Análisis Matemático

Transcripción

Análisis Matemático

2016
PROGRAMA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
E. P. E. T. N° 20 - 2016
UNIDAD N° 1: FUNCIONES REALES
Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica,
trigonométricas, por partes) a partir de su gráfico: dominio, imagen, intersección
con los ejes cartesianos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
máximos, mínimos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.
UNIDAD Nº 2: FUNCIÓN EXPONENCIAL .FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Función exponencial. Gráfico. Corrimientos. Logaritmo: definición. Propiedades.
Función logarítmica. Gráfico. Corrimientos. Ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
UNIDAD Nº 3: LÍMITES
Límite de una función escalar. Propiedades de los límites. Límites infinitos.
Indeterminaciones del tipo 0/0. Indeterminaciones del tipo ∞⁄∞ . Continuidad
de una función en un punto. Discontinuidades. Asíntotas.
UNIDAD Nº 4: DERIVADAS
Concepto de derivada. Derivación de funciones elementales. Derivación de
funciones compuestas. Recta tangente y recta normal. Extremos relativos.
Concavidad. Optimización. Análisis y gráficos de funciones.
UNIDAD Nº 5: INTEGRALES
Integral indefinida. Propiedades de las primitivas. Integral indefinida de una
función. Integrales inmediatas: Tabla de primitivas. Reglas de integración.
Métodos de integración: por descomposición, por cambio de variables
(sustitución).Cálculo de la integral definida. Concepto y propiedades. Regla de
Barrow. Cálculo de áreas. Área encerrada entre dos curvas. Ejercicios de
aplicación.
BIBLIOGRAFÍA
#Matemática 2 Activa. Polimodal. Editorial Puerto de Palos
# Matemática/Polimodal: Funciones 1 y 2. Editorial Longseller
# Elementos de cálculo diferencial e integral (Tomo I y II). Rabuffetti, Hebe. Ed.
El Ateneo
# Matemática 5. De Simone-Turner. Ed. Az (Serie de Plata)
Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez
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Unidad n°1: Funciones Reales
Contenidos de la unidad:
Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica, trigonométricas,
por partes) a partir de su gráfico: dominio, imagen, intersección con los ejes cartesianos,
intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos, mínimos, intervalos de concavidad,
intervalos de positividad y negatividad; puntos de inflexión.
Introducción:
“Las funciones desempeñan en la actualidad un papel importante en las aplicaciones de la
matemática a otras ciencias.
El término “función” (del latín functio, acto por realizar) lo utilizó por primera vez Gottfried
Leibniz en 1694, referido a curvas. Un siglo más tarde, Leonbard Euler veía una función como
una expresión formada por constantes y variables. Fue él quien puso de moda el símbolo f(x),
introducido por Alexis Clairaut en 1734. La definición hoy aceptada la incorporó Gustav
DIrichlet a mediados del siglo XIX.
El concepto matemático de función formaliza la idea de asignación, tan frecuente en nuestra
experiencia cotidiana: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a cada
número su cuadrado, a cada mes su producción…Todas ellas atribuyen un número a elementos
de muy distintas categorías.
La faceta fundamental de la investigación científica consiste en poner en relación diversos
tipos de fenómenos que pueden ser plasmados en una fórmula y hacer predicciones con ellas.
Es así como el físico sabe lo que sucederá al lanzar una piedra, o el médico lo que ocurrirá si
hace descender el nivel de glucosa en la sangre de un paciente.”(1)
Para poder comprender más acerca del concepto de función y sus elementos, vamos a resolver
algunos problemas.
Problema 1
Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia
de una radio en una ciudad. El porcentaje se
refiere a toda la población del lugar de 14 años o
más.
a. ¿A qué hora hubo más audiencia?
b. ¿Cuál es el período de menor audiencia?
¿por qué?
c. Identifica las variables que se relacionan
Problema 2
Los teléfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y números, por lo que a muchas
empresas que contratan el servicio de 0800 les asignan números fáciles de memorizar para sus
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clientes. Así, por ejemplo una escuela podría tener el 08003728352, que se corresponde con el
0800ESCUELA.
a. ¿Qué números habría que marcar para comunicarse con el 0800HELADOS?
b. ¿A qué palabra corresponderá el 08001843367?
c. Identifica las variables que se relacionan
En cada problema se relacionaron dos variables, por ejemplo: porcentaje de audiencia y hora
del día. En este caso decimos que la hora del día es la variable independiente y el porcentaje
de audiencia la variable dependiente (¿por qué reciben estos nombres?)
DEFINICIÓN 1:
Una relación entre dos variables es una FUNCIÓN si a cada valor de la
variable independiente le corresponde un único valor de la
variable dependiente.
En funciones dadas por fórmulas se suele utilizar la siguiente notación:
f(x)=y
x e y son variables (¿por qué?).
x es la variable independiente e y la variable dependiente
Observación: los nombres de las variables (x e y) o el nombre de la función (f) pueden variar
Actividad: dadas las siguientes relaciones dadas por fórmula decidir cuáles de ellas
corresponden a funciones y cuáles no. Justifica tú respuesta
a. 𝑓(𝑥) = 𝜋x 2
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥
1
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 +3
DEFINICION 2: El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los
valores que puede tomar la variable independiente.
Se denota Dom f o Df
DEFINICION 3: La IMAGEN de una función f es el conjunto de todos los
valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If
Ambos son imagen de x
f(x)=y
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Como se vio en la actividad anterior las relaciones de los incisos a y b nos son funciones; sin
embargo podemos restringir el domino de cada una de ellas eliminando valores para que
verifiquen las condiciones necesarias para ser función. Por ejemplo:
1
Para que la relación 𝑓(𝑥) = 𝑥 sea función, basta con eliminar el valor x=0 del dominio; ya que
la división por cero no existe. Luego el dominio sería:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {0}
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑅 ˄ 𝑥 ≠ 0}
O lo que es lo mismo
También puede escribirse en forma de intervalo:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
Restricciones al Dominio:
Las restricciones más comunes son:
-
Los denominadores: deben ser distintos de cero
Las raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual a cero
Los logaritmos: el argumento debe ser mayor que cero
La tangente: la tangente de 90° y 270°, entre otras, no existe
Actividad:
Determinar el dominio de las siguientes relaciones para que sea función
a. 𝑎. 𝑓(𝑥) =
b.
f(x)=3.x+1
c. f(x)=
d.
𝑥+1
5𝑥+6
2𝑥
𝑥+2
f(x)= √𝑥 + 1
e. f(x)= √𝑥 2 + 5
f. f(x)= x. √𝑥
g. f(x)=
1
√𝑥
1
h. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +4
DEFINICIÓN 4:
Los CEROS O RAÍCES de una función son aquellos valores del dominio cuya
imagen es cero.
Para hallar los ceros de una función debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.
Los valores de la VI que verifican la ecuación son los ceros o raíces de la función.
Ejemplo:
Hallar las raíces de la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅|𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4
Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale cero, por lo tanto simbólicamente
escribimos
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𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 = 0
Si resuelven la ecuación pueden verificar que x=2 y x=-2 son las raíces de la ecuación
Ampliación del análisis de una función de dominio real
Hasta ahora hemos visto que cuando se nos pide que analicemos una función definimos el
dominio; la imagen; raíces y ordenada al origen, pero analizar una función implica observar
otros aspectos además de los mencionados. En esta sección definiremos y
ejemplificaremos otros aspectos que deberán ser tenidos en cuenta al analizar una
función.
DEFINICION 5: Intervalos de crecimiento
Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a
mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la
variable dependiente.
Simbólicamente escribimos:
∀𝑥 ∈ 𝐼, ∀𝑎 ∈ 𝐼: 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎)
DEFINICION 6: Intervalos de decrecimiento
Un intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual
a mayores valores de la variable independiente le corresponde menores valores de la
variable dependiente. En símbolos:
∀𝑥 ∈ 𝐼, ∀𝑎 ∈ 𝐼: 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑎)
Para comprender estos conceptos resolveremos el siguiente problema:
La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se enciende la
calefacción (8 h) hasta 14 horas más tarde.
a) Calcula el aumento de temperatura
por hora entre las 8 h y las 10 h. ¿Es el
mismo entre las 10 h y las 12 h?
b) ¿Cuál es el dominio de esta
función?
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c) Di en qué intervalo es decreciente la función.
DEFINICION 7: Máximos y mínimos absoluto
La función f alcanza un MÁXIMO ABSOLUTO en el valor a del dominio si para todo x
perteneciente al mismo, x≠a, la imagen de x es menor que la imagen de a. Simbólicamente
escribimos:
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑥 ≠ 𝑎: 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑎)
La función f alcanza un MINIMO ABSOLUTO en el valor a del dominio si para todo x
perteneciente al mismo, x≠ 𝑎 la imagen de x es mayor que la imagen de 𝑎. Simbólicamente
escribimos:
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑥 ≠ 𝑎: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎)
-------------------------------------
--------------------------------------------
DEFINICION 8: Máximos y mínimos relativos
La función f alcanza un MÁXIMO RELATIVO en 𝑎 si existe un intervalo que contiene a 𝑎
tal que para todo x perteneciente a dicho intervalo, x≠a, la imagen de x es menor que la
imagen de a.
Simbólicamente escribimos:
∃𝐼 ⊂ 𝐷𝑜𝑚𝑓|𝑎 ∈ 𝐼𝑦 ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑥 ≠ 𝑎: 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑎)
La función f alcanza un MINIMO RELATIVO en 𝑎 si existe un intervalo que contiene a 𝑎 tal
que para todo x perteneciente a dicho intervalo, x≠a, la imagen de x es mayor que la
imagen de a. Simbólicamente escribimos:
∃𝐼 ⊂ 𝐷𝑜𝑚𝑓|𝑎 ∈ 𝐼𝑦 ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑥 ≠ 𝑎: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎)
En el problema anterior se puede observar que en x=14 la temperatura alcanza su valor
máximo y es el único que puede observarse; luego x=14 determina un máximo absoluto.
Sin embargo los valores x=8 y x=22 determinan y=10°C e y=17°C respectivamente, cada uno
de ellos es un mínimo relativo. Como x=8 determina el menor valor de y en toda la imagen de
la función se dice que x=8 determina un mínimo absoluto.
Actividad: determina los máximos y mínimos relativos y absolutos del Problema 1 (página 1)
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Conjuntos de positividad y negatividad
DEFINICION 9: El CONJUNTO DE POSITIVIDAD (C+) de una función es el subconjunto del
dominio cuyas imágenes son números positivos
En símbolos: 𝐶 + = {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑓(𝑥) > 0}
DEFINICION 10: El CONJUNTO DE NEGATIVIDAD (C-) de una función es el subconjunto del
dominio cuyas imágenes son números negativos
En símbolos: 𝐶 + = {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑓(𝑥) < 0}
Actividad: Determina los intervalos de positividad y negatividad en el siguiente gráfico
Corrimientos:
Actividad: Responde a las siguientes situaciones problemáticas
1.
Una aerolínea registró la altura a la que vuela un avión que parte de un aeropuerto
ubicado a nivel del mar, durante un viaje. Lo representaron de la siguiente manera:
a. Si el avión parte de un aeropuerto que está a 1000m de altura respecto del nivel del
mar y realiza un viaje en las mismas condiciones que el anterior, ¿cómo será el gráfico
de la función que vincula su altura respecto del nivel del mar con el tiempo de viaje?
b. ¿cómo será el gráfico de otro avión desde el nivel del mar y realiza un viaje en las
mismas condiciones pero que parte20 minutos más tarde?
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2.
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Un corredor está recorriendo una pista circular. El siguiente gráfico representa la
distancia hasta la largada en función del tiempo.
a.
¿Cómo será el gráfico de otro corredor que está recorriendo la misma pista
pero lo hace en la mitad del tiempo?
b.
Compara ambos gráficos
Conclusiones de los problemas anteriores:
- El gráfico de f(x-a) es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia la derecha sobre el eje x
-
El gráfico de f(x)+a es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia arriba sobre el eje y
-
El gráfico de f(ax) es el gráfico de f(x) “afinado ” o “ensanchado” a veces según sea a
mayor o menor que 1
f(x-a); f(x)+a y f(x)+a se llaman corrimientos de f(x)
Actividad: Indica todos los corrimientos posibles para f(x)
Observación: El objetivo de esta unidad es que puedas graficar a partir de los corrimientos de
una determinada función para luego realizar un análisis completo de ella.
Funciones polinómicas y racionales
Funciones polinómicas
Se denomina función polinómica a las funciones cuya fórmula es un polinomio de
grado n. Su fórmula general es la siguiente:
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎
𝒂𝒊 ∈ 𝑹, 𝟎 < 𝑖 < 𝑛 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁
Toda función polinómica tiene como dominio al conjunto de los números reales (¿Por qué?).
La imagen varía de acuerdo a la función de que se trate
En este apartado estudiaremos solo aquellas funciones polinómicas de la forma
𝒙
𝒇(𝒙) =
𝒏
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En años anteriores has estudiado funciones polinómicas con este formato, fueron los casos en
donde n=0; 1y 2
 Si n=o
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟎 ⇒ 𝒇(𝒙) = 𝒂, es la denominada función constante
 Si n=1
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟏 ⇒ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙. Función Lineal
 Si n=2
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 ⇒ Función Cuadrática
Actividad:
Hallar el vértice de las siguientes funciones, indicar cuáles son las traslaciones respecto
de la función y=x2.
¿Cuál es el eje de simetría en cada caso?
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Grafica cada una de ellas
a. y=2(x-3)2+5
b. y= -2 (x+2)2-5
c. y=2(x+2)2-5
d. y=2(x-2)2
Otras funciones polinómicas:
Función cúbica:
 Si n=3
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 ⇒ Función Cúbica
Fórmula general a analizar: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)3 + 𝑘
Actividad:
1. Asígnale valores a los diferentes parámetros y grafica utilizando GRAPHMATICA.
Arma una tabla de valores que indique las características que deben tener los parámetros para
obtener los diferentes corrimientos.
Ejemplos:
1
Izquierda: se analiza la función 𝑓(𝑥) = − 2 (𝑥 + 3)3 − 2
Derecha: se analiza la función 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 3)3 + 2
2.
Grafica, en tú carpeta, las siguientes funciones y realiza un análisis completo de ellas
a. f(x)=-5x3
d. i(x)=-3x3
3
b. g(x)=x +3
e. k(x)=2(x-1)3+3
c. h(x)=(x-1)3
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Graficar aproximadamente y dar la fórmula de las siguientes funciones cúbicas, a
partir de f(x)=x3
a.
Se desplaza 3 unidades hacia arriba y ½ unidad hacia la izquierda
b.
Se desplaza 5/2 hacia abajo
4. Observa qué sucede cuando aumentamos el valor de n en 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 . Grafica en
3.
GRAPHMATICA
Funciones racionales:
𝑃(𝑥)
Son funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥) , donde P(x) y Q(x) son polinomios, x es la variable
independiente y Q(x) debe ser distinto de cero (¿por qué?).
En esta sección nos interesa analizar la familia de las funciones de la forma:
a.
𝑓(𝑥) =
1
b.
𝑥
Función hipérbola: 𝐟(𝐱) =
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
𝟏
𝐱
Completa la siguiente tabla:
Responde:
a- ¿Qué sucede cuando x toma valores positivos cada vez más
grandes?
b- ¿y cuándo x toma valores cercanos a cero?
c- Analiza el comportamiento de f para valores negativos
(“grandes” y cercanos a cero)
d- ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?
e- Realiza
un
análisis
X
1
10
100
1000
1/10
1/100
1/1000
f(x)=1/x
completo
Asíntotas:
Definición 11: ASINTOTA horizontal
Una recta horizontal (y=k) es una asíntota horizontal de una función f(x) si a medida que los
valores de x crecen o decrecen indefinidamente, f(x) se acerca a k
En símbolos:
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑘
𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝑘
Definición 12: ASINTOTA VERTICAL
Página 11
Análisis Matemático 2015
Una recta vertical x=h se llama asíntota vertical de la función f(x) si k∉ Dom f y a medida que x
toma valores cada vez más cercanos a h, f(x) crece o decrece indefinidamente
En símbolos:
𝑙𝑖𝑚𝑥→ℎ 𝑓(𝑥) = +∞
𝑜
𝑙𝑖𝑚𝑥→ℎ 𝑓(𝑥) = −∞
Actividad: ¿cuáles son las asíntotas de la función f(x)=1/x?
Ampliaremos el estudio de este concepto en la unidad N°3; en esta unidad nos abocaremos
solo a la determinación de asíntotas verticales y horizontales a partir de los parámetros
1
1
(corrimientos) que afecten a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 y 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Fórmula general:
𝑓(𝑥) =
𝑎
+𝑐
𝑥−𝑏
 𝑎 modifica la curvatura de la función, cuanto mayor sea 𝑎, menor será curvatura. Si 𝑎
es menor que cero la gráfica cambia de cuadrantes
 𝑏 determina el desplazamiento a derecha o izquierda según el signo de 𝑏.
𝑠𝑖 𝑏 > 0 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
Si 𝑏 < 0 la gráfica se desplaza hacia la izquierda
 C determina los desplazamientos hacia arriba o abajo
Observación: visita la siguiente página
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
Para comprender el comportamiento y una de las tantas aplicaciones de esta función vamos a
resolver un pequeño problema
Un club dispone de $50000 mensuales para el sueldo de sus deportistas
a. Si el club tiene 100 deportistas y cobran todos lo mismo, ¿cuánto cobra cada uno?
Arma una tabla de valores
b. Encuentra una fórmula que permita calcular lo que cobra cada uno en función de la
cantidad de deportistas.
c. ¿Cuáles son las variables que intervienen en esta relación?
d. ¿qué pasa si la cantidad de deportistas aumenta?
Si de lo que cobra cada deportista debe pagar $20 en impuestos, ¿cuál es el número de
deportistas que debe tener el club para que cada uno cobre por lo menos $300?
Actividad: grafica y analiza las siguientes funciones
Prof.: María Angélica Netto, Olga Vazquez
Página 12
1.
𝑓(𝑥) =
2.
𝑓(𝑥) =
3.
𝑓(𝑥) =
2
𝑥
−1
𝑥
1
𝑥+2
4.
𝑓(𝑥) =
5.
𝑓(𝑥) =
Función 𝐟(𝐱) =
2
𝑥−3
1
𝑥−1
+ 5/2
𝟏
𝐱𝟐
Es una función PAR (se llama así cuando el “eje y” actúa como espejo de la gráfica de la
función).
Presenta como asíntotas a x=0 e y=0 (explica por qué sucede esto)
Dom f= R-{0}
Im f= {x|x ϵ (0;+∞)}= {x|x>0}
Fórmula general:
𝑓(𝑥) =
𝑎
+𝑘
(𝑥 − ℎ)2
Actividad: A partir de la fórmula general indica todos los corrimientos posibles de f.
Indica por lo menos un ejemplo de cada uno y grafica
Función Módulo o Valor Absoluto
Definición “geométrica”: se puede definir el valor absoluto de un número como su distancia al
cero
x , si x≥0
|x|=
Definición “algebraica”:
-x, si x≤0
Observación: Para comprender mejor este concepto visita la siguiente página:
Página 13
http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Valor%20Absoluto.htm
La función módulo o valor absoluto es de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎|𝑥 − ℎ| + 𝑘
Gráfica de f(x)=|x|:
Actividad: arma una tabla de valores para corroborar la gráfica
Ejemplo:
𝑓(𝑥) = 2|𝑥 − 1| − 4
Dom f= R
Im f= {x|x ϵ [-4;+∞)}= {x|x≥-4}
Vértice: al igual que en la función
cuadrática se encuentra en (h;k).
Vértice: (1;-4)
Para calcular las raíces de una función V.A. se procede de la siguiente manera:
1° igualo la función a cero y comienzo a resolver la ecuación
0 = 2|𝑥 − 1| − 4
4 = 2|𝑥 − 1|, "paso" sumando 4 y luego divido por 2
4: 2 = |𝑥 − 1|, la expresión queda de la siguiente manera:
2 = |𝑥 − 1|, se lee así: “la distancia de un número a 1 es 2”
Para resolver esta última ecuación se aplica la siguiente propiedad:
Propiedad: Sea k  R tal que k > 0,  a  k  a  k ó a  k
Página 14
Luego,
(x-1)=2
o
(x-1)=-2
Luego x=3 o x=-1 y por lo tanto las raíces de la función se ubican en los puntos (3;0) y (-1;0),
como se puede apreciar en la gráfica
Actividad:
Completa el análisis de la función trabajada en el ejemplo
2. Grafica y analiza 5 corrimientos posibles de la función valor absoluto
1.
Ejercitación:
Realiza el análisis completo y grafica:
a)
b)
c)
d)
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 4
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3
ℎ(𝑥) = −2|𝑥 + 1| + 3
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 +2 + 3
e) 𝑔(𝑥) =
−1
+
𝑥 −1
2
2
f) ℎ(𝑥) = −𝑥 − 6𝑥 − 5
g) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1
h) 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 1)3 − 3
Funciones definidas por partes
En matemáticas, una función definida por partes (también conocida como función a trozos), es
una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor
de la variable independiente.
La función valor absoluto es un ejemplo de este tipo de funciones
Ejemplos:
−𝑥 2 + 4; si x≤-2
k(x)=
2𝑥 2 − 𝑥; si -2<x≤1
√𝑥; 𝑠𝑖 𝑥 > 1
Página 15
Actividad:
Grafica las siguientes funciones definidas por partes
1.
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥 2 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
2.
𝑓(𝑥) =
3
; 𝑠𝑖
𝑥+1
𝑥<2
−𝑥 + 3; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
3.
𝑓(𝑥) = 2; 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑥 + 1; 𝑠𝑖 𝑥 > −1
4.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3; 𝑠𝑖 𝑥 < −3
−2𝑥; 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 < 0
0; si x≥ 0
Página 16
UNIDAD N° 2: FUNCIÓN EXPONENCIAL – FUNCIÓN LOGARíTMICA
LOGARÍTMOS
La logaritmación es una operación inversa de la potenciación que permite calcular el
exponente al cual se debe elevar un número (base) para obtener cierto resultado (potencia).
log 𝑏 𝑥 = n ⟺ 𝑏 𝑛 = x
Con b>0 y b≠1 (¿Por qué?)
Ejemplo: log 2 8 = 3
pues 23 = 8
CASOS PARTICULARES:
log 𝑏 𝑏 = 1
log 𝑏 1 = 0
PROPIEDADES:
1. Logaritmo de un producto: el logaritmo del producto de dos números es igual a la
suma de los logaritmos de los números.
log 𝑏 (𝑚 ∙ 𝑛) = log 𝑏 𝑚 + log 𝑏 𝑚
2. Logaritmo de un cociente: el logaritmo del cociente entre dos números es igual a la
diferencia de los logaritmos de dichos números.
log 𝑏 (𝑚 ÷ 𝑛) = log 𝑏 𝑚 − log 𝑏 𝑛
3. Logaritmo de una potencia: el logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base.
log 𝑏 𝑥 𝑛 = n ∙ log 𝑏 𝑥
4. Logaritmo de una raíz: el logaritmo de la raíz de un número es igual al logaritmo del
número dividido el índice de la raíz.
𝑛
log 𝑏 √𝑥 = log 𝑏 𝑥 ÷ 𝑛
1
=
∙ log 𝑏 𝑥
𝑛
Página 17
Cambio de base: conociendo el logaritmo de un número en una base determinada podemos
obtener el logaritmo de dicho número en otra base.
log 𝑐 𝑥 =
log 𝑏 𝑥
log 𝑏 𝑐
Ejercitación:
1. Completar aplicando la definición de logaritmo:
a) log 3 81 = ⋯
d) log 6 36 = ⋯
b) log 5 125 = ⋯
e) log 9 1 = ⋯
1
f) log 1 4 = ⋯
c) log 4 ( ) = ⋯
16
2
2. Calcular aplicando las propiedades del logaritmo:
3
a) log 2 (32 ∙ 16) =
d) log 4 √16 =
b) log 3 (243 ÷ 27) =
e) log 6 (36 ∙ 216)4 =
4
3
c) log 5 25 =
f) log 2 (16 ÷ √32 ) =
3. Utilizando la calculadora, hallar:
a) log 5 =
c) log 3249 =
b) log 32 =
d) log 0,25 =
e) log 7 50 =
f) log 2 123 =
4. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando logaritmos y sus propiedades:
a) log 3 (𝑥 + 2) = 2
d) 3𝑥 +1 = 6𝑥
b) log 2 (𝑥 + 5) + log 2 10 = 3
e) 8𝑥 ∙ 2(𝑥 +2) = 42
c) log 𝑥 243 = 3
f) log 7 (𝑥 + 4) − log 7 3 = 2
5. Resolver los siguientes problemas:
a) El número de bacterias de un cultivo viene dado por la fórmula:
𝑁(𝑡) = 4,9 ∙ 1,186𝑡 (t en horas, N(t) en miles). Calcular el tiempo que tarda el
cultivo en duplicarse.
b) Al nivel del mar, la presión atmosférica es de 700mm Hg. Esta presión varía en
función de la altura, de acuerdo con la siguiente fórmula:
750
)
𝑃
H=18400.log (
(donde h es la altura en metros y P es la presión en mm de
mercurio).
Determina la altura sobre el nivel del mar en la cual la presión es de 250mm Hg.
c) ¿Cuánto tiempo debe permanecer colocado a interés compuesto un capital de
$15000, para transformarse en $60000, si el banco ofrece un 5,5% mensual?
La fórmula de monto a interés compuesto es: 𝐶𝑛 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛
d) El crecimiento de dos cultivos de levadura viene dado, respectivamente, por:
𝐶1 = 3,2 ∙ 1,193𝑡
y
𝐶2 = 5,4 ∙ 1,65𝑡 (t en horas y 𝐶(𝑡) en mg)
Página 18
¿Al cabo de cuánto tiempo habrá igual masa de ambas?
FUNCIÓN EXPONENCIAL
1) Consideren la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥
¿Cuál es el dominio de 𝑓(𝑥)?
Completen la tabla de valores y grafiquen la función
y
𝑥 𝑦 = 2𝑥
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
Observen el gráfico que hicieron y contesten las preguntas:
a) ¿Cuál es el conjunto Imagen de f?
b) ¿f es creciente o decreciente?
c) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál?
d) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál?
e) ¿Qué ocurre con la gráfica de f cuando x toma valores positivos “muy
grandes”?
f) ¿Y cuándo x toma valores negativos cada vez menores?
2) Grafiquen en un mismo sistema cartesiano las siguientes funciones definidas en ℝ:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
𝑔(𝑥) = −1. 2𝑥
ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 1
¿Cuál es el conjunto Imagen de cada función?
¿Cuáles son las diferencias entre los gráficos de las tres funciones y por qué creen que
se presentan esas diferencias?
3) Teniendo en cuenta las conclusiones anteriores, grafiquen sin realizar tabla:
𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1
ℎ(𝑥) = −3𝑥
Página 19
4) Resuelvan los siguientes problemas
a) Una computadora comprada en el año 2000 costó $1200. A medida que pasó el tiempo,
y como producto de los avances en diseños, programas, velocidades de máquinas, etc., la
computadora se desvalorizó. En el 2001 costará un 25% menos que en el 2000 y así
sucesivamente, perderá su valor de venta.
a. ¿Cuánto costará la máquina al cabo de 5 años, o sea en el 2005?
b. ¿En qué momento su costo será de $0?
c. ¿cuál es la fórmula que representa esta relación?
b) Un nutrido grupo de científicos, de los más diversos lugares de la tierra, se halla
estudiando el comportamiento de cierta sustancia radiactiva.
Saben que la cantidad de sustancia radiactiva presente después de t años se
puede averiguar mediante la fórmula: 𝑚 = 𝑚0 𝑒 −𝑘𝑡 , donde m0 representa la cantidad inicial
de sustancia y k es una constante
Saben además que la sustancia en estudio se reduce a la cuarta parte en 2000 años.
a. ¿cuál es el valor de la constante k?
b. ¿qué cantidad inicial de sustancia radiactiva da por resultado 1000 gramos al cabo de
10000 años?
5) Sabiendo que la fórmula de una función exponencial es f(x)=k.𝑎 𝑥 , ¿qué valores deben
tomar k y a de manera tal que f (0)=-2 y f (4)=-182?
1 n
6) Realiza una tabla de valores para la siguiente relación e(n)=(1 + n) para valores de n
grandes. Extrae conclusiones
a) ¿Qué tipo de número es el número “e”? ¿Quién y cuándo lo descubre? ¿en qué suele
utilizarse?
b) ¿Las gráficas de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 y sus corrimientos difiere de las enunciadas en el inciso 2?
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Recordamos la definición de logaritmo:
log 𝑏 𝑥 = n → 𝑏 𝑛 = 𝑥
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Consideremos las funciones: 𝑓(𝑥) = log 2 𝑥 y g(x) = log 1 𝑥
2
1
que asignan a cada número real positivo su logaritmo en base 2 y 2 ,respectivamente.
a) Completen las tablas y construyan las gráficas correspondientes :
Página 20
x y
1
4
1
2
0
1
2
4
8
log 2 𝑥
y
log 1 𝑥
2
x y
4
2
1
1
2
1
4
1
8
b) Completen:
Dom f(x)=
Dom g(x)=
x
Imag f(x)=
Imag g(x)=
Ceros f(x)=
Ceros g(x)=
c) Observen la gráfica y respondan:
 ¿cortan al eje de ordenadas? ¿por qué?
 ¿qué se observa, en ambas gráficas, cuando los valores de x se aproximan a
cero?
 ¿cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada función?
 ¿cuál es la relación gráfica que se observa entre ambas curvas?
d) Teniendo en cuenta las conclusiones anteriores, construyan la gráfica de:
𝑓(𝑥) = log 3 𝑥
𝑔(𝑥) = log 2(𝑥 − 2)
ℎ(𝑥) = log 1 𝑥
3
Página 21

Análisis Matemático

Transcripción

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