DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

6. 1
UNIDAD 6
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que
apliques la factorización de polinomios cuyos términos tienen
coeficientes reales.
Objetivos específicos:
1. Recordarás a qué se llama factorización, factor primo y factor trivial y cuándo
un polinomio está completamente factorizado.
2. Recordarás y aplicarás el método de factorización del factor común por divisor
común y por agrupación de términos.
3. Recordarás y aplicarás el método de factorización de un trinomio cuadrado
perfecto.
4. Recordarás y aplicarás el método de factorización de la diferencia de cuadrados
perfectos.
5. Recordarás y aplicarás el método de factorización de trinomios con un término
común.
Objetivo 1. Recordarás a qué se llama factorización, factor primo y factor
trivial y cuándo un polinomio está completamente factorizado.
Como se sabe, la multiplicación algebraica consiste en obtener el producto de dos o más
expresiones dadas, a las que se llama factores. La factorización es el proceso inverso: encontrar los
factores de un producto dado. Si un polinomio está escrito como el producto de otros polinomios,
cada uno de ellos se llama factor del polinomio original.
6. 2
La mayor parte de los tipos de factorización tienen como base las fórmulas de los productos y los
cocientes notables estudiados en la unidad 5.
Una expresión algebraica está completamente factorizada, si está expresada como el producto de
dos o más factores y si ninguno de ellos puede ser factorizado.
Cada factor expresable únicamente como “una veces él mismo” o “menos una veces él mismo” se
llama factor primo.
Generalmente la factorización se hace sobre un conjunto dado que puede ser el conjunto de los
números enteros:
x 2  x  6   x  3 x  2 
el conjunto de los números racionales:
9y2 
4 
2 
2
  3 y   3 y  
25 
5 
5
o el conjunto de los números reales:


x2  2  x  2 x  2

Cuando la factorización se hace sobre el conjunto de los números reales, cualquier polinomio tiene
un factor trivial c  0 :
11 
5
5 x 2 y  11 yz  c x 2 y  yz 
c 
c
En general lo que interesa es encontrar factores no triviales de un polinomio, que serán polinomios
con variables de grado mayor a cero. Una excepción ocurre cuando los coeficientes son enteros y
múltiplos, en cuyo caso es usual tomar el factor común entero de cada término del polinomio:

16a 3b 2  4 z 2  4 4a 3b 2  z 2

El proceso de factorización consiste en dos etapas básicas de identificación:
1. Analizar si la expresión que se busca factorizar tiene factor común, y
2. Determinar si tal factor es un binomio o un trinomio.
6. 3
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás el método de factorización del factor común por
divisor común y por agrupación de términos.
a) Divisor común
Este método de factorización consiste en buscar un coeficiente y una literal que divida a todos los
términos. El término será el factor común y se formará por el máximo común divisor de los
coeficientes del polinomio y la literal o literales, elevadas al menor exponente con el que aparezcan
en alguno de los términos:
ab  ac  ab  c 
Ejemplos:
1.) Para factorizar 12 x 2 y  3xy :
El máximo común divisor de 12 y 3 es: 3
En cada término se encuentran las literales xy, y el menor exponente con el que aparecen
es 1, por lo tanto el factor común es 3 xy :
12 x 2 y  3 xy  3xy 4 x  1
2.) Para factorizar 9 s 3t  15s 2 t 2  6s 2 t 3 :
El máximo común divisor de {9, 15, 6} = 3; las literales en cada término son s y t
La menor potencia a la que aparece s es 2 y la menor potencia de t en el polinomio es 1,
por lo tanto el factor común es 3s 2 t y la factorización:
9 s 3t  15s 2 t 2  6s 2 t 3  3s 2 t 3s  5t  2t 2 
3.) Para factorizar 8 x  1  71 y  x  1 :
Dado que 8 y 71 no son múltiplos, no existe un máximo común divisor numérico; pero
observa que cada término de este polinomio es divisible por el binomio  x  1 .
La potencia a la que aparece el binomio es la misma en los dos términos, por lo tanto el
factor común es  x  1 y la expresión factorizada:
8 x  1  71 y  x  1  8 x  11  71 y 
6. 4
2
3
4.) Para factorizar 2a  3a  7   4a  7  :
En los dos términos aparece el binomio a  7  , por lo tanto es un divisor común.
2
La menor potencia a la que aparece es 2, de manera que el factor común es a  7  y la
factorización
2a  3a  7 2  4a  7 3  a  7 2 2a  3  4a  7 
5.) Para factorizar 28 x 2 n y n 3  44 x n y n :
El máximo común divisor de {28, 44} = 4 y tanto x como y aparecen en los dos términos.
La menor potencia de x es n y la menor potencia de y es (n – 3), entonces el factor será
4 x n y n 3 .
Para determinar el otro factor se deben aplicar las leyes de los exponentes de manera que,
al sumar los exponentes, se obtenga cada término del polinomio:
 
 11y   44 x
4 x n y n 3 7 x n  28 x 2n y n3 ,
4 x n y n 3
3
n
yn
Y la factorización es:

28 x 2 n y n 3  44 x n y n  4 x n y n 3 7 x n  11y 3

a 2 3a
6.) Para factorizar

 a 2b :
6 24
Se debe considerar el máximo común divisor de los denominadores de las dos primeras
fracciones que, por supuesto, quedará en el denominador del factor común: el máximo
común divisor de {6, 24} = 6. El monomio entero (tercer término), al factorizarlo tendrá
que quedar de manera que al multiplicarse por el factor común, se obtenga a 2 b .
En cuanto a las literales, únicamente a aparece en los tres términos y la menor potencia a
la que se encuentra es 1. El factor común es entonces
a
y la factorización completa:
6
a 2 3a
a
3


 a 2 b   a   6ab 
6 24
6
4

Conviene observar que
a
6ab  a 2 b
6
6. 5
b) Factorización por agrupación
Generalmente se trata de polinomios de cuatro o más términos, que no tienen un divisor común pero
sí un divisor parcial. El procedimiento consiste en obtener el divisor común parcial de cada grupo
de términos que lo comparten y posteriormente determinar el factor común de los términos
restantes:
ac  bc  ad  bd  c a  b d a  b   a  b c  d 
Ejemplos:
1.) Para factorizar por agrupación 2ax  3ay  8bx  12by :
Primero se deben identificar los términos que tienen divisor común. Si se toman a las
literales x y y para agruparlos:
2ax  8bx  3ay  12by
El divisor parcial de los dos primeros es 2 x y el de los dos últimos es 3 y , por lo tanto el
factor común de cada par es
2 xa  4b   3 y a  4b 
Ahora el factor común en la nueva expresión es a  4b  que deja la factorización como
2ax  3ay  8bx  12by  a  4b 2 x  3 y 
2.) Para factorizar por agrupación x 3  8 y 3  2 x 2 y  4 xy 2 :
En este polinomio se pueden agrupar los términos de la siguiente manera
x 3  2 x 2 y , que son divisibles por x 2
4 xy 2  8 y 3 , que son divisibles por 4y 2
La factorización hasta este punto será
x 3  2 x 2 y  4 xy 2  8 y 3  x 2  x  2 y   4 y 2  x  2 y 
Y en esta expresión el binomio  x  2 y  es un factor común en los dos términos por lo
que la factorización última del polinomio propuesto es


x 3  2 x 2 y  4 xy 2  8 y 3  x 2  4 y 2  x  2 y 
6. 6
Objetivo 3. Recordarás y aplicarás el método de factorización de un trinomio
cuadrado perfecto.
En general es difícil factorizar polinomios con grados grandes. En casos más sencillos algunas de
las reglas que se recordaron en la Unidad 4 son útiles para establecer los factores de un polinomio
que es el resultado de un producto notable. En estos casos, la expresión algebraica de la regla se lee
y se aplica de derecha a izquierda, como se verá en este objetivo y en los siguientes.
Como se recordará, se llama “trinomio cuadrado perfecto” al polinomio cuyos términos son tales
que uno de ellos es el doble producto de dos cantidades y los otros dos son el cuadrado de cada una
de estas cantidades. Este desarrollo corresponde precisamente al resultado de elevar al cuadrado un
binomio, que puede ser la suma o la diferencia de dos cantidades.
Por esta razón, cuando se requiere encontrar los factores de un trinomio, es conveniente corroborar
primero si dicho polinomio corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio y, de ser así, estos
serán los factores que se buscan.
Ejemplos:
Para encontrar los factores de los siguientes polinomios:
1.) 9 x 8  42 x 4 y  49 y 2
Lo primero que se debe hacer es verificar si en el trinomio existen dos términos que sean
cuadrados perfectos, condición necesaria (mas no suficiente) para que la expresión pueda
corresponder al cuadrado de un binomio:
 
9 x 8  3x 4 (que es lo mismo que 3x 4
2
 9x8 )
49 y 2  7 y
La otra condición que se debe corroborar para que efectivamente sea un trinomio
cuadrado perfecto, es que el otro término sea el doble producto de los dos anteriores:
6. 7
 
2 3x 4 7 y   42 x 4 y
Por lo tanto, el trinomio propuesto es el resultado de los factores:


 
9 x 8  42 x 4 y  49 y 2  3 x 4  7 y 3x 4  7 y  3x 4  7 y

2
2.) 1  10a 5  25a 10
Como se puede ver, en este trinomio los únicos cuadrados perfectos son 25a 10 y 1, que
corresponden a
5a 
5 2
 25a 10 y 12  1
En tanto que el otro término es ciertamente el doble producto de los dos anteriores:
 
2 5a 5 1  10a 5
Por lo tanto, el trinomio corresponde al resultado de un binomio elevado al cuadrado, pero
como el término del doble producto es negativo, el binomio es la diferencia de las dos
cantidades y su factorización es


 
1  10a 5  25a 10  1  5a 5 1  5a 5  1  5a 5
3.)

2
x  2 y 2  9 z 2  6 xz  12 yz
Dado un polinomio que de entrada ni siquiera es un trinomio, es necesario que se maneje
algebraicamente la expresión para ver si puede corresponder a un trinomio cuadrado
perfecto. Como en los ejemplos anteriores, primero se deberá buscar si hay dos cuadrados
perfectos y, como se ve, el primero y el segundo términos lo son:
 x  2 y 2
 x  2y
y
9 z 2  3z
Con la ayuda de estas expresiones, el siguiente paso será comprobar si los otros dos
términos del polinomio corresponden al doble producto de los anteriores:
2 x  2 y 3z   6 xz  2 yz   6 xz  12 yz
Puesto que esta condición se comprueba, los factores buscados son
6. 8
x  2 y 2  9 z 2  6 xz  12 yz

x  2 y   3z 2
4.) 16 x 4  9 y 2 z 4  24 x 2 yz 2
Al analizar los términos para determinar si cumplen con las características de un trinomio
cuadrado perfecto se ve que
16 x 4  4 x 2 ;
Pero debe tenerse cuidado con el segundo término ya que, si se toma erróneamente sin
considerar el signo, llevaría a suponer que
 
9 y 2 z 4  3 yz 2 ,
y a calcular que

2 4 x 2 3 yz 2  24 x 2 yz 2 concluyendo que la expresión es un trinomio cuadrado
perfecto.
Sin embargo, en el trinomio dado el signo de uno de los cuadrados es (–), y ningún
cuadrado (en el conjunto de los números reales) puede ser negativo, es decir que
 9 y 2 z 4 no es un número real
y por lo tanto el trinomio dado no es un trinomio cuadrado perfecto y no puede
factorizarse por este método.
Objetivo 4. Recordarás y aplicarás el método de factorización de la diferencia de
cuadrados perfectosComo se vio en la Unidad 4, el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a:
x  y x  y   x 2  y 2
por lo tanto, cuando se busca factorizar la diferencia del cuadrado de dos cantidades, sus factores
son la suma por la diferencia de dichas cantidades.
Ejemplos:
6. 9
Para factorizar los siguientes binomios:
1.) 32  64 y 2
Lo primero que debe hacerse siempre es observar qué tipo de expresión se tiene. En este
caso es un binomio que representa la diferencia de dos cantidades. El siguiente paso es
corroborar si corresponde a una diferencia de cuadrados para, de ser el caso, aplicar la
regla del producto notable en sentido inverso. Puesto que
64 y 2  8 y
49  7 y
el binomio efectivamente es una diferencia de cuadrados, resultado del producto de la
suma por la diferencia de las cantidades anteriores, por lo que sus factores son
32  64 y 2  7  8 y 7  8 y 
2.) 16 x 4  9 x 2 y 2
La expresión es una diferencia de dos cantidades que se debe corroborar si son cuadrados
perfectos para entonces aplicar la regla del producto de la suma por la diferencia de dos
cantidades.
Puesto que
16 x 4  4 x 2
y
9 x 2 y 2  3 xy

el binomio 16 x 4  9 x 2 y 2 es el resultado del producto de 4 x 2  3xy
por lo que su factorización es


16 x 4  9 x 2 y 2  4 x 2  3xy 4 x 2  3xy
3.)
5a  12  100b 8


y
4 x
2

 3xy ,
6. 10
Aun cuando el primer término es un binomio al cuadrado, la expresión completa es la
diferencia de dos cantidades y, como en los ejemplos anteriores, se debe probar si cada
una es un cuadrado perfecto:
5a  1
2
 5a  1
100b 8  10b 4
y
Entonces, la factorización es
5a  12  100b 8  5a  1  10b 4 5a  1  10b 4 



 5a  10b 4  1 5a  10b 4  1
4.) 32 x 4 y  162 y 5
Como se puede observar, ninguno de los términos es un cuadrado perfecto ya que la
potencia de y es impar y 162 no es cuadrado, sin embargo la expresión sí es la diferencia
de dos cantidades ¿es posible hacer algún manejo algebraico para obtener una expresión
que contenga una diferencia de cuadrados?
Considerando que el binomio tiene un máximo común divisor: el coeficiente 2 y la
variable y a la primera potencia, entonces una primera factorización de la expresión es

32 x 4 y  162 y 5  2 x 16 x 4  81 y 4

y como se ve, el factor en el paréntesis es la diferencia de los cuadrados de 4x 2 y 9 y 2 ,
por lo tanto


32 x 4 y  162 y 5  2 x 4 x 2  9 y 2 4 x 2  9 y 2

Objetivo 5. Recordarás y aplicarás el método de factorización de trinomios con un
término común.
Se llama “trinomio con un término común” a una expresión algebraica de la forma
6. 11
ax 2  bx  c
que no es un trinomio cuadrado perfecto.
La factorización de trinomios con un término común se analizará en dos partes: para a  1 y para
a  1.
a) Cuando el coeficiente del término al cuadrado es la unidad:
x 2  bx  c
La factorización de un trinomio de este tipo constará de dos factores:
x  mx  n
x  m
y
x  n , tales que
 x 2  bx  c
Para que esta situación se cumpla deberá ocurrir que
mn  c
y
mn b
Si c es positivo, las dos cantidades m y n tendrán el mismo signo; si c es negativo, serán de
signo contrario, cuidando que su suma algebraica sea igual a b.
Ejemplos:
Para factorizar las siguientes expresiones:
1.) x 2  x  56
En este ejemplo b = –1 y c = –56. De acuerdo con la regla anterior, se deben buscar dos
números que multiplicados den –56 y sumados –1. La posibilidad que cumple ambas
condiciones son los números 7 y 8.
Como c es negativo, tendrán signos contrarios, pero el negativo debe ser, en valor
absoluto, el mayor para que sumados se obtenga –1. Los números buscados son –8 y +7 y
la factorización es
x 2  x  56   x  8 x  7 
El resultado se puede comprobar efectuando la multiplicación de los binomios.
6. 12
2.) y 4  10 y 2  9
Como se puede observar al comprobar el resultado del ejemplo anterior, el exponente de la
variable se obtiene al multiplicar el primer término del primer binomio por el primer
término del segundo binomio, por lo que en este caso el primer término de cada uno será
y 2 . Ahora b = –10 y c = +9
Las otras dos cantidades de los binomios, m y n, se obtienen conforme a la regla: dos
números que sumados den –10 y multiplicados +9, que claramente son 9 y 1.
Como c es positiva, deberán tener el mismo signo y, para que su suma sea –10, los dos
tendrán que ser negativos. La factorización resulta entonces:



y 4  10 y 2  9  y 2  9 y 2  1
1
2
3.) a 2  a 
5
25
La potencia de a es 2, por lo tanto el primer término de cada binomio será a a la primera
potencia.
Ahora b 
1
2
y c
, por lo que
5
25
mn  
2
25
y
mn 
1
5
Dos cantidades cuyo producto tenga como denominador 25 y su suma tenga como
denominador 5, sólo se obtienen de dos fracciones con denominador 5; para que el
numerador del producto sea 2, necesariamente un numerador tendrá que ser 1 y el otro 2.
Entonces las cantidades son
1
2
y
5
5
Ahora bien, como c < 0, una fracción será positiva y la otra negativa y, para que el
resultado de la suma de los numeradores sea +1, el positivo será 2 y el negativo 1. Así, la
factorización que se busca es
6. 13
2 
1
1
2

a2  a 
  a   a  
5
25 
5 
5
b) Trinomios con un término común y coeficiente a ≠ 1:
ax 2  bx  c
La regla para factorizar un trinomio de este tipo es la siguiente:
1. Se buscan dos cantidades m y n tales que:
 mn  ac
y
 mn b
2. En el trinomio a factorizar se sustituye b por los números encontrados
3. Se factoriza el cuatrinomio que resulta por agrupación
Ejemplos:
1.) Para factorizar 4a 2  13a  12 :
a  4 ; b  13 ; c  12
Siguiendo la regla,
1. Se deben encontrar dos cantidades m y n tales que mn = ac y m + n = b;
ac = (4) (–12) = –48 , por lo que las cantidades deben dar –48 al multiplicarse y
–13 al sumarse. Para encontrarlos es conveniente recurrir a los divisores primos de
48 y calcular cuál de las combinaciones de ellos sumados da –13. Los divisores
primos de 48 son {2, 2, 2, 2, 3, 1}. De las diferentes combinaciones que se pueden
formar con ellos, se observa que la única con la que se obtiene –48 al
multiplicarlos y –13 al sumarlos son
 2  2  2  2  16 y 3, entonces m = –16 y n = 3
2. Determinadas las cantidades, en el trinomio se sustituye b = –13 por ambos
números:
4a 2  13a  12  4a 2  16a  3a  12
3. Finalmente se factoriza utilizando el método de agrupación:
4a 2  16a  3a  12  4aa  4   3a  4   a  44a  3
6. 14
2.) Para factorizar 9 x 4  9 x 2  10 :
a = 9, b = 9 y c = –10.
Paso 1. El producto ac = –90, por lo que mn = –90 mientras que m + n = 9. Los
divisores primos de 90 son {2, 5, 3, 3, 1} de las combinaciones que se
pueden formar con ellos, por ejemplo 2  3  3  18
y
5, sumados
algebraicamente (uno positivo y el otro negativo), no se obtiene 9, por lo
tanto esta combinación no sirve.
Otra de las combinaciones es 3  5  15 y 3  2  6 , en la que si se obtiene
9 si a 15 se le resta 6, por lo tanto
m = 15, n = –6
Paso 2. En el trinomio se sustituye 9 por (15 – 6):
9 x 4  15 x 2  6 x 2  10
Paso 3. Se agrupan los términos para factorizar dos a dos:

3x
 

 53x  2
3x 2 3x 2  5  2 3x 2  5
2
2
La factorización del trinomio es
9 x 4  9 x 2  10 = 3x 2  53x 2  2
3.) Para factorizar 8 x 2  2 xy  15 y 2 :
a = 8; b = –2 ; c = –15
Paso 1. ac = (8) (–15) = –120 ; mn = –120 ; m + n = –2 . Probando con los factores
de 120: {2, 2, 2, 3, 5}, algunas combinaciones son 4 y 30; 8 y 15; 6 y 20,
pero estos números sumados algebraicamente de ningún modo dan –2.
Analizando
las
demás
se
ve
que
los
números
 2  2  3  12 y 2  5  10
m = –12 y n = 10
Paso 2. En seguida se debe sustituir b = –2 por m + n:
8 x 2  2 xy  15 y 2  8 x 2  12 xy  10 xy  15 y 2
buscados
son
6. 15
Paso 3. Y ahora se deben agrupar los términos para factorizar:
8 x 2  12 xy  10 xy  15 y 2  4 x 2 x  3 y   5 y 2 x  3 y 
4 x2 x  3 y   5 y 2 x  3 y   2 x  3 y 4 x  5 y 
La factorización es
8 x 2  2 xy  15 y 2  2 x  3 y 4 x  5 y 