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Sucesiones Geométricas
Contenido Sucesiones Geométricas Objetivos Sucesiones Geométricas Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Objetivos Tabla de Contenido Objetivos 1 Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Objetivos Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión o progresión geométrica Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Objetivos Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión o progresión geométrica sumas parciales de sucesiones geométricas Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Objetivos Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión o progresión geométrica sumas parciales de sucesiones geométricas series geométricas Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Objetivos Objetivos: Discutiremos: definición de sucesión o progresión geométrica sumas parciales de sucesiones geométricas series geométricas ejercicios y aplicaciones Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sucesiones Geométricas Sucesión Geométricas: Definición: Una sucesión o progresión geométrica es una sucesión de la forma a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 , a1 r4 , ..., r 6= 0 El número a1 es el primer término y r es la razón común o razón constante de la sucesión. El n-ésimo término está dado por an = a1 rn−1 Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sucesiones Geométricas Sucesión Geométricas: Definición: Una sucesión o progresión geométrica es una sucesión de la forma a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 , a1 r4 , ..., r 6= 0 El número a1 es el primer término y r es la razón común o razón constante de la sucesión. El n-ésimo término está dado por an = a1 rn−1 Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sucesiones Geométricas Ejemplos: 1 Si a1 = 3 y 2 = 2, entonces se tiene la sucesión aritmética 3, 3 × 2, 3 × 4, 3 × 8, ..., o bien, 3, 6, 12, 24, ... La razón entre cualquiera dos términos de esta sucesión es r = 2. El n-ésimo término es an = 3 × 2n−1 . 2 Considere la sucesión geométrica 8, 4, 2 , 1 , 21 , 14 ,.... En este caso la razón común es r = 21 . El n-ésimo término es an = 8 × ( 12 )n−1 . Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sucesiones Geométricas Ejercicios: 1 Determine el décimo término de la progresión geométrica 4,8,16,... . 2 En una progresión geométrica a = 1458 y r = 3. 6 Determine a1 y a4 . 3 ¿Qué termino de la sucesión geométrica 2, 6, 18, ... es 118098? 4 El tercer término de una sucesión geométrica es 10 y el sexto es 80. Determine su razón común. 5 En una progresión geométrica a , a , a , ..., a , ... se tiene: 1 2 3 n a1 + a2 + a3 = 7 a4 + a5 + a6 = 56 Determine a1 + a4 . Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciale de Sucesiones Geométricas Si queremos sumar los primeros n términos de una sucesión geométrica escribimos la suma Sn y después multiplicamos por la razón común. Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 + ... + a1 rn−2 + a1 rn−1 . rSn = a1 r + a1 r2 + a1 r3 + a1 r4 + ... + a1 rn−1 + a1 rn . Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciale de Sucesiones Geométricas Si queremos sumar los primeros n términos de una sucesión geométrica escribimos la suma Sn y después multiplicamos por la razón común. Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 + ... + a1 rn−2 + a1 rn−1 . rSn = a1 r + a1 r2 + a1 r3 + a1 r4 + ... + a1 rn−1 + a1 rn . Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn . Sn − rSn = a1 − a1 rn Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciale de Sucesiones Geométricas Si queremos sumar los primeros n términos de una sucesión geométrica escribimos la suma Sn y después multiplicamos por la razón común. Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 + ... + a1 rn−2 + a1 rn−1 . rSn = a1 r + a1 r2 + a1 r3 + a1 r4 + ... + a1 rn−1 + a1 rn . Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn . Sn − rSn = a1 − a1 rn Sn (1 − r) = a1 (1 − rn ) Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciale de Sucesiones Geométricas Si queremos sumar los primeros n términos de una sucesión geométrica escribimos la suma Sn y después multiplicamos por la razón común. Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 + ... + a1 rn−2 + a1 rn−1 . rSn = a1 r + a1 r2 + a1 r3 + a1 r4 + ... + a1 rn−1 + a1 rn . Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn . Sn − rSn = a1 − a1 rn Sn (1 − r) = a1 (1 − rn ) Por lo tanto Sn = a1 (1−rn ) 1−r , siempre que r 6= 1 Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Sumas Parciales de una Sucesión Geométrica (r 6= 1): En el caso de la sucesión geométrica an = a1 rn−1 está dada por: Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Sumas Parciales de una Sucesión Geométrica (r 6= 1): En el caso de la sucesión geométrica an = a1 rn−1 está dada por: Sn = a1 (1−rn ) 1−r , r Rivera-Morales, Carlos A. 6= 1 Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Sumas Parciales de una Sucesión Geométrica (r 6= 1): En el caso de la sucesión geométrica an = a1 rn−1 está dada por: Sn = a1 (1−rn ) 1−r , r 6= 1 Notas: 1 La fórmula anterior también se puede expresar de la forma Sn = 2 a1 (rn −1) r−1 Si r = 1, entonces Sn = na1 . Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Sucesiones Geométricas Ejercicios Sumas Parciales: 1 2 3 Calcule la suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica en la que a1 = 4 y r = 3. P 1 k Calcule la suma 10 i=0 3( 2 ) . Se hace un depósito de $50 el primer dı́a de cada mes en una cuenta de ahorros que paga 6 % de interés compuesto mensualmente. ¿Cuál es el monto al término de 2 años? (Nota: Este tipo de plan de ahorros se denomina anualidad creciente.) Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Series Geométricas Definición: La suma de los términos de una sucesión geométrica infinita se denomina serie geométrica infinita o, simplemente, serie geométrica. Nota: La fórmula para la n − ésima suma parcial, Sn de una sucesión geométrica finita, dependiento del valor de r, se puede generalizar para obtener una fórmula para la suma S de una serie geométrica infinita. Especı́ficamente, si la razón común r tiene la propiedad |r| < 1 se puede demostrar que rn tiende a cero si n aumenta sin lı́mite. Como consecuencia, n 1−0 a1 ( 1−r 1−r ) −→ a1 ( 1−r ), si n−→ +∞ Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Series Geométricas Suma de una Serie Geométrica infinita: Si |r| < 1, la serie geométrica infinita a1 + a1 r + a1 r2 + a1 r3 + ... tiene por suma S= P∞ i=0 a1 r i = a1 1−r Nota: Si |r| ≥ 1, la serie no tiene suma. Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas Contenido Sucesiones Geométricas Definición Sumas Parciales de Sucesiones Geométricas Series Geométricas Series Geométricas Ejercicios: Determine cada suma: P∞ n−1 1 n=0 4(0.6) 2 3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... 3 1− 1 2 + 1 4 − 1 8 + ... Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geométricas
