2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. Cuando queremos referirnos al

Transcripción

2.1
producirá
Vectores.
Cuando queremos referirnos al tiempo
que demanda un suceso determinado, nos
basta con una magnitud (se demoró 3
segundos, saltó durante 1 minuto, volverá
el próximo año, etc.). Existen muchas
describirse
físicas
el
efecto
requerido).
2.1.1 Introducción.
magnitudes
exactamente
que
perfectamente
Estas
magnitudes
se
denominan
vectoriales, y operan según el Álgebra
Vectorial que recordaremos brevemente
a continuación.
2.1.2 Vector.
pueden
de
esta
Lo definiremos como elementos que
manera simple, y que reciben el nombre
poseen
tres
atributos:
de escalares.
dirección.
Son escalares el tiempo, la masa, la
Los vectores son elementos abstractos,
densidad, el volumen, la temperatura y
pero pueden representarse en el espacio
otras magnitudes que luego definiremos
a través de segmentos dirigidos (flechas)
apropiadamente.
cuya
longitud
y
magnitud
dirección
y
son
proporcionales a las de los vectores
También existen magnitudes como el
representados.
desplazamiento, la fuerza, la aceleración
y otras, que para quedar perfectamente
A
descritas necesitan dirección, además de
la magnitud (¡camine 5 metros!, es una
origen
solicitud muy ambigua que puede conducir
a una posición final distinta para cada
Fig 2. 1
extremo
Representación gráfica de un vector
persona que la reciba; en cambio, ¡camine
5 metros por Alameda hacia el Este!
27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. [email protected]
64
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisica.usach.cl/%7Ejlay/html/ejecucion_anual.htm
2.1.3 Vectores equipolentes.
A
A
Dos vectores son equipolentes si son
iguales
sus
respectivas
B
magnitudes
direcciones y sentidos. Esta definición,
Fig 2. 4
& &
B=2A
Ponderación de vectores:
que implica que un vector puede estar en
cualquier punto del espacio sin alterar sus
características, define a los vectores
libres.
2.1.6 Suma gráfica de vectores.
Gráficamente la suma o RESULTANTE de
vectores
obtiene
uniendo
sucesivamente los extremos y orígenes de
C
B
A
D
Fig 2. 2
se
Vectores equipolentes:
ellos, como se muestra en la figura.
El
vector suma o resultante se obtiene
& & & &
A=B=C=D
uniendo el primer origen con el último
extremo.
B
2.1.4 Vectores opuestos.
C
A
R
Dos vectores son opuestos cuando sus
magnitudes son iguales y sus direcciones
Fig 2. 5
son opuestas.
A
En
Vectores opuestos:
caso
procedimiento
B
Fig 2. 3
el
Resultante:
&
&
A=- B
dos
vectores
produce
un
este
triángulo
formado por los vectores y la resultante.
Otra
2.1.5 Ponderación de Vectores.
de
& & & &
A+B+C=R
forma
gráfica
de
sumar
dos
vectores consiste en unir los orígenes y
trazar líneas auxiliares paralelas a los
El producto entre un escalar m y un
&
vector A se conoce como ponderación del
vectores, que pasen por el extremo del
otro.
vector.
65
La resultante es el vector que une los
-B
orígenes comunes con la intersección de
las
paralelas
auxiliares
(método
R`
del
A
paralelógramo).
Fig 2. 7
A
R
Si consideramos el paralelógramo que
&
&
resulta de los vectores A y B y las
B
Fig 2. 6
Resta de vectores = suma del opuesto
paralelas auxiliares, observamos que la
Resultante: Método del Paralelógramo
suma y la resta de ambos vectores
Note que el orden de la suma no afecta el
resultado, mostrando que es conmutativa:
&
&
A B
constituyen gráficamente las diagonales
mayor y menor respectivamente.
&
&
B A
A+ B
& & &
Si sumamos los vectores A, B y C de la
A
figura anterior a través del método del
A- B
paralelógramo, veremos claramente que:
A B &
&
&
C
&
A B
B C &
&
Fig 2. 8
Mostrando que la suma es asociativa (se
Suma y resta gráfica de vectores.
2.1.7 Vector unitario.
recomienda comprobarlo gráficamente).
Se define como un vector cuya magnitud
Por
otra
parte,
es
innecesaria
la
definición de resta, pues claramente
&
& &
&
A - B es la suma de A y el opuesto de B .
& &
A-B
&
A - B es la unidad y cuya dirección y sentido
son las del vector sobre el que está
definido.
&
Si
consideramos
un
vector
&
A
cuya
magnitud es A, existe un vector unitario
&
" en la dirección de A , tal que:
A
66
&
A
"
AA
A
Observe que entonces:
"
A
& 1
A
A
&
A
A
L
AL
Fig 2. 10
Componente de
&
A
sobre la recta L
A
A= AA
Fig 2. 9
Vectores
&
A
Vector Unitario en la dirección de
en
el
plano
coordenado
cartesiano.
Un vector puede definirse en el plano
2.1.8 Vector nulo.
Vector
cuya
magnitud
cartesiano, conformado por dos líneas
es
cero.
perpendiculares denominadas ejes.
Gráficamente es representado por un
Al
punto.
ABSCISA y se identificará con una letra
eje
horizontal
se
le
denomina
mayúscula (usualmente X, aunque en física
será
2.1.9 Componente de un vector.
una
letra
que
represente
una
magnitud física), mientras que al eje
vertical se le denominará ORDENADA
La proyección ortogonal de un vector
sobre una recta es una cantidad que se
(identificado por la letra Y, o
una
magnitud física).
denomina componente (es un escalar).
Y
Esta se determina como la magnitud del
Y1
segmento de la recta comprendido entre
dos rectas perpendiculares a ella, y que
Y0
X
pasan por el origen y el extremo del
Fig 2. 11
X1
X0
vector respectivamente.
Vector en
cartesiano
el
plano
coordenado
67
El dibujo anterior muestra el primer
Vectores
cuadrante de este plano (que contiene los
cartesiano.
en
el
espacio
coordenado
semiejes positivos de X e Y), dividido en
En el espacio un vector tiene tres
cuatro partes.
componentes, pues a las anteriores debe
Note que (X1#X0) es la componente del
agregarse aquella que proyectará en el
vector sobre el eje X; y que (Y1#Y0) es la
tercer eje, denominado eje Z.
componente del vector sobre el eje Y.
El espacio coordenado cartesiano está
El origen del vector puede indicarse con
conformado
por
tres
rectas
propiedad a través de su ubicación en el
perpendiculares
plano, pues se encuentra en el punto
(trirectangulares) denominados ejes X,
(X0,Y0), mientras el extremo se encuentra
Y,Z habitualmente, como se muestra en
en el punto (X1, Y1).
la figura siguiente. Allí se muestra el
entre
sí
primer octante (las tres rectas dividen el
espacio en 8 partes iguales), octante
2.1.10 Vectores unitarios en el plano
denominado positivo, pues contiene los
tres semiejes positivos.
Resulta útil definir vectores unitarios
Z
cuyas direcciones y sentidos sean las de
los
semiejes
positivos
del
AZ
plano
cartesiano, direcciones que ocuparemos
A
como referencia en el futuro.
AY
AX
Al vector unitario en dirección de +X se
X
le define como "i , mientras que al vector
unitario en dirección de +Y se le define
Fig 2. 12
Proyecciones de un vector en el espacio
como "
j.
Como se ve en esta figura, un vector que
no se encuentra ubicado en alguno de los
planos
cartesianos
proyecta
tres
(XY,
XZ
componentes,
o
YZ),
cuyas
magnitudes son:
68
AX=(X1#X0),
2.1.11 Componentes cartesianas de un
vector.
AY = (Y1 # Y0)
Ahora
AZ = (Z1 # Z0)
estamos
encontrar
en
relaciones
condiciones
analíticas
de
para
Note que aquí el plano XY se encuentra en
trabajar con los vectores, prescindiendo
el piso.
de las representaciones gráficas, que si
bien es cierto prestan mucha ayuda
Finalmente, se puede definir un vector
unitario
en
dirección
y
sentido
del
semieje positivo de Z, que se define
didáctica,
nos
confundirán
cuando
trabajemos con magnitudes físicas, pues
se tiende a relacionar la longitud del
usualmente como k" .
dibujo de un vector con su magnitud.
j del
Este versor, junto a los versores "i, "
Consideremos un vector libre en el plano
plano XY forman un trío de versores
XY,
trirectangulares.
origen
representado con su origen en el
del
sistema
cartesiano
de
coordenadas para simplificar el análisis;
Z
representemos gráficamente además, sus
componentes cartesianas y sus versores:
k
Y
i
j
Y
A
X
AY
Fig 2. 13
j
Versores trirectangulares
X
i
AX
Fig 2. 14
Vector en el plano; componentes y
versores
En virtud de lo previamente definido, se
puede suponer la existencia de dos
vectores
ficticios
(que
llamaremos
69
vectores
sumados
componentes),
tengan
tales
que
&
vector A como
al
&
j+AZk" ; en el espacio)
( A=AX"i + AY "
Esta nos será muy útil para encontrar una
resultante.
forma más analítica de sumar vectores,
El vector componente situado en la
como se verá a continuación.
abscisa tiene magnitud equivalente a AX
y
dirección
"i ,
mientras
el
vector
componente situado en la ordenada tiene
2.1.12
magnitud equivalente a Ay y dirección "
j.
de sus componentes.
& &
Supongamos la los vectores A y B en el
Y
plano XY como en la figura siguiente.
A
Como son vectores libres, los hemos
AY
X
AX
Fig 2. 15
Suma de Vectores en función
Vectores componentes
Aquí resulta claro que:
&
A
& &
AX +AY
dibujado de manera tal que el extremo de
&
&
A coincida con el origen de B , con lo que
la suma de ambos se puede obtener
&
gráficamente uniendo el origen de A con
&
el extremo de B , como ya sabemos. A
&
esta resultante le denominaremos R .
Y si recordamos nuestra definición de
Y
versor tenemos que:
&
"i= AX
AX
por lo que
&
AX =Ax "i
BY
RY
AY
&
AY
"
j=
AY
por lo que
Entonces el vector
como:
A
R
X
&
AY =AY "
j
&
A puede escribirse
B
AX
BX
RX
Fig 2. 16
Suma
de
componentes
vectores
y
sus
&
A = AX"i AY "
j
70
&
Entonces las componentes de R son la
&
*
a) A B
suma aritmética de las componentes de
& &
los vectores A y B .
&
*
b) A B
RX
AX BX
RY
AY BY
Por lo que:
&
R
(AX +BX )i" +(AY +BY )j"
Si el vector estuviese en el espacio, por
extensión, se encuentra que:
&
R
" (A B )j" (A B )k"
(AX + BX )i+
Y
Y
Z
Z
Esta expresión es válida para la suma de
&
c) 2 A
Solución:
& &
j 2- 5 k"
a) A B= 3 1 "i 4 3 "
& &
" "
A B= 4i" 7j-3k
Pues la resultante se obtiene sumando las
componentes respectivas.
&
&
b) A (- B)
&
&
A (-B)
3 1 "i 4 3 "j 2 5 k"
2i" "
j 7k"
varios vectores, pues en ese caso a cada
dimensión se le agregarán los términos
correspondientes a las componentes de
los nuevos vectores.
Pues la resta no es más que la suma del
opuesto.
c)
&
2A
6i" 8j" 4k"
Del mismo modo, la expresión permite
restar vectores, pues como hemos visto,
la resta corresponde a la suma del
opuesto.
Ejemplo 2.1
2.1.13 Notación polar.
En
muchas
ocasiones
nos
veremos
enfrentados a la necesidad de calcular o
referirnos a los vectores en función de su
Sean
los
siguientes
vectores:
&
&
" "
A 3i" 4j" 2k" ;
B=i" 3j-5k
Encontrar:
magnitud y dirección directamente. Para
ello recurriremos a la notación polar, que
da cuenta de su magnitud a través de su
módulo y a su dirección a través de un
71
ángulo
respecto
de
una
recta
de
referencia.
calcular las polares a través de las
expresiones:
Consideremos un vector en el plano
A2 = AX2 + AY2
coordenado cartesiano, como se ve en la
T= arctg
figura siguiente:
Y
AY
AX
Ejemplo 2.2
&
Sea A un vector de módulo 5 y dirección
A
AY
T
37º respecto de +X situado en el plano
X
XY.
AX
Fig 2. 17
Encontrar
sus
componentes
cartesianas.
Solución: Se tiene que A=5 y Tx=37º.
Componentes cartesianas y polares
La dirección y sentido del vector pueden
indicarse a través de un ángulo, que
Por tanto:
AX=5cos37º=5(0,8)=4
usualmente es el ángulo entre el vector y
el semieje positivo de la abscisa y su
magnitud, a través del módulo del vector;
analíticamente:
AY=5sen37º=5(0,6)=3
Si suponemos que el origen está en el
punto (0,0) del sistema de coordenadas,
&
A =(A,T)
entonces el extremo del vector estará en
el punto (4,3)
Las componentes cartesianas se pueden
Y
encontrar fácilmente a través de las
polares mediante las expresiones:
A =5
3
AX = A cos T
AY = A sen T
37º
X
4
Del
mismo
modo,
conocidas
las
Fig 2. 18
componentes
cartesianas,
se
pueden
Representación gráfica del vector del
ej. 2
72
Note que si el origen del vector estuviera
figura siguiente muestra los ángulos
por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el
directores:
extremo estaría en el punto (6,4) pues
sus componentes cartesianas son AX=4 y
AY=3.
Y
4
3
Fig 2. 20
1
Un vector en el espacio.
X
2
6
Aquí se ve que los ángulos directores TX,
4
Fig 2. 19
TY,
Componentes del vector del ej. 2
TZ
determinan
magnitud
&
B un vector cuyas componentes
cartesianas son BX=10 y BY=5 situado en
el plano XY.
Encontrar su magnitud y
dirección.
El
corresponde
vector
se
cos TX =
cos TY =
cos TZ =
2.1.14 En el espacio
determinada
del
la
cuando
dirección
se
queda
conocen
los
ángulos respecto de los tres ejes.
La
representar
las
de
siguientes
la
figura
anterior:
B2=102+52; B = 11,2
espacio
son
extraídas
§5·
rctg ¨ ¸ 26,6º © 10 ¹
el
puede
importantes
En
módulo
de sus ángulos directoresTX; TY; TZ
relaciones
Solución: Se tiene que Bx=10 y BY=5.
T
el
La
analíticamente a través de su módulo A y
Muy
Por tanto:
dirección.
vector (A).
Ejemplo 2.3
Sea
la
Denominados
permiten
AX
A
AY
A
AZ
A
cosenos
calcular
las
directores,
componentes
73
cartesianas a partir de la magnitud y los
C2=32+(-6)2+ 22= 49
ángulos directores, pues de ellos se tiene:
Por lo tanto su magnitud es:
AX = A cos TX
AY = A cos TY
Y sus direcciones:
AZ = A cos TZ
3
=64,6º
7
Tx=arcos
Dadas las componentes cartesianas se
pueden conocer la magnitud y los ángulos
directores a través de las siguientes
relaciones, provenientes también de los
Ty=arcos
C=7
6
=149 º
7
Tz=arcos
2
=73,4º
7
cosenos directores:
TX arccos
TY arccos
AX
A
2.1.15 Productos entre Vectores.
AY
A
Existen
vectores,
A
TZ arccos Z
A
dos
formas
siendo
de
una
multiplicar
denominada
producto escalar (interno o de punto) y la
El módulo se puede calcular a través de la
otro producto vectorial (exterior o de
expresión:
cruz), puesto que ofrecen como resultado
un escalar y un vector respectivamente.
2
A
=AX2+AY2+AZ2
Producto Escalar.
&
&
Dados dos vectores A y B , su producto
Ejemplo 2.4
escalar se define como el producto de sus
Consideremos
ubicado
en
cartesiano.
el
el
vector
&
" " "
C=3i-6j+2k
módulos por el coseno del ángulo que
espacio
coordenado
forman.
Encontrar su magnitud y
dirección.
& &
A ! B =ABcosT (StTt0)
La definición de producto escalar tiene
Solución:
Se tiene que CX=3, CY=-6 y
aplicaciones muy relevantes, pues permite
CZ=2 . Podemos calcular su magnitud:
74
expresar magnitudes muy importantes
4.- De acuerdo a lo anterior, entonces:
para la física en forma muy sencilla.
"
j • k" =0
"i • "
j =0
"i • k" =0
Las propiedades del producto escalar son:
& & & &
1.- A x B=B x A
j , k" forman
pues los vectores unitarios "i , "
(Conmutatividad)
& & & & & & &
2.- A x B+C =A x B+A x C
respecto de la suma).
(Distributividad
&
& &
& & &
3.- m A x B = mA x B=A x mB
un sistema trirectangular.
5.- Ahora estamos en condiciones de
encontrar una expresión que permita
multiplicar escalarmente dos vectores
siendo m
expresados en coordenadas cartesianas.
un escalar.
Sean los vectores:
Aplicaciones:
&
&
A=Ax"i Ay "
j Azk" ; B=Bx"i By "
j Bzk"
& &
1.- A x A=A2
Si queremos multiplicarlos escalarmente,
El producto escalar entre un vector y si
mismo, constituye el cuadrado del vector,
y corresponde al cuadrado de su módulo.
tenemos, recordando la propiedad de
distributividad
& &
AxB
& &
A • A =AAcos0º=AA(1)=A2
2.- "i • "i =1
"
j •"
j =1
k" • k" =1
Por las razones expuestas en el punto 1.
3.- Si dos vectores son perpendiculares,
entonces según la definición se tiene:
& &
A • B =ABcos90º=AB(0)= 0
producto
escalar
respecto de la suma de vectores:
Esto se debe a que si aplicamos la
definición, tenemos:
del
A "i A "j A k" x B "i B "j B k"
x
y
z
x
y
z
j x "i A B "
j x"
j A B "
j x k" A B "
j A B k" x k" A B k" x "i A B k" x "
& &
AxB
AxBx "
i x"
i AxBy "
i x"
j AxBz "
i x k" y x
y
y
y z
z x
z
y
z z
Por tanto:
& &
AxB
AxBx AyBy AzBz
Esta es condición de perpendicularidad.
75
& &
A x B =5
Ejemplo 2.5
Sean
los
vectores:
&
" " ".
B=i+3j-5k
Encontrar
&
" " ";
A=3i+4j+2k
su
producto
según el ejercicio 2.5.
Así que:
T arcos
escalar.
arcos0,16 81º
5, 4 5, 9 5
Solución: De acuerdo a la definición, se
tiene:
Producto Vectorial
& &
A x B =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5
&
&
A y B ; entonces su
Sean los vectores
producto vectorial se define como:
& &
A X B = (ABsenT u" Ejemplo 2.6
Dados los vectores del ejercicio anterior,
calcular el ángulo entre ellos.
Solución: De acuerdo a la definición de
producto escalar, se tiene que:
& &
A x B =ABcos T
Donde A y B son las magnitudes de los
&
&
vectores A y B respectivamente; Tes el
ángulo que forman ambos vectores y u" es
un vector unitario cuya dirección es
& &
perpendicular al plano que forman A y B .
AXB
Donde Tes el ángulo entre los vectores
A
que nos solicitan. Por lo tanto:
T
& &
AxB
T arcos
AB
u
B
Fig 2. 21
note que aquí AB es el producto entre las
&
&
magnitudes de los vectores A y B
(StTt0)
Producto vectorial
respectivamente.
Entonces:
& &
Entonces el vector A u B es un vector
& &
libre, perpendicular al plano A B , cuya
A2=32+42+22
A=5,4
magnitud es
B2=12+32+(-5)2
B=5,9
&
&
Los vectores A , B y
(A B sen T
& &
A u B forman un
trío a derechas (un sistema dextrosum),
76
& &
lo que quiere decir que la dirección A u B
&
&
&
j X"
j = 0 ; k" X k" = 0
2.- "i X "i = 0 ; "
es la que indica el dedo pulgar de la mano
derecha cuando esta se cierra desde el
&
&
vector A hacia el vector B , en el plano
& &
AB.
AXB
A
B
Fig 2. 22
Regla de la mano derecha.
Según la aplicación anterior.
3.-
También
se
tiene
aplicando
la
definición que:
"i X "
j ={(1)(1)(sen90º)} k" = k"
"
j X k" ={(1)(1)(sen90º)} "i = "i
j= "
k" X "i ={(1)(1)(sen90º)} "
j
Y
según
la
propiedad
de
anticonmutatividad:
"
j X "i =- k"
Las propiedades del producto vectorial
son:
k" X "
j =- "i
& &
& &
1.- A u B = B u A Anticonmutatividad
& & & & & & &
2.- A x( B + C )= A x B + A x C
Distributividad respecto de la suma).
& &
&
& &
&
3.- m( A x B )=(m A )x B = A x(m B ) siendo m
"i X k" =- "
j
El
gráfico
siguiente
resume
lo
encontrado, proporcionando además una
buena forma de recordarlo en el futuro.
un escalar
k
j
Aplicaciones:
i
&
&
1.- Si los vectores A y B son paralelos,
entonces, por definición:
&
& &
A u B =(ABsenº u" = 0
Esta es condición de paralelismo.
Fig 2. 23
Producto vectorial entre versores.
Note que el producto vectorial entre 2
versores es el tercer versor, y es positivo
cuando el producto sigue la dirección de
77
las flechas en el gráfico, es decir, cuando
el sentido es contrario al movimiento de
las
manecillas
de
un
reloj
& &
A X B =(AYBZ#AZBY) "i +(AZBX#AXBZ) "
j+
+(AXBY-AYBX) k"
(sentido
Que
antihorario).
equivale
al
desarrollo
del
determinante siguiente:
4.- Ahora estamos en condiciones de
encontrar una expresión que permita
& &
AuB
encontrar el producto vectorial para
vectores que están expresados en función
de
sus
componentes
rectangulares
(cartesianas) y sus respectivos versores.
"
j
k"
AX
AY
AZ
BX
BY
BZ
5.- La magnitud del producto vectorial es
numéricamente igual que el área del
paralelógramo formado por los vectores
Sean los vectores:
&
&
A =AX "i +AY "
j +AZ k" y B =BX "i +BY "
j +BZ k" .
Si
"i
queremos
multiplicarlos
multiplicados y las paralelas que pasan por
sus extremos.
Para mostrar esto, consideraremos la
vectorialmente, tenemos, recordando la
figura
propiedad de distributividad del producto
vectores unidos por el origen y las
vectorial
paralelas a ellos.
respecto
de
la
suma
de
siguiente,
que
vectores:
& &
A X B =(AX "i +AY "
j +AZ k" )X(BX "i +BY "
j +BZ k" )
muestra
dos
AB sen T
A
A sen T
T
j )+AXBZ( "i X k" )+
=AXBX( "i X "i )+AXBY( "i X "
+AYBX( "
j X "i )+AYBY( "
j X"
j )+AYBZ( "
j X k" )+
B
B
j )+AZBZ( k" X k" )
+AZBX( k" X "i )+AZBY( k" X "
Fig 2. 24
reemplazando los productos vectoriales
Área del paralelogramo formado por 2
vectores.
entre paréntesis, se tiene:
El área de este paralelógramo se calcula
& &
A X B =AXBY k" +AXBZ(- "
j )+AYBX(- k" )+
j +AZBY(- "i )
+AYBZ "i +AZBX "
multiplicando la base
(AsenT
(B)
por la altura
78
Area=BAsenT
Ejemplo 2.8
Que es igual a la magnitud del producto
& &
vectorial entre los vectores A y B .
Encontrar
un
vector
unitario
perpendicular al plano formado por los
vectores del ejemplo 7.
Note que el área del triángulo formado
por
los
vectores
y
alguna
de
sus
diagonales es justamente la mitad del
Solución: Según la definición de producto
vectorial se tiene que:
área calculada.
& & & &
AXB= AXB u"
De donde:
Ejemplo 2.7
Encontrar el producto vectorial entre los
& &
-26i" 17j" 5k"
AuB
& & =
676 289 25
AuB
u"
vectores:
&
" " ";
A=3i+4j+2k
&
" " ".
B=i+3j-5k
u"
-26i" 17j" 5 k"
31,5
0,83i" 0,54 "
j 0,16k"
Solución: de acuerdo a la definición se
Que
tiene:
& &
AuB
"i
3
1
"
j k"
4 2
3 5
es
el
vector
solicitado,
cuya
magnitud es 1 y dirección es la del vector
& &
AuB .
& &
j 9 4 k"
AXB= -20-6 "i 15 2 "
& &
AXB=-26i" 17j 5k"
79

2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. Cuando queremos referirnos al

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