trabajo práctico 2

MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MATEMÁTICA NUMÉRICA - CURSO 2015
TRABAJO PRÁCTICO N° 2
PROBLEMA 2.1
Se desea determinar en el intervalo [-9,10] la raíz de la función:
f(x)
2
1
1 e xp(x)
Se puede advertir que la única raíz vale 0. La tolerancia de convergencia de 0.00001.
(A) Encuentre numéricamente la raíz empleando un método cerrado partiendo del
intervalo. Haga una tabla con los siguientes campos: número de iteración, valor
estimado de la raíz, error absoluto.
(B) Usando el método de las iteraciones funcionales (punto fijo) encuentre la raíz
iniciando en x = 10. Haga una tabla con los siguientes campos: número de
iteración, valor estimado de la raíz, error absoluto. Analice el error y encuentre
el orden de convergencia. ¿Coincide con la predicción teórica?
(C) Emplear el método de Newton partiendo de x = -3 y de x = -2. Vuelque en una
tabla los valores de iteración. Analice la convergencia y explique el
comportamiento observado.
(D) Usado el método de la secante evaluar la raíz partiendo de los valores iniciales
x0 = 2; x1 = 3. Analice la convergencia y compárela con el Método de Newton.
PROBLEMA 2.
La función f(x)
xcos(x) exp(x) 1 tiene una raíz doble en x = 0.
(A) Calcule la raíz empleando el Método de Newton, partiendo de x = -0.5 y que
asegure un error de convergencia absoluto menor que 0.00001. Evalúe el orden
de convergencia.
(B) Repita el punto anterior, pero aplicando el método modificado de NewtonRaphson para raíces múltiples.
(C) Repita el punto anterior, pero aplicando el método modificado por Ralston y
Rabinowitz para raíces múltiples
(D) Compare número de iteraciones, número de evaluaciones de la función y orden
de convergencia. Extraiga conclusiones.
PROBLEMA 2.3
Dadas las siguientes funciones
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MATEMÁTICA NUMÉRICA - CURSO 2015
obtenidas manipulando algebraicamente la ecuación f ( x)
x4
2x2
x 3.
(A) Usando manejo algebraico demostrar que tienen un punto fijo en p, siendo p una
raíz de f(x).
(B) Considere x = 1 como valor inicial. ¿Qué función dará la mejor aproximación a
la solución considerando 5 dígitos significativos al cabo de 5 iteraciones? Haga
un ranqueo de la rapidez de convergencia.
PROBLEMA 2.4
Debe diseñar un tanque esférico para proveer de agua a una pequeña villa veraniega. El
volumen de líquido se computa con la expresión:
V
h 2 (3R
3
h)
Donde R es el radio y h la altura del líquido. Use un procedimiento numérico para
calcular la altura de agua en un recipiente de 3 metros de radio que proporcione un
volumen de 30 m3. Indique el criterio que usó para elegir el método.
PROBLEMA 2.5
Encontrar la raíz próxima a x0 = 1 de la ecuación:
f ( x)
x2
cos( x)
0
Con una tolerancia relativa de 10-6. Emplear los siguientes métodos:
Aproximaciones sucesivas
Método delta de Aitken
Método de Steffersen
Método de Newton
Tabular y comparar
PROBLEMA 2.6
Aplicar el algoritmo de Newton-Horner para encontrar una raíz del polinomio:
P( x)
2 x4
3x 2
3x 4
Usar como valor inicial x = 2. Realizar sólo una iteración.