extensiones discretas de la regla de borda: un estudio

extensiones discretas de la regla de borda: un estudio

EXTENSIONES DISCRETAS DE LA REGLA DE BORDA:
UN ESTUDIO COMPARATIVO
José Luis García Lapresta
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de Valladolid
[email protected]
Miguel Martínez Panero
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de Valladolid
[email protected]
Resumen
La regla de Borda es un método de votación de más de dos siglos de tradición mediante el que los
votantes manifiestan sus preferencias a través de órdenes lineales sobre los candidatos, asignando a
éstos puntuaciones escalonadas según su mérito. Sin embargo, el procedimiento así diseñado no se
puede aplicar tal cual a situaciones que admitan un mayor grado de libertad por parte de los agentes;
por ejemplo, cuando éstos se muestran indiferentes entre candidatos. Por ello, son necesarias
extensiones del patrón original que contemplen tales casos. Se han introducido así, desde mediados
del siglo pasado, generalizaciones discretas de la regla de Borda basadas en relaciones de preferencia
ordinarias. En el presente trabajo se trata de ofrecer un estudio globalizador de algunas de estas
posibles variantes. Se estudiarán comparativamente distintas propiedades de las generalizaciones
propuestas de la regla de Borda, particularmente en relación con el criterio de Condorcet y con la
coherencia con la que los votantes establecen sus preferencias y a partir de ellas otorgan puntuaciones,
y se analizará la idoneidad de las variantes tratadas.
Palabras clave: Regla de Borda, preferencias ordinarias, criterio de Condorcet, transitividad.
1. Introducción.
Jean Charles de Borda (1733−1799) introdujo en 1770 un procedimiento de votación,
que hoy lleva su nombre, con el cual los votantes gradúan sus preferencias sobre los
candidatos o alternativas mediante puntuaciones escalonadas. Desde entonces ha
habido numerosos autores que han defendido este sistema de votación como uno de
los más idóneos y fáciles de llevar a la práctica. Por nombrar sólo algunos de los más
recientes, Dummett (1998, p. 290) considera la regla de Borda como la mejor
herramienta para reconciliar diferentes juicios y como el método más equitativo para
determinar un resultado a partir de deseos divergentes. Por su parte, Saari (1995, p.
19) considera óptima la regla de Borda y ha dedicado a su estudio relevantes trabajos
(véase, por ejemplo, Saari (1990)).
Borda [1770] (1784) estipula que los agentes dispongan las alternativas mediante
órdenes lineales, de tal forma que cada agente otorga a cada alternativa tantos puntos
como alternativas considera peores que la que valora (en ocasiones nos referiremos a
este procedimiento como “regla de Borda clásica”). Sin embargo son posibles en la
práctica situaciones menos restrictivas, en las que, por ejemplo, los agentes podrían
manifestarse indiferentes entre algunas alternativas.
De acuerdo con Gärdenfors (1973), no hay una única manera de extender los
contadores de Borda clásicos a este tipo de escenarios más generales. En este trabajo
se propone un tratamiento sistemático, aunque no exhaustivo, de alguna de estas
posibles generalizaciones. Introduciremos para ello cuatro contadores individuales
que generalizan el original. El primero de ellos, utilizado por Nitzan – Rubinstein
(1981) en su caracterización axiomática de la regla de Borda, no tiene en cuenta las
alternativas que los agentes declaran indiferentes a la que se valora y considera, de
forma análoga a la regla clásica de Borda, que los agentes asignan a cada alternativa
tantos puntos como alternativas consideran que hay peores que la que se juzga. En
cambio, los contadores segundo y tercero tienen en cuenta las alternativas
indiferentes a la que se valora, asignando a cada una de éstas 0.5 puntos, con un
matiz diferenciador: el considerar o no la indiferencia de la alternativa en cuestión
consigo misma. El cuarto contador individual, utilizado por Young (1974) en su
2
caracterización axiomática de la regla de Borda, asigna a cada alternativa una
puntuación consistente en la diferencia entre el número de alternativas mejores y
peores que la que se valora. Estos dos últimos contadores fueron introducidos por
Black (1958) y la ventaja del último frente al anterior es, como veremos, un
tratamiento menos prolijo, y por ende, más elegante, de la regla de Borda. A partir de
cualquiera de estos contadores se introducirá uno colectivo como suma de los
individuales, de forma que las alternativas quedarán ordenadas por la puntuación
total obtenida. Se justificará que los tres últimos contadores individuales originan
siempre la misma ordenación colectiva de las alternativas, la cual no coincide
necesariamente con la proveniente del primer contador.
Con objeto de garantizar la consistencia de los contadores individuales respecto de
las preferencias individuales, consideraremos una propiedad de monotonía
introducida para el primer contador en García Lapresta – Martínez Panero (2002).
Esta propiedad exige que si un individuo prefiere una alternativa a otra, el contador
ha de asignar mayor puntuación a la que es preferida que a la otra. De aquí se deduce
que los contadores monótonos sólo asignan la misma puntuación a las alternativas
que son indiferentes para los agentes. No obstante, cuando la relación de indiferencia
de un agente no es transitiva puede ocurrir que el contador, aún siendo monótono,
otorgue puntuaciones distintas a alternativas indiferentes. Justificamos que la
monotonía queda asegurada para los cuatro contadores analizados en este trabajo si
se supone que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes son transitivas.
Otro aspecto analizado es la relación existente entre las alternativas mejor o peor
puntuadas por las reglas de Borda asociadas a los contadores utilizados y las
alternativas ganadoras o perdedoras de Condorcet (aquéllas que vencen o son
derrotadas en comparaciones por pares mediante la regla de la mayoría simple). Es
bien conocido que la regla de Borda clásica no es Condorcet-eficiente, es decir,
puede existir una alternativa ganadora de Condorcet que no obtenga la máxima
puntuación por la regla de Borda. No obstante, justificamos que con la regla de
Borda generalizada a cualquier tipo de preferencias individuales, utilizando los tres
últimos contadores, ninguna alternativa que sea ganadora de Condorcet puede tener
3
la peor puntuación con la regla de Borda, así como que ninguna alternativa que sea
perdedora de Condorcet puede tener la mejor puntuación con la regla de Borda. Sin
embargo estas propiedades dejan de cumplirse cuando se considera la regla de Borda
asociada al primer contador, tal como se justifica con los correspondientes
contraejemplos.
En cuanto a su estructura, el trabajo se organiza como sigue. En la sección 2 se
detallan, a modo de prerrequisitos, diversas nociones y propiedades relativas a las
relaciones de preferencia que subyacen en las consideraciones de las alternativas por
parte de los agentes. En la sección 3 se definen los cuatro contadores Borda que se
analizan en el presente trabajo, tanto individuales como colectivos, y se explicitan las
conexiones existentes entre ellos. En la sección 4 se estudia la consistencia de los
contadores individuales respecto de las preferencias de los agentes. En la sección 5
se analizan diversos aspectos de los contadores colectivos en conexión con el criterio
de Condorcet. El trabajo concluye con unos comentarios sobre la idoneidad de los
procedimientos tratados.
2. Preliminares.
Consideraremos a lo largo de nuestra exposición que m agentes (electores o
votantes) deben decidirse entre un conjunto finito de alternativas (o candidatos)
X = {x1 , x2 ,..., xn } . Supondremos además n , m ≥ 2 en lo que sigue 1 .
A continuación se exponen los principales conceptos a partir de los cuales se
modelizan las preferencias de los agentes o votantes y con los que es posible
formular los distintos tipos de contadores Borda introducidos en el presente trabajo.
A continuación se presentan algunas propiedades que pueden satisfacer las relaciones
binarias, las cuales aparecen de forma na tural en la modelización de las preferencias
individuales y colectivas.
En la regla de Borda clásica se suele exigir n ≥ 3 , pues en el caso n = 2 el procedimiento coincide
con los de pluralidad y mayorías simple y absoluta. A este respecto es interesante el análisis de
Morales (1797, pp. 16 y ss.). Sin embargo, para las generalizaciones que proponemos a continuación
lo anterior ya no es cierto, y será necesario por tanto contemplar también que sólo haya dos
alternativas en litigio.
1
4
Definición 1. Sea S una relación binaria sobre X.
1. S es asimétrica si cuando ocurre x S y entonces no ocurre
y S x, para
cualesquiera x , y ∈ X .
2. S es antisimétrica si cuando ocurre x S y así como y S x, entonces x = y , para
cualesquiera x , y ∈ X .
3. S es completa si se verifica x S y o bien y S x, para cualesquiera x , y ∈ X .
4. S es transitiva si cuando ocurre x S y así como y S z, entonces también ocurre
x S z , para cualesquiera x , y, z ∈ X .
5. S es negativamente transitiva si cuando no ocurre x S y ni y S z, entonces
tampoco ocurre x S z , para cualesquiera x , y , z ∈ X .
6. S es acíclica si para cualesquiera x1 ,K, xi , xi + 1 ∈ X , cuando ocurre x jS x j +1 para
cada j = 1,K, i , entonces no ocurre xi +1 S x1 .
Observación 1. Resulta inmediato comprobar la siguiente cadena de implicaciones:
S negativamente transitiva ⇒ S transitiva ⇒ S acíclica ⇒ S asimétrica.
Existen en la modelización de preferencias ordinarias dos tradiciones extendidas.
Ambas utilizan como nociones primarias relaciones binarias a las que se impone de
partida ciertas exigencias. La primera de ellas interpreta “x es preferida a y” en
sentido fuerte, a saber: “x es mejor que y” por lo que no puede darse a la vez “y es
mejor que x”. Esto corresponde a la definición que sigue.
Definición 2. Una relación de preferencia fuerte (o estricta) P sobre X es una
relación binaria asimétrica.
Un segundo enfoque considera la preferencia en un sentido débil, contemplando
también la indiferencia, de manera que x R y se interpreta como “x es al menos tan
buena como y”. Se supone en este caso que para cualesquiera dos alternativas
x , y ∈ X , o bien x es al menos tan buena como y, o bien y es al menos tan buena
como x. En la siguiente definición se recogen las ideas anteriores.
5
Definición 3. Una relación de preferencia débil (o de preferencia-indiferencia) R
sobre X es una relación binaria completa.
Observación 2. Ambos enfoques son, de hecho, equivalentes. Efectivamente, si a
una relación de preferencia fuerte P se le asocia una relación de indiferencia I
entendida ésta como ausenc ia de preferencia ( x I y si no ocurre x P y ni y P x ),
entonces R=P ∪ I ( x R y si x P y o y P x ) resulta completa. Recíprocamente, a partir
de R completa se puede obtener P asimétrica como x P y si x R y pero no ocurre
y R x (es decir, con la interpretación señalada, habría preferencia fuerte cuando x es al
menos tan buena como y, pero y no es al menos tan buena como x).
Conviene señalar que si se tiene una relación de preferencia débil R sobre X, para
cada par de alternativas x , y ∈ X no caben más que tres situaciones, mutuamente
excluyentes: x P y , y P x o x I y . Así, si no ocurre x P y debe suceder alguna de las
otras dos posibilidades, o lo que es lo mismo, y R x.
Habida cuenta de la equivalencia señalada, en lo que sigue, conjugaremos ambos
enfoques, respetando en la medida de lo posible la notación introducida: R,
preferencia débil (completa); P, preferencia fuerte asociada (también denominada
parte asimétrica de R); I, indiferencia asociada (también llamada parte simétrica de
R). A modo de recapitulación, señalemos que R es completa, P es asimétrica e I es
reflexiva y simétrica.
Definición 4. Sean R una relación de preferencia débil sobre X. Un elemento
x ∈ X es un maximal respecto de R
si para todo y ∈ X se cumple x R y ; o
equivalentemente, si no existe y ∈ X tal que y P x. En vista de la equivalencia
anterior se dirá también que x es un maximal respecto de P.
Observación 3. Hemos de señalar que los elementos maximales respecto de R no
tienen porqué existir. Ahora bien, si X es finito (como es el caso), una condición
necesaria y suficiente para asegurar la existencia de maximales es que P sea acíclica
(véase Sen [1970] (1976, Lema 1*1)). Así, supuesta la condición anterior, ante un
6
problema de selección de alternativas siempre sería posible asignar a cada
subconjunto de X sus elementos maximales.
Para las relaciones de preferencia e indiferencia introducidas se cumplen las
siguientes equivalencias:
P negativamente transitiva ⇔ R transitiva ⇔ P, I transitivas.
Observación 4. Se puede comprobar que la mera transitividad de P no garantiza que
la relación de indiferencia asociada I sea transitiva. Ahora bien, a la vista de lo
anterior, cuando P es negativamente transitiva resultan ser necesariamente transitivas
tanto P como I.
Observación 5. Tal como se ha señalado en la introducción, la regla de Borda
clásica se plantea en un contexto preferencial muy restrictivo en el que la relación de
preferencia R de cada uno de los agentes es un orden lineal (lo cual equivale a que P
sea negativamente transitiva e I sea antisimétrica). Sin embargo, como veremos,
nosotros supondremos una situación más general, en la que sólo se exigirá
inicialmente que la relación de preferencia de cada uno de los agentes R sea completa
(o, equivalentemente, que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes son
asimétricas), permitiendo en cualquier caso a los agentes declarar indiferencia entre
alternativas. Posteriormente, la transitividad de P será requerida para garantizar la
consistencia interna de los contadores Borda introducidos.
En nuestro desarrollo será útil codificar las preferencias de los age ntes mediante
índices de comparación entre alternativas, tal como se detalla a continuación.
Definición 5. Los coeficientes rijk vienen dados por
1, si xi Pk x j ,

rijk = 0.5, si x i I k x j ,
0, si x Pk x .
j
i

7
Estos coeficientes guardan relación con los introducidos por May (1952) y Fishburn
(1973):
1, si xi Pk x j ,

d ijk = 0, si xi I k x j ,
 −1, si x Pk x ,
j
i

por lo que r =
k
ij
dijk + 1
2
y, por tanto, ambos coeficientes resultan equivalentes.
3. Extensiones de la regla de Borda.
Aunque ya se ha señalado que la regla de Borda fue inicialmente diseñada para
aquellos casos en los que los agentes ordenan linealmente las alternativas, en esta
sección se extenderá la regla de Borda a situaciones mucho más generales, de manera
que las relaciones de preferencia fuerte de los agentes, P1 ,K , P m son simplemente
asimétricas, sin necesidad de que sean inicialmente transitivas ni siquiera acíclicas.
Así mismo, los agentes podrán manifestar indiferencia entre las alternativas que
comparan, de modo que las relaciones de indiferencia de los agentes, I 1 ,K , I m , son
reflexivas y simétricas, pero no necesariamente transitivas. No obstante, como ya se
ha indicado, en la próxima sección se demostrará que para conseguir consistencia en
la asignación de puntuaciones de los contadores individuales habrá que exigir que las
relaciones de preferencia fuerte de los agentes sean transitivas.
Definición 6. Dada una alternativa xi ∈ X , se definen los contadores de Borda
individuales rkv ( xi ), v = 1,K , 4 , con los que el agente k asigna una puntuación a la
alternativa xi de la forma que sigue:
rk1 ( xi ) =
∑r
k
ij
= card {x j | xi P k x j } .
xi Pk x j
n
rk2 ( xi ) = ∑ rijk =
j =1
∑r
xi Rk x j
k
ij
=
∑r
xi Pk xj
k
ij
+
∑r
k
ij
= card {x j | xi Pk x j } +
xi Ik x j
8
1
card {x j | xi I k x j } .
2
n
rk3 ( xi ) = ∑ rijk =
j =1
j≠ i
rk4 ( xi ) =
∑r
xi Pk x j
∑r
k
ij
+
xi Pk x j
∑r
k
ij
= card {x j | x i P k x j } +
xi Ik xj
1
(card {x j | x i I k x j } − 1).
2
j ≠i
k
ij
−
∑r
k
ji
= card {x j | x i P k x j } − card {x j | x j P k x i } .
x j P k xi
El primer contador individual refleja la idea de Borda, explicitada por Morales
(1805), de que la puntuación que el agente asigna a cada alternativa coincide con el
número de alternativas que para él son peores. Por tanto, no tiene en cuenta si hay
alternativas indiferentes a la que se valora. Como ya hemos hecho notar, ha sido
utilizado por Nitzan – Rubinstein (1981).
El segundo y el tercer contador suman a la puntuación dada por el contador anterior
0.5 puntos a cada alternativa que sea indiferente con la que se valora, considerando o
no la propia alternativa que se valora, respectivamente.
El último contador indica, para cada alternativa, el número de victorias (puntos a
favor) menos el de derrotas (puntos en contra) sobre sus oponentes 2 para el agente k.
Ya hemos comentado que ha sido usado, entre otros, por Young (1974), y no debe
confundirse con los contadores Copeland, que aplican la misma filosofía a las
preferencias colectivas originadas por la mayoría simple, para evitar la paradoja del
voto (ciclos en las preferencias colectivas). Es usual en la literatura denominar a los
dos últimos contadores como primer y segundo contador de Borda individuales
ajustados según Black, o más brevemente, Black I y Black II.
Observación 6. Una interesante propiedad del contador rk4 es que la suma de todas
las puntuaciones otorgadas por cada agente es nula, es decir
n
∑r
4
k
( xi ) = 0 .
i =1
2
Citando a Black (1958, p. 64): “the appropriate form of the Borda count is the net surplus of the plus
over the minus votes for each candidate”.
9
Observación 7. Existen conexiones entre algunos de los contadores individuales
introducidos 3 . Resulta evidente la siguiente relación:
rk2 ( xi ) = rk3 ( x i ) +
1
.
2
Así mismo, aunque en este caso no es tan inmediato, Black (1976) y Coughlin (1979)
demostraron que Black I y Black II difieren en una transformación lineal afín; más
concretamente:
rk4 ( x i ) = 2 rk3 ( x i ) − ( n − 1) .
En consecuencia tenemos las siguientes relaciones, que permiten definir los dos
últimos contadores en función del segundo:
rk3 ( xi ) = rk2 ( xi ) −
1
y rk4 ( xi ) = 2 rk2( xi ) − n .
2
A partir de los contadores individuales puede definirse uno colectivo, en cada caso,
como la suma de los mismos.
Definición 7. La puntuación (o contador) total (o agregada) de Borda del colectivo
de agentes a la alternativa xi se calcula como
m
r v ( xi ) = ∑ rkv ( xi ), v = 1,K ,4.
k =1
Observación 8. Teniendo en cuenta la Observación 7, tenemos:
m
1. r 1 ( xi ) = ∑
k =1
∑r
k
ij
.
xi Pk x j
3
Gärdenfors (1973) introduce también un contador que, en su contexto, denomina ranking-level
function, y que identifica alternativas al mismo nivel de preferencia, aplicando entonces el contador de
Borda clásico a la situación resultante. Sin embargo, habida cuenta de que para su correcto diseño se
requiere la transitividad de la relación de indiferencia de los agentes y de que se trata de un contador
bastante grosero, no lo incluiremos en nuestro estudio.
10
m
2. r ( xi ) = ∑
2
k =1
n
∑r
j=1
k
ij
.
m
1
m
3. r 3 ( xi ) = ∑  rk2 ( xi ) −  = r 2 ( xi ) − .
2
2
k =1 
4. r 4 ( xi ) = ∑ (2 rk2 ( xi ) − n ) = 2 r 2( xi ) − mn .
m
k =1
Entonces, cualquiera que sea la forma de cálculo utilizada, la(s) alternativa(s) que
resulta(n) ganadora(s) por el método de Borda de contador v-ésimo, v = 1,K , 4
viene(n) determinada(s) por la mayor puntuación recibida.
Definición 8. La relación de preferencia agregada PvBC correspondiente a la regla de
Borda con contador v-ésimo, v = 1,K , 4 , viene dada por
xi PvBC x j ⇔ r v( xi ) > r v ( x j ) ,
para cualesquiera xi , x j ∈ X .
Resulta inmediato comprobar que PvBC es negativamente transitiva para cualquiera
de los cuatro contadores introducidos, luego acíclica. Tal como hemos indicado, de
acuerdo con Sen [1970] (1976), como el conjunto X es finito, hay garantía de
existencia (no así de unicidad) de elementos maximales para PvBC , que sería(n)
ganador(es) por la regla de Borda asociada al contador v-ésimo.
Cabe preguntarse si, para una misma situación decisional por parte de los agentes, los
diferentes contadores proporcionan o no una misma preferencia agregada.
Observación 9. De acuerdo con la Observación 8, los contadores Borda colectivos
r 3 y r 4 son una transformación afín de r 2 . Por tanto, r 2 , r 3 y r 4 son equivalentes
y,
en
consecuencia,
originan
la
misma
P2BC = P3BC = P4BC .
11
preferencia
colectiva,
es
decir,
Ahora bien, r 1 no es equivalente a ninguno de los otros tres contadores, r 2 , r 3 y r 4 ,
como se pone de manifiesto a continuación.
Ejemplo 1. Considérense 6 votantes cuyas preferencias (negativamente transitivas)
sobre tres alternativas vienen dadas por
1 votante 2 votantes 3 votantes
x1
x2
x3
x1
x2
x2
x3
x3
x1
De aquí en adelante se entenderá que alternativas situadas en un mismo nivel son
indiferentes para los agentes y las que están en un determinado nivel son preferidas a
todas aquéllas que están en un nivel inferior. Con ello se supone de forma implícita
que las relaciones de preferencia (fuerte y débil) e indiferencia de los agentes son
transitivas.
Resulta inmediato comprobar que el primer contador de Borda individual otorga las
siguientes puntuaciones
r 1 ( x1 ) = 5, r 1 ( x2 ) = 4, r 1 ( x3 ) = 3, luego x1 P1BC x2 P1BC x3 .
Sin embargo, mediante Black I se tiene
r 3 ( x1 ) = 5.5, r 3 ( x 2 ) = 7, r 3 ( x3 ) = 5.5, por
lo que en el agregado se obtiene x2 P3BC x1 I 3BC x3 . Dado que las ordenaciones colectivas
son esencialmente distintas, los contadores r 1 y r 3 no son equivalentes. Por tanto,
disponemos propiamente de dos reglas de Borda distintas que generalizan a la clásica
en situaciones en las que los agentes no necesitan ordenar linealmente las
alternativas: por un lado la correspondiente al contador individual r 1 y, por otro, las
definidas por los contadores equivalentes r 2 , r 3 y r 4 .
Obviamente, si los agentes ordenan linealmente las alternativas, los cuatro
contadores individuales resultan equivalentes: basta observar que en tal caso r 3 = r 1 .
4. Consistencia interna de los contadores individuales.
Parece lógico exigir, como petición de principio, que al puntuar cualesquiera dos
alternativas a distinto nivel de preferencia los contadores individuales de Borda
asignen mayor puntuación a aquélla que es mejor que la otra para el agente en
12
cuestión. Sería deseable, por tanto, el cumplimiento de la siguiente propiedad de
monotonía.
Definición 9. El contador de Borda individual rkv , v = 1,K ,4, es monótono si se
verifica
xi Pk x j
⇒ rkv ( xi ) > rkv ( x j ) ,
para cualquier par de alternativas x i , x j ∈ X .
Hemos de observar que Gärdenfors (1973) introdujo una propiedad análoga a la de la
definición anterior en el contexto de las funciones de voto representables
(representable voting functions).
A continuación justificamos que de la monotonía se deriva que las alternativas que
reciben la misma puntuación han de ser necesariamente indiferentes.
Proposición 1. Si el contador rkv es monótono, entonces se verifica
rkv ( xi ) = rkv ( x j ) ⇒ xi Ik x j .
Demostración. Utilizando la implicación contrarrecíproca en la definición de la
monotonía de rkv para las alternativas xi y x j , se tiene rkv ( xi ) ≤ rkv ( x j ) ⇒ x j R k xi
y rkv ( x j ) ≤ rkv ( xi ) ⇒ xi Rk x j ; consecuentemente, rkv ( x j ) = rkv ( xi ) ⇒ xi Ik x j .
Observación 10. De la monotonía de rkv no se sigue la implicación recíproca de la
proposición anterior, esto es, de xi Ik x j no se deriva rkv ( x j ) = rkv ( xi ) . En el caso en
que I k no fuera transitiva (y, como hemos señalado, esto puede suceder aún siéndolo
Pk ), se tendrían tres alternativas xi , x j y xl verificando xi Ik x j , x j I k xl y xi Pk xl .
Entonces, si la implicación fuera cierta, debería ocurrir
rkv ( xi ) = rkv ( x j ) ,
rkv ( x j ) = rkv ( xl ) y rkv ( xi ) > rkv ( xl ) , lo que es absurdo. Por tanto, los contadores
13
individuales rkv pueden asignar distintas puntuaciones a alternativas indiferentes,
incluso cuando éstos son monótonos.
A continuación demostramos que los cuatro contadores introducidos son monótonos
cuando las relaciones de preferencia fuerte de los agentes son transitivas.
Proposición 2. Si la relación de preferencia fuerte P k es transitiva, entonces los
contadores de Borda rkv , v = 1,K ,4, son monótonos.
Demostración: Para el contador rk1 supongamos xi Pk x j . Al ser P k transitiva, si
ocurriera
x j Pk xl , se tendría
xi Pk xl . Por tanto, {x l | x j P k x l } ⊂ {x l | x i P k x l } .
Nótese que la inclusión es estricta, ya que la alternativa x j pertenece al segundo
conjunto, pero no al primero. En consecuencia,
rk1 ( xi ) = card {xl | x i Pk x l} > card {xl | x j Pk x l} = rk1 ( x j ).
Habida cuenta de la equivalencia existente entre los restantes contadores, basta con
probar la monotonía para uno de ellos. Lo haremos, por su mayor sencillez, para rk4 .
Supongamos xi Pk x j . Al ser P k transitiva, si ocurriera x j Pk xl , entonces también se
verificaría xi Pk xl . Por tanto, {xl | x j P k x l} ⊂ {xl | xi Pk xl} . De nuevo la inclusión es
estricta, ya que la alternativa x j pertenece al segundo conjunto, pero no al primero.
Análogamente, si ocurriera xl P k xi , por transitividad también se tendría xl Pk x j . Por
tanto, {x l | x l P k x i } ⊂ {x l | x l P k x j } . Y de nuevo aquí el contenido es estricto, ya que la
alternativa x i pertenece al segundo conjunto, pero no al primero. En consecuencia,
card {x l | xi P k x l } > card {xl | x j P k xl },
card {x l | x l P k x j } > card {x l | x l P k xi }.
Sumando ambas expresiones se obtiene
14
card {x l | x i P k xl } + card {x l | x l P k x j }> card {x l | x j P k x l } + card {x l | x l P k xi }.
Operando, tenemos
card {x l | xi P k xl } − card {x l | x l P k xi } > card {x l | x j P k x l } − card {x l | xl P k x j },
esto es, rk4 ( xi ) > rk4 ( x j ).
Observación 11. Si P k no es transitiva, entonces el contador rkv puede no ser
monótono, como se pone de manifiesto a continuación. Supóngase la relación de
preferencia individual P k sobre X = { x1 , x2 , x3 , x4 } , dada explícitamente por x1 Pk x2 ,
x2 P k x3 , x3 Pk x4 , x2 Pk x4 . Entonces rk1 ( x1 ) = 1 < 2 = rk2 ( x 2 ), a pesar de que x1 Pk x2 .
Como ya hemos comentado anteriormente, en la caracterización de la regla de Borda,
Nitzan – Rubinstein (1981) no contemplan como hipótesis de racionalidad individual
necesaria la transitividad de los agentes, a pesar de las implicaciones que, como
hemos visto, supone esta permisividad.
5. Eficiencia de Condo rcet.
Condorcet (1785) postuló, a partir de presupuestos filosóficos generales más que con
fines pragmáticos, que el ganador en una votación debería vencer por mayoría simple
al resto de oponentes en duelos por parejas. Este es el denominado principio de
Condorcet, que formalizamos a continuación.
Definición 10.
La alternativa xi es ganadora de Condorcet si para cualquier
alternativa x j ≠ xi se verifica
card { k | xi Pk x j } > card { k | x j P k x i } ,
es decir xi derrota por mayoría simple a cada una de sus oponentes.
15
Conviene señalar, como hace Nurmi (1999, p. 22), que en la filosofía del ganador de
Condorcet lo importante es el diseño del método que lo seleccione en el caso de que
exista. Se denomina eficiencia de Condorcet a la probabilidad condicionada de que
un método de votación seleccione la alternativa ganadora de Condorcet, supuesto que
ésta exista. Si esta probabilidad es 1, es decir, si un método dado selecciona la
ganadora de Condorcet cuando exista, se dirá que el método es Condorcet-eficiente.
A pesar de que, como puso de manifiesto Morales (1805), las puntuaciones Borda
derivan de comparaciones por pares (tácitas o explícitas) entre los candidatos o
alternativas por parte de los agentes, el método de Borda no es Condorcet-eficiente.
A continuación se propone el ejemplo con el que Condorcet (1895) puso de
manifiesto que el método de Borda no cumple su criterio.
Ejemplo 2. Considérese una comisión de 30 vo tantes, donde existen dos coaliciones
cuyas preferencias vienen dadas como sigue:
19 votantes 11 votantes
x1
x2
x2
x3
x3
x1
En este caso x1 es ganadora de Condorcet, ya que vence a x2 y a x3 por 19 votos
frente a 11. Sin embargo, las puntuaciones Borda colectivas, según el primer
contador de Borda, son r 1 ( x1 ) = 38 , r 1 ( x2 ) = 41 , r 1 ( x3 ) = 11 . Por tanto, x2 es la
alternativa ganadora según la regla de Borda (no importa qué contador se utilice, ya
que, como se ha mencionado anteriormente, éstos originan la misma ordenación
colectiva cuando las preferencias de los agentes son órdenes lineales).
Está claro que de la definición de alternativa ganadora de Condorcet se sigue su
unicidad, supuesta su existencia. Pero tal alternativa ideal no tiene porqué existir, un
hecho éste que en parte vulnera el sólido razonamiento de Condorcet y del que este
autor fue plenamente consciente, lo cual no fue óbice para que variasen sus
16
posiciones. El ejemplo clásico de inexistencia de ganador de Condorcet, conocido
como terna de Condorcet, es una simplificación del propuesto por dicho autor.
Ejemplo 3. Considérense tres agentes cuyas preferencias sobre las alternativas x1 ,
x2 , x3 vienen dadas por
1 votante
1 votante
1 votante
x1
x2
x3
x2
x3
x1
x3
x1
x2
En este caso ninguna alternativa vence a sus oponentes al ser comparadas por
parejas. De hecho, aunque los agentes son transitivos, en este caso la preferencia
colectiva entre pares de alternativas definida a partir de la mayoría simple no es
siquiera acíclica, pues dos de cada tres agentes prefieren en cada caso x1 a x2 , x2 a
x3 ¡ y x3 a x1 ! Este ejemplo ilustra la denominada paradoja del voto, efecto
Condorcet, o existencia de mayorías cíclicas.
En ningún caso ocurriría esto si se emplease la regla de Borda que, como hemos
visto, origina siempre una relación de preferencia colectiva negativamente transitiva,
por tanto transitiva y acíclica. Ahora bien, aunque la regla de Borda siempre
selecciona alguna alternativa ganadora, aquélla(s) que obtenga(n) la máxima
puntuación, puede haber más de una, incluso todas, tal como ocurriría en la terna de
Condorcet. Así, la ausencia de inconsistencias colectivas en la regla de Borda puede
ir acompañada de falta de decisividad.
A continuación analizaremos algunas relaciones existentes entre los resultados
obtenidos por la regla de Borda, según los contadores individuales utilizados, y las
alternativas ganadoras o perdedoras de Condorcet. Introducimos ahora este último
concepto.
Definición 11.
La alternativa xi es perdedora de Condorcet si para cualquier
alternativa x j ≠ xi se verifica
17
card { k | xi Pk x j } < card { k | x j P k x i } ,
es decir xi es derrotada por cada una de sus oponentes a través de la regla de
mayoría simple.
Smith (1973) y Fishburn – Gehrlein (1976) demostraron que cuando los agentes
ordenan linealmente las alternativas, una alternativa que sea ganadora de Condorcet
nunca resultaría la peor puntuada por la regla de Borda. A continuación demostramos
este mismo resultado para los contadores equivalentes r 2 , r 3 y r 4 , sin necesidad de
exigir hipótesis alguna a las relaciones de preferencia individuales. Sin embargo,
como veremos, este resultado no es cierto si se considera el contador r 1 .
Proposición 3. Una alternativa ganadora de Condorcet, caso de existir, nunca será la
peor puntuada por la regla de Borda si se emplean los contadores r 2 , r 3 y r 4 .
Demostración. Supongamos que la alternativa xi es ganadora de Condorcet, es decir,
para cualquier alternativa x j ≠ xi se verifica
card { k | xi Pk x j } > card { k | x j P k x i } .
Teniendo en cuenta la equivalencia entre los contadores r 2 , r 3 y r 4 , consideremos
la regla de Borda asociada a r 4 y utilizaremos, por tanto, los contadores individuales
rk4 , k = 1, K, m . Para justificar que xi no puede obtener la peor puntuación con r 4 ,
m
basta demostrar que r 4 ( xi ) = ∑ rk4 ( xi ) > 0 , ya que como ha sido comentado en la
k =1
n
Observación 6,
∑r
j =1
4
k
( x j ) = 0 y, en consecuencia, la puntuación total media es
1 n 4
1 n
r
(
x
)
=
j
n∑
n∑
j =1
j =1
m
∑ rk4 (x j ) =
k =1
1 m
n∑
k =1
n
∑r
j =1
4
k
(x j ) = 0 .
El hecho de que r 4 ( xi ) fuera positiva obligaría a que existiera alguna alternativa con
puntuación negativa, luego peor puntuada que xi .
18
Para demostrar esto, tenemos en cuenta que, por ser xi ganadora de Condorcet, se
tiene
n
∑
card { k | xi Pk x j } >
j=1
n
∑
card { k | x j P k x i } ,
j=1
es decir el número total de victorias de xi es mayor que el número total de sus
derrotas, lo que equivale a que se satisfaga
m
∑
k =1
card { x j | xi Pk x j } > ∑ card { x j | x j P k xi } ,
m
k =1
es decir a que se cumpla r 4 ( xi ) > 0 .
De la proposición anterior se deriva el hecho de que ninguna alternativa que alcance
la peor puntuación con la regla de Borda asociada a los contadores r 2 , r 3 y r 4
puede ser ganadora de Condorcet. Esto no ocurre, si se utiliza el contador r 1 , tal
como se justifica a continuación.
Observación 12. La regla de Borda asociada al contador r 1 puede asignar la peor
puntuación a una alternativa ganadora de Condorcet. Supongamos 10 votantes que
disponen tres alternativas de la siguiente forma
2 votantes 3 votantes 3 votantes
x1
x2
x2
x3
x3
x1
x1
2 votantes
x2
x3
x3
x1
x2
Resulta inmediato comprobar que la alternativa x2 es ganadora de Condorcet, ya que
tres votantes prefieren x2 a x1 y x3 , frente a sólo dos que prefieren x1 y x3 a x2 . No
obstante, r 1 ( x 2 ) = 6 < 7 = r 1 ( x1 ) = r 1 ( x 3 ) . En este aspecto, el contador r 1 tiene peor
comportamiento que los otros tres equivalentes, ya que como se ha visto en la
proposición anterior esta situación no puede ocurrir con los contadores r 2 , r 3 y r 4 .
19
Un resultado en cierta forma dual del proporcionado por la Proposición 3 es que toda
alternativa que obtenga la máxima puntuación colectiva con la regla de Borda puede
perder por mayoría simple en confrontaciones por pares con alguna de sus oponentes,
pero no con todas ellas; en otras palabras, que un ganador de Borda no puede ser
perdedor de Condorcet. La demostración de este resultado en el marco clásico 4 puede
verse, por ejemplo, en Gärdenfors (1973). Nosotros la hemos adaptado al caso en que
eventualmente los agentes declaren indiferencia entre alternativas distintas y operen
usando cualquiera de los contadores equivalentes r 2 , r 3 y r 4 .
Proposición 4. Ninguna alternativa perdedora de Condorcet, caso de existir, puede
resultar ganadora por la regla de Borda si se emplean los contadores r 2 , r 3 y r 4 .
Demostración. Considerando razonamientos similares a los utilizados en la
Proposición 3, supongamos que la alternativa xi es perdedora de Condorcet, es decir,
para cualquier alternativa x j ≠ xi se verifica
card { k | xi Pk x j } < card { k | x j P k x i } .
De nuevo consideraremos la regla de Borda asociada a r 4 . Para justificar que xi no
puede
obtener
la
mejor
puntuación
con
r4 ,
bastará
demostrar
que
m
r 4 ( xi ) = ∑ rk4 ( xi ) < 0 , ya que como ha sido justificado en la demostración de la
k =1
Proposición 3, la puntuación total media es 0. El hecho de que r 4 ( xi ) fuera negativa
obligaría a que existiera alguna alternativa con puntuación positiva, luego mejor
puntuada que xi . Para demostrar esto, tenemos en cuenta que, por ser xi perdedora
de Condorcet, se tiene
n
∑
card { k | xi Pk x j } <
j=1
4
n
∑
card { k | x j P k x i } ,
j=1
Nurmi (1999, pp. 11–30) conjetura que esta exclusión del perdedor de Condorcet pudiera estar ya
latente en el diseño original del método de Borda.
20
es decir el número total de victorias de xi es menor que el número total de sus
derrotas, lo que equivale a que se satisfaga
m
∑
k =1
card { x j | xi Pk x j } < ∑ card { x j | x j P k xi } ,
m
k =1
es decir a que se cumpla r 4 ( xi ) < 0 .
De la proposición anterior se deriva el hecho de que ninguna alternativa que alcance
la mejor puntuación con la regla de Borda asociada a los contadores r 2 , r 3 y r 4
puede ser perdedora de Condorcet. Esto no ocurre, si se utiliza el contador r 1 , tal
como se justifica a continuación.
Observación 13. La regla de Borda asociada al contador r 1 puede asignar la mejor
puntuación a una alternativa perdedora de Condorcet. Supongamos 5 votantes que
disponen tres alternativas de la siguiente forma
2 votantes 3 votantes
x1
x2
x2
x3
x3
x1
Resulta inmediato comprobar que la alternativa x1 es perdedora de Condorcet, ya
que tres votantes prefieren x2 y x3 a x1 , frente a sólo dos que prefieren x1 a x2 y x3 .
Sin embargo, r 1 ( x1 ) = 4 > 3 = r 1 ( x 2 ) = r 1 ( x3 ) . De nuevo, el contador r 1 tiene peor
comportamiento que los otros tres equivalentes, ya que como se ha visto en la
proposición anterior esta situación no puede ocurrir con los contadores r 2 , r 3 y r 4 .
6. Conclusiones.
A la vista de la definición de los cuatro contadores Borda individua les que aparecen
en el presente trabajo, cabe señalar que la forma en que los dos primeros generalizan
el contador de Borda clásico es la mas directa e inmediata (de hecho el primero no es
sino una extrapolación literal), siendo más artificiosos en cuanto a su diseño los
contadores de Black (tercero y cuarto). Ahora bien, aunque todos ellos son
21
monótonos en el sentido detallado, el primero es el que peor se comporta desde un
punto de vista condorcetiano del voto, pues el ganador de Borda según el primer
contador puede ser el perdedor de Condorcet y, alternativamente, el ganador de
Condorcet ser el perdedor (menor puntuado) según el método de Borda con dicho
contador. Sin embargo, tales situaciones, en absoluto deseables, son imposibles con
los otros tres contadores. Y es que, de hecho, el primer contador es un mundo aparte
de los otros tres, al poder inducir respecto de una misma situación decisional una
ordenación colectiva distinta a la de éstos, que siempre generan la misma preferencia
social.
En conclusió n, nuestro análisis avala la difusión que en la literatura tienen los
contadores de Black. Sin embargo, apuntamos también la idoneidad de la regla de
Borda usando el segundo contador, al conjugar la simplicidad de su definición con
las buenas propiedades de las reglas de Borda con contadores de Black, a las que es
equivalente en el sentido señalado.
Agradecimientos.
Los autores desean agradecer la ayuda financiera de la
Consejería de Educación y Cultura de la Junta de Castilla y León (Proyecto
VA057/02), así como la del Ministerio de Ciencia y Tecnología, Plan Nacional de
Investigación Científica, Desarrollo e Innovación Tecnológica (I+D+I) (Proyecto
BEC2001-2253) y la de los fondos FEDER.
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