Estabilidad Interna. Incertidumbre no estructurada

Estabilidad Interna. Incertidumbre no estructurada

Pontificia Universidad Católica del Perú
ICA624: Control Robusto
5. Estabilidad Interna
Incertidumbre No Estructurada y Estabilidad Robusta
Hanz Richter, PhD
Profesor Visitante
Cleveland State University
Mechanical Engineering Department
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Lazo Bien Definido
Lazo Bien
⊲ Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
Consideremos el lazo realimentado general (puede ser MIMO):
Para que el lazo esté bien definido, hace falta que las funciones
de transferencia de cada entrada
(r, n, d y du ) a cada salida (u,
up e y) sean todas propias.
dp
r
−
K
d
y
u
up
G
n
¿Porqué decimos que una función de transferencia impropia es
“físicamente imposible” (discusión: causalidad).
Puede verse que basta con que la matriz de transferencia de los
disturbios a u sea propia para que el resto de matrices sean
propias:
dp
7→ u
d
debe ser propia.
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Condiciones para la buena definición
Lazo Bien
⊲ Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
Definiendo K̂ = −K y combinando las señales externas, el
siguiente lazo captura la matriz de transferencia de interés:
w1 +
e1
G
+
+
K̂
e2
w2
+
Si G = (A, B, C, D) y K̂ = (Â, B̂, Ĉ, D̂), se demuestra (Zhou y
Doyle) que el lazo quedará bien definido siempre y cuando:
I −D̂
sea invertible
−D
I
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Estabilidad Interna
Lazo Bien Definido
Estabilidad
Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
La estabilidad interna implica que las funciones de transferencia
de cada entrada (r, n, d y du ) a cada salida (u, up e y) sean
todas parte de RH∞ . Por las razones anteriores, basta establecer
que la matriz de transferencia de W = (w1 , w2 ) a E = (e1 , e2 )
pertenezca a RH∞ .
−1
−1
E(s)
(I − K̂G)
K̂(I − GK̂)
=
W (s)
G(I − K̂G)−1
(I − K̂G)−1
−1
−1
I + K̂(I − K̂G) G K̂(I − GK̂)
=
(I − K̂G)−1 G
(I − K̂G)−1
Cada una de las 4 componentes (en sí matrices de transferencia)
de la matriz anterior deben ser RH∞ para obtener estabilidad
interna.
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Ejemplo
Lazo Bien Definido
Estabilidad
Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Generar G y K (MIMO) aleatoriamente (en forma de espacio de
estados) y verificar si el lazo resultante es internamente estable.
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Estabilidad Interna: Casos Particulares
Lazo Bien Definido
Estabilidad
Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Corolario 5.2 (Zhou & Doyle): Supongamos que K̂ ∈ RH∞ .
Entonces el lazo será internamente estable siempre y cuando esté
bien definido y G(I − K̂G)−1 ∈ RH∞ .
Corolario 5.3 (Zhou & Doyle): Supongamos que G ∈ RH∞ .
Entonces el lazo será internamente estable siempre y cuando esté
bien definido y K̂(I − GK̂)−1 ∈ RH∞ .
Corolario 5.4 (Zhou & Doyle): Supongamos que K̂ y G
pertenecen a RH∞ . Entonces el lazo será internamente estable
siempre y cuando (I − GK̂)−1 ∈ RH∞ .
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Teorema General de Estabilidad Interna
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema
General de
Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Sean nk y ng los números de polos de K̂ y G en el lado derecho
abierto. El lazo será internamente estable siempre y cuando esté
bien definido y:
1. El número de polos de GK̂ en el lado derecho abierto sea
nk + ng
2. (I − GK̂)−1 sea estable.
La primera condición evita cancelaciones de ceros con polos
inestables (lo cual no afectaría la estabilidad entrada/salida pero
sí la interna).
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Ejemplo
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Para las siguientes matrices de transferencia:
"
s+2
s+1
1
(s+1)2
G(s) =
K(s) =
1
0
s+4
s−1
10
1
s+1
1
− (s+1)2
#
Decidir si el lazo está bien definido. Si lo estuviera, determinar la
estabilidad interna.
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Descripciones de Incertidumbre No Estructurada
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones
de
Incertidumbre
No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Incertidumbre Aditiva:
G(s) = Go (s) + W1 (s)∆(s)W2 (s)
con ||∆(jw)|| < 1 Incertidumbre Multiplicativa:
G(s) = (I + W1 (s)∆(s)W2 (s))Go (s)
con ||∆(jw)|| < 1
Go (s) es el modelo nominal (nuestro mejor intento de
modelar al sistema)
La incertidumbre ∆(s) no tiene una forma particular (matriz
de transferencia). Es un término genérico que intenta
capturar todos los errores posibles.
Los pesos W1 (s) and W2 (s) se usan para acotar la magnitud
de la incertidumbre de acuerdo a la frecuencia.
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Ejemplo: Respuesta en Frecuencia de un Actuador de Disco
Duro
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones
de
Incertidumbre
No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Usualmente, la incertidumbre es mayor a alta frecuencia. En
sistemas electromecánicos, la incertidumbre en fase podría ser de
hasta ±180◦ para frecuencias suficientemente altas.
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Obtención de Pesos de Incertidumbre
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Supongamos que existe una familia de modelos para la planta. La
distribución de estos modelos representa la incertidumbre. La familia de
modelos puede expresarse de manera paramétrica o experimental.
Ejemplo de familia paramétrica:
αs + β
G(s) =
δs + γ
donde α, β, δ y γ están entre 1.5 y 3.
También puede haberse estimado G(s) mediante un analizador
espectral o por identificación de sistemas, resultando en una colección
de modelos correspondientes a intentos repetidos.
En ambos casos, se puede usar Matlab para ajustar una función W (s)
cuya magnitud represente una cota superior para ∆(s).
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Obtención de Pesos de Incertidumbre...
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
El procedimiento es como sigue:
1. Se grafica el error en magnitud |G(jw) − Go (jw)| en un
rango de frecuencias apropiado usando una malla de
combinaciones de parámetros.
2. El paso anterior puede provenir de datos experimentales
(analizador espectral).
3. Habrá una magnitud limitante (cota superior). Se escogen
puntos para ajustar una función de transferencia W (s)
propia, estable y de fase mínima (ceros con partes reales
negativas). Se cumplirá que |∆(jw)| ≤ |W (jw)|. Ahora
podemos usar la representación aditiva
G(s) = Go (s) + W (s)∆(s) con ||∆(s)|| ≤ 1.
4. Se puede hacer lo mismo usando la descripción multiplicativa
o (s)
∆(s) = G(s)−G
Go (s)
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Ejemplo - Matlab
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Supongamos que cierto sistema tiene la forma
wn2
G(s) = k 2
s + 2ζwn s + wn2
donde k varía entre 0.8 y 1.2, wn entre 13 y 17, y ζ entre 0.08 y
0.12. Los valores nominales (Go (s)) son 1, 15 y 0.1,
respectivamente. Usar los comandos freqresp, ginput, vpck,
fitmag, unpck para encontrar un peso aditivo Wa (s) y un peso
multiplicativo Wm (s) tales que |∆a (jw)| ≤ |Wa (jw)| y
|∆m (jw)| ≤ |Wm (jw)|
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Teorema de Ganancia Pequeña
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia
Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Sea M (s) ∈ RH∞ una matriz de transferencia fija y
∆(s) ∈ RH∞ una matriz de transferencia incierta:
w1 +
e1
∆
+
+
M
e2
w2
+
El lazo cerrado estará bien definido y será internamente estable para
cualquier ∆(s) ∈ RH∞ siempre y cuando:
||∆(s)M (s)||∞ < 1
Pensar en lo que ocurre cuando un micrófono se pone muy cerca al
parlante y el volumen del amplificador es alto.
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Estabilidad Robusta: Incertidumbre No Estructurada
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
El teorema de ganancia pequeña se aplica directamente al análisis
de estabilidad robusta MIMO bajo la siguiente configuración
general del lazo:
K
G
−
Aquí G representa una familia de plantas sujetas a incertidumbre, con
planta nominal Go y una de las 2 descripciones de incertidumbre:
G = Go + W1 ∆W2
G = (I + W1 ∆W2 )Go
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Estabilidad Robusta: Incertidumbre Aditiva
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
⊲
Teorema 8.4 (Zhou y Doyle): Sea una familia de plantas sujetas a
incertidumbre con descripción aditiva
G = Go + W1 ∆W2
Sea K un compensador internamente estabilizante para la planta
nominal Go . Entonces el sistema de lazo cerrado estará bien
definido y será internamente estable para cualquier ∆(s) ∈ RH∞
con ||∆(s)||∞ < 1 siempre y cuando:
||W2 KSo W1 ||∞ ≤ 1
Recordar que
So = (I + GK)−1
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Estabilidad Robusta: Incertidumbre Multiplicativa
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
Sea una familia de plantas sujetas a incertidumbre con
descripción multiplicativa
G = (I + W1 ∆W2 )Go
Teorema 8.5 (Zhou y Doyle): Sea K un compensador
internamente estabilizante para la planta nominal Go . Entonces el
sistema de lazo cerrado estará bien definido y será internamente
estable para cualquier ∆(s) ∈ RH∞ con ||∆(s)||∞ < 1 siempre y
cuando:
||W2 To W1 ||∞ ≤ 1
Recordar que
To = I − S o
⊲
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Ejemplo
Lazo Bien Definido
Estabilidad Interna
Teorema General
de Estabilidad
Interna
Ejemplo
Descripciones de
Incertidumbre No
Estructurada
Obtención de
Pesos de
Incertidumbre
Teorema de
Ganancia Pequeña
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre No
Estructurada
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Aditiva
Estabilidad
Robusta:
Incertidumbre
Multiplicativa
Sean K = I y
Go (s) =
1
s+1
1
s+1
2
s+3
1
s+1
Si G = Go + ∆ con ||∆(s)||∞ ≤ γ, encontrar el mayor valor
permisible para γ para obtener estabilidad robusta. Repetir si
G = (I + ∆)Go . Repetir ambos casos con
#
"
Go (s) =
s−1
(s+1)2
−1
(s+1)2
5s+1
(s+1)2
s−1
(s+1)2
⊲
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