Clases de Complejidad

Transcripción

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–
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Clases de complejidad: Supuestos
Vamos a definir y estudiar las propiedades fundamentales de
algunas de las clases de complejidad más importantes.
Modelo para este estudio: Máquina de Turing (determinista o no
determinista) con un número arbitrario de cintas.
I
I
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–
Mostramos como se define el tiempo de ejecución para estas
máquinas.
También vimos como se define el espacio ocupado para las
MTs con una cinta de lectura y otra de trabajo.
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Vamos a definir y estudiar las propiedades fundamentales de
algunas de las clases de complejidad más importantes.
Modelo para este estudio: Máquina de Turing (determinista o no
determinista) con un número arbitrario de cintas.
I
I
Mostramos como se define el tiempo de ejecución para estas
máquinas.
También vimos como se define el espacio ocupado para las
MTs con una cinta de lectura y otra de trabajo.
I
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–
¿Cómo se define esto para una MT con k ≥ 2 cintas de
trabajo?
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También es necesario imponer una restricción sobre las funciones
usadas para medir la complejidad.
Supuesto
Cada función f para medir la complejidad es edificable, vale decir,
existe una MT M determinista, con una cinta de entrada y k ≥ 1
cintas de trabajo tal que:
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Supuesto
I
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–
tM es O(n + f (n))
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Supuesto
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–
I
tM es O(n + f (n))
I
sM es O(f (n))
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Supuesto
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–
I
tM es O(n + f (n))
I
sM es O(f (n))
I
M acepta todas las entradas
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Supuesto
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–
I
tM es O(n + f (n))
I
sM es O(f (n))
I
M acepta todas las entradas
I
Si la entrada de M tiene largo n, entonces al detenerse M
tiene en la k-ésima cinta de trabajo el sı́mbolo `, seguido de
f (n) sı́mbolos #, y estos seguidos sólo del sı́mbolo B.
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Clases de complejidad deterministas: Tiempo
Dado: Alfabeto Σ.
DTIME(t): conjunto de todos los lenguajes L ⊆ Σ∗ que pueden ser
aceptados en tiempo O(t) por una MT determinista.
Dos clases fundamentales:
PTIME =
[
DTIME(nk )
k∈N
EXPTIME =
[
k
DTIME(2n )
k∈N
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Clases de complejidad deterministas: Tiempo
Dado: Alfabeto Σ.
DTIME(t): conjunto de todos los lenguajes L ⊆ Σ∗ que pueden ser
aceptados en tiempo O(t) por una MT determinista.
PTIME =
[
DTIME(nk )
k∈N
EXPTIME =
[
k
DTIME(2n )
k∈N
PTIME: Conjunto de todos los problemas que pueden ser
solucionados “eficientemente”.
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Clases de complejidad no deterministas: Tiempo
NTIME(t): conjunto de todos los lenguajes L ⊆ Σ∗ que pueden ser
aceptados en tiempo O(t) por una MT no determinista.
NP =
[
NTIME(nk )
k∈N
NEXPTIME =
[
k
NTIME(2n )
k∈N
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Clases de complejidad deterministas: Espacio
DSPACE(s): conjunto de todos los lenguajes L ⊆ Σ∗ que pueden
ser aceptados en espacio O(s) por una MT determinista.
Tres clases fundamentales:
LOGSPACE = DSPACE(log n)
[
PSPACE =
DSPACE(nk )
k∈N
EXPSPACE =
[
k
DSPACE(2n )
k∈N
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Clases de complejidad no deterministas: Espacio
NSPACE(s): conjunto de todos los lenguajes L ⊆ Σ∗ que pueden
ser aceptados en espacio O(s) por una MT no determinista.
Tres clases fundamentales:
NLOGSPACE = NSPACE(log n)
[
NPSPACE =
NSPACE(nk )
k∈N
NEXPSPACE =
[
k
NSPACE(2n )
k∈N
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Clases de complejidad: Complemento
Dado un lenguaje L sobre un alfabeto Σ:
L = {w ∈ Σ∗ | w 6∈ L}.
Definición
Dada una clase de complejidad C, el conjunto de los complementos
de C se define como: co-C = {L | L ∈ C}
Ejemplo
Una clase muy estudiada: co-NP
I
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–
¿Puede identificar algún problema en esta clase? ¿Es esta
clase igual a NP?
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Clases de complejidad: Relaciones
Punto de partida:
co-EXPSPACE
LOGSPACE
PTIME
PSPACE
NPSPACE
NP
co-PSPACE
NLOGSPACE
co-EXPTIME
NEXPTIME
co-NPSPACE
co-NLOGSPACE
co-LOGSPACE
co-NP
EXPTIME
co-PTIME
co-NEXPTIME
co-NEXPSPACE
EXPSPACE
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–
NEXPSPACE
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Resultados básicos
Las siguientes propiedades son triviales:
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I
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–
Si C es una clase de complejidad definida en términos de MTs
deterministas, entonces co-C = C.
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I
I
Si f es O(g ), entonces:
I
I
I
I
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–
DTIME(f ) ⊆ DTIME(g )
NTIME(f ) ⊆ NTIME(g )
DSPACE(f ) ⊆ DSPACE(g )
NSPACE(f ) ⊆ NSPACE(g )
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I
I
I
I
I
I
I
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–
DTIME(f ) ⊆ NTIME(f ).
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I
I
I
I
I
I
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–
I
I
DSPACE(f ) ⊆ NSPACE(f ).
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I
I
I
I
I
I
I
I
DSPACE(f ) ⊆ NSPACE(f ).
La figura empieza a tomar forma . . .
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Podemos eliminar algunas clases:
co-EXPSPACE
LOGSPACE
PTIME
PSPACE
NPSPACE
co-NP
co-PSPACE
NLOGSPACE
co-EXPTIME
NEXPTIME
co-NPSPACE
co-NLOGSPACE
co-LOGSPACE
NP
EXPTIME
co-PTIME
co-NEXPTIME
co-NEXPSPACE
EXPSPACE
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NEXPSPACE
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Podemos eliminar algunas clases:
LOGSPACE
PSPACE
PTIME
NP
co-NP
NPSPACE
NLOGSPACE
NEXPTIME
co-NPSPACE
co-NLOGSPACE
EXPTIME
co-NEXPTIME
co-NEXPSPACE
EXPSPACE
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NEXPSPACE
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También tenemos algunas relaciones de inclusión:
LOGSPACE
NLOGSPACE
PTIME
NP
co-NLOGSPACE
co-NP
PSPACE
NPSPACE
EXPTIME
NEXPTIME
co-NPSPACE
co-NEXPTIME
EXPSPACE
NEXPSPACE
co-NEXPSPACE
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Relación entre tiempo y espacio
Teorema
NTIME(f (n)) ⊆ DSPACE(f (n))
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Teorema
Ejercicio
Demuestre el teorema.
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Teorema
Ejercicio
Corolario
NP ⊆ PSPACE
co-NP ⊆ PSPACE
NEXPTIME ⊆ EXPSPACE
co-NEXPTIME ⊆ EXPSPACE
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Teorema
Si f (n) es Ω(log n), entonces:
NSPACE(f (n)) ⊆
[
DTIME(2k·f (n) )
k∈N
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Teorema
Si f (n) es Ω(log n), entonces:
NSPACE(f (n)) ⊆
[
DTIME(2k·f (n) )
k∈N
Ejercicio
I
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–
¿Por qué se necesita que f (n) sea Ω(log n) para demostrar el
teorema?
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Corolario
NLOGSPACE ⊆ PTIME
co-NLOGSPACE ⊆ PTIME
NPSPACE ⊆ EXPTIME
co-NPSPACE ⊆ EXPTIME
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Como corolario de los resultados anteriores obtenemos:
NLOGSPACE
LOGSPACE
NP
PTIME
co-NLOGSPACE
PSPACE
co-NP
Teorema de Immerman-Szelepcsényi
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NPSPACE
NEXPTIME
EXPTIME
co-NPSPACE
Teorema de Savitch
NEXPSPACE
EXPSPACE
co-NEXPTIME co-NEXPSPACE
Teorema de Savitch
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NLOGSPACE
LOGSPACE
NP
PTIME
co-NLOGSPACE
NPSPACE
PSPACE
co-NP
NEXPTIME
EXPTIME
co-NPSPACE
Teorema de Savitch
NEXPSPACE
EXPSPACE
Teorema de Savitch
¿Es posible reducir aun más esta figura?
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NLOGSPACE
LOGSPACE
NP
PTIME
co-NLOGSPACE
NPSPACE
PSPACE
co-NP
NEXPTIME
EXPTIME
co-NPSPACE
Teorema de Savitch
NEXPSPACE
EXPSPACE
Teorema de Savitch
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NLOGSPACE
LOGSPACE
NP
PTIME
co-NLOGSPACE
NPSPACE
PSPACE
co-NP
NEXPTIME
EXPTIME
co-NPSPACE
Teorema de Savitch
NEXPSPACE
EXPSPACE
Teorema de Savitch
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Teorema de Savitch
Teorema (Savitch)
Si f (n) es Ω(log n), entonces NSPACE(f (n)) ⊆ DSPACE(f (n)2 ).
Demostración: Sea L ∈ NSPACE(f (n)). Entonces existe una MT
no determinista M = (Q, Σ, Γ, q0 , δ, F ) tal que:
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I
M tiene una cinta de lectura y k ≥ 1 cintas de escritura
I
L = L(M)
I
sM es O(f (n))
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Teorema de Savitch: Demostración
Con una entrada de largo n, la cantidad de configuraciones de M
está acotado por:
|Q| · n · sM (n)k · |Γ|k·sM (n)
Como sM es O(f (n)) y f (n) es Ω(log n), existe una constante c tal
que la cantidad de configuraciones de M está acotada por:
2c·f (n)
Además, existe una constante d tal que el espacio necesario para
almacenar una configuración de M está acotado por d · f (n).
I
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–
¿Por qué?
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Considere la siguiente función:
verificar(α: configuración, β: configuración, k: número natural)
if α = β then return(true)
else if k ≥ 1 y β es sucesor de α en M then return(true)
else if k ≥ 2 then
for each configuración γ de M do
if verificar(α, γ, b k2 c) y verificar(γ, β, d k2 e) then return(true)
return(false)
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Sea α0 la configuración inicial de M con entrada w .
Para verificar si w ∈ L, basta verificar si existe alguna configuración
final β de M tal que verificar(α0 , β, 2c·f (n) ) retorna true.
Esto puede implementarse en espacio O(f (n)2 ) en una MT
determinista.
I
¿Cómo puede hacerse esto?
Concluimos que L ∈ DSPACE(f (n)2 ).
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Teorema de Savitch: Algunas consecuencias
Del Teorema de Savitch obtenemos los siguientes corolarios:
Corolario
PSPACE = NPSPACE
EXPSPACE = NEXPSPACE
Combinando esto con los resultados anteriores, obtenemos que:
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Corolario
PSPACE = NPSPACE
I
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–
PSPACE = NPSPACE = co-NPSPACE
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Corolario
PSPACE = NPSPACE
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–
I
PSPACE = NPSPACE = co-NPSPACE
I
EXPSPACE = NEXPSPACE = co-NEXPSPACE
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Clases de complejidad: Relaciones y el Teorema de Savitch
Tenemos un mejor entendimiento de la relación entre las clases de
complejidad:
NLOGSPACE
LOGSPACE
PTIME
co-NLOGSPACE
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NP
NEXPTIME
PSPACE
co-NP
EXPTIME
EXPSPACE
co-NEXPTIME
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complejidad:
NLOGSPACE
LOGSPACE
NP
PTIME
co-NLOGSPACE
NEXPTIME
PSPACE
co-NP
EXPTIME
EXPSPACE
co-NEXPTIME
Y ahora seguimos con ¿NLOGSPACE = co-NLOGSPACE?
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–
22 / 33
complejidad:
NLOGSPACE
LOGSPACE
NP
PTIME
co-NLOGSPACE
NEXPTIME
PSPACE
co-NP
EXPTIME
EXPSPACE
co-NEXPTIME
Y ahora seguimos con ¿NLOGSPACE = co-NLOGSPACE?
I
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–
La respuesta a esta pregunta no se deduce del Teorema de
Savitch.
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Clases de Complejidad

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