Enseñanzade las Matemáticas con Tecnología

Transcripción

Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
PROPUESTA HIDALGO
3
er
grado
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado
e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la
Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa,
del cual surge la Propuesta Nacional.
Autores de EMAT-Hidalgo
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
[email protected]
[email protected]
Este material ha sido implementado en las escuelas secundarias del Estado de Hidalgo, en sus tres modalidades: Generales, Técnicas y Telesecundarias con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector,
pero sobre todo por los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.
Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo
Enseñanza de las Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
Propuesta Hidalgo
3er. grado
Revisión: Ramón Guerrero Leyva
Formación y diseño: Ana Garza
© EMAT Hidalgo 2008
© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011
Campanario 26
San Pedro Mártir, Tlalpan
México, D.F. 14650
e-mail [email protected]
www.angeleseditores.com
Primera edición: agosto de 2011
Segunda edición: agosto de 2012
ISBN 978-607-9151-11-9
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial
Reg. Núm. 2608
Impreso en México
Alfaro Vera Gonzalo
Ángeles Ruíz Alfonso
Arroyo Rendón Martha Patricia
Arteaga Romero Damián
Azuara Sánchez Arturo
Badillo Ordoñez Filiberto
Bautista Montaño Maximino
Bibiano Santiago Edgar
Calva Badillo Jacobo
Castañeda Ahumada Héctor Hugo
Colín Pretel Alfonso
Cruz Bustos Marina
de la Cruz Reyes Rodrigo
Delgado Granados Nicasio
Díaz Badillo Ma. del Carmen
Espinoza Soto Juan Carlos
Flores Barrera Joel
Franco Moedano Aniceto Alejo
García Callejas Maricela Ma. del Carmen
García Mayorga Víctor
González Funes Cecilia Iliana
Hernández Ángeles Juan
Hernández Hernández Honorio
Hernández Hernández José Luis
Hernández Hidalgo Magdiel
Hernández Reyes Ernesto
Herrera Tapia Andrey
Islas Arciniega Silvia
Juárez Rojas Iván Ramsés
López Castellanos Verónica
López Lugo Silvia
López Miranda Rigoberto
Lozano Mendoza Rubén
Maqueda Lora Oscar Daniel
Mayorga Hernández Raúl =
Mendoza Paredes Maximino
Mendoza Ruíz Francisco
Meza Arellanos Ma. del Refugio
Mora Martín Teresa
Moreno Alcántara Alfonso
Moreno Martínez Ericka Sofía
Mota Aguilar Gloria
Naranjo Calderón Josué Arturo
Noble Monterrubio Guillermo
Nolasco Orta Edgar Arturo
Paredes Larios Hugo Alberto
Pedraza Sánchez Jaen Maximiliano
Pérez Pacheco Set Isaí
Pérez Salas Jesús Enrique
Recéndiz Medina Juan Carlos
Robles Feregrino María Teresa
Rodríguez Escudero María Teresa
Trejo Reyes Jesús
Ugarte Morán Sergio
Vargas Rivera Rafael
Vázquez Hernández Juan Andrés
Veloz Vega María Esther
Contenido
Introducción.............................................................................................. 5
Cómo está organizado este libro .............................................................. 7
Programación del Tercer Grado, EMAT-Hidalgo . ...................................... 9
Septiembre
Programas equivalentes ......................................................................... 13
“Deshacer” operaciones . ....................................................................... 14
Criterios de congruencia de triángulos . ................................................. 15
Figuras directa o inversamente congruentes . ........................................ 17
Octubre
La circunferencia: radios, cuerdas y tangentes . ..................................... 19
Ángulos en la circunferencia . ................................................................. 25
¿Grados Fahrenheit o Celsius? ............................................................... 27
¿No podría ir más rápido? ...................................................................... 29
Noviembre
Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado ......... 30
Resolviendo ecuaciones de segundo grado . .......................................... 31
Idea de triángulos semejantes ............................................................... 33
Polígonos regulares ................................................................................ 35
Diciembre y Enero
Simulación con el modelo de urna (I) ..................................................... 39
Simulación con el modelo de urna (II) .................................................... 40
Analizando gráficas de rectas ................................................................. 42
Construyendo varias gráficas de funciones con Geometría dinámica .... 43
Comprobación de la fórmula general de la ecuación
de segundo grado ................................................................................... 44
Funciones cuadráticas ............................................................................ 45
EMAT-Hidalgo
Febrero
Teorema de Thales ................................................................................
Recíproco del teorema de Thales...........................................................
Razón y proporción . ..............................................................................
La homotecia como aplicación del teorema de Thales .........................
47
49
51
58
Marzo y Abril
¿Una ecuación para desalojar la escuela?..............................................
Números poligonales..............................................................................
Teorema de Pitágoras.............................................................................
Triángulos...............................................................................................
Explosión demográfica...........................................................................
Inflación contra salario...........................................................................
Interés compuesto..................................................................................
Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto..........................
62
63
64
66
71
72
74
76
Mayo
Construyendo algunos cuerpos geométricos.........................................
Uso de fórmulas de área y volumen de sólidos......................................
Problemas de optimización (I)................................................................
Problemas de optimización (II)...............................................................
78
79
81
82
Junio
Lanzamiento de dados (I)....................................................................... 83
Lanzamiento de dados (II)...................................................................... 85
Bibliografía............................................................................................. 87
Directorio............................................................................................... 88
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance
en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones
constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos
expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden
ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección
a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo las HC constituyen una importantísima ayuda para
favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de
las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza
individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva pudiéramos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las
HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor
de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían
caracterizar:
1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades
que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser
herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas
al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte
de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto
pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del
mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la
orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean
utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus
actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y
energía.
Propuesta Hidalgo  3er Grado
5
Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas
Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también
permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar
el contenido con el de otras asignaturas contribuyendo así a una formación
más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes, particularmente
el de las ciencias.
Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha
implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología
para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través
de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera
y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores
imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al
equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez
ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten
ciencias en sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente
para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la
Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la
propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de
la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto
Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello
se han diseñado y compilado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar
de educación secundaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa
comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros
alumnos.
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
SEPH
6
Cómo está
organizado este libro
 PRESENTACIÓN
El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y
diseño de actividades que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología,
estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría,
álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto
cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de
matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica
y Telesecundaria).
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de
estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico,
que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo
cognitivo y en lo epistemológico.
La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de
medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las
sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del
curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita,
la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas
de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la
introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas;
lenguaje de programación LOGO para la programación con representación
geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la
resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de
tratamiento de la información.
En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a
los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas
de actividades programadas semanalmente en el texto.
7
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores
niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las
actividades se hace como en el siguiente ejemplo:
Semana
1
Bloque UNO
3. Resuelvan problemas que implican
relacionar ángulos inscritos y centrales
de una circunferencia.
Herramienta
Geometría
dinámica
OCTUBRE
Actividad
La circunferencia: radios,
cuerdas y tangentes
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
• Explorar
• Formular y validar hipótesis
• Expresar y debatir ideas
• Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores
Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de actividades en las cuales
los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta
computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades
ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión
que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la
medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere
la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas
en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
8
Pág.
19
Programación Tercer Grado
EMAT-HIDALGO
Semana
1
2
3
4
Bloque UNO
1. Transformen expresiones algebraicas en
otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia
de triángulos en la justificación de
propiedades de figuras geométricas.
Semana
Bloque UNO
1
relacionar ángulos inscritos y centrales
de una circunferencia.
2
3
4
Semana
1
2
3
4
determinar una razón de cambio,
expresarla algebraicamente y
representarla gráficamente.
Bloque DOS
1. Resuelvan problemas que implican el
uso de ecuaciones de segundo grado,
asumiendo que éstas pueden
resolverse mediante procedimientos
personales o canónicos.
utilizar las propiedades de la
semejanza en triángulos y en
general en cualquier figura.
Herramienta
SEPTIEMBRE
Actividad
Calculadora
Programas equivalentes
13
Calculadora
“Deshacer” operaciones
14
Geometría
dinámica
Criterios de
congruencia de triángulos
15
Geometría
dinámica
Figuras directa o
inversamente congruentes
17
Herramienta
OCTUBRE
Actividad
Pág.
Pág.
Geometría
dinámica
La circunferencia: radios,
cuerdas y tangentes
19
Geometría
dinámica
Ángulos en la
circunferencia
25
Calculadora
¿Grados
Fahrenheit o Celsius?
27
Calculadora
¿No podría ir más rápido?
29
Herramienta
Hoja de cálculo
Calculadora
NOVIEMBRE
Actividad
Problemas que implican
el uso de ecuaciones de
segundo grado
Resolviendo ecuaciones de
segundo grado
Pág.
30
31
Geometría
dinámica
Idea de triángulos
semejantes
33
LOGO
Polígonos regulares
35
9
Semana
1
2
Semana
3
4
5
6
Semana
1
2
3
4
10
Bloque DOS
3. Resuelvan problemas de probabilidad
que impliquen utilizar la simulación.
Bloque TRES
1. Interpreten y representen, gráfica y
algebraicamente, relaciones lineales y
no lineales.
2. Utilicen adecuadamente la fórmula
general para resolver ecuaciones de
segundo grado.
Bloque TRES
3. Resuelvan problemas geométricos que
implican el uso del teorema de Tales.
4. Conozcan las condiciones que generan
dos o más figuras homotéticas, así
como las propiedades que se conservan
y las que cambian.
DICIEMBRE Y ENERO
Herramienta
Actividad
Pág.
Hoja de cálculo
Simulación con el
modelo de urna (I)
39
Hoja de cálculo
Simulación con el
modelo de urna (II)
40
Herramienta
Actividad
Hoja de cálculo
Analizando gráficas
de rectas
Geometría
dinámica
Calculadora
Hoja de cálculo
Herramienta
Construyendo varias
gráficas de funciones
con Geometría dinámica
Comprobación de la
fórmula general de
segundo grado
Funciones cuadráticas
FEBRERO
Actividad
42
43
44
45
Pág.
Geometría
dinámica
Teorema de Thales
47
Geometría
dinámica
Recíproco del
teorema de Thales
49
LOGO
Razón y proporción
51
Geometría
dinámica
La homotecia como
aplicación del
teorema de Thales
58
Programación Tercer Grado
EMAT-HIDALGO
MARZO Y ABRIL
Actividad
Pág.
Semana
Bloque CUATRO
Herramienta
1
1. Representen algebraicamente el
término general, lineal o cuadrático, de
una sucesión numérica o con figuras.
Calculadora
¿Una ecuación para
desalojar la escuela?
62
Hoja de cálculo
Números poligonales
63
Geometría
dinámica
Teorema de Pitágoras
64
LOGO
Triángulos
66
Hoja de cálculo
Explosión demográfica
Inflación contra salario
71
72
Interés compuesto
74
Tiempos de duplicación en
el crecimiento compuesto
76
2
3
4
5
6
Semana
uso del teorema de Pitágoras y
razones trigonométricas.
uso de procedimientos recursivos, tales
como el crecimiento poblacional o
el interés sobre saldos insolutos.
Bloque CINCO
1
2
3
1. Resuelvan problemas que impliquen
calcular el volumen de cilindros y conos
o cualquier término de las fórmulas que
se utilicen. Anticipen cómo cambia el
volumen al aumentar o disminuir
alguna de las dimensiones.
4
Semana
Bloque CINCO
1
2
2. Describan la información que contiene
una gráfica del tipo caja‐brazos.
Hoja de cálculo
Herramienta
MAYO
Actividad
Pág.
Geometría
dinámica
Construyendo algunos
cuerpos geométricos
78
Hoja de cálculo
Uso de fórmulas de área
y volumen de sólidos
79
Geometría
dinámica
Problemas de
optimización (I)
81
Geometría
dinámica
Problemas de
optimización (II)
82
Herramienta
JUNIO
Actividad
Pág.
Hoja de cálculo
Lanzamiento de dados (I)
83
Hoja de cálculo
Lanzamiento de dados (II)
85
3
11
Iconos
Al inicio de cada actividad aparece, a
la derecha del tema, un elemento que
muestra el nombre de archivo a utilizar
después del icono que indica qué
recurso tecnológico debe usarse para
su realización. Los iconos usados y su
significado son los siguientes.
NombreDeArchivo
Significa que para esta actividad se requiere
el uso de la hoja de cálculo.
Quiere decir que para esta actividad
se necesita la calculadora.
Significa que en esta actividad se requiere el
uso de un software de geometría dinámica.
Quiere decir que para la realización de esta actividad
es indispensable el uso del lenguaje LOGO.
12
Bloque Uno
ProgramEquivalent
Programas equivalentes
Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados.
1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A x 1
2. Un alumno dice que el programa A x 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo con
él?
Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el
programa A x 1. Escribe tus conclusiones a continuación
3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 x B. Pruébalos en tu calculadora y, si
producen los mismos resultados, escríbelos a continuación.
1)
2)
3)
4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No debes
tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.
A ÷ 2 + A ÷ 2
4 × B – 4 × B
5 × C – 4 × C
B + B
1×D×1
5. Comprueba cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son equivalentes. Usa la
calculadora para comprobar tus respuestas.
(3a + 15) - b(a + 5) = (a + 5)(3 - b)
x 2 + 10x + 25 = (x - 5)2
x 3 - 4x 2 + x + 6 = (x - 1)(x 2 - 5x + 6)
x 3 - 4x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
2x - 6
1
=
, si x ≠ -3
2
2x - 18
x+3
x2 - 4
x+2
=
, si x ≠ 2
2
x - 4 (x - 1)
x-2
13
“Deshacer” operaciones
DeshacerOperacion
Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia
consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación. La manera en que
razonaron se describe a continuación.
Primero notaron que si 5(a + 2) + 4 = 59, entonces podían obtener el valor de 5(a + 2) “deshaciendo
sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5(a + 2) = 55.
Para hacer la ecuación 5(a + 2) = 55 más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo
entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5(a + 2) y
la quinta parte de 55 es 11.
Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, decidieron “deshacer” sumar 2, restando 2. Así
encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59.
¿Esá clara la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las
siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad.
Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas.
a) 7(a - 8) + 25 = 39
c)
2
52
+ 5(b - 1) =
5
5
e) 15 +
g)
14
y + 12
= 22
3
4(x - 5)
- 6 = -2
3
b) 18 + 8(b + 4) = 94
d)
x-8
-2=5
2
f)
x - 0.5
93
+5=
8
16
h)
5(x - 3)
+ 12 = 17
7
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Criterios de congruencia
de triángulos
CriterCongruenTri
Para este tema vamos a hacer uso de Geometría dinámica, para ello tendrás que usar
las herramientas edición numérica, semirrecta, transferencia de medida, circunferencia,
rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de ángulo, ángulo.
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin embargo
puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes
correspondientes son HOMÓLOGAS.
Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan
CRITERIOS DE CONGRUENCIA, los cuales son:
1. Criterio LLL: si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los de otro,
entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo cuyos lados midan 8.7, 9 y 5.5.
C
8,7
9
5,5
0
68,9
A
5,50 cm
9,00 cm
74,9 cm
36,20
8,70 cm
B
15
2. Criterio LAL: Si en un triángulo dos lados y el ángulo que forman son iguales a dos lados y el
ángulo comprendido por éstos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo en el que dos lados midan 7.3 y 4.7, y el ángulo que forman sea de 120
grados.
7,3
120
4,7
C
37,10
4,70 cm
10,47 cm
120,00
22,90
7,30 cm
A
B
3. Criterio ALA: Si en un triángulo dos ángulos y su lado común son iguales a dos ángulos y su
lado común de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Construye un triángulo en el que dos ángulos midan 100° y 47°, y el lado entre ellos mida 4.60 cm.
C
100
4,6
-47
330
8,32 cm
6,18 cm
100,00
A
16
47,00
4,60 cm
B
Figuras directa o
inversamente congruentes
Direc/InverCongruen
 Triángulos y cuadriláteros
Propósito: Distinguir cuando dos figuras
son directamente congruentes o
inversamente congruentes.
I
II
IV
III
¿Cómo son entre sí los triángulos
formados por las diagonales que
atraviesan el rombo de arriba?
Algunos son directamente congruentes, mientras
otros son inversamente congruentes.
Si el punto de intersección de las
diagonales es el vértice común de
los cuatro triángulos, ¿qué valor
tiene el ángulo en este vértice
común, en cada uno de los cuatro
triángulos?
Por lo tanto, para clasificar los
triángulos como directamente
o inversamente congruentes,
bastará una rotación o una
reflexión, respectivamente.
17
¿Cuáles son los triángulos directamente congruentes?
Demuestra lo anterior utilizando el comando ROTACIÓN y
describe lo que pasa.
¿Cuáles son los triángulos inversamente congruentes?
Demuestra lo anterior utilizando el comando Refleja objeto en
recta y describe lo que pasa.
18
La circunferencia:
Radios, cuerdas y tangentes
LineasCircunferencia
 Radios
B
Propósito: descubrir
propiedades de la
circunferencia.
A
O
Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O.
19
El triángulo AOB, ¿tiene alguna característica particular?
Ahora, si desplazas el punto B sobre la circunferencia,
¿qué ocurre con el triángulo AOB?
Desde
O
traza
una
perpendicular a la cuerda
AB, y llama L al punto en
que intersecta a la cuerda.
Al mover B o A sobre
la circunferencia, ¿qué
relación se tiene entre las
longitudes de AL y LB?
20
 Cuerdas
Propósito: descubrir propiedades
de las cuerdas en la circunferencia.
A
M
B
O
Sobre una circunferencia de centro O elige dos puntos A y B;
traza la cuerda que los une y encuentra su punto medio M. Une
M y O por medio de un segmento (trazo punteado).
¿Cuánto mide el ángulo AMO?
Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia
el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo anterior?
21
Traza el punto diametralmente opuesto a B y llámalo
B’. BB’ es un diámetro de la circunferencia. Si trazas el
segmento B’A, ¿qué posición tiene respecto al segmento OM?
Desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Sigue
manteniéndose la propiedad entre B’A y OM?
22
 Tangentes
Propósito: descubrir qué propiedades caracterizan
a la recta tangente a la circunferencia.
Nombre
Edad
Escuela
Fecha
M
N
P
65,70
O
P es un punto exterior a la circunferencia desde el cual
se traza un segmento que la intersecta en dos puntos: M
y N.
¿Qué particularidad tiene el triángulo OMN?
¿Cómo son los ángulos OMN y ONM?
23
¿Cómo se llama la semirrecta PM (o PN) con respecto a
la circunferencia?
Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN?
¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N?
En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM?
¿Y el triángulo OMP?
Escribe los pasos a seguir para trazar la tangente desde un
punto P exterior a una circunferencia dada.
24
Ángulos en la
circunferencia
AngulosCircunf
Con el uso de Geometría dinámica, corrobora las definiciones y las
construcciones.
Ángulo central
Es el ángulo formado por dos radios
de una circunferencia. Su medida
es proporcional al arco que sostiene
y la razón de proporcionalidad es el
radio.
Ángulo inscrito
Llamaremos ángulo inscrito en una
circunferencia a aquel que tiene su
vértice sobre la circunferencia y sus
lados son rectas secantes. Su medida
es la mitad del arco que abarca.
A
113,90
A
O
V
B
63,20
O
Ángulo semiinscrito
Es aquel ángulo que tiene su vértice
sobre la circunferencia, un lado
tangente y el otro secante. Su medida
es la mitad del arco que subtiende.
T
126,40
B
53,40
106,80
R
O
25
Ángulo exinscrito
Se llama así al ángulo que tiene su
vértice sobre la circunferencia, un
lado es secante y el otro exterior a
la circunferencia. Su medida es la
semisuma de los arcos comprendidos
entre los lados del ángulo y entre los
lados del opuesto por el vértice.
Ángulo interior
Es aquel que tiene el vértice en el
interior de la circunferencia. Su
medida es igual a la semisuma de los
arcos interceptados por él y por su
opuesto por el vértice.
E
113,80
T
120,60
107,0
D
U
C
0
O
V
58,60
S
B
Ángulo exterior
Su vértice esta fuera de la
circunferencia
y
sus
lados
son secantes. Su medida es la
semidiferencia entre las amplitudes
de los arcos que abarca.
A
E
B
45,6
0
D
32,70
123,90
O
C
26
73,60
88,60
O
A
¿Grados
Fahrenheit o Celsius?
Fahrenheit/Celsius
En México se usa la escala en grados Celsius (centígrados) para medir la temperatura y en otros
países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas
escalas.
FAHRENHEIT
-13
-4
5
32
100
CELSIUS
-25
-20
-15
0
37.77
1. Usa los datos de la tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores
en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados Celsius.
2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos? ¿Qué tipo de gráfica construirías?
¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica?
3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores que
obtuviste con la tabla de valores dados.
X (FAHRENHEIT)
-13
-4
5
32
100
Y (CELSIUS)
Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio,
ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación.
¿Obtuviste una nueva ecuación?
¿Cuál es?
4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.
a) ¿A cuántos grados Celsius equivalen 60 grados Fahrenheit?
b) ¿A cuántos grados Celsius equivalen -12 grados Fahrenheit?
c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados Celsius?
d) El agua hierve a 100° C, ¿a qué temperatura hierve si la medimos en grados Fahrenheit?
27
5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables?
¿A qué crees que se deban?
6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encontrar
una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados Celsius?
¿Cómo lo harías?
28
Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F =
¿No podría ir más rápido?
Un automóvil viaja a velocidad constante.
En el eje y se muestra la distancia en metros
que recorre. En el eje x se registró el tiempo
del recorrido en intervalos de 2 segundos.
VelocidadConstante
y
Escala en el eje x: 2 tiempo
Escala en el eje y: 1 distancia
x
Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica.
1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil?
2. ¿Cuántos metros ha recorrido el automóvil después de 2 segundos?
3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos?
¿Y de 7 segundos?
4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros?
¿Cuánto en recorrer 110 metros?
5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para construirla?
¿Qué hiciste para encontrar la ecuación?
6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.
a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2
minutos?
¿En una hora?
¿En
una hora y 20 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros?
c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil?
¿Qué hiciste para responder esta pregunta?
7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del automóvil.
¿Estás de acuerdo con lo que dice?
29
Bloque Dos
Problemas que implican el uso
de ecuaciones de segundo grado
Problem2doGrado
Para poder resolver los siguientes problemas haremos uso de la hoja de cálculo,
en donde se modelará cada problema y mediante estimación y cálculo mental,
se irán acotando la o las soluciones.
a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48.
b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número.
c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m requiere 54 m2 de alfombra de
pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones de la sala?
d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 km del edificio donde tenía la siguiente clase
una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un transporte cuya velocidad
media fué 12 km/hr mayor que su velocidad a pie.
Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase.
e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentra
el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la bandera, si ésta
mide 4m x 3m.
f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo
sea igual a 6.
g) El área de un triángulo es 42 m2. Encuentre la base y la altura si la última excede a la
primera en 5 m.
h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2 años
consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro
fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada
fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que en el primero.
i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego
calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios por
persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule el costo
diario por persona que habían planeado para el grupo original.
30
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria
Resolviendo ecuaciones de
segundo grado
Ecua2doGrado
Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma
ax 2 + bx + c = 0, donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos
a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.
Con el uso de la calculadora, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba cada
uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes
para lograr el despeje de la variable, además de resolver los ejercicios tipo.
 Raíz cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde al caso especial en que falta
el término con la variable de primer grado, es decir, cuando está en la siguiente forma: ax 2 + c = 0
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra
en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Resuelve por medio de
la raíz cuadrada
2x 2 - 3 = 0
Ejercicio tipo:
Solución:
2) 3x 2 - 27 = 0
2x 2 - 3 = 0
1) x 2 - 8 = 0
3) 2x 2 - 8 = x 2 - 4
2x 2 = 3
x2 = ±
x=
/3
√ 2
± √6
2
 Factorización
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son tales que la expresión
ax 2 + bx + c = 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes
enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de solución
por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:
Si a y b son números reales, entonces:
ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero).
31
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos
ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
Ejemplo 1
Resuelve por factorización
2x 2 = 3x
Solución:
Ejercicio tipo:
1) x 2 + 2x - 15 = 0
2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21
2x 2 = 3x
(2x 2 - 3x) = 0
3) 8x 2 - 7x = 5x 2 +10x
x (2x - 3) = 0
x = 0 ó 2x - 3 = 0
x=0 ó x=
3
2
 Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática
general ax 2 + bx + c = 0 para que quede así: (x + A)2 = B . Donde A y B son constantes.
Ejemplo 1
Resuelve por el método de compleción
del cuadrado
x 2 + 6x - 2 = 0
Ejercicio tipo:
Solución:
x 2 + 6x - 2 = 0 Sumamos 2 a ambos
miembros de la ecuación para eliminar
-2 del miembro izquierdo.
2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21
1) x 2 + 2x - 15 = 0
3) 2x 2 - 4x - 3 = 0
x 2 + 6x = 2 Para completar el cuadrado
del miembro izquierdo, sumamos el
cuadrado del coeficiente de x sobre 2,
en ambos miembros de la ecuación.
x 2 + 6x + 9 = 9 + 2
miembro izquierdo.
Factorizamos el
(x + 3)2 = 11 Resolvemos por medio de
la raíz cuadrada.
x + 3 = ± √11
x = - 3 ± √11
32
Idea de triángulos
semejantes
IdeaTriangSemejan
 Semejanza
P
Q
Propósito: Descubrir, a partir
de los triángulos equiláteros,
los triángulos semejantes.
R
Con la opción POLÍGONO REGULAR construye
un triángulo equilátero PQR.
Ahora, mide los ángulos.
¿Cuánto mide cada uno?
Si arrastras el vértice
P, ¿qué le ocurre al
triángulo?
¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene?
33
Anota las conclusiones a las que te lleva lo que has
realizado.
Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los
triángulos equiláteros anteriores.
34
Polígonos regulares
PoliRegLogo
Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje cuadrados de diferentes tamaños.
PARA CUADRADO
FIN
¿Y triángulos equiláteros?
PARA TRIÁNGULO
FIN
Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas y llena la tabla de
la siguiente página.
35
POLÍGONO
NÚMERO DE LADOS
ÁNGULO DE ROTACIÓN
Triángulo
120°
Cuadrado
4
Pentágono
Hexágono
6
Octágono
45°
………..
N
Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo.
REPITE
[ AV 20 GD
¿CONEXIONES?
Escribe tus observaciones.
36
]
 Generaliza: Un procedimiento para cualquier polígono regular
¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular?
Si no sabes escribir el procedimiento en Logo, usa tus propias palabras
para explicar cómo crees que podría ser el procedimiento.
37
 De polígonos a circunferencias
Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares:
¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar una circunferencia?
PARA CIRCULO
FIN
¿Puedes hacer circunferencias de diferentes tamaños?
Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj
38
Simulación con el
modelo de urna (I)
ModeUrna01
 Probabilidad
Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna01. Escribe en las celdas reservadas para
los colores las palabras águila y sol.
¿Qué debes escribir en las cantidades?
¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?
¿Por qué?
En 20 volados, ¿cuántas águilas esperas ver?
Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta.
¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en
cualquier orden)?
39

Enseñanzade las Matemáticas con Tecnología

Transcripción

Documentos relacionados

MA2511 - Departamento de Matemáticas

Página_180

Soluciones a las actividades de cada epígrafe