Paralela y perpendicular a una recta dada por un punto

Paralela y perpendicular a una recta dada por un punto

LA ECUACIÓN DE LA RECTA
PARALELA Y PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA POR UN PUNTO
PARALELA
Paralela a la recta
r : Ax  By  C  0
por el punto
P  x1 , y1 
Haz de rectas paralelas
Ax  By  K  0 con K  
PERPENDICULAR
Perpendicular a la recta
r : Ax  By  C  0
por el punto
P  x1, y1 
Haz de rectas perpendiculares
Bx  Ay  K  0 con K  
De todas las rectas paralelas a r, determinemos la que pasa
por el punto P. Para ello, las coordenadas del punto P debe
verificar la ecuación de la paralela.
Ax1  By1  K  0
K   Ax1  By1
y, sustituyendo en la ecuación del haz, tenemos la ecuación
de la paralela a r por P
Ax  By  Ax1  By1  0
Ax  Ax1  By  By1  0
A  x  x1   B  y  y1   0
De todas las rectas perpendiculares a r, determinemos la
que pasa por el punto P. Para ello, las coordenadas del
punto P debe verificar la ecuación de la perpendicular.
Bx1  Ay1  K  0
K   Bx1  Ay1
y, sustituyendo en la ecuación del haz, tenemos la ecuación
de la perpendicular a r por P
Bx  Ay  Bx1  Ay1  0
Bx  Bx1  Ay  Ay1  0
B  x  x1   A  y  y1   0
La ecuación de la paralela a r por P será
La ecuación de la perpendicular a r por P será
A  x  x1   B  y  y1   0
B  x  x1   A  y  y1   0
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG
PARALELA
PERPENDICULAR
Paralela a la recta
r : Ax  By  C  0
por el punto
P  x1 , y1 
Perpendicular a la recta
r : Ax  By  C  0
por el punto
P  x1, y1 
sr
y Ps
La ecuación de la paralela s a r por P será
A  x  x1   B  y  y1   0
tr
y P t
La ecuación de la perpendicular t a r por P será
B  x  x1   A  y  y1   0
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EJEMPLO
Dado el punto P  5, 2  y la recta r : 4 x  7 y  3  0 halla la ecuación de la recta que pasa por P y es:
a) Paralela a r.
b) Perpendicular a r.
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EJEMPLO
Dado el punto P  5, 2  y la recta r : 4 x  7 y  3  0 halla la ecuación de la recta que pasa por P y es:
a) Paralela a r.
b) Perpendicular a r.
Método 1
Utilizando las ecuaciones de los haces de rectas paralelas y perpendiculares a r por P.
a) Recta paralela a r por el punto P.
Las ecuaciones de las rectas paralelas a r serán de la forma
4x  7 y  K  0
(Haz de rectas paralelas a r)
De las infinitas rectas paralelas a r queremos la que pasa por el punto P, por lo tanto, le imponemos esta
condición.
4  5  7   2   K  0
20  14  K  0
K  34
y ya tenemos la ecuación de la recta paralela a r por el punto P,
4 x  7 y  34  0
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b) Recta perpendicular a r por el punto P.
Las ecuaciones de las rectas perpendiculares a r serán de la forma
7x  4 y  K  0
(Haz de rectas perpendiculares a r)
De las infinitas rectas perpendiculares a r queremos la que pasa por el punto P, por lo tanto, le
imponemos esta condición.
7  5  4   2   K  0
35  8  K  0
K  27
y ya tenemos la ecuación de la recta paralela a r por el punto P,
7 x  4 y  27  0
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Método 2
Utilizando las ecuaciones de las rectas paralela y perpendicular a r por P.

Punto P  x1 , y1 

Recta r : Ax  By  C  0 
Paralela a r por P
A  x  x1   B  y  y1   0
Perpendicular a r por P
B  x  x1   A  y  y1   0
En nuestro caso P  5, 2  y r : 4 x  7 y  3  0
a) Recta paralela a r por el punto P.
4  x  5   7  y   2    0
4 x  20  7 y  14  0
y por lo tanto, la ecuación de la recta paralela a r por el punto P es
4 x  7 y  34  0
b)
Recta perpendicular a r por el punto P.
7  x  5   4  y   2    0
7 x  35  4 y  8  0
7 x  4 y  27  0
y por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular a r por el punto P es
7 x  4 y  27  0
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