio). En consecuencia, se sigue de los argumentos del Teorema
2.2.5, que la distancia hiperbólica entre dos puntos x, y ∈ H3 está dada por
cosh ρ(x, y) = 1 +
|x − y|2
.
2 x3 y3
b 2 ) es transitivo en geodésicas.
d (R
En estos razonamientos se usa que GM
Para probar esto, nótese que si una geodésica L termina en un punto u del
plano complejo, al aplicar la extensión de Poincaré de la reflexión en cualquier
cı́rculo con centro en u, esta geodésica L es enviada a una semirecta ortogonal al plano complejo. A su vez, esta recta vertical se puede trasladar al eje
t e3 , t ∈ R+ , por una traslación de la forma x → x + b
a, donde a ∈ C, que
ciertamente es la extensión de Poincaré de la misma traslación en el plano
complejo.
EJERCICIOS 2.4
1. Sea ϕ una reflexión en un “esfera ” W, demuestre de manera analı́tica
b n y que ϕ(z) = z si y sólo si z ∈ W .
que ϕ es una involución en R
2. Demuestre que las reflexiones en “cı́rculos” son continuas en la esfera de
Riemann.
3. Sea ϕ la reflexión en el plano P (a, t), ψ la reflexión en el plano P (a, 0)
y f (x) = x − ta, demuestre que ϕ = f −1 ψ f.
b n , demuestre que ϕ es ortogonal.
4. Sea ϕ la reflexión en el plano P (a, 0) ⊂ R
5. Demuestre de dos maneras que las reflexiones en “cı́rculos” ortogonales al
cı́rculo unitario, restringidas al disco de Poincaré ∆, son isometrı́as hiperbólicas.
6. Probar el caso elı́ptico en el Teorema 2.4.13.
7. Demuestre que la reflexión en la esfera S(a, r) de Rn está dada por la
función f −1 g −1 ψ g f , donde f es la traslación x → x−a, g es la homotecia
x → x/r y ψ es la reflexión en la esfera unitaria.
86
8. Demuestre de dos maneras que dados dos puntos en ∆, existe una isometrı́a
hiperbólica en GM (∆) que los manda a los puntos 0 y t ∈ (0, 1), donde
b 2 ) que preserva ∆.
GM (∆) denota el subgrupo de GM (R
9. Sean L1 y L2 dos geodésicas disjuntas y no tangentes en H2 (o en ∆),
demuestre que existe otra geodésica M, que es ortogonal común a L1 y a
L2 .
10. Terminar la prueba analı́tica del Teorema 2.4.14 (sugerencia: usar la
fórmula de la distancia hiperbólica en el disco de Poincaré en el caso elı́ptico).
11. Sea T ∈ GM (∆), tal que fija el origen, demuestre que T es ortogonal.
12. Demuestre que el Lema 2.2.4 también es válido para el grupo completo
de isometrı́as de H2 .
b 2 , entonces ϕ
13. Demuestre que
ϕ es la reflexión en un “cı́rculo” en R
b
si
3
2
preserva H y ϕ
bb
R = ϕ.
14. Sea ϕ la reflexión en la esfera unitaria con centro en el origen en Rn ,
demuestre que la entrada i, j de la matriz jacobiana de ϕ 0 (x) está dada por
2x x
δi j
− |x|i 4 j , donde δi j denota la delta de Kronecker.
|x|2
15. Sea M la matriz cuadrada de n×n con entradas Mi j =
que la matriz I − M es ortogonal.
2 xi xj
,
|x|2
demuestre
16. Demuestre que la igualdad (2.1), aplicada a la métrica hiperbólica de H3 ,
se cumple bajo las extensiones de Poincaré de las reflexiones en “cı́rculos”
b 2.
de R
|x−y|2
,
x3 y3
x, y ∈ H3 , es invariante bajo las exb 2.
tensiones de Poincaré de las reflexiones en “cı́rculos” de R
17. Demuestre que la expresión
18 Demuestre que P SL(2, R) consiste en las extensiones de Poincaré de
b
M (R).
19. Pruebe que las reflexiones en “cı́rculos” ortogonales a la recta real (o al
cı́rculo unitario) generan el grupo completo de isometrı́as del plano hiperbólico H2 (o ∆).
b 2 ) preservan la familia de “cı́rcu20. Demuestre que los elementos de GM (R
b
los” de C.
Capı́tulo 3
Grupos fuchsianos
En este capı́tulo se estudian algunas propiedades básicas de los subgrupos
de transformaciones de Möbius en P SL(2, C). Primeramente se describen el
conjunto lı́mite y su complemento, el conjunto ordinario, ası́ como la discontinuidad. Los principales ejemplos que se presentan son el grupo modular y
sus subgrupos, ya que estos constituyen temas medulares en muchas ramas de
las matemáticas, notablemente en la teorı́a de los números. Posteriormente se
prueba que un subgrupo de P SL(2, R) es discreto si y sólo si es discontinuo.
Se caracterizan los grupos abelianos discretos y los grupos estabilizadores, y
se prueban condiciones sobre los puntos fijos para que un grupo sea discreto.
En la sección de grupos fuchsianos se estudian los grupos horocı́clicos y los
subgrupos normales de éstos, ası́ como los sugrupos normalizadores; también
se prueba el sorprendente e importante teorema de Lauritzen. En la última
sección, se describen propiedades más avanzadas del conjunto lı́mite, como el
hecho de ser –en el caso no elemental– un conjunto perfecto, que en ninguna
parte es denso, y que consiste de puntos donde se acumulan todas las órbitas.
Finalmente, se prueba que el conjunto lı́mite de un grupo fuchsiano no elemental es la cerradura de los puntos fijos parabólicos (o hiperbólicos), y que
los subgrupos normales de los grupos horocı́clicos son horocı́clicos.
3.1.
Discontinuidad
Establecemos primero ciertos resultados –los cuales usaremos posteriormente–
que relacionan los puntos fijos de las funciones en P SL(2, C) con sus propiedades conmutativas. En la mayorı́a de los casos estas transformaciones de
87
88
CAPÍTULO 3. GRUPOS FUCHSIANOS
Möbius no conmutan, resulta que dos transformaciones en P SL(2, R) conmutan si y sólo si coinciden sus puntos fijos. Denotaremos por F T el conjunto
b de una transformación T .
de los puntos fijos en C
Lema 3.1.1 Sean T , S transformaciones en P SL(2, C) distintas de la identidad que conmutan, entonces T preserva el conjunto de los puntos fijos de
S y viceversa.
Demostración Si α ∈ F T , se tiene que
T S(α) = S T (α) = S(α)
y por lo tanto S(α) ∈ F T , esto es, S deja invariante a F T .
Para las transformaciones que preservan “discos” se tiene un resultado
más preciso.
Teorema 3.1.2 Dos transformaciones en P SL(2, R) distintas de la identidad conmutan si y sólo si fijan los mismos puntos.
Demostración. Probamos primero que si S y T fijan los mismos puntos, entonces conmutan. Ya que conmutar o fijar los mismos puntos son
propiedades invariantes bajo conjugación (ejercicio), se puede suponer que
ambas T y S son traslaciones, o son de la forma z → a z, y es evidente
que conmutan. Obsérvese que esta parte del teorema se cumple también para
transformaciones en P SL(2, C).
Por otra parte, si T y S conmutan, consideramos dos casos.
1. T , S parabólicos.
Se sigue directamente del lema que F T = F S .
2. T no parabólico.
Si F T 6= F S , se sigue del lema anterior que S intercambia los puntos
2
fijos de T , y por lo tanto S fija tres o más puntos y es necesariamente
2
la función identidad (ya que bajo estas hipótesis, S fija los puntos
fijos de T y de S). Se tiene entonces que S es elı́ptica de orden 2,
con puntos fijos conjugados entre sı́; sin embargo, aplicando otra vez el
Lema 3.1.1, se sigue que T intercambia los puntos fijos de S, lo cual
es una contradicción, ya que T ∈ P SL(2, R).
3.1. DISCONTINUIDAD
89
Al trabajar con subgrupos de P SL(2, C) es útil constatar que si dos
transformaciones no parabólicas tienen exactamente un punto fijo en común,
α, entonces el conmutador es parabólico y por supuesto fija α (ejercicio).
Este último resultado se puede reformular de una manera más general (cf.
[2] p. 69). A continuación definimos los conjuntos lı́mite y ordinario.
b es un punto lı́mite con respecto a un
Definición 20 Se dice que α ∈ C
b y transformaciones distintas
subgrupo Γ de P SL(2, C), si existen z ∈ C
T n ∈ Γ, n ∈ N, tales que
T n (z) 7−→ α,
cuando n → ∞.
El conjunto de puntos lı́mites se denota por L(Γ), o simplemente por L.
Obsérvese que se debe usar la métrica cordal para incluir a todos los puntos
de la esfera de Riemann.
b − L se le llama el
Definición 21 Dado Γ < P SL(2, C), al conjunto C
conjunto ordinario.
Se denota por O(Γ), o simplemente por O, al conjunto ordinario. Resulta
que si el conjunto lı́mite es finito consiste de uno o dos puntos; de otra manera
es un “cı́rculo”, o es toda la esfera de Riemann, o es un fractal (véase la
Figura 3.1). El estudio de estos fractales ha sido objeto de una intensa labor
de investigación en los últimos an̄os (cf. [16]). Por otra parte, el grupo actúa
de manera menos caótica en el conjunto ordinario, lo cual da lugar a una rama
de la geometrı́a de gran belleza e importancia, que son las teselaciones; en el
siguiente capı́tulo mostraremos algunas de sus propiedades. Es asombroso el
paralelismo que existe entre esta partición en dos conjuntos de la esfera de
Riemann y la que se define en los sistemas dinámicos, esto es, los conjuntos
de Julia y de Fatou. El estudio de la conexión entre estas dos particiones, es
también un tema de gran interés, en la investigación reciente en geometrı́a
hiperbólica y en los sistemas dinámicos (cf. [13]).
Obsérvese que dado Γ < P SL(2, C), si un número infinito de transformaciones fijan α, o un número infinito de iteraciones distintas de una misma
transformación fijan α, entonces α ∈ L. Por supuesto, los puntos donde se
acumula alguna órbita definida por Γ son también puntos lı́mite.
Definición 22 Se dice que un subgrupo Γ de P SL(2, C) es discontinuo, si
el conjunto ordinario O(Γ) no es vacı́o.
90
Figura 3.1: Conjunto lı́mite
Esta propiedad relacionada con la discontinuidad permite construir regiones fundamentales, como mostraremos en el siguiente capı́tulo. Recordamos que un grupo G actúa en un conjunto X, si existe una función
µ : G × X → X, tal que µ(g2 g1 , x) = µ (g2 , µ(g1 , x)) y µ(Id, x) = x. Como
ya se ha mencionado y probado, el grupo P SL(2, C) actúa en la esfera de
b Ahora,
Riemann y su subgrupo P SL(2, R) actúa en H2 , y también en R.
dado un subgrupo Γ de P SL(2, C), la relación en la esfera de Riemann
z1 ∼ z2 , si existe T ∈ Γ, tal que T (z1 ) = z2 , es evidentemente de equivalenb A las clases de
cia, por lo que la acción de Γ determina una partición en C.
b denotaremos por Γ(z) a su
equivalencia se les llama órbitas, dado z ∈ C,
órbita.
En el caso de subgrupos de P SL(2, R) las órbitas consisten en reales, o en
puntos de H2 , o en puntos del semiplano inferior. En general, ninguna órbita
puede acumularse en un punto ordinario α ∈ O, ya que esto significarı́a que
b tal que T n (z) → α.
existen T n ∈ Γ, distintos y z ∈ C,
Teorema 3.1.3 Los conjuntos lı́mite L(Γ) y ordinario O(Γ) definidos por
un subgrupo Γ de P SL(2, C) son invariantes bajo la acción de Γ.
Demostración. Basta probar que para toda transformación T ∈ Γ se
tiene
T (L) = L,
3.1. DISCONTINUIDAD
91
ya que como T es biyectiva, esto implica también que T (O) = O.
b tal que
Si α ∈ L, existen T n distintas en Γ y z ∈ C,
T n (z) 7−→ α.
Ahora, si T ∈ Γ, se sigue entonces por continuidad que
T T n (z) 7−→ T (α),
y como T T n son distintas, se tiene que T (α) ∈ L, por lo cual T (L) ⊂ L.
−1
−1
En particular, esto se cumple también para T , esto es, T (L) ⊂ L. Por
−1
consiguiente, componiendo con T se tiene L = T T (L) ⊂ T (L).
Si G es un subgrupo de Γ, donde Γ < P SL(2, C), entonces es evidente
que
L(G) ⊂ L(Γ),
ya que si un punto α es punto lı́mite de G, entonces se sigue directamente
de la definición, que α también lo es de Γ. Esta observación prueba que
también
O(Γ) ⊂ O(G),
lo cual implica el siguiente hecho fundamental: los subgrupos de los grupos
discontinuos son también discontinuos. El siguiente resultado muestra que
para los subgrupos de ı́ndice finito, las correspondientes particiones de la
esfera de Riemann coinciden.
Teorema 3.1.4 Sean Γ < P SL(2, C) y G un subgrupo de ı́ndice finito de
Γ, entonces
L(G) = L(Γ).
Demostración. El grupo Γ se puede descomponer en la unión disjunta de
clases laterales derechas
Γ=
m
[
G Tj ,
T j ∈ Γ.
j=1
b
Si el punto α ∈ L(Γ), existen transformaciones distintas S n ∈ Γ y z ∈ C,
tales que S n (z) → α; por lo que usando la descomposición anterior, se puede
escribir
S n = V n T j n , V n ∈ G, jn ∈ {1, 2, ..., m}.
92
Se tiene entonces que necesariamente alguna T jn acontece un número infinito
de veces en la sucesión S n , digamos T k . Seleccionando la correspondiente
subsucesión infinita y renombrando se sigue que
U n T k (z) 7−→ α,
donde U n ∈ G. Escribiendo T k (z) = w, se tiene U n (w) → α y las trans
formaciones U n ∈ G son todas distintas. Por lo tanto α ∈ L(G).
Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que si un subgrupo
Γ de transformaciones de Möbius en P SL(2, C) tiene como subgrupo de
ı́ndice finito a un grupo discontinuo, entonces Γ es también discontinuo. El
siguiente resultado, que será de gran utilidad, muestra el comportamiento de
los conjuntos lı́mite y ordinario bajo la conjugación de un elemento que no
pertenece al grupo.
Proposición 3.1.5 Sean ϕ ∈ P SL(2, C) y Γ < P SL(2, C), entonces
O(ϕ Γ ϕ −1 ) = ϕ O(Γ) .
c
Demostración. Como ϕ es biyectiva, se tiene que ϕ O(Γ)
= ϕ L(Γ) ,
por lo que basta probar que
L ϕ Γ ϕ −1 = ϕ L(Γ) .
Para esto, sea ϕ(z) ∈ ϕ L(Γ) , por lo que existen T n ∈ Γ distintas y
b tales que T n (w) → z; se sigue entonces por continuidad que
w ∈ C,
ϕ T n ϕ −1 ϕ(w) 7−→ ϕ(z).
Por consiguiente, ϕ(z) ∈ L ϕ Γ ϕ −1 . Viceversa, dado
ϕ(z) ∈ L ϕ Γ ϕ −1 ,
b tales que ϕ T n ϕ −1 (w) → ϕ(z). Por lo
existen ϕ T n ϕ −1 distintas
y w ∈ C,
−1
tanto, T n ϕ (w) → z y ϕ(z) ∈ ϕ L(Γ) .
Antes de mostrar unos ejemplos es conveniente probar el siguiente resultado, que relaciona puntos lı́mite con puntos fijos.
3.1. DISCONTINUIDAD
93
Lema 3.1.6 Sea T una transformación en P SL(2, C), que no es elı́ptica
b y una
y que tampoco es la identidad, supóngase también que existe w ∈ C
sucesión creciente de naturales, nk , k ∈ N, tales que
T
nk
(w) 7−→ z0 ,
entonces z0 es un punto fijo.
Demostración.
Si T tiene su punto fijo finito α, tomando
ϕ(z) =
se tiene
ϕT
1
,
z−α
nk
ϕ −1 ϕ(z) = ϕ(z) + n k b,
nk
ϕ −1 ϕ(w) 7−→ ϕ(z0 ),
b ∈ C, b 6= 0.
También,
ϕT
cuando k → ∞.
Por lo cual, ϕ(z0 ) = ∞ y z0 = α. Si T es una traslación el resultado es
inmediato.
Caso 2: T es hiperbólica o loxodrómica.
Si T tiene puntos fijos finitos α y β, tomando
ϕ(z) =
z−β
z−α
(si α = ∞, se toma ϕ(z) = z − β), se tiene
nk
ϕ T ϕ −1 ϕ(z) = t n k ϕ(z), t ∈ C, |t| =
6 1, 0.
Además,
ϕT
nk
ϕ −1 ϕ(w) 7−→ ϕ(z0 ),
Por lo cual ϕ(z0 ) = 0, ∞ y z0 = α, β.
cuando k → ∞
94
ejemplos
(1) Si un subgrupo Γ de P SL(2, C) es transitivo en la esfera de Riemann,
es decir, cualesquiera dos puntos son Γ-equivalentes, entonces hay una
b la órbita de
sola órbita y el grupo Γ no es discontinuo, ya que ∀z ∈ C,
z se acumula en z. El grupo P SL(2, C) es evidentemente transitivo,
puesto que cualquier punto se puede mandar a ∞ (de hecho es transitivo en ternas, Teorema 1.2.5); por lo tanto no es discontinuo. Por
otra parte, aunque el grupo P SL(2, R) ciertamente no es transitivo,
tampoco es discontinuo (ejercicio).
(2) Si Γ es finito, se sigue directamente de la definición que Γ es discontinuo
b ya que no hay sucesiones infinitas de elementos
y que O(Γ) = C,
distintos.
(3) Sea Γ cı́clico, consideramos tres casos.
a) Γ cı́clico finito. Como ya se mostró, Γ es necesariamente elı́ptico
p
y Γ es conjugado a un grupo de rotaciones generado por z → e2πi q z,
(p, q) = 1. Esto se sigue, ya que si T (z) = eiθ z genera el grupo de
rotaciones y q es el menor entero positivo por el cual eiq θ = 1, entonces
q θ = 2πp, p ∈ Z. El subgrupo es entonces de orden q, ya que la
elección de q implica (p, q) = 1.
b) Γ cı́clico infinito elı́ptico. Al conjugar Γ a un subgrupo de rotaciones
generado por T (z) = eiθ z, se tiene que θ no es de la forma 2πt, t ∈ Q,
ya que en este caso Γ serı́a finito. Por lo cual ∀ n, m ∈ Z, n 6= m, se
tiene que
ei n θ 6= ei m θ ,
es decir, los numeros ei n θ , n ∈ Z, son todos distintos. Ahora, como ∂∆
es compacto, estos números complejos tienen un punto de acumulación,
digamos eiψ ; por lo cual existe una subsucesión mj , j ∈ N, creciente
de naturales, o decreciente de enteros negativos, para los cuales
ei mj θ 7−→ ei ψ ,
cuando j 7−→ ∞.
Finalmente, si S(z) = e−iψ z, ∀ z ∈ C, se tiene
T
mj
S(z) = ei(mj θ−ψ) z → z,
3.1. DISCONTINUIDAD
95
cuando j → ∞. Por lo cual, cualquier elemento en la esfera de Riemann
es punto lı́mite y Γ no es discontinuo ( ∞ es evidentemente un punto
lı́mite).
c) Γ cı́clico no elı́ptico. Sea T el generador, notése que si S n , n ∈ N,
es una sucesión de transformaciones distintas de Γ, entonces existe una
subsucesión S nk , de tal manera que son todas potencias positivas en
−1
orden creciente de T (o de T ). Si T es parabólica, denotamos por
α al punto fijo, y si T es hiperbólica o loxodrómica, denotamos a los
puntos fijos por α y β. Evidentemente, en el primer caso α ∈ L(Γ),
y en el segundo α, β ∈ L(Γ)). Además, si z0 ∈ L(Γ), se sigue de la
observación anterior y del Lema 3.1.6 que z0 es un punto fijo de T ,
por lo que L(Γ) = {α} en el caso parabólico, y L(Γ) = {α, β} en los
casos hiperbólico o loxodrómico.
(4) El grupo clásico modular consiste en las matrices
SL(2, Z) =
a b
∈ SL(2, R) a, b, c, d ∈ Z .
c d
El grupo de transformaciones que definen estas matrices, llamado también modular, se puede identificar con P SL(2, Z); esto se prueba de
la misma manera como se mostró para P SL(2, C), o para P SL(2, R).
Probaremos posteriormente que los puntos lı́mite bajo la acción de este
grupo son exactamente los puntos de la recta real extendida. Ahora,
probamos que cualquier número real y ∞ son puntos lı́mite.
Dado x ∈ R, existe una sucesión de racionales distintos bn /dn , n ∈ N,
tales que bn /dn → x. Se puede suponer que (bn , dn ) = 1, por lo que
existen an , cn ∈ Z, tales que an dn − bn cn = 1. Nótese que las transformaciones
an z + b n
T n (z) =
cn z + dn
son todas distintas y T n (0) = bn /dn → x, se tiene que x es un punto
lı́mite. También, la traslación z → z + 1 pertenece al grupo modular y
n
T (1) → ∞, cuando n → ∞, por lo que se tiene que ∞ es también
un punto lı́mite. En consecuencia, todos los puntos de la recta real
extendida son puntos lı́mite del grupo modular.
96
(5) Los subgrupos del grupo modular son muy importantes en la teorı́a de
los números, uno de ellos es el subgrupo principal de congruencias de
nivel N
a b
Γ(N ) =
∈ SL(2, Z) a, d ≡ 1 mod N, b, c ≡ 0 mod N .
c d
Las matrices en Γ(N ) forman en efecto un subgrupo, ya que
a b
d −b
−1
A=
∈ Γ(N ) ⇐⇒ A =
∈ Γ(N ),
c d
−c a
y también, si
A=
a b
c d
y B=
α β
γ δ
son matrices en Γ(N ), entonces
aα + bγ aβ + bδ
1 0
AB =
≡
mod N
cα + dγ cβ + dδ
0 1
y AB ∈ Γ(N ).
Obsérvese también que estos subgrupos Γ(N ) son de orden infinito
(ejercicio). Al correspondiente grupo de transformaciones se le denota
por Γ(N ).
Proposición 3.1.7 Γ(N ) es un subgrupo normal de ı́ndice finito de SL(2, Z).
Demostración. Sean
a b
∈ SL(2, Z) y
c d
α β
γ δ
∈ Γ(N ),
entonces
a b
α β
d −b
aα + bγ aβ + bδ
d −b
=
c d
γ δ
−c a
cα + dγ cβ + dδ
−c a
ad − bc −ab + ab
≡
mod N,
cd − cd −cb + ad
puesto que α, δ ≡ 1 mod N y β, γ ≡ 0 mod N. Por lo tanto Γ(N ) es
normal en SL(2, Z).
3.1. DISCONTINUIDAD
97
Para probar que el ı́ndice de Γ(N ) en SL(2, Z) es finito, usamos el grupo
SL(2, ZN ) definido por las matrices de 2 × 2 con entradas en el anillo ZN
y determinante 1. SL(2, ZN ) es en efecto un grupo, ya que la propiedad
det(A B) = det(A) det(B) es también válida para matrices con entradas
en cualquier anillo conmutativo con unidad, puesto que sólo depende de la
multilinealidad (cf. [8] p. 196).
Nótese que SL(2, ZN ) es un grupo finito. Ahora, se puede definir un
homomorfismo de grupos ψ : SL(2, Z) → SL(2, ZN ), dado por
a b
a b
,
7−→
c d
c d
donde la barra denota la clase en ZN del número en cuestión. Esta función
es un homomorfismo, ya que por definición
aα + bγ = a α + b γ
∀ a, b, α, γ ∈ Z.
Finalmente, como el núcleo de la función ψ es precisamente Γ(N ), la
sucesión
ψ
i
Γ(N ) −
→ SL(2, Z) −
→ ψ(SL(2, Z))
es exacta. Por lo tanto SL(2, Z)/Γ(N ) es isomorfo a un grupo finito y el
ı́ndice es finito. De hecho, se puede probar que ψ es un epimorfismo sobre
SL(2, ZN ), por lo que la sucesión
Γ(N ) −→ SL(2, Z) −→ SL(2, ZN )
es exacta (cf. [21]). Obsérvese también que el argumento anterior exhibe
una segunda prueba de que Γ(N ) es normal, al ser éste el núcleo de un
homomorfismo
Obsérvese que si Γ es un subgrupo de matrices de SL(2, C), G < Γ
y T, S son matrices en Γ que pertenecen a la misma clase lateral derecha
(o izquierda) con respecto a G, entonces T , S también están en la misma
clase lateral derecha (o izquierda) con respecto a G. Para las clases laterales
derechas, esto se sigue ya que si T ∈ GS, entonces T S −1 ∈ G, y también
−1
TS
∈ G. El caso de las clases laterales izquierdas se prueba de manera
análoga.
Sin embargo, el recı́proco no siempre es cierto, por ejemplo, si N > 2,
−1 0
∈
/ Γ(N ),
0 −1
98
pero la transformación idéntica sı́ está en Γ(N ). En general, se tiene que
2 [Γ, G] = [Γ, G]
o [Γ, G] = [Γ, G].
Esto se debe a que la clase de una matriz T ∈ SL(2, C) puede ser distinta a la
de −T, pero ambas son la misma al proyectarse al grupo de transformaciones;
dejamos la verificación de los detalles como ejercicio. En particular, para
N > 2, se tiene que 2[P SL(2, Z), Γ(N )] = [SL(2, Z), Γ(N )]. Se sigue de
estas observaciones que la Proposición 3.1.7 también es válida para los correspondientes grupos de transformaciones. Se define ahora la convergencia de
matrices.
Definición 23 Sean
Tn =
an b n
, n ∈ N,
cn dn
T =
a b
c d
matrices en SL(2, C), (o en GL(2, C)), se dice que Tn → T, si an → a,
bn → b, cn → c y dn → d, cuando n → ∞.
El siguiente resultado muestra que el producto de matrices induce una función
continua, por lo que los grupos SL(2, C) y GL(2, C) son grupos topológicos.
Más aún, los grupos SL(N, C) y GL(N, C) son grupos de Lie, debido a la
compatibilidad de estas operaciones con su estructura de variedades diferenciables (cf. [24]).
Lema 3.1.8 Sean A, B, An , Bn , n ∈ N, matrices en SL(2, C) (o en
GL(2, C)), tales que An → A, Bn → B, cuando n → ∞, entonces
An Bn → AB.
Demostración. Si
an b n
αn βn
a b
α β
An =
, Bn =
, A=
y B=
,
cn dn
γn δn
c d
γ δ
entonces
An Bn =
an αn + bn γn an βn + bn δn
cn αn + dn γn cn βn + dn δn
y
An Bn 7−→
aα + bγ aβ + bδ
cα + dγ cβ + dδ
= AB.
3.1. DISCONTINUIDAD
99
A continuación se muestra que los grupos de matrices que definen grupos
discontinuos no pueden tener sucesiones convergentes.
Lema 3.1.9 Sean T y Tn , n ∈ N, matrices en SL(2, C), tales que Tn → T,
entonces
b
T n (z) 7−→ T (z) ∀z ∈ C.
Demostración. Se sigue del Lema 3.1.8 que T −1 Tn → T −1 T = Id. Por lo
cual, si
αn βn
−1
T Tn =
,
γn δn
se tiene que ∀z ∈ C
αn z + βn
1z + 0
= z.
7−→
γn z + δn
0z + 1
Esto se debe, ya que para z fijo finito, si n es suficientemente grande, z es
distinta de −δn /γn , donde γn 6= 0. También, si z = ∞, se tiene que
T
si γn 6= 0, y T
T
−1
−1
−1
T n (∞) = αn /γn 7−→ ∞,
T n (∞) = ∞, si γn = 0. Por consiguiente,
T n (z) 7−→ z
b y T n (z) 7−→ T (z) ∀z ∈ C.
b
∀z ∈ C
Para terminar esta sección mostramos que los grupos discontinuos son a
lo sumo numerables.
Lema 3.1.10 Sea M un subconjunto no numerable de Rn , entonces existe
un punto en Rn que es punto de acumulación de M.
Demostración. Supongamos que el conjunto M no se acumula en ningún
punto. Sean
xj , j ∈ I,
los elementos de M, entonces para toda xj existe δj , tal que
B(xj , δj ) = y ∈ Rn |y − xj | < δj
intersecta a M solamente en xj . Ahora, se puede tomar yj ∈ B(xj , δj /2), tal
que yj tiene coordenadas racionales. Finalmente, esto implica que hay una
biyección entre las xj y las yj , lo cual contradice que M es no numerable.
100
Teorema 3.1.11 Un grupo discontinuo en P SL(2, C) es a lo sumo numerable.
Demostración. Sea Γ un grupo discontinuo en P SL(2, C) y Γ un grupo
preimagen de Γ en SL(2, C). A cada matriz
a b
∈Γ
c d
le podemos asociar (a, b, c, d) ∈ C 4 , denotamos por M al subconjunto de
C 4 asociado a Γ. Afirmamos que M es a lo sumo numerable, de otra manera
por el Lema 3.1.10, existen (an , bn , cn , dn ) ∈ M, n ∈ N, distintos, tales que
(an , bn , cn , dn ) 7−→ (a, b, c, d),
cuando n → ∞.
Como el determinante es una función continua, se sigue que ad − bc = 1.
Ahora, escribiendo
T n (z) =
an z + b n
cn z + dn
y T (z) =
az + b
,
cz + d
se tiene entonces por el Lema 3.1.9 que
b
T n (z) 7−→ T (z) ∀z ∈ C
b contradiciendo que Γ es discontinuo. Para asegurar que las
y L(Γ) = C,
transformaciones definidas por los vectores (an , bn , cn , dn ), n ∈ N, son en
efecto distintas, si n es suficientemente grande, se puede tomar vecindades
ajenas y simétricas de los puntos (a, b, c, d) y (−a, −b, −c, −d), respectivamente.
EJERCICIOS 3.1
1. Demuestre que la propiedad de conmutar y la de fijar los mismos puntos
es invariante bajo conjugación en P SL(2, C).
2. Demuestre que si dos transformaciones no parabólicas tienen exactamente
un punto fijo en común α, entonces el conmutador es parabólico y fija α.
3. Exhiba un ejemplo de un punto lı́mite que no sea un punto de acumulación
y que tampoco sea el punto fijo de una transformación de orden infinito.
4. Demuestre que P SL(2, R) no es discontinuo.
3.2. GRUPOS DISCRETOS.
101
5. Demuestre directamente, sin usar el grupo modular, que el grupo Γ(N )
es de orden infinito.
6. Demuestre que si G < Γ son grupos de matrices en SL(2, C), entonces
2 [Γ, G] = [Γ, G] o [Γ, G] = [Γ, G].
3.2.
Grupos Discretos.
Definición 24 Sea Γ < SL(2, C), se dice que Γ es discreto si no existe
una sucesión de matrices distintas, Tn ∈ Γ, n ∈ N, tal que Tn → T, cuando
n → ∞, donde T es una matriz de 2 × 2 con entradas complejas.
Obsérvese que si Tn , n ∈ N, son matrices en SL(2, C), tales que Tn → T,
entonces como el determinante es una función continua T ∈ SL(2, C). El
grupo modular y todos sus subgrupos son discretos, ya que al tener entradas
enteras, las matrices no pueden acumularse. Esto se verifica fácilmente al
identificar las matrices en SL(2, Z) con puntos de C 4 .
Identificando a las matrices en SL(2, C) con puntos de C 4 , se define su
norma de manera natural, a saber, si
p
a b
T =
∈ SL(2, C), entonces ||T || = |a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 .
c d
Como un conjunto infinito en un compacto necesariamente tiene un punto
de acumulación, es claro que el conjunto de normas de las matrices en un
grupo discreto infinito de SL(2, C) no pueden estar acotadas. En particular,
alguna de las cuatro entradas de estas matrices forma un conjunto no acotado
de números complejos. Nótese también, que en virtud del Lema 3.1.8, si un
grupo es discreto, entonces cualquier grupo conjugado a él también lo es.
Definición 25 Se dice que un subgrupo Γ de P SL(2, C) es discreto, si
está determinado por un subgrupo discreto Γ de SL(2, C).
Esta definición es consistente puesto que no depende de la elección de Γ
(ejercicio). El siguiente resultado muestra que para detectar si un grupo es
discreto o no lo es, basta verificar el comportamiento cerca de la identidad.
Lema 3.2.1 Un subgrupo Γ de SL(2, C) es discreto si y sólo si no existe
una sucesión Tn ∈ Γ, n ∈ N, de matrices distintas, tales que Tn → Id.
102
Demostración. Basta probar la suficiencia. Si Γ no es discreto, existen
matrices Sn ∈ Γ, n ∈ N, distintas, tales que Sn → S. Se sigue también
entonces del Lema 3.1.8 que
Sn+1 Sn−1 7−→ S S −1 = I.
Finalmente, si Sn+1 Sn−1 , n ∈ N, es un conjunto finito de matrices, se tiene
que ∀ n > N, Sn+1 Sn−1 = Id, lo cual contradice que las matrices Sn sean
distintas. Por consiguiente, dicha sucesión es infinita y se puede tomar una
subsucesión convergente, lo que contradice la hipótesis.
Teorema 3.2.2 Sea Γ < P SL(2, C) discontinuo, entonces Γ es discreto.
Demostración. Si Γ, un subgrupo preimagen de Γ, no es discreto, por el
lema anterior existen matrices distintas Tn en Γ, tales que Tn → I, lo cual
b y Γ no serı́a discontinuo.
implica que T n (z) → z ∀z ∈ C
El teorema anterior es también consecuencia directa del Lema 3.1.9. Este
lema implica que si un grupo no es discreto, entonces todos los puntos son
puntos lı́mite. Recordamos que P SL(2, R) es transitivo en puntos de H2 ,
ya que usando traslaciones y homotecias cualquier z ∈ H2 se puede enviar
al punto i.
Teorema 3.2.3 Sea Γ < P SL(2, R) discreto, entonces Γ es discontinuo.
Demostración. Probamos que bajo estas hipótesis los puntos del semiespacio superior son ordinarios. Suponiendo que esto no se cumple, existe entonces
un punto z0 ∈ H2 ∩ L(Γ) y transformaciones T n ∈ Γ, n ∈ N, distintas, tales
que T n (z) → z0 , donde z ∈ H2 . Esto último se sigue, ya que Γ < P SL(2, R).
Tomando S ∈ P SL(2, R), tal que S(i) = z, se tiene T n S(i) → z0 y
S
−1
T n S(i) 7−→ S
−1
(z0 ).
Ahora, el grupo Γ está determinado por un grupo de matrices Γ en SL(2, R),
denotamos
an b n
−1
S Tn S =
,
cn dn
donde las matrices S ∈ SL(2, R) y Tn ∈ Γ definen S y T n , respectivamente.
103
Bajo estas hipótesis, se tiene
Im S
= Im
−1
an i + b n
T n S(i) = Im
cn i + dn
(an i + bn )(−cn i + dn )
c2n + d2n
=
c2n
1
,
+ d2n
y también
2
2
−1
S T n S(i) 2 = an + bn .
c2n + d2n
Por consiguiente
−1
1
−
7
→
Im
S
(z
)
>0
0
c2n + d2n
y
−1
a2n + b2n
S (z0 )2 > 0.
−
7
→
c2n + d2n
Se sigue entonces que las sucesiones {cn } y {dn } están acotadas superiormente. También, las sucesiones {an }, {bn } están acotadas superiormente,
puesto que existe un real positivo k, tal que
a2 + b2n
a2n + b2n
≤ 2n
.
k
cn + d2n
Esto contradice la hipótesis del teorema, ya que se podrı́a tomar una
subsucesión convergente de
an b n
cn dn
y el grupo S −1 Γ S no serı́a discreto, y por ende el grupo Γ tampoco. Por lo
tanto, los puntos del semiplano superior son ordinarios y Γ es discontinuo.
b
Corolario 3.2.4 Sea Γ < SL(2, R) discreto, entonces L(Γ) ⊂ R.
Demostración. Un argumento similar al de la prueba del teorema anterior
muestra que los puntos del semiplano inferior son también ordinarios .
104
Los subgrupos discretos de P SL(2, C), llamados kleinianos, no siempre
b Por ejemplo, el grupo de Picard determinado por las
son discontinuos en C.
matrices
a b
∈ SL(2, C) a, b, c, d son enteros Gaussianos
c d
es evidentemente discreto, pero no es discontinuo (cf. [2] p. 96). Los enteros
Gaussianos son los complejos de la forma a + ib, a, b ∈ Z. Nótese que estos
números forman un anillo conmutativo con unidad y que el grupo de Picard
es en efecto un subgrupo de P SL(2, C), que además contiene como subgrupo
al grupo clásico modular.
Aunque este grupo de Picard no es discontinuo en la esfera de Riemann,
la acción de su extensión de Poincaré en H3 sı́ lo es. Esta última afirmación
la cumplen todos los grupos kleinianos (cf. [2] p. 95).
Definición 26 Sea G un grupo actuando en un espacio métrico X y Y un
subespacio invariante bajo G de X, se dice que G actúa discontinuamente
en Y, si dado cualquier compacto K ⊂ Y, se tiene que
g(K) ∩ K 6= ∅
solamente para un número finito de transformaciones en G.
Esta propiedad, que es invariante bajo conjugación con un homeomorfismo (ejercicio), la satisface el conjunto ordinario de un grupo discontinuo (cf.
[2] p. 99). Lo cual muestra la similitud de los conceptos de acción discontinua y grupo discontinuo. Primero, obsérvese que si Γ es un subgrupo de
P SL(2, C) que actúa en un subdominio M de la esfera de Riemann y M
intersecta al conjunto lı́mite de Γ, entonces Γ no actúa discontinuamente
en M (ejercicio). Ahora, un sencillo cálculo muestra que si T ∈ P SL(2, R),
entonces
2 cos h ρ i, T (i) = ||T ||2 ,
(3.1)
donde T es una matriz en SL(2, R) que representa a T . Dejamos la verificación de este sorprendente resultado como ejercicio para el lector. La relación
(3.1) es muy útil para diversas aplicaciones; más aún, reemplazando i por
el cuaternio j = (0, 0, 1), y T por su extensión de Poincaré, dicha fórmula
también es cierta para funciones en P SL(2, C). Véase [2] pp. 61 y 62.
Usando la identidad (3.1) no es difı́cil probar que si Γ es un grupo discreto de P SL(2, R), entonces Γ actúa discontinuamente en H2 (ejercicio).
105
De hecho, estos argumentos se aplican de manera idéntica en el caso tridimensional, por lo que las extensiones de Poincaré de los subgrupos discretos
de P SL(2, C) actúan discontinuamente en H3 .
Recordemos que M (∆) es el subgrupo de P SL(2, C) que preserva el
disco de Poincaré. Obsérvese que si Γ es un subgrupo discreto de M (∆),
entonces L(Γ) ⊂ ∂∆. Esto se sigue ya que en virtud de la Proposición 3.1.5,
si
z−i
f (z) =
,
z+i
se tiene que f
−1
Γ f es un subgrupo de P SL(2, R) y
f
−1
(L(Γ)) = L(f
−1
Γ f ).
A continuación describimos los grupos estabilizadores, ası́ como los grupos
abelianos discretos.
b se define el subgrupo estaDefinición 27 Dado Γ < P SL(2, C) y z ∈ C,
bilizador de z, denotado por Γz , como
{T ∈ Γ | T (z) = z}.
Evidentemente Γz es un subgrupo de Γ. También, estos subgrupos se relacionan bajo la conjugación, como lo muestra el siguiente resultado.
Proposición 3.2.5 Sean Γ un subgrupo en P SL(2, C) y T cualquier transformación en P SL(2, C), entonces
ΓT (z) = T Γz T
−1
.
Demostración. Se tiene que
−1
S ∈ ΓT (z) ⇐⇒ S T (z) = T (z) ⇐⇒ T S T (z) = z
⇐⇒ T
−1
S T ∈ Γz ⇐⇒ S ∈ T Γz T
−1
.
Teorema 3.2.6 Sea Γ un subgrupo discreto abeliano de P SL(2, R), entonces Γ es cı́clico.
106
Demostración. Como Γ es abeliano, se sigue del Teorema 3.1.2 que todas
las transformaciones de Γ fijan los mismos puntos. Si Γ fija dos puntos,
entonces Γ es puramente hiperbólico o puramente elı́ptico, ya que en un
caso los puntos fijos son reales y en el otro no.
Caso 1: Γ es puramente parabólico.
Como las propiedades de conmutar o de ser discreto son invariantes bajo
conjugación, podemos suponer que Γ es un grupo de traslaciones
Γ = { T T (z) = z + λ, λ ∈ M ⊂ R}.
El conjunto M tiene un elemento positivo mı́nimo µ. De otra manera, si
existe una sucesión µn ≥ 0, n ∈ N, tal que µn → 0, al tomar un subgrupo
preimagen de matrices Γ en SL(2, R), se tendrı́a
1 µn
1 0
7−→
0 1
0 1
y Γ no serı́a discreto.
Ahora, se afirma que
M = {n µ, n ∈ Z},
lo cual probarı́a que Γ = < z → z + µ > . La afirmación se deriva, ya
que dada λ ∈ M, se tiene que λ = q µ + r, donde 0 ≤ r < µ, q ∈ Z y
necesariamente r = 0. En caso contrario, si r > 0, se tendrı́a
−1 q
Tλ Tµ
(z) = z + r,
donde T λ (z) = z + λ y T µ (z) = z + µ, sin embargo esto contradice que µ
es el menor elemento positivo en M.
Caso 2: Γ es puramente hiperbólico.
Conjugando, se puede suponer que Γ es un grupo de homotecias
Γ = { T T (z) = k z, k ∈ M ⊂ R+ }.
Ahora, M no contiene una sucesión kn , n ∈ N, tal que kn → 1, ya que en
tal caso
√
kn
0
1
0
√
7−→
0 1
0 1/ kn
107
y Γ no serı́a discreto. Por consiguiente, podemos tomar µ ∈ M, µ > 1, tal
que ∀ λ ∈ M, λ > 1, se tiene λ ≥ µ. Afirmamos que
M = { µn | n ∈ Z },
lo cual prueba este caso.
Para probar la afirmación sea λ ∈ M, λ > 1, entonces existe n ∈ N, tal
que µn ≤ λ < µn+1 . Si la primera desigualdad es estricta se tendrı́a
1<
λ
< µ,
µn
lo cual contradice la elección de µ, al tomar la transformación
−n
T λ T µ (z) = λ µ−n z,
donde T λ (z) = λ z y T µ (z) = µ z. El caso λ < 1 se prueba usando 1/λ.
Caso 3: Γ es puramente elı́ptico.
Conjugando, se puede suponer que Γ es un grupo de rotaciones en M (∆)
Γ = { T T (z) = eiθ z, θ ∈ M ⊂ R}.
En este caso no existe una sucesión θn ∈ M, tal que θn → 0, ya que se
tendrı́a


i θn
2
0 
1 0
e
7−→
−i θn
0 1
0 e 2
y Γ no serı́a discreto.
Finalmente, sea θ el menor elemento positivo de M, se afirma que
M = { θ n, n ∈ Z} ,
lo cual prueba el resultado. Para esto, sea ϕ ∈ M, entonces existe n ∈ Z,
tal que n θ ≤ ϕ < (n + 1) θ. Si n θ < ϕ, tomando
−n
T ϕ T θ (z) = e i (ϕ−n θ) z,
donde T ϕ (z) = e i ϕ z y T θ (z) = e i θ z, se tendrı́a 0 < ϕ − n θ < θ y θ no
serı́a el menor elemento positivo en M.
El teorema anterior no es válido en P SL(2, C), ya que existen subgrupos
discretos, abelianos y no cı́clicos de P SL(2, C) (ejercicio). Una descripción
108
completa de estos grupos se puede deducir de la generalización del Teorema
3.1.2 a transformaciones en P SL(2, C) (cf. [2] pp. 69, 84-89). El siguiente resultado muestra que el Teorema 3.2.6 tampoco es cierto para grupos abelianos
discretos de matrices en SL(2, R).
Proposición 3.2.7 El grupo generado por las matrices
−1 0
1 1
,
0 −1
0 1
es abeliano pero no es cı́clico.
Demostración. Sea Γ el grupo generado por estas matrices. Obsérvese
primero que como la matriz
−1 0
S=
0 −1
es escalar, entonces commuta con cualquier otra matriz y por consiguiente Γ
es abeliano. Además, se sigue de este hecho que cualquier matriz en el grupo
Γ es de la forma ± T n , n ∈ Z, donde
1 1
T =
.
0 1
Ahora, evidentemente los únicos posibles generadores de Γ son ± T o
± T −1 . Sin embargo, los grupos cı́clicos generados por estas matrices no
contienen a la matriz S. Esto se sigue, ya que si U denota T, −T, T −1 , o
−T −1 y n ∈ Z, n 6= 0, entonces
n
U (z) = z ± n,
por lo que U n 6= I, S.
Las transformaciones hiperbólicas y loxodrómicas juegan un papel especial en los grupos discretos. Recordemos que F T denota los puntos fijos de
b
una transformación T ∈ P SL(2, C) en la esfera de Riemann C.
Teorema 3.2.8 Sean T y S funciones de un subgrupo Γ en P SL(2, C),
tal que T es hiperbólica o loxodrómica, supóngase también que F S ∩ F T
consiste en exactamente en punto, entonces Γ no es discreto.
109
Demostración. Como las propiedades de las hipótesis y de la conclusión
del teorema son invariantes bajo conjugación, se puede suponer que
F T = {0, ∞}
y F S ∩ F T = {∞}.
Ahora, las transformaciones T y S están definidas por matrices en SL(2, C)
de la forma
k 0
a b
T =
, S=
,
0 1/k
0 a−1
donde b es distinto de 0 y |k| =
6 1.
Calculamos
n
−1
a b
k
0
a
−b
1/k n 0
n −1 −n
ST S T =
0 a−1
0 1/k n
0
a
0
kn
−1 n
n
1 ab(1 − k 2n )
a /k −bk n
ak
b/k n
=
.
=
0
ak n
0
1
0 a−1 /k n
Reemplazando T −1 por T si es necesario, se puede suponer que |k| < 1.
Por consiguiente, si n → ∞
1 ab
n −1 −n
ST S T 7−→
.
0 1
Finalmente, como ab 6= 0 y las potencias de k son distintas, se sigue que
n −1
−n
las transformaciones S T S T
son también distintas y por lo tanto Γ
no es discreto.
Obsérvese que el teorema anterior implica que en un grupo discreto un
punto fijo de una transformación hiperbólica (o loxodrómica) no es un punto
fijo de una parabólica y que los puntos fijos de dos transformaciones hiperbólicas o loxodrómicas son iguales o disjuntos. En el siguiente resultado se describen los grupos estabilizadores de P SL(2, R).
Teorema 3.2.9 Sea Γ un subgrupo de P SL(2, R) discreto. Entonces:
b Γz es la identidad o cı́clico infinito;
(i) si z ∈ R,
(ii) si z ∈ H2 , Γz es la identidad o cı́clico finito.
Demostración. En el caso (ii), Γz consiste en funciones elı́pticas que no
son de orden infinito, ya que Γ es discreto, y por lo tanto los puntos que no
son reales son ordinarios. Ahora, se sigue de la ecuación de los puntos fijos
110
que todas las transformaciones en Γz fijan también z. Por consiguiente, este
grupo es abeliano y se sigue del Teorema 3.2.6 que también es cı́clico.
En el caso (i), si z es un punto fijo de una transformación parabólica, se
sigue del Teorema 3.2.8 que Γz consiste en elementos parabólicos que fijan
z, por lo cual Γz es abeliano y cı́clico. Estos mismos argumentos se aplican
al caso hiperbólico.
Obsérvese que el teorema anterior es falso para subgrupos de P SL(2, C).
Probaremos que si Γ es un subgrupo discreto de P SL(2, R), entonces L(Γ)
consiste en 0, 1 o 2 puntos, o es un conjunto perfecto. Este sorprendente
resultado también es cierto para subgrupos de P SL(2, C).
Proposición 3.2.10 Sea Γ un subgrupo estabilizador discreto de P SL(2, R),
entonces L(Γ) tiene a lo más dos puntos.
Demostración. Sea Γ = Γz . Si z ∈ H2 , se sigue del Teorema 3.2.9 que
este grupo es cı́clico elı́ptico y finito, por lo que L(Γ) = ∅.
b se sigue del Teorema 3.2.9, que Γ es cı́clico infinito. Más aún,
Si z ∈ R,
en virtud del Lema 3.1.6, se tiene que L(Γ) consiste en uno o dos puntos,
dependiendo si el generador es parabólico o hiperbólico.
Definición 28 Un grupo fuchsiano es un subgrupo discreto de P SL(2, C)
que preserva un “disco”, es decir, es un grupo que es conjugado a un subgrupo
discreto de P SL(2, R).
La Proposición 3.2.10 no se cumple si Γ no es discreto, por ejemplo,
si T es elı́ptica de orden infinito con puntos fijos z, w y Γ =< T >, se
b Obsérvese que la Proposición 3.2.9 muestra
tiene Γ = Γz y L(Γ) = C.
que los subgrupos estabilizadores de los grupos fuchsianos son cı́clicos. Por
otra parte, el siguiente resultado muestra que si el conjunto lı́mite de un
subgrupo de P SL(2, R) consiste en un solo punto, entonces se trata de un
grupo estabilizador.
Proposición 3.2.11 Sea Γ < P SL(2, R), tal que L(Γ) = {z0 }, entonces
Γ es cı́clico parabólico.
Demostración. Sean T n , n ∈ N, transformaciones distintas en Γ, y
b tal que T n (z) → z0 . Se tiene entonces que si T ∈ Γ, entonces
z ∈ C,
111
T (z0 ) = z0 , de otra manera T T n (z) → T (z0 ) y T (z0 ) serı́a otro punto
lı́mite. Por lo que
Γ = Γz0 .
Ahora, como z0 es el único punto lı́mite, el grupo Γ no contiene hiperbólicas y por lo tanto es puramente parabólico. Finalmente, como Γ es discontinuo, también es discreto y por lo tanto es cı́clico (ya que es abeliano). La Proposición 3.2.11 no se cumple para subgrupos de P SL(2, C), sin
embargo, bajo las hipótesis de este teorema, estos grupos son necesariamente
discretos, pero pueden tener elı́pticas, y el subgrupo de parabólicas puede ser
doblemente periódico (cf. [2] p. 89).
Definición 29 Se dice que un subgrupo Γ de P SL(2, R) es horocı́clico, o
de la primera clase, si
b
L(Γ) = R.
La definición anterior se extiende de manera natural a grupos fuchsianos.
Probaremos posteriormente que los subgrupos normales de los grupos horocı́clicos son también horocı́clicos, ahora probamos unos casos particulares de
este hecho.
Lema 3.2.12 Sea Γ fuchsiano infinito, entonces L(Γ) 6= ∅.
Demostración. Sin pérdida de generalidad Γ < M (∆). Como Γ es discreto, Γ es numerable, por lo que existe z0 ∈ ∆, tal que z0 no es un punto
fijo. Se sigue entonces que Γ(z0 ) es un conjunto infinito en ∆, y como ∆
es compacto, necesariamente Γ(z0 ) tiene un punto de acumulación en ∂(∆).
Por consiguiente, L(Γ) 6= ∅.
Proposición 3.2.13 Sea Γ un subgrupo normal de un grupo horocı́clico G,
entonces L(Γ) 6= ∅
Demostración. Si L(Γ) = ∅, se sigue del lema anterior que Γ es finito y
esto implica que el ı́ndice [G, Γ] es infinito. Ahora, si T ∈ Γ es distinta de la
identidad, se tiene entonces que T es necesariamente elı́ptica y que si z0 es
un punto fijo de T , entonces [G, Gz0 ] = ∞ (ya que Gz0 también es finito).
Finalmente, si S j , j ∈ N, denotan representantes de las clases laterales
derechas de Gz0 en G, se sigue que S i (z0 ) 6= S j (z0 ), si i 6= j. Por lo cual
−1
Sj T Sj ,
j ∈ N,
112
es una colección infinita de transformaciones distintas en Γ (ya que sus
puntos fijos están dados por la colección S j (z0 ), j ∈ N). Esta contradicción
implica que Γ debe ser de orden infinito y por ende el resultado.
Usando los resultados anteriores se puede refinar un poco más la última
proposición.
Proposición 3.2.14 Sea Γ un subgrupo normal de un subgrupo horocı́clico
G, entonces el conjunto lı́mite L(Γ) consiste de más de un punto.
Demostración. Si L(Γ) = {z0 }, se sigue de la Proposición 3.2.11 que Γ es
un grupo estabilizador cı́clico parabólico. Ahora, la Proposición 3.2.10 implica
que no toda transformación en G fija z0 , ya que este grupo es horocı́clico.
Sea T ∈ G, tal que T (z0 ) 6= z0 y S el generador de Γ, se tiene entonces
−1
que la función T S T
pertenece al grupo Γ. Sin embargo, el punto fijo de
−1
T ST
es T (z0 ), lo cual contradice que Γ es un grupo estabilizador. Por
consiguiente, la cardinalidad de L(Γ) es mayor a uno.
Definición 30 Se dice que Γ < P SL(2, C) es elemental, si L(Γ) tiene a lo
más 2 puntos, en caso contrario se dice que es no elemental.
Nótese que los grupos elementales son necesariamente discretos, ya que en
los grupos no discretos todos los puntos de la esfera de Riemann son puntos
lı́mite.
Definición 31 Sea G un grupo abstracto y Γ un subconjunto de G, se
define el normalizador de Γ en G, denotado por NG (Γ), como el subgrupo
{g ∈ G | gΓg −1 = Γ}.
Es fácil probar que NG (Γ) es en efecto un subgrupo de G, obsérvese que
NG (Γ) = {g ∈ G | gΓ = Γg}.
En particular, si Γ es un subgrupo discreto de P SL(2, R) y T es una
transformación en Γ con punto fijo z (o con puntos fijos z, w), entonces el
normalizador de T en Γ es precisamente el subgrupo cı́clico Γz .
113
Proposición 3.2.15 Sea T una transformación parabólica o elı́ptica en un
grupo fuchsiano G, entonces si Γ =< T >, se tiene que
N G (Γ) = K,
donde K es el mayor grupo cı́clico en G que contiene a T .
Demostración.
Caso 1: T parabólica, con punto fijo z0 .
n −1
m
= T
y S(z0 ) = z0 . Por ser G
Si S ∈ NG (Γ), entonces S T S
discreto, S es parabólica y es claro que N G (Γ) = Gz0 . Obsérvese que no
necesariamente Gz0 = Γ, por ejemplo, si V ∈ G está dada por V (z) = z +1,
y T (z) = z + 2.
Caso 2: T elı́ptica, T (z0 ) = z0 , z0 ∈ H2 .
n −1
m
Si S ∈ N G (Γ), entonces S T S
= T y como S ∈ P SL(2, R), se
tiene S(z0 ) = z0 . En consecuencia, N G (Γ) consiste en todas las transformaciones elı́pticas en G que fijan z0 y z 0 , es decir, N G (Γ) = Gz0 .
Para analizar el caso hiperbólico se necesita un resultado de la teorı́a
básica de grupos.
Lema 3.2.16 Sea Γ un subconjunto de un subgrupo G de un grupo abstracto
K y ϕ ∈ K, entonces
ϕ NG (Γ) ϕ−1 = Nϕ G ϕ−1 (ϕ Γ ϕ−1 ).
ϕ f ϕ−1 ∈ ϕ NG (Γ) ϕ−1 ⇐⇒ f ∈ NG (Γ)
⇐⇒ ϕ f ϕ−1 (ϕ Γ ϕ−1 )(ϕf ϕ−1 )−1 = ϕ Γ ϕ−1
⇐⇒ ϕ f ϕ−1 ∈ Nϕ G ϕ−1 (ϕ Γ ϕ−1 ).
Si g ∈ Nϕ G ϕ−1 (ϕ Γ ϕ−1 ), tomando f = ϕ−1 gϕ se tiene g = ϕ f ϕ−1 .
Proposición 3.2.17 Sea T una transformación hiperbólica en un grupo
fuchsiano G, supóngase también que los puntos fijos de T son α, β, y que
Γ =< T > . Entonces:
(i) N G (Γ) = Γα , si G no contiene elementos de orden 2 que intercambian
α y β;
(ii) N G (Γ) =< Γα , S >, si existe S ∈ G, tal que S(α) = β.
114
Demostración. Usando la Proposición 3.2.16, podemos suponer que T
fija 0 e ∞, por lo que T (z) = kz, k ∈ R+ , k 6= 1.
n
m
Si ϕ ∈ N G (Γ), entonces ϕ T ϕ −1 = T y ϕ preserva {0, ∞}. Por lo
tanto, si G no contiene elementos elı́pticos de orden 2, que intercambien 0
e ∞, se tiene (de manera similar a los casos parabólico y elı́ptico)
N G (Γ) = G0 ,
ya que todos los elementos de G que fijan 0, también fijan ∞ (en virtud
del Teorema 3.2.8).
En contraste, si el grupo G contiene una transformación elı́ptica de orden
2, S, tal que S(0) = ∞, entonces como S es una involución de la forma
z → α/z, se sigue que
n k α
z
n −1
n α
−n
=S
S T S (z) = S T
= n = T (z),
z
z
k
y se tiene que la transformación S pertenece también al grupo normalizador
N G (Γ). Finalmente, si S 1 y S 2 intercambian 0 e ∞, entonces S 1 S 2 los
fija, en consecuencia
N G (Γ) =< G0 , S > .
Obsérvese que en el segundo caso de la proposición anterior, se tiene
que el subgrupo normalizador N G (Γ) tiene como subgrupo de ı́ndice 2 al
grupo estabilizador S α . Probamos ahora que los subgrupos no elementales
de P SL(2, R), que además son puramente hiperbólicos, son necesariamente
discretos.
Lema 3.2.18 Sea Γ < P SL(2, R) puramente hiperbólico, tal que
λ 0
T =
∈ Γ < SL(2, R),
0 λ−1
λ > 0, λ 6= 1. Supóngase también que existe una sucesión de matrices distintas Tn ∈ Γ, tal que Tn → Id, entonces
ρn 0
Tn =
, si n > N, ρ2n 6= 1.
0 ρ−1
n
115
Demostración. Denotamos a las matrices Tn por
an b n
,
cn dn
se tiene entonces que an dn → 1 y bn cn → 0, en particular, si n es suficientemente grande an dn > 0. Usaremos las trazas de ciertos conmutadores para encontrar condiciones de las entradas de las matrices Tn . Si
Cn = T Tn T −1 Tn−1 , entonces
−1 λ 0
an b n
λ
0
dn −bn
Cn =
0 λ−1
cn dn
0 λ
−cn an
=
=
λan
λbn
−1
λ cn λ−1 dn
−1
λ dn −λ−1 bn
−λcn
λan
an dn − λ2 bn cn −an bn + λ2 an bn
,
λ−2 dn cn − dn cn −λ−2 bn cn + an dn
por lo cual la traza de Cn está dada por
2 + 2bn cn − bn cn (λ2 + λ−2 )
= 2 − bn cn (λ − λ−1 )2 .
(3.2)
Ahora, calculamos las trazas de las matrices Dn = T Cn T −1 Cn−1 , se
tiene que
λ 0
1 − bn cn (λ2 − 1)
an bn (λ2 − 1)
T Cn =
0 λ−1
cn dn (λ−2 − 1) 1 − bn cn (λ−2 − 1)
2
λ 1 − bn cn (λ2 − 1)
λa
b
(λ
−
1)
n
n
=
λ−1 cn dn (λ−2 − 1) λ−1 1 − bn cn (λ−2 − 1)
y
T
−1
λ−1 0
1 − bn cn (λ−2 − 1) −an bn (λ2 − 1)
=
0 λ
−cn dn (λ−2 − 1) 1 − bn cn (λ2 − 1)
−1 −1
2
λ 1 − bn cn (λ−2 − 1)
−λ
a
b
(λ
−
1)
n
n
.
=
−λcn dn (λ−2 − 1)
λ 1 − bn cn (λ2 − 1)
Cn−1
116
Por lo cual la entrada superior izquierda de Dn está dada por
1 − bn cn (λ2 − 1) 1 − bn cn (λ−2 − 1) − λ2 an bn cn dn (λ2 − 1)(λ−2 − 1)
y la inferior derecha por
−λ−2 an bn cn dn (λ2 − 1)(λ−2 − 1) + 1 − bn cn (λ−2 − 1) 1 − bn cn (λ2 − 1) .
En consecuencia, la traza de Dn es
−an bn cn dn (λ2 − 1)(λ−2 − 1)(λ2 + λ−2 ) + 2 1 − bn cn (λ2 − 1) 1 − bn cn (λ−2 − 1)
= an bn cn dn (λ2 − 2 + λ−2 )(λ2 + λ−2 ) + 2 + 2b2n c2n (λ2 − 1)(λ−2 − 1)
−2bn cn (λ2 − 1 + λ−2 − 1)
= an bn cn dn (λ−λ−1 )2 (λ2 +λ−2 )+2an bn cn dn (2−λ2 −λ−2 )−2bn cn (2−λ2 −λ−2 )
+2 − 2bn cn (λ2 + λ−2 − 2)
= 2 + an bn cn dn (λ − λ−1 )2 λ2 + λ−2 − 2
= 2 + an bn cn dn (λ − λ−1 )4 .
(3.3)
Ahora, ya que |χ(Cn )| ≥ 2 y bn cn → 0, se sigue de (3.2) que χ(Cn ) ≥ 2,
si n es suficientemente grande. En particular, existe un natural N1 , tal que
si n > N1 , se tiene bn cn ≤ 0.
También, como |χ(Dn )| ≥ 2 y an bn cn dn → 0, se sigue de (3.3) que
χ(Dn ) ≥ 2, si n es suficientemente grande, digamos n > N2 . En consecuencia, an bn cn dn ≥ 0, si n > N2 . Más aún, ya que an dn → 1, cuando n → ∞,
existe un natural N3 , tal que si n > N3 , an dn > 0.
Por consiguiente, tomando N = max{N1 , N2 , N3 } y n > N, se tiene
bn cn ≤ 0 y también bn cn ≥ 0, por lo cual bn cn = 0. Se sigue entonces
de (3.2) que χ(Cn ) = 2 y que Cn = Id, ya que el grupo es puramente
hiperbólico. Finalmente, como T y Tn conmutan, si n > N, necesariamente
Tn fija 0 e ∞.
El sorprendente resultado que se muestra a continuación fue encontrado
por Lauritzen, la demostración que se exhibe se debe a Siegel.
Teorema 3.2.19 Sea Γ < P SL(2, R) no abeliano y puramente hiperbólico,
entonces Γ es discreto.
117
Demostración. Sin pérdida de generalidad
λ 0
T =
∈ Γ < SL(2, R), λ > 0, λ 6= 1.
0 λ−1
Si Γ no es discreto, existe una sucesión de matrices distintas Sn ∈ Γ, tales
que Sn → Id. Se sigue entonces del Lema 3.2.18 que si n > N, entonces
ρn 0
Sn =
, ρ2n > 1.
0 ρ−1
n
Ahora, como Γ no es abeliano, existe S en Γ, tal que no fija 0 e ∞, por
lo que esta transformación está dada por una matriz de la forma
a b
∈ Γ, b, c 6= 0.
c d
Aunque a priori el grupo podrı́a no ser discreto, se tiene que cualquier
par de hiperbólicas en Γ fijan los mismos puntos o puntos ajenos. Esto se
sigue, ya que si tuvieran un solo punto fijo en común, el conmutador serı́a
parabólico (véase el Ejercicio 3.1.2).
Calculamos ahora
−1
0
d −b
ρn 0
a b
ρn
−1
Tn = Sn SSn S =
0 ρn
−c a
0 ρ−1
c d
n
−1
ρn a ρn b
ρn d −ρ−1
n b
=
−1
ρ−1
−ρn c ρn a
n c ρn d
∗
(ρ2n − 1)ab
.
=
(ρ−2
∗
n − 1)cd
(3.4)
Finalmente, se sigue del Lema 3.1.8 que Tn → Id, por lo que aplicando
de nuevo el Lema 3.2.18 se tiene
∗ 0
Tn =
,
0 ∗
si n > N 0 (N 0 > N ). Por consiguiente, (3.4) implica que ab = 0 y cd = 0,
sin embargo, como b, c 6= 0, se tiene a, d = 0, lo que contradice | a + d |> 2.
118
Una interpretación geométrica de la prueba del Teorema 3.2.19 se puede
consultar en [2] capı́tulo 8. Obsérvese que este teorema no es cierto si Γ es
abeliano, considérese por ejemplo, el grupo de todas las homotecias.
EJERCICIOS 3.2.
1. Demuestre que si dos grupos de matrices en SL(2, C) determinan el mismo
grupo de transformaciones, entonces ambos simultáneamente son (o no son)
discretos.
2. Sea ψ un homeomorfismo entre dos espacios métricos X y Y, demuestre
que un grupo G actúa discontinuamente en X si y sólo si el grupo ψ G ψ −1
actúa discontinuamente en Y.
3. Sea Γ un subgrupo de P SL(2, C) que actúa en un subdominio M de la
esfera de Riemann, supóngase también que M intersecta al conjunto lı́mite
de Γ, demuestre que Γ no actúa discontinuamente en M.
4. Demuestre que si T ∈ P SL(2, R), entonces 2 cos h ρ i, T (i) = ||T ||2 ,
donde T es una matriz en SL(2, R) que representa a T .
5. Demuestre que si Γ es un grupo discreto de P SL(2, R), entonces Γ actúa
discontinuamente en H2 .
6. Exhiba un subgrupo discreto abeliano de P SL(2, C) con transformaciones
parabólicas y que no sea cı́clico.
7. Exhiba un subgrupo discreto abeliano de P SL(2, C) que no contenga
transformaciones parabólicas y que no sea cı́clico.
3.3.
Conjunto lı́mite de un grupo discreto
Probaremos que un punto lı́mite de un grupo fuchsiano es punto de acumulación de todas las órbitas, excepto, quizá, de una o dos de ellas. Como
consecuencia de este resultado se prueba que los subgrupos normales de los
grupos horocı́clicos son también horocı́clicos, en este proceso se exhiben también varias propiedades fundamentales del conjunto lı́mite.
Proposición 3.3.1 Sea Γ fuchsiano y λ ∈ L(Γ) punto fijo de alguna transb − {λ, λ0 }, λ es
formación de Γ, entonces existe λ0 ∈ L(Γ), tal que ∀z ∈ C
un punto de acumulación de Γ(z).
3.3. CONJUNTO LÍMITE DE UN GRUPO DISCRETO
119
Demostración. Sea T la transformación en Γ que fija λ, se tienen dos
casos.
En este caso se probó que
b − {λ},
∀z ∈ C
n
T (z) → λ, si n → ∞. Los puntos se mueven hacia λ, en los cı́rculos fijos
de las parabólicas llamados horociclos (véase la Figura 3.2).
T (z)
z
n
T (z)
λ
Figura 3.2: Horociclos de una transformación parabólica
Caso 2: T es hiperbólica.
Se sigue de la discusión en el primer capı́tulo sobre la geometrı́a de las
hiperbólicas que
b − {λ, λ0 },
∀z ∈ C
Γ(z) se acumula en el atractor y en el repulsor (véase la Figura 3.3).
T (z)
n
T (z)
z
λ′
λ
Figura 3.3: Hiperciclos o “cı́rculos” fijos de las hiperbólicas
Se quiere generalizar la Proposición 3.3.1 para los puntos lı́mite de un
grupo fuchsiano Γ, que no son puntos fijos de ninguna transformación en
120
el grupo distinta de la identidad. Como las hipótesis y las conclusiones son
invariantes bajo conjugación, basta probar el resultado para subgrupos discretos de M (∆). Obsérvese que en este caso L(Γ) ⊂ ∂∆, y sólo existe un
número finito de transformaciones en Γ determinadas por matrices de la
forma
∗ 0
,
0 ∗
ya que las correspondientes transformaciones fijan 0 e ∞ y estos son puntos
ordinarios. Recordamos que
M (∆) =
a c
c a
∈ SL(2, C) .
En general, el conjunto de números complejos que aparecen en alguna
de las cuatro entradas de un subgrupo discreto de matrices de SL(2, Z), no
debe ser acotado (ejercicio). El siguiente resultado refina este hecho para el
caso particular de las matrices definidas por un subgrupo discreto de M (∆).
Lema 3.3.2 Dado Γ ∈ M (∆) discreto, no existe una sucesión de matrices
distintas de Γ
an c n
, n ∈ N,
c n an
tales que an → a ∈ C, o tales que cn → c ∈ C.
Demostración. Si an → a, |an |2 → |a| 2 y |cn | 2 → |a| 2 −1. Pero entonces
las sucesiones an y cn están acotadas y se puede extraer una subsucesión
convergente de
an c n
, n ∈ N.
(3.5)
c n an
Lo cual contradice que Γ es un grupo discreto. El caso cn → c es análogo.
Obsérvese que en el contexto del lema anterior, dada cualquier sucesión
de matrices distintas de la forma (3.5), necesariamente cn → ∞, cuando
n → ∞. Como caso particular de este lema, se sigue también que las entradas
superiores derechas cn de estas matrices no convergen a 0. Estos hechos los
aplicaremos posteriormente.
121
Corolario 3.3.3 Para todo subgrupo fuchsiano Γ de M (∆) existe un número
positivo m con la siguiente propiedad:
an c n
∈ Γ, entonces cn = 0 o |cn | > m.
si
c n an
b se define Λ (z) como el
Definición 32 Sean Γ < P SL(2, C) y z ∈ C,
Γ
b
conjunto de los puntos w ∈ C, tales que existen transformaciones distintas
T n ∈ Γ, para las cuales T n (z) → w.
En general, los puntos de ΛΓ (z) son los puntos de acumulación de la
órbita de z y el mismo punto z, cuando éste es un punto fijo de una transformación de orden infinito; sin embargo, existen subgrupos en P SL(2, C)
cuyos puntos en ΛΓ (z), no tienen estas caracterı́sticas (ejercicio). Evidentemente se tiene también que ∀z, ΛΓ (z) ⊂ L(Γ), algunas veces denotaremos
b
a ΛΓ (z) simplemente por Λ(z). El siguiente resultado muestra que ∀z ∈ C
el conjunto Λ(z) es invariante y cerrado.
b Entonces:
Lema 3.3.4 Sea Γ < P SL(2, C) y z ∈ C.
(i) T (Λ(z)) = Λ(z), ∀ T ∈ Γ;
(ii) Λ(z) es cerrado.
Demostración. La prueba de (i) es idéntica a la del Teorema 3.1.3 (ejercicio).
Para probar (ii) sea λk , k ∈ N, una sucesión en Λ(z), tal que λk → λ,
tomando subsucesiones se puede suponer que |λk − λ| < 1/k. Se puede
también tomar transformaciones distintas T nk en Γ, tales que
|T nk (z) − λk | < 1/k.
Como las λk son puntos distintos, las T nk se pueden tomar, en efecto, distintas (si λ = ∞, se debe usar la métrica cordal). Por consiguiente
|T nk (z) − λ| ≤ |T nk (z) − λk | + |λk − λ| ≤
y λ ∈ Λ(z).
2
k
Se puede probar que si Γ < P SL(2, C) es no elemental y discreto, enb se tiene que L(Γ) = Λ(z). Véase [2] p. 98. En este texto
tonces ∀z ∈ C,
probamos un caso particular de este hecho.
122
Teorema 3.3.5 Sea Γ < M (∆) discreto, entonces L(Γ) = Λ(∞).
Hay que probar que L(Γ) ⊂ Λ(∞). Sea λ ∈ L(Γ),
an c n
λ = lı́m T n (z), donde Tn =
c n an
n→∞
Demostración.
entonces
son matrices distintas en Γ y z ∈ C (si z = ∞, no hay nada que probar).
Como ya se mencionó, se tiene que cn = 0, solamente para un número finito
de transformaciones, por lo que podemos suponer que cn 6= 0, ∀n. Se tiene
entonces dos posibilidades:
(i) |cn z + an | ≥ 1, si n > N .
(ii) |cnk z + ank | < 1, en una subsucesión nk , k ∈ N.
En el segundo caso, se sigue del Lema 3.3.2 que
a
−1
n
k
< 1 7−→ 0
|z − T nk (∞)| = z − −
cnk |cnk |
y z ∈ Λ(∞); también por la invariabilidad (Lema 3.3.4), T nk (z) ∈ Λ(∞).
Más aún, como Λ(∞) es cerrado (Lema 3.3.4), se sigue que λ ∈ Λ(∞).
En el primer caso
an z + c n an |T n (z) − T n (∞)| = − c n z + an
cn
−1
≤ 1 , si n > N,
=
cn (cn z + an ) | cn |
puesto que an an − cn cn = 1. Por lo tanto
|T n (z) − T n (∞)| 7−→ 0,
cuando n → ∞, y
|λ − T n (∞)| ≤ |λ − T n (z)| + |T n (z) − T n (∞)| 7−→ 0,
cuando n → ∞. En consecuencia, λ ∈ Λ(∞).
Corolario 3.3.6 Sea Γ fuchsiano, entonces L(Γ) es cerrado y por lo tanto
O(Γ) es abierto.
123
Demostración. Si Γ < M (∆), el resultado se sigue directamente del
Teorema 3.3.5; el caso general es consecuencia de la Proposición 3.1.5
El Corolario 3.3.6 se generaliza a cualquier subgrupo de P SL(2, C) (cf.
[2] pp. 96-99). Por otra parte, es didáctico aplicar este resultado para probar,
de otra manera, que un grupo discreto es a lo sumo numerable. Necesitamos
primero un resultado básico del análisis.
Lema 3.3.7 Sea A ⊂ Rn abierto, entonces
A=
∞
[
Ki ,
(3.6)
i=1
donde Ki , i ∈ N, son conjuntos compactos.
Demostración. Si A = Rn , definiendo Kn = B(0, n), se sigue el resultado. De otra manera, ∂A no es vacı́a y se define
Kn = B(0, n) ∩ An ,
donde An = {z ∈ A | d(z, ∂A) ≥ 1/n}. Como A es abierto, se sigue que
si z ∈ A, entonces d(z, ∂A) > 0 y por lo tanto z ∈ B(0, n) ∩ An , si n es
suficientemente grande. En consecuencia, se sigue (3.6) y basta probar que
los conjuntos An son cerrados.
Para probar que An es cerrado, sea zm ∈ An , m ∈ N, tal que zm → z. Si
z∈
/ An , entonces d(z, ∂A) < 1/n. Sin embargo, tomando w ∈ ∂A, tal que
d(z, w) = d(z, ∂A), se obtiene una contradicción al tomar zm suficientemente
cercana a z, de tal manera que d(zm , z) + d(z, w) < 1/n.
Usamos este hecho para probar, de una nueva manera, que si Γ es fuchsiano, entonces Γ es a lo sumo numerable. Sea
O(Γ) =
∞
[
Kn ,
n=1
donde Kn , n ∈ N, son conjuntos compactos. Ahora, tomando α ∈ O fijo, se
tiene que para cualquier natural m fijo, existe un número finito de transformaciones T j ∈ Γ, tal que T j (α) ∈ Km ; puesto que Km consiste en puntos
ordinarios. Esto se sigue ya que de otra manera, la órbita de α se acumula
124
en algún punto de Km , o α toma un valor en Km un número infinito de
veces. Haciendo variar m se sigue el resultado.
Como se mostró anteriormente, puede también probarse, sin usar la discontinuidad, que si Γ < P SL(2, C) es discreto, entonces Γ es a lo sumo
numerable. Esto se seguı́a, puesto que dada k ∈ N, sólo puede haber un
número finito de matrices en el grupo con normas menores a k. Probamos
ahora un resultado complementario a la Proposición 3.3.1.
Lema 3.3.8 Sea Γ fuchsiano y λ un punto lı́mite de Γ, que no es un punto
b z 6= λ0 , se tiene que la órbita de z se acumula en λ,
fijo, entonces ∀z ∈ C,
b que sólo depende de λ y Γ.
donde λ0 es un punto en C
Demostración. Sin perder generalidad podemos suponer Γ < M (∆). Se
sigue del Teorema 3.3.5 que λ ∈ Λ(∞), por lo que existen T n ∈ Γ distintos,
tales que T n (∞) → λ,
an c n
Tn =
∈ Γ.
c n an
El mismo cálculo de la prueba del Teorema 3.3.5 muestra que
|T ( z) − T n (∞)| =
1
1
1
=
.
2
|cn (cn z + an )|
|cn | |z − (−an / cn )|
(3.7)
Además, el conjunto
−an
−1
= T n (∞), n ∈ N,
cn
está acotado, ya que no puede acumularse en el punto ordinario ∞; por lo
que existe un punto de acumulación λ0 y una subsucesión T nk , para la cual
−1
T nk (∞) → λ0 (nótese que λ0 ∈ L(Γ)).
−1
Ahora, si z ∈ C, z 6= λ0 , entonces el conjunto T nk (∞), k ∈ N, no se
acumula en z, por lo que
z − −ank ≥ > 0, si k > N.
(3.8)
cnk Más aún, se sigue de la observación después del Lema 3.3.2 que cn → ∞,
cuando n → ∞. En consecuencia, usando (3.7) y (3.8) se tiene que
|T nk (z) − T nk (∞)| ≤
1
7−→ 0,
|cnk |2
125
b − {λ0 } (puesto que T n (∞) → λ).
por lo que T nk (z) → λ, ∀z ∈ C
k
Finalmente, T nk (z), k ∈ N, es un conjunto infinito, de otra manera
−1
T nk (z) = λ, si k > N , pero entonces T nk+1 T nk (λ) = λ, contradiciendo que
b − {λ0 }, Γ(z) se acumula en λ.
λ no es un punto fijo. Por lo tanto, ∀z ∈ C
Mostraremos que el lema anterior se puede afinar aún más, esto es, bajo
las hipótesis de este lema, todas las órbitas se acumulan en λ. El argumento
b tal que
de este lema muestra también que si K es un compacto en C,
0
λ ∈
/ K, entonces existen transformaciones distintas T n ∈ Γ, n ∈ N, tales
que T n (z) → λ uniformemente en K (ejercicio).
b se define el conjunto derivaDefinición 33 Dado Γ < P SL(2, C) y z ∈ C,
do de z, denotado por d(Γ(z)), como el conjunto de puntos de acumulación
de la órbita de z.
Obsérvese que d(Γ(z)) ⊂ Λ(z). La contención es propia, por ejemplo, si
Γ =< z → 2z >, entonces d(Γ(0)) = ∅, sin embargo 0 ∈ Λ(z).
Teorema 3.3.9 Sea Γ fuchsiano. Entonces:
(i) L = d(Γ(z)) ∀z ∈ O;
b
(ii) si Γ es no elemental, entonces L = d(Γ(z)) ∀z ∈ C.
Demostración. El primer resultado es inmediato de la Proposición 3.3.1
y de la prueba del Lema 3.3.8, ya que λ0 ∈ L.
Para probar (ii), nótese que bajo estas hipótesis toda órbita contiene
al menos tres puntos. Para probar esta afirmación, obsérvese primero que
si hubiera una órbita de un solo punto, se tendrı́a que Γ serı́a un grupo
estabilizador y L(Γ) tendrı́a a lo más dos puntos, en virtud de la Proposición
3.2.10. Por otra parte, si el conjunto {z1 , z2 } es una órbita, entonces todo
elemento de Γ preserva {z1 , z2 } y se tienen dos posibilidades:
(a) Γ es de orden 2, lo cual no es posible, ya que este grupo es no elemental.
(b) Γ contiene como subgrupo de ı́ndice 2 a un grupo estabilizador y de
nuevo L(Γ) tendrı́a a lo más dos puntos (véase el Teorema 3.1.4).
126
Habiendo probado la afirmación, el resultado del teorema es inmediato.
b fija y w ∈ L(Γ), basta probar que la órbita de z se acumula en
Sea z ∈ C
w. Se sigue de la afirmación, que existen otros dos puntos, u y v, distintos
entre sı́ y distintos a z, de tal manera que z, u y v pertenecen a la misma
órbita. Finalmente, usando la Proposición 3.3.1 y el Lema 3.3.8, se tiene que
esta órbita se acumula en w.
Estos resultados tienen varias consecuencias importantes y también muy
interesantes. El siguiente teorema que generaliza la Proposición 3.3.1 y el
Lema 3.3.8, es consecuencia directa del Teorema 3.3.9.
Teorema 3.3.10 Sea Γ fuchsiano no elemental y λ un punto lı́mite de Γ,
entonces todas las órbitas se acumulan en λ. En particular
b
Λ(z) = L ∀ z ∈ C.
Es notable que si un subgrupo de P SL(2, C) tiene más de dos puntos
lı́mite, entonces el conjunto de puntos lı́mite es perfecto; una prueba general
de este hecho se puede consultar en [2] p. 97. En este texto probamos este
resultado para el caso fuchsiano.
Teorema 3.3.11 Sea Γ fuchsiano no elemental, entonces L(Γ) es perfecto.
Demostración. Como L(Γ) es cerrado, basta probar que no hay puntos
aislados. Sea λ ∈ L(Γ), por ser Γ no elemental, existe otro punto lı́mite
λ1 distinto a λ. Ahora, se sigue del Teorema 3.3.10 que la órbita de λ1 se
acumula en λ. Finalmente, una órbita de puntos lı́mite consiste en puntos
lı́mite, por lo que λ no es aislado en L(Γ).
Definición 34 Sea A ⊂ Rn , se dice que A en ninguna parte es denso si
Int A = ∅, es decir, si A no contiene ninguna bola abierta.
En el caso no elemental todas las órbitas son densas en los puntos lı́mite;
b o C)
b es en cierta manera delgado.
sin embargo este conjunto (cuando no es R
Los siguientes resultados muestran ese carácter fractal, o de conjunto de
Cantor, que tienen los conjuntos lı́mite en estos casos.
Teorema 3.3.12 Sea Γ un subgrupo discreto de P SL(2, R), entonces el
conjunto lı́mite de Γ es toda la recta real extendida, o es un conjunto que en
b
ninguna parte es denso en R.
127
Demostración. Si Γ no es horocı́clico, sea λ ∈ L(Γ) y
b
α ∈ O(Γ) ∩ R.
Se sigue entonces del Teorema 3.3.9 que la órbita de α se acumula en λ. En
consecuencia, cualquier intervalo alrededor de λ contiene puntos ordinarios,
es decir, L(Γ) en ninguna parte es denso (ya que no contiene ningún intervalo
abierto).
Este resultado se generaliza a otros grupos fuchsianos, interpretando intervalos como segmentos de “cı́rculos”. Más aún, el Teorema 3.3.9 también
es cierto para subgrupos discretos de P SL(2, C) (cf. [2] p. 98); por lo que se
puede aplicar un argumento similar a la prueba del Teorema 3.3.12 y probar
que si un subgrupo de P SL(2, C) es no elemental y discontinuo, entonces su
b El siguiente resultado muesconjunto lı́mite en ninguna parte es denso en C.
tra que, en general, los conjuntos lı́mite son los menores conjuntos invariantes
y cerrados. Una generalización a subgrupos no elementales de P SL(2, C) se
puede consultar en [2] p. 97.
b cerrado y Γ − invariante con
Teorema 3.3.13 Sea Γ fuchsiano y W ⊂ C
cardinalidad mayor a 1, entonces
L(Γ) ⊂ W.
Demostración. Si L(Γ) es vacı́o no hay nada que probar. Supongamos
/ W. Como W es cerrado, existe
que existe un punto λ ∈ L(Γ), tal que λ ∈
una vecindad N de λ, tal que N ∩ W = ∅. Ahora, si λ1 , λ2 son dos puntos
distintos en W, se sigue de la Proposición 3.3.1 y del Lema 3.3.8 que la órbita
de alguno de ellos se acumula en λ, es decir, intersecta N, lo que contradice
N ∩ W = ∅ (ya que W es Γ − invariante). Por lo cual L(Γ) ⊂ W.
El teorema anterior no es válido para conjuntos invariantes que constan
de un solo elemento. Por ejemplo, si Γ =< z → 2z >, entonces su conjunto lı́mite es {0, ∞}; sin embargo {0} es Γ − invariante. Podemos ahora
generalizar las Proposiciones 3.2.13 y 3.2.14.
Teorema 3.3.14 Sea G un subgrupo normal de un grupo horocı́clico Γ en
P SL(2, R), entonces G es horocı́clico.
Demostración. Usando las Proposiciones 3.2.13 y 3.2.14, se puede suponer
que L(G) consiste en al menos dos puntos. Basta probar que el conjunto
128
L(G) es Γ − invariante, ya que en este caso –como es cerrado– se seguirı́a
del Teorema 3.3.13 que
b
L(G) = L(Γ) = R.
Para probar que L(G) es Γ − invariante, sean T ∈ Γ y λ ∈ L(G),
b tales que
entonces existen transformaciones distintas T n ∈ G y z ∈ C,
T n (z) → λ, cuando n → ∞. Ahora, como T es continua, se sigue que
T Tn T
−1
(w) 7−→ T (λ),
−1
donde w = T (z). Finalmente, como T T n T
son transformaciones distintas en G, se sigue que T (λ) ∈ L(G), y por ende la afirmación.
Usando la Proposición 3.1.5, se puede generalizar el resultado anterior
para cualquier grupo fuchsiano. Para terminar este capı́tulo mostramos otras
caracterizaciones del conjunto lı́mite en términos de los puntos fijos.
Proposición 3.3.15 Sea Γ un grupo fuchsiano y F Γ el conjunto de los
puntos fijos de las transformaciones distintas de la identidad en Γ, entonces
L(Γ) ⊂ F Γ ,
b
donde F Γ denota la cerradura de F Γ en C.
Demostración. Obsérvese primero que si Γ 6= Id, entonces F Γ tiene
cardinalidad mayor o igual a uno. Para el caso en que F Γ consta de un solo
punto, es claro que Γ es un grupo cı́clico parabólico y la proposición se sigue
de manera inmediata.
Ahora, FΓ es Γ − invariante. Esto se cumple, dado que para toda trans−1
formación S en Γ, se tiene que T fija z0 si y sólo si S T S
fija S(z0 ).
También F Γ es Γ−invariante, ya que dada zn , n ∈ N, una sucesión de puntos fijos tales que zn → z0 , y una función S ∈ Γ; entonces S(zn ) → S(z0 ) y
S(z0 ) ∈ F Γ . Por consiguiente, si F Γ consta de más de un punto, el resultado
se sigue del Teorema 3.3.13
Teorema 3.3.16 Sea Γ fuchsiano con transformaciones hiperbólicas y Λ la
cerradura del conjunto de puntos fijos de los elementos hiperbólicos, entonces
L(Γ) = Λ.
Demostración. Se pueden aplicar los mismos argumentos de la prueba de
la proposición anterior, por ejemplo, si T es hiperbólica y fija z0 , entonces
−1
ST S
es hiperbólica y fija S(z0 ), etcétera. Por consiguiente, L(Γ) ⊂ Λ;
la otra contención es inmediata, ya que el conjunto lı́mite es cerrado.
129
Teorema 3.3.17 Sea Γ fuchsiano con elementos parabólicos y P la cerradura del conjunto de puntos fijos parabólicos, entonces L(Γ) = P.
Demostración. Si P consta de un solo punto z0 , donde S(z0 ) = z0 ,
entonces Γ es el grupo estabilizador Γz0 . Esto se tiene, ya que si para alguna
−1
transformación T en Γ, T (zo ) 6= z0 , se seguirı́a que T S T
es parabólica
y fija T (z0 ). Por consiguiente, Γ es un grupo cı́clico parabólico (Teorema
3.2.9), lo cual prueba el teorema en este caso, ya que L(Γ) = {z0 }.
Si P consta de más de un punto, el resultado se sigue de manera análoga
a la prueba del Teorema 3.3.16.
Algunos autores definen al conjunto lı́mite de un subgrupo discreto no
elemental de P SL(2, C) como la cerradura de los puntos fijos hiperbólicos y
loxodrómicos. Esta definición, junto con un análisis detallado de los grupos
elementales discretos (entre ellos los grupos platónicos), permite generalizar
nuestros resultados a los subgrupos discretos de P SL(2, C), véase [2] cap. 5.
EJERCICIOS 3.3
1. Demuestre la existencia de subgrupos de P SL(2, C) con puntos lı́mite que
b ni tampoco son puntos
no son puntos de acumulación de las órbitas en C,
fijos de transformaciones de orden infinito.
2. Pruebe que si un grupo de matrices representa a un subgrupo discreto
P SL(2, C), entonces alguno de los cuatro conjuntos de números complejos
definidos por las entradas de estas matrices no es acotado.
3. Demuestre la primera parte del Lema 3.3.4.
4. Sea λ un
de un punto
b
pacto en C,
distintas T n
punto lı́mite de un grupo fuchsiano Γ, demuestre la existencia
b con la siguiente propiedad: si K es un conjunto comλ0 ∈ C,
tal que λ0 ∈
/ K, se tiene entonces que existen transformaciones
∈ Γ, n ∈ N, tales que T n (z) → λ uniformemente en K.
5. Demuestre que si el conjunto de puntos fijos de un grupo fuchsiano Γ consiste en dos puntos, entonces el grupo es cı́clico hiperbólico o cı́clico elı́ptico.
130
Capı́tulo 4
Regiones fundamentales
En este último capı́tulo se definen los conjuntos y las regiones fundamentales,
lo cual conlleva el estudio de las teselaciones del plano hiperbólico y también
del espacio hiperbólico tridimensional. El caso bidimensional es de gran utilidad en la teorı́a de los números; el tridimensional lo es para la topologı́a
de las variedades de dimensión 3. En este texto se construyen los polı́gonos
de Dirichlet y de Ford para grupos con traslaciones, y se prueban algunas de
sus propiedades fundamentales. Como ejemplo principal, se muestra que el
polı́gono descrito en la Figura 4.26 es una región fundamental de Ford y de
Dirichlet para el grupo clásico modular.
4.1.
Regiones fundamentales
Como se mostró en el capı́tulo anterior, dado Γ un subgrupo de P SL(2, R),
b define una partición que consiste en las órbitas.
la acción de Γ en C
Definición 35 Sea Γ un subgrupo de P SL(2, R), un conjunto fundamental
b es cualquier conjunto que contiene
F para la acción de Γ en H2 (o en C)
2
b por cada órbita, es decir,
uno y sólo un elemento en H (o en C)
(i) si z1 , z2 ∈ F, no existe T ∈ Γ, tal que T (z1 ) = z2 ;
b existe T ∈ Γ, tal que T (z) ∈ F.
(ii) ∀z ∈ H2 (o en C)
El axioma de elección establece que si Xi , i ∈ I, es una familia de
conjuntos, entonces existe una colección de elementos xi , i ∈ I, de tal
manera que xi ∈ Xi ∀i. Este principio nos permite asegurar la existencia
131
132
CAPÍTULO 4. REGIONES FUNDAMENTALES
de conjuntos fundamentales. La definición se aplica también a otros grupos
fuchsianos o a las extensiones de Poincaré de un subgrupo de P SL(2, C) en
H3 .
Estos conjuntos no son de ninguna manera únicos. Por ejemplo, si F es
uno de ellos, A es un subconjunto de H2 y T es una transformación en Γ,
entonces
[
T (F ∩ A)
(F − A)
también lo es.
Es claro asimismo que estos conjuntos pueden ser topológicamente muy
exóticos. Sin embargo, la intención es construirlos de manera simple, por
ejemplo, el grupo Γ =< z → z + λ >, λ ∈ R+ , λ 6= 0, 1, tiene como
conjunto fundamental el descrito en la Figura 4.1.
F
0
λ
Figura 4.1: Conjunto fundamental para un grupo de traslaciones por reales
µ
λ
Figura 4.2: Conjunto fundamental para un grupo doblemente periódico
Ahora, si Γ es el grupo generado por las traslaciones T (z) = z + α,
y S(z) = z + µ, donde λ, µ son linealmente independientes como vectores
4.1. REGIONES FUNDAMENTALES
133
b es el
en R2 , un conjunto fundamental para Γ, respecto a su acción en C,
paralelogramo semiabierto descrito en la Figura 4.2.
Otro ejemplo sencillo es el grupo cı́clico elı́ptico Γ en M (∆) generado
por T , donde T (z) = z e2 π i/q , q ∈ N, q > 1. En este caso, un conjunto
fundamental para Γ, respecto a su acción en M (∆), es el descrito en la
Figura 4.3.
e2πi/q
Figura 4.3: Conjunto fundamental para un grupo cı́clico de rotaciones
Un conjunto fundamental F no puede ser abierto (ejercicio). Ahora, como
evidentemente es más sencillo trabajar con conjuntos abiertos (o cerrados),
se establece una definición más adecuada para estudiar estos conjuntos de
representantes de órbitas, que conllevan a las teselaciones hiperbólicas.
Definición 36 Sea Γ < P SL(2, R), se dice que una región R es un dominio
fundamental en H2 para Γ, si se cumplen las siguientes condiciones:
(i) cualesquiera dos puntos z1 , z2 ∈ R no son Γ − equivalentes;
e y T ∈ Γ, tal que T (z) = w, donde R
e
(ii) dado w ∈ H2 , existe z ∈ R
2
denota la cerradura de R en H ;
(iii) ∂R tiene medida bidimensional de Lebesgue cero.
A los dominios fundamentales se les conoce también como regiones fundamentales. La condición (iii) es esencial al tomar cocientes (estos cocientes son
superficies de Riemann, cf. [2] p. 118). Obsérvese también que se sigue del
axioma de elección que si R es una región fundamental para Γ, entonces
134
e Además, si Γ
existe un conjunto fundamental F , tal que R ⊂ F ⊂ R.
es un subgrupo de P SL(2, R), para el cual se puede construir una región
fundamental, entonces Γ es discontinuo y por lo tanto discreto (ejercicio).
Definición 37 Sea A una región en H2 , se define su área hiperbólica como
la integral de Lebesgue
Z
dµ
.
2
A (Im z)
Se puede tomar también, en muchos casos, la de Riemann (o la de Riemann
impropia, si la región no es acotada).
En sentido estricto, si dicha integral es infinita, la integral de Lebesgue
no está definida, sin embargo, en estos casos se dice simplemente que el área
hiperbólica es infinita. Un ejemplo de esta situación se ilustra en la Figura 4.4.
Dejamos como ejercicio para el lector verificar que en efecto el área de dicha
región es infinita. Obsérvese que como las regiones son conjuntos abiertos y
la función
1
z 7−→
(Im z)2
es continua en H2 , el área hiperbólica, si es finita, siempre está bien definida
(usando la integral de Lebesgue).
Figura 4.4: Región con área hiperbólica infinita
Teorema 4.1.1 El área hiperbólica es invariante bajo transformaciones en
P SL(2, R), es decir, si A es una región en H2 y T ∈ P SL(2, R), entonces
Z
Z
1
1
dµ =
dµ.
2
2
A (Im z)
T (A) (Im z)
135
Demostración. El teorema de cambio de variable para integrales de Riemann también es válido para las de Lebesgue (cf. [1] p. 179). Probamos
primero el caso de área finita. Sea
T (z) =
az + b
,
cz + d
ad − bc = 1, a, b, c, d ∈ R, entonces
Im T (z) =
Im z
|cz + d|2
y
|T 0 (z)|2 =
1
|cz + d|4
es el determinante del Jacobiano de T . Se sigue entonces del teorema de
cambio de variable que
Z
A
dµ
=
(Im z)2
Z
A
1
1
2 |cz + d|4 dµ =
Im T (z)
Z
T (A)
dµ
.
(Im z)2
Si el área es infinita, se puede probar el teorema calculando primero el área
en A ∩ Hn ∩ Rn , n ∈ N, donde
Hn = {z ∈ H2 | Im z > 1/n}
y
Rn = {z ∈ H2 | − n < Re z < n}.
El Teorema 4.1.1 se puede enunciar de manera más general: el área
hiperbólica de cualquier región en H2 es invariante bajo cualquier isometrı́a
hiperbólica (ejercicio). A continuación describimos ciertas mediatrices que se
ocupan en la construcción de las regiones fundamentales de Dirichlet, que
estudiaremos en la siguiente sección.
Definición 38 Dados z, w ∈ H2 , se define el h-bisector perpendicular, o mediatriz hiperbólica, al segmento de geodésica [z, w], como la única geodésica
ortogonal a [z, w] que pasa por el punto medio hiperbólico entre z y w.
136
Llamaremos al h-bisector perpendicular simplemente bisector perpendicular. Obsérvese que dada una geodésica λ en H2 y z, w ∈ λ, existe una transformación hiperbólica que preserva λ y manda z en w (basta conjugar,
mandando λ al eje imaginario y aplicar una homotecia). El siguiente resultado muestra que en algunas instancias, la geometrı́a hiperbólica satisface las
mismas propiedades que la geometrı́a euclidiana.
Proposición 4.1.2 Sean z, w ∈ H2 , entonces el bisector perpendicular a
[z, w] consiste en los puntos en H2 que equidistan hiperbólicamente de z y
w, es decir,
u ∈ H2 ρ(u, z) = ρ(u, w) .
Demostración. Como las transformaciones en P SL(2, R) son isometrı́as
conformes, se puede suponer que z, w ∈ ∂∆. Más aún, usando la observación
previa a la proposición, se puede también suponer que w = −z (véase la
Figura 4.5). Ahora, como la reflexión en el eje imaginario z → −z es una
isometrı́a de H2 , el punto medio de [z, w] es i, por lo que el bisector perpendicular a [z, w] es el eje imaginario positivo. Más aún, como esta isometrı́a
fija el eje imaginario e intercambia z con w, los puntos del eje imaginario
positivo equidistan hiperbólicamente de z y w.
Falta probar solamente que no hay otros puntos equidistantes de z y w.
Si u equidista de z y w, sea C1 el cı́rculo con centro en z y radio ρ(z, u),
y sea C2 la imagen de C1 , bajo la función z → −z. Finalmente, como los
puntos de intersección de estos dos cı́rculos son los puntos equidistantes, se
sigue que Re u = 0 (véase la Figura 4.5).
w
z
Figura 4.5: H-bisector perpendicular
137
Definición 39 Sea A ⊂ H2 , se dice que A es h-convexo, si ∀z, w ∈ A se
tiene que [z, w] ⊂ A, donde [z, w] denota el segmento de geodésica que une
z con w.
Obsérvese que un conjunto h-convexo es conexo (ejercicio) y que la intersección de conjuntos h-convexos es h-convexo. Además, si l es una geodésica,
entonces H2 − l consiste en dos semiplanos que son h-convexos; esto es evidente si l es el eje imaginario, el caso general se sigue, ya que P SL(2, R)
es transitivo en geodésicas. Más aún, estas observaciones implican también
que la región comprendida entre dos rectas verticales (o dos geodésicas tangentes) es h-convexa. Además, cualquier triángulo hiperbólico es h-convexo,
dado que es la intersección de tres semiplanos.
z
zn
z0
w
wn
0
Figura 4.6: La cerradura de una región h-convexa es h-convexa
e es h-convexa.
Proposición 4.1.3 Sea A una región h-convexa, entonces A
e no es h-convexa, existen z, w ∈ A,
e tal que
Demostración. Si A
e
[z, w] 6⊂ A.
Podemos suponer, sin perder generalidad, que [z, w] es un segmento en el eje
e Ahora,
imaginario. Bajo estas hipótesis, existe z0 ∈ [z, w], tal que z0 ∈
/ A.
e c es abierto, se puede construir un cuadrado R de lado con
como (A)
e c.
centro en z0 , tal que R ⊂ (A)
138
Finalmente, nótese que los rectángulos infinitos de la forma
Pδ = {z ∈ H2 − δ < Re z < δ}
son h-convexos; por lo que tomando sucesiones zn , wn , n ∈ N, en A, tales
que converjan a z y w, respectivamente, se tendrı́a que A no es h-convexa,
lo cual contradice la hipótesis. Esto se sigue, ya que tomando 2δ < y n
suficientemente grande, se tiene
−δ < Re zn , Re wn < δ;
lo que implica [zn , wn ] ⊂ Pδ y [zn , wn ] ∩ R 6= ∅ (véase la Figura 4.6).
w2
wn
w1
α1
α
α2
Figura 4.7: Rayos que emanan de regiones h-convexas
Proposición 4.1.4 Sea A una región h-convexa, α ∈ A y l un segmento
de geodésica que surge de α, entonces l intersecta ∂A en a lo más un punto.
Demostración. Se puede suponer, sin perder generalidad, que l está contenido en el eje imaginario. Si l intersecta ∂A en dos puntos distintos w1
y w2 , aplicando la función z → −1/z (si es necesario), se puede suponer
también que α = i y0 , w1 = i y1 , w2 = i y2 , donde y0 < y1 < y2 .
Ahora, sean α1 , α2 ∈ A, tales que Re α1 < 0 < Re α2 y tales que
[α1 , α2 ] intersecta el eje imaginario abajo de w1 . Esto se logra tomando
α1 , α2 ∈ D(0, r) ∩ A, donde y0 < r < y1 (véase la Figura 4.7).
139
También, existe una sucesión
wn = xn + iyn ∈ A, n ∈ N, n > 2,
tal que wn → w2 , se puede también suponer que xn > 0 (el caso xn < 0 es
análogo). Nótese que las ordenadas en el origen de las rectas euclideanas que
pasan por α1 y wn están dadas por
yn −
(yn − v)
xn ,
(xn − u)
donde α1 = u + iv. Finalmente, si n → ∞, estos números convergen a
y2 ; por lo que si n es suficientemente grande, estas rectas intersectan el eje
imaginario arriba de w1 . En consecuencia, w1 está en el interior del triángulo
hiperbólico determinado por α1 , wn y α2 , el cual está contenido en A (ya
que A es h-convexa), lo cual contradice la existencia de dichos puntos, w1
y w2 .
EJERCICIOS 4.1
1. Demuestre que un conjunto fundamental no puede ser abierto.
2. Sea Γ un subgrupo de P SL(2, R) que admite una región fundamental,
demuestre que Γ es discontinuo.
3. Demuestre que el área hiperbólica de la región descrita en la Figura 4.4 es
infinita.
4. Pruebe que el área hiperbólica de una región de la forma Hn ∩Rn es finita,
donde Hn , Rn son las regiones descritas en la prueba del Teorema 4.1.1.
5. Demuestre que el área hiperbólica de un triángulo con un vértice infinito
y dos ángulos positivos α, β está dada por π − (α + β). Generalice este
resultado para cualquier triángulo.
6. Pruebe que el área hiperbólica de una región en H2 es invariante bajo
cualquier isometrı́a hiperbólica.
7. Demuestre que un conjunto h-convexo en H2 es conexo.
140
4.2.
Construcción del polı́gono de Dirichlet
En esta sección se construyen los polı́gonos de Dirichlet y se prueba que son
regiones fundamentales. Aunque la mayorı́a de los resultados se establecen
para P SL(2, R), es fácil verificar que éstos se aplican también al disco de
Poincaré. Se exhiben también ejemplos de estos dominios fundamentales para
los grupos cı́clicos. El siguiente resultado muestra la existencia de vecindades
que contienen a lo más un punto por cada órbita.
Teorema 4.2.1 Sea Γ < P SL(2, R) discreto y w0 ∈ H2 un punto no fijo,
esto es, T (z0 ) 6= z0 ∀ T ∈ Γ − I, entonces existe una vecindad abierta D
de w0 que no contiene puntos Γ-equivalentes, es decir, cada punto de D
representa una órbita distinta.
Demostración. La órbita de w0 no se acumula en w0 ya que éste es un
punto ordinario, por lo que existe un disco hiperbólico
Dh (w0 , δ) = {z ∈ H2 | ρ(z, w0 ) < δ},
tal que no contiene puntos Γ-equivalentes a w0 (distintos de w0 ).
Se afirma que el disco hiperbólico
D = Dh (w0 , δ/2) = {z ∈ H2 | ρ(z, w0 ) < δ/2}
tiene la propiedad requerida. De otra manera, si existe T ∈ Γ, distinta de la
identidad, tal que w, T (w) ∈ Dh (w0 , δ/2), entonces se sigue de la invariabilidad de la métrica hiperbólica que ρ T (w), T (w0 ) ≤ δ/2, lo cual a su vez
implica
ρ w0 , T (w0 ) ≤ ρ w0 , T (w) + ρ T (w), T (w0 ) < δ/2 + δ/2,
que contradice la elección de δ.
El teorema anterior implica la existencia de vecindades estables, con respecto a la acción de Γ, para cualquier punto en H2 (ejercicio). Dado un
punto w ∈ H2 , una vecindad Nw de w es estable si para cualquier transformación T ∈ Γ se tiene
T (Nw ) ∩ Nw = ∅,
si T (w) 6= w;
T (Nw ) = Nw ,
si T (w) = w.
4.2. CONSTRUCCIÓN DEL POLÍGONO DE DIRICHLET
141
En la siguiente discusión se tomará a Γ como un subgrupo discreto de
P SL(2, R), w0 ∈ H2 no fijo, y
T n (w0 ) = wn , n ∈ N,
su órbita, es decir, T n , n ∈ N, es una enumeración de los elementos de Γ.
Nótese que wn 6= wm , si n 6= m, esto se sigue, ya que de otra manera
−1
T m T n fija z0 . Denotaremos por λi al bisector perpendicular del segmento
[w0 , wi ]. Obsérvese que H2 − {λi } consiste en 2 semiplanos hiperbólicos, uno
que contiene a w0 , que denotaremos por Li , y otro que contiene a wi , al
cual nos referiremos por L0i .
wi
z′
z
w0
Figura 4.8: Li ⊂ Ai
Lema 4.2.2 Sea Γ un subgrupo discreto de P SL(2, R), w0 ∈ H2 no fijo,
wi , i ∈ N, la órbita de w0 y
Ai = {z ∈ H2 | ρ(z, w0 ) < ρ(z, wi )}, A0i = {z ∈ H2 | ρ(z, wi ) < ρ(z, w0 )},
entonces Li = Ai y L0i = A0i .
Demostración. Se sigue de la Proposición 4.1.2 que H2 es la unión disjunta de Ai ∪ λ ∪ A0i . También lo es de Li ∪ λ ∪ L0i . Por consiguiente basta
probar que
L i ⊂ Ai
y que
L0i ⊂ A0i .
Ahora, si z ∈ Li , al trazar una geodésica de z a wi , ésta intersecta λi
en un punto z 0 y se tiene
ρ(z, w0 ) ≤ ρ(z, z 0 ) + ρ(z 0 , w0 ) = ρ(z, z 0 ) + ρ(z 0 , wi ) = ρ(z, wi ),
puesto que z 0 equidista de w0 y wi (véase la Figura 4.8). Finalmente, el
mismo argumento se aplica a puntos de L0i , lo cual prueba el lema.
142
Definición 40 Sean Γ, w0 y Li , i ∈ N, como en el Lema 4.2.2; se define
el polı́gono de Dirichlet para Γ con centro en w0 como
∞
\
Dw0 =
Li .
i=1
Algunas veces escribiremos D0 , o simplemente D, por Dw0 . Nótese que
el Lema 4.2.2 implica que D consiste en los puntos en H2 que están estrictamente más cerca de w0 que de cualquier otra de sus imágenes, es decir,
D = {z ∈ H2 | ρ(z, w0 ) < ρ(z, wi ) ∀i ∈ N}.
Obsérvese que D es no vacio, ya que w0 ∈ D. El polı́gono de Dirichlet D es
también h-convexo (y por lo tanto conexo), esto se sigue ya que es la intersección de conjuntos h-convexos. Esta construcción se generaliza a cualquier
dimensión y también a otras geometrı́as (cf. [20] pp. 243-246). Probamos ahora que D es una región fundamental para Γ. A los bisectores perpendiculares
les llamaremos simplemente bisectores.
D(w0 , r)
wi
z
K
w0
Figura 4.9: Un compacto intersecta un número finito de bisectores
Lema 4.2.3 Sea D el polı́gono de Dirichlet descrito en la Definición 40 y
K un subconjunto compacto en H2 , entonces K intersecta solamente a un
número finito de bisectores λi .
143
Demostración. Como los subconjuntos compactos de los espacios métricos
son acotados, existe un número r, tal que K ⊂ Dh (w0 , r). Ahora, si z es
un punto en λi ∩ K, se tiene
ρ(w0 , wi ) ≤ ρ(w0 , z) + ρ(z, wi ) = 2ρ(w0 , z) < 2r.
En consecuencia, si λi intersecta K, necesariamente
wi ∈ Dh (w0 , 2r)
(véase la Figura 4.9). Finalmente, la órbita de w0 no se puede acumular en
el compacto
Dh (w0 , 2r),
ya que los puntos de este disco son ordinarios.
λj1
λj2
z
λj3
Figura 4.10: D es abierto
Lema 4.2.4 Sea D el polı́gono de Dirichlet descrito en la Definición 40,
entonces D es abierto.
Demostración. Sea z ∈ D y N un disco hiperbólico cerrado alrededor de
z. Se sigue entonces del Lema 4.2.3 que N intersecta solamente un número
finito de bisectores, digamos λj1 , λj2 , . . . , λjn . Es claro que z ∈ Lji ∀i, ya
que z ∈ D, por lo que se puede tomar un disco más pequeño alrededor de
z de tal manera que ya no intersecte ningún bisector (véase la Figura 4.10).
La existencia de dicho disco se puede deducir, ya que la función distancia
w 7−→ ρ(w, z)
del conjunto cerrado λi en R+ es continua, donde λi hereda la métrica
hiperbólica (ejercicio). Alternativamente, se puede usar la descripción de los
cı́rculos de Apolonio alrededor de z.
144
Denotaremos T n (D) por Dn . Obsérvese que Dn consiste en los puntos
en H2 que están estrictamente más cerca de wn que de cualquier otro punto
en la órbita de w0 . También, Dn es h-convexo y la familia de polı́gonos Dn
e n determina una
es invariante bajo Γ. La unión de todos los polı́gonos D
subdivisión de H2 , que se le llama teselado o teselación. Para el observador
hiperbólico la configuración de polı́gonos se ve exactamente igual cuando se
observa desde cualquiera centro wi (véase la Figura 4.11).
Figura 4.11: Teselación del plano hiperbólico definida por el grupo modular
Lema 4.2.5 Sea D el polı́gono de Dirichlet descrito en la Definición 40, y
Di , Dj dos de sus imágenes bajo funciones en Γ. Entonces
(i) Di ∩ Dj = ∅, si i 6= j;
(ii) ∀z, w ∈ Dj , z no es Γ-equivalente a w.
Demostración. Si la primera afirmación no es cierta, existe z ∈ Di ∩ Dj ,
donde i 6= j. Bajo esta hipótesis se tendrı́a simultáneamente que
ρ(z, wj ) < ρ(z, wi ) y ρ(z, wi ) < ρ(z, wj ),
lo cual es una contradicción.
145
Por otra parte, si existen z, w ∈ Dj , z 6= w y T (z) = w, T ∈ Γ,
entonces como T transforma Dj en alguna Di , se tendrı́a Di ∩ Dj 6= ∅, lo
cual contradice la primera afirmación. Por consiguiente, se sigue también la
segunda parte del lema.
De manera análoga al caso de Rn , en un espacio métrico X, un subconjunto A subdivide a X en 3 subconjuntos ajenos, a saber, Int A, ∂A y
Ext A. Aplicando este principio al caso de H2 y al polı́gono de Dirichlet D,
al ser éste un conjunto abierto, la subdivisión inducida en H2 es D, ∂D (en
H2 ) y Ext D. Como ya se mencionó,
D = {z ∈ H2 | ρ(z, w0 ) < ρ(z, wi ) ∀i}.
También es claro que
{z ∈ H2 | ρ(z, wi ) < ρ(z, w0 ) para al menos alguna i} ⊂ Ext D.
Esto último se sigue, ya que L0i es abierto. El siguiente resultado describe
∂D.
z
λjn
D
D
λj2
λj1
w0
Figura 4.12: Bisectores por z
Lema 4.2.6 Sea D el polı́gono de Dirichlet descrito en la Definición 40,
entonces la frontera de D consiste en los puntos z en H2 que satisfacen las
siguientes dos condiciones:
(i) ρ(z, w0 ) ≤ ρ(z, wi ) ∀ i,
(ii) ρ(z, w0 ) = ρ(z, wj ), para al menos una j.
Demostración. Sea A el subconjunto de H2 determinado por las condiciones (i) y (ii), probamos primero que A es un subconjunto de ∂D. Si z ∈ A
y N es cualquier vecindad de z, hay que probar que N intersecta D. Se
146
e es
puede tomar N como un disco abierto y usando el Lema 4.2.3, como N
compacto, se puede también suponer que hay un número finito de bisectores
que intersectan N y que todos estos pasan por z.
ei ∀ i, por lo que [w0 , z] es un arco en L
ei ∀ i (ProposiEs claro que z ∈ L
ción 4.1.3). También, usando la Proposición 4.1.4 se tiene que el segmento
de geodésica abierto en [w0 , z] está contenido en Li ∀ i.
Por consiguiente
{[w0 , z] − {z}} ⊂ D.
Como también {[w0 , z] − {z}} ∩ N 6= ∅, se sigue que
D ∩ N 6= ∅
y los puntos en el conjunto A pertenecen a la frontera (véase la Figura 4.12).
Viceversa, si z ∈ ∂D, como z ∈
/ Ext D se debe cumplir que
ρ(z, w0 ) ≤ ρ(z, wi ) ∀ i.
De otra manera, si ρ(z, w0 ) > ρ(z, wi ), entonces z ∈ L0i , y existe una vecindad de z contenida en L0i , por lo que z ∈
/ ∂D.
Finalmente, si la desigualdad ρ(z, w0 ) ≤ ρ(z, wi ) es estricta ∀ i, entonces
z ∈ D; por lo que ρ(z, w0 ) = ρ(z, wi ), para al menos alguna i.
Corolario 4.2.7 Sea D el polı́gono de Dirichlet descrito en la Definición
40, entonces
Ext D = {z ∈ H2 | ρ(z, wi ) < ρ(z, w0 ), para al menos alguna i}.
ρ(z, w0 ) ≤ ρ(z, wi ) ∀ i
si y sólo si
z ∈ D ∪ ∂D.
Teorema 4.2.8 Sea Γ un subgrupo discreto de P SL(2, R), entonces su
polı́gono de Dirichlet D es una región fundamental para Γ.
147
Demostración. Se sigue del Lema 4.2.5 que cualesquiera dos puntos en
D no son Γ − equivalentes. Hay que probar también que
[
[
e =
e n.
H2 =
T n (D)
D
n∈N
n∈N
Para esto, sea z ∈ H2 , como la órbita de w0 no se acumula con H2 ,
existe un punto wj cuya distancia a z es menor o igual a la distancia de
cualquier otro punto en la órbita a z, es decir
ρ(z, wj ) ≤ ρ(z, wi ) ∀ i.
−1
Ahora, si T j (w0 ) = wj y T j (z) = z 0 , se sigue de la invariabilidad de la
métrica que
ρ(z 0 , w0 ) ≤ ρ(z 0 , wk ) ∀ k;
e
lo cual significa, en virtud del Lema 4.2.6, que z 0 ∈ D.
2
Finalmente, las geodésicas en H tienen medida bidimensional cero, y
como ∂D está contenida en una unión numerable de geodésicas, se sigue que
tiene medida cero.
Nótese que el Teorema 4.2.8 muestra que los polı́gonos Di son también de
Dirichlet para Γ (ejercicio). Recordamos del capı́tulo de métrica hiperbólica
que la distancia de un punto z a una geodésica λ se alcanza trazando una
segunda geodésica que pasa por z y es ortogonal a λ (véase la Figura 2.7).
Usando este hecho, para el caso particular descrito en la Definición 40, si λj
es el bisector perpendicular de [w0 , wj ], se tiene que
ρ(w0 , λj ) =
1
ρ(w0 , wj ).
2
A continuación mostramos una propiedad de los polı́gonos de Dirichlet; a los
dominios fundamentales que cumplen esta propiedad se les llama localmente
finitos.
Proposición 4.2.9 Sea D el polı́gono de Dirichlet de un subgrupo Γ de
P SL(2, R) y K un compacto en H2 , entonces K intersecta solamente un
e (bajo elementos de Γ).
número finito de imágenes de D
Demostración. Usamos la notación del Lema 4.2.5. Podemos suponer
que el compacto es un disco hiperbólico con centro en w0 , que denotamos por Dh (w0 , r). Esto se sigue, ya que si r es suficientemente grande,
148
K ⊂ Dh (w0 , r), y si Dh (w0 , r) intersecta un número finito de polı́gonos,
también K tiene esta propiedad.
Ahora, como
1
e j ),
ρ(w0 , wj ) = ρ(w0 , λj ) ≤ ρ(w0 , D
2
e j ∩Dh (w0 , r), entonces el punto medio de [w0 , wj ] está en Dh (w0 , r).
si z ∈ D
En consecuencia, wj ∈ Dh (w0 , 2r). Finalmente, como la órbita de w0 no se
acumula en Dh (w0 , 2r) se sigue el resultado (véase la Figura 4.13).
ej
D
λj
w0
Figura 4.13: Los compactos intersectan un número finito de polı́gonos
z′
Tk
w0
z
wk
e
D
ek
D
Figura 4.14: Los compactos intersectan un número finito de polı́gonos
Exhibimos ahora una segunda prueba de la Proposición 4.2.9. Sea r tal
e k intersecta K en un punto z, entonces existe un
que K ⊂ Dh (w0 , r). Si D
0
0
e tal que T k (z ) = z. Tomando T k (wj ) = w0 , se tiene
z ∈ D,
ρ(w0 , wj ) ≤ ρ(w0 , z 0 ) + ρ(z 0 , wj ) ≤ 2ρ(z 0 , wj )
149
e Finalmente
(puesto que z 0 ∈ D).
ρ(z 0 , wj ) = ρ T k (z 0 ), T k (wj ) = ρ(z, w0 ) ≤ r
(véase la Figura 4.14). Por consiguiente, wj ∈ Dh (z0 , 2r), etcétera.
A continuación describimos los polı́gonos de Dirichlet de los grupos cı́clicos. Nótese que todos los resultados que se han probado anteriormente referentes a los póligonos de Dirichlet para subgrupos discretos de P SL(2, R),
también se aplican a subgrupos discretos de M (∆); por lo que se puede usar
indistintamente un modelo u otro.
1 πki/m
2e
θ
θ
1
2
1 2πki/m
2e
Figura 4.15: Puntos equidistantes
eπi/m
λ1
D
λm−1
e−πi/m
Figura 4.16: Polı́gono de Dirichlet de un grupo cı́clico de rotaciones
150
Polı́gonos de Dirichlet de grupos cı́clicos elı́pticos
Consideramos primero el caso de un grupo Γ generado por una transformación T definida por
z 7−→ z e
2πi
m .
Se puede tomar como centro el punto w0 = 1/2 y denotamos sus imágenes
por wk = T k (w0 ), k = 0, 1, ..., m − 1. Obsérvese que 0 ∈ λk ∀k, ya que
equidista hiperbólicamente de w0 y de wk (recordamos que los cı́rculos euclideanos con centro en 0 son también cı́rculos hiperbólicos).
λ3
λ2
λ4
λ5
λ1
w2
w1
w3
w0
w4
w5
Figura 4.17: Polı́gono de Dirichlet de un grupo cı́clico de orden 6
Ahora, como la reflexión en la recta que pasa por el origen y por eπ k i/m
es una isometrı́a hiperbólica, se sigue que si 1 < k < m, entonces
1 πki
e m
2
equidista hiperbólicamente de 1/2 y
1 2πki
e m
2
(véase la Figura 4.15). En consecuencia, el conjunto de bisectores λk consiste
en los diámetros por el origen
πki
t e m , −1 ≤ t ≤ 1, 0 < k < m.
151
Por lo tanto, D es el sector delimitado por los radios
πi
t em,
0≤t≤1 y te
π i (m−1)
m
,
−1 ≤ t ≤ 0
(véase las Figuras 4.16 y 4.17). Esto se sigue, ya que
π
m−1
m
+π ≡−
π
m
y si 1 < k < m, entonces
m−k
kπ
π
+π ≡−
m
m
mod 2π,
mod 2π.
Lo que implica que ningún bisector λk intersecta dicha región D.
θ
w0
Figura 4.18: Polı́gono de Dirichlet de un grupo cı́clico finito
El caso general se sigue de la invariabilidad de los polı́gonos de Dirichlet bajo conjugación. En particular, si Γ es un grupo cı́clico de rotaciones,
D ⊂ ∆ es su polı́gono de Dirichlet con centro en w y f es la función de
Cayley, se tiene que f (D) es el polı́gono de Dirichlet con centro en f (w)
−1
del grupo f Γ f
que actúa en H2 . Dejamos la verificación de estas afirmaciones como ejercicio. En consecuencia, el polı́gono de Dirichlet de un
grupo cı́clico actuando en H2 es exactamente como en la Figura 4.18. A
continuación probamos un resultado sobre la invariabilidad de los conjuntos
fundamentales bajo la conjugación.
152
Proposición 4.2.10 Sea Γ un subgrupo de P SL(2, C) actuando en un subconjunto P de la esfera de Riemann y F un conjunto fundamental para
esta acción, supóngase también que ϕ es una transformacion compleja de
Möbius, entonces el conjunto ϕ(F ) es fundamental para la acción del grupo
Γ 0 = ϕ Γ ϕ −1 actuando en ϕ(P ).
Demostración. Si ϕ(z), ϕ(w) son puntos Γ 0 − equivalentes en ϕ(F ), entonces existe ϕ T ϕ −1 ∈ Γ 0 , tal que
ϕ T ϕ −1 (ϕ(z)) = ϕ(w).
En este caso T (z) = w, lo cual implica z = w (ya que F es fundamental).
Por último, sea ϕ(w) ∈ ϕ(P ). Como F es fundamental, se tiene que hay
un punto z ∈ F, tal que T (z) = w, donde T ∈ Γ. Por lo tanto
ϕ T ϕ −1 ϕ(z) = ϕ(w)
y ϕ(z) es Γ 0 − equivalente a ϕ(w).
La proposición anterior se puede generalizar a regiones fundamentales de
subgrupos discretos de P SL(2, R), por ejemplo, si la frontera está contenida
en una unión a lo sumo numerable de geodésicas. Esto se sigue fácilmente de
las propiedades de los elementos de P SL(2, C).
λk
i
w0
m
wk
Figura 4.19: Bisector perpendicular entre w0 y wk
Polı́gonos de Dirichlet de grupos cı́clicos parabólicos
Consideramos primero el caso del grupo de traslaciones
Γ =< T >,
T (z) = z + 1.
153
Se puede tomar como centro del polı́gono el punto w0 = i + 1/2. Ahora,
el bisector perpendicular a w0 y
wk = i +
1
+ k, k ∈ Z, k 6= 0,
2
es la recta vertical que pasa por
m=i+
k+1
,
2
el punto medio euclideano entre w0 y wk (véase la Figura 4.19). Esto se
sigue, ya que como la reflexión en la recta Re z = m es una isometrı́a
hiperbólica, se tiene que los puntos de dicha recta equidistan hiperbólicamente de w0 y de wk .
Es claro entonces que el polı́gono de Dirichlet con centro en i + 1/2
consiste en el rectángulo infinito R∞ determinado por 0, 1 e ∞. Esto se
sigue, ya que como los bisectores son las rectas verticales
k+1
2
λk = z ∈ H Re z =
,
2
se tiene λ1 = {z ∈ H2 | Re z = 1} y λ−1 = {z ∈ H2 | Re z = 0}. Nótese
que los bisectores λk , k 6= 1, −1, no intersectan R∞ (véase la Figura 4.20).
Obsérvese que cada bisector es ortogonal a todos los horociclos. Conjugando, el caso general se sigue de manera análoga al caso elı́ptico (véase la
Figura 4.21).
λ−1
λ1
w0
0
λ2
λ3
w1
1
w2
2
3
Figura 4.20: Polı́gono de Dirichlet para un grupo de traslaciones
154
w1
λ1
w0
λ−1
w−1
Figura 4.21: Polı́gono de Dirichlet de un grupo cı́clico parabólico
2i
√
2i
λ2
i
λ1
i/2
λ−1
Figura 4.22: Polı́gono de Dirichlet del grupo cı́clico < z → 2z >
Polı́gonos de Dirichlet de grupos cı́clicos hiperbólicos
Consideremos primero el grupo de homotecias generado por T (z) = 2z. Se
puede tomar w0 √
= i como el centro del polı́gono de Dirichlet. Ahora, como
1/2(log 2)√= log 2, se sigue que el punto medio hiperbólico del segmento
[i, 2i] es 2 i. Este hecho muestra que
√
λ1 = {z ∈ H2 |z| = 2 i};
también, como z → −1/z es una isometrı́a, se sigue que
i
2 λ−1 = z ∈ H |z| = √
.
2
Estos argumentos muestran también que los demás bisectores son semicı́rculos con centro en el origen que no intersectan el medio anillo
√
2 1
D = z ∈ H √ < |z| < 2 ,
2
155
que es por consiguiente el polı́gono de Dirichlet Di para este grupo cı́clico
de homotecias. Esto se debe a que todos los bisectores son ortogonales al
eje (la geodésica que une los puntos fijos), por ejemplo, λ2 corta ortogonalmente el eje imaginario en 2i, ya que 2 log 2 = log 4 (véase la Figura 4.22).
Conjugando, se sigue el caso general (como en los casos elı́ptico y parabólico). Obsérvese que en este caso, como la función conjugante manda el eje
del generador al eje del generador del grupo conjugado, los bisectores son
geodésicas ortogonales al eje (véase las Figuras 4.23 y 4.24).
w1
w0
w−1
Figura 4.23: Polı́gono de Dirichlet de un grupo cı́clico hiperbólico
w0
w−1
w1
Figura 4.24: Polı́gono de Dirichlet de un grupo cı́clico hiperbólico
EJERCICIOS 4.2
1. Demuestre que si Γ es un subgrupo discreto de P SL(2, R) y w ∈ H2 ,
entonces w tiene una vecindad estable.
2. Termine la prueba del Lema 4.10.
3. Sea D un polı́gono de Dirichlet de un subgrupo discreto Γ de P SL(2, R),
demuestre que sus imágenes (bajo elementos de Γ) son también polı́gonos
de Dirichlet de Γ.
156
4. Sea Γ un subgrupo discreto de M (∆) y D su polı́gono de Dirichlet con
centro en w, demuestre que ϕ(D) es el polı́gono de Dirichlet con centro en
ϕ(w) del grupo conjugado ϕ Γ ϕ −1 , donde ϕ ∈ P SL(2, C) transforma ∆
en H2 (o preserva ∆).
4.3.
Polı́gono de Ford
En casos menos canónicos es difı́cil construir los polı́gonos de Dirichlet, ya
que no es fácil detectar la familia de todos los bisectores. Mostraremos otra
construcción atribuida a Ford que establece otras técnicas más apropiadas
para construir regiones fundamentales. El siguiente resultado describe las
entradas inferiores izquierdas de las matrices que definen subgrupos discretos de P SL(2, R), que contienen traslaciones; estos números, como veremos
posteriormente, tienen un importante significado geométrico.
Lema 4.3.1 Sea Γ un grupo discreto de SL(2, R) que contiene matrices
que definen traslaciones. Entonces no existe ninguna sucesión de matrices
distintas
an b n
∈ Γ, n ∈ N,
Tn =
cn dn
de tal manera que cn → α, α finito.
Obsérvese que el lema implica que existe m > 0, tal que para toda
a b
T =
∈Γ
c d
se tiene |c| ≥ m, o c = 0.
Demostración. Como Γ∞ , el grupo estabilizador de ∞, es cı́clico, existe
una matriz
1 λ
T =
∈ Γ, λ > 0,
0 1
tal que su correspondiente transformación T genera Γ∞ .
Si el lema no se cumple, existe una sucesión
an b n
Tn =
∈ Γ, n ∈ N,
cn dn
4.3. POLÍGONO DE FORD
157
tal que cn → α. Reemplazando −Tn por Tn , si es necesario, se puede
suponer que α ≥ 0, y que los números cn son todos distintos entre sı́ y son
todos positivos. Ahora, si pn , qn ∈ Z, se tiene que
1 pn λ
an b n
1 qn λ
pn
qn
T Tn T =
0 1
cn dn
0 1
an + pn (λcn ) bn + pn (λdn )
1 qn λ
=
cn
dn
0 1
an + pn (λcn )
∗
=
.
cn
dn + qn (λcn )
Resulta que para cada n ∈ N se pueden elegir pn , qn ∈ Z, de tal manera
que
1 ≤ an + pn (λcn ) < 1 + λ cn
y 1 ≤ dn + qn (λcn ) < 1 + λ cn .
(4.1)
Dejamos la verificación de este hecho como ejercicio. Habiendo elegido para
cada natural n los enteros pn , qn ∈ Z, que cumplen las desigualdades (4.1),
se obtiene una sucesión de matrices que denotamos por
αn βn
Bn =
= T pn Tn T qn , n ∈ N.
cn δn
Obsérvese que todas estas matrices son distintas, ya que las entradas cn lo
son. Bajo esta nueva notación se tiene
1 ≤ αn < 1 + λ cn
y 1 ≤ δn < 1 + λ cn .
(4.2)
Finalmente, estas desigualdades implican que
1 ≤ αn δn ≤ 1 + 2λcn + λ2 c2n
y
αn δn − 1
≤ 2λ + λ2 cn .
cn
Sin embargo, esta última desigualdad junto con (4.2) implica que las matrices
Bn , n ∈ N, están acotadas, lo cual contradice que Γ es discreto.
0 ≤ βn =
A continuación probaremos que las transformaciones de Möbius que no
fijan ∞, actúan euclidianamente en un único cı́rculo llamado isométrico.
158
Definición 41 Sea
T (z) =
az + b
, ad − bc = 1, c 6= 0,
cz + d
una transformación en P SL(2, C), se define el cı́rculo isométrico de T ,
denotado por I(T ), como
{z ∈ C | |T 0 (z)| = 1}.
Esto es, el cı́rculo isométrico consiste de aquellos puntos donde la norma de la derivada es 1; equivalentemente, este conjunto consiste en aquellos
puntos donde el factor de conformalidad es 1. Existe una útil relación explı́cita para el cı́rculo isométrico en términos de las entradas inferiores de la
matriz
(
)
1
−d .
I(T ) = z ∈ C z −
=
c
|c|
Esto se sigue, ya que T 0 (z) =
1
.
(cz + d)2
Proposición 4.3.2 Sea T ∈ P SL(2, C), T (z) =
az + b
, ad−bc = 1, c 6= 0,
cz + d
entonces T actúa euclidianamente en I(T ).
Demostración. Sean z, w ∈ I(T ), entonces
az + b aw + b | T (z) − T (w)| = −
cz + d cw + d (az + b)(cw + d) − (aw + b)(cz + d) =
(cz + d)(cw + d)
= |azd + bcw − awd − bcz| = |z − w|.
Resulta también que el cı́rculo isométrico es el único cı́rculo donde una
transformación de Möbius compleja (que no fija ∞ ) actúa euclidianamente.
Esto se sigue, ya que si
T (z) =
az + b
, ad − bc = 1, c 6= 0,
cz + d
159
actúa euclidianamente en otro cı́rculo K, tomando un punto z ∈ K − I(T ),
y una sucesión de puntos wn ∈ K, tales que convergen a z, se tendrı́a
T (z) − T (wn ) =1
lı́m wn →z z − wn
y |T 0 (z)| = 1, lo cual implicarı́a z ∈ I(T ). El siguiente importante resultado exhibe cómo el cı́rculo isométrico describe la acción geométrica de una
transformación de Möbius.
T
I T
I T
−1 Figura 4.25: Acción de una transformación hiperbólica o loxodrómica en el
cı́rculo isométrico
Teorema 4.3.3 Sea T una transformación en P SL(2, C) que no fija a ∞.
Entonces
−1 (i) T I(T ) = I T
;
−1 (ii) T Int I(T ) = Ext I T
;
−1 (iii) T Ext I(T ) = Int I T
.
Demostración. Sea z ∈ C, z 6= −d/c, se sigue de la regla de la cadena
que
−1 0
T
(T (z)) T 0 (z) = 1.
(4.3)
Ahora, como
T 0 (z) =
1
,
(cz + d)2
160
se tiene por conexidad que
z ∈ Ext I(T ) ⇐⇒ |T 0 (z)| < 1.
En consecuencia, se sigue de (4.3) que
−1 z ∈ Int I(T ) ⇐⇒ T (z) ∈ Ext I T
y que
z ∈ I(T ) ⇐⇒ T (z) ∈ I T
−1
,
etcétera.
Estos hechos se cumplen también en cualquier dimensión. Para aquellas
b n ) que no fijan ∞ se define la esfera
transformaciones de Möbius en GM (R
isométrica como aquellos puntos donde el factor de conformalidad del jacobiano de la transformación es 1. Resulta, como en el caso bidimensional, que
estos puntos son en efecto una esfera de codimensión 1; más aún, todas las
observaciones y resultados que hemos mencionado para el caso de P SL(2, C),
b n ) (cf. [2] pp. 41 y 42).
también se cumplen para transformaciones en GM (R
A manera de conclusión del texto, mostramos la construcción del polı́gono
de Ford para grupos con traslaciones, y aplicamos estos resultados para exhibir una región fundamental del grupo clásico modular, que es a la vez un
polı́gono de Ford y también uno de Dirichlet. En realidad, ambos polı́gonos,
el de Dirichlet y el de Ford, se pueden considerar como distintos casos de
la misma construcción (polı́gono de Dirichlet generalizado). Véase [2] pp.
234-239.
Definición 42 Sea Γ un subgrupo discreto de P SL(2, R) con traslaciones,
se define el polı́gono de Ford para Γ, determinado por λ ∈ R, como


\
\

R = R∞
Ext I(T ) ,
T ∈ Γ−Γ∞
donde
R∞ = {z ∈ H2 | λ < Re z < λ + µ}
y z → z + µ es un generador de Γ∞ .
161
Nótese que bajo las hipótesis de la definición anterior, el Lema 4.3.1 implica que los radios de los cı́rculos isométricos, de las transformaciones del
grupo que no son traslaciones, convergen a 0. Esto se sigue, ya que dado
m > 0, sólo existe un número finito de transformaciones T ∈ Γ − Γ∞ ,
T (z) =
az + b
,
cz + d
tales que |c| ≤ 1/m, o
1
≥ m.
|c|
Por consiguiente, el conjunto R es no vacı́o. Más aún, el polı́gono R es un
conjunto abierto h-convexo y por lo tanto conexo. Esto se sigue, ya que es
intersección de semiplanos.
Teorema 4.3.4 Sean R y Γ como en la definición anterior, entonces R es
una región fundamental para Γ.
Demostración. Probamos primero que no hay puntos Γ − equivalentes
en R. Para esto, sea z ∈ R y T ∈ Γ. Si T ∈ Γ∞ , T 6= Id, entonces T
/ R. Por otra parte, si T no
traslada z fuera de R∞ , y por lo tanto T (z) ∈
fija ∞, como z ∈ Ext I(T ), se sigue que
−1 T (z) ∈ Int I T
,
esto es, T (z) ∈
/ R.
Obsérvese que si
w ∈ ∂R y Re w 6= λ, λ + µ,
entonces w está contenido en la cerradura del exterior de cualquier cı́rculo
isométrico. Esta afirmación se sigue, ya que si w ∈ Int I(T ) para alguna T ,
entonces existe una vecindad de w ajena a R. Nótese también que como los
radios de los cı́rculos isométricos convergen a 0, solamente hay un número
finito de cı́rculos isométricos que pasan por w.
Probamos ahora que cualquier z0 ∈ H2 es Γ − equivalente a un punto
e Si z0 ∈ R∞ , escribimos z1 = z0 , de otra manera, trasladamos z0 a
en R.
e∞ . Ahora, si z1 ∈
e entonces z1 ∈ Int I(T 1 ), donde esta
un punto z1 ∈ R
/ R,
transformación T 1 está definida por una matriz
a1 b 1
T1 =
.
c1 d1
162
Nótese que el punto z2 = T 1 (z1 ) satisface
Im z2 =
Im z1
> Im z1 .
|c1 z1 + d1 |2
e se sigue el teorema; de otra manera, el siguiente
Por otra parte, si z1 ∈ R,
e∞ , (si z2 ∈ R
e∞ , se toma z2 = z3 ),
paso es trasladar z2 a un punto z3 ∈ R
e entonces z3 ∈ Int I(T 2 ), etcétera.
si z3 no está en R,
De esta modo, se obtiene una sucesión de puntos Γ − equivalentes
z0 , z1 , z2 , . . . , zn ,
tales que los números de la forma z2n+1 , n ∈ N, están en R∞ y
Im z0 = Im z1 < Im z2 = Im z3 < Im z4 = . . .
Finalmente, esta sucesión es necesariamente finita. Esto se sigue, ya que
el Lema 4.3.1 implica que existe una cota superior a los radios de los cı́rculos
isométricos, digamos s. Por lo cual si z ∈ R∞ y Im z > s, necesariamente
e En consecuencia, como el rectángulo
z ∈ R.
\
e∞
R
{z ∈ H2 | Im z0 ≤ Im z ≤ s}
contiene solamente puntos ordinarios, la sucesión z2n+1 , n ∈ N, no se puede
acumular en dicho rectángulo compacto; por lo que necesariamente existe n,
e
e y z0 es Γ − equivalente a un punto de R.
tal que z2n+1 ∈ R
Para ilustrar estas ideas exhibimos una región de Ford para el grupo
clásico modular P SL(2, Z), denotaremos a este grupo por Γ. Nótese que
1 1
T =
0 1
genera Γ∞ . También, se puede tomar el rectángulo R∞ como
{z ∈ H2 | − 1/2 < Re z < 1/2}.
Obsérvese también que los cı́rculos isométricos de mayor radio euclidiano
tienen radio 1 y que los centros de estos cı́rculos son precisamente los enteros.
Esto se sigue, ya que ∀ d ∈ Z existe
a b
∈ SL(2, Z).
1 −d
163
De estos cı́rculos euclidianamente mayores, sólo los que tienen centros en
−1, 0, 1 intersectan a R∞ (véase la Figura 4.26).
Ahora, la intersección de los cı́rculos |z − 1| = 1 y |z| = 1 en H2 es
un punto que denotamos por ρ. Este punto del cı́rculo unitario satisface la
ecuación (ρ − 1)(ρ − 1) = 1, por lo que Re ρ = 1/2 y
√
πi
3
1
ρ= +i
=e3.
2
2
Reflejando en el eje imaginario, se tiene el otro vértice
√
−π i
2πi
3
−1
+i
.
−ρ = −e 3 = e 3 =
2
2
En consecuencia, los otros cı́rculos isométricos de radio menor a 1 no
intersectan la región delimitada por las rectas Re z = ±1/2, que es exterior
al cı́rculo |z| = 1. Es decir, esta región, que denotamos por R, es un polı́gono
de Ford para el grupo modular. Esto se sigue, ya que los radios de estos
cı́rculos son 1/n, n ≥ 2. Véase la Figura 4.26.
ρ=e
πi
3
−ρ
−2
−1
0
1
2
Figura 4.26: Una región fundamental de Dirichlet y Ford del grupo clásico
modular
Resulta que el polı́gono de Ford que acabamos de describir, es también el
polı́gono de Dirichlet con centro en 2i. Para probar esta afirmación, obsérvese
primero que 2 i no es un punto fijo. Una manera de probar esta afirmación
es usando la fórmula de los puntos fijos, dado que la parte imaginaria y de
un punto fijo elı́ptico está dada por
p
4 − χ2
.
2|c|
164
Además χ2 ≥ 0 y c es un entero no nulo, por lo que
y≤
2
≤ 1.
2|c|
Alternativamente, es fácil probar que los puntos de una región fundamental no pueden ser puntos fijos, ya que al tomar cı́rculos hiperbólicos
suficientemente pequeños habrı́a puntos Γ − equivalentes en dichos cı́rculos.
Ahora, como ya se mostró las rectas Re z = ±1/2 son los bisectores
perpendiculares de 2i y 2i ± 1, también
0 −1
S=
∈ SL(2, Z)
1 0
y S(2i) = i/2, por lo que el bisector entre 2i y i/2 es el cı́rculo unitario.
En consecuencia,
D2 i ⊂ R.
Por consiguiente, basta probar que la inclusión no es propia. De otra manera,
e 6= ∅. Para
si R − D 6= ∅, donde D = D2 i , entonces también R − D
probar esta afirmación, nótese que si z ∈ R − D, se puede tomar un disco
hiperbólico B con centro en z, totalmente contenido en R, de tal manera
que los bisectores que intersecten a B, pasen todos por z (recordamos, que
solamente un número finito de bisectores intersectan un compacto en H2 ).
Bajo estas hipótesis, se tiene que estos bisectores dividen a H2 en un número
finito de regiones, una de las cuales contiene a D. Es claro entonces que se
e (véase la Figura 4.27). Por lo cual, existe un
puede encontrar w ∈ R − D
e que es Γ − equivalente a w. Esto es una contradicción, ya que
punto u ∈ D
un punto de R no puede ser Γ − equivalente a otro punto de R y tampoco
a un punto de la frontera de R.
D
z
w
Figura 4.27: Prueba de que el polı́gono de Ford del grupo modular es también
de Dirichlet
165
Existe otro método de construcción de regiones fundamentales atribuido
a Poincaré, éste consiste en encontrar un polı́gono que cumpla ciertas condiciones sobre los vértices y que los lados estén apareados bajo transformaciones
del grupo (cf. [2] pp. 242-250).
EJERCICIOS 4.3
1. Termine la prueba del Lema 4.3.1.
2. Demuestre que si los cı́rculos isométricos de una transformación T y de su
inversa se intersectan, entonces los puntos de intersección son puntos fijos.
−1 los cı́rculos isométricos de una transformación T y
3. Sean I(T ) y I T
−1 se intersectan
su inversa. Demuestre que: si T es elı́ptica, I(T ) y I T
en dos puntos; si T es parabólica, son tangentes; y si T es hiperbólica, son
ajenos.
4. Demuestre que los cı́rculos isométricos de una transformación loxodrómica
y su inversa son ajenos.
5. Demuestre que dado un subgrupo discreto Γ de P SL(2, R) existen regiones fundamentales de Γ, R1 , R2 , tales que R1 es un subconjunto propio
de R2 .
6. Sea Γ el subconjunto del grupo modular determinado por las matrices
cuyas entradas inferiores izquierdas son múltiplos de 2, demuestre que Γ es
un subgrupo y encuentre una de sus regiones de Ford.
166
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Índice Analı́tico
área hiperbólica, 134
Apolonio, cı́rculos de, 24
bisector perpendicular, 136
“cı́rculos”, 16
cı́rculos hiperbólicos, 53
Cayley, función de, 34
conforme, transformación, 15
conjunto fundamental, 131
cordal, métrica, 6
∆, 34
densidad, 43
Dirichlet, polı́gono de, 142
discontinuo, 90
“discos”, 32
discreto, grupo, 101
dominio fundamental, 133
h-convexo, 137
H2 , 32
haz
elı́ptico, 80
hiperbólico, 80
parabólico, 79
hiperbólica, transformación, 23
hiperciclos, 55
horocı́clico, grupo, 111
horociclos, 55
infinito, punto al, 1
isométrico, cı́rculo, 158
lı́mite
conjunto, 89
punto, 89
loxodrómica, transformación, 23
métrica hiperbólica, 47
M (∆), 36
eje, de una transformación hiperbóli- Möbius, transformaciones de, 1, 8
ca, 56
modular, grupo, 95
elı́ptica, transformación, 23
multiplicadores, 37
estable, vecindad, 140
ordinario
factor de conformalidad, 43
conjunto, 89
Ford, dominio de, 160
punto, 89
fuchsiano, grupo, 110
parabólica, transformación, 21
geodésica, 51
Picard, grupo de, 104
GL(2, C), 37
plano complejo, extendido, 1
169
170
Poincaré
disco de, 60
extensión de, 83
principal de congruencias, grupo, 96
proyección estereográfica, 2
P SL(2, C), 11
P SL(2, R), 32
región fundamental, 133
ρ, 49
Riemann, esfera de, 2
SL(2, C), 9
SL(2, R), 32
Steiner, configuración de, 25
ÍNDICE ANALÍTICO

Una introducción a la geometr´ıa hiperbólica bidimensional

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