Lógica Proposicional

Transcripción

Proposiciones
Operaciones entre proposiciones
Tablas de verdad
Relaciones entre proposiciones
Leyes del algebra de proposiciones
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Lógica Proposicional
Sergio Stive Solano Sabié
Abril de 2013
Sergio Solano Sabié
Matemática Básica
Proposiciones
Tablas de verdad
Lógica Proposicional
Sergio Stive Solano Sabié
Abril de 2013
Proposiciones
Tablas de verdad
Proposiciones
Definición 1.1
Una proposición (o declaración) es una oración declarativa
que es verdadera o falsa, pero no ambas.
Comúnmente se denotan con las letras minúsculas p, q, r, s, t, . . .,
las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más
simple y exacto que el lenguaje natural.
Proposiciones
Tablas de verdad
Proposiciones
Ejemplo 1.1
Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar
las proposiciones:
1
p : Hoy es sábado.
2
q : Estudio ingenierı́a de sistemas.
3
r : New York es llamada la capital del mundo.
4
s : 1 no es un número primo.
5
t : 4 + 3 = 10.
6
v:3>5
7
w : El sol es amarrillo
Proposiciones
Tablas de verdad
Proposiciones
Ejemplo 1.2
Las siguientes expresiones NO son proposiciones:
1
Viajar en el dı́a.
2
x + 3 = 7.
3
Mirar T.V.
4
¿De qué color es la mesa?
Toda afirmación es verdadera o falsa y no hay una que sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Esta suposición la llamamos la
Ley del tercero excluido.
Una consecuencia de esta suposición es que si una afirmación
no es falsa tendrá que ser verdadera.
Proposiciones
Tablas de verdad
Operaciones básicas
En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como:
Ejemplo 2.1
1
Las rosas son rojas y tienen espinas.
2
El tablero es verde o es blanco.
3
En el paı́s no hay violencia.
4
Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado
ingeniero de sistemas.
5
4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.
Proposiciones
Tablas de verdad
Los términos de enlace, “y”, “o ”, “no”, “si,...,entonces”, “si
y sólo si”, reciben el nombre de Conectivos lógicos , y estas
nuevas proposiciones que se obtienen uniendo dos o más proposiciones simples mediante conectivos lógicos se conocen
como proposiciones compuestas.
Al igual que a las proposiciones, los conectivos lógicos también se les asignan un lenguaje simbólico, ası́:
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL
NOMBRE
y
∧
Conjunción
o
∨
Disyunción
No
∼
Negación
Si ... entonces
⇒
Condicional
Si y sólo si
⇔
Bicondicional
Proposiciones
Tablas de verdad
Ejemplo 2.2
1
p : Las rosas son rojas, q : Las rosas tienen espinas,
p ∧ q : Las rosas son rojas y tienen espinas.
Proposiciones
Tablas de verdad
Ejemplo 2.2
2
r : El tablero es verde, s : El tablero es blanco,
r ∨ s : El tablero es verde o es blanco.
Proposiciones
Tablas de verdad
Ejemplo 2.2
3
t : En el paı́s hay violencia, ∼ t : En el paı́s no hay
violencia.
Proposiciones
Tablas de verdad
Ejemplo 2.2
4
x : Estudio lógica matemática, y : Seré un destacado
ingeniero de sistemas,
x ⇒ y : Si estudio lógica matemática entonces seré un
destacado ingeniero de sistemas.
Proposiciones
Tablas de verdad
Ejemplo 2.2
5
u : 4 es un número par, v : 4 es divisible por 2,
u ⇔ v : 4 es un número par si y sólo si es divisible por 2.
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Si conocemos los valores de verdad, (V ó F) de las proposiciones simples p y q que componen las proposiciones compuestas
p ∧ q, ∼ p, p ∨ q, p ⇒ q y p ⇔ q, entonces podremos deducir el
valor de verdad de estas.
Lo anterior se logra mediante la elaboración de una tabla de
verdad, la cual depende del conectivo lógico utilizado y de los
valores de verdad (V ó F) de las proposiciones p y q.
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Conjunción (∧)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
La proposición p∧q
es verdadera si p y
q son verdaderas,
y falsa si alguna de
ellas es falsa.
Negación (∼)
p
V
F
∼p
F
V
∼ p es falso cuando p es verdadero
y ∼ p es verdadero
cuando p no lo es.
Disyunción (∨)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
La proposición p ∨
q es falsa si las
proposiciones p y q
lo son, y verdadera en cualquier otro
caso.
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Conjunción (∧)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
Se pueden simbolizar los valores de
verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.
Negación (∼)
p
1
0
∼p
0
1
utilizando el sistema binario, mediante el cual se
le asigna1 al valor verdadero y 0 al
valor falso.
Disyunción (∨)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Condicional (⇒)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⇒q
V
F
V
V
La
proposición
p ⇒ q es verdadera si nunca
ocurre que p sea
verdadera y que q
sea falso.
Bicondicional(⇔)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⇔q
V
F
F
V
La
proposición
p ⇔ q es verdadera si p y q son
ambas verdaderas
o falsas, y falso en
caso contrario.
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Condicional (⇒)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p⇒q
1
0
1
1
Bicondicional(⇔)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p⇒q
1
0
0
1
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Ejemplo 3.1
Elaborar la tabla de verdad de (p ∨ ∼ q)∧ ∼ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
∼q
F
F
V
V
F
F
V
V
∼r
F
V
F
V
F
V
F
V
p∨∼q
V
V
V
V
F
F
V
V
(p ∨ ∼ q)∧ ∼ r
F
V
F
V
F
F
F
V
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Ejemplo 3.1
Elaborar la tabla de verdad de (p ∨ ∼ q)∧ ∼ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
∼q
F
F
V
V
F
F
V
V
∼r
F
V
F
V
F
V
F
V
p∨∼q
V
V
V
V
F
F
V
V
(p ∨ ∼ q)∧ ∼ r
F
V
F
V
F
F
F
V
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Ejemplo 3.2
Elaborar la tabla de verdad de (p ⇒ q) ⇔ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p⇒q
V
V
F
F
V
V
V
V
(p ⇒ q) ⇔ r
V
F
F
V
V
F
V
F
Proposiciones
Tablas de verdad
Tablas de verdad
Ejemplo 3.2
Elaborar la tabla de verdad de (p ⇒ q) ⇔ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p⇒q
V
V
F
F
V
V
V
V
(p ⇒ q) ⇔ r
V
F
F
V
V
F
V
F
Proposiciones
Tablas de verdad
Tautologı́a
Definición 4.1
Una tautologı́a es una proposición que siempre es verdadera
sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.1
Demostrar que la proposición (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es una
tautologı́a.
Demostración.
Para verificar la validez de esta proposición es necesario
realizar la tabla de verdad de ella:
Proposiciones
Tablas de verdad
Tautologı́a
Definición 4.1
Ejemplo 4.1
tautologı́a.
Demostración.
Proposiciones
Tablas de verdad
Tautologı́a
Definición 4.1
Ejemplo 4.1
tautologı́a.
Demostración.
Proposiciones
Tablas de verdad
Tautologı́a
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
∼q
0
1
0
1
∼q⇒p
1
1
1
0
(p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p)
1
1
1
1
Nótese que en la última columna solamente aparecen valores
verdaderos. Luego, por definición la proposición dada es una
tautologı́a.
Proposiciones
Tablas de verdad
Absurdo o contradicción
Definición 4.2
Un absurdo o contradicción es una proposición que siempre
es falsa sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.2
Verifique que la proposición (p ∧ ∼ q) ∧ q es una
contradicción.
Proposiciones
Tablas de verdad
Definición 4.2
Un absurdo o contradicción es una proposición que siempre
es falsa sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.2
Verifique que la proposición (p ∧ ∼ q) ∧ q es una
contradicción.
Proposiciones
Tablas de verdad
Solución.
Construyamos la tabla de verdad de la proposición dada, ası́:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼q
F
V
F
V
p∧∼q
F
V
F
F
(p ∧ ∼ q) ∧ q
F
F
F
F
Por lo tanto esta proposición es una contradicción.
Proposiciones
Tablas de verdad
Solución.
Construyamos la tabla de verdad de la proposición dada, ası́:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼q
F
V
F
V
p∧∼q
F
V
F
F
(p ∧ ∼ q) ∧ q
F
F
F
F
Por lo tanto esta proposición es una contradicción.
Proposiciones
Tablas de verdad
Proposiciones equivalentes
Definición 4.3
Dos proposiciones compuestas P y Q se consideran
logicamente equivalentes o simplemente equivalentes, y se
denota P ≡ Q si y sólo si tienen los mismos valores de verdad
para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
Note que lo anteior implica que P ≡ Q si y sólo si P ⇔ Q es
una tautologı́a.
Ejemplo 4.3
Las proposiciones (p ∨ q) y (∼ q ⇒ p) son equivalentes puesto
que en el ejemplo 4.1 se verificó que (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es
una tautologı́a.
Proposiciones
Tablas de verdad
Proposiciones equivalentes
Definición 4.3
Dos proposiciones compuestas P y Q se consideran
logicamente equivalentes o simplemente equivalentes, y se
denota P ≡ Q si y sólo si tienen los mismos valores de verdad
para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
Note que lo anteior implica que P ≡ Q si y sólo si P ⇔ Q es
una tautologı́a.
Ejemplo 4.3
Las proposiciones (p ∨ q) y (∼ q ⇒ p) son equivalentes puesto
que en el ejemplo 4.1 se verificó que (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es
una tautologı́a.
Proposiciones
Tablas de verdad
Equivalencias importantes
Las siguientes equivalencias son ciertas (es decir los bicondicionales correspondientes son tautologı́as), y serán muy usadas
en la construcción de argumentos validos.
Sean P , Q y R proposiciones, entonces:
Idempotencia
Doble negación
∼ (∼ P ) ≡ P
Conmutativa
1
P ∧P ≡P
1
P ∧Q ≡ Q∧P
2
P ∨P ≡P
2
P ∨Q ≡ Q∨P
Asociativa
1
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
2
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
Proposiciones
Tablas de verdad
Idempotencia
Doble negación
∼ (∼ P ) ≡ P
Conmutativa
1
P ∧P ≡P
1
P ∧Q ≡ Q∧P
2
P ∨P ≡P
2
P ∨Q ≡ Q∨P
Asociativa
1
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
2
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
Proposiciones
Tablas de verdad
Idempotencia
Doble negación
∼ (∼ P ) ≡ P
Conmutativa
1
P ∧P ≡P
1
P ∧Q ≡ Q∧P
2
P ∨P ≡P
2
P ∨Q ≡ Q∨P
Asociativa
1
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
2
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
Proposiciones
Tablas de verdad
Leyes de De Morgan
Distributiva
1
P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
1
∼ (P ∧ Q) ≡ ∼ P ∨ ∼ Q
2
P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
2
∼ (P ∨ Q) ≡ ∼ P ∧ ∼ Q
La prueba de todas estas equivalencias se realizan a través de
tablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes son tautologı́as.
Proposiciones
Tablas de verdad
La siguientes equivalencias se pueden probar a través de tablas
de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes
son tautologı́as o derivando resultados de las equivalencias que
conocemos hasta el momento.
Ejercicios
1
(P ⇒ Q) ≡ (∼ P ∨ Q) (Condicional-negación y disyunción)
2
∼ (P ⇒ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) (Negación del condicional).
3
(P ⇒ Q) ≡ (∼ Q ⇒∼ P ) (Contrarrecı́proco).
4
(P ∧ (Q ∨ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
5
(P ∨ (Q ∧ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
6
(P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ))
(Bicondicional-condicional)
Proposiciones
Tablas de verdad
La siguientes equivalencias se pueden probar a través de tablas
de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes
son tautologı́as o derivando resultados de las equivalencias que
conocemos hasta el momento.
Ejercicios
1
(P ⇒ Q) ≡ (∼ P ∨ Q) (Condicional-negación y disyunción)
2
∼ (P ⇒ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) (Negación del condicional).
3
(P ⇒ Q) ≡ (∼ Q ⇒∼ P ) (Contrarrecı́proco).
4
(P ∧ (Q ∨ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
5
(P ∨ (Q ∧ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
6
(P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ))
(Bicondicional-condicional)
Proposiciones
Tablas de verdad
Solución
Veamos que (P ⇒ Q) ⇔ (∼ P ∨ Q) es una tautologı́a.
Elaboremos su tabla de verdad:
P Q ∼ P P ⇒ Q ∼ P ∨ Q (P ⇒ Q) ⇔ (∼ P ∨ Q)
V V
F
V
V
V
V F
F
F
F
V
F V
V
V
V
V
F F
V
V
V
V
1
2
Usando las equivalencias vistas, tenemos:
∼ (P ⇒ Q) ≡∼ (∼ P ∨ Q) Ejercicio 1
≡∼ (∼ P ) ∧ ∼ Q Leyes de De Morgan
≡ P ∧ ∼ Q Doble negación.
Proposiciones
Tablas de verdad
Funciones proposicionales
Definición 6.1
Sea A un conjunto dado. Una función proposicional definida
sobre A es una expresión p(x), la cual tiene la propiedad que
p(a) es verdadera o falsa para cada a ∈ A. El conjunto A es
llamado dominio de p(x), y el conjunto Tp de todos los
elemento de A para los cuales p(a) es verdadero es llamado el
conjunto de verdad de p(x). En otras palabras,
Tp = {x : x ∈ A, p(x) es verdadera}
Frecuentemente, cuando A es algún conjunto de números, la
condició p(x) tiene la forma de una ecuación o inecuación que
involucra la variable x.
Proposiciones
Tablas de verdad
Funciones proposicionales
Ejemplo 6.1
Hallar el conjunto de verdad de cada función proposicional p(x)
definida sobre el conjunto N de números naturales.
1
Sea p(x) : x + 2 > 7. El conjunto de verdad es
Tp = {x : x ∈ N, x + 2 > 7} = {6, 7, 8, . . .}
que consiste de todos los naturales mayores que 5.
2
Sea p(x) : x + 5 < 3. El conjunto de verdad es
Tp = {x : x ∈ N, x + 5 < 3} = ∅
el conjunto vacı́o.
Proposiciones
Tablas de verdad
Cuantificador universal
Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto
A. Considere la expresión
(∀x ∈ A)p(x) o ∀xp(x)
la cual se lee “Para todo x en A, p(x) es una declaración verdadera ” o, simplemente, “Para todo x, p(x)”. El sı́mbolo
∀
el cual se lee “para todo ” o “para cada” es llamado el cuantificador universal.
Proposiciones
Tablas de verdad
Cuantificador universal
Ejemplo 6.2
1
La proposición (∀n ∈ N)(n + 4 > 3) es verdadera
2
La proposición (∀n ∈ N)(n + 2 > 8) es falsa
Proposiciones
Tablas de verdad
Cuantificador existencial
Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto
A. Considere la expresión
(∃x ∈ A)p(x) o ∃x, p(x)
la cual se lee “Existe un x en A tal que p(x) es una declaración
verdadera ” o, simplemente, “Para algún x, p(x)”. El sı́mbolo
∃
el cual se lee “existe ” o “para algún ” es llamado el cuantificador existencial.
Proposiciones
Tablas de verdad
Cuantificador existencial
Ejemplo 6.3
1
La proposición (∃n ∈ N)(n + 4 < 7) es verdadera
2
La proposición (∃n ∈ N)(n + 6 < 4) es falsa
Proposiciones
Tablas de verdad
Negación de declaraciones cuantificadas
Teorema 6.1 (De Morgan)
∼ (∀x ∈ A)p(x) ≡ (∃x ∈ A) ∼ p(x)
Teorema 6.2 (De Morgan)
∼ (∃x ∈ A)p(x) ≡ (∀x ∈ A) ∼ p(x)
Ejemplo 6.4
1
∼ (∀n ∈ N)(n + 4 > 3) ≡ (∃n ∈ N)(n + 4 ≤ 3).
2
∼ (∃n ∈ N)(n + 4 < 7) ≡ (∀n ∈ N)(n + 4 ≥ 7).
Proposiciones
Tablas de verdad
GRACIAS POR SU ATENCIÓN

Lógica Proposicional

Transcripción

Documentos relacionados

ANUNCIO Habiéndose detectado un error en el anuncio publicado

WITTGENSTEIN, L., Tractatus Logico-Philosophicus, 6.5