Exámenes LYED 2016 PPS

Transcripción

Centro Asociado Palma de Mallorca
Exámenes
Lóg ica y
Estructuras
Discretas
Tutor: Antonio Rivero Cuesta
Febrero 2016
1ª A
Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2016, 1ª Modelo A
X1: p ↔ (q ∧ r)
X2: (p ∨ s) → ¬r
X3: p ∧ (¬s ∨ r)
X4: q ∨ ¬s
Datos
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
1. I: p = 1, q = 1, r = 1, s = 0 no satisface:
a) {X1, X3}
b) {X1, X2}
c) {X1, X4}
X1: p ↔ (q ∧ r)
1 ↔ (1 ∧ 1)
X2: (p ∨ s) → ¬r
(1 ∨ 0) → 0
X3: p ∧ (¬s ∨ r)
1 ∧ (1 ∨ 1)
X4: q ∨ ¬s
1∨1
p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s ¬s
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
¬r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
q∧r
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
X1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
p∨s
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X2
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
¬s ∨ r
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
X3 X4
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 0
1 1
1 0
1 1
0 1
1 1
1 1
2. Señale el conjunto insatisfacible:
a) {X1, X2, X4}
b) {X2, X3, X4}
c) {X1, X2, X3}
3. ¬X2: ¬[(p ∨ s) → ¬r] es equivalente a:
a) (p ∨ s) ∧ r
b) (p ∧ s) ∨ ¬r
c) ¬(p ∧ s) ∨ r
X2: (p ∨ s) → ¬r ; ¬X2: ¬[(p ∨ s) → ¬r];
4. Señale la consecuencia correcta:
a) X1, X4 ⊨ ¬X2
b) X2, X3 ⊨ ¬X4
c) X2, X3 ⊨ ¬X1
Si { X1, X2, X3} es insatisfacible,
entonces X2, X3 ⊨ ¬X1.
Está demostrado en el ejercicio dos.
5. Señale la tautología:
a) X2 ∧ X4 → ¬X3
b) X2 ∧ X4 → ¬X1
c) X1 ∧ X2 → ¬X3
entonces X1 ∧ X2 → ¬X3.
Y1: œx (¬Ax → (Bx ∧ Cx))
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬œy ¬Cy)
Y3: œxœy (x = y → (Rxy ∧ Cx))
Y4: ∃x∃y R f(x) f(y)
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
6. La interpretación I1 satisface:
a) {Y1, Y2, Y3} pero no Y4.
b) {Y1, Y2} pero ni Y3 ni Y4.
c) {Y1, Y2, Y3, Y4}.
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
Y1: œx (¬Ax → (Bx ∧ Cx))
œx ¬Ax → (Bx ∧
1 F → V ∧
2 F → V ∧
3 F → V ∧
Cx)
V V
V V
V V
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
Y2: ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
∃x
1
2
3
Bx
V
V
V
∧
∧
∧
∧
∃y
3
1
2
Cy
V V
V V
V V
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
œxœy x = y
11
V
12
F
13
F
21
F
22
V
23
F
31
F
32
F
33
V
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Rxy
V
F
F
F
V
V
F
F
V
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
Cx
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
∃x
1
2
3
R f(x) f(y)
∃y
1 f (1) = 1 f (1) = 1 V
2
3
a) {Y1, Y2} pero ni Y3 ni Y4.
b) {Y1, Y2, Y3, Y4}.
c) {Y1, Y2, Y4} pero no Y3.
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
Y1: œx (¬Ax → (Bx ∧ Cx))
1 F → F ∧
2 F → V ∧
3 F → V ∧
Cx)
V V
V V
V V
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
Y2: ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
∃x
1
2
3
Bx
F
V
V
∧
∧
∧
∧
∃y
1
1
2
Cy
V F
V V
V V
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
œxœy x = y
11
V
12
F
13
F
21
F
22
V
23
F
31
F
32
F
33
V
→ Rxy ∧ Cx
→ V ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V F
→ V ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V F
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
∃x
1
2
3
R f(x) f(y)
∃y
1 f (1) = 1 f (1) = 1 V
2 f (2) = 2 f (2) = 2 V
3 f (3) = 3 f (3) = 3 V
8. No es equivalente a Y2:
Y2: ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
a) ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
b) ∃x Bx ∧ ∃y Cy
c) ∃x (Bx ∧ Cx)
9. Marque la consecuencia correcta:
a) Y1 ∨ Y2 ⊨ Y1
b) Y1 ∧ Y2 ⊨ Y1 ∨ Y3
c) Y1 ⊨ ¬Y1
10.
a)
b)
c)
De {Y1, Y2} resulta consecuencia correcta:
¬∃x Ax
∃x Ax
œx Ax
11. Sea A un conjunto cualquiera, y sea E el
conjunto universal. ¿A qué fórmula de las siguientes
es equivalente A ⋂ ∼A?
a) E
b) ∼∅
c) A ⋂ ∅
12. Sea el conjunto A = {1,2,3,4}¿Cuál de los
siguientes conjuntos es subconjunto de A · A?
a) El conjunto {1,2,3,4,6,8,9,12,16}
b) El conjunto {1,4,9,16}
c) El conjunto {(1,1),(2,2),(4,1)}
13. ¿Cuál de las siguientes propiedades cumple toda
relación que es orden débil?
a) Irreflexiva.
b) Reflexiva.
c) Simétrica.
14. Sean A y B dos conjuntos finitos cualesquiera,
tales que |A| = 22 y |B| = 8. ¿Cuál es el máximo
número de tuplas que puede tener una relación
definida en A y B?
a) 22 · 8.
b) 30.
c) 230.
15. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas de ℤ
en ℤ es inyectiva?
4
a) f(z) = z +4
3
b) f(z) = z
c) f(z) = z2
16. Un seleccionador de fútbol acude a la Eurocopa
con 11 centrocampistas. Si sólo escogerá para jugar a
4 de ellos, ¿de cuántas formas puede hacerlo?
a) 11!/(4! · 11!)
b) 11!/4!
c) 11!/(4! · 7!)
n
n!
11!
11!
C ( n, r ) =   =
=
=
 r  r !⋅ (n − r )! 4!⋅ (11 − 4)! 4!⋅ 7!
17. Sea el grafo G de la figura (ver Datos). ¿Cuál es
el grado de entrada del nodo c?
a) 1.
b) 4.
c) 5.
18. Sea el grafo G de la figura (ver Datos). ¿Cuál de
las siguientes secuencias de nodos es un recorrido en
anchura en G?
a) (a,c,b,d,e,f)
b) (a,c,e,b,d,f)
c) (c,a,b,e,f,d)
19. Sea e un camino en un digrafo en el que todas
las aristas en c son distintas. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es cierta?
a) c es un camino sencillo.
b) c no es un camino elemental ni es un camino
sencillo.
c) c es un camino elemental, pero no es un camino
sencillo.
20. Sea G un grafo dirigido sencillo sin bucles que
tienen nodos. ¿Cuál es el máximo valor que puede
tomar el grado total de un nodo de G?
a) n − 1
2
b) n
c) 2n − 2
Febrero 2016
1ª B
Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2016, 1ª Modelo B
X1: p ↔ (q ∧ r)
X2: (p ∨ s) → ¬r
X3: p ∧ (¬s ∨ r)
X4: q ∨ ¬s
Datos
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
a) {X1, X3}
b) {X1, X4}
c) {X1, X2}
X1: p ↔ (q ∧ r)
1 ↔ (1 ∧ 1)
X2: (p ∨ s) → ¬r
(1 ∨ 0) → 0
X3: p ∧ (¬s ∨ r)
1 ∧ (1 ∨ 1)
X4: q ∨ ¬s
1∨1
p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s ¬s
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
¬r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
q∧r
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
X1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
p∨s
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X2
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
¬s ∨ r
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
X3 X4
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 0
1 1
1 0
1 1
0 1
1 1
1 1
2. Señale el conjunto insatisfacible:
a) {X1, X2, X4}
b) {X1, X2, X3}
c) {X2, X3, X4}
a) X1, X4 ⊨ ¬X2
b) X2, X3 ⊨ ¬X4
c) X2, X3 ⊨ ¬X1
entonces X2, X3 ⊨ ¬X1.
a) X1 ∧ X2 → ¬X3
b) X2 ∧ X4 → ¬X3
c) X2 ∧ X4 → ¬X1
entonces X1 ∧ X2 → ¬X3.
5. ¬X2: ¬[(p ∨ s) → ¬r] es equivalente a:
a) (p ∧ s) ∨ ¬r
b) (p ∨ s) ∧ r
c) ¬(p ∧ s) ∨ r
X2: (p ∨ s) → ¬r ; ¬X2: ¬[(p ∨ s) → ¬r];
Y1: œx (¬Ax → (Bx ∧ Cx))
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬œy ¬Cy)
Y4: ∃x∃y Rf(x)f(y)
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
a) {Y1, Y2} pero ni Y3 ni Y4.
b) {Y1, Y2, Y3, Y4}.
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
Y1: œx (¬Ax → (Bx ∧ Cx))
1 F → F ∧
2 F → V ∧
3 F → V ∧
Cx)
V V
V V
V V
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
Y2: ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
∃x
1
2
3
Bx
F
V
V
∧
∧
∧
∧
∃y
1
1
2
Cy
V F
V V
V V
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
œxœy x = y
11
V
12
F
13
F
21
F
22
V
23
F
31
F
32
F
33
V
→ Rxy ∧ Cx
→ V ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V F
→ V ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V V
→ F ∧ V F
I2: U = {1,2,3}
A = C = {1,2,3}, B = {2,3}
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3 R = {(1,1), (2,3)}
∃x
1
2
3
R f(x) f(y)
∃y
1 f (1) = 1 f (1) = 1 V
2 f (2) = 2 f (2) = 2 V
3 f (3) = 3 f (3) = 3 V
b) {Y1, Y2, Y3, Y4}.
c) {Y1, Y2} pero ni Y3 ni Y4.
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
Y1: œx (¬Ax → (Bx ∧ Cx))
1 F → V ∧
2 F → V ∧
3 F → V ∧
Cx)
V V
V V
V V
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
Y2: ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
∃x
1
2
3
Bx
V
V
V
∧
∧
∧
∧
∃y
3
1
2
Cy
V V
V V
V V
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
œxœy x = y
11
V
12
F
13
F
21
F
22
V
23
F
31
F
32
F
33
V
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Rxy
V
F
F
F
V
V
F
F
V
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
Cx
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = B = C = {1,2,3}
f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1 R = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3)}
∃x
1
2
3
R f(x) f(y)
∃y
1 f (1) = 1 f (1) = 1 V
2
3
8. No es equivalente a Y2:
Y2: ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
a) ∃x (Bx ∧ ∃y Cy)
b) ∃x Bx ∧ ∃y Cy
c) ∃x (Bx ∧ Cx)
9. Marque la consecuencia correcta:
a) Y1 ∨ Y2 ⊨ Y1
b) Y1 ∧ Y2 ⊨ Y1 ∨ Y3
c) Y1 ⊨ ¬Y1
10.
a)
b)
c)
De {Y1, Y2} resulta consecuencia correcta:
¬∃x Ax
∃x Ax
œx Ax
es equivalente A ⋃ ∼A?
a) A ⋂∼∅
b) E
c) ∅
12. Sea el conjunto A={1,2}. ¿Cuál de los siguientes
conjuntos es el conjunto potencia de A?
a) {∅}∪{1,2}∪{A}
b) ∅∪{{1},{2}}∪A
c) {∅}∪{{1},{2}}∪{A}
13. Sea el conjunto X = {a,b,c} y sea la relación R
sobre X dada por R ={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}. ¿Qué
propiedad verifica R ⋃ IX?
a) Irreflexiva.
b) Transitiva.
c) Simétrica.
14. Cuál de las siguientes propiedades cumple toda
a) Simétrica.
b) Irreflexiva.
c) Reflexiva.
15. ¿Cuál de las siguientes relaciones es una función
de X = {a,b,c} a Y = {1,2,3}?
a) {(b,2),(a,2),(c,2)}
b) {(b,1),(c,2),(b,3),(a,2)}
c) {(a,1),(b,2),(a,3)}
16. Sean A, B y C tres conjuntos finitos tales que |A|
= 77, |B| = 79, |C| = 95, |A⋂B| = 54, |A⋂C| = 23,
|B⋂C|=35 y |A⋃B⋃C| = 160. ¿Cuál es el cardinal de
|A⋂B⋂C|?
∣S ∪ S ∪ S ∣ = ∣S ∣ + ∣S ∣ + ∣S ∣ − ∣S ∩ S ∣ − ∣S
∩ S ∣ − ∣S ∩ S ∣ + ∣S ∩ S ∩ S ∣.
1
2
3
3
2
1
3
2
1
2
3
1
2
3
160 = 77 + 79 + 95 – 54 – 23 – 35 + |A∩B∩C|
|A⋂B⋂C| = 21.
1
17. Sea el grafo ponderado G de la figura. ¿Cuál es
la distancia del nodo a al nodo b?
a) 1
b) ∞
c) 6
18. Sea el grafo G de la figura. ¿Cuál es el grado de
entrada del nodo d?
a) 5.
b) 2.
c) 1.
19. Sea G un grafo de la figura ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones sobre G es cierta?
a) G es unilateralmente conexo.
b) G es un grafo acíclico.
c) G es un grafo bipartito.
20. Sea c un camino en un grafo dirigido en el que
todos los nodos en c son distintos. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es cierta?
a) c es un camino elemental y además es un camino
sencillo.
b) c es un camino sencillo pero no es un camino
elemental.
c) c no es un camino elemental ni es un camino
sencillo.
Febrero 2016
2ª C
Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2016, 2ª Modelo C
Datos
X1: r ↔ (s ∨ p)
X2: ¬ (s → (q → ¬p))
X3: ¬r ∧ (p ∨ s)
X4: ¬ (p ∨ ¬q)
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
rs
00
01
10
11
00
01
10
11
00
01
10
11
00
01
10
11
¬p
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
¬q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
¬r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
s∨
∨p
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X1 q→¬
¬p)
¬p s→(q→¬
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
X2 p∨
∨s
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 1
1 1
X3 p∨
∨¬q
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
X4
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
a) X2
b) X1
c) X4
X1: r ↔ (s ∨ p)
1 ↔ (1 ∨ 1)
X2: ¬ (s → (q → ¬p))
¬ (1 → (1 → 0))
X3: ¬r ∧ (p ∨ s)
0 ∧ (1 ∨ 1)
X4: ¬ (p ∨ ¬q)
¬ (1 ∨ 0)
2. Señale el conjunto satisfacible:
a) {X2, X4}
b) {X1, X2}
c) {X1, X3}
3. X2: ¬ (s → (q → ¬p)) es equivalente a:
a) s ∨ (¬q ∧ p)
b) ¬s ∨ (¬q ∧ p)
c) s ∧ q ∧ p
4. No es consecuencia correcta:
a) X1, X4 ⊨ ¬ X2
b) X1, X3 ⊨ X4
c) X2 ⊨ ¬ X1
5. No es tautología:
a) X2 → ¬ X1
b) X2 ∧ (X4 ∧ ¬ X4) → ¬ X1
c) X2 → ¬ X4
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œy (Rxy ∧ ¬Ryx)
Y2: œxœ
Y3: œx∃y (x = y → (Rxy ∧ Ryx))
Y4: œx (Rx f(x) → (Ax ∧ ∃yBy))
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
6. La interpretación I1 NO satisface:
b) {Y1, Y3, Y4} pero no Y2.
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œx
1
2
3
Ax
V
F
F
→
→
→
→
¬(Bx
¬(F
¬(V
¬(F
∨
∨
∨
∨
Cx)
F) V
V) V
F) V
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
Y2: œxœ
œy (Rxy → ¬ Ryx)
œxœ
œy Rxy → ¬ Ryx
11
V → F
12
F → V
13
F → V
21
F → V
22
F → V
23
V → V
31
F → V
32
F → F
33
F → V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
œx ∃x x = y
1 1 1=1
2
3
→ (Rxy ∧ Ryx)
→ (V ∧ V) V
V
→
∧
V
→
∧
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
œx (Rx f(x) → (Ax ∧ ∃yBy))
œx Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3
F
→ (Ax ∧ ∃yBy)
→ V ∧ V V
V
→
∧
V
→
∧
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œx
1
2
3
Ax
V
V
F
→
→
→
→
¬(Bx
¬(F
¬(V
¬(V
∨
∨
∨
∨
Cx)
F) V
V) F
V) F
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
Y2: œxœ
œxœ
œy Rxy → ¬ Ryx
11
F → V
12
V → V
13
F → V
21
F →
F
22
F → V
23
V → V
31
F → V
32
F →
F
33
F → V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
œx ∃x x = y
1 2 1≠2
2 3 2≠3
3
F
→ (Rxy ∧ Ryx)
→ (V ∧ F) V
→ (V ∧ F) V
V
→
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
œx Rx f(x)
1 (1,2)
2 (2,3)
3
F
→ (Ax ∧ ∃yBy)
→ V ∧ V V
→ V ∧ V V
V
→
∧
8. Es equivalente a Y4: œx (Rx f(x) → (Ax ∧ ∃yBy))
a) (∃x Rx f(x)) → (Ax ∧ ∃y By)
b) œx (œ
œy ¬ (Ax ∧ By) → ¬Rx f(x))
c) (œ
œx Rx f(x)) → (Ax ∧ ∃y By)
9. De Y1 : œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))es consecuencia:
a) œx (Ax ∧ Cx)
b) ∃x (Ax ∧ Cx)
c) ¬∃x (Ax ∧ Cx)
10.
a)
b)
c)
De Y2 : œxœ
œy (Rxy → ¬ Ryx) es consecuencia:
¬∃x Rxx
∃x Rxx
∃x ¬Rxx
es equivalente A ⋂ ∼A?
a) A ⋂ ∼∅
∅
b) A ⋂ ∅
c) ∼∅
∅
12. Sea el conjunto A={1,2}. ¿Cuál de los siguientes
conjuntos es el conjunto potencia de A?
a) ∅∪{{1},{2}}∪A
b) {∅
∅}∪{{1},{2}}∪{A}
c) {∅
∅}∪{1,2}∪{A}
relación de equivalencia?
a) Antisimétrica.
b) Irreflexiva.
c) Transitiva.
definida en A y B?
a) 23! · 17!
b) 23! / ( 17! · 6!)
c) 23 · 17
sobreyectiva de X = {a, b, c} en Y = { 1, 2, 3}?
a) {(a,3),(c,2),(b,3)}
b) {(c,2),(a,3),(b,1)}
c) {(a,1),(b,2),(a,3)}
= 97, |B| = 80, |C| = 59, |A⋂B| = 30, |A⋂C| = 38,
|B⋂C|=21 y |A⋃B⋃C| = 158.
¿Cuál es el cardinal de |A⋂B⋂C|?
a) 11.
b) 4.
c) 16.
∣S1 ∪ S2 ∪ S3∣ = ∣S1∣ + ∣S2∣ + ∣S3∣ −
∣S1 ∩ S2∣ − ∣S1 ∩ S3∣ − ∣S2 ∩ S3∣ + ∣S1 ∩ S2 ∩ S3∣
158 = 97 + 80 + 59 – 30 – 38 – 21 + |A∩B∩C|
|A⋂B⋂C| = 11
las siguientes afirmaciones sobre G es cierta?
a) G es conexo.
b) G es fuertemente conexo.
c) G es un grafo acíclico.
18. Sea el grafo ponderado G de la figura (ver
Datos). ¿Cuál es la distancia del nodo a al nodo b?
a) 6.
b) 1.
c) 8.
tiene n nodos. ¿Cuál es el máximo valor que puede
a) n · (n−1)
b) 2·(n−1)
c) 2n
20. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se cumple
para cualquier árbol de expansión?
a) Es un grafo bipartito.
b) Es conexo y puede contener ciclos.
c) Es conexo y acíclico.
Febrero 2016
2ª D
Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2016, 2ª Modelo D
Datos
X1: r ↔ (s ∨ p)
X2: ¬ (s → (q → ¬p))
X3: ¬r ∧ (p ∨ s)
X4: ¬ (p ∨ ¬q)
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
rs
00
01
10
11
00
01
10
11
00
01
10
11
00
01
10
11
¬p
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
¬q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
¬r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
s∨
∨p
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X1 q→¬
¬p)
¬p s→(q→¬
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
X2 p∨
∨s
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 1
1 1
X3 p∨
∨¬q
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
X4
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
a) X2
b) X4
c) X1
X1: r ↔ (s ∨ p)
1 ↔ (1 ∨ 1)
X2: ¬ (s → (q → ¬p))
¬ (1 → (1 → 0))
X3: ¬r ∧ (p ∨ s)
0 ∧ (1 ∨ 1)
X4: ¬ (p ∨ ¬q)
¬ (1 ∨ 0)
a) {X2, X4}
b) {X1, X3}
c) {X1, X2}
a) X1, X4 ⊨ ¬ X2
b) X2 ⊨ ¬ X1
c) X1, X3 ⊨ X4
a) s ∨ (¬q ∧ p)
b) ¬s ∨ (¬q ∧ p)
c) s ∧ q ∧ p
a) X2 → ¬ X1
b) X2 ∧ (X4 ∧ ¬ X4) → ¬ X1
c) X2 → ¬ X4
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œy (Rxy ∧ ¬Ryx)
Y2: œxœ
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œx
1
2
3
Ax
V
F
F
→
→
→
→
¬(Bx
¬(F
¬(V
¬(F
∨
∨
∨
∨
Cx)
F) V
V) V
F) V
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
Y2: œxœ
œxœ
œy Rxy → ¬ Ryx
11
V → F
12
F → V
13
F → V
21
F → V
22
F → V
23
V → V
31
F → V
32
F → F
33
F → V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
œx ∃x x = y
1 1 1=1
2
3
→ (Rxy ∧ Ryx)
→ (V ∧ V) V
V
→
∧
V
→
∧
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
œx Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3
F
→ (Ax ∧ ∃yBy)
→ V ∧ V V
V
→
∧
V
→
∧
a) (∃x Rx f(x)) → (Ax ∧ ∃y By)
b) œx (œ
œy ¬ (Ax ∧ By) → ¬Rx f(x))
c) (œ
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œx
1
2
3
Ax
V
V
F
→
→
→
→
¬(Bx
¬(F
¬(V
¬(V
∨
∨
∨
∨
Cx)
F) V
V) F
V) F
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
Y2: œxœ
œxœ
œy Rxy → ¬ Ryx
11
F → V
12
V → V
13
F → V
21
F →
F
22
F → V
23
V → V
31
F → V
32
F →
F
33
F → V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
œx ∃x x = y
1 2 1≠2
2 3 2≠3
3
F
→ (Rxy ∧ Ryx)
→ (V ∧ F) V
→ (V ∧ F) V
V
→
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
œx Rx f(x)
1 (1,2)
2 (2,3)
3
F
→ (Ax ∧ ∃yBy)
→ V ∧ V V
→ V ∧ V V
V
→
∧
a) œx (Ax ∧ Cx)
b) ∃x (Ax ∧ Cx)
c) ¬∃x (Ax ∧ Cx)
10.
a)
b)
c)
De Y2 : œxœ
¬∃x Rxx
∃x Rxx
∃x ¬Rxx
es equivalente A ⋃ ∅?
a) A ⋂ ∼∅
∅.
b) E.
c) A ⋂ ∼E.
es equivalente A ⋃ E?
a) E.
b) A ⋂ ∼∅
∅.
c) ∅.
13. Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3} y B = { 1, 3,
5}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es una relación
de A en B?
a) {(1,1),(2,1),(1,2)}.
b) {(5,5)}.
c) {(2,5),(1,3)}.
a) Irreflexiva.
b) Reflexiva.
c) Simétrica.
15. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas de ℤ
en ℤ es inyectiva?
2
a) f(z) = z
4
b) f(z) = z +4
c) f(z) = z3
= 69, |B| = 99, |C| = 78, |A⋂B| = 48, |A⋂C| = 23,
|A⋂B⋂C|?
a) 22.
b) 29.
c) 27.
∣S1 ∪ S2 ∪ S3∣ = ∣S1∣ + ∣S2∣ + ∣S3∣ −
∣S1 ∩ S2∣ − ∣S1 ∩ S3∣ − ∣S2 ∩ S3∣ + ∣S1 ∩ S2 ∩ S3∣
146 = 69 + 99 + 78 – 48 – 23 – 51 + |A∩B∩C|
|A⋂B⋂C| = 22
profundidad en G?
a) (a,c,d,e,f,b)
b) (b,a,d,e,c,f)
c) (a,b,d,e,c,f)
tiene n nodos. ¿Cuál es el máximo valor que puede
a) 2·(n − 1).
b) n · (n − 1).
c) 2.
tiene 13 nodos. ¿Cuál es el máximo número de arcos
que tiene G?
a) 12.
b) 169.
c) 156.
a) Es no conexo y acíclico.
b) Es conexo y acíclico.
c) Es conexo y puede contener ciclos.
Febrero 2016
2ª E
Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2016, 2ª Modelo E
Datos
X1: r ↔ (s ∨ p)
X2: ¬ (s → (q → ¬p))
X3: ¬r ∧ (p ∨ s)
X4: ¬ (p ∨ ¬q)
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
rs
00
01
10
11
00
01
10
11
00
01
10
11
00
01
10
11
¬p
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
¬q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
¬r
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
s∨
∨p
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X1 q→¬
¬p)
¬p s→(q→¬
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
X2 p∨
∨s
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 1
1 1
X3 p∨
∨¬q
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
X4
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
a) X4
b) X2
c) X1
X1: r ↔ (s ∨ p)
1 ↔ (1 ∨ 1)
X2: ¬ (s → (q → ¬p))
¬ (1 → (1 → 0))
X3: ¬r ∧ (p ∨ s)
0 ∧ (1 ∨ 1)
X4: ¬ (p ∨ ¬q)
¬ (1 ∨ 0)
a) {X2, X4}
b) {X1, X3}
c) {X1, X2}
a) X1, X4 ⊨ ¬ X2
b) X2 ⊨ ¬ X1
c) X1, X3 ⊨ X4
a) s ∨ (¬q ∧ p)
b) s ∧ q ∧ p
c) ¬s ∨ (¬q ∧ p)
a) X2 → ¬ X1
b) X2 ∧ (X4 ∧ ¬ X4) → ¬ X1
c) X2 → ¬ X4
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œy (Rxy ∧ ¬Ryx)
Y2: œxœ
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
a) (∃x Rx f(x)) → (Ax ∧ ∃y By)
b) œx (œ
œy ¬ (Ax ∧ By) → ¬Rx f(x))
c) (œ
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œx
1
2
3
Ax
V
F
F
→
→
→
→
¬(Bx
¬(F
¬(V
¬(F
∨
∨
∨
∨
Cx)
F) V
V) V
F) V
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
Y2: œxœ
œxœ
œy Rxy → ¬ Ryx
11
V → F
12
F → V
13
F → V
21
F → V
22
F → V
23
V → V
31
F → V
32
F → F
33
F → V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
œx ∃x x = y
1 1 1=1
2
3
→ (Rxy ∧ Ryx)
→ (V ∧ V) V
V
→
∧
V
→
∧
I1: U = {1,2,3}
A = {1}, B = C = {2}
R = {(1,1), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 1
œx Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3
F
→ (Ax ∧ ∃yBy)
→ V ∧ V V
V
→
∧
V
→
∧
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
Y1: œx (Ax → ¬ (Bx ∨ Cx))
œx
1
2
3
Ax
V
V
F
→
→
→
→
¬(Bx
¬(F
¬(V
¬(V
∨
∨
∨
∨
Cx)
F) V
V) F
V) F
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
Y2: œxœ
œxœ
œy Rxy → ¬ Ryx
11
F → V
12
V → V
13
F → V
21
F →
F
22
F → V
23
V → V
31
F → V
32
F →
F
33
F → V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
œx ∃x x = y
1 2 1≠2
2 3 2≠3
3
F
→ (Rxy ∧ Ryx)
→ (V ∧ F) V
→ (V ∧ F) V
V
→
I2: U = {1,2,3}
A = {1,2}, B = C = {2,3}
R = {(1,2), (2,3)} f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3
œx Rx f(x)
1 (1,2)
2 (2,3)
3
F
→ (Ax ∧ ∃yBy)
→ V ∧ V V
→ V ∧ V V
V
→
∧
a) ¬∃x (Ax ∧ Cx)
b) œx (Ax ∧ Cx)
c) ∃x (Ax ∧ Cx)
10.
a)
b)
c)
De Y2 : œxœ
¬∃x Rxx
∃x Rxx
∃x ¬Rxx
11. Sea el conjunto A = {1,2,3,4}¿Cuál de los
siguientes conjuntos es subconjunto de A · A?
a) El conjunto {1,4,9,16}
b) El conjunto {(1,1),(2,2),(4,1)}
c) El conjunto {1,2,3,4,6,8,9,12,16}
es equivalente A ⋂ E?
a) ∅.
b) A ⋂ ∼∅
∅.
c) E.
definida en A y B?
a) 24 · 19.
b) 43.
c) 1924.
a) Reflexiva.
b) Simétrica.
c) Irreflexiva.
15. ¿Tienen los conjuntos ℕ y el conjunto potencia
de ℕ la misma cardinalidad?
a) Si.
b) No.
c) Dado que ℕ y ℤ son conjuntos infinitos, no tiene
sentido hablar de su cardinalidad.
= 79, |B| = 99, |C| = 79, |A⋂B| = 60, |A⋂C| = 30,
|A⋂B⋂C|?
a) 31.
b) 22.
c) 16.
∣S1 ∪ S2 ∪ S3∣ = ∣S1∣ + ∣S2∣ + ∣S3∣ −
∣S1 ∩ S2∣ − ∣S1 ∩ S3∣ − ∣S2 ∩ S3∣ + ∣S1 ∩ S2 ∩ S3∣
130 = 79 + 99 + 79 – 60 – 30 – 59 + |A∩B∩C|
|A⋂B⋂C| = 22
anchura en G?
a) (a,b,c,e,f,d)
b) (c,a,b,e,d,f)
c) (a,c,e,b,d,f)
profundidad en G?
a) (a,c,e,f,b,d)
b) (a,c,e,b,f,d)
c) (a,c,e,f,d,b)
tienen nodos. ¿Cuál es el máximo valor que puede
2n − 2.
2
n.
n − 1.
20. Sea G un grafo no dirigido conexo con n nodos.
¿Cuál es el número de aristas de un árbol de
expansión para G?
a) n − 1.
b) No lo podemos saber sólo con los datos que nos
da la pregunta.
c) n2.
Septiembre 2016
A
Lógica y Estructuras Discretas
Septiembre 2016, Modelo A
X1: ¬ (p → q)
X2: (p ∧ ¬q) → (¬
¬r ∧ s)
X3: (p ∨ ¬r ∨ ¬s)
X4: r ∨ ¬s
I1: U = {1,2,3}
A = B = ∅, C = {1}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s p →q X1 (p ∧ ¬q) (¬
¬r ∧ s) X2 X3 X4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1. I : p = 1, q = 0, r = 0, s = 1 satisface:
p
a) {X1, X3, X4}
0
b) {X1, X2, X4}
0
c) {X1, X2, X3}
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
X1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
X2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
X3
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
X4
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
2. I : p = 0, q = 0, r = 0, s = 0 satisface:
a) {X1, X2, X4}
p
0
b) {X2, X3, X4}
0
c) {X1, X2, X3}
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
X1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
X2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
X3
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
X4
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
3. Señale el conjunto insatisfacible.
a) {X1, X2, X4}
b) {X1, X2, X3}
c) {X1, X3, X4}
a) X1, X4 ⊨ ¬X3
b) X1, X2 ⊨ ¬X3
c) X1, X4 ⊨ ¬X2
a) X1 ∧ X2 → ¬X3
b) X1 ∧ X4 → ¬X2
c) X1 ∧ X4 → ¬X3
6. Es equivalente a X1 : ¬ (p → q):
a) ¬p → ¬q
b) ¬p ∧ ¬q
c) p ∧ ¬q
Y1: œx∃y (Bx → Cy)
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬ Ax)
Y3: œxœ
œy (Rxy → x = y)
Y4: ∃xRx f(x) ∧ ∃yC f(y)
I1: U = {1,2,3}
A = B = ∅, C = {1}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
a) {Y1,Y2} pero ni Y3 ni Y4
b) {Y1,Y2,Y3,Y4}
c) {Y1,Y2,Y3} pero no Y4.
I2: U = {1,2,3}
R = {(1,1)}
A = {2}, B = {1}, C = {3} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
œx
1
2
3
Bx
V
F
F
→
→
→
→
Cy
F F
F V
V V
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬ Ax)
∃x
1
2
3
Bx
V
F
F
∧ ¬ Ax
∧ V V
F F
∧
∧ V F
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
Y3: œxœ
œy (Rxy → x = y)
œxœ
œy Rxy → x = y
11
V → V
12
F → F
13
F → F
21
F → F
22
F → V
23
F → F
31
F → F
32
F → F
33
F → V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
∃x Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3
F
∧ ∃y C f(y)
∧ 3 f (3) = 1 V
F
∧
F
∧
8. Es equivalente a Y1 : œx∃y (Bx → Cy):
a) ∃xBx → ∃yCy
b) œxBx → ∃yCy
c) œxBx → œyCy
a) {Y1,Y2,Y3} pero no Y4.
b) {Y1,Y2} pero ni Y3 ni Y4
c) {Y1} pero ni Y2, ni Y3, ni Y4
A = B = ∅, C = {1}
I1: U = {1,2,3}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
œx
1
2
3
Bx
F
F
F
→
→
→
→
Cy
V V
F V
F V
A = B = ∅, C = {1}
I1: U = {1,2,3}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬ Ax)
∃x
1
2
3
Bx
F
F
F
∧ ¬ Ax
∧ V F
∧ V F
∧ V F
A = B = ∅, C = {1}
I1: U = {1,2,3}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
Y3: œxœ
œy (Rxy → x = y)
œxœ
œy
11
12
13
21
22
23
31
32
33
Rxy
V
V
F
F
F
F
F
F
V
→ x=y
→ V
→ F
→ F
→ F
→ V
→ F
→ F
→ F
→ V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = B = ∅, C = {1}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
Y4: ∃x Rx f(x) ∧ ∃y C f(y)
∃x Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3 (3,3)
∧ ∃y C f(y)
F
F
∧
∧ 1 f (1) = 2 F
F
∧
10.
a)
b)
c)
De {Y1,Y2} resulta consecuencia:
œx (Bx → Cy)
∃x Cx ∧ ∃y ¬ Ay
∃x (Cx ∧ ¬ Ax)
a) A ⋂∼∅
∅
b) E
c) ∅
es equivalente A ⋃ E?
a) A ⋂∼∅
∅
b) E
c) ∅
relación que es orden estricto?
a) Simétrica.
b) Antisimétrica.
c) Reflexiva.
14. Sea el conjunto X = {a,b,c} y sea la relación R
sobre X dada por R = {(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}. ¿Qué
propiedad verifica R ⋃ IX?
a) Irreflexiva.
b) Transitiva.
c) Reflexiva.
15. ¿Tienen los conjuntos ℕ y ℤ la misma
cardinalidad?
a) Sí.
b) Dado que ℕ y ℤ son conjuntos infinitos, no tiene
sentido hablar de su cardinalidad.
c) No.
16. Un seleccionador de fútbol ha acudido a la
Eurocopa con 14 defensas. Si sólo escogerá para jugar
a 2 de ellos, ¿de cuántas formas puede hacerlo?
a) (2! ⋅ 12!) / 14!
b) 91.
c) 14! / (2! ⋅ 14!)
 n
14!
14!
n!
=
=
= 91
C(n, r) =   =
⋅
 r  r !⋅ (n − r)! 2!⋅ (14 − 2)! 2!12!
17. Sea el grafo G de la figura. ¿Cuál de las
siguientes secuencias de nodos es un recorrido en
anchura en G?
a) (a,b,c,d,e,f)
b) (a,c,e,b,d,f)
c) (a,c,e,f,d,b)
18. Sea el grafo G de la figura. ¿Cuál es el grado de
entrada del nodo c?
a) 5.
b) ∞.
c) 1.
profundidad en G?
a) (a,c,d,e,f,b)
b) (a,c,e,b,f,d)
c) (a,b,d,e,c,f)
que tiene G?
a) 306. n · (n − 1)
b) 17.
2
c) 18 − 1.
Septiembre 2016
B
Lógica y Estructuras Discretas
Septiembre 2016, Modelo B
X1: ¬ (p → q)
X2: (p ∧ ¬q) → (¬
¬r ∧ s)
X3: (p ∨ ¬r ∨ ¬s)
X4: r ∨ ¬s
I1: U = {1,2,3}
A = B = ∅, C = {1}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s p →q X1 (p ∧ ¬q) (¬
¬r ∧ s) X2 X3 X4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1. I : p = 1, q = 0, r = 0, s = 1 satisface:
p
a) {X1, X3, X4}
0
b) {X1, X2, X4}
0
c) {X1, X2, X3}
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
X1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
X2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
X3
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
X4
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
2. I : p = 0, q = 0, r = 0, s = 0 satisface:
a) {X1, X2, X4}
p
0
b) {X2, X3, X4}
0
c) {X1, X2, X3}
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
r
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
X1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
X2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
X3
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
X4
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
3. Señale el conjunto insatisfacible.
a) {X1, X2, X4}
b) {X1, X2, X3}
c) {X1, X3, X4}
a) X1, X4 ⊨ ¬X3
b) X1, X2 ⊨ ¬X3
c) X1, X4 ⊨ ¬X2
a) X1 ∧ X2 → ¬X3
b) X1 ∧ X4 → ¬X2
c) X1 ∧ X4 → ¬X3
6. Es equivalente a X1 : ¬ (p → q):
a) ¬p → ¬q
b) ¬p ∧ ¬q
c) p ∧ ¬q
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬ Ax)
Y3: œxœ
œy (Rxy → x = y)
Y4: ∃x Rx f(x) ∧ ∃y C f(y)
I1: U = {1,2,3}
A = B = ∅, C = {1}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
a) {Y1,Y2} pero ni Y3 ni Y4
b) {Y1,Y2,Y3,Y4}
c) {Y1,Y2,Y3} pero no Y4.
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
œx
1
2
3
Bx
V
F
F
→
→
→
→
Cy
F F
F V
V V
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬ Ax)
∃x
1
2
3
Bx
V
F
F
∧ ¬ Ax
∧ V V
F F
∧
∧ V F
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
Y3: œxœ
œy (Rxy → x = y)
œxœ
œy Rxy → x = y
11
V → V
12
F → F
13
F → F
21
F → F
22
F → V
23
F → F
31
F → F
32
F → F
33
F → V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
I2: U = {1,2,3} A = {2}, B = {1}, C = {3}
R = {(1,1)} f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 1
∃x Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3
F
∧ ∃y C f(y)
∧ 3 f (3) = 1 V
F
∧
F
∧
8. Es equivalente a Y1 : œx∃y (Bx → Cy):
a) ∃xBx → ∃yCy
b) œxBx → ∃yCy
c) œxBx → œyCy
a) {Y1,Y2,Y3} pero no Y4.
b) {Y1,Y2} pero ni Y3 ni Y4
c) {Y1} pero ni Y2, ni Y3, ni Y4
A = B = ∅, C = {1}
I1: U = {1,2,3}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
œx
1
2
3
Bx
F
F
F
→
→
→
→
Cy
V V
F V
F V
A = B = ∅, C = {1}
I1: U = {1,2,3}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
Y2: ∃x (Bx ∧ ¬ Ax)
∃x
1
2
3
Bx
F
F
F
∧ ¬ Ax
∧ V F
∧ V F
∧ V F
A = B = ∅, C = {1}
I1: U = {1,2,3}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
Y3: œxœ
œy (Rxy → x = y)
œxœ
œy
11
12
13
21
22
23
31
32
33
Rxy
V
V
F
F
F
F
F
F
V
→ x=y
→ V
→ F
→ F
→ F
→ V
→ F
→ F
→ F
→ V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
I1: U = {1,2,3}
A = B = ∅, C = {1}
R = {(1,1), (1,2), (3,3)} f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 2
Y4: ∃x Rx f(x) ∧ ∃y C f(y)
∃x Rx f(x)
1 (1,1)
2
F
3 (3,3)
∧ ∃y C f(y)
F
F
∧
∧ 1 f (1) = 2 F
F
∧
10.
a)
b)
c)
De {Y1,Y2} resulta consecuencia:
œx (Bx → Cy)
∃x Cx ∧ ∃y ¬ Ay
∃x (Cx ∧ ¬ Ax)
a) A ⋂∼∅
∅
b) E
c) ∅
es equivalente A ⋃∼A?
a) ∼∅
∅.
b) ∼E.
c) E.
a) Transitiva.
b) Irreflexiva.
c) Simétrica.
a) Reflexiva.
b) Transitiva.
c) Simétrica.
biyectiva de X = {a,b,c} a Y = {1,2,3}?
a) {(b,1),(c,2),(a,3)}
b) {(a,1),(b,2),(a,3)}
c) {(c,2),(a,3),(b,2)}
16. Un seleccionador de fútbol ha acudido a la
Eurocopa con 14 defensas. Si sólo escogerá para jugar
a 5 de ellos, ¿de cuántas formas puede hacerlo?
5
a) 14
b) 14!/(5! · 9!)
c) 14!/5!
n
n!
14!
14!
C ( n, r ) =   =
=
=
 r  r !⋅ (n − r )! 5!⋅ (14 − 5)! 5!⋅ 9!
profundidad en G?
d) (a,c,e,f,b,d)
e) (a,c,e,b,f,d)
f) (a,c,b,e,d,f)
18. Sea c un camino en un digrafo en el que todos
los nodos en c son distintos. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es cierta?
a) c es un camino elemental y además es un camino
sencillo.
b) c no es un camino elemental ni es un camino
sencillo.
c) c es un camino elemental, pero no es un camino
sencillo.
que tiene G?
a) 169.
b) 12.
c) 13 · 12. n · (n − 1)
a) Es conexo y puede contener ciclos.
b) Es conexo y acíclico.
c) Es no conexo y acíclico.

Exámenes LYED 2016 PPS

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