2. ÓPTICA GEOMÉTRICA.

ÓPTICA CRISTALINA
Mario Vendrell
2. ÓPTICA GEOMÉTRICA.
Existen una serie de fenómenos ópticos como la refracción y
la reflexión, conocidos desde muy antiguo y a los que el hombre
encontró pronto aplicación práctica, independientemente de su
interpretación. Estos fenómenos, que fueron enunciados como las
leyes de Descartes, se basan en cuatro principios fundamentales: la
propagación rectilínea de la luz, la independencia recíproca de las
diversas partes de un haz luminoso y las leyes de la refracción y la
reflexión. Se trata de leyes empíricas y representan los fundamentos
de la óptica geométrica. Su aplicación es absolutamente independiente
del conocimiento de la naturaleza de la luz, lo cual explica el enorme
desarrollo de la óptica geométrica a lo largo de los siglos XVI y XVII,
cuando se generalizó el empleo de instrumentos ópticos.
En este capítulo se pretende introducir la geometría y
funcionamiento
del
microscopio
óptico,
como
instrumento
fundamental en el estudio óptico de los minerales. Para ello se
desarrollarán mínimamente algunas bases de la óptica geométrica,
sobre la cual se basarán las explicaciones de algunas de las
propiedades de los sistemas ópticos imprescidibles para conocer el
buen funcionamiento del microscopio de polarización.
2.1. Principio de Fermat
El producto del trayecto que recorre la luz en un medio
homogéneo por el índice de refracción de este medio, se conoce como
camino óptico de la luz
L = s⋅ n
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y si la luz atraviesa distintos medios
L = s1 ⋅ n1 + s2 ⋅ n2 + s3 ⋅ n3 + s4 ⋅ n4 + ... =
∑s ⋅n
i
i
Si se descompone el camino en infinitésimos, la expresión queda
L = ∫ n ⋅ ds ,
l
y como n=c/v, siendo c constante,
t
ds
= c∫ dt = c ⋅ t
l v
0
L = c∫
es decir, que el camino óptico puede ser redefinido como el producto
de la velocidad de la luz en el vacio por el tiempo que tarda en
recorrer la trayectoria.
Fermat estableció el principio según el cual la luz va de un
punto A a otro B por una trayectoria tal que su camino óptico es
mínimo comparado con trayectorias próximas. Este principio sirvió
de base al desarrollo de la óptica geométrica.
2.2. Sistema óptico
El conjunto de superficies que separan
varios medios constituye un sistema óptico. Por lo
general, los sistema ópticos habitualmente
empleados son centrados, constituidos por
superficies esféricas con los centros alineados a lo
largo de un eje (denominado eje óptico del
sistema), si todas las superficies son refractantes
(no hay ningún espejo), se llaman dioptrios, y el
sistema dióptrico.
Figure 1
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Cuando los rayos que parten de un punto A (Figura 1),
atraviesan el sistema óptico y se juntan en otro punto B, a éste se le
llama imagen real del punto A, que recibe el nombre de objeto. Si por
el contrario, los rayos que parten del punto A, divergen tras atravesar
el sistema óptico y sus prolongaciones se juntan en un punto C, éste
constituye la imagen virtual del punto A..
2.3. Refracción en dioptrios esféricos. Óptica paraxial
Cuando en un sistema centrado se consideran sólo
los rayos muy cercanos al eje del mismo, de modo que el
ángulo que forman éstos con el eje es muy pequeño, es
posible considerar que el seno y la tangente del ángulo
son equilaventes entre sí y con el propio ángulo
expresado en radianes. En este caso se dice que se trabaja
en la zona paraxial o zona de Gauss. Esta es la situación
en muchos de los casos que se considerarán y, por tanto,
esta aproximación es de utilidad para algunos de los
cálculos propuestos.
Figure 2
Analicemos el comportamiento de los rayos
luminosos al incidir sobre una superficie esférica que
separa dos medios distintos, uno de los cuales
normalmente será el aire.
A una superficie convexa de índice de refracción
n, llegan diversos rayos paralelos al eje (Figura 2), que
sufren una refracción de modo que todos convergen sobre
el punto f2, que se puede considerar la imagen de un punto
Figure 3
del eje óptico situado en el infinito.
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En el mismo sistema, existe un punto f1, en que todos los rayos
paralelos al eje que llegan a la superficie esférica procedentes del
medio de índice n, convergen en él y, por tanto, es la imagen de un
punto del eje situado en el infinito. Ambas imágenes son reales,
porque se forman por convergencia de rayos, no de sus
prolongaciones.
Imaginemos una superficie esférica cóncava, como la de la
Figura 3, los rayos paralelos al eje forman una imagen virtual en el
punto f 2, mientras que los que proceden del medio de la derecha, la
forman en el punto f 1.
A los puntos f 1 se les denomina foco objeto, y a los puntos f 2,
foco imagen, a la vez que las distancias entre los puntos f y el punto
donde el eje óptico intersecta el dioptrio, son las distancias focales
imagen u objeto, según proceda.
De acuerdo con lo expresado por la ley de
Snell,
los
rayos
siguen
el
mismo
camino,
independientemente del sentido de la dirección de
propagación, es decir hacen el mismo camino en una
dirección que en la contraria. Por tanto, los rayos que
pasan por el foco y atraviesan el dioptrio salen
paralelelamente el eje óptico del sistema. Además,
cualquier haz de rayos paralelos que refracte en la
Figure 4
superficie del dioptrio formará un punto imagen
situado sobre un plano perpendicular a eje en el foco, que se conoce
como plano focal (Figura 4). Este plano es, por tanto, la imagen del
infinito producida por el sistema óptico.
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Las distancias focales vienen dadas por la
expresión siguiente
f2 =
n2
⋅ r;
(n2 − n1 )
f1 =
n1
⋅r
(n2 − n1 )
donde n 1 y n2 son los índices de refracción de los
dos medios (frecuentemente uno de ellos es el aire),
y r el radio de curvatura del dioptrio (Figura 5).
Figure 5
2.4. Invariante de Abbe
Supongamos un dioptrio esférico de índice de refracción n 1
sobre el que incide un rayo procedente de un punto O situado sobre el
eje, y que forma un ángulo ε con la normal, que obviamente coincide
con un radio de la esfera, e intersecta al eje en el centro de curvatura
c (Figura 6). Este rayo se refracta y pasa por el punto O’ del eje
óptico.
Figure 6
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En óptica paraxial la ley de Snell queda como
nε = n1ε '
de los triángulos OIC de la Figura 6, se establecen las siguientes
relaciones angulares: ε=ϕ+σ, y del ICO’, ε==ϕ−σ=, y como I es muy
cercano a S (está en el rango de la óptica paraxial) la distancia h es
muy pequeña, lo que permite escribir
ϕ=
h
h
h
; σ = ; σ '=
r
s
s'
y substituyendo estas relaciones en la anterior expresión de la ley de
Snell a fin de eliminar los ángulos y obtener una expresión sólo con
distancias,
n(ϕ + σ ) = n1 (ϕ + σ ') ,
h
n +
r
h
 h h
 = n1  + 
 r s' 
s
por tanto
que dividiendo por h resulta
 1 1
 1 1
n +  = n1  + 
 r s
 r s' 
que se conoce como invariante de Abbe, y que permite establecer la
posición de la imagen as partir de los datos del sistema (distancias
focales y radio de curvatura).
También se demuestra que, para la zona de Gauss, las figuras
objeto e imagen son homotéticas con centro en c (centro de
curvatura), de lo que se deduce que la imagen de un plano
perpendicular al eje es otro plano perpendicular al mismo eje.
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2.5. Aumentos
Un sistema dióptrico centrado produce una imagen de longitud
l 2 de un objeto de longitud l 1. Se llama aumento lateral del sistema a
la relación
AL =
l2
l1
que es positivo o negativo según que la imagen l 2 esté derecha o
invertida, respectivamente.
Un ejemplo de este tipo de aumento que se podría aplicar a un
proyector de diapositivas, donde midiendo la imagen real proyectada
y la diaposiva, se puede calcular la correspondiente relación de
tamaños. Este cálculo también es de aplicación al aumento de un
objetivo de microscopio, en que es posible establecer la relación entre
las longitudes de un segmento en el objeto y en la imagen real
producida por el objetivo.
Sin embargo, este concepto de
aumento no es aplicable a la imagen que
se observa a través de unos prismáticos,
ya que no se puede medir una longitud en
la imagen virtual producida. En estos
casos, el aumento se evalua de otra
manera. Se utiliza el concepto de aumento
angular, que se define como la relación
entre el ángulo bajo el cual se ve el objeto
a través de un sistema óptico y el ángulo
Figure 7
bajo el que se vería sin el sistema en
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cuestión, sólo con el ojo (Figura 7).
AA =
ϕ2
ϕ1
Frecuentemente, en las características técnicas de muchos
instrumentos ópticos comerciales, se utilizad el llamado aumento
comercial, que es la relación entre la tangente del ángulo con que se
observa un objeto a través del sistema óptico, y la tangente del ángulo
en que se observaría en las mejores condiciones de visión posibles,
con el ojo desnudo. Es decir:
AC =
tag ϕ 2
tag ϕ1
siendo ϕ 1 el ángulo con que se vería el objeto situado a la mínima
distancia a la que el ojo humano puede enfocarlo, que posteriormente
se definirá como punto próximo.
2.6. Planos y puntos principales
Se pueden encontrar dos planos
perpendiculares al eje, uno imagen del otro, con
un aumento lateral igual a uno, a los que se
denomina planos principales. Los puntos de
intersección entre estos planos y el eje se llaman
puntos principales. De esto es posible deducir
que un rayo que salga de un punto P de uno de
Figure 8 El rayo 1 paralelo al eje alcanza el plano
principal P, prosigue hasta el P’ y sale hacia el foco
imagen. El rayo 2 que pasa por el foco objeto sale
paralelo al eje del sistema.
los planos hacia el interior del sistema, pasa por
otro punto P’ del otro plano situado a igual
distancia del eje que el punto P. Estos planos y
puntos principales permiten resolver problemas de óptica geométrica
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y formación de imágenes en la zona de óptica paraxial.
A las distancias entre cada plano principal y los focos imagen
y objeto se les denomina distancia focal imagen y objeto,
respectivamente. Y se define la potencia del sistema como la relación
inversa de la distancia focal, y si esta se mide en metros, la unidad de
potencia es en este caso, la dioptría.
Un rayo que llegue paralelamente el eje, llega al punto P de uno
de los planos, pasa por el P’ del otro y posteriormente por el punto
focal imagen f 2; igualmente, otro rayo que parta del punto focal objeto
f 1 hacia un punto P, llega al P’ y sale paralelamente al eje.
Esto permite resolver gráficamente la formación de la imagen
de un objeto o el camino de un rayo en un sistema dióptrico centrado
del que se conocen los dos focos y los planos principales, como el
representado en la Figura 9.
La
propuesta
es
averiguar la prayectoria de
un rayo 1 que llega al punto
A de uno de los planos
principales. Se sabe que
pasará por otro punto B del
otro plano principal, pero no
se sabe, a priori, por donde
Figure 9
proseguirá. Trazando un
rayo auxiliar paralelo a éste que pase por el foco objeto f1, llega al
punto C del plano principal, sigue hacia el D y, como procede del
foco, sale paralelo al eje óptico. Los dos rayos, el 1 y el auxiliar, son
paralelos, y por tanto covergen sobre un punto del plano focal imagen,
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es decir, el rayo 1 sigue un camino que va desde el punto B hacia el
punto donde el rayo auxiliar ha interceptado el plano focal imagen.
Si en el mismo sistema se coloca un objeto en forma de flecha
perpendicular al eje (Figura 10), se puede determinar gráficamente la
posición de su imagen. El problema puede quedar limitado a
establecer la imagen del extremo de la flecha, puesto que se sabe que
la imagen del objeto ha de ser perpendicular el eje. Desde el extremo
del objeto se trazan dos
rayos, uno que pasa por
el foco objeto f 1, que
tras alcanzar los planos
principales
prosigue
paralelo al eje, y otro
rayo paralelo al eje que,
tras
Figure 10
pasar
por
los
planos principales, lo
hace por el foco imagen f 2. Allí donde se crucen ambos rayos se forma
la imagen del extremo del objeto.
De modo similar se podría proceder para averiguar la posición
de la imagen de objetos colocados en distintos puntos sobre el eje
óptico, y según la imagen se forme por convergencia de los rayos o
por la prolongación de los mismos, obtendremos una imagen real o
virtual, respectivamente.
2.7. Lentes. Clases de lentes.
Una lente se puede definir como un sistema formado por dos
dioptrios esféricos de radios de curvatura r 1 y r 2. Si se considera por
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separado cada uno de dos los dioptrios, se ve que el plano principal
pasa por el punto P, intersección del dioptrio con el eje óptico (Figura
11).
El rayo 1 se refracta pasando por
f 2, por tanto se puede considerar el propio
dioptrio como plano principal en la zona
de Gauss (óptica paraxial), y el punto
principal es el punto P, llamado también
vértice de la lente. Así pues, los puntos
principales de una lente coinciden con los
vértices P 1 y P 2, y la distancia d entre
ellos se denomina espesor de la lente.
Figure 11
Si se considera la lente en el aire (índice de refracción igual a
1) - Figura 12 -, se demuestra que la potencia es igual a
 1 1  (n − 1) 2 d
ϕ ' = (n − 1) ⋅  −  +
⋅
n
r1 ⋅ r2
 r1 r2 
y la recíproca es la focal imagen.
Se dice que una lente es
delgada cuando su espesor d es
despreciable frente a los radios de
curvatura. En este caso, los dos
planos principales de confunden
en uno solo, la potencia es igual a
la
anterior
despreciando
el
segundo sumando
Figure 12
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ϕ '=
 1 1
1
= (n − 1) ⋅  − 
f2
 r1 r2 
Además, la potencia de varias lentes delgadas acopladas es el
sumatorio de las potencias individuales
ϕ'=
∑ϕ '
i
Desde el punto de vista
morfológico, las lentes se clasifican
en convergentes cuando el haz de
rayos paralelos al eje convergen
realmente en el foco imagen f 2; y
divergentes, cuando el foco imagen
es virtual y lo que converge en él
son las prolongaciones de los rayos
Figure 13
(que divergen) - Figura 13 -.
2.8. Propiedades de las lentes.
Se han estudiado los dioptrios desde un punto de vista paraxial,
es decir su comportamiento en la zona muy cercana al eje. Sin
embargo, en microscopía, a veces es conveniente emplear el máximo
cono de luz capaz de entrar en el sistema óptico. Llegados a este punto,
resulta conveniente definir y analizar una serie de aspectos y
propiedades de los sistemas, que son de interés para los trabajos en
microscopía.
2.8.1. Apertura numérica
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Se define como apertura angular el semiángulo del máximo
cono de luz que el sistema óptico puede admitir iluminando un objeto
situado en el plano focal.
En la Figura 14 se han representado
dos sistema ópticos, uno de ellos montado
en el aire, y en el otro se supone aceite entre
su dioptrio frontal y el objeto situado en la
plano focal (disposición que en ocasiones se
utiliza en microscopía). La apertura angular
del primero de los casos es de 21º, y
ciertamente el sistema recoje un cono de luz
cuya generatriz forma este ángulo con el eje
del sistema. En cambio, al otro sistema llega
Figure 14
la luz bajo un ángulo de 27º, pero como el
medio es aceite, realmente recoje un cono de
luz que llega al plano focal de 43º debido a la refracción de la luz, por
tanto su apertura angular es de 43º.
Resulta obvio que las características de ambos sistemas son
claramente distintas, aun recogiendo un cono de luz relativamente
similar. Por tanto, parece interesante disponer de una medición de la
apertura de un sistema que tenga en cuenta el índice de refracción del
medio a través del cual llega la luz.
Es lo que se define como apertura numérica, un valor
adimensional resultado del producto del seno de la apertura angular
por el índice de refracción del medio
an = sen θ ⋅ n
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y representa una de las características importantes de los sistema
ópticos, como se verá más adelante.
2.8.2. Límite de resolución
Coloquialmente el término “poder de resolución” expresa la
posibilidad de un sistema óptico de distinguir los más pequeños
detalles de un objeto, la cual cosa no siempre va asociada a un
incremento del aumento del sistema, sino a la capacidad de diferenciar
puntos muy próximos de objeto sin confundirlos en uno solo.
La expresión numérica de este concepto es el límite de
resolución, que se define como la menor distancia entre dos puntos de
la imagen para que se vean perfectamente separados a través del
sistema óptico. Físicamente, el límite de resolución de un sistema de
dioptrios lo determina la difracción de la luz producida por el objeto.
Existen varias teorías que justifican la cuantificación de este límite,
dependiendo de las condiciones experimentales, pero es posible
aceptar una expresión bastante aproximada, que es la siguiente
δ=
λ
an
donde λ es la longitud de onda de la radiación utilizada para iluminar,
δ el límite de resolución y an la apertura numérica del sistema.
Para el caso del microscopio, como la iluminación puede ser
oblícua por medio de un haz cónico, el límite de resolución es menor,
de modo que una buena aproximación podría ser
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δ =
λ
2 ⋅ an
2.8.3. Profundidad de campo
La observación a través de un sistema óptico permite modificar
más o menos el enfoque manteniendo el objeto enfocado, es decir, sin
perder nitidez de la imagen. Dicho de otro modo, un objeto puede estar
situado en un intervalo de distancias respecto del sistema óptico sin
que su imagen pierda nitidez: este intérvalo en el que la imagen se
“ve” enfocada es lo que se conoce como profundidad de campo. Es
precisamente la profundidad de campo del objetivo fotográfico lo que
permite obtener una imagen nítida desde un primer plano hasta los
objetos situados en el infinito.
A pesar de la aparente subjetividad de esta definición basada en
la observación “nítida” de una imagen, se puede tratar de deducir una
expresión
que
permite
una
cuantificación
aceptable de esta
distancia.
Un
sistema
óptico que enfoca
sobre el plano p y
Figure 15
produce una imagen
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completamente nítida del mismo (Figura 15). Se puede desplazar el
objeto hacia el sistema y la imagen formada se verá nítida mientras el
diámetro de la intersección del plano del objeto con el cono de luz que
entra en el sistema no supere el límite de resolución. Recordemos que
ésta es la mínima distancia entre dos puntos para que se vean
separados en la imagen, manteniéndose por debajo de este límite, la
imagen es nítida. El mismo razonamiento es válido si se aleja el objeto
del sistema óptico.
Es decir, un sistema óptico, con un límite de resolución δ y una
apertura angular α (limitada por el propio sistema o por un diafragma),
enfoca todo lo comprendido entre los planos p 1 y p 2. De la Figura 15 se
puede deducir que
BD
= tag α ,
AB
es decir que
AB =
BD
tag α
y como la produndidad D es dos veces el segmento AB
D=
2 ⋅ BD
δ
=
tag α tag α
substituyendo el límite de resolución por su expresión,
D=
λ
2 ⋅ an ⋅ tag α
Es decir, que la profundidad de campo depende de la longitud
de onda de la luz utilizada (en el rango del visible este parámetro tiene
poca importancia), y es inversamente proporcional a la apertura
numérica y a la tangente de la apertura angular. O sea que, en general,
disminuyendo el cono de luz que entra al sistema óptico, aumenta la
profundidad de campo.
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Consecuentemente, tanto en fotografía como en microscopía y
cualquier otra aplicación, del hecho de cerrar el diafragma de apertura
y limitar el ángulo α resulta un incremento de la profundidad de
campo.
2.8.4. Aberraciones
Hasta aquí se han considerado los sistemas ópticos formados
por dioptrios perfectamente esféricos, en los que las trayectorias de los
rayos están perfectamente definidas a partir de los parámetros del
sistema. Sin embargo, pueden existir sistemas ópticos que dan lugar
a trayectorias de los rayos distintas de las estudiadas aquí, sea por
defectos en la fabricación de los dioptrios, sea porque se ha
introducido cierta deformación para provocar efectos epecíficos en las
imágenes producidas, como es el caso de algunos objetivos
fotográficos.
Las desviaciones respecto de las trayectorias ideales es lo que
se conoce con el nombre de aberraciones del sistema. En este apartado
se describirán muy brevemente los diversos tipos de aberraciones, sin
profundizar en su estudio, que escapa de los objetivos de esta obra.
Desde un punto de vista muy genérico se pueden dividir las
aberraciones en dos grandes grupos, las axiales, y las no axiales. Las
primeras corresponden a desviaciones de las trayectorias de los rayos
a lo largo del eje óptico, las segundas a deformaciones del conjunto de
la imagen.
Las llamadas aberraciones axiales comprenden dos tipos de
desviaciones, las cromáticas y las esféricas.
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ÓPTICA CRISTALINA
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Las aberraciones esféricas tienen
lugar cuando distintos rayos que parten de
un punto del objeto situado sobre el eje, en
lugar de juntarse en un único punto del eje
para formar la imagen, no convergen sobre
un punto, sino sobre un pequeño segmento
del eje (Figura 16 inferior). Obviamente, el
efecto que se observa es el de una imagen
más o menos desenfocada, según la
magnitud de la aberración, que no puede
focalizarse aún modificando las distancias
entre objeto y sistema.
Figure 16
La aberración cromática se produce
cuando un rayo de luz blanca que parte de un punto del objeto ubicado
sobre el eje óptico, llega dispersado al correspondiente punto de la
imagen, es decir, que el recorrido de las distintas frecuencias del
espectro visible no es el mismo, y por tanto cada una forma una
imagen diferente (Figura 16 superior). El resultado es una imagen con
cierta indefinición de color, especialmente en los bordes de las zonas
coloreadas, en los que se aprecian franjas azules y/o rojas, según los
casos.
Parece obvio que, inevitablemente, una lente da lugar a cierta
distorsión cromática debido a la propia dispersión del índice de
refracción en las frecuencias del visible. Por este motivo normalmente
se utilizan sistema de lentes de modo que la aberración cromática de
una de las lentes del sistema es corregida por las otras lentes, con lo
cual el conjunto está libre de aberraciones. Este es el caso de casi
todos los objetivos de cierta calidad utilizados en microscopía.
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ÓPTICA CRISTALINA
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Las aberraciones no axiales incluyen las aberraciones de
curvatura de campo, astigmatismo y distorsión. Esta última consiste
en la deformación de la imagen respecto de las proporciones del
objeto. La curvatura de campo tiene lugar cuando la lente no produce
una imagen plana de un plano perpendicular al eje óptico, lo que puede
provocar a una imagen enfocada en el centro y desenfocada en los
bordes, y cuando se trata de enfocar los bordes, se desenfoca en la
parte central.
El astigmatismo se produce cuando la imagen de un punto del
objeto, es un segmento perpendicular al eje óptico, es decir que la
imagen que se forma es alargada respecto del objeto a lo largo del eje
de astigmatismo. Frecuentemente se han asociado las imágenes
alargadas de las pinturas del Greco a un defecto muy acusado de
astigmatismo en la visión del pintor. Y más modernamente, la técnica
de cinemascope, de bastante éxito en la producción de Holywood de
los años 50s, consistía en deformar astigmaticamente la imagen de
cada fotograma, para luego proyectar con un objetivo que producía un
astigmatismo corrector del objetivo de la cámara; de modo que era
posible incluir en el formato convencional imágenes de amplios
escenarios naturales.
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