Primera relación de ejercicios

Problemas de Topologı́a Diferencial Básica.
Relación 1
1.– Comprobar que para cualquier espacio vectorial V y cualquier v ∈ V , el morfismo
iv : A1 (V ) = V ∗ → A0 (V ) = R es sobreyectivo. Observar asimismo que esto no ocurre
en general para iv : A2 (V ) → A1 (V ) demostrando que ie3 : A2 (R3 ) → A1 (R3 ) no es
sobreyectiva.
2. Sea ω ∈ A2 (V ) una 2 -forma exterior y sea A = ω(vi , vj ) la matriz asociada a ω
respecto de una base {v1 , ..., vn } de V . ¿Es cierto que ω es simpléctica si y solo si
det A 6= 0 ?
3. En R3 se considera la 2 -forma exterior ω = 2e∗1 ∧ e∗3 + e∗2 ∧ e∗3 , siendo {e1 , e2 , e3 } la
base canónica. Calcular ker ω y encontrar una base canónica para ω .
4. Sea σ una 2 -forma exterior definida en V . Demostrar que el espacio vectorial cociente
V / ker σ admite una estructura simpléctica ω tal que π ∗ ω = σ , con π: V → V / ker σ
la proyección canónica.
5. Demostrar que si U1 , U2 son subespacios de un espacio vectorial simpléctico (V, ω) ,
entonces:
(a) U1ω ∩ U2ω = (U1 + U2 )ω .
(b) (U1 ∩ U2 )ω = U1ω + U2ω .
6. (a) Demostrar que, dado cualquier espacio V de dimensión finita, la 2 -forma en E =
V ⊕ V ∗ dada por
ω (u, α), (v, β) = β(u) − α(v)
es simpléctica.
(b) Encontrar una base simpléctica de (E, ω) a partir de una base cualquiera de V .
∼
∼
=
=
(c) Demostrar que si ϕ: V → V es un automorfismo y ϕ∗ : V ∗ → V ∗ es su aplicación
dual, entonces ϕ ⊕ ϕ∗ : E → E es un simplectomorfismo.