1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia

Transcripción

1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia
1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia ___________________ 1
1.1. Planteo del Problema _________________________________________________ 2
1.1. Relación con Variables de Estado_______________________________________ 5
1.2. Ecuación Diofantina __________________________________________________ 7
1.2.1. Algoritmo de Euclides________________________________________________ 8
1.2.2. Solución__________________________________________________________ 9
1.2.3. Matriz de Sylvester. ________________________________________________ 10
1.3. Particularizaciones del Método _______________________________________ 10
1.3.1. Cancelación de Polos y Ceros _________________________________________ 10
1.3.2. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia __________ 11
1.3.3. Mejor Rechazo a Perturbaciones _______________________________________ 13
1.4. Sensibilidad a Errores de Modelo______________________________________ 19
1.4.1. Márgenes de Estabilidad _____________________________________________ 19
1.4.2. Otra Forma de Ver el Problema ________________________________________ 19
1.4.3. Desempeño _______________________________________________________ 21
1.5. Procedimiento de Diseño _____________________________________________ 21
1.5.1. Cálculo de la Ley de Control __________________________________________ 23
1.6. Parametrización de Youla-Kucera _____________________________________ 25
1.7. Aspectos Prácticos __________________________________________________ 26
Control Digital 05.doc 1
1.1. Planteo del Problema
Proceso
A ( q) y k = B ( q ) uk
[1.1]
grado de B menor que grado de A.
A es mónico.
Es un sistema continuo, muestreado, con bloqueador de orden cero, actuador, filtro
antialiasing.
Las perturbaciones son impulsos espaciados que se pueden estudiar como perturbaciones en el valor inicial.
Se desea que la salida siga una trayectoria de diseño y tenga acción integral.
Ley de control lineal
R ( q ) uk = T (q ) rk − S ( q ) y k
[1.2]
R es mónico.
u
r
T (z)
1
R ( z)
y
B (z)
A(z)
S (z )
tiene una realimentación y un control en adelanto
H ff ( z ) =
H fb ( z ) =
T ( z)
S (z)
R(z)
[1.3]
R(z)
grado de S menor que grado de R.
Para el cálculo se reemplaza el controlador en el modelo de la planta
( A ( q) R ( q ) + B ( q ) S ( q ) ) y
k
= B ( q ) T ( q ) rk
[1.4]
el denominador es
Alc = A ( q) R ( q ) + B ( q ) S ( q ) = Am ( q )
[1.5]
resultando una ecuación Diofantina
Siempre tiene solución si A y B no tienen raíces comunes.
El denominador en lazo cerrado se puede factorear
Alc = Ac ( q ) Ao ( q)
[1.6]
con
Ac ( z ) = det ( zI − Φ + ΓL )
Ao ( z ) = det ( zI − Φ + KC )
[1.7]
es la separación del control y el observador
Cálculo de T
Y (z ) =
B (z) T (z )
B ( z ) T ( z)
Rc ( z ) =
Rc ( z )
Alc ( z )
Ac ( z ) Ao ( z )
[1.8]
los ceros se mantienen excepto que se cancelen con Alc
Se elige T para cancelar el observador
T ( z ) = t o Ao ( z )
[1.9]
donde t o se elige para tener ganancia unitaria es decir
Y (z ) =
to =
to B ( z )
Rc ( z )
Ac ( z )
Ac (1)
B (1)
[1.10]
[1.11]
La acción de control resultaría
uk =
T (q)
S (q)
rk −
yk
R (q)
R ( q)
[1.12]
Ejemplo 1.1. Doble Integrador
A ( z ) = ( z − 1)
B(z) =
2
T2
( z + 1)
2
[1.13]
ecuación diofantina
T2
( z − 2z + 1) R ( z ) + 2 ( z + 1) S ( z ) = Alc ( z )
2
[1.14]
se busca el control más simple.
El más simple de todos es R ( z ) = 1 y S ( z ) = s0 que es un control proporcional.
en este caso resulta
z2 − 2z + 1+
s0T 2
( z + 1) = Alc ( z )
2
[1.15]
no tiene solución general para un polinomio Alc ( z ) de segundo orden
Con uno de primer orden R ( z ) = z + r1 y S ( z ) = s0 z + s1
( z 2 − 2 z + 1) ( z + r1 ) +
T2
( z +1)( s0 z + s1 ) = Alc ( z )
2
[1.16]




T2
T2
T2
z 3 +  r1 + s0 − 2  z 2 + 1 − 2r1 + ( s0 + s1 )  z + r1 + s1
= Alc ( z )
2
2
2




[1.17]
es posible encontrar los coeficientes para cualquier polinomio Alc ( z ) de tercer orden.
Se elige
Alc ( z ) = z 3 + p1z 2 + p2 z + p3
[1.18]
resulta
3 + p1 + p2 − p3
4
5 + 3 p1 + p2 − p3
s0 =
2T 2
3 + p1 − p2 − 3 p3
s1 =
2T 2
r1 =
[1.19]
Se elige la raíz real como raíz del observador
Generalmente resultan controladores de orden elevado.
Se puede obtener un regulador con un integrador en forma explícita haciendo
R ( z ) = ( z + r1 )( z − 1)
S ( z ) = s0 z 2 + s1 z + s2
[1.20]
1.1. Relación con Variables de Estado
Se verá en forma más detallada la relación con la asignación de polos en variables
de estado.
Sea el sistema a controlar:
A y= B u
[1.21]
Para expresar el estado interno del sistema tomaremos la representación en el espacio de estado en la forma observable es decir:
 - a1 1 K 0 
 b1 
 M M

 M 
M


x k+1 =
x k +   u k = Φx k + Γ u k
 -a n-1 0 K 1
b n-1


 
 -a n 0 K 0 
 bn 
y k = [1 , 0 K] x k = C x k
[1.22]
A fin de hacer más general el problema supongamos que x no es medible y planteemos el siguiente observador:
 k1 
 
xˆ k+1 = Φ xˆ k + Γu k +  M  ( y k - C xˆ k )
 kn 
= (Φ -KC ) xˆ k + Γu k + K y k
[1.23]
donde K es el vector de ajuste del observador. El error de observación resulta,
x%k+1
 - a1 - k 1 1 K 0

M M
M
 x%k
= xˆ k+1 - x k+1 = 
-a n-1 - k n-1 0 K 1


 - a n - k n 0 K 0
= (Φ - KC ) x%k
[1.24]
Siempre podemos elegir los ki de modo que x%k → 0 lo que implica que podremos
tener una buena observación del estado. Suponiendo que el sistema es controlable es siempre posible encontrar una matriz P tal que:
x = Pxc
[1.25]
donde xc es la nueva representación del estado en su forma controlable. El sistema
quedará expresado como sigue:
 -a 1 K -a n-1 -a n
1
 1 K

0 
0
0


=
+
x ck+1
xc   uk
 M
M
M k  M 


 
1
0
 0 K
0 
y k = [ b1 K bn ] x c k
[1.26]
Lo mismo deberíamos hacer con el observador será
xˆ = P xˆc
[1.27]
o lo que es lo mismo, si desarrollamos la expresión del observador,
P xˆ ck+1 = ( Φ - KC ) P xˆ c k + Γu k + K y k
xˆc k +1 = P −1 (Φ - KC ) P xˆ c k + P −1Γ u k + P −1 K y k
[1.28]
xˆ ck+1 = Φ c xˆ ck + Γc u k + Kc y k
Ahora estamos en condiciones de diseñar el regulador. Realimentar el estado no
significa más que elegir una matriz L tal que se cumpla,
uk = − Lxc k
[1.29]
Se verá cómo se asemeja esto a la forma polinomial. En este caso la realimentación
es
Alc = AR + BS = Am
[1.30]
Se definen dos polinomios auxiliares, L y N que tienen la siguiente función:
Am = T ( A + L)
donde hemos dividido el polinomio
[1.31]
Am y los polinomios T y L tienen la siguiente
forma:
L = l1q −1 + L
T = 1 + t1q −1 + L
[1.32]
También separemos R como sigue:
R = N +T
[1.33]
con
R = r1q −1 + L
N = ( r1 − t1 ) q −1 + L
[1.34]
De la ley de control, podemos deducir:
Ru = Trc − Sy
[1.35]
( N + T ) u = Trc − Sy
Tu = Trc − ( Nu + Sy )
[1.36]
Ahora, definiendo un estado ficticio del siguiente modo:
A x= u
y=B x
[1.37]
La ley del regulador será:
Tu = Trc − ( NA + SB ) x
[1.38]
NA + SB = ( R − T ) A + SB
= RA + SB − TA = Am − TA
[1.39]
= TA + TL − TA
= TL
Tu = Trc − TLx
[1.40]
u = rc − Lx
[1.41]
El problema es que x no es medible pero la expresión
Nu + Sy = ( NA + SB ) x = TLx
[1.42]
no es más que una observación de x. Esta forma de ver la asignación polinomial de
polos se puede ver en la siguiente figura:
u
rc
+
−
R ( q) − T ( q)
y
x
1
A(q)
+
B (q)
+
S ( z)
T (q ) L (q ) x
L ( q) x
1
T (q)
1.2. Ecuación Diofantina
Ecuación polinomial
AX + BY = C
[1.43]
Ejemplo 1.2. Ecuación
3 x + 2y = 5
[1.44]
si las variables son reales, tiene infinitas soluciones. Es una recta.
Si son enteras, una solución es [ x, y ] = [1,1] .
Las otras soluciones serán
x = x0 + 2n
[1.45]
y = y0 − 3n
algunas soluciones
x : −5 −3 −1 1
y : 10
7
4
3
5
7
1 −2 −5 −8
[1.46]
Ejemplo 1.3. Ecuación sin solución
4 x + 6y = 1
[1.47]
Las ecuaciones planteadas en el controlador son parecidas a estas.
1.2.1. Algoritmo de Euclides
Encuentra el mayor divisor común G de dos polinomios A y B.
Es un algoritmo recursivo
Si un polinomio es cero, G es directamente el otro polinomio
Se supone que el grado de A es mayor o igual al de B.
Se inicia el algoritmo con A = A0 y B = B0
Se itera haciendo
An+1 = Bn
Bn+1 = An mod Bn
[1.48]
hasta que Bn+1 = 0 en este caso G = Bn
Además se cumple que
AX + BY = G
[1.49]
Teorema 1. Existencia de solución de una ecuación diofantina
Sean A, B y C polinomios de coeficientes reales.
la ecuación AX + BY = C tiene solución si el mayor factor común de A y B divide a
C.
Si
existe
una
solución
[ X 0 , Y0 ] entonces
existen
otras
soluciones
[ X = X0 + QB, Y = Y0 − QA] con Q un polinomio arbitrario.
Surge del algoritmo anterior. Si A y B no tienen factores comunes, entonces G = 1 .
La ecuación [1.49] multiplicada por C queda
ACX + BCY = CG = C
[1.50]
1.2.2. Solución
Se considera la ecuación
AX + BY = G
[1.51]
y
AU + BV = 0
[1.52]
objetivo: calcular X, Y, U y V.
Se escribe
X
U

Y   A  G 
=
V   B   0 
X
U

Y   A 1 0  G X
=
V   B 0 1   0 U
[1.53]
Y
V 
[1.54]
---------------falta pag 173 y sgte -----------Para que el regulador sea causal los grados de S y T tienen que ser menores o iguales al de R . Normalmente se considera
grado ( R ) = grado ( T ) = grado ( S )
[1.55]
Normalmente resulta
grado ( R ) = grado ( T ) = grado ( S ) = grado ( Ao ) = n − 1
[1.56]
y
grado ( Ac ) = n
[1.57]
Si se quiere acción integral se aumenta en uno el grado del regulador
1.2.3. Matriz de Sylvester.
la ecuación diofantina se puede resolver matricialmente planteando un sistema de
ecuaciones.
 a0

 a1
 a2

M
 an

0
0

M
0

0
0
a0
a1
M
0
a0
M
an −1
an
0
M
an −2
an −1
an
M
0
0
L
L
L
O
0
b0
0
0
0
0
M
b1
b2
M
b0
b1
M
0
b0
M
L a0 bn bn−1 bn − 2
L a1 0 bn bn −1
L a2 0
0
bn
O M
M
M
M
L an
0
0
0
L 0
 c0 



L 0
c1 
 x0  
L 0
  c2 
 M  

O M
M 

 xn−1 
L b0  
 =  cn 
  y0  

L b1 
cn+1 

 M 
L b2  
 c 
  yn −1   n+ 2 
O M
 M 

c 
L bn 
 2 n−1 
[1.58]
la matriz de la izquierda es invertible si los polinomios A y B no tienen factores comunes.
1.3. Particularizaciones del Método
1.3.1. Cancelación de Polos y Ceros
Se pueden cancelar polos y ceros suficientemente alejados del uno.
Sean los polinomios
A = A+ A−
[1.59]
B = B+ B−
+
+
donde A y B son los factores a cancelar, son mónicos y estables.
el controlador resultante será
R = B +R
S = A+ S
[1.60]
+
T=AT
el polinomio característico en lazo cerrado será
Alc = AR + BS = A+ B + ( A− R + B − S ) = A+ B+ Alc
[1.61]
+
+
los polinomios A y B son factores del polinomio en lazo cerrado
Haciendo la factorización
Alc = Ac Ao
[1.62]
se toma
Ac = B + Ac
[1.63]
Ao = A+ Ao
cancelando se obtiene
Alc = A− R + B − S = Ac Ao
[1.64]
El mínimo regulador causal se obtiene encontrando la única solución para el poli−
nomio que cumple grado ( S ) < grado ( A )
La ley de control se escribe
B + Ru = A+ Tr − A+ Sy
[1.65]
o sea
u=
A+
B+
T
S 
 R r− R y


[1.66]
se cancelan los polos y ceros de la planta y se los ubica en otra parte como si no
existieran.
La relación referencia-salida es
y BT t0 B+ B− A0 t 0B −
=
=
=
rc
Alc
Ac A0
Ac
[1.67]
se deben cancelar solo los modos estables.
Se define una zona en donde sí se pueden cancelar ceros.
1.3.2. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia
Se intentará hacer algo similar a variables de estado
Sea la respuesta deseada
ym = H m r =
Bm
r
Am
para tener un seguimiento perfecto,
pueden cancelar esos ceros.
[1.68]
B − tiene que ser factor de Bm ya que no se
Por lo tanto
Bm = Bm B −
[1.69]
Introduciendo
R = Am B+ R
S = Am A + S
[1.70]
T = BmA 0A c A +
La transferencia a lazo cerrado queda
y=
BT
BR
B
AA
BR
r+
v= m − o c − r+ + −
v
AR + BS
AR + BS
Am ( A R + B S )
A ( A R + B− S )
[1.71]
v
r
T ( z)
1
R( z)
u
B ( z)
A(z )
y
S ( z)
Si se hace
Ao Ac = A− R + B − S
y=
[1.72]
Bm
BR
BR
r+ +
v = ym + +
v
Am
A Ao Ac
A Ao Ac
[1.73]
La ley de control resulta
u=
A+
B+
 BmAo Ac
S 
r − y

R 
 Am R
[1.74]
considerando [1.72]
−
−
Bm A0 Ac Bm ( A R + B S ) Bm A− Bm B − S Bm A− Bm S
=
=
+
=
+
Am R
Am R
Am
AmR
Am B − Am R
[1.75]
con lo que la ley de control se rescribe
Bm A
A+ S
u=
r + + ( ym − y )
Am B
B R
[1.76]
tiene dos componentes, una en adelanto con función de transferencia
H ff ( z ) =
Bm ( z ) A ( z ) Bm ( z ) A ( z )
=
Am ( z ) B ( z ) Am ( z ) B + ( z )
[1.77]
y una realimentación proporcional al error entre la salida del modelo y la salida real,
con función de transferencia
H fb ( z ) =
A + ( z ) S ( z)
B+ ( z ) R ( z )
[1.78]
A(z)
B (z)
r
Bm ( z )
Am ( z )
ym
S ( z)
R (z)
u ff
u fb
u
B (z)
A(z)
y
−1
1.3.3. Mejor Rechazo a Perturbaciones
Ahora hay dos perturbaciones:
v a la entrada
e ruido de medición (salida)
Se diseña un regulador quedando como la figura
v
r
T ( z)
S ( z)
u=
r−
y
R ( z)
R (z)
u
e
B (z )
A (z)
x
y
El sistema queda
Ax = B ( u + v )
y = x +e
[1.79]
resolviendo
BT
BR
BS
r+
v−
e
AR + BS
AR + BS
AR + BS
BT
BR
AR
y=
r+
v+
e
AR + BS
AR + BS
AR + BS
AT
BS
AS
u=
r+
v−
e
AR + BS
AR + BS
AR + BS
x=
[1.80]
Si v es un escalón, B o R deben tener una raíz en 1.
Si v es periódica, de período nT , B o R debe haber n raíces en 1 tal que
vk + n − v k = ( q n − 1) vk = 0
[1.81]
Si v es una senoide de frecuencia ω 0 , B o R debe tener una dinámica tal que haga
yk − 2cos (ω 0T ) yk −1 + yk −2 = 0
[1.82]
El ruido de medición tiene, generalmente, alta frecuencia
La frecuencia de Nyquist es la máxima frecuencia de interés y corresponde a
z = −1 . Una forma de eliminar esta frecuencia es hacer que S tenga un término z + 1
R es para perturbaciones a la entrada
S es para perturbaciones a la salida.
Ejemplo 1.4. Motor con Cancelación de Ceros
el motor es
H (z) =
K ( z − b)
( z − 1) ( z − a )
[1.83]
con
K = e− T − 1 + T
a = e− T
b = 1−
[1.84]
T (1 − e−T )
e−T − 1 + T
el cero es real negativo
el modelo a seguir es
Hm ( q) =
Bm ( q) q (1 + p1 + p2 )
=
Am ( q ) q2 + p1q + p2
[1.85]
no tiene el cero de lazo abierto. Se debe cancelar
la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero en b . Se factoriza B como
B+ = z − b
[1.86]
B− = K
A+ = 1
[1.87]
A− = A
por lo tanto
Bm =
Bm 1 + p1 + p2
=
K
K
[1.88]
u
rfc
rc
T
S
+
−
B+B−
A+ A−
S
R
y
Se hace
R = Am B+ R
S = Am A + S
T = BmA 0A c A
[1.89]
+
rc
Bm A0 Ac
Am S
rfc
+
−
A+ S
B+R
u
B+B−
A+ A−
y
La función de transferencia en lazo cerrado resulta
S B
y T RA
TB
=
=
rc S 1 + S B RA + SB
R A
[1.90]
y
TB
BmAo Ac A+ B+ B −
Bm B −
A0 Ac
=
=
=
+
+ −
+
+ −
−
rc RA + SB Am B RA A + Am A SB B
Am ( RA + SB − )
[1.91]
La ley de control resulta
Ru = Trc − Sy
u=
BmA 0 Ac A+
Am A +S
r
−
y
c
Am B + R
Am B+ R
u=
BmA 0 Ac A+
A+ S
r
−
y
c
Am B + R
B+ R
[1.92]
Además se cumple la ecuación
[1.93]
el observador se puede elegir como
Ao ( z ) = 1
[1.94]
Los grados de R y S deben satisfacer
grad ( R ) = grad ( A0 ) + grad ( Am ) − grad ( A) = 0
grad ( S ) = grad ( A ) − 1 = 1
[1.95]
Se elige R de orden cero y S de orden uno.
Ac = z2 + ac1z + ac 2
[1.96]
[1.97]
( z − 1) ( z − a ) r0 + K ( s0 z + s1 ) = z 2 + ac1 z + ac 2
[1.98]
de donde,
r0 = 1 s0 =
1 + a + ac1
K
s1 =
ac 2 − a
K
[1.99]
Además
z (1 + p1 + p2 )
= t0 z
K
1 + p1 + p2 2
T = BmA 0 Ac A+ = Bm Ac =
( z + ac1 z + ac 2 )
K
T ( z ) = A0 ( z ) Bm ( z ) =
[1.100]
Si la referencia es constante se puede hacer
T = t0 =
1 + p1 + p2
(1 + ac1 + ac 2 )
K
[1.101]
La ley de control es

S  Bm Ac
B A
S
rc − y  = +m c rc − + y

+
B R  Am S
B R
 B RAm
B + RAmu = Bm Ac rc − SAm y
u=
[1.102]
1 + p1 + p2 2
( q + ac1q + ac 2 ) rc
K
a −a
 1 + a + a c1
− ( q2 + p1q + p2 ) 
q + c2
y
K
K 

( q − b ) ( q2 + p1q + p 2 ) u =
[1.103]
1 + p1 + p2 2
( q + ac1q + ac 2 ) rc −
K
[1.104]
−  s0q 3 + ( s0 p1 + s1 ) q2 + ( s0 p2 + s1 p1 ) q + s1 p2  y
 q3 + ( p1 − b ) q 2 + ( p2 − bp1 ) q − bp2  u =
uk = − ( p1 − b ) uk −1 − ( p2 − bp1 ) uk −2 + bp2uk − 3
1 + p1 + p2
( rc k −1 + ac1rc k −2 + ac 2rc k −3 ) −
K
−s0 yk − ( s0 p1 + s1 ) yk −1 − ( s0 p2 + s1 p1 ) yk − 2 − s1 p2 yk − 3
+
1.2
[1.105]
1
0.9
1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0.1
-0.2
0
200
400
600
800
1000
0
200
400
600
800
1000
0
0
200
400
600
800
1000
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
Las dos primeras figuras corresponden a igual
comportamiento en lazo cerrado. En la tercera se varía el modelo.
modelo
pero
diferente
La oscilación en el control es por la cancelación del cero real negativo.
Decrece aumentando el período de muestreo.
Ejemplo 1.5. Motor sin Cancelación de Ceros
el cero aparece en lazo cerrado
Hm ( z ) =
q−b
1 + p1 + p2
2
1 − b q + p1q + p2
B+ = 1
B − = K ( q − b)
[1.106]
[1.107]
por lo tanto
Bm =
Bm
1 + p1 + p2
=
−
B
K (1 − b )( q − b )
[1.108]
R = Am R
S = Am S
[1.109]
T = Bm A0 Ac
Ru = Trc − Sy
u=
BmA0 Ac
A S
rc − m y
Am R
Am R
[1.110]
[1.111]
el observador debe cumplir
grad ( A0 ) ≥ 2 grad ( A ) − grad ( Am ) − grad ( B + ) −1 = 1
[1.112]
el observador se puede elegir como
Ao ( q ) = q
[1.113]
Los grados de R y S deben satisfacer
grad ( R ) = grad ( A0 ) + grad ( Am ) − grad ( A ) = 1
grad ( S ) = grad ( A) − 1 = 1
[1.114]
Se elige R y S de orden uno.
( q − 1) ( q − a ) ( q + r1 ) + K ( q − b )( s0q + s1 ) = q3 + ac1q2 + ac 2q
[1.115]
Se calcula la igualdad para q = b , q = 1 y q = a obteniendo tres ecuaciones
r1 = −b +
b ( b 2 + p1b + p2 )
( b − 1)( b − a )
K (1 − b )( s0 + s1 ) = 1 + p1 + p2
[1.116]
K ( a − b )( s0a + s1 ) = a3 + p1a 2 + p2a
de donde se determinan los parámetros
Además
T ( z ) = A0 ( z ) Bm ( z ) = z
1 + p1 + p2
= t0 z
K (1 − b )
[1.117]
La ley de control es
uk = t0 rk − s 0 yk − s1 yk −1 − ru
1 k −1
[1.118]
-----------------fig 55-----------------1.4. Sensibilidad a Errores de Modelo
1.4.1. Márgenes de Estabilidad
Función de Sensibilidad
S =
AR
1
=
BS
AR + BS 1 +
L = H fb H = BS
=
AR
AR
Alc
[1.119]
[1.120]
AR
jω
La inversa de S ( e ) representa la distancia al punto crítico –1.
jω
El máximo de S ( e ) es el recíproco del punto más cercano al punto crítico.
Este valor no debe ser muy alto.
( )
Un valor aceptable es S e jω < 2
jω
Se ajusta R y S para determinadas frecuencias en donde S ( e ) es alto
1.4.2. Otra Forma de Ver el Problema
0
Se tiene un modelo B A y un valor real B 0
A
El sistema en lazo cerrado será estable si se cumple
1
1
1
−
≤ 1+
0
H fb ( z ) H ( z ) H fb ( z ) H ( z )
H fb ( z ) H ( z)
[1.121]
para z = 1 , o
H fb ( z )  H ( z ) − H 0 ( z ) ≤ 1 + L ( z ) =
H (z)
H lc ( z )
H ff ( z )
[1.122]
dado que
H m ( z ) = t0
B
Ac
T
R
S
H fb ( z ) =
R
H ff ( z ) =
[1.123]
H ( z ) − H 0 ( z) ≤
H ( z ) H ff ( z )
H ( z ) T ( z)
=
H m ( z ) H fb ( z ) H m ( z ) S ( z)
[1.124]
esto se cumple ya que
H m ( z ) = t0
B
Ac
T
R
S
H fb ( z ) =
R
H ff ( z ) =
[1.125]
La precisión relativa necesaria para la estabilidad es
H ( z) − H 0 ( z )
H ( z)
≤
1
H ff ( z )
H m ( z ) H fb ( z )
[1.126]
El lado derecho no depende de los valores reales
La interpretación de esto se ve en la figura siguiente
Hay mucho margen a bajas frecuencias
Si se quiere un mayor ancho de banda, se restringe la posibilidad de error en el modelo.
1.4.3. Desempeño
cómo influyen los errores en la función de transferencia
H lc = H m
1
(
1 +  RB  1 0 − 1
Alc  H
H

)
[1.127]
1.5. Procedimiento de Diseño
Datos:
Se necesita:
A ( z ) , B ( z ) sin factores comunes
polinomio característico en lazo cerrado deseado Alc ( z )
términos deseados en el regulador, Rd ( z ) y S d ( z )
función de transferencia deseada
Bm ( z )
Am ( z )
Condición de Exceso de Polos
grad ( Am ) − grad ( Bm ) ≥ grad ( A) − grad ( B )
[1.128]
Condición de Seguimiento del Modelo
El factor B − no debe ser cancelado por lo que se debe cumplir
Bm = B − B%
[1.129]
Condición de Grados de Polinomios
se debe cumplir
grad ( Alc ) = 2 grad ( A) + grad ( Am ) + grad ( Rd )+ grad ( Sd ) − 1
[1.130]
Paso 1
Factorizar A y B como
A = A+ A−
B = B +B −
[1.131]
+
+
donde A y B son los factores a cancelar.
Paso 2
Resolver la ecuación
A− Rd R + B − Sd S = Alc
[1.132]
para calcular R y S
Paso 3
la ley de control es
Ru = Tr − Sy
[1.133]
donde
R = Am B +Rd R
S = Am A + Sd S
[1.134]
T = Bm A+ + Alc
Bm = Bm B −
la característica en lazo cerrado es
Alc = A+ B+ Am Alc
[1.135]
La condición de grado surge de [1.132] ya que el mínimo regulador se obtiene con
( )
grad S% = grad ( A− ) + grad ( Rd ) − 1
[1.136]
por lo que, de [1.134]
grad ( S ) = grad ( A− ) + grad ( A+ ) + grad ( Am )+ grad ( Rd )+ grad ( Sd ) − 1
= grad ( A ) + grad ( Am ) + grad ( Rd ) + grad ( Sd ) − 1
[1.137]
como grad ( S ) = grad ( R ) , resulta [1.130]
1.5.1. Cálculo de la Ley de Control
Otra forma de calcular la ecuación diofantina es considerar que se tiene una solución a la ecuación
AR 0 + BS 0 = A0lc
[1.138]
y la solución de mínimo grado, U y V,
AU + BV = 0
[1.139]
Se definen los polinomios R y S de modo que
R = XR 0 + YU
S = XS 0 + YV
[1.140]
con X polinomio estable y mónico
entonces
AR + BS = XA0lc
[1.141]
Si se elige A0lc y X tal que
Alc = XA0lc
[1.142]
se cumple que los polinomios
R = XR 0 + YU
[1.143]
S = XS 0 + YV
satisfacen
A− Rd R% + B − S d S% = A% lc
[1.144]
Además se debe cumplir que
grad ( X ) = grad ( Rd ) + grad ( Sd )
[1.145]
y el grado de Y
grad ( Y ) = grad ( Rd ) + grad ( Sd ) − 1
[1.146]
Para calcular Y se supone que Rd divide a R y Sd divide a S.
Los coeficientes de Y se calculan
X ( zi ) R 0 ( zi ) − Y ( zi )U ( zi ) = 0
X ( zi ) S 0 ( zi ) − Y ( zi ) U ( zi ) = 0
paraRd ( zi ) = 0
paraSd ( zi ) = 0
[1.147]
Ejemplo 1.6. Acción Integral
Agregar acción integral implica R (1) = 0
Se supone que se ha calculado el controlador con R 0 y S 0 y se desea agregar una
acción integral.
La mínima solución a la ecuación [1.139] es
U = −B
[1.148]
V=A
Se introduce un nuevo polo en lazo cerrado en − x1 por lo que X resulta
X = z + x1
[1.149]
el polinomio Y es un escalar
Y = y0
[1.150]
la ecuación [1.147] es de la forma
(1 + x1 ) R 0 (1) − y0 B (1) = 0
[1.151]
de donde se despeja y0
y0 = (1 + x1 )
R 0 (1)
B (1)
[1.152]
el nuevo controlador es
(1 + x1 ) R0 (1) B ( z )
B (1)
1 + x1 ) R 0 (1) A ( z )
(
0
S ( z ) = ( z + x1 ) S ( z ) −
B (1)
R ( z ) = ( z + x1 ) R0 ( z) −
[1.153]
Ejemplo 1.7. Acción Integral y Robustez
se quiere, además, asegurar que la función de sensibilidad valga 1 a la frecuencia de
Nyquist. Esto se asegura haciendo
Rd ( z ) = z − 1
[1.154]
Sd ( z ) = z +1
Entonces, X es de segundo orden e Y de primero.
X (1) R0 (1) − ( y0 + y1 ) B (1) = 0
[1.155]
X ( −1) S 0 ( −1) − ( − y0 + y1 ) B ( −1) = 0
de lo que resulta
0
0
1  X (1) R (1) X ( −1) S ( −1) 
y0 = 
−

B (1)
B ( −1)
2

[1.156]
0
0
1  X (1) R (1) X ( −1) S ( −1) 
y1 = 
+

2 
B (1)
B ( −1)

1.6. Parametrización de Youla-Kucera
Teorema 2. Teorema de Youla-Kucera
B ( z)
A( z )
gulador estable puede describirse como:
Sea un sistema
S ( z) S0 ( z ) + Q ( z ) A ( z )
=
R ( z ) R0 ( z ) − Q ( z ) B ( z )
y
S 0 ( z)
R0 ( z)
un regulador estable, entonces, todo re-
[1.157]
con Q ( z ) estable
Demostración
Primero se debe demostrar que el regulador [1.157] es estable, para lo que se introY (z)
duce Q ( z ) =
, con lo que se puede escribir,
X ( z)
S XS 0 + YA
=
R XR0 − YB
[1.158]
en lazo cerrado queda
AR + BS = A ( XR 0 − YB ) + B ( XS 0 + YA ) = X ( AR0 + BS 0 )
[1.159]
dado que X y AR 0 + BS 0 son estables, el sistema lo será.
Para probar de que todos los polinomios son estables, se considera un regulador
S R que estabiliza el sistema, dando una función característica
AR + BS = C
[1.160]
de donde, la ecuación [1.157] queda
SR 0 − QSB = RS 0 + QRA
[1.161]
por lo tanto
Q=
SR 0 − RS 0 SR0 − RS 0
=
AR + BS
C
[1.162]
que es estable ya que C lo es.
-------------------fig 57--------------1.7. Aspectos Prácticos
El diseño es generalmente iterativos: se elige un modelo en lazo cerrado, se calcula
el regulador y se redefine el modelo, tantas veces como haga falta.
La ecuación característica se define, generalmente, en función de los parámetros
continuos de un sistema de primer o segundo orden.
El sistema continuo,
A (s) = s +α
[1.163]
tiene un equivalente discreto en
A1 ( z ) = z − a = z − e −α T
[1.164]
El sistema de segundo orden continuo,
A ( s ) = s2 + 2ξω 0 s + ω 02
[1.165]
tiene un equivalente discreto en
(
(
A2 ( z ) = z 2 + a1z + a2 = z 2 + −2e −ξω 0T cos ω 0T 1 − ξ 2
)) z + e
−2ξω 0T
[1.166]
En forma más general se puede hacer
Ac ( z ) = zd A1 ( z ) A2 ( z)
[1.167]
Los polos del observador deben se más rápido que los del controlador.
Ejemplo 1.8. Influencia del Observador. Caso 1
Se el sistema
H ( z) =
0,1
z −1
[1.168]
Se desea que responda como
Hm ( z ) =
0,2
z − 0,8
[1.169]
o sea
Ac ( z ) = z − 0,8
[1.170]
El observador se puede elegir como A0 = 1
el controlador resulta
uk = 2 ( rk − yk )
[1.171]
la salida del proceso es
X (z ) =
0,2
0,1
0,2
R (z ) +
V (z ) −
E ( z)
z − 0,8
z − 0,8
z − 0,8
[1.172]
-------------------fig 5.8
El observador de orden cero lleva a un regulador proporcional con alta sensibilidad
a las perturbaciones
Ejemplo 1.9. Influencia del Observador. Caso 2
se elige el observador
A0 ( z ) = z − a
[1.173]
Se debe resolver
( z − 1) ( z + r1 ) + 0,1 ( s0 z + s1 ) = ( z − a ) ( z − 0,8)
[1.174]
de donde resulta
−1 + r1 + 0,1s0 = −a − 0,8
[1.175]
− r1 + 0,1s1 = 0,8a
se elige r1 = −1 para tener efecto integral, esto da
s0 = 12 − 10a
[1.176]
s1 = 8a − 10
La salida queda
X (z ) =
0,1( z − 1)
0,2
(1,2 − a ) z − 1 + 0,8a E z
Rc ( z) +
V ( z) −
( )
z − 0,8
( z − a )( z − 0,8)
( z − a )( z − 0,8)
[1.177]
----------------fig 59-----------Se reduce la ganancia para perturbaciones a bajas frecuencias
Para a = 0 se obtiene mejor rechazo a perturbaciones de carga pero peor para ruido
de medición.
Validación
se debe analizar las siguientes funciones de transferencias
Bm
BR R%
B − Sd S%
r+ +d v−
e
Am
A A%lc
A%lc
B
BR R%
A− Rd R%
y = m r+ +d v+
e
%
Am
A A%lc
A
lc
ABm
B − S S%
AS S%
u=
r+ + d v+ +d e
BA
A A%
B A%
x=
m
lc
[1.178]
lc
por ejemplo, si no hay perturbación, la acción de control es
u=
Hm
r
H
[1.179]
Es parecida a la que aparece en el análisis de Robustez.
Actuaciones más grandes implican mayor sensibilidad a errores en el modelo
Se debería calcular el bode de la función de transferencia en lazo cerrado
que es
L=
BS B − Sd S%
=
AR A− Rd R%
[1.180]
lo mismo con la función de sensitividad:
S =
1
AR
A− Rd R%
=
=
1 + L AR + BS
Alc
[1.181]
----------------- ejemplos 57 58 59

1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia

Transcripción

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