Francisco Javier Torres Ayala Regularidad en espacios de

Francisco Javier Torres Ayala Regularidad en espacios de

Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Regularidad en espacios de Besov y
Lizorkin-Triebel,
de la descomposicion de Hodge sobre variedades
Riemannianas con frontera
Francisco J. Torres Ayala FC-UNAM
Ma. de los Ángeles Sandoval Romero, FC-UNAM
Miguel A. Ballesteros Montero, IIMAS
ENJIM15
IMATE
30 de noviembre del 2015
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Plan
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Descomposición de Helmotz
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz
Teorema
Sea F : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial C 1 (U dominio acotado
con frontera suave). Entonces F se puede descomponer, de manera
única, como una suma de un gradiente negativo, con potencial φ y
el rotacional de un potencial a. Es decir
F = −∇φ + ∇ × a
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Solución de ecuaciones con valores en la frontera
U ⊆ Rn , abierto acotado con frontera suave:
∇ × X = F,
X|∂U
= 0,
en U
en ∂U
Pero
F = −∇φ + ∇ × a
entonces, para tener solución, necesariamente −∇φ = 0.
Se propone X = a + ∇g, con g en C ∞ (U ).
El problema es equivalente a :
(∇g)|| = −a||
y (∇g) · N = 0,
en ∂U
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Y cuando desperte ...
el kernel del operador era distinto de cero
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Y cuando desperte ...
el kernel del operador era distinto de cero
... pero su kernel y co-kernel eran finito dimensionales.
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Aσ = η ⇒ σ = A−1 η
Definición Un operador se llama esencialemte invertible si es
invertible modulo operadores compactos.
Álgebra de Calkin
C(H) := B(H)/K(H).
π
B(H) → C(H)
A es escencialmente invertible sii π(A) es invertible.
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Teorema de Atkinson
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).
T es esencialmente invertible si y sólo si el rango de T es cerrado y
los kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Teorema de Atkinson
(WRONG ATKINSON)
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).
T es esencialmente invertible si y sólo si el rango de T es cerrado y
los kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Teorema de Atkinson
Frederic Valentine Atkinson
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).
T es esencialmente invertible si y sólo si el rango de T es cerrado y
los kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales (i.e. T es
Fredholm).
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Problemas con valores en la frontera
Problema con valores en la frontera en U ⊂ Rn
Lu = v,
en U
Lj u = v j ,
1 ≤ j ≤ l,
X
Lu =
aα (x)
| {z }
en ∂U
∂ α (u)
|α|≤d matriz N × N
Lj u =
X
|β|≤dj
(j)
bβ (x)
| {z }
∂ β (u)
matriz Nj × N
El sı́mbolo principal de L, se define como
X
pL (x, ξ) =
aα (x)(ξ)α ∈ MN,N
|α|=d
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Elipticidad
• Lopatskiĭ-Šapiro
El problema con valores a la frontera es elı́ptico si
1. pL (x, ξ) es invertible sii ξ =
6 0.
2. Para todo x y para todo ξ˜ ∈ Rn \ {0}, la transformación
Mx,ξ̃ →
l
M
CNj
j=1
σ 7→ (pLi (x, ξ˜ + ien ∂s )σ|s=0 )1≤i≤l
es biyectiva, para todo ξ 6= 0, donde
Mx,ξ̃ = {σ : pL (x, ξ˜ + ien ∂s )σ = 0 y σ es acotada en R+ }
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Elipticidad
• Boutet de Monvel
El problema con valores a la frontera es elı́ptico si
1. pL (x, ξ) es invertible sii ξ =
6 0.
˜
2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ {0} la transformación
+
+
S(R ) 7→ S(R ) ⊕
l
M
CNj
j=1
σ →
7
(pL (x, ξ˜ + ien ∂s )σ, pLi (x, ξ˜ + ien ∂s )σ|s=0 )1≤i≤l
es biyectiva.
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Teorema (Hörmander, Grubb, Rempel y Schulze)
Para el operador
Wps−2 Ωk (D)
⊕
∆
 n  : Wps Ωk (D) → Wps−1/p Ωk (D)|∂D
nd
⊕
s−1−1/p k+1
Wp
Ω (D)|∂D


son equivalentes:
1. Es elı́ptico
2. Es Fredholm, para todo s ≥ 2, 1 < p < ∞.
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
El reparto
• (M, g), variedad Riemanniana, orientada, completa con radio
inyectivo positivo y geometria acotada.
• D ⊂ M , sub-variedad, compacta, conexa con frontera.
• d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M ), t, n : Ωk (D) → Ωk (D)|∂D
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
y como estrella principal ...
El operador de Hodge
∗ : Ωk (M ) → Ωn−k (M )
Si (Ei )1≤i≤n es un marco g-ortonormal (local):
∗(Ei∗1 ∧ · · · Ei∗k ) = εEi∗0 ∧ · · · ∧ Ei∗0
1
E1
i1
E2
i01
E4
i02
E3
i2
n−k
E5
i03
E6
i04
ε = ε(1, 3, 2, 4, 5, 6) = −1
Producto interior
Z
hη, ωi :=
η ∧ ∗ω
M
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
La co-diferencial
δ : Ωk (M ) → Ωk−1 (M )
δ(ω) = (−1)nk+n+1 ∗ d ∗ (ω)
Fórmula de Green
Para ω ∈ Ωk−1 (D), η ∈ Ωk (D)
Z
hdω, ηi = hω, δηi +
tω ∧ ∗nη
∂D
En un mundo sin fronteras (∂D = ∅)
hdω, ηi = hω, δηi
Entonces d y δ son adjuntos uno del otro.
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
El operador de Laplace-Beltrami
∆ := dδ + δd
• Laplaciano de Neumann:
 
∆
(k)

∆N := n  : Ωk (D) → Ωk (D) ⊕ Ωk (D)|∂D ⊕ Ωk+1 (D)|∂D
nd
• Laplaciano de Dirichlet:
(k)
∆D
 
∆
:=  t  : ΩK (D) → Ωk (D) ⊕ Ωk (D)|∂D ⊕ Ωk−1 (D)|∂D
tδ
• Equivalentes
∗n = t∗,
∗t = n∗,
nδ = δn,
td = dt,
∗∆ = ∆∗
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
El operador de Laplace-Beltrami
s ∈ N0 , p ≥ 2
• Laplaciano de Neumann:
Wps−2 Ωk (D)
⊕
∆
s−1/p k
s k


:= n : Wp Ω (D) → Wp
Ω (D)|∂D
nd
⊕
s−1−1/p k+1
Wp
Ω (D)|∂D

(k)
∆N

Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Potenciales y regularidad
k
HN
(D) = {ω ∈ H 1 Ωk (D) : dω = δω = nω = 0}
Teorema
k (D)⊥ exsite una única k-forma φ tal que
Dado η ∈ HN
N
∆φN = η,
en D
nφN = 0,
en ∂D
ndφN = 0,
en ∂D
Además, si η es de clase Wps entonces φN es de clase Wps+2 .
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
E k (D) = {dα : α ∈ H 1 Ωk−1 (D), tα = 0}
C k (D) = {δβ : α ∈ H 1 Ωk+1 (D), nβ = 0}
Hk (D) = {ω ∈ H 1 Ωk (D) : dω = δω = 0}
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Descomposición de Hodge
Teorema (Hodge-Morrey)
L2 Ωk (D), se descompone, como la suma L2 -ortogonal de:
L2 Ωk (D) = E k (M ) ⊕ C k (M ) ⊕ Hk (D)
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
En Wps
Wps E k (D) = E k (D) ∩ Wps Ωk (D)
Wps C k (D) = C k (D) ∩ Wps Ωk (D)
Wps Hk (D) = Hk (D) ∩ Wps Ωk (D)
Teorema (Hodge-Morrey-Schwarz)
Wps Ωk (D) (s ∈ N0 , p ≥ 2), se descompone, como la suma
L2 -ortogonal de:
Wps Ωk (D) = Wps E k (M ) ⊕ Wps C k (M ) ⊕ Wps Hk (D)
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Extenciones
• Schwarz, Günter. Hodge Decomposition-A method for Solving
•
•
•
•
•
Boundary Value Problems. Lecture Notes in Mathematics.
Springer-Verlag, 1995.
Jonhsen, Jon. Elliptic boundary problems and the Boutet de
Monvel Calulus in Besov and Triebel-Lizorkin spaces.
Math.Scand. 79. pp. 25-28, 1996.
Mitrea, Marius. Sharp Hodge Decompositions, Maxwell’s
Equations, and vector Poisson problems on nonsmooth,
three-dimensional riemannian manifolds. Duke Math. J. 125,
3. pp. 467-547, 2004.
Mitrea, Marius. Sharp Hodge decompositions in two and three
dimensional Lipschitz domains. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
334. pp. 109-112, 2002.
Schneider, Cornelia.Traces in Besov and Triebel- Lizorkin
spaces on domains. Mathematische Nachrichten 284, 5-6.pp.
572-586, 2011.
Triebel, Hans. Theory of Function Spaces Vol. 1,2,3.
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Era un trabajo sucio...
Teorema
Asp,q Ωk (D) (s > 0, 2 ≤ p, q ≤ ∞, p finito para Lizorkin-Triebel), se
descompone, como la suma L2 -ortogonal de:
Asp,q Ωk (D) = Asp,q E k (M ) ⊕ Asp,q C k (M ) ⊕ Asp,q Hk (D)
Asp,q E k (D) = E k (D) ∩ Asp,q Ωk (D)
Asp,q C k (D) = C k (D) ∩ Asp,q Ωk (D)
Asp,q Hk (D) = Hk (D) ∩ Asp,q Ωk (D)
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Espacios de Besov y Lizorkin-Triebel
Para ı́ndices, 0 < p, q ≤ ∞ y s ∈ R definimos
(
s
Bp,q
:=
0
n
f ∈ S (R ) :
X
∞
2
sqk
k(ϕk fˆ)∨ kqLp
)
1/q
<∞
k=0
con las moficicaciones usuales para q = ∞.
Para ı́ndices 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞ y s ∈ R definimos
s
Fp,q

∞

X
q 1/q 0
n
sqk ∨
:= f ∈ S (R ) : 2 (ϕk fˆ) (·)

k=0
Lp
<∞



con las moficicaciones usuales para q = ∞.
Donde (ϕj )j∈N0 , es una partición de la unidad, suave que satisface
1. supp(ϕ0 ) ⊂ {ξ ∈ Rn : kξk ≤ 2},
2. para todo j ∈ N, supp(ϕj ) ⊂ {ξ ∈ Rn : 2j−1 ≤ kξk ≤ 2j+1 },
P∞
n
3.
k=0 ϕk (x) = 1, para todo x en R .
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Espacios de Besov y Lizorkin-Triebel
T : DT ⊆ H → H, operador lineal, no acotado, positivo,
ϕ : R → R continua.
Z ∞
ϕ(T )f :=
ϕ(t)dEf (t)
0
Z
D(ϕ(T )) := {f ∈ H :
∞
|ϕ(t)|2 dkEf (t)k < ∞}
0

kT s f k ∼ 
∞
X
j=0
1/2
22js kϕj (T )f k2 
Generalizaciones
Introducción
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Regularidad
Teorema
Supongamos que v ∈ W22 Ωk (D) resuelve el problema de valores en
la frontera
∆v = η,
en U
(1)
nv = ηn ,
en ∂U
(2)
ndv = ηnd ,
en ∂U
(3)
k (D)⊥ , η ∈ As Ωk (D)|
para η ∈ Aspq Ωk (D) ∩ HN
n
∂D , ηnd ∈
p,p
s−1−1/p
Ap,p
k
Ωk+1 (D)|∂D . Entonces, v ∈ As+2
pq Ω (D).
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Laplace Beltrami
Descomposición de Hodge
Generalizaciones
Descomposición de Friedrics
k
Hex
(D) :={ω ∈ H k (D) | ω = dα, para alguna α ∈ W21 Ωk−1 (D)}
k
Hco
(D) :={ω ∈ H k (D) | ω = δβ, para alguna β ∈ W21 Ωk+1 (D)}
Teorema
k (D) ⊕ H k (D) = As H k (D) ⊕ H k (D),
Aspq H k (D) = Aspq Hex
pq co
N
D
k
k
k
k
Aspq H k (D) = Aspq Hex
(D) ⊕ HN
(D) = Aspq Hco
(D) ⊕ HD
(D),
donde la suma es ortogonal en L2 .
k (D) y As H k (D) son cerrados con respecto a
Los espacios Aspq Hex
pq co
s
la topologı́a de Apq .
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Descomposición de Hodge
GRACIAS
Generalizaciones