capitulo iii la resistencia de superficie en el movimiento uniforme

Transcripción

Capítulo III
La resistencia de superficie en el movimiento uniforme
III
CAPITULO
LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL
MOVIMIENTO UNIFORME
3.1
Ecuación de Darcy
Consideremos el flujo en un cilindro de longitud
L . Las fuerzas que actúan son la diferencia
de presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.
L
p1
τo
p2
θ
z1
z2
Plano de
referencia
Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería
La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a
la resistencia que ofrece el contorno
( p1 − p2 ) A + γ L sen θ A = τ0 PL
(3-1)
91
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
A es la sección transversal, P el perímetro y τ0 el corte medio sobre el contorno.
Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se
tiene,
(ec. 2-10)
τ0 = γ RS
τ0 =
o
o o
(ec. 2-42)
V = C RS
γ A y se reemplaza el valor obtenido
si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por
para
γ 2
V
C2
τ0 se tiene
p1 − p 2
V2 P
+ Lsenè = 2
L
ã
C A
de donde,
 p1
 p
 V2 P
 + z1  −  2 + z 2  = 2 L
ã
  ã
 C A
luego,
hf = L
Multiplicando y dividiendo por
V2 4
C2 D
2 g el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida
de carga
hf =
Denominaremos
L V 2 8g
D 2g C 2
f , coeficiente de Darcy a la relación entre 8 g y el cuadrado de C
f =
Sustituyendo,
92
8g
C2
hf = f
L V2
D 2g
(3-2)
(3-3)
Capítulo III
que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. En
algunos textos el coeficiente
f de Darcy se designa con la letra λ .
La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarse
utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones
algebraicas.
La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga
de tubería de longitud
h f que se presenta en un tramo
L , diámetro D y velocidad media V .
El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar se
puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación
de Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy.
(ec. 2-10)
τ0 = γ RS
o
o o
(ec. 2-19)
V=
τ0 =
γ SR 2
2µ
2Vµ
R
Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para
τ0 ,
( p1 − p2 ) A + γ L sen θ A = 2Vµ PL
R
dividiendo ambos miembros por
por
γ A y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro
V,
hf = 2
hf = 2
P V µ
L
A γ R
L V2 µ
R ρ g RV
Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones se llega a
hf =
64 L V 2
Re D 2 g
93
Arturo Rocha
o bien,
L V2
D 2g
hf = f
que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar,
f =
64
Re
(3-4)
el número de Reynolds esta referido al diámetro.
3.2
Significado del coeficiente f de Darcy (en tuberías circulares)
f es simplemente una función del número de Reynolds.
En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de f es más complejo.
En lo que respecta al flujo laminar,
En general, es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.
k
f = ϕ  Re, 
D

(3-5)
La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec.
2-44).
La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por
a)
Altura media de las irregularidades de la superficie
b)
Variación de la altura con respecto a la media
c)
Forma de las irregularidades del contorno
d)
Separación entre irregularidades adyacentes
Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que
Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme. Es útil el concepto de rugosidad
equivalente
k . Según este concepto, k es una longitud que mide el grado de rugosidad, y tal
que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales a los diámetros de los mismos,
cuando para valores iguales del número de Reynolds los valores correspondientes de
los mismos para ambos conductos.
94
f son
Capítulo III
Si bien es cierto que en el flujo turbulento,
f es, en el caso más general, función tanto del
número de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función de
sólo uno de ellos.
En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor es
bastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro
de la subcapa laminar y, por lo tanto, no tienen significado para el cálculo de
f .
En una tubería lisa,
f = ϕ(Re )
En cambio, en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de
(3-6)
k son tan grandes con
respecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,
k
f = ϕ 
 D
(3-7)
Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.
3.3
Tuberías hidráulicamente lisas
Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo
que,
f =
0,316
1
(3-8)
Re 4
Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores
que 105, aproximadamente.
Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada,
el valor de
f se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.
Partimos de la ecuación 2-33,
V=
V* 46,4 R
ln
κ
δ
95
luego sustituimos el valor de
Arturo Rocha
δ (ec. 2-28)
δ=
11,6ν
V∗
y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo
V=
Necesitamos ahora una relación entre
V∗ V∗ D
ln
κ
ν
(3-9)
V∗ y f . Para ello combinamos las siguientes
ecuaciones, ya conocidas
V∗ = gRS
V = C RS
Dividiendo,
V∗
g
=
V
C
(3-10)
De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos,
C=
8g
f
(3-11)
V∗
=
V
f
8
(3-12)
De las dos últimas se llega a
Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9,
V f D
1
1
=
ln
f
8κ
8ν
efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones,
1
= 2,03 log(Re
f
96
f ) − 0,92
(3-13)
Capítulo III
y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega
finalmente a
1
= 2 log(Re
f
f ) − 0,8
(3-14)
ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre
f y el número de
Reynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguiente
relación empírica,
f = 0 ,0032 +
0 ,221
Re 0 , 237
(3-15)
en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos
resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107.
Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de
f =
1
(1,81 log Re -1,5 )2
f en el flujo turbulento,
(3-16)
que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones
(con respecto al diámetro).
Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar,
f
depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia
un cuarto de la viscosidad.
Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico.
Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta.
Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente
f de Darcy y el número de
Reynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse)
y la transición entre ambos escurrimientos.
97
f
Arturo Rocha
0,20
f=
64
Re
0,10
0,08
0,06
0,04
Laminar
Turbulento
1
f
0,02
f=
0,316
1
Re 4
2 300
0,01
10
2
10
3
= 2 log (Re f ) − 0,8
10
4
10
Figura 3.2 Coeficiente
5
10
6
10
7
VD
Re = v
f de Darcy en tuberías lisas
3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de
Nikuradse
Como hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse
una subcapa laminar. El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente
de la rugosidad relativa. El valor de
f se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo
siguiente.
Partimos de la ecuación 2-38,
V =
V∗ 13,4R
ln
ê
k
e introducimos la ecuación 3-12,
V∗
=
V
f
8
de donde
1
3,35 D
= 2,03 log
k
f
98
(3-17)
Capítulo III
Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse
1
3,71D
= 2 log
f
k
Se observa, pues, que ahora
(3-18)
f es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente
del número de Reynolds.
Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos que
considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de
f (ó de D k , según el gráfico)
obtiene el de
f
k D se
0,06
0,05
30,
61,2
0,04
120,
0,03
252,
504,
1014,
0,02
0,01
10
4
10
Figura 3.3 Coeficiente
5
10
6
D
k
VD
Re = v
f de Darcy en tuberías rugosas
Como hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías
lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones
analíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición
entre paredes lisas y rugosas.
El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosas
y a la transición entre ambas. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras
3.2 y 3.3.
Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad
artificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14).
99
Arturo Rocha
f
D
k
0,063
30
0,050
61,2
0,040
120
0,032
252
0,025
504
0,020
1 014
0,016
10
3
10
4
10
5
10
6
VD
Re = v
Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse
Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente
a)
En el régimen laminar (Re
≤ 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna
influencia sobre la resistencia.
b)
Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como
hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa
en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número
de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las
tuberías lisas.
c)
Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el
coeficiente
f es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.
Es la transición.
d)
Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente
f es función exclusiva de la
rugosidad relativa.
Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad no
es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona de
transición se encontrarían fuertes diferencias. Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama
de Moody (Capítulo IV).
100
Capítulo III
3.5
Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de
distribución de velocidades
En el Capítulo II establecimos la ecuación 2-57
Vh − V
h
= 5,75 log + 2
V∗
R
Expresión en la que
Vh : velocidad a la distancia h del contorno
V
:
velocidad media
V∗ : velocidad de corte
R : radio hidráulico
La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la
media depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea
hidráulicamente liso o rugoso.
Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57
V∗ = V
f
8
obteniendo así
Vh
=
V
h
f  2,03 log + 0,71 + 1
R


Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales,
se obtiene
Vh
=
V
h
f  2,15 log + 0,783 + 1
R


(3-19)
De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La
velocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a
Vmax
= 1, 43
V
f +1
La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente
h = 2R . Luego,
(3-20)
f de Darcy y de la velocidad
101
Arturo Rocha
media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se miden
los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del eje, se obtiene
experimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puede
hacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del Capítulo I.
A partir de los valores obtenidos para
Vh en función de h es posible calcular f y V por
medio de la ecuación 3-19.
Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaría
con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema,
hallando así f y V . Sin embargo, toda medición implica un error. Es preferible obtener f y
V a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico.
La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera (refiriéndola al radio r de la tubería)
Vh = 2,15V
y
m
h
f log + 1,43 V f + V
r
x
b
que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma
y = mx + b
Siendo,
102
Capítulo III
b = 1,43 V
f +V
m y b se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consigue
los valores de f y V .
Los valores de
3.6
Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook
- White
Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno.
Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí
liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede
comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de
la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría
desarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10.
En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requieren
de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas.
Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor
de la relación de
k δ.
En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), el
fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad
natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas
protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar.
Los valores de
f en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por
medio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en
Tuberías rugosas
Tuberías lisas
(ec. 3-18)
(ec. 3-14)
1
3,71D
= 2 log
f
k
Re f
1
= 2 log
f
2,51
Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White.
103
 k

1
2,51
= −2 log  D +
f
 3,71 Re f

Arturo Rocha





(3-21)
Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del Capítulo II.
3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.
Errores
Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías
y su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades de
dimensionamiento.
Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales.
Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en un
contorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación de
energía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga.
Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdida
de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.
Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, la
misma que depende del grado de turbulencia.
Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga.
Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantes
sobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de
comportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo.
Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento
-la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y
las constantes características del fluido: densidad y viscosidad.
Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las
siguientes
104
Capítulo III
a)
Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos
b)
Explicación clara del fenómeno de disipación de energía
c)
Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno
d)
Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida
e)
Facilidad de uso en los problemas de ingeniería
La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligeras
transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene
V = −2 8 g
 k

2,51ν
RS log 
+

14,8R 4 8g R RS 
expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II,
V = 18 log
6R
k δ
+
2 7

→
RS
V = C RS
y que es mucho más simple. En ambas
V
:
velocidad media de escurrimiento
R
S
k
δ
ν
:
radio hidráulico
:
pendiente de la línea de energía
:
rugosidad absoluta
:
espesor de la subcapa laminar
:
viscosidad cinemática
C : coeficiente de Chezy
Si en la última ecuación sustituimos,
C=
8g
f
se obtiene
V=
8g
f
RS
que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy.
105
Arturo Rocha
Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro
requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible,
rugosidad, viscosidad, etc.)
Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos
factores.
Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación
en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.
Tuberías lisas
La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es
π D2
2,51ν
Q = −2
2 g DS log
4
2 g D DS
de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro
es

dQ 
0,65
= 2,5 −
2,51ν
Q 
log

2 g D DS


 dD

 D


Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es

dQ 
0,217
= 0,5 −
2,51ν
Q 
log

2 g D DS

 dS

 S

Tuberías rugosas
La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es
Q = −2
106
π D2
4
2 g DS log
k
3,71D
Capítulo III
Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,



dQ
0,43  dD
=  2,5 +
3,71D  D
Q 
log

k 
y,
dQ
dS
= 0,5
Q
S
Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, conviene
aplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo, diámetros
comprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.
Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes
(lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios.
Se obtiene finalmente que,
y
dQ
dD
≈ 2,5
Q
D
(1)
dQ
dS
≈ 0,5
Q
S
(2)
Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia de
una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores
medios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes).
Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de
1
k
= −2 log
f
3,71D
de donde,
 −1 
d  f 2 
df
= −2  1 
−
f
f 2
107
Arturo Rocha
y con respecto a la rugosidad relativa,
k 
d 
df
0,43
D
= −2  
k
k
f
log
D
3,71D
A partir de la ecuación de Chezy (expresando
V=
C en función de f )
8g
f
RS
se obtiene
dV
1 df
=−
V
2 f
importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones
del coeficiente
f de Darcy..
Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene
k
d  
dV
0,43
D
=  
k
V
 k 
log 

D
 3,71D 
Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra
que,
k
d 
dV
D
= ( −0,0775 a − 0,174)  
k
V
D
o bien,aproximadamente,
k
d 
dV
1  D
1
≈ − a

V
 6 12  k
D
108
(3)
Capítulo III
Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, la
influencia de la rugosidad es mucho menor.
Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que para
las condiciones dadas
-
Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.
-
Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.
-
Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el
gasto.
Combinado (1) y (2), se obtiene
dS
dD
= −5
S
D
lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un
aumento del 50 % en la pérdida de carga.
3.8
Tuberías de sección no circular
En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad
media, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho
infinito y sección circular.
En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente a las tuberías
circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente
f de Darcy en función del diámetro.
Sin embargo, a veces, se presentan tuberías (conductos a presión) de sección diferente a la
circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.
Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es
constante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte
será mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las
circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.
Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente
f de
Darcy (3-5)
109
Arturo Rocha

f = ϕ  Re,


k 

D 
tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de la sección”
k
f = ϕ  Re, , forma 
D


Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen
una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma.
Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula
de Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la fórmula el concepto de radio hidráulico, tal
como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12).
El radio hidráulico de una sección circular es
D / 4 . De acá que la ecuación de Darcy se
transforma en
hf = f
Para el cálculo de
L V2
4R 2g
f se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares,
considerando
Re =
V 4R
ν
k
k
=
D 4R
Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que las
secciones no se aparten demasiado de la forma circular.
En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de
f en tuberías lisas (ecuación
3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13,
pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a
1
V R
= 2,03 log ∗ + 1,05
ν
f
110
Capítulo III
3.9
Ley exponencial de distribución de velocidades
A partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribución
de velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer.
La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones
-
La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro
de la tubería.
-
La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la
viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.
-
Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad.
Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad
máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma
proporción.
-
La velocidad a la distancia
h del contorno se describe según la siguiente expresión
h
Vh = Vmax  
r
Siendo
x
(3-22)
x la potencia cuyo valor debe determinarse; r es el radio de la tubería.
Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte
τ0 = γ RS
que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da
τ0 =
γ 2
V
C2
f =
0,316
(3-23)
De otro lado, según Blasius (3-8)
Re
Reemplazando la ecuación 3-2,
f =
1
4
8g
, y reemplazando el número de Reynolds de la
C2
ecuación de Blasius
111
Arturo Rocha
1
C =
2
1
8 gV 4 D 4
1
0,316ν 4
Reemplazando este valor en la ecuación 3-23
τ0 =
Luego sustituimos el radio
1
4
ρ ν 0,316 74 − 14
V D
8
r en lugar del diámetro D y se tiene,
1
4
ρν 0,316 74 − 14 − 14
τ0 =
V 2 r
8
Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media
Vmax = KV
Sustituyendo en 3-22
h
Vh = KV  
r
x
De donde,
V=
Vh
h
K 
r
x
Ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para
τ0
y se obtiene
ô0 =
0,316ñ í
7
1
4
7
Vh4 h
−
7
x
4
7
r4
x−
1
4
2
−
1
4
8K4
Para que
τ0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio
sea nulo. Luego,
112
Capítulo III
7
1
x− =0 
→
4
4
x=
1
7
Por lo tanto, la distribución exponencial de velocidades, en una tubería es
1
 h 7
V h = V max  
r
(3-24)
Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción,
las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds
menores que 105).
Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente
x tiende a disminuir. Prandtl
menciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidades
queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces
mayor, el exponente es 1/10.
Experimentalmente se ha establecido que en una tubería
Vmax = 1,235 V
(3-25)
Luego,
1
Vh
 h7
= 1, 235 
V
r
(3-26)
Ejemplo 3.1 Calcular el valor de f en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite con
una viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodos
diferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.
Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds,
Re =
VD 3,95 × 0 ,60
=
= 18 960
í
1,25 × 10 −4
Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8)
f =
0,316
Re
1
4
=
0,316
(18
1
960
)4
= 0,027
113
Arturo Rocha
Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16),
f =
f =
1
(1,81 log Re − 1,5 ) 2
1
(1,81 x 4,277 − 1,5)
2
f = 0 ,026
Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es
L V2
1 200 3 ,95 2
= 0 ,027
= 42 ,99 m
D 2g
0 ,60
2g
hf = f
o bien,
h f = 0 ,026
1 200 3,95 2
= 41 ,39 m
0 ,60
2g
Ejemplo 3.2 Calcular el valor de f y luego el valor de C en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m.
Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificar
la ecuación 3-14.
Solución. Calculamos el número de Reynolds,
Re =
VD 2, 76 × 0, 75
=
= 16 560
ν
1,25 × 10 −4
Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)
f =
0 ,316
Re
1
4
=
0 ,316
(16 560 )
1
4
=
0 ,316
= 0 ,0279 ≈ 0 ,028
11 ,34
A modo de verificación calculamos el valor de C (ecuación 3-11)
C=
8g
= 53 m1/2/s
f
Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Esto
se debe a que el problema es idéntico.
114
Capítulo III
Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.
1
= 2 log (Re f ) − 0,8
f
5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8
5,99
≈ 6,08
Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo
hidráulicamente rugoso se cumple que
ε = 0,884
Siendo ε =
f
Vmax
− 1 . Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable
V
Solución.
Vh =
V∗ 30 h
ln
κ
k
La velocidad máxima corresponde a h = y
Vmax =
V∗
30 y
ln
κ
k
La velocidad media es
V =
V∗ 11 y
ln
κ
k
Luego,
V∗ 30y V∗ 11 y V∗ 30 V∗
ln
− ln
ln
ln e
k
κ
k = κ 11 = κ
ε= κ
V
V
V
Pero,
V∗
2 ,5 V∗
ε= κ =
V
V
V = V∗
8
f
Luego,
å=
2 ,5 V∗
V∗
8
f
=
2 ,5 f
8
= 0 ,884
f
115
Arturo Rocha
Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial k = 0,001 m,
velocidad 4 m/s, ν = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga.
Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds
Re =
VD 4 × 0, 20
5
=
= 8 × 10
−6
ν
10
Luego la rugosidad relativa
k
0,001
=
= 0 ,005
D
0 ,20
Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene
f = 0,030.
Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular f utilizando
la fórmula 3-18,
1
f
D

= 2 log 3,71

k 

0 ,20 

= 2 log 3,71

0 ,001 
f

1
f = 0 ,0303
valor bastante próximo al calculado con el abaco.
La pérdida de carga es
hf = f
L V2
1 000 16
= 0 ,030
= 122 ,45 m
D 2g
0 ,20 2 g
Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores
que 105 se cumple que
δ
A
=
7
r
Re 8
El número de Reynolds está referido al radio r de la tubería. Hallar el valor de A . En la deducción debe
utilizarse la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).
116
Capítulo III
Solución. Sabemos que
f =
0,316
Re
f
V
8
V∗ =
y
1
4
Combinando estas dos ecuaciones,
V∗ =
0,316 V
1
8 Re 8
Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de δ
1
δ=
11, 6 ν 8 Re 8
0 ,316 V
1
δ=
1
8 V 8D8 ν
1
0 ,316 ν 8 V
11 ,6
Multiplicando y dividiendo por r y reemplazando D = 2r .
1
1
1
V 828 r8 r ν
δ = 58 ,37
1
rV
ν8
7
δ = 58 ,37 r 2
ν8
1
8
7
7
V 8 r8
7
δ = 63 ,65 r Re 8
Luego,
δ 63 ,65
=
7
r
Re 8
El valor de A es 63,65.
Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores
que 105 se cumple que
δ
A
=
7
r
Re 8
El número de Reynolds está referido al radio r de la tubería. Hallar el valor de A . La deducción debe
hacerse sin utilizar la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).
117
Arturo Rocha
Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es
ô0 =
0,316
8x 2
ñí
1
4
1
7
4
V4 r
o bien,
τ 0 = 0 ,033ñV 2 Re
−
−
1
4
1
4
El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.
Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual
a τ0 ,
ô0 = ì
Vä
ä
Igualando,
1
−
Vr
r Vä
Re 4 =
í
ä V
0,033
3
0,033Re
4
=
r Vä
ä V
Pero, según la ecuación 3-26,
1
 ä 7
Vä = 1,235 V  
r
Reemplazando,
1
3
4
 ä 7 r
0,033 Re V = 1,235 V  
r ä
3
4
ä 
0,033 Re = 1,235  
r
Elevando a la potencia 7/6,
7
 0,033  6
r

 Re 8 =
1,235
ä


118
7
−
6
7
Capítulo III
De donde,
δ 68 ,45
=
7
r
Re 8
Luego, A = 68,45
Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido al
diámetro, es menor que 105, se cumple que
1
V
V r 7
= 6 ,99  ∗ 
V∗
 ν 
Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius
f =
0,316
1
Re 4
Sabemos también que
f =8
V∗2
V2
Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.
Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por
τ0 =
1
2
ρf V
8
Solución. Partimos de la ecuación de Darcy
hf = f
L V2
D 2g
Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene,
S=
1
1 2
f
V
8
Rg
Combinando con
τ0 = γ R S
Se obtiene finalmente
τ0 =
1
2
ρ fV
8
119
Arturo Rocha
Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en los flujos en tuberías geométricamente
similares es
∆p =
ρ LV 2  ρVD 
ϕ

D

µ 



Para una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s la pérdida de
carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m.
Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro
en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares.
Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas iguales. Considerar
Peso específico del aire
:
1,25 kg/m3
Peso específico del agua
:
1 000 kg/m3
Viscosidad del aire
:
1,8x10-4 poises
Viscosidad del agua
:
1,2x10-2 poises
Solución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds
es el mismo para ambas
 ρ1V1 D1   ρ2V2 D 2 

 = 

 µ1   µ2 
Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema, a ambas tuberías y al obtener la relación entre
las pérdidas de carga se llega a
∆ p1 ρ1 L1 V1 2 D 2
=
∆p 2 ρ2 L2 V22 D1
De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos
V2 = V1
ñ1 D1 ì 2
1 000 4 1,8 × 10 - 4
= 0 ,50
ñ2 D2 ì 1
1,25 10 1,2 × 10 −2
V2 = 2 ,4 m/s
calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga
2
∆ p1 1 000 40  0 ,50  10
=


= 23 ,148
∆p 2
1,25 150  2 ,4  4
120
Capítulo III
Luego,
∆ p2 =
0 ,25
= 0 ,0108 m
23 ,148
la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.
3.10
Concepto de capa límite
En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección
transversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradiente
transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o sea
cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad,
y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidades
disminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente
desarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un
aumento en el grado de turbulencia.Esto es muy importante en los modelos hidráulicos.
En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi
uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa próxima a las paredes.
Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidades es intenso. A esta
capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muy compleja, pero
conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmente en el aspecto
físico del problema.
Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contorno
alguno (Figura 3.5).
Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre el
fluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno
deben ser iguales. Luego, en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones del
cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá
un gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidad
aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia δ del contorno la velocidad
que tendría en ausencia del cuerpo (Figura 3.6).
121
Arturo Rocha
Figura 3.5 Flujo paralelo
Consideremos que el cuerpo está constituido por una placa lisa y delgada con borde de
ataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo la
escala vertical aparece considerablemente ampliada.
Esta zona de espesor variable
δ que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas
abajo se denomina capa límite.
La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más
significativos a la Mecánica de Fluidos.
La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una
interior y otra exterior a la capa límite.
δ
Figura 3.6 Generación de una capa límite
122
Capítulo III
Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente
de velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con
energía constante y, por la tanto, son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo
potencial.
La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como
si correspondiera a un fluido ideal, salvo en una capa, próxima al contorno, que es la capa
límite.
El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para un
número de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidente
que el espesor de la capa límite sería nulo (ver Figura 1.13).
3.11
Espesor de la capa límite
De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad
sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.
Por lo tanto, las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.
Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.
La definición más generalizada considera como espesor de la capa límite la distancia a la
cual la velocidad es el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.
δ
(a)
δ
(b)
Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite
123
Arturo Rocha
Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a), en
la cual se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asíntota de
modo que las áreas achuradas sean iguales.
En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asíntota con una
tangente a la curva de origen.
0,99 V
V- Vh
δ
Vh
dh
δ*
Figura 3.8 Espesor de la capa límite
Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de
desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia
de la disminución de velocidad en la capa límite. Debido al gradiente de velocidades dentro de
la capa límite hay una disminución en el flujo cuyo valor sería
∫
h =∞
h= 0
(V − Vh ) dh
El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la
capa límite por el espesor de desplazamiento
V δ∗ = ∫
h =∞
h= 0
δ* .
(V − Vh ) dh
o bien,
δ∗ = ∫
124
h= ∞
h =0
1 − Vh  dh


 V 
(3-27)
Capítulo III
3.12
Desarrollo de la capa límite
En la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. En
cualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite es
laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve
turbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Esta
subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28).
La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para
valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106, siendo
Re =
Se denomina
Vx
ν
x a la distancia variable medida desde el borde de ataque y a lo largo de la
placa en la dirección del escurrimiento.
Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al
número de Reynolds de una tubería o un canal.
El espesor de la capa límite laminar
δL viene dado por,,
1
δL =
5x
1
Re 2
El espesor de la capa límite turbulenta
 ν 2
= 5  x 2
V 
1
δT viene dado por,,
1
δT =
(3-28)
0,38 x
1
Re
5
 ν 5
= 0,38  x 5
V 
4
(3-29)
Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece
con el exponente 4/5 de
x , mientras que el de la capa límite laminar crece con el exponente
1/2. Es decir, que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar.
Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el
cambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones.
125
Arturo Rocha
3.13 La separación. Expansión de un conducto
Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán las
fases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de
x la capa límite turbulenta se
habrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y su valor será igual al radio. Si las
paredes son suficientemente lisas se desarrolla una subcapa laminar de espesor
δ.
V
ecuación 3-29
ecuación 3-28
subcapa
laminar
δL
δT
δ
x
laminar
transición
turbulento
Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta
Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener
energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del
escurrimiento, lo que implica
∂p
<0
∂x
Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la
dirección del escurrimiento,
∂p
>0
∂x
Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el
primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.
El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se
126
Capítulo III
ilustra en el siguiente dibujo esquemático.
∂p
<0
∂x
∂p
>0
∂x
Capa límite
Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones
La condición
∂p
> 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se
∂x
presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se
tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy
lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego,
por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una
contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.
S
Contracorriente
Figura 3.11 Fenómeno de la separación
127
Arturo Rocha
Cuando el flujo se aleja de la pared se produce el fenómeno llamado separación. Queda una
porción en la que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede
haber movimiento en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).
Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra
haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta
detenerse y, si la diferencia de presión es muy fuerte, las partículas avanzan en dirección
contraria a la del escurrimiento.
Capa límite
Capa límite
Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión
Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes
(Figuras 3.12 y 3.13). Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una
expansión).
Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.
Contracorriente
Corriente principal
Contracorriente
Figura 3.13 Aparición de contracorrientes
128
Capítulo III
Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujo
es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción
laminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.
Solución. La transición se produce para
Vx
5
= 5 × 10
ν
Luego,
x=
5 × 10 5 × 10 −6
= 0, 2 m
2, 5
La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm.
Luego para x = 5 cm la capa límite es laminar..
δL =
5x
1
Re 2
Re =
5 × 5 × 10 −2
Vx
= 12 ,5 × 10 4
ν
a)
δL =
b)
A la distancia de 1 m el flujo es turbulento
12 ,5 × 10 2
= 7, 07 × 10 −4 m
δT =
0 ,38
1
Re 5
El número de Reynolds es
Re =
Vx
= 2,5 × 10 6
ν
y,
δT =
0,38
= 2 cm
19
129
Arturo Rocha
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo III)
1.
2.
Discutir como varía en una tubería la relación entre la velocidad máxima y la media
a)
Para números de Reynolds crecientes.
b)
Para rugosidad relativa creciente (en tuberías de rugosidad artificial).
Explique teóricamente por qué no hay exactamente el mismo valor para A en los ejemplos
3.5 y 3.6.
3.
Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de f viene dado por la ecuación de
Blasius, y hacemos los reemplazos correspondientes, demostrar que el exponente de la
velocidad sería 1,75.
4.
Demostrar que
3
α = 1 + 2,93 f − 1,55 f 2
β = 1 + 0,98 f
5.
Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento y
se encontró que la velocidad a la distancia D / 4 del contorno es igual a 0,89 Vmax
Calcular el valor del coeficiente f de Darcy y la rugosidad relativa.
6.
Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería,
aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.
7.
aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.
8.
aplicando la ecuación de Darcy. Calcular el valor de f a partir del coeficiente C de Chezy
y a partir de la ecuación de Blasius. Comparar resultados.
9.
A partir del valor de C obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el
valor de f y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida
de carga.
10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera el
flujo es laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000
130
Capítulo III
(referido al diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas
es de 1,67.
11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia τ0 por unidad de
área del contorno depende de la viscosidad µ , de la densidad ρ , de la velocidad V del
fluido, del diámetro D y de la rugosidad absoluta k de la tubería, demostrar que
 ρVD k 
τ0
= ϕ 
, 
2
ρV
 µ D
12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,
 ρVD 
F
= ϕ 

2
ρV
 µ 
expresión en la que F es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno, ρ es la
densidad, V es la velocidad media, D el diámetro y µ la viscosidad dinámica.
Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye
agua. La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular
a)
Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista
similitud,
b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si
en el modelo para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2.
Peso específico del agua
:
1 000 kg/m 3
Peso específico del aire
:
1,25 kg/m 3
Considerar que la viscosidad dinámica del agua es 60 veces la viscosidad dinámica del aire.
13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente f de Darcy y el número de Reynolds Re ,
referido al diámetro, es
f = 0,0032 +
0, 221
Re 0 , 237
para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valor
de f y el correspondiente número de Reynolds, para los que esta fórmula da los mismos
resultados que la ecuación de Blasius.
14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que
131
Arturo Rocha
Vk 14
<
ν
f
15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook
y White
 k

2,51ν
V = −2 8 g RS log 
+

14,8 R 4 8 g R RS 
tiene la forma de la ecuación de Chezy,
V = 18 log
6R
k δ
+
2 7
RS
Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no
son exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?
16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por
1
Vh
 h 7
= 1, 235  
V
r
Calcular a qué distancia del contorno la velocidad ( Vh ) es igual a la velocidad media.
17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdida
de presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está
2 m por encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidad
de las paredes es uniforme. Calcular
a)
El coeficiente f de Darcy
b)
La calidad de las paredes (lisa o rugosa)
c) El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamente
d)
La velocidad máxima
18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al
diámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente f de Darcy..
19. Comparar los ejemplos 2.5 y 3.1 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única
132
Capítulo III
diferencia en la longitud).
20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5.
21. En una tubería el valor de α es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la
media.
22. Calcular los valores de α y β para la tubería del problema 5 propuesto en este capítulo.
23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de
1,25x10-4 m 2/s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m de
recorrido se pierde una energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál sería
el porcentaje de disminución en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior y
no interior, como se supuso en los cálculos.
El espesor de la tubería es de 2 cm.
24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.
25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Se
mantiene un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de
agua por cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m 2/s.
Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valores
iniciales y finales de la velocidad media y del coeficiente f de Darcy..
Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tenga el
nuevo valor de la rugosidad.
133

capitulo iii la resistencia de superficie en el movimiento uniforme

Transcripción

Documentos relacionados

− 5 + 25 = 0 Como todos los términos tienen x podemos sacar factor

Descargar archivo en PDF

EMISARIOS SUBMARINOS