ETS Minas: Métodos matemáticos Guía de estudio: Tema 1

ETS Minas: Métodos matemáticos Guía de estudio: Tema 1

ETS Minas: Métodos matemáticos
Guía de estudio: Tema 1 Preliminares
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Septiembre 2008, versión 1.2
1
Introducción
En este tema preliminar, repasaremos algunos conceptos matemáticos que
necesitaremos en temas posteriores y que suelen presentar dificultades para
la mayoría de los estudiantes. En concreto, repasaremos la definición y
propiedades de
• Desigualdades: propiedades, resolución, cálculo de acotaciones.
• Funciones monótonas: definiciones, propiedades, aplicación en la manipulación de desigualdades.
• Valor absoluto: definición y propiedades, cálculo de cotas superiores.
• Cálculo de extremos sobre intervalos cerrados.
• Números complejos: operaciones y diferentes formas de representación.
También aprenderemos los elementos fundamentales en el uso del programa
de cálculo matemático Maple. Como primera aplicación, usaremos Maple
para estimar gráficamente el valor de cotas superiores del tipo
x∈[a,b]
2
Objetivos
2.1
¯
¯
¯
¯
M = max ¯f (n) (x)¯ .
Teóricos
Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de
• Definir las desigualdades y aplicar sus principales propiedades.
• Definir valor absoluto y aplicar sus propiedades.
• Definir las funciones monótonas y aplicar sus propiedades.
• Enunciar el teorema de Weierstrass.
1
Francisco Palacios
Tema 1: Preliminares. 2
• Expresar un número complejo en forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial.
• Definir las operaciones con números complejos en las distintas formas
y aplicar sus principales propiedades.
2.2
Cálculo manual
Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de
• Resolver desigualdades de primer y segundo grado.
• Determinar la monotonía de funciones sencillas usando la derivada.
• Aplicar logaritmos y otras funciones monótonas en la resolución de
inecuaciones.
• Aplicar las propiedades de las desigualdades y del valor absoluto en el
cálculo de cotas superiores.
• Determinar los extremos
sobre un intervalo cerrado de fun¯ absolutos
¯
¯
¯
ciones del tipo h(x) = ¯f (n) (x)¯, donde f (n) es la derivada n-èsima de
una función sencilla.
• Calcular el módulo y argumento de un número complejo.
• Realizar operaciones aritméticas simples con números complejos en
forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial.
2.3
Cálculo con ordenador
Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de realizar con Maple las
siguientes tareas
• Asignar y borrar variables.
• Crear grupos de ejecución que realicen tareas complejas.
• Evaluar expresiones en forma exacta con subs y eval.
• Evaluar expresiones en forma decimal con evalf.
• Usar correctamente π y el número e.
• Usar las funciones usuales: polinómicas, trigonométricas, exponenciales, etc.
• Variar el número de dígitos con Digits.
• Manipular expresiones con expand y factor.
Francisco Palacios
Tema 1: Preliminares. 3
• Definir funciones de usuario: distinguir claramente entre expresiones
y funciones.
• Definir una función a partir de una expresión mediante unapply.
• Diferenciar entre variable globales y locales.
• Usar restart para borrar todas las asignaciones.
• Calcular derivadas de expresiones con diff.
• Calcular funciones derivadas con el operador D.
• Calcular primitivas y integrales definidas con int.
• Calcular límites con limit.
• Representar gráficamente expresiones con plot, determinando el intervalo adecuado.
• Representar gráficamente funciones con plot, distinguir entre la representación de funciones y de expresiones.
• Representar conjuntamente varias funciones y/o expresiones, asignar
colores a los gráficos con color.
• Estimar gráficamente la solución de ecuaciones del tipo f (x) = 0.
• Estimar gráficamente la solución de ecuaciones del tipo f (x) = g(x).
• Resolver ecuaciones en forma exacta con solve.
• Resolver ecuaciones en forma aproximada con fsolve.
• Estimar gráficamente la solución de inecuaciones del tipo f (x) ≤ 0.
• Resolver inecuaciones en forma exacta con solve, interpretar correctamente el resultado.
• Operar complejos en forma binómica.
• Calcular el módulo y el argumento de un complejo con abs y argument.
• Convertir un complejo a forma polar con convert.
• Convertir un complejo a forma binómica con evalb.
• Descomponer una función racional en fracciones simples con convert.
• Estimar gráficamente un valor aproximado para
¯
¯
¯
¯
M = max ¯f (n) (x)¯
x∈[a,b]
donde la función f , el intervalo [a, b] y el valor n son conocidos.
Francisco Palacios
3
Tema 1: Preliminares. 4
Orientaciones para el estudio
• Además de esta guía de estudio, el material de la asignatura incluye:
— Resumen.
— Enunciados de problemas.
— Resolución de los problemas.
— Resolución de los problemas con Maple.
— Prácticas.
• Mi recomendación es que leas la Guía de estudio y des una ojeada
rápida al Resumen de clase y los Enunciados de problemas antes de
asistir a clase.
— Durante la primera revisión, encontrarás algunas cosas que entiendes y otras (seguramente muchas) que te sonarán a chino ( o
algo peor), marca con lápiz los partes que no comprendes.
— En una segunda lectura después de la clase, podrás comprobar
que las cosas han mejorado notablemente.
— En una tercera revisión, después de realizar todas las actividades
y ejercicios del tema, debieras entender con claridad el Resumen
de clase y verificar que has alcanzado prácticamente todos los
objetivos que se especifican en la Guía de estudio.
— Marca en rojo las partes que no comprendes y los objetivos no
alcanzados y consulta con el profesor.
• Resuelve con papel y lápiz los ejercicios 1,2,3,4,6,7,9,11,13,15,16. Aprovecha estos ejercicios para repasar la derivación de funciones, las derivadas que tendrás que calcular manualmente a lo largo del curso son
de ese grado de dificultad.
• Si no sabes como empezar un ejercicio o te quedas encallado, da una
ojeada a las soluciones y procura continuar sin mirar.
• Después de asistir a la clase práctica, imprime la practica y
vuelve a hacerla tú solo.
• En este primer tema, el material nuevo corresponde el manejo del programa Maple. Es muy importante que te asegures de dominar
bien los elementos básicos de Maple desde un principio, esto te
simplificará mucho la asignatura y aumentará tu rendimiento.
• Resuelve con Maple los ejercicios 1,2,3,4,11.
Francisco Palacios
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Tema 1: Preliminares. 5
Temporalización
Aproximadamente, el tiempo necesario para cubrir el tema es el siguiente:
Actividad
Explicación teórica, ejemplos
Ejemplos, problemas
Prácticas ordenador
Leer guia estudio, resumen
Problemas a mano
Hacer práctica
Poblemas con Maple
Cuestionario
Tipo
Clase teoría
Clase prácticas
Clase prácticas
Trabajo personal
Trabajo personal
Trabajo personal
Trabajo personal
Trabajo personal
Duración
2h
1h
3h
1,5h
2,0h
0,5h
0,5h
0,5
6h
5h
• El tiempo indicado para las actividades de trabajo personal es orientativo, y puede variar considerablemente de un estudiante a otro dependiendo de las características personales, del nivel matemático previo o
de la experiencia y destreza en el manejo de herramientas informáticas; no obstante, si necesitas mucho más tiempo del indicado, sería
recomendable que hablaras con el profesor.
5
Asistencia a clase
Debido a las características de esta asignatura, es muy recomendable que
procures asistir a todas las clases. La asistencia regular a clase te proporcionará una mejor comprensión de la materia y te puede ahorrar
mucho trabajo. Si por motivos laborales cualquier o otra circunstancia
no te es posible asistir a alguna clase, puedes estudiar la materia por tu
cuenta, pero asegúrate que dedicas un tiempo adicional de estudio personal que sea como mínimo equivalente al tiempo de clase
perdido.
6
Actividades complementarias
Si dispones de tiempo, puedes realizar alguna de las siguientes actividades.
• Descarga el libro de Métodos numéricos de Albina-Gilibets-Puente y
da una ojeada al apéndice A sobre Maple.
• Busca dos o tres problemas de otra asignatura que contengan cálculos
o gráficos y resuélvelos con Maple.
• Resuelve alguno de los problemas restantes de la lista de problemas.
Cuestionario Tema 1: Preliminares
Alumno: _____________________________________
1. Asistencia a clase. Indica si has asistido a todas las clases de teoría y
prácticas correspondientes al tema, en caso de no asistencia indica si
has dedicado un tiempo equivalente de estudio personal. Finalmente,
indica (si procede) el número de horas de clase perdidas que no hayas
recuperado mediante estudio personal.
Asistencia
Si
No
Recuperado
Si No En parte
Horas perdidas
Clases de teoria
Clases de práctica
2. Tiempo de estudio personal
Tiempo
Lectura de guía de estudio y resumen
Hacer problemas a mano
Hacer práctica
Hacer problemas con Maple
3. Puntúa la utilidad de los documentos de estudio entre 1 (= es una pérdida de tiempo) y 5 (=muy útiles). Si no has descargado el documento,
deja la casilla en blanco.
Puntuación
Guía de estudio
Resumen
Problemas
Problemas resueltos
Problemas resueltos con Maple
Práctica
4. Revisa la lista de objetivos y escribe dos o tres tópicos que te gustaría
que se volvieran a explicar en clase.
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
5. Revisa la lista de objetivos y da una estimación intuitiva entre 1 y 5
de tu grado de cumplimiento de esos objetivos. ____________
6. Sugerencias: