6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES

6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES

6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
E J E R C I C I O S
PA R A
E N T R E N A R S E
Fracciones algebraicas equivalentes
6.29 Determina el valor numérico de estas fracciones algebraicas para x 1 e y 2.
2xy
a) —
—
x2 y2
3x 2y
b) ——
xy
4x 2y
c) ——
5x y
2 1 (2)
4
a) 5
12 (2)2
3 1 2 (2)
b) 1
1 (2)
8
4 12(2)
c) 3
5 1 (2)
x 3 7x 6
6.30 Halla los valores de x para los cuales el valor numérico de la fracción algebraica ——
es index2 x 6
terminado.
Las raíces del denominador 3 y 2. Vemos qué ocurre con estos valores cuando los sustituimos en el numerador.
33 7 3 6
0
. Indeterminado
Si x 3, 0
32 3 6
(2)3 7 (2) 6
0
Si x 2, . Indeterminado
2
0
(2) (2) 6
6.31 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
x1
—
a) —
x2 1
x2 x 2
—
c) —
x 2 2x 3
x 2 4x 4
—
b) —
x2 4
x2 x 2
d) ——
x 5 x 4 2x 3
x1
x1
1
a) 2
x
1
(x
1
)(x
1)
x 1
x2 x 2
(x 1)(x 2)
x2
c) x3
x 2 2x 3
(x 1)(x 3)
(x 2)2
x 2 4x 4
x2
b) 2
x2
(x 2)(x 2)
x 4
x2 x 2
x2 x 2
1
d) 3 3
3 2
5
4
x (x x 2)
x x 2x
x
6.32 Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas.
x1
——
x2
x1
——
x2
3x
—
—
2
x 2x 8
(x 1)(x 2)(x 4)
x 3 x 2 10x 8
x1
x2
(x 2)(x 2)(x 4)
x 3 4x 2 4x 16
(x 1)(x 2)(x 4)
x 3 7x 2 14x 8
x1
x2
(x 2)(x 2)(x 4)
x 3 4x 2 4x 16
3x(x 2)
3x 2 6x
3x
3x
(x 2 2x 8)(x 2)
x 3 4x 2 4x 16
(x 4)(x 2)
x 2 2x 8
6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
6.33 Indica qué pares de fracciones algebraicas son equivalentes.
x 3 x 2 2x 2
x1
a) —— y ———
x 3 x 2 2x 2
x1
x2 x
x
—
b) —— y —
2x 1
2x 2 3x 1
(x 3)2
x 2 3x 9
———
—
c) —
y
(x 3) (x 3)
x2 9
a) Sí son equivalentes, tanto el numerador como el denominador de la segunda coinciden con el de la primera multiplicados
por (x 2 2).
2
2
22 2
6
2.
b) No son equivalentes. Si x 2, y 2
221
3
3
22 321
c) No son equivalentes. El denominador de la segunda es la factorización del denominador de la primera, y en los numeradores no se establece la relación de igualdad porque el numerador del segundo no coincide con el desarrollo del numerador
de la primera fracción.
Operaciones con fracciones algebraicas
6.34 Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
a2
a2
b) —— ——
a2
a2
x
1
a) —— ——
x1
x1
x(x 1) (x 1)
1
x
x2 x x 1
x 2 2x 1
a) 2
2
x1
x1
x 1
x 1
x2 1
(a 2)2 (a 2)2
a2 4a 4 a2 4a 4
a2
a2
2a2 8
b) 2
2
a2
a2
a 4
a 4
a2 4
6.35 Opera y simplifica, reduciendo previamente a común denominador.
x
2x 1
1
—
a) —— —— —
2
x2
x2
x 4
1
2
x5
— —— — —
b) —
2
2x 2
x1
3x 3
x
1
3x 1
c) — —— ——
x1
x2
x3
x(x 2) (2x 1)(x 2) 1
x
2x 1
1
3x 2 x 3
a) 2
2
x2
x2
x 4
x 4
x2 4
1
2
x5
1
2
x 5 2 2 3(x 1) 6(x 5)(x 1) 3x 2 9x 11
b) 2
2
6(x 2 1)
3(x 2 1)
3x 3 2x 2 x 1 3(x 1) 2(x 1) x 1
x(x 2)(x 3) (x 1)(x 3) (3x 1)(x 2)
1
x
3x 1
4x 3 9x 1
c) x2
x3
x1
(x 1)(x 2)(x 3)
x 3 2x 2 5x 6
6.36 Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas, calculando previamente las áreas de las figuras
geométricas que aparecen en los numeradores y en los denominadores.
2
1
1
3
2
—————— + ——————— – ————————
x
x
x
x+2
x+3
12
2
3(x 2)(x 3) x(x 3) 4x(x 2)
10x 18
31
22
2
2
4
x
(x
2)(x
3)
x(x
2)
x
x(x 3)
x 5x 3 6x 2
6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
6.37 Realiza estas operaciones y simplifica el resultado.
x1
4x 3x 3
——
—
a) —
2
x 2x
x2 x
x2 4
x2
b) —
— ——
2
x3
x 9
(x 1)(4x 3x 3)
(x 1)x(4 3x 2)
x1
4x 3x 3
4 3x 2
a) 2
2
2
2
x 2x
(x 2x)(x x)
x(x 2)x(x 1)
x(x 2)
x x
(x 2)(x 3)
1
x2
x2 4
b) 2
2
2
3
x
(x 3)(x 2)
(x 9)(x 4)
x 9
6.38 Opera y simplifica.
1
1
1
1
1
1
a) —— —— —— ——2 —— ——
x
2x
3x
x
2x
x
b)
x —1x— x —1x— (x 1)
c)
x1
x1
x 1
— —— ——
—
x
(x 1)
(x 1)
a)
22
2x
x
1x 21x 31x x1 1x 21x 61x 6 3x
2x 6x(2 x)
b)
x 1
x 1
(x 1)x
x 1
(x 1) (x 1) x 1x x 1x (x 1) x x x1
(x 1)x
2
2
2
2
2
2
2
c)
2
2
2
2
(x 1)(x 2 1)
(x 1)2(x 1)2
(x 1)2
x1
x1
x1
x1
x2 1
x2 1
2 2 2 2 2
x
x
(x 1)
(x 1)
(x 1) x
(x 1)
(x 1)(x 1)x
(x 1)x (x 1)
Expresiones radicales equivalentes
6.39 Halla el valor numérico de estas expresiones radicales para los valores x 2 e y 1.
a)
a)
2xy
—
—
x2 y2
221
22 12
4
5
b)
x 3y 2 5
c)
2x 3y
1
b)
23 12 5 13
c)
2 2 31
1 6
6.40 Calcula las posibles raíces de estas expresiones radicales.
a)
144 x 4
c)
64x 6
b)
81x 4
d)
32x 25
a)
144x 4 12x 2
c)
64x 6 4x 2
b)
81x 4 9x 2
d)
32x 25 2x 5
3
5
3
5
6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
6.41 Indica qué pares de expresiones radicales son equivalentes.
a)
4x 2
y 8x 3
3
8x 6
3
b)
y
512x 18
9
c)
9x 4
y
81x 12
4
a) No lo son, para x 1, 4 12 2 (cuando no se indica el signo, se considera signo positivo), y 8 13 2.
3
33
(8x 6) b) Sí, ya que c) No, ya que
2
9x 4 512x 18
9
22
(9x ) 81x 81x
4
4 2
4
8
12
6.42 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.
a)
x 2y 8
a)
2 8
4 16
3 12
x
y xy 4 x
y x
y
4
4
8
6
6.43 Reduce estos radicales a índice común:
x 2 x4
3
x 3 x9
6
x2
3
b)
ab
b)
ab
a3b3 a5b5 a7b7
x3
3
3
9
15
21
x5
6
x5
6
6
6.44 Simplifica los siguientes radicales.
a)
a 8b 4
c)
x 12y 18
b)
(x y )
d)
(x y )
a)
a8b4 a2b
c)
4 6
x 12y 18 x
y
b)
x y ) xy
(
d)
x y ) xy
(
16
12
2
2 3
16
12
4
2 2 3
15
20
4 5
2
15
20
5
2 4 5
2
6.45 Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula la diagonal del campo de fútbol.
x
y
Si x 100 metros e y 80 metros, ¿cuál sería la longitud de dicha diagonal?
d
x 2 y2 Si x 100 metros e y 80 metros; d 1002 802 10164
2041
metros
Operaciones con expresiones radicales
6.46 Realiza estas operaciones con radicales.
a)
x y
6
c)
b)
x 5y
xy
d) xy
a)
x y x
y x yy
c)
b)
5
x
y xy
x 5y xy x4 x2
d) xy
12
12 6
4
x 2y x 4y 2
3
3
4
12 6
3
4 2
x 2y x
y x 6y 3 x 2y
3
3
4
3
4 4
x
y x 2y 2
6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
6.47 Extrae factores de los siguientes radicales.
a)
64x 8
a)
64x 8 26x 8 2x 24
b)
x 4yz 5 xz
xyz 2
c)
4
x 4yz 5
3
b)
4
4
3
c)
16a 6
b3
4
3
24 a6
4a3
b
b3
16a6
b3
1
4a3
b
bb
6.48 Efectúa estas operaciones con expresiones radicales.
a)
x 2 x3
3
b)
x2
x4
a) 6 x3
x9
3
6
x 2y 3 xy
5
c)
6
x4
9 x
1
1
5 6 x
x5
6
2 2
2 7
x 2y 3 xy
x 10y 15 x
y x 12y 17 xyx
y
c)
x 3 x 2 x 9 x 4 x 13 x 2x
10
3
10
6
10
6
6
10
6
xy 2
x 4y 8
d) 4
12 9 15
3 5
xy
y
x
3
3
b)
5
x 3 x2
12
1
1
57 12 5 7
xy
y
x
12
6.49 Opera las siguientes expresiones radicales.
a)
12x
b)
a
ab 3
3
75x
3
c) 5
xy 2 27x
ab 6
3
16x 3y4
48x
ab 9
3
9xy 6
a)
3
12x 75x 27x 48x
22 3x 52 3x 3
x 24 3x 83x
b)
a ab
3 ab6 ab9 (1 b b2 b3)a
3
3
c) 5
xy 2 3
3
3
3 4
16x
y 9xy 6 (5y 4xy 2 3y 3)x
6.50 Realiza estas operaciones.
x3
x b) 6
x4
3
a)
xy 3 xy
x 5y
a)
4
3
25 21
xy
3 xy
x 5y (
xy 3) (xy
)6(x 5y) x
y x 2y
xy 9
3
4
3
4
12
x3
x5 x9
x b) 6 3
x2
x4
3
5
15
12
15
x 14
10 x
x4
15
12
5
d)
xy 2
3
x 3y 5
4