Solución - IES Francisco Ayala

I.E.S. Mediterráneo de Málaga
Junio 2001
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
1.- Hallar los valores de los números a y b para que la función definida como
 ax + 5 si x ≤ 1

resulte derivable para todos los valores de x
b
f (x ) = 
a x+
si x > 1

x
Para ser derivable la función tiene que ser, primeramente, continua
 f (1) = lim− f ( x ) = a ⋅ 1 + 5 = a + 5
x →1

⇒ f (1) = lim− f ( x ) = lim+ f (x ) ⇒ a + 5 = a + b ⇒ b = 5

b
x →1
x →1
(
)
lim
f
x
a
1
a
b
=
⋅
+
=
+
 x →1+
1

lim f ' (x ) = a

a si x < 1

x →1−
a

 a
5
f ' (x ) = 
⇒ lim− f ' (x ) = lim+ f ' ( x ) ⇒ a = − 5 ⇒
⇒
− 2 si x > 1  lim f ' (x ) = a − 5
x →1
x →1
2
2
 x →1+
 2 x x
2 1 1

a
a
= −5 ⇒ = −5 ⇒ a = −10
2
2
 10 x + 5 si x ≤ 1

(
)
b
f x =
10 x +
si x > 1

5
a−
2.- A partir de una cartulina cuadrada de 60 cm. de lado se va a construir una caja de base
cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina
y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más
capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tiene 10 cm. de lado. Decidir si la
observación es correcta o no.
(
(
V = (60 − 2 h ) h ⇒ V ' =
)
dV
2
= 2(60 − 2 h ) (− 2 )h + (60 − 2 h ) = (− 4 ) 60 h − 2 h 2 + 3600 − 240 h + 4 h 2
dh
2
V ' = −240 h + 8 h + 3600 − 240 h + 4 h 2 = 12 h 2 − 480 h + 3600 = 12 h 2 − 40 h + 300 ⇒
2
(
)
)
V ' = 0 ⇒ 12 h − 40 h + 300 = 0 ⇒ h − 40 h + 300 = 0 ⇒ ∆ = (− 40 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 300 = 400 > 0 ⇒
2
2
2
40 + 20

h
=
= 30

d 2V
40 ± 400
2
⇒
h=
⇒ V' ' =
= 12 (2 h − 40 ) = 24 (h − 20 ) ⇒
40 − 20
2 ⋅1
dh 2
h =
= 10
2

 V ' ' (30 ) = 24 (30 − 20 ) = 240 ⇒ Mínimo
⇒ h = 10 cm.

V ' ' (10 ) = 24 (10 − 20 ) = −240 ⇒ Maximo
Tenia razón el observador
1
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3.- Discutir y resolver el siguiente sistema de acuerdo con los valores del parámetro m
 5x + 4 y + 2z = 0

 2x + 3 y + z = 0
4 x − y + m 2 z = m − 1

5
4
2
A= 2 3
1 = 15 m 2 + 16 − 4 − 24 + 5 − 8 m 2 = 7 m 2 − 7 ⇒ Si A = 0 ⇒ 7 m 2 − 7 = 0 ⇒
4 − 1 m2
 m=1
7 m2 − 1 = 0 ⇒ m2 − 1 = 0 ⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1 ⇒ 
 m = −1
∀m ∈ ℜ − {− 1 , 1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
(
)
Soluciones para el Sistema Compatible Deter min ado para todos los valores de m que lo cumplen
0
x=
y=
2
0
3
1
m − 1 − 1 m2
=
7m − 7
2
5 0
2 0
4 m2
2
1
m−1
7m2 − 7
5
z=
4
4
− 2 (m − 1)
4 (m − 1) − 6 (m − 1)
2
=
=−
7 (m − 1) (m + 1)
7 (m − 1) (m + 1)
7 (m + 1)
=
4 m 2 − 5m 2
m2
=−
7 (m − 1) (m + 1)
7 (m − 1) (m + 1)
=
15 (m − 1) − 8 (m − 1)
7 (m − 1)
1
=
=
7 (m − 1) (m + 1)
7 (m − 1) (m + 1) m + 1
0
2 3
0
4 −1 m−1
7m − 7
Si m = −1
2
5 4 2 0   5
4
2 0  5 4
 

 
 2 3 1 0  ≡  − 10 − 15 − 5 0  ≡  0 − 7
 4 − 1 1 − 2   − 20
5
− 5 10   0 21

 
10
z=
⇒ Sin solución ⇒ Sistema Incompatible
0
Si m = 1
2 0  5 4
 
− 1 0  ≡ 0 − 7
3 10   0 0
2 0

− 1 0  ⇒ 0 z = 10
0 10 
5 4 2 0  5
4
2 0 5 4
2 0 5 4
2 0

 
 
 

 2 3 1 0  ≡  − 10 − 15 − 5 0  ≡  0 − 7 − 1 0  ≡  0 − 7 − 1 0  ⇒ La tercera es combinación
 4 − 1 1 0   − 20
5
0 0 
− 5 0   0 21 3 0   0 0

 
lineal de las otras dos ⇒ Sistema Compatible In det er min ado ⇒ −7 y − z = 0 ⇒ z = −7 y ⇒
5 x + 4 y + 2 ⋅ (− 7 y ) = 0 ⇒ 5 x − 10 y = 0 ⇒ 5 x = 10 y ⇒ x = 2 y ⇒
Solución ⇒ (x , y , z ) = (2λ , λ , − 7 λ )
2
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4.- Comprobar si los puntos (1 , 2 , 3) , (1 , -2 , 4) y (1 , -3 , 5)están alineados. En caso
negativo, determinar la ecuación del único plano que los contiene.
Si están alineados A, B y C, respectivamente nominados los vectores AB y AC son iguales o
proporcionales
 AB = (1 , − 2 , 4 ) − (1 , 2 , 3 ) = (0 , − 4 , 1)
−4 1
⇒
≠ ⇒ No están alineados

 AC = (1 , − 3 , 5 ) − (1 , 2 , 3 ) = (0 , − 5 , 2 ) − 5 2
Para hallar el plano π que los contiene tenemos los vectores ante dichos AB y AC y un tercer
vector formado por el punto A y el punto G generador del plano, los tres vectores son
coplanarios y el último es combinación lineal de los otros dos y por ello el determinante de la
matriz que forman los tres es nulo y la ecuación pedida.

x −1 y − 2
AB = (0 , − 4 , 1)

−4
⇒π≡ 0
AC = (0 , − 5 , 2 )

 AG = ( x , y , z ) − (1 , 2 , 3 ) = ( x − 1 , y − 2 , z − 3 )
0
−5

− 8 ( x − 1) + 5 ( x − 1) = 0 ⇒ −3 ( x − 1) = 0 ⇒ π ≡ x − 1 = 0
z−3
1 =0⇒
2
3
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OPCIÓN B
1.- Hallar el valor del parámetro a sabiendo que el área que limitada por la gráfica y = x2 - ax y
el eje OX es
32
5
x − a = 0 ⇒ x = a
Puntos de corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ x 2 − ax = 0 ⇒ ( x − a )x = 0 ⇒ 
x=0

∫ (x
a
2
)
− ax dx =
0
[ ]
32
1
⇒ ⋅ x3
5
3
a
0
[ ]
1
− a ⋅ ⋅ x2
2
a
0
=
(
)
(
)
32
1
a
32
⇒ ⋅ a3 − 03 − ⋅ a2 − 02 =
⇒
5
3
2
5
− a 3 32
a 3 a 3 32
2 a 3 − 3a 3 32
a 3 32
192
192
−
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒ a3 =
⇒a=3
3
2
5
6
5
6
5
6
5
5
5
4 3 3 3 5 2 4 3 75
a=
=
5
5
2.- Trazar la gráfica de una función f(x) que satisface las siguientes propiedades
a) Su dominio es ℜ − {− 1}
b) f(0) = 0
c) No tiene máximos ni mínimos
d) Para f ( x ) → 5 , f ( x ) → 0 , f ( x ) → ∞ , f ( x ) → −∞
x → +∞
x → −∞
x → −1−
x → −1+
e) Tiene una discontinuidad evitable en x = 1
4
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3.- En este ejercicio son dos matrices A y B desconocidas que hay que hallar. Resolver el

5
 2 A + B = 

4
siguiente sistema de ecuaciones 
3 A + 2 B =  11
 20



 5 12 7 

− 4 A − 2 B = (− 2 ) ⋅ 

 4 2 7  ⇒ − A =  − 10

 −8

 3 A + 2 B =  11 25 0 
 20 10 35 



12 7 

2 7 
25 0 

10 35 
− 24 − 14   11 25 0   1 1 − 14 
+
=
⇒
− 4 − 14   20 10 35   12 6 21 
 − 1 − 1 14 

A = 
 − 12 − 6 − 21 

 5 12 7 

6 A + 3 B = 3 ⋅ 

 15 36

4 2 7 
⇒ − B = 

 12 6
− 6 A − 4 B = (− 2 ) ⋅  11 25 0 



 20 10 35 
 7 14 − 21 

B = 
 28 14 49 
21   − 22 − 50
0   − 7 − 14 21 
 + 
=
⇒
21   − 40 − 20 − 70   − 28 − 14 − 49 
4.- En caso de que las dos rectas siguientes se corten en un punto, hallar las coordenadas del
 x = −7 + 4 λ
x−3 y+4
z

mismo r ≡  y = 1 − λ
, s≡
=
=
2
−3
−2
 z=2

− 7 + 4λ = 3 + 2µ
2

 1 − λ = −4 − 3µ ⇒ µ = − = −1 ⇒ 1 − λ = −4 − 3 ⋅ (− 1) ⇒ 1 − λ = −4 + 3 ⇒ 1 − λ = −1 ⇒ λ = 2 ⇒
2

2 = −2µ

− 7 + 4 ⋅ 2 = 3 + 2 ⋅ (− 1) ⇒ 1 = 1 ⇒ Sistema Compatible ⇒ Hay punto P de corte
 x = −7 + 4 ⋅ 2

P  y = 1 − 2 ⇒ P(1 , − 1 , 2 )

z=2

5