PROGRAMA DE INVESTIGACI´ON 1. Introducción Mi investigación

PROGRAMA DE INVESTIGACI´ON 1. Introducción Mi investigación

PROGRAMA DE INVESTIGACIÓN
MATTHEW DAWSON
1. Introducción
Mi investigación yace en las áreas de análisis armónico sobre espacios homogéneos y representaciones unitarias de grupos de Lie semisimples. En este momento, me enfoco principalmente en dos temas: operadores de Toeplitz sobre espacios de Bergman y representaciones
de lı́mites directos de grupos de Lie.
Mi investigación en operadores de Toeplitz se ha desarrollado principalmente junto con
Raúl Quiroga y Gestur Ólafsson. En el pasado, investigadores en esta área no habı́an
aprovechado el arsenal de teoremas poderosı́simos de la teorı́a de representaciones unitarias,
pese a que dichos operadores se definen sobre los mismos espacios de Hilbert que las representaciones de tipo escalar de la serie discreta holomorfa de grupos de Lie semisimples de
tipo Hermiciano.
En nuestro trabajo, ya hemos aplicado resultados de la teorı́a de representaciones para
resolver unos problemas de operadores de Toeplitz con mucha facilidad. Por ejemplo, en el
artı́culo [6], demostramos que se puede encontrar C ˚ -álgebras conmutativas generadas por
operadores de Toeplitz por encontrar restricciones libres de multiplicidad de unas representaciones de cierto grupo a sus subgrupos.
Por otro lado, motivado en parte por la fı́sica, los grupos de Lie infinito-dimensionales han
sido explorados extensamente en años recientes. Los ejemplos más sencillos de grupos de Lie
infinito-dimensionales son los que se construyen a través de lı́mites directos de grupos de Lie
finito-dimensionales. Es decir, hay una sucesión tG
Ťn unPN de grupos de Lie tal que Gn ď Gm
para n ď m, y se define el grupo G8 “ lim
G
”
nPN Gn .
ÝÑ n
Desde el punto de vista de las matemáticas, lı́mites directos de grupos forman una clase
muy natural de grupos de dimensión infinita porque heredan mucho del comportamiento de
grupos finito-dimensionales. También se puede usarlos en el estudio de sistemas de mecánica
cuántica con una cantidad infinita de grados de libertad (por ejemplo, el libro [22] tiene un
capı́tulo sobre representaciones de un lı́mite directo de grupos de Heisenberg).
Nuestro trabajo sobre lı́mites directos de grupos de Lie y de espacios simétricos consta
de los artı́culos [8, 4, 5] en este momento, y principalmente se encuentran en el contexto
de lı́mites directos de espacios sı́metricos : G8 {K8 “ lim
ÝÑ Gn {Kn , donde cada Gn {Kn es un
espacio simétrico de dimensión finita.
Ya que representaciones esféricas y cónicas son inextricables de análisis armónico sobre espacios simétricos G{K de dimensión finita, una mejor comprensión de esas representaciones
probablemente deberı́a ser el punto de partida para una teorı́a de espacios simétricos de dimensión infinita En [8], desarrollamos un criterio que dice si un lı́mite directo de representaciones esféricas de Gn {Kn queda esférica en el lı́mite. En [5], construimos una clasificación
de representaciones cónicas para G8 {K8 de cierta clase.
Un problema con el estudio de grupos de dimensión infinita es que no son localmente
compactos, por lo que no cuentan con medidas de Haar. En el artı́culo [4], exploramos la
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utilidad de promedias invariantes como reemplazo de la medida de Haar, y terminamos
con una nueva aplicación a análisis armónico sobre lı́mites directos de espacios simétricos.
El documento se organiza ası́: la sección 2 se trata de los temas relacionados con operadores
de Toeplitz, la sección 3 se trata de los temas relacionados con grupos de dimensión infinita,
y en la sección 4 se encuentra una lista de metas especı́ficas de investigación que sirve como
resumen.
2. Operadores de Toeplitz
Los operadores de Toeplitz se pueden definir en general para dominios simétricos acotados
complejos, pero el ejemplo más sencillo es el disco unitario D “ tz P C | |z| ă 1u en el plano
complejo. El grupo semisimple SUp1, 1q actúa transitivamente sobre el disco abierto D por
transformaciones de Möbius. Es decir, se puede escribir D – SUp1, 1q{SpU p1qˆU p1qq, donde
SpU p1q ˆ U p1qq es el estabilizador del origen en D y consiste de las matrices diagonales en
SUp1, 1q. Para λ ą ´1, definamos la medida
λ`1
dµλ pzq “
p1 ´ |z|2 qλ dz,
π
donde dz es la medida de Lebesgue. Consideremos el espcio de Hilbert Lλ “ L2 pD, dµλ q. Se
le llama espacio de Bergman con peso al espacio Hλ de funciones en Lλ que son holomorfas
sobre D. De hecho, Hλ es un espacio cerrado de Lλ ; la proyección Bλ : Lλ Ñ Hλ se llama la
proyección de Bergman, y es un operador integral con un núcleo (o kernel) que se llama el
núcleo de Bergman.
Si λ P Z, entonces el grupo SU p1, 1q unitariamente sobre Lλ y su subespacio Hλ en
una manera natural. De hecho la representación de SU p1, 1q en Hλ es una representación
irreducible de la serie discreta holomorfa (de tipo escalar)que queda bien estudiado en el
mundo de representaciones de grupos semisimples. Pero incluso si λ R Z, siempre hay una
Č1q sobre Lλ y el subespacio Hλ . Por
representación unitaria de la cubierta universal SUp1,
abuso de terminologı́a, se dice que esta representación πλ yace en la serie discreta holomorfa
de tipo escalar.
Por otro lado, cada función acotada f P L8 pDq da paso a un operador multiplicador Mf
sobre Lλ dado por Mf phq “ f h, donde h P Lλ . El problema es que si h viene del subespacio
Hλ , entonces no podemos garantizar que f h P Hλ . Lo que sı́ podemos hacer es tomar la
proyección de f h al espacio Hλ . Los operadores de Toeplitz consisten en esa proyección de
operadores de multiplicación a espacios de Bergman: Dado f P L8 pDq y λ ą ´1, el operador
de Toeplitz con sı́mbolo f es el operador Tf : Hλ Ñ Hλ dado por
Tf “ Bλ Mf .
A diferencia de los operadores multiplicadores, los operadores de Toeplitz generalmente
no conmutan. De hecho, uno puede pensar de operadores de Toeplitz como un ejemplo de
quantificación de los operadores multiplicadores: tenemos una transformación lineal (y de
hecho inyectiva) f ÞÑ Tf que mapa funciones en L8 pDq a operadores en BpHλ q
Para obtener una mejor comprensión de la estructura y comportamiento de estos operadores, una idea serı́a tratar de clasificar familias de operadores de Toeplitz que generan
C ˚ -áĺgebras conmutativas y estudiar los espectros de esas álgebras. Siempre puedes tomar
el C ˚ -álgebra generada por un operador de Toeplitz que es normal, pero hay otros ejemplos.
Primero, tenemos que recordar que el grupo G “ SUp1, 1q actúa transitivamente sobre el
disco D. También actúa sobre los sı́mbolos en L8 pDq por traslación: si g P G y f P L8 pDq,
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definimos una función fg P L8 pDq por fg pxq “ f pg ´1 ¨ xq. Entonces, Sergei Grudsky y Raúl
Quiroga demostraron lo siguiente:
Theorem 2.1 ([12]). Una familia A de sı́mbolos en L8 pDq genera una sub-C ˚ -álgebra conmutativa de BpHλ q para cada λ ą ´1 si y solo si las funciones en A son invariantes bajo la
acción de un subgrupo abeliano maximal H de G “ SUp1, 1q.
Se puede hacer los mismos formalismos para la bola unitaria Bn “ tz P Cn | ||z|| ă 1u. En
este caso, uno tiene una acción transitiva del grupo SUpn, 1q sobre Bn que se permite escribir
Bn – SUpn, 1q{SpUpnq ˆ Up1qq. Otra vez, defines una familia de medidas µλ sobre Bn con
un parámetro λ ą ´1 que te da espacios de Hilbert Lλ “ Lλ pµλ , Bn q. Otra vez se define
el espacio de Bergman Hλ que consiste en las funciones holomorfas sobre Bn que yacen en
Lλ . Hay una proyección otorgonal Bλ : Lλ Ñ Hλ , y se definen operadores de Toeplitz como
antes: si f P L8 pBn q , entonces el operador de Toeplitz con sı́mbolo f es el operador dado
por Tf “ Bλ pf hq, donde h P Hλ .
Č1q que
Como antes, se puede ver que Hλ cuenta con una representación unitaria πλ de SUpn,
se llama una representación unitaria de la serie discreta holomorfa de tipo escalar. Además,
es posible encontrar C˚-álgebras conmutativas generadas por operadores de Toeplitz, gracias
a un teorema de Nikolai Vasilevski y Raúl Quiroga:
Theorem 2.2 ([18, 19]). Una familia A de sı́mbolos en L8 pBn q genera una sub-C ˚ -álgebra
conmutativa de BpHλ q para cada λ ą ´1 si las funciónes en A son invariantes bajo la acción
de un subgrupo abeliano maximal H de G “ SUpn, 1q.
El lector ya se da cuenta de la presencia de “si” en lugar de “si y sólo si” en el Teorema
2.2. Originalmente, se pensaba que las álgebras dadas por el Teorema 2.2 serı́an las únicas,
pero una consecuencia de nuestro trabajo en [6] es que hay otras álgebras conmutativas. Por
ejemplo, los operadores de Toeplitz con sı́mbolos invariantes bajo la acción del subgrupo
SOpn, 1q ď SUpn, 1q generan una álgebra conmutativa.
En aún más generalidad, se puede extender la teorı́a de operadores de Toeplitz a cualquier
dominio simétrico complejo acotado. Se puede definir tales dominios como lo siguiente: sea
G un grupo de Lie semisimple con un subgrupo compacto maximal K. Si el centro de K
tiene dimensión una, es decir, dim ZpKq “ 1, entonces se puede demostrar que G{K tiene
un encaje natural (que se llama el encaje de Harish-Chandra) de G{K en algún Cn como
un dominio acotado, y se dice que G es un grupo de Lie hermiciano. Ejemplos incluyen los
espacios SUpp, qq{SpUppq ˆ Upqq y SOpn, 2q{SpOpnq ˆ Op2q. Se puede encontrar una lista
completa en [11].
Otra vez, se definen los espacios de Bergman Hλ sobre el dominio D “ G{K y las reprer de G
sentaciones πλ de la serie discrete holomorfa de tipo escalar de la cubierta universal G
sobre Hλ , donde λ ą p es un parámetro y p es un número que depende del espacio simétrico
G{K. Se definen los operadores de Toeplitz como antes (por multiplicación por un sı́mbolo
en L8 pDq y luego proyección hasta el espacio de Bergman).
2A. Nuestros resultados y metas para el futuro. Por mucho tiempo, nadie logró encontrar C˚-álgebras conmutativas de operadores de Toeplitz para estos otros dominios simétricos
D “ G{K, y los ejemplos para las bolas unitarias quedaron los únicos conocidos. Pero en [6],
logramos encontrar muchos ejemplos para todos los dominios simétricos acotados complejos.
El truco que usamos, más o menos, fue el lema de Schur, que implica que los operadores de
entrelace para una representación unitaria de un grupo de Tipo I (por ejemplo, grupos de
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Lie nilpotentes conexos o semisimples) conmutan si y sólo si la representación tiene una descomposición entre representaciones irreducibles que es libre de multiplicidad. Demostramos
lo siguiente:
Theorem 2.3 ([6]). Sea D “ G{K un dominio simétrico acotado complejo, y sea πλ una
r sobre el espacio de Bergman
representación de la serie discreta holomorfa de tipo escalar de G
Hλ . Sea H ď G un subgrupo cerrado tal que πλ |Hr es libre de multiplicidad. Entonces los
operadores de Toeplitz con sı́mbolos invariantes bajo la acción de H sobre D generan un
C ˚ -álgebra conmutativa.
Este teorema nos da una máquina para encontrar operadores de Toeplitz que conmutan:
r que cuentan con restricciones de la reprenada más hay que encontrar subgrupos de G
sentación πλ que son libres de multiplicidad. Un ejemplo siempre es el álgebra generada por
operadores de Toeplitz con sı́mbolos invariantes bajo el grupo compacto maximal K. Se
puede ver más ejemplos en el artı́culo [6].
Además, demostramos una versión del Teorema 2.3 que es más fuerte en el caso de subgrupos compactos de G:
Theorem 2.4 ([6]). Sea H ď G un subgrupo compacto. Entonces πλ |Hr es libre de multiplicidad si y sólo si los operadores Toeplitz con sı́mbolos invariantes bajo la acción de H sobre
D generan un C ˚ -álgebra conmutativa.
Hemos conjeturado que la bicondicional debe de ser cierto para una clase más amplia
de subgrupos de G. Uno de nuestros principales retos es la extensión del Teorema 2.4 a
subgrupos de G no compactos.
Además, estamos tratando de demostrar (a través del principio de restricción) que en
el caso de la bola unitaria (donde G “ SUpn, 1q), las representaciones πλ quedan libre
de multiplicidad cuando se restringen a cualquier subgrupo abeliano maximal de G. Este
resultado serı́a interesante desde el punto de vista de la teorı́a de representaciones (y, de
hecho, me sorprende un poco que nadie lo ha demostrado todavı́a), pero además debe de
dar un método mucho más facil de demostrar el Teorema 2.2. Solo quedan unos pequeños
detalles por demostrar, y los resultados aparecerán en [7].
Ahorita, Raúl Quiroga y yo estámos tratando de calcular el espectro explı́citamente para
las C ˚ -álgebras generadas por operadores de Toeplitz con sı́mbolos invariantes bajo la acción
de K sobre D “ G{K. Hasta ahora, nuestras técnicas de la teorı́a de representaciones ha
bastado para demostrar la conmutatividad de unas álgebras, pero todavı́a no las habı́amos
usado para calcular sus espectros. Quiroga ya hizo el caso de la bola unitaria en el artı́culo
[17] usando métodos de la teorı́a de representaciónes, y el cálculo resultó ser un cálculo mucho
más sencillo que los cálculos anteriores de espectros de C ˚ -álgebras conmutativas generadas
por operadores de Toeplitz (que se puede ver, por ejemplo, en [18, 19]).
Otra ruta posible serı́a el estudio de operadores de Toepliz en el contexto de representaciones de la serie discreta holomorfa de tipo vector, en que se tienen operadores de Toeplitz
cuyos sı́mbolos son funciones con valores matriciales. Serı́a interesante ver si nuestros resultados sobre restricciones libre de multiplicidad pueden extenderse a ese caso más general.
3. Grupos de Lie de dimension infinita
Como dijimos en la introducción, la carencia de medidas de Haar es un grave problema para
análisis armónico sobre grupos de dimensión infinita, ya que la gran mayorı́a de los teoremas
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de análisis armónico para grupos de Lie suponen que el grupo tiene una medida invariante.
Por ejemplo, una de las metas mas importantes en análisis armónico sobre grupos de Lie
es la descomposición de la representación regular. Incluso la definición de la representación
regular requiere el uso de una medida invariante.
Se conocen por lo menos dos métodos para evitar dicho problema. Uno es el uso de
“promedias invariantes”. Promedias invariantes existen para lı́mites directos de grupos compactos y proveen una estructura que se comporta como una integral invariante, pero no
cumple las condiciones de aditividad contable de medidas. Con estas promedias es posible
definir una “representación regular” para lı́mites directos de grupos compactos y preguntar
cuál serı́a la descomposición entre representaciones irreducibles. Se puede ver, por ejemplo,
nuestro artı́culo [4]. Lamentablemente, promedias invariantes no son únicas, y en general
el axioma de elección limita la cantidad de información explicita que se puede determinar
sobre la descomposición de dichas “representaciones regulares”.
El otro método fue desarrollado por Alexei Borodin, Doug Pickrell, Grigori Olshanski,
y otros [2, 13, 16, 20]. Se construye un lı́mite proyectivo G8 “ lim
ÐÝ Gn {Kn dual al lı́mite
directo G8 “ lim
G
.
Este
lı́mite
proyectivo
no
es
un
lı́mite
proyectivo
de grupos sino un
ÝÑ n
lı́mite proyectivo de Gn -espacios, y contiene G8 como un subconjunto. Si los grupos son
compactos, entonces las medidas de Haar de los grupos Gn forman un sistema proyectivo
de medidas de probabilidad, por lo que hay (por el teorema de Kolmogorov) una medida de
probabilidad sobre el espacio G8 que queda invariante bajo la acción del grupo G8 . Usando
esa medida invariante, se puede definir una sustitución para la representación regular del
grupo G8 y preguntar cuál serı́a la descomposición.
En la investigación de Grigori Olshanski, Alexei Borodin, Sergei Kerov, y Anatoly Vershik
([2, 13, 16]), se desarrollaron la construcción de la “representación regular” y la descompusieron entre representaciones irreducibles para algunos ehemplos, tales como el lı́mite
directo S8 de los grupos simétricos Sn o el lı́mite directo Up8q de los grupos unitarios Upnq.
Una sorpresa es que, en la descomposición de dichas representaciones, aparecen procesos de
puntos de modelos que son importantes en la fı́sica estadı́stica. Esta sorpresa sugiere que
haya conexiones interesantes entre estos problemas y fı́sica.
Desafortunadamente, ahora no se sabe si es posible hacer una construcción parecida a la de
Olshanski y Pickrell para lı́mites directos de grupos de Lie no compactos. Creemos que puede
ser posible, porque ya sabemos (a través de investigación de Matthew Dawson, Stéphane
Merigon, y Gestur Ólafsson que aparecerá en [9]) que se puede construir representaciones
unitarias de lı́mites directos de algunos grupos de Lie semisimples no compactos a través de
un lı́mite directo de representaciones en la serie principal.
3A. Distribuciones para lı́mites directos de grupos. Otra cosa que todavı́a no existe
en la teorı́a de análisis armónico de grupos de Lie infinito-dimensionales en general (y lı́mites
directos de grupos de Lie en particular) es un reemplazo adecuado para la teorı́a de distribuciones (o funciones generalizadas). El problema es la carencia de suficientes funciones suaves
de soporte compacto sobre tales grupos, la que previene la construcción de un espacio de distribuciones parecida a la construcción sobre variedades finito-dimensionales. Pero en análisis
armónico de grupos finito-dimensionales, las distribuciones juegan un papel muy importante
(por ejemplo, el carácter distribucional de representaciones de grupos de Lie no compactos).
Debido a su importancia en la teorı́a finito-dimensional, es muy probable que un desarrollo
exitoso de análisis armónico en el contexto infinito-dimensional requiera la construcción de
análogos de las distribuciones.
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Para los lı́mites directos de grupos de Lie, ya hay un candidato para tal teorı́a. Hay
un teorema maravilloso de Danilenko [3] que dice que cada representación unitaria de un
lı́mite directo de grupos de Lie sobre un espacio de Hilbert cuenta con un subespacio denso
de vectores suaves. Es decir, si pπ, Hq es una representación unitaria de un grupo de Lie
G8 “ lim
ÝÑ Gn definido por un lı́mite directo de grupos de Lie Gn de dimensión finita, entonces
hay un subsespacio denso H8 de H que consta de los vectores v P H tales que el mapeo
G8 Ñ H
g ÞÑ πpgqv
es suave. El espacio H8 se llama el espacio de vectores suaves. Digamos que este teorema
es maravilloso porque no se generaliza a otros tipos de grupos de Lie infinito-dimensionales
(por ejemplo, hay representaciones unitarias de grupos de Lie-Banach que no tienen ningún
vector suave) [1]. Entonces, es posible construir el dual H´8 del espacio vectorial H8 , y se
da cuenta de que hay un “espacio de Hilbert equipado” (rigged Hilbert space en ingles):
H8 Ď H Ď H´8 .
El espacio H´8 , siendo el dual del espacio del espacio de vectores suaves, se llama el espacio
de vectores distribucionales. Karl-Herman Neeb anota en [14, p. 2828–2829] que este espacio de vectores distribucionales de representaciones unitarias de G8 podrı́a servir como un
reemplazo para el espacio de distribuciones sobre el grupo G8 .
Por supuesto, hay varias representaciones, y cada una tiene su propio espacio de vectores
distribucionales. Esta dependencia de la elección de una representación presenta una dificultad para la construcción de un único espacio de distribuciones sobre el grupo G8 . Nuestra
idea es que la definición propia del espacio de distribuciones sobre el grupo G8 deberı́a ser
el espacio de vectores distribucionales de una de las “representaciones regulares” construidas
a través de las medidas cuasi-invariantes descritas en la sección anterior.
3B. Representaciones unitarias que pertenecen a lı́mites directos de espacios
simétricos. Por otro lado, es posible también construir espacios simétricos de dimensión
infinita como lı́mites directos de espacios simétricos de dimensión finita. Por lo tanto, se
puede hablar de lı́mites directos de la forma
G8 {K8 “ lim
ÝÑ Gn {Kn “
8
ď
Gn {Kn ,
n“1
donde Gn {Kn es un espacio simétrico para cada n P N. Análisis armónico para espacios
simétricos Riemannianos está basado en el estudio de representaciones esféricas. Entonces
una meta del estudio de lı́mites directos de espacios simétricos es la determinación de las
representaciones esféricas. En el artı́culo [8] por Matthew Dawson, Gestur Ólafsson, y Joe
Wolf, ya tenemos varios resultados que describen cuando es posible construir representaciones
esféricas para un lı́mite directo G8 {K8 de espacios simétricos por el método to tomar un
lı́mite directo de representaciones esféricas para Gn {Kn .
También, para espacios simétricos Riemannianos G{K del tipo no compacto, hay un espacio homogéneo dual que consiste de los llamados “horociclos.” Este espacio de horociclos
se escribe como un cociente G{M N , donde M N es un subgrupo de G. El análisis armónico
sobre este espacio de horociclos es basado en las llamadas representaciones cónicas del grupo
G. Entonces, también para lı́mites directos de espacios de horociclos puedes preguntar cuáles
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son las representaciones cónicas. En nuestro artı́culo [5], ya tenemos una clasificación de estas representaciones cónicas que son holomorfas para una clase de lı́mites directos de espacios
simétricos Riemannianos del tipo no compacto.
Representaciones cónicas son interesantes porque, en la teorı́a finito-dimensional, forman la
base de una generalización de la famosa transformada de Radon [10]. En particular, hay una
transformada de Radon que mapa funciones sobre un espacio simétrico Riemanniano G{K
y su espacio de horociclos G{M N , y esta transformada funciona por llevar representaciones
esféricas de G a representaciones cónicas de G.
4. Metas Especı́ficas
(1) Metas de operadores de Toeplitz sobre espacios de Bergman
(a) Construcción del espectro de las C ˚ -álgebras conmutativas que ya hemos encontrado.
(b) Determinar si es posible extender el Teorema 2.3 a una clase mas amplia de
subgrupos de G.
(c) Ver si es posible extender nuestros resultados al caso de representaciones en la
serie discreta holomorfa de tipo vector de grupos de Lie hermicianos.
(2) Metas de análisis armónico de dimensión infinita
(a) Construir medidas cuasi-invariantes bajo la acción de grupos de Lie semisimples
no compactos, especialmente el grupo
8
ď
SLpn, Rq
SLp8, Rq “
n“1
pero también grupos como
8
8
ď
ď
SUpp, 8q “
SUpp, nq y SUp8, 8q “
SUpn, nq.
n“1
n“1
(b) Definir “representaciones regulares” a través de las medidas construidas en meta
(1) entre representaciones irreducibles.
(c) Determinar cuales procesos de puntos aparecen en la descomposición de esas
representaciones y ver si son procesos de puntos de interés en fı́sica.
(3) Metas de distribuciones sobre lı́mites directos de grupos
(a) Desarrollar una teorı́a de distribuciones para lı́mites directos de grupos de Lie
a través de los vectores distribucionales de las “representaciones regulares” construidas por el truco de Doug Pickrell, Grigori Olshanski, y los demás.
(b) Determinar si es posible construir caracteres distribucionales para lı́mites directos de grupos de Lie no compactos, como los caracteres que juegan un papel tan
importante en la teorı́a finito-dimensional.
(4) Metas de representaciones unitarias de lı́mites directos de grupos
(a) Construir representaciones cónicas para el espacio de horociclos de lı́mites directos de espacios simétricos tales como
8
ď
SUpp, 8q{SpUppq ˆ Up8qq “
SUpp, nq{SpUppq ˆ Upnqq,
n“1
y determinar si esas representaciones agotan las representaciones que aparecen
en la descomposición de la representación regular sobre el espacio de horociclos.
8
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(b) Construir una versión infinito-dimensional de la transformada de Radon entre
funciones sobre un espacio simétrico y su espacio de horociclos.
(c) Construir representaciones esféricas para lı́mites directos de espacios simétricos
pseudo-Riemannianos como
SUpp, 8q{SOpp, 8q “
8
ď
SUpp, nq{SOpp, nq.
n“1
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