( ),r θ

Cálculo vectorial – Unidad I
1.5. Coordenadas polares
M.C. Ángel León
Unidad I - Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas
1.5. Coordenadas polares
Todas las curvas se han venido representando como una colección de puntos  x, y  en un sistema de coordenadas
rectangulares, estas gráficas provenían de ecuaciones en forma rectangular o de ecuaciones paramétricas. Ahora
estudiaremos otro sistema de coordenadas, las coordenadas polares, en donde veremos la derivada de una
función y la longitud de arco.
Un sistema de coordenadas polares consta de un punto O de
referencia denominado polo u origen, y a partir de este punto
se traza un rayo inicial denominado eje polar, como se muestra
en la figura 1.
0.7
0.6
0.5
0.4
A cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares
 r ,  donde:
0.3
r  Distancia dirigida de O a P
  ángulo dirigido, en sentido contrario a las manecillas
del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP
0.2
0.1
Eje polar
0.2
0.4
0.6
0.8
En coordenadas rectangulares, cada punto
1.0
 x, y 
tiene una representación única, lo cual no sucede con las
coordenadas polares.
Por ejemplo, tenemos estas coordenadas que representan al mismo punto:
 r,    r,  2 
 r ,     r ,    
Verifique con su calculadora: 145   145  180  , si son el mismo número el resultado será cero.
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Transformación de coordenadas
Existe una relación entre las coordenadas polares y rectangulares que nos permite hacer un cambio de
coordenadas. Esto se realiza a través de unas sencillas relaciones.
Para demostrar estas relaciones, consideremos a la siguiente figura:
1.2
Rectangular a polar
Si conocemos las coordenadas del punto P  x, y  y de acuerdo
1.0
a la relación trigonométrica encontramos  como sigue:
0.8
tan  
op
y
y
    tan 1
ady x
x
0.6
y
Por el teorema de Pitágoras, sabemos que r se obtiene como:
0.4
r  x2  y 2
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Polar a rectangular
Si conocemos las coordenadas del punto P  r ,  por las
1.2
relaciones trigonométricas:
x
Figura 1. Relación entre coordenadas polares y
rectangulares
cos  
ady x

hip r
sen 
op y
=
hip r
Podemos despejar a x y y de cada una de las ecuaciones, teniendo que:
x  r cos
y  rsen
Ejemplo 01: Dado el punto en coordenadas rectangulares, realice la conversión a coordenadas polares
a) El punto P(2, 1) en coordenadas rectangulares a polares:
Para encontrar el radio r :
r  x2  y 2 
 2   1
2
2
 5
Para encontrar el ángulo  :
 y
 1 
  tan 1    tan 1    26.56
x
 2
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Nótese que el ángulo es negativo, el punto P en coordenadas polares se expresaría de la siguiente manera:
0.5
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
El signo menos en el ángulo, indica que se está midiendo en
sentido horario. Si deseamos expresarlo en sentido anti
horario (como es costumbre en las coordenadas polares)
debemos sumarle 2  360
Por lo tanto, el punto P en coordenadas polares, tiene al
menos las siguientes representaciones:
0.5

P  r ,   
 
5,333.44   
P  r ,  
1.0
Figura 2. Punto en coordenadas polares, con ángulo
negativo y positivo.
5, 26.56 
5, 0.463
5,5.819


Una en grados sexagesimales y la otra en radianes.
b) El punto P(3, 6 ) en coordenadas polares a rectangulares:
Para encontrar la coordenada en x :
x  r cos   3cos  6   2.598
Para encontrar la coordenada en y :
y  rsen  3sen  6   1.5
El punto P en coordenadas rectangulares se expresa como:
2.0
x
1.5
1.0
y
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura3. Punto en coordenadas rectangulares.
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Ejercicios: Represente los siguientes puntos en coordenadas polares
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.2
1.0
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
0.6
0.6
0.4
0.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.2
4 de 4