ejercicios de funciones reales

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES
1.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es
una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas variables es
.
Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos
valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada
(variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l
(variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores:
l
A
1
1
2
4
10
100
1/2
1/4
0,5
0,25
En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues
el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa.
Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no
puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier
número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área
elegida).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplos
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
1.- f(x)=1/2x2
En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la
variable x, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)=R
2.Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir:
3.Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al
denominador. Veamos cuales son:
x-1=0 luego x=1 Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el 1:
D(f)=R\{1}
4.Tengo que exigir de nuevo:
Ejercicios
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
Ejemplos
1.- Hallar los puntos de la curva y=x2-5x+6 que pertenecen al eje de abscisas o al eje de
ordenadas.
2.- Representar la gráfica de la función f de R en R dada por Ejemplos
1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso
afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1
En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función
compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.
Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof)=Dom(f) = R
Además gof(x)=g(f(x))=(f(x))2+1=(x+1)2+1=x2+2x+1+1=x2+2x+2
2.- Estudiar la existencia de gof en el caso:
En este caso, Dom(g)=R luego el la función gof existe siendo además
Dom(gof)=Dom(f)=
3.-Dadas las funciones
estudiar la existencia de gof y de fog
a)gof
Dom(g)=R\{0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0 entonces
no existirá gof. Veámoslo:
.
Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en este caso.
No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de f
los puntos que verifican que f(x)=0.
Dom(f)=R\{-2} Y Dom(gof)=R\{-2,1}
b)fog
Dom(f)=R\{-2}.
Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2:
.
Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstante construyamos una
restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que
g(x)=-2.
Dom(g)=R\{0} Y Dom(gof)=R\{-1/5,0}
Ejercicios
1.- Dadas las funciones f(x)=3x-7 y g(x)=2x+k, determinar k para que gof=fog.
2.- Dadas la funciones
3.- Dada la función
, calcular si es posible la función gof.
, comprobar que (fofof)(x)=x
4.- Estudia la función gof siendo f(x)=8x-3
5.- Estudiar las funciones gof y fog en el caso
Ejercicios
1.-Comprobar analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no:
Ejemplos
1.- Calcular si es posible la función inversa de
.
En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:
Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1.
Calculémosla:
Ejercicios
1.- Calcular si es posible la función inversa de
.
2.- ¿Existe la función inversa de f(x)=x2?
3.- Dada la función f(x)=4x-6; se pide:
a) ¿Existe f -1?
b) calcular f -1
c) Calcular f -1(f(3)) y f(f -1(3))
4.- Dadas las funciones f(x)=x2+1 y g(x)=2x+4. Calcular sus inversas si es posible.
Ejercicios
Estudiar la paridad de las siguientes funciones:
Ejemplos
1.- Estudiar el crecimiento y acotación de la función y=2-x.
Veamos en primer lugar su representación gráfica:
Esta función es monótona decreciente en todo su dominio y no está acotada ni inferior
ni superiormente.
2.- Idem con la función f(x)=x2-4
Veamos en primer lugar su representación gráfica:
En este caso vemos que la función no es monótona creciente ni decreciente. Lo que si
podemos afirmar es que es decreciente en (-inf ,0) y creciente en (0,+inf)
Observa que esta función no está acotada superiormente pero si lo está inferiormente
siendo una cota inferior suya -5. Observa también que su mínimo es -4.
Ejercicios
1.- Estudiar el crecimiento y acotación de las siguientes funciones:
2.- Estudiar la monotonía y acotación de las siguientes funciones en R, en [-1,1], en
[-2,2] y en [-3,3]:
7.- Límites de funciones
En el caso de una función y=f(x), la variable independiente es un número que pertenece
a los números reales. Por tanto, las posibilidades de movimiento a lo largo del eje de
abscisas son tres:
1.- Nos podemos dirigir hacia un punto concreto del eje de abscisas ( x0) viendo el
comportamiento de la función cuando nos acercamos a ese punto
Por ejemplo nos podemos plantear cual es el comportamiento de la función y=x2 en el
caso de que la variable independiente x se acerque a 2
Observa que en este caso la función se acerca a 4. En este caso diremos que
.
Además podemos comprobar este hecho construyendo una tabla de valores que se
aproxime a 2.
x
1
3
1.5
2.5
1.8
2.2
1.9
2.1
1.99
2.01
f(x)
1.00
9.00
2.25
6.25
3.24
4.84
3.61
4.41
3.96
4.04
Ejercicios
Calcula por este procedimiento:
Realiza una interpretación geométrica.
.
2.- Se puede estudiar el comportamiento de la función cuando la variable x tiende
hacia +inf.
Ejercicio
Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función f(x)=x2 cuando
la x tiende hacia +inf, es decir, estudia
Realiza una interpretación geométrica.
.
3.- De la misma forma cuando la x tiende hacia -inf.
Ejercicio
Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función
cuando la x tiende hacia -inf, es decir, estudia
.
Realiza una interpretación geométrica.
Observa que estudiar el límite de una función en cualquiera de los casos anteriores por
el procedimiento utilizado, además de ser un trabajo pesado, no tiene mucha fiabilidad.
Solo te puede servir para intuir cual será el límite. Es por esto, por lo que a partir de
ahora veremos procedimientos para calcular límite de funciones de una manera mucho
más rápida y precisa. Distingamos varios casos:
CASO 1
Supongamos que tenemos que calcular el límite de una función en un punto y que
además se verifica:
1.- La función f no está definida a trozos.
2.- El punto x0 está en el dominio de la función.
En este caso se tiene que
Ejemplos
.
1.- Calcula
. En este caso Dom(f)=R. Luego como el punto 8 está en el dominio
de la función f y además f no está definida a trozos, se tiene que
.
2.puesto que f no es función definida a trozos y
Dom(f)=R\{-4} por lo que -2 sí está en el dominio de la función.
CASO 2
Supongamos ahora que f se trata de una función definida a trozos. Antes de comenzar a
calcular límites en estos casos, veamos algunos conceptos previos. Anteriormente,
hemos visto que para estudiar el límite de una función en un punto estudiábamos el
comportamiento de la misma acercándonos al punto por ambos lados. Análogamente
podemos preguntarnos que le ocurre a la función cuando la variable se acerca a un
punto pero solo por un lado.
Es por esto por lo que podemos plantearnos el límite de una función por la derecha y
por la izquierda.
Los notaremos
.
Propiedad
Una función y=f(x) tiene límite en el punto x0 si y solo si existen los límites laterales de
la función en ese punto y son iguales.
En ese caso:
.
Ejercicios
1.- Dada la función
.
2.- Calcula el límite de las siguientes funciones (si existe) en los puntos determinados.
3.- Se sabe que la gráfica de la función
es
Calcular según la gráfica
4.- Dada la función
Ejercicio 1
estudiar en su gráfica
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
Ejercicio 2
Representa gráficamente las siguientes funciones estudiando sus simetrías y períodos:
Ejercicio 3
Dadas las funciones f(x)=2x+1 y g(x)=x3, escribir las funciones compuestas:
a)fof
b)fog y gof. ¿Es conmutativo?
c)fofog
Ejercicio 4
Hallarlas funciones recíprocas de
a)y=x2
b)y=2x+3
c)y=2x
d)y=sen x
Ejercicio 5
Representar la función f(x)=x. A partir de ésta, dibujar la gráfica de la función
Partiendo de este ejemplo, indicar cómo se pasa de una función a la función valor
absoluto de la misma.
.
Ejercicio 6
Una función es par si f(x)=f(-x) y es impar si f(x)=-f(-x). Probar que si f(x) es par y g(x)
es impar, entonces (fg)(x)=f(x)g(x) es impar y (ff)(x)=f(x)f(x) es par.
Ejercicio 7
Dibujar por traslación las gráficas de las funciones:
Ejercicio 8
Conociendo la gráfica de la función f(x)=ex explicar, de una manera razonada, cómo se
obtendría la gráfica de la función g(x)=3+f(x-1). Realizar un dibujo aproximado de las
dos gráficas.
Ejercicio 9
Calcular los siguientes límites de funciones:
Ejercicio 10
Calcular los siguientes límites de funciones:
Ejercicio 11
Calcular los siguientes límites de funciones:
Ejercicio 12
Calcular los siguientes límites de funciones:
Ejercicio 13
Calcular los siguientes límites de funciones utilizando funciones equivalentes en x=0:
Ejercicio 14
Determinar los puntos de intersección de la curva
un esbozo de la representación gráfica.
Ejercicio 15
con las asíntotas. Hacer
Se considera en el plano la recta x=2. Encontrar dos funciones cuyas gráficas admitan a
dicha recta como asíntota y tengan distintas posiciones respecto a ella. Representar
dichas posiciones.
Ejercicio 16
Determinar a para que se verifique
EJEMPLO:
Vamos a ver la gráfica y propiedades de las funciones y=2x, e y=(1/2)x
•
•
•
•
•
•
Dominio: R
Creciente
Pasa por (0,1)
POSITIVA
lim f (x ) = ∞
x→ ∞
lim f ( x ) = 0
x→ − ∞
•
•
•
•
•
•
Dominio: R
Dereciente
Pasa por (0,1)
POSITIVA
lim f ( x ) = 0
x→ ∞
lim f (x ) = ∞
x→ − ∞
EJERCICIOS
Representa las gráficas de las siguientes funciones: y=3x, y=4x, y=5x, y=(1/3)x, y=(1/4)x,
y=(1/5)x, ...
EJERCICIOS
Hallar el dominio de la siguientes funciones:
a) a)
f(x)=x3-4x+2
b) b)
f ( x) =
d) d)
2x + 1
x2 − 1
e) e)
f ( x) =
f ( x) =
x2 + 1
2x − 5
x 2 − 4x + 3
c) c)
f) f)
f ( x) =
f ( x) =
8 − 2x
x 3 − 2x 2 + x
g) g)
f ( x) =
j) j)
x 3 − x 2 + 3x − 3
f ( x) =
f ( x) =
m) m)
p) p)
f ( x) =
s) s)
v) v)
f(x)=
x+3
x +1
x5 − x4 + x3 − x2
2
3
h) h)
k) k)
f ( x) =
n) n)
q) q)
f(x)=
x+ 1
3x + 7
f ( x) = 4
x − 10 x 2 + 9
t) t)
f(x)=
x2 + 1
x2 + 3
r) r)
u) u)
x
x+ 1
x) x)
EJERCICIOS
Calcula (g °f)(x) y (f °g)(x), siendo f y g las siguientes funciones:
g(x)=x+1.
g ( x) =
x− 2
2
f ( x) =
1
x −1
g ( x) =
x+ 2
f ( x) =
x − 1 g(x)=1/(x-2).
f(x)=2x
f ( x) =
x2 − 1
x2 + 3
f(x)=
x5 − x4 + x3 − x2
x2 − 1
f ( x) =
f ( x) =
EJERCICIO
Estudiar la paridad de las siguientes funciones.
a) f(x)=1/x
b) f(x)=x+1
f(x)=x+3
f(x)=x2+1
f ( x) =
f ( x) =
x+ 1
x+ 3
w) w)
x+ 2
x2 − x − 6
l) l)
o) o)
2x
x2 + x + 1
f ( x) =
f ( x) =
i) i)
7 x 2 − 5x + 2
f(x)=
x+ 3
x2 − 4
2x + 6
x2 − x − 6
f ( x) =
2
g(x)=x2-1.
1
1
g ( x) = 2
x +1
x+1
1
2 x 2 − 5x + 2
x2 − 1
x+ 2
EJERICIOS
Halla la inversa de las siguientes funciones:
a)f(x) = x 2 - 4 ;
2x - 1
b)g(x) =
;
x+2
c)h(x) = x 2 + 4x + 4 ;
d)i(x) =
e)j(x) =
x-1
;
x+2
2+ x
2- x
EJEMPLO I
Consideremos la función
 2x − 3 si x < 2
f(x) = 
 - x + 2 si x > 2
lim f ( x) = 1
x→ 2−
Esta función no está definida en el punto 2. Cuando nos aproximamos a este punto por la
izquierda, la función se aproxima a 1. Decimos por tanto que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la
izquierda es 1, y lo expresamos:
lim f ( x ) = 0
x→ 2+
Del mismo modo al aproximarnos a 2 por la derecha (tomando valores mayores que 2) la función se
aproxima a 0. Por tanto "el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 0", lo expresamos:
EJEMPLO II
 2x − 3 si x < 2

f(x) =  - 4 si x = 2
 - x + 2 si x > 2

lim f ( x) = 0
x→ 2+
lim f ( x) = − 1
x→ 2−
En este caso:
EJEMPLO III
f(2)=-4
 2 x − 3 si x < 2
f ( x) = 
 - x + 2 xi x ≥ 2
lim f ( x) = 0
x→ 2+
f(2)=0
lim f ( x) = − 1
x→ 2−
Fijarse que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, sin embargo el
valor de la función en el punto 2 es distinto en cada caso; o incluso puede no estar definida en ese punto
(Ejemplo I). Es decir, a la hora de calcular el límite de una función en un punto no nos interesa el valor de
la función en ese punto sino en sus cercanías.
EJEMPLO IV
 x − 1 si x < 3
f ( x) = 
 5 − x si x ≥ 3
lim f ( x) = 2
x → 3−
lim f ( x) = 2
x → 3+
cuando el límite por la izquierda y por la derecha coincide se dice que existe el límite de f(x) cuando x
tiende a 2 y es igual a ese número. Escribiremos:
lim f ( x) = 2
x→ 3
Ejemplo
f(x)=1/x
Esta función tiene como gráfica la de la figura, se
puede observar que a medida que nos acercamos al
punto cero por la derecha la función se dispara a
infinito, mientras que si nos acercamos por la
izquierda la función se dispara a menos infinito.
Analíticamente:
1
1
lim (f(x))= lim ( x ) = 0
x→ 0
+
x→ 0
+
+
= +∞
1
1
lim (f(x))= lim ( x ) = 0
x→ 0
−
x→ 0
−
−
= −∞
EJERCICIOS
a) lim
x→ ∞
x2 + 2
( x + 1) 2
x
2
d) lim x + 2
x→ ∞
x
2
3
x
( x − 2) 2
g) lim
x→ ∞
x
b) lim
x→ 2
x− 2
;
x2 − 4
 2 x − 3x 3

e) lim
+ 3 x 
x→ ∞
 x+ 1

x+ 3
;
x→ − 2 x 2 − 4
c) lim
 ( x + 1) 3

f ) lim
− x 
2
x → ∞ ( 2 x + 1)


x2 + 6
2 2 − x2
h) lim
x→
EJERCICIOS:
1) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
 0 si x ∈ Z
 x + 1 si x ≥ 0
1
1
a ) f(x) = 
b) f(x) =
c) f(x) = 2
d) f(x) = 
x
x − 4
 1 si x ∉ Z
 x - 1 si x < 0
 x 2 − 1 si x ≤ 0
 2 - x 2 si x ≤ 2
 x + 1 si x ≥ 0
 x + 1 si x ≤ 2
e) f ( x ) = 
f) f(x) = 
g) f(x) = 
h) f(x) = 
 - x - 1 si x < 0
 2x - 1 si x > 2
 2x - 3 si x > 0
 2x - 6 si x > 2
 2x 2 + 3 x − 2
1
 x + 1 si x < 3
 x - 1 si x ≤ 1
1
si x ≠

2
si
x
<
1
 2


 2 x − 5x + 2
2
i) f ( x) =  x
j) f(x) = 
j) f(x) =  x si 3 ≤ x < 4 k) f(x) =  x 2 − 1 si 1 < x ≤ 2
 x + 1 si x ≥ 1
 − 5 si x = 1
 0 si x ≥ 4
 x 2 si x > 2



 3
2
2) Calcula el valor de "k" para que las siguientes funciones sean continuas:
 x + 1 si x ≤ 1
a) f(x) = 
2
 3 - kx si x > 1
 k si x = 0

b) f(x) =  4x 2
si x ≠ 0
 3
 x + 2x 2
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones reales de variable real:
a)
b)
c)
Ejercicio 1. Solución
a) La función
, es una función racional, y por tanto su dominio
vendrá expresado por todos los valores reales que no anulen al denominador.
Por tanto:
Lo cual quiere decir que el dominio de esta función se puede expresar como:
b) La función
, es una función compuesta de función racional y
función irracional, por lo que la condición que han de cumplir los valores que
pertenezcan al dominio son:
, por tanto
, y el dominio vendrá
expresado por el intervalo abierto:
c) La función
es una función irracional, y la condición
que han de cumplir los valores de su dominio es:
resolución de esta inecuación sería:
. La
.
Esta
inecuación da tres intervalos cuyos signos, tomando cualquier valor de dicho
intervalo, es:
negativo
positivo
negativo
positivo
Por tanto el dominio de la función será:
d) La función
es una función trigonométrica, concretamente
tangencial, y por tanto los valores del dominio han de cumplir que hagan que la
tangente sea distinta de
(siendo k cualquier número entero). Por tanto
en este caso:
Por tanto el dominio de la función será:
, siendo
Ejercicio 3. Enunciado
Sean las funciones:
y
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 2. Solución
Para saberlo hay que calcular f(-x) y –f(x).
a)
Como
, la función es impar.
b)
Como
c)
, la función es par.
, calcula:
Como
y
, la función no es par ni impar.
d)
Como
, la función es impar
Ejercicio 3. Solución
a)
b)
c)
d) Para el cálculo de la función inversa de g(x), pondremos la función
como:
.
Ahora habrá que despejar x en función de y:
haciendo el cambio de x por y, nos queda que:
, y por tanto:
Ejercicio 4. Enunciado
Representar la función:
Ejercicio 4. Solución
Es una función cuadrática en valor absoluto, por lo que, por un lado hay
que calcularle el vértice, y por otro lado los puntos de corte con el eje de
abscisas:
Vértice:
Puntos de corte:
Esto quiere decir que la función en el intervalo (2,3) tendría la forma:
y en el resto del dominio, sería
.
El vértice en el intervalo (2, 3) sería:
La gráfica sería:
Ejercicio 5. Enunciado
La cantidad de carbono-14 presente en un organismo vivo permanece
sensiblemente constante. A partir del momento de la muerte, sin embargo,
va disminuyendo por desintegración de acuerdo con la función: , donde C
es la cantidad de carbono-14 final, C0 es la cantidad de carbono-14 inicial,
y t el tiempo transcurrido. Construye la gráfica de la función y la de su
inversa, escribiendo sendas tablas de valores de 10.000 en10.000 años y de
10% en 10% respectivamente.
Ejercicio 5. Solución
La función
es una función exponencial, monótona y
decreciente, debido a que la base está elevada a una potencia negativa (y
por tanto dicha base sería menor que 1).
Para la construcción de la primera tabla tomaremos como variable
dependiente el cociente:
y como variante independiente el tiempo t:
La construcción de la gráfica en función de estos datos sería:
t
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
110000
120000
0.88
0.78
0.69
0.61
0.54
0.47
0.42
0.37
0.33
0.29
0.26
0.23
Para la construcción de la segunda tabla habrá que calcular primero la
función inversa:
en este caso la variable dependiente será el tiempo, y la variable
independiente será el cociente
.
La tabla sería la siguiente:
La gráfica según los datos sería:
T
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
186000
130000
97000
74000
56000
41000
29000
18000
8000
Ejercicio 7. Enunciado
Demostrar que la función polinómica
en R+, y es estrictamente decreciente en R-.
es estrictamente creciente
Ejercicio 7. Solución
Sean
y dos puntos cualesquiera de R+ , se debe cumplir que:
, es decir:
evidentemente
Análogamente se demuestra que para que sea estrictamente decreciente en
R-, ha de cumplirse que:
, para cualquier par de puntos
y
de R- .