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Matemáticas Aplicadas
BANCO AGRARIO
Capacitación en ALM y Riesgo de Liquidez
MÓDULO 3: RIESGO DE PORTAFOLIOS
Septiembre 2015
Diego Jara
[email protected]
Juan Pablo Lozano
[email protected]
Plan del Módulo
 Introducción.
 Cálculo del VaR Histórico. (Portafolios de inversión)
 Cálculo del VaR por Factores. (Portafolios de inversión)
 Cálculo VaR Portafolio Créditos.
 Análisis y Seguimiento.
ALM y Riesgo de Liquidez
Introducción
 Introducción.
Introducción
 Necesidad
o Dado un Portafolio, cuánto dinero es conveniente
provisionar para asumir posibles pérdidas?
 Elementos usados para contestar la pregunta:
o Horizonte de Inversión Tfinal
o Factores de Riesgo
o Función de Valoración – o de Pérdidas – (en términos
de estos factores)
o Distribución de los factores, y del valor del portafolio
o Medición del Riesgo
  Provisión necesaria = Medida de Riesgo
Introducción

Se arranca de un espacio de probabilidad dado
, , P 
 es el conjunto de posibles “estados del mundo” en el
futuro,  es el conjunto de “eventos” y P es una función
probabilidad sobre los eventos
 La pérdida de un portafolio, Z, es una variable aleatoria
en este espacio
 Una medida estática de riesgo es una función que le asigna
un número real a pérdidas finales de portafolios:

 : Variables Aleatorias en   

Supongamos tasas de interés iguales a 0, por simplicidad
Introducción
Qué propiedades debe cumplir ?
Adoptemos los axiomas de Coherencia, introducidos por
Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999)
Sean Z, Z1 y Z2 pérdidas de portafolios (variables aleatorias en
 ):



1.
Monotonicidad:
2.
Homogeneidad Positiva:
3.
Subaditividad:
4.
Invarianza bajo Traslación:
Z1  Z 2   ( Z1 )   ( Z 2 )
a     (aZ )  a (Z )
 (Z1  Z 2 )   (Z1 )   ( Z 2 )
a     (Z  a)   (Z )  a
Introducción
 ¿Cómo se mide en general el riesgo de portafolios?
 VaR
o VaR histórico.
o VaR por factores.
 Otras
o ES, CVaR.
o Máxima pérdida y ganancia: Drawdown.
o Promedio.
o Promedio de pérdidas y ganancias.
Introducción

Ejemplo 1: VaR. Para un portafolio y nivel de confianza
α dado, VaRα es un umbral de pérdidas, tal que, para
cierto horizonte de tiempo, la probabilidad que la
pérdida del portafolio supere el umbral es (1- α).
VaR  (X)  inf x : P[X  x]  1-  

Para un nivel de confianza  (e.g., 95%),
Si L  N(,),
VaR(L) =  + -1(),
donde  es la distribución (acumulada) de una
variable normal estándar
Introducción

VaR no es coherente:

No cumple subaditividad (en ocasiones, fomenta la
desdiversificación)
Z1
94%
3%
3%
0
100
0
Z2
94%
3%
3%
0
0
Confianza: 95%
VaR (Z1)=0
VaR (Z2)=0
VaR (Z1+Z2)=100
100
Introducción

Ejemplo 2: CVaR (AVaR, ES). El promedio de las
pérdidas que superan el VaR.
ES (X)  E X | X  VaR ( X )

Para un nivel de confianza ,
1
1
ES (X) 
VaR ( X )d

1 
Si L  N(,),
ES (L)   

  1 ( ) 
1
donde  es la distribución (acumulada) de una
variable normal estándar, y  es su densidad
CVaR

ES sí es coherente

Claramente, ES(L) VaR(L)
VaR Histórico
 Introducción.
VaR Histórico: Portafolio Inversión
 ¿Qué se necesita?
o
Portafolio de inversión (TES).
o
Tasas históricas de los TES observados. (Diarias)
o
Fecha de valoración.
o
Nivel de confianza.
o
Número de días de historia que se quieren usar para
calcular el VaR.
o
Función de calibración de la curva a mercado.
 En algunos casos se quiere introducir el gamma al
análisis.
o
o
Es un aporte que genera la convexidad de la curva Precio vs
Tasa.
El aporte al PyG es considerablemente menor que en el caso
del delta pero se debería incorporar para hacer los cálculos
correctamente.
 Pasos para calcular el VaR histórico:
Calcular las sensibilidades de los instrumentos
financieros del portafolio. (Módulo 2).
2. Definir los parámetros necesarios: Nivel de confianza,
días de historia y fecha de valoración.
3. En el caso que no se tengan curvas históricas hay que
calibrarlas con las tasas históricas. Así tener un histórico
de curvas (Por lo menos del número de días de historia
que se van a usar).
1.

4.
Usualmente se tienen las curvas calibradas hasta el día antes de la
fecha de valoración.
Se calculan los cambios en las curvas históricas. Hay que
tener cuidado con los plazos al momento de restar!
5.
Tomamos los cambios en las curvas de los nodos
correspondientes a los TES del portafolio y hacemos un
producto con sus sensibilidades.
o
6.
7.
Esto forma una matriz de PyGs de DxN, donde N es el número de
instrumentos en el portafolio y D el número de días de historia usados.
Ahora solo queda sumar, para cada día histórico los PyGs de
los instrumentos, es decir, las filas de la matriz de PyGs.
Obtenemos un vector de tamaño D de PyGs del portafolio.
Sobre este vector se calculan los estadísticos y medidas
necesarias. Si el nivel de confianza es del α% entonces el VaR
es el valor del α-ésimo percentil del vector de PyGs.
o
Normalmente se toma un nivel de confianza del 95%. Aunque el
90% y 99% también son utilizados.
8.
Por último se calculan las otras medidas de interés. El ES
es el promedio de los valores del vector de PyGs del
portafolio que superen el VaR.
 Veamos un ejemplo en R…
VaR por Factores
 Introducción.
VaR por Factores: Portafolio Inversión
o
Portafolio de inversión (TES).
o
Factores de los TES en el portafolio.
o
Fecha de valoración.
o
Nivel de confianza.
o
Número de simulaciones.
 La idea de este método es simular los cambios en los
factores, que se traducen a cambios en la curva, los que
permiten calcular este VaR de manera similar al VaR
histórico.
 En el caso de portafolio de inversión más complejos,
por ejemplo que también incluyan swaps, hay que
tener en cuenta correlaciones entre los factores de TES
y swaps.
 Pasos para calcular el VaR por Factores:
1. Calcular las sensibilidades de los instrumentos del
portafolio.
2. Calcular los factores de los TES en el portafolio usando la
historia (Módulo 2).
3. El siguiente paso es simular la magnitud de los cambios
en los factores.
o
o
Idealmente se debe calibrar una distribución a la historia. A veces se
utiliza la normal por default por las facilidades que esta presenta
pero se recomienda hacer una calibración más acertada.
En ambos casos la media de esta distribución va a ser 0 dado que al
largo plazo los cambios deberían ser 0.
4.
Calcular los cambios en la curva de rendimiento. Esto se
hace por medio de la ecuación siguiente. Las simulaciones
que se hicieron en el paso anterior corresponden a los Cs en
la ecuación.
F3
F1
F2
Curva  C1 
 C2 
 C3 
10,000
10,000
10,000
5.
6.
7.
Se obtienen los cambios en la curva para cada uno de los
nodos correspondientes a los instrumentos en el portafolio.
Se calculan los PyGs simulados haciendo el producto entre
los cambios en la curva con las sensibilidades. (Como lo
hicimos en el caso del VaR histórico).
Se suma para cada simulación el PyG de los instrumentos
individuales para obtener un vector de PyGs simulados.
8.
Sobre este vector se calculan el VaR y las otras medidas
de riesgo de igual manera que en el caso del VaR
histórico.
 Veamos ejemplos en R…
VaR Portafolio Créditos.
 Introducción.
VaR Portafolio Créditos
o Portafolio de créditos.
o Probabilidades de default de los créditos.
o Fecha de valoración.
o Nivel de confianza.
o Número de simulaciones.
 La idea de este método es simular los flujos de caja
de los créditos sujetos a que hagan default o no. Las
pérdidas están ligadas a la probabilidad de default
del crédito.
 Pasos para calcular el VaR de un portafolio de
créditos:
Calcular las probabilidades de default de los créditos.
Por medio de simulaciones, desde la fecha de valoración
hasta la fecha de madurez del crédito, determinar los
flujos de caja futuros considerando la posibilidad de
hacer default.
o Básicamente una simulación es una posible rama del
árbol de probabilidades de cada crédito.
o Se hacen N simulaciones para cada crédito. Al final
obtenemos NxM simulaciones de PyG para cada
crédito en un portafolio de M créditos.
1.
2.
De las simulaciones se obtiene una matriz de NxM PyGs
correspondientes a cada simulación de cada crédito.
4. Sumando sobre las filas (los créditos) obtenemos N PyGs
para el portafolio de créditos.
5. Al igual que antes sobre este vector se calculan el VaR y
las otras medidas de riesgo.
3.
 Veamos un ejemplo…
Análisis y Seguimiento
 Introducción.
Análisis y Seguimiento
 ¿Cómo se puede determinar que el cálculo del VaR
es acertado?
o
o
Backtest.
Si el VaR se calcula con un nivel de confianza del 95%
entonces el 5% de los periodos deberían observar
pérdidas mayores que el VaR
 La precisión del cálculo del VaR está ligada con el
horizonte de análisis
o Usualmente mensual, semanal o diaria.
PREGUNTAS?

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