Funciones Zeta Locales

Transcripción

E DWIN L EÓN C ARDENAL
1o de Diciembre, ENJIM15
Edwin León Cardenal (CONACyT-CIMAT Zac)
Dic. 2015
1 / 12
Definición
Dado f (x1 , . . . , xn ) ∈ Z[x1 , . . . , xn ], consideramos
Nk := #{ soluciones de f (x) ≡ 0 m«
od pk } para k ≥ 1 con N0 = 1.
Dic. 2015
2 / 12
Definición
Ejemplo
f (x, y ) = y − x m ,
m<p
N0 = 1
N1 = p
Dic. 2015
2 / 12
Definición
Ejemplo
f (x, y ) = y − x m ,
m<p
N0 = 1
N1 = p
..
.
N2 = p 2
Dic. 2015
2 / 12
Definición
Ejemplo
f (x, y ) = y − x m ,
m<p
N0 = 1
N1 = p
..
.
N2 = p 2
Nk = p k
Dic. 2015
2 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x, y ) = y 2 − x 3
N0 = 1
N1 = p
vía(t 2 , t 3 )
Dic. 2015
3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x, y ) = y 2 − x 3
N0
N1
N2
N3
N4
N5
=1
= p vía(t 2 , t 3 )
= p(2p − 1)
= p2 (2p − 1)
= p3 (2p − 1)
= p4 (2p − 1)
Dic. 2015
3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x, y ) = y 2 − x 3
N0
N1
N2
N3
N4
N5
=1
= p vía(t 2 , t 3 )
= p(2p − 1)
= p2 (2p − 1)
= p3 (2p − 1)
= p4 (2p − 1)
N6 = p5 (p2 + p − 1)
N7 = p6 (p2 + p − 1)
Dic. 2015
3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x, y ) = y 2 − x 3
N0
N1
N2
N3
N4
N5
=1
= p vía(t 2 , t 3 )
= p(2p − 1)
= p2 (2p − 1)
= p3 (2p − 1)
= p4 (2p − 1)
N6 = p5 (p2 + p − 1)
N7 = p6 (p2 + p − 1)
N8 = p7 (2p2 − 1)
N9 = p8 (2p2 − 1)
N10 = p9 (2p2 − 1)
N11 = p10 (2p2 − 1)
Dic. 2015
3 / 12
Más ejemplos
Ejemplo
f (x, y ) = y 2 − x 3
N0
N1
N2
N3
N4
N5
=1
= p vía(t 2 , t 3 )
= p(2p − 1)
= p2 (2p − 1)
= p3 (2p − 1)
= p4 (2p − 1)
N8 = p7 (2p2 − 1)
N9 = p8 (2p2 − 1)
N10 = p9 (2p2 − 1)
N11 = p10 (2p2 − 1)
N6 = p5 (p2 + p − 1)
N7 = p6 (p2 + p − 1)
N12 = p11 (p3 + p2 − 1)
N13 = p12 (p3 + p2 − 1)
Dic. 2015
3 / 12
Definición
Pf (t) =
∞
X
Nk p−nk t k .
k =0
Notemos que esta serie converge absolutamente para |t| < 1.
Ejemplo
1
f (x, y ) = y − x m ,
Pf (t) =
∞
P
pk p−2k t k =
k =0
∞
P
( pt )k =
k =0
1
1−t/p
=
Dic. 2015
p
p−t
4 / 12
Definición
Pf (t) =
∞
X
Nk p−nk t k .
k =0
Ejemplo
1
f (x, y ) = y − x m ,
Pf (t) =
∞
P
pk p−2k t k =
k =0
2
f (x, y ) =
y2
−
x 3,
Pf (t) =
∞
P
( pt )k =
k =0
1
1−t/p
=
p
p−t
p6 +(p4 −p3 )t 2 −t 6
(p−t)(p5 −t 6 )
Dic. 2015
4 / 12
Definición
Pf (t) =
∞
X
Nk p−nk t k .
k =0
Ejemplo
1
f (x, y ) = y − x m ,
Pf (t) =
∞
P
pk p−2k t k =
k =0
2
f (x, y ) =
y2
−
x 3,
Pf (t) =
∞
P
( pt )k =
k =0
1
1−t/p
=
p
p−t
p6 +(p4 −p3 )t 2 −t 6
(p−t)(p5 −t 6 )
Conjetura (Borevich y Shafarevich, 1964)
Para cualquier f como arriba, Pf (t) es una función racional de t.
Dic. 2015
4 / 12
Definición
La función zeta local asociada a
f (x) = f (x1 , . . . , xn ) ∈ Zp [x1 , . . . , xn ] \ Zp es
Z
Z (s, f ) :=
|f (x)|sp d n x, Re(s) > 0.
Znp
Dic. 2015
5 / 12
Definición
La función zeta local asociada a
f (x) = f (x1 , . . . , xn ) ∈ Zp [x1 , . . . , xn ] \ Zp es
Z
Z (s, f ) :=
|f (x)|sp d n x, Re(s) > 0.
Znp
Teorema (Igusa, 1974)
Sea f (x) = f (x1 , . . . , xn ) ∈ Qp [[x1 , . . . , xn ]]. Entonces existe un número
finito de parejas (NE , vE ) ∈ (N \ {0})2 , E ∈ T , tales que
Y
(1 − pvE −sNE )Z (s, f )
E∈T
es un polinomio en p−s con coeficientes racionales.
Dic. 2015
5 / 12
‘Complex Powers’
Sean f ∈ R[x1 , . . . , xn ] \ R y φ ∈ C0∞ (Rn ). Para un número complejo s
con Re(s) > 0, la función zeta local asociada a (f , φ) es
Z
Zφ (s, f ) =
|f (x)|s φ(x) dx.
Rn
Dic. 2015
6 / 12
Z
Zφ (s, f ) =
|f (x)|s φ(x) dx.
Rn
Esta función (de s) está bien definida y la aplicación s → Z_ (s, f ) es
holomorfa en {s ∈ C ; Re(s) > 0} con valores en el espacio de
distribuciones sobre Rn .
Dic. 2015
6 / 12
Z
Zφ (s, f ) =
|f (x)|s φ(x) dx.
Rn
Esta función (de s) está bien definida y la aplicación s → Z_ (s, f ) es
holomorfa en {s ∈ C ; Re(s) > 0} con valores en el espacio de
distribuciones sobre Rn .
Conjetura (Gelfand ~’50)
Zφ (s, f ) admite una extensión meromorfa a todo C.
Dic. 2015
6 / 12
Solución 1: Resolución de Singularidades
1
La idea es utilizar una resolución de singularidades de f , es decir,
un morfismo π : Y → Rn que es propio y birracional, con Y no
singular, y de tal manera que en coordenadas locales en Y , f y el
‘pullback’ de dx son monomiales.
2
Luego usamos la fórmula de cambio de variable para reducir el
cómputo de la integral Zφ (s, f ) hasta integrales de monomios.
Dic. 2015
7 / 12
Solución 1: Resolución de Singularidades
1
La idea es utilizar una resolución de singularidades de f , es decir,
un morfismo π : Y → Rn que es propio y birracional, con Y no
singular, y de tal manera que en coordenadas locales en Y , f y el
‘pullback’ de dx son monomiales.
2
Luego usamos la fórmula de cambio de variable para reducir el
cómputo de la integral Zφ (s, f ) hasta integrales de monomios.
Teorema (Bernstein & Gel’fand (’69) – Atiyah(’70))
Zφ (s, f ) admite una continuación meromorfica a todo C. Cada polo es
de la forma
ki + N
−
,
ai
para algunos enteros ki , ai que provienen de la resolución de
singularidades de f = 0.
Dic. 2015
7 / 12
Un invariante de f
El umbral log-canónico de f está definido en términos de una
resolución de singularidades por
lct(f ) := m«ın
i
ki + 1
,
ai
donde se toma el mínimo sobre todas las ‘cartas locales’ en Y .
Dic. 2015
8 / 12
Un invariante de f
El umbral log-canónico de f está definido en términos de una
resolución de singularidades por
lct(f ) := m«ın
i
ki + 1
,
ai
donde se toma el mínimo sobre todas las ‘cartas locales’ en Y .
Corollary
Zφ (s, f ) es holomorfa en la región {s ∈ C ; Re(s) > −lct(f )}.
Nota
Hay muchos otros invariantes de f que se pueden definir en términos
de (o están vinculados con ) los polos de Zφ (s, f ) !
Dic. 2015
8 / 12
Solución 2:Teoría Algebraica de Operadores
Diferenciales
Teorema (Bernstein ’72)
Existe un polinomio b(s) no cero en la variable s que satisface la
relación
b(s)f s = P(s, x, ∂x ) · f s+1 ,
para f ∈ C[x1 , . . . , xn ] y P(s, x, ∂x ) ∈ C[s, x, ∂x ], donde · se entiende
como la acción de P sobre f s+1 .
Dic. 2015
9 / 12
Problema (Abiertos)
1
Determinar exactamente todos los polos verdaderos de Zφ (s, f ).
Dic. 2015
10 / 12
Problema (Abiertos)
1
2
Encontrar un algoritmo para calcularlos efectivamente.
Dic. 2015
10 / 12
Problema (Abiertos)
1
2
3
Funciones zeta topológicas y motívicas.
Dic. 2015
10 / 12
Problema (Abiertos)
1
2
3
4
Ecuaciones diferenciales p−ádicas.
Dic. 2015
10 / 12
Problema (Abiertos)
1
2
3
4
Ecuaciones diferenciales p−ádicas.
5
Algunos invariantes geométricos y/o topológicos de las
singularidades de polinomios y/o funciones analíticas.
Dic. 2015
10 / 12
Algunas Generalizaciones
1
f ! f := (f1 , . . . , f` ) : K n → K ` y K arquimediano.
Dic. 2015
11 / 12
1
2
—–, W. Veys & W.A. Zúñiga Galindo. Poles of Archimedean Zeta
Functions for Analytic Mappings. J. London Math. Soc. 87
(2013), 1–21.
K un campo p−ádico.
Dic. 2015
11 / 12
1
2
(2013), 1–21.
I
—-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions for
Non-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.
Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.
Dic. 2015
11 / 12
1
2
(2013), 1–21.
I
I
—-, & Zúñiga-Galindo W.A., Local Zeta Functions for
Non-degenerate Laurent Polynomials Over p−adic Fields. J.
Math. Sci. Univ. Tokyo 20(1) (2013), 1–27.
—-, Ibadula D., & Segers D., Poles of the Igusa zeta function of
some hybrid polynomials. Finite Fields Appl. 25 (2014), 37–48.
Dic. 2015
11 / 12
Figura:
Gracias!
Dic. 2015
12 / 12

Funciones Zeta Locales

Transcripción

Documentos relacionados

Manuel Vilas - Salto de Página

Ante la Admon. regional - Área de Medio Ambiente de UGT Aragón.